Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei Artimiausi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Trapecijos vidurio linijos samprata

Pirmiausia prisiminkime, kokia figūra vadinama trapecija.

1 apibrėžimas

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi nėra lygiagrečios.

Šiuo atveju lygiagrečios kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, o ne lygiagrečios - trapecijos šonais.

2 apibrėžimas

vidurinė linija Trapecija yra atkarpa, jungianti trapecijos kraštinių vidurio taškus.

Trapecijos vidurio linijos teorema

Dabar pristatome teoremą apie trapecijos vidurio liniją ir įrodome ją vektoriniu metodu.

1 teorema

Trapecijos vidurinė linija yra lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos.

Įrodymas.

Pateikiame trapeciją $ABCD$ su bazėmis $AD\ ir\ BC$. Ir tegul $MN$ yra šios trapecijos vidurio linija (1 pav.).

1 pav. Trapecijos vidurinė linija

Įrodykime, kad $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Apsvarstykite vektorių $\overrightarrow(MN)$. Tada vektorių pridėjimui naudojame daugiakampio taisyklę. Viena vertus, mes tai suprantame

Iš kitos pusės

Sudėjus paskutines dvi lygybes, gauname

Kadangi $M$ ir $N$ yra trapecijos kraštinių vidurio taškai, turime

Mes gauname:

Vadinasi

Iš tos pačios lygybės (kadangi $\overrightarrow(BC)$ ir $\overrightarrow(AD)$ yra bendros krypties, taigi ir kolinearinės), gauname, kad $MN||AD$.

Teorema įrodyta.

Užduočių apie trapecijos vidurio linijos sampratą pavyzdžiai

1 pavyzdys

Trapecijos kraštinės yra atitinkamai $15\cm$ ir $17\cm$. Trapecijos perimetras yra $52\cm$. Raskite trapecijos vidurio linijos ilgį.

Sprendimas.

Trapecijos vidurio liniją pažymėkite $n$.

Šonų suma yra

Todėl, kadangi perimetras yra $52\ cm$, bazių suma yra

Taigi pagal 1 teoremą gauname

Atsakymas:$10\cm$.

2 pavyzdys

Apskritimo skersmens galai yra atitinkamai $9$ cm ir $5$ cm nuo jo liestinės. Raskite šio apskritimo skersmenį.

Sprendimas.

Pateikiame apskritimą, kurio centras $O$ ir skersmuo $AB$. Nubrėžkite liestinę $l$ ir sukonstruokite atstumus $AD=9\ cm$ ir $BC=5\ cm$. Nubrėžkime spindulį $OH$ (2 pav.).

2 pav.

Kadangi $AD$ ir $BC$ yra atstumai iki liestinės, tai $AD\bot l$ ir $BC\bot l$ ir kadangi $OH$ yra spindulys, tai $OH\bot l$, taigi $OH | \left|AD\right||BC$. Iš viso to gauname, kad $ABCD$ yra trapecija, o $OH$ yra jos vidurio linija. Pagal 1 teoremą gauname

Trapecijos vidurio linijos samprata

Pirmiausia prisiminkime, kokia figūra vadinama trapecija.

1 apibrėžimas

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi nėra lygiagrečios.

Šiuo atveju lygiagrečios kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, o ne lygiagrečios - trapecijos šonais.

2 apibrėžimas

Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti trapecijos kraštinių vidurio taškus.

Trapecijos vidurio linijos teorema

Dabar pristatome teoremą apie trapecijos vidurio liniją ir įrodome ją vektoriniu metodu.

1 teorema

Trapecijos vidurinė linija yra lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos.

Įrodymas.

Pateikiame trapeciją $ABCD$ su bazėmis $AD\ ir\ BC$. Ir tegul $MN$ yra šios trapecijos vidurio linija (1 pav.).

1 pav. Trapecijos vidurinė linija

Įrodykime, kad $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Apsvarstykite vektorių $\overrightarrow(MN)$. Tada vektorių pridėjimui naudojame daugiakampio taisyklę. Viena vertus, mes tai suprantame

Iš kitos pusės

Sudėjus paskutines dvi lygybes, gauname

Kadangi $M$ ir $N$ yra trapecijos kraštinių vidurio taškai, turime

Mes gauname:

Vadinasi

Iš tos pačios lygybės (kadangi $\overrightarrow(BC)$ ir $\overrightarrow(AD)$ yra bendros krypties, taigi ir kolinearinės), gauname, kad $MN||AD$.

Teorema įrodyta.

Užduočių apie trapecijos vidurio linijos sampratą pavyzdžiai

1 pavyzdys

Trapecijos kraštinės yra atitinkamai $15\cm$ ir $17\cm$. Trapecijos perimetras yra $52\cm$. Raskite trapecijos vidurio linijos ilgį.

Sprendimas.

Trapecijos vidurio liniją pažymėkite $n$.

Šonų suma yra

Todėl, kadangi perimetras yra $52\ cm$, bazių suma yra

Taigi pagal 1 teoremą gauname

Atsakymas:$10\cm$.

2 pavyzdys

Apskritimo skersmens galai yra atitinkamai $9$ cm ir $5$ cm nuo jo liestinės. Raskite šio apskritimo skersmenį.

Sprendimas.

Pateikiame apskritimą, kurio centras $O$ ir skersmuo $AB$. Nubrėžkite liestinę $l$ ir sukonstruokite atstumus $AD=9\ cm$ ir $BC=5\ cm$. Nubrėžkime spindulį $OH$ (2 pav.).

2 pav.

Kadangi $AD$ ir $BC$ yra atstumai iki liestinės, tai $AD\bot l$ ir $BC\bot l$ ir kadangi $OH$ yra spindulys, tai $OH\bot l$, taigi $OH | \left|AD\right||BC$. Iš viso to gauname, kad $ABCD$ yra trapecija, o $OH$ yra jos vidurio linija. Pagal 1 teoremą gauname

1. Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus, yra lygi pusei pagrindų skirtumo
2. Trikampiai, sudaryti iš trapecijos pagrindų ir įstrižainių atkarpų iki jų susikirtimo taško, yra panašūs
3. Trikampiai, sudaryti iš trapecijos įstrižainių atkarpų, kurių kraštinės yra trapecijos šonuose, yra lygūs (turi vienodą plotą)
4. Jei pratęsime trapecijos kraštines link mažesnio pagrindo, tada jos viename taške susikirs su tiesia linija, jungiančia pagrindų vidurio taškus
5. Atkarpa, jungianti trapecijos pagrindus ir einanti per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, padalinta iš šio taško proporcingai, lygia trapecijos pagrindų ilgių santykiui.
6. Atkarpa, lygiagreti trapecijos pagrindams ir nubrėžta per įstrižainių susikirtimo tašką, yra padalinta per šį tašką, o jos ilgis yra 2ab / (a ​​+ b), kur a ir b yra trapecijos pagrindai

Atkarpos, jungiančios trapecijos įstrižainių vidurio taškus, savybės

Sujunkite trapecijos ABCD įstrižainių vidurio taškus, dėl to turėsime atkarpą LM.
Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus guli ant trapecijos vidurio linijos.

Šis segmentas lygiagrečiai trapecijos pagrindams.

Atkarpos, jungiančios trapecijos įstrižainių vidurio taškus, ilgis lygus jos pagrindų skirtumui.

LM = (AD – BC)/2
arba
LM = (a-b)/2

Trikampių, sudarytų iš trapecijos įstrižainių, savybės

Trikampiai, sudaryti iš trapecijos pagrindų ir trapecijos įstrižainių susikirtimo taško - yra panašūs.
Trikampiai BOC ir AOD yra panašūs. Kadangi kampai BOC ir AOD yra vertikalūs, jie yra lygūs.
Kampai OCB ir OAD yra vidiniai skersai, esantys lygiagrečiose tiesėse AD ir BC (trapecijos pagrindai lygiagrečios vienas kitam) ir skersinėje tiesėje AC, todėl jie yra lygūs.
Kampai OBC ir ODA yra vienodi dėl tos pačios priežasties (vidinis kryžminis gulėjimas).

Kadangi visi trys vieno trikampio kampai yra lygūs atitinkamiems kito trikampio kampams, šie trikampiai yra panašūs.

Kas iš to seka?

Norint išspręsti geometrijos uždavinius, trikampių panašumas naudojamas taip. Jei žinome dviejų atitinkamų panašių trikampių elementų ilgius, tada randame panašumo koeficientą (vieną dalijame iš kito). Iš kur visų kitų elementų ilgiai yra susieti vienas su kitu lygiai ta pačia reikšme.

Trapecijos šoninėje pusėje gulinčių trikampių ir įstrižainių savybės

Apsvarstykite du trikampius, esančius trapecijos AB ir CD šonuose. Tai trikampiai AOB ir COD. Nepaisant to, kad šių trikampių atskirų kraštinių dydžiai gali būti visiškai skirtingi, tačiau trikampių, sudarytų iš kraštinių ir trapecijos įstrižainių susikirtimo taško, plotai yra, tai yra, trikampiai yra lygūs.

Jei trapecijos kraštinės yra pratęstos link mažesnio pagrindo, tada kraštinių susikirtimo taškas bus sutampa su tiesia linija, einančia per pagrindų vidurio taškus.

Taigi bet kurią trapeciją galima išplėsti iki trikampio. Kur:

• Trikampiai, sudaryti iš trapecijos pagrindų, turinčių bendrą viršūnę išilginių kraštinių susikirtimo taške, yra panašūs
• Tiesi linija, jungianti trapecijos pagrindų vidurio taškus, tuo pat metu yra sudaryto trikampio mediana

Atkarpos, jungiančios trapecijos pagrindus, savybės

Jei nubraižote atkarpą, kurios galai yra ant trapecijos pagrindų, kurie yra trapecijos įstrižainių (KN) susikirtimo taške, tada jį sudarančių atkarpų nuo pagrindo kraštinės ir trapecijos susikirtimo taško santykis. įstrižainės (KO / ĮJUNGTA) bus lygus trapecijos pagrindų santykiui(BC / AD).

KO/ON=BC/AD

Šis turtas išplaukia iš atitinkamų trikampių panašumo (žr. aukščiau).

Atkarpos, lygiagrečios trapecijos pagrindams, savybės

Jei nubrėžsime atkarpą, lygiagrečią trapecijos pagrindams ir einančią per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, tada jis turės šias savybes:

• Iš anksto nustatytas atstumas (KM) padalija į pusę trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką
• Pjovimo ilgis einančios per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką ir lygiagrečiai su bazėmis, yra lygus KM = 2ab/(a + b)

Trapecijos įstrižainių radimo formulės

a, b- trapecijos pagrindai

c, d- trapecijos šonai

d1 d2- trapecijos įstrižainės

α β - kampai su didesniu trapecijos pagrindu

Formulės trapecijos įstrižainėms rasti per pagrindą, šonus ir kampus prie pagrindo

Pirmoji formulių grupė (1-3) atspindi vieną iš pagrindinių trapecijos įstrižainių savybių:

1. Trapecijos įstrižainių kvadratų suma lygi kraštinių kvadratų sumai plius du kartus jos pagrindų sandaugai. Šią trapecijos įstrižainių savybę galima įrodyti kaip atskirą teoremą

2 . Ši formulė gaunama transformuojant ankstesnę formulę. Antrosios įstrižainės kvadratas metamas virš lygybės ženklo, po kurio kvadratinė šaknis ištraukiama iš kairės ir dešinės išraiškos pusių.

3 . Ši trapecijos įstrižainės ilgio nustatymo formulė yra panaši į ankstesnę, su skirtumu, kad kairėje išraiškos pusėje paliekama kita įstrižainė

Kita formulių grupė (4-5) yra panašios reikšmės ir išreiškia panašų ryšį.

Formulių grupė (6-7) leidžia rasti trapecijos įstrižainę, jei žinote didesnį trapecijos pagrindą, vieną kraštinę ir kampą prie pagrindo.

Formulės, kaip rasti trapecijos įstrižaines pagal aukštį

Pastaba. Šioje pamokoje pateikiamas geometrijos uždavinių sprendimas apie trapecijas. Jei neradote jus dominančios geometrijos problemos sprendimo - užduokite klausimą forume.

Užduotis.
Trapecijos ABCD (AD | | BC) įstrižainės susikerta taške O. Raskite trapecijos pagrindo BC ilgį, jei pagrindas AD = 24 cm, ilgis AO = 9 cm, ilgis OS = 6 cm.

Sprendimas.
Šio uždavinio sprendimas ideologiniu požiūriu visiškai identiškas ankstesniems uždaviniams.

Trikampiai AOD ir BOC yra panašūs trimis kampais – AOD ir BOC yra vertikalūs, o likę kampai poromis lygūs, nes susidaro susikirtus vienai tiesei ir dviem lygiagrečioms tiesėms.

Kadangi trikampiai yra panašūs, visi jų geometriniai matmenys yra susiję vienas su kitu, nes mums žinomi atkarpų AO ir OC geometriniai matmenys pagal uždavinio sąlygą. Tai yra

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Atsakymas: 16 cm

Užduotis .
Trapecijoje ABCD žinoma, kad AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Raskite trapecijos plotą.

Sprendimas.
Norėdami rasti trapecijos aukštį iš mažesnio pagrindo B ir C viršūnių, nuleidžiame du aukščius ant didesnio pagrindo. Kadangi trapecija nelygi, žymime ilgį AM = a, ilgį KD = b ( nesupainioti su simboliais formulėje trapecijos ploto radimas). Kadangi trapecijos pagrindai yra lygiagretūs ir mes praleidome du aukščius, statmenus didesniam pagrindui, MBCK yra stačiakampis.

Reiškia
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trikampiai DBM ir ACK yra stačiakampiai, todėl jų stačius kampus sudaro trapecijos aukščiai. Trapecijos aukštį pažymėkime h. Tada pagal Pitagoro teoremą

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
ir
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Apsvarstykite, kad a \u003d 16 - b, tada pirmoje lygtyje
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Aukščio kvadrato reikšmę pakeiskite antrąja lygtimi, gauta pagal Pitagoro teoremą. Mes gauname:
425 – (8 + b) 2 + (24 – b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Taigi, KD = 12
Kur
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Raskite trapecijos plotą naudodami jos aukštį ir pusę pagrindų sumos
, kur a b – trapecijos pagrindai, h – trapecijos aukštis
S \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 cm 2

Atsakymas: trapecijos plotas 80 cm2.

Vadinamas keturkampis, turintis tik dvi lygiagrečias kraštines trapecija.

Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos pagrindu, ir vadinamos tos kraštinės, kurios nėra lygiagrečios pusės. Jei kraštinės lygios, tai tokia trapecija yra lygiašonė. Atstumas tarp pagrindų vadinamas trapecijos aukščiu.

Vidurinė trapecijos linija

Vidurinė linija yra atkarpa, jungianti trapecijos kraštinių vidurio taškus. Trapecijos vidurio linija lygiagreti jos pagrindams.

Teorema:

Jei tiesė, kertanti vienos kraštinės vidurį, yra lygiagreti trapecijos pagrindams, tai ji dalija antrąją trapecijos kraštinę.

Teorema:

Vidurinės linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN vidurio linija, AB ir CD - bazės, AD ir BC - pusės

MN=(AB+DC)/2

Teorema:

Trapecijos vidurio linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui.

Pagrindinė užduotis: Įrodykite, kad trapecijos vidurio linija dalija atkarpą, kurios galai yra trapecijos pagrindų viduryje.

Vidurinė trikampio linija

Atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, vadinama trikampio vidurio linija. Jis yra lygiagretus trečiajai pusei, o jo ilgis yra pusė trečiosios kraštinės ilgio.
Teorema: Jei tiesė, kertanti vienos trikampio kraštinės vidurio tašką, yra lygiagreti kitai duoto trikampio kraštinei, tada ji padalija trečiąją kraštinę.

AM = MC ir BN = NC =>

Trikampio ir trapecijos vidurinės linijos savybių taikymas

Segmento padalijimas į tam tikrą skaičių lygių dalių.
Užduotis: atkarpą AB padalinkite į 5 lygias dalis.
Sprendimas:
Tegul p yra atsitiktinis spindulys, kurio pradžia yra taškas A ir kuris nėra tiesėje AB. Mes paeiliui atidedame 5 vienodus segmentus p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Sujungiame A 5 su B ir per A 4 , A 3 , A 2 ir A 1 nubrėžiame linijas, kurios yra lygiagrečios su A 5 B. Jos kerta AB atitinkamai taškuose B 4 , B 3 , B 2 ir B 1. Šie taškai padalija atkarpą AB į 5 lygias dalis. Iš tiesų iš trapecijos BB 3 A 3 A 5 matome, kad BB 4 = B 4 B 3 . Lygiai taip pat iš trapecijos B 4 B 2 A 2 A 4 gauname B 4 B 3 = B 3 B 2

Nors iš trapecijos B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Tada iš B 2 AA 2 išeina, kad B 2 B 1 = B 1 A. Apibendrinant gauname:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Aišku, kad norint padalinti atkarpą AB į kitą lygių dalių skaičių, į spindulį p reikia projektuoti tiek pat lygių atkarpų. Ir tada tęskite aukščiau aprašytu būdu.