kvantni sustav

Za objašnjenje mnogih svojstava mikročestica (fotona, elektrona itd.) potrebni su posebni zakoni i pristupi kvantne mehanike. Kvantna svojstva mikrokozmosa očituju se kroz svojstva makrosustava. Mikroobjekti čine određeni fizički sustav koji se naziva kvantni. Primjeri kvantnih sustava su: fotonski plin, elektroni u metalima. Pod uvjetima kvantni sustav, kvantna čestica treba razumjeti materijalni objekt, koji se opisuje posebnim aparatom kvantne mehanike.

Kvantna mehanika istražuje svojstva i fenomene svijeta mikročestica koje klasična mehanika ne može protumačiti. Takve značajke su npr.: valno-čestični dualitet, diskretnost, postojanje spinova. Metode klasične mehanike ne mogu opisati ponašanje čestica mikrosvijeta. Istovremena valna i korpuskularna svojstva mikročestice onemogućuju određivanje stanja čestice s klasičnog gledišta.

Ova činjenica se odražava u Heisenbergovoj relaciji nesigurnosti ($1925$):

gdje je $\trokut x$ netočnost u određivanju koordinate, $\trikut p$ je pogreška u određivanju količine gibanja mikročestice. Ovaj omjer može se napisati kao:

gdje je $\trikut E$ energetska nesigurnost, $\trikut t$ je vremenska nesigurnost. Relacije (1) i (2) pokazuju da ako je jedna od veličina u tim relacijama određena s velikom točnošću, onda drugi parametar ima veliku pogrešku u određivanju. U ovim omjerima $\hbar =1,05\cdot (10)^(-34)J\cdot s$. Dakle, stanje mikročestice u kvantnoj mehanici ne može se opisati istodobno koordinatama i količinom gibanja, što je moguće u klasična mehanika. Slična situacija vrijedi i za energiju u određenom trenutku. Stanja s određenom energetskom vrijednošću mogu se dobiti samo u stacionarnim slučajevima (odnosno u slučajevima koji nemaju točnu vremensku definiciju).

Imajući korpuskularna i ujedno valna svojstva, mikročestica nema točnu koordinatu, već je "razmazana" u određenom području prostora. Ako se u određenom području prostora nalaze dvije ili više čestica, nije ih moguće međusobno razlikovati jer je nemoguće pratiti kretanje svake. Iz navedenog proizlazi identitet čestica u kvantnoj mehanici.

Neki parametri koji se odnose na mikročestice imaju diskretne vrijednosti, koje se ne mogu objasniti klasičnom mehanikom. U skladu s odredbama i zakonima kvantne mehanike, osim energije sustava, kutna količina gibanja sustava može biti diskretna:

gdje je $l=0,1,2,\točkice $

spin može uzeti sljedeće vrijednosti:

gdje je $s=0,\ \frac(1)(2),\ 1,\ \frac(3)(2),\točke $

Projekcija magnetski moment o smjeru vanjskog polja ima sljedeće vrijednosti:

gdje je $m_z$ magnetski kvantni broj koji ima vrijednosti: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

$(\mu )_B$ je Bohrov magneton.

U svrhu matematičkog opisa kvantnih značajki fizikalnih veličina, svakoj veličini dodijeljen je operator. Dakle, u kvantnoj mehanici, fizičke veličine su predstavljene operatorima, dok su njihove vrijednosti određene prosjecima nad svojstvenim vrijednostima operatora.

Stanje kvantnog sustava

Bilo koje stanje u kvantnom sustavu opisuje se valnom funkcijom. Međutim dana funkcija predviđa parametre budućeg stanja sustava s određenim stupnjem vjerojatnosti, a ne pouzdano, to je temeljna razlika od klasične mehanike. Dakle, za parametre sustava valna funkcija određuje vjerojatnosne vrijednosti. Takva neizvjesnost, netočnost predviđanja najviše je izazvala kontroverze među znanstvenicima.

Mjereni parametri kvantnog sustava

Najglobalnije razlike između klasične i kvantne mehanike leže u ulozi mjerenja parametara kvantnog sustava koji se proučava. Problem mjerenja u kvantnoj mehanici je u tome što pri pokušaju mjerenja parametara mikrosustava istraživač djeluje na sustav makro uređajem koji mijenja stanje samog kvantnog sustava. Dakle, kada pokušavamo precizno izmjeriti parametar mikroobjekta (koordinatu, količinu gibanja, energiju), suočavamo se s činjenicom da sam proces mjerenja mijenja parametre koje pokušavamo izmjeriti i to značajno. Nemoguće je napraviti precizna mjerenja u mikrokozmosu. Uvijek će biti pogrešaka u skladu s načelom nesigurnosti.

U kvantnoj mehanici dinamičke varijable predstavljaju operatore, pa nema smisla govoriti o numeričkim vrijednostima, budući da operator određuje djelovanje na vektor stanja. Rezultat je također predstavljen vektorom Hilbertovog prostora, a ne brojem.

Napomena 1

Samo ako je vektor stanja svojstveni vektor operatora dinamičke varijable, tada se njegovo djelovanje na vektor može svesti na množenje brojem bez promjene stanja. U takvom slučaju, operator dinamičke varijable može se preslikati na jedan broj koji je jednak svojstvenoj vrijednosti operatora. U ovom slučaju možemo pretpostaviti da dinamička varijabla ima određenu numeričku vrijednost. Tada dinamička varijabla ima kvantitativnu vrijednost neovisnu o mjerenju.

U slučaju da vektor stanja nije svojstveni vektor operatora dinamičke varijable, tada rezultat mjerenja ne postaje jednoznačan i govori se samo o vjerojatnosti jedne ili druge vrijednosti dobivene u mjerenju.

Rezultati teorije, koji su empirijski provjerljivi, jesu vjerojatnosti dobivanja dinamičke varijable u dimenziji s velikim brojem dimenzija za isti vektor stanja.

Glavna karakteristika kvantnog sustava je valna funkcija koju je uveo M. Born. fizičko značenje najčešće se ne određuju za samu valnu funkciju, već za kvadrat njezina modula, koji određuje vjerojatnost da se kvantni sustav nalazi u danoj točki prostora u danoj točki vremena. Osnova mikrosvijeta je vjerojatnost. Osim poznavanja valne funkcije, za opisivanje kvantnog sustava potrebne su informacije o drugim parametrima, primjerice o parametrima polja s kojim sustav stupa u interakciju.

Procesi koji se odvijaju u mikrokozmosu leže izvan granica ljudske osjetilne percepcije. Posljedično, koncepti i fenomeni koje kvantna mehanika koristi su lišeni vizualizacije.

Primjer 1

Vježba: Koja je minimalna pogreška s kojom se može odrediti brzina elektrona i protona ako su koordinate čestica poznate s nesigurnošću od $1$ µm.

Riješenje:

Kao temelj za rješavanje problema koristimo Heisenbergovu relaciju nesigurnosti u obliku:

\[\trokut p_x\trokut x\ge \hbar \lijevo(1.1\desno),\]

gdje je $\trikut x$ nesigurnost koordinate, $\trikut p_x$ je nesigurnost projekcije količine gibanja čestice na os X. Veličina nesigurnosti količine gibanja može se izraziti kao:

\[\trokut p_x=m\trokut v_x\lijevo(1,2\desno).\]

Zamjena desna strana izraz (1.2) umjesto nesigurnosti projekcije momenta u izrazu (1.1) imamo:

Iz formule (1.3) izražavamo traženu nesigurnost brzine:

\[\trokut v_x\ge \frac(\hbar )(m\trokut x)\lijevo(1,4\desno).\]

Iz nejednadžbe (1.4) proizlazi da je minimalna pogreška u određivanju brzine čestice:

\[\trokut v_x=\frac(\hbar )(m\trokut x).\]

Znajući masu elektrona $m_e=9,1\cdot (10)^(-31)kg,$ izvršit ćemo izračune:

\[\trokut v_(ex)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(9,1\cdot (10)^(-31)\cdot (10)^(-6) )=1,1\cdot (10)^2(\frac(m)(c)).\]

masa protona jednaka $m_p=1,67\cdot (10)^(-27)kg$, izračunavamo pogrešku mjerenja brzine protona u zadanim uvjetima:

\[\trokut v_(px)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(1,67\cdot (10)^(-27)\cdot (10)^(-6) )=0,628\ cdot (10)^(-1)(\frac(m)(s)).\]

Odgovor:$\trokut v_(ex)=1,1\cdot (10)^2\frac(m)(s),$ $\trokut v_(px)=0,628\cdot (10)^(-1)\frac( m) (s).$

Primjer 2

Vježba: Kolika je najmanja pogreška u mjerenju kinetičke energije elektrona ako se on nalazi u području veličine l.

Riješenje:

Kao temelj za rješavanje problema koristimo Heisenbergovu relaciju nesigurnosti u obliku:

\[\trokut p_xl\ge \hbar \do \trokut p_x\ge \frac(\hbar )(l)\lijevo(2.1\desno).\]

Iz nejednadžbe (2.1) slijedi da je minimalna pogreška momenta jednaka:

\[\trokut p_x=\frac(\hbar )(l)\lijevo(2,2\desno).\]

Greška kinetičke energije može se izraziti kao:

\[\trokut E_k=\frac((\lijevo(\trokut p_x\desno))^2)(2m)=\frac((\lijevo(\hbar \desno))^2)((\lijevo(l\ desno))^22\cdot m_e).\]

Odgovor:$\trokut E_k=\frac((\lijevo(\hbar \desno))^2)((\lijevo(l\desno))^22\cdot m_e).$

Kabardin O.F. Nuklearni spektri // Kvant. - 1987. - br. 3. - S. 42-43.

Po posebnom dogovoru s uredništvom i uredništvom časopisa "Kvant"

Kao što znate, atomske jezgre sastoje se od nukleona - protona i neutrona, između kojih djeluju nuklearne sile privlačenja i Coulombove odbojne sile. Što se može dogoditi s jezgrom kada se sudari s drugom jezgrom, česticom ili gama-zrakom? Pokusi E. Rutherforda, izvedeni 1919. godine, pokazali su, na primjer, da pod utjecajem alfa čestice proton može biti izbačen iz jezgre. U pokusima koje je proveo D. Chadwick 1932. godine utvrđeno je da alfa čestice također mogu izbaciti neutrone iz atomskih jezgri (“Physics 10”, § 106). Ali završava li proces sudara uvijek ovako? Ne može li atomska jezgra apsorbirati energiju primljenu u sudaru i preraspodijeliti je između svojih sastavnih nukleona, mijenjajući tako svoju unutarnju energiju? Što će se sljedeće dogoditi s takvom jezgrom?

Odgovore na ova pitanja dali su izravni pokusi proučavanja međudjelovanja protona s atomskim jezgrama. Njihovi su rezultati vrlo slični rezultatima pokusa Franka i Hertza o proučavanju sudara elektrona s atomima ("Physics 10", § 96). Ispada da se s postupnim povećanjem energije protona isprva opažaju samo elastični sudari s atomskim jezgrama, kinetička energija se ne pretvara u druge vrste energije, već se samo redistribuira između protona i atomske jezgre kao jedne čestice. No, počevši od određene vrijednosti energije protona, mogu se dogoditi i neelastični sudari, u kojima proton biva apsorbiran od strane jezgre i potpuno joj preda svoju energiju. Jezgru svakog izotopa karakterizira strogo definiran skup "dijelova" energije koje može prihvatiti.

Transformacija jezgre dušika uz hvatanje alfa čestice i emisiju protona.

Ovi pokusi dokazuju da jezgre imaju diskretne spektre mogućih energetskih stanja. Dakle, kvantizacija energije i niza drugih parametara svojstvo je ne samo atoma, već i atomskih jezgri. država atomska jezgra s minimalnom količinom energije nazivamo osnovnim, ili normalna, stanja s viškom energije (u usporedbi s osnovnim stanjem) nazivamo pobuđenim.

Atomi su obično u pobuđenim stanjima oko 10 -8 sekundi, a pobuđene atomske jezgre oslobađaju se viška energije u mnogo kraćem vremenu - oko 10 -15 - 10 -16 sekundi. Poput atoma, pobuđene jezgre oslobađaju se viška energije emitiranjem kvanta elektromagnetskog zračenja. Ti se kvanti nazivaju gama kvanti (ili gama zrake). Diskretni skup energetskih stanja atomske jezgre odgovara diskretnom spektru frekvencija koje emitiraju gama zrake. Gama zrake su transverzalne Elektromagnetski valovi, isto što i radio valovi, vidljivo svjetlo ili x-zrake. Oni su poznata vrsta elektromagnetskog zračenja najkraće valne duljine, a njihove odgovarajuće valne duljine kreću se od približno 10 -11 m do 10 -13 m.

Energetska stanja atomskih jezgri i prijelazi jezgri iz jednog stanja u drugo uz apsorpciju ili emisiju energije obično se opisuju pomoću energetskih dijagrama sličnih energetskim dijagramima atoma (“Fizika 10”, § 94). Na slici je prikazan energetski dijagram jezgre izotopa željeza - \(~^(58)_(26)Fe\), dobiven na temelju pokusa bombardiranja protonima. Imajte na umu da iako su energetski dijagrami atoma i jezgri kvalitativno slični, postoje značajne kvantitativne razlike među njima. Ako je za prijelaz atoma iz osnovnog stanja u pobuđeno potrebna energija od nekoliko elektronvolti, tada je za pobuđivanje atomske jezgre potrebna energija reda veličine stotina tisuća ili milijuna elektronvolti. Ova razlika je posljedica činjenice da nuklearne sile koje djeluju između nukleona u jezgri uvelike premašuju sile Coulombove interakcije elektrona s jezgrom.

Dijagram energetskih razina jezgre izotopa željeza.

Sposobnost atomskih jezgri da spontano prijeđu iz stanja s velikom zalihom energije u stanje s manjom energijom objašnjava porijeklo ne samo gama zračenja, već i radioaktivnog raspada jezgri.

Mnogi obrasci u nuklearnim spektrima mogu se objasniti pomoću takozvanog modela ljuske strukture atomske jezgre. Prema tom modelu, nukleoni u jezgri nisu neuredno izmiješani, već su poput elektrona u atomu raspoređeni u vezane skupine, ispunjavajući dopuštene nuklearne ljuske. U tom se slučaju protonska i neutronska ljuska pune neovisno jedna o drugoj. Maksimalni broj neutrona: 2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126 i protona: 2, 8, 20, 28, 50, 82 u ispunjenim ljuskama naziva se magijom. Jezgre s magičnim brojem protona i neutrona imaju mnoga izvanredna svojstva: povećanu vrijednost specifične energije vezanja, manju vjerojatnost ulaska u nuklearnu interakciju, otpornost na radioaktivni raspad itd.

Prijelaz jezgre iz osnovnog stanja u pobuđeno stanje i njezin povratak u osnovno stanje, sa stajališta modela ljuske, objašnjava se prijelazom nukleona iz jedne ljuske u drugu i natrag.

Uz veliki broj prednosti, model ljuske jezgre ne može objasniti svojstva svih jezgri u različite vrste interakcije. U mnogim slučajevima koncept jezgre kao kapi nuklearne tekućine, u kojoj su nukleoni vezani nuklearnim silama, Coulombovim silama i silama površinske napetosti, pokazuje se plodnijim. Postoje i drugi modeli, ali niti jedan od predloženih ne može se smatrati univerzalnim.

Razine energije (atomske, molekularne, nuklearne)

1. Obilježja stanja kvantnog sustava
2. Energetske razine atoma
3. Energetske razine molekula
4. Energetske razine jezgri

Obilježja stanja kvantnog sustava

U središtu objašnjenja St. u atomima, molekulama i atomskim jezgrama, t.j. fenomeni koji se javljaju u elementima volumena s linearnim mjerilima od 10 -6 -10 -13 cm leži u kvantnoj mehanici. Prema kvantnoj mehanici, svaki kvantni sustav (tj. sustav mikročestica, koji se pokorava kvantnim zakonima) karakterizira određeni skup stanja. Općenito, ovaj skup stanja može biti ili diskretan (diskretni spektar stanja) ili kontinuiran (kontinuirani spektar stanja). Obilježja stanja izoliranog sustava yavl. unutarnja energija sustava (svugdje ispod samo energija), ukupni kutni moment (MKD) i paritet.

Energija sustava.
Kvantni sustav, budući da je u različitim stanjima, općenito govoreći, ima različite energije. Energija vezanog sustava može imati bilo koju vrijednost. Ovaj skup mogućih energetskih vrijednosti naziva se. diskretni energetski spektar, a za energiju se kaže da je kvantizirana. Primjer bi bila energija. spektar atoma (vidi dolje). Nevezani sustav čestica koje međusobno djeluju ima kontinuirani energetski spektar, a energija može poprimiti proizvoljne vrijednosti. Primjer takvog sustava je slobodni elektron (E) u Coulombovom polju atomske jezgre. Kontinuirani energetski spektar može se prikazati kao skup beskonačnih veliki broj diskretna stanja, između to-rymi energet. praznine su beskrajno male.

Stanje, to-rum odgovara najnižoj mogućoj energiji za dati sustav, tzv. osnovni: sva ostala stanja se zovu. uzbuđen. Često je zgodno koristiti uvjetnu ljestvicu energije, u kojoj je energija osnovna. stanje se smatra početnom točkom, tj. oslanja se nula(u ovoj uvjetnoj ljestvici svugdje ispod energija je označena slovom E). Ako je sustav u državi n(i indeks n=1 dodijeljen je glavnom. stanje), ima energiju E n, tada se kaže da je sustav na energetskoj razini E n. Broj n, numeriranje U.e., tzv. kvantni broj. U općem slučaju, svaki U.e. može se karakterizirati ne jednim kvantnim brojem, već njihovom kombinacijom; zatim indeks n znači ukupnost ovih kvantnih brojeva.

Ako države n 1, n 2, n 3,..., nk odgovara istoj energiji, tj. jedan U.e., onda se ta razina naziva degeneriranom, a broj k- višestrukost degeneracije.

Tijekom bilo kakvih transformacija zatvorenog sustava (kao i sustava u stalnom vanjskom polju) njegova ukupna energija, energija, ostaje nepromijenjena. Prema tome, energija se odnosi na tzv. očuvane vrijednosti. Iz homogenosti vremena proizlazi zakon održanja energije.

Ukupni kutni moment.
Ova vrijednost je yavl. vektora i dobiva se zbrajanjem MCD svih čestica u sustavu. Svaka čestica ima i svoje MCD - spin, i orbitalni moment, zbog gibanja čestice u odnosu na zajedničko središte mase sustava. Kvantizacija MCD dovodi do toga da su njegovi aps. veličina J poprima strogo definirane vrijednosti: , gdje j- kvantni broj, koji može poprimiti nenegativne cijele i polucijele vrijednosti (kvantni broj orbitalnog MCD-a uvijek je cijeli broj). Projekcija MKD na c.-l. ime osi magn. kvantni broj i može uzeti 2j+1 vrijednosti: m j =j, j-1,...,-j. Ako je k.-l. trenutak J javl. zbroj dva druga momenta , zatim, prema pravilima za zbrajanje momenata u kvantnoj mehanici, kvantni broj j može uzeti sljedeće vrijednosti: j=|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2 , a . Slično, zbrajanje više trenutaka. Uobičajeno je za kratkoću govoriti o MCD sustavu j, implicirajući trenutak, aps. čija je vrijednost; o magn. O kvantnom broju se jednostavno govori kao o projekciji momenta.

Tijekom različitih transformacija sustava u centralno simetričnom polju, ukupni MCD je očuvan, tj., kao i energija, on je očuvana veličina. MKD zakon održanja slijedi iz izotropije prostora. U osno simetričnom polju sačuvana je samo projekcija punog MCD-a na os simetrije.

Državni paritet.
U kvantnoj mehanici stanja sustava opisuju se tzv. valne funkcije. Paritet karakterizira promjenu valne funkcije sustava tijekom operacije prostorne inverzije, tj. promjena predznaka koordinata svih čestica. Pri takvoj operaciji energija se ne mijenja, dok valna funkcija može ostati nepromijenjena (parno stanje) ili promijeniti predznak u suprotan (neparno stanje). Paritet P uzima dvije vrijednosti. Ako u sustavu djeluju nuklearni ili el.-magneti. sila, paritet se čuva u atomskim, molekularnim i nuklearnim transformacijama, tj. ova količina također se odnosi na konzervirane količine. Zakon očuvanja pariteta yavl. posljedica simetrije prostora s obzirom na zrcalne refleksije a narušava se u onim procesima u kojima su uključene slabe interakcije.

Kvantni prijelazi
- prijelazi sustava iz jednog kvantnog stanja u drugo. Takvi prijelazi mogu dovesti i do promjene energije. stanje sustava i njegove kvalitete. promjene. To su vezano-vezani, slobodno-vezani, slobodno-slobodni prijelazi (vidi Međudjelovanje zračenja s materijom), na primjer, ekscitacija, dezaktivacija, ionizacija, disocijacija, rekombinacija. Također je kem. i nuklearne reakcije. Prijelazi se mogu dogoditi pod utjecajem zračenja - radijacijski (ili radijacijski) prijelazi, ili kada se dani sustav sudari s c.-l. drugi sustav ili čestica - neradijacijski prijelazi. Važna karakteristika kvantnog prijelaza yavl. njegova vjerojatnost u jedinicama. vrijeme, pokazujući koliko često će se taj prijelaz dogoditi. Ova vrijednost se mjeri u s -1 . Vjerojatnosti zračenja. prijelazi između razina m i n (m>n) s emisijom ili apsorpcijom fotona, čija je energija jednaka, određuju se koeficijentom. Einstein A mn , B mn i B nm. Prijelaz razine m do razine n mogu nastati spontano. Vjerojatnost emitiranja fotona Bmn u ovom slučaju jednako Amn. Prijelazi tipa pod djelovanjem zračenja (inducirani prijelazi) karakteriziraju vjerojatnosti emisije fotona i apsorpcije fotona , gdje je gustoća energije zračenja s frekvencijom .

Mogućnost provedbe kvantnog prijelaza iz zadane R.e. na k.-l. drugi w.e. znači da je karakteristika usp. vrijeme tijekom kojeg sustav može biti na ovoj UE, naravno. Definira se kao recipročna vrijednost ukupne vjerojatnosti raspada dane razine, tj. zbroj vjerojatnosti svih mogućih prijelaza s razmatrane razine na sve ostale. Za zračenje prijelaza, ukupna vjerojatnost je , i . Konačnost vremena, prema relaciji nesigurnosti, znači da se energija razine ne može odrediti apsolutno točno, tj. U.E. ima određenu širinu. Stoga se emisija ili apsorpcija fotona tijekom kvantnog prijelaza ne događa na strogo definiranoj frekvenciji, već unutar određenog frekvencijskog intervala koji leži u blizini vrijednosti . Distribucija intenziteta unutar ovog intervala dana je profilom spektralne linije, koji određuje vjerojatnost da je frekvencija fotona emitiranog ili apsorbiranog u određenom prijelazu jednaka:
(1)
gdje je poluširina profila linije. Ako je proširenje W.e. a spektralne linije uzrokovane samo spontanim prijelazima, tada se takvo širenje naziva. prirodni. Ako sudari sustava s drugim česticama igraju određenu ulogu u širenju, tada je širenje kombiniranog karaktera i količina se mora zamijeniti zbrojem , gdje se izračunava slično kao , ali radijat. vjerojatnosti prijelaza treba zamijeniti vjerojatnostima sudara.

Prijelazi u kvantnim sustavima podliježu određenim pravilima odabira, tj. pravila koja utvrđuju kako se kvantni brojevi koji karakteriziraju stanje sustava (MKD, paritet itd.) mogu promijeniti tijekom prijelaza. Najjednostavnija pravila odabira formulirana su za radijate. prijelazi. U ovom slučaju oni su određeni svojstvima početnog i završnog stanja, kao i kvantnim karakteristikama emitiranog ili apsorbiranog fotona, posebice njegovim MCD i paritetom. Takozvani. električni dipolni prijelazi. Ovi prijelazi se provode između razina suprotnog pariteta, potpuni MCD to-rykh razlikuju se za iznos (prijelaz je nemoguć). U okviru sadašnje terminologije ti se prijelazi nazivaju. dopuštena. Sve ostale vrste prijelaza (magnetski dipol, električni kvadrupol itd.) nazivaju se. zabranjeno. Značenje ovog izraza je samo u tome da se njihove vjerojatnosti pokažu mnogo manjim od vjerojatnosti električnih dipolnih prijelaza. Međutim, oni nisu yavl. apsolutno zabranjeno.

Kvantni sustavi i njihova svojstva.

Raspodjela vjerojatnosti po energijama u prostoru.

Bozonska statistika. Fermi-Einsteinova distribucija.

fermionska statistika. Fermi-Diracova distribucija.

Kvantni sustavi i njihova svojstva

U klasičnoj statistici pretpostavlja se da se čestice koje čine sustav pokoravaju zakonima klasične mehanike. Ali za mnoge fenomene, pri opisivanju mikroobjekata, potrebno je koristiti kvantnu mehaniku. Ako se sustav sastoji od čestica koje se pokoravaju kvantnoj mehanici, tada ćemo ga nazvati kvantnim sustavom.

Temeljne razlike između klasičnog i kvantnog sustava uključuju:

1) Korpuskularno-valni dualizam mikročestica.

2) Diskretnost fizikalnih veličina koje opisuju mikroobjekte.

3) Spinska svojstva mikročestica.

Prvi podrazumijeva nemogućnost točnog određivanja svih parametara sustava koji određuju njegovo stanje s klasičnog gledišta. Ova činjenica se odražava u Heisandbergovoj relaciji nesigurnosti:

Da bi se matematički opisala ova svojstva mikroobjekata u kvantna fizika, veličini se pridružuje linearni Hermitov operator koji djeluje na valnu funkciju .

Svojstvene vrijednosti operator odredi moguće numeričke vrijednosti ovoga fizička količina, čiji se prosjek podudara s vrijednošću same količine.

Budući da se momenti i koeficijenti mikročestica sustava ne mogu mjeriti istovremeno, valna funkcija se prikazuje ili kao funkcija koordinata:

Ili, kao funkcija impulsa:

Kvadrat modula valne funkcije određuje vjerojatnost otkrivanja mikročestice po jedinici volumena:

Opisivanje valne funkcije specifični sustav, nalazi se kao svojstvena funkcija Hameltonovog operatora:

Stacionarna Schrödingerova jednadžba.

Nestacionarna Schrödingerova jednadžba.

U mikrosvijetu djeluje princip nerazlučivosti mikročestica.

Ako valna funkcija zadovoljava Schrödingerovu jednadžbu, tada i funkcija zadovoljava ovu jednadžbu. Stanje sustava se neće promijeniti kada se 2 čestice zamijene.

Neka je prva čestica u stanju a, a druga u stanju b.

Stanje sustava opisuje:

Ako se čestice međusobno izmjenjuju, tada: budući da kretanje čestice ne bi trebalo utjecati na ponašanje sustava.

Ova jednadžba ima 2 rješenja:

Pokazalo se da se prva funkcija ostvaruje za čestice s cjelobrojnim spinom, a druga za polucijeli broj.

U prvom slučaju 2 čestice mogu biti u istom stanju:

U drugom slučaju:

Čestice prve vrste nazivaju se spin integer bozoni, čestice druge vrste femioni (za njih vrijedi Paulijev princip).

Fermioni: elektroni, protoni, neutroni...

Bozoni: fotoni, deuteroni...

Fermioni i bozoni podliježu neklasičnoj statistici. Da bismo vidjeli razlike, izbrojimo broj mogućih stanja sustava koji se sastoji od dvije čestice s istom energijom u dvije ćelije u faznom prostoru.

1) Klasične čestice su različite. Moguće je pratiti svaku česticu zasebno.

klasične čestice.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip kvantizacije veličine Cijeli kompleks fenomena koji se obično podrazumijeva pod riječima "elektronička svojstva niskodimenzionalnih elektroničkih sustava" temelji se na temeljnoj fizikalnoj činjenici: promjeni energetskog spektra elektrona i rupe u strukturama vrlo malih dimenzija. Pokažimo osnovnu ideju kvantizacije veličine na primjeru elektrona u vrlo tankom metalnom ili poluvodičkom filmu debljine a.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip kvantizacije Elektroni u filmu nalaze se u potencijalnoj jami dubine jednake radnom radu. Dubina potencijalne jame može se smatrati beskonačno velikom, budući da radni rad premašuje za nekoliko redova veličine Termalna energija prijevoznici. Tipične vrijednosti rada u većini čvrste tvari imaju vrijednost W = 4 -5 e. B, nekoliko redova veličine veća od karakteristične toplinske energije nosača, koja je reda veličine k. T, jednako na sobnoj temperaturi 0,026 e. C. Prema zakonima kvantne mehanike, energija elektrona u takvoj jažici je kvantizirana, tj. može poprimiti samo neke diskretne vrijednosti En, gdje n može poprimiti cjelobrojne vrijednosti 1, 2, 3, …. Ove diskretne vrijednosti energije nazivaju se razinama kvantizacije veličine.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip kvantizacije Za slobodnu česticu efektivne mase m*, čije je gibanje u kristalu u smjeru osi z ograničeno neprobojnim barijerama (tj. barijerama s beskonačnom potencijalnom energijom), energija osnovno stanje raste u usporedbi sa stanjem bez ograničenja. Ovo povećanje energije naziva se energija kvantizacije veličine čestice. Energija kvantizacije je posljedica principa neodređenosti u kvantnoj mehanici. Ako je čestica prostorno ograničena duž z-osi unutar udaljenosti a, nesigurnost z-komponente njezine količine gibanja povećava se za iznos reda veličine ħ/a. Sukladno tome, kinetička energija čestice raste za vrijednost E 1. Stoga se razmatrani učinak često naziva kvantni učinak veličine.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip kvantizacije veličine Zaključak o kvantizaciji energije elektroničkog gibanja odnosi se samo na gibanje po potencijalnoj jami (duž z osi). Potencijal jame ne utječe na gibanje u ravnini xy (paralelno s granicama filma). U ovoj ravnini, nosioci se kreću kao slobodni i karakterizirani su, kao u masovnom uzorku, kontinuiranim energetskim spektrom kvadratnog momenta s efektivnom masom. Ukupna energija nositelja u filmu s kvantnom jamom ima mješoviti diskretno kontinuirani spektar

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip veličinske kvantizacije Osim povećanja minimalne energije čestice, kvantno-veličinski učinak dovodi i do kvantizacije energija njezinih pobuđenih stanja. Energetski spektar kvantnodimenzionalnog filma - impuls nositelja naboja u ravnini filma

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip veličinske kvantizacije Neka elektroni u sustavu imaju energije manje od E 2 i stoga pripadaju nižoj razini veličinske kvantizacije. Tada niti jedan elastični proces (primjerice, raspršenje na nečistoćama ili akustičnim fononima), kao ni međusobno raspršenje elektrona, ne može promijeniti kvantni broj n prijenosom elektrona na višu razinu, jer bi to zahtijevalo dodatne troškove energije. To znači da tijekom elastičnog raspršenja elektroni mogu mijenjati samo svoju količinu gibanja u ravnini filma, tj. ponašaju se kao čisto dvodimenzionalne čestice. Stoga se kvantno-dimenzionalne strukture u kojima je ispunjena samo jedna kvantna razina često nazivaju dvodimenzionalnim elektroničkim strukturama.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip kvantizacije veličine Postoje i druge moguće kvantne strukture gdje kretanje nositelja nije ograničeno u jednom, već u dva smjera, kao u mikroskopskoj žici ili filamentu (kvantne niti ili žice). Nosači se u tom slučaju mogu slobodno kretati samo u jednom smjeru, po navoju (nazovimo to x-os). U presjeku (yz ravnina) energija je kvantizirana i poprima diskretne vrijednosti Emn (kao i svako dvodimenzionalno gibanje, opisuje se s dva kvantna broja, m i n). Cijeli spektar je također diskretno-kontinuiran, ali sa samo jednim kontinuiranim stupnjem slobode:

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip kvantizacije Također je moguće stvoriti kvantne strukture nalik umjetnim atomima, gdje je kretanje nositelja ograničeno u sva tri smjera (kvantne točke). U kvantnim točkama, energetski spektar više ne sadrži kontinuiranu komponentu, tj. ne sastoji se od podpojasa, već je čisto diskretan. Kao u atomu, opisan je s tri diskretna kvantna broja (ne računajući spin) i može se napisati kao E = Elmn, a, kao u atomu, energetske razine mogu biti degenerirane i ovise o samo jednom ili dva broja. zajednička značajka niskodimenzionalnih struktura je činjenica da ako je kretanje nositelja duž barem jednog smjera ograničeno na vrlo malo područje usporedivo po veličini s de Broglieovom valnom duljinom nositelja, njihov se energetski spektar primjetno mijenja i postaje djelomično ili potpuno diskretan.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Definicije Kvantne točke - kvantne točke - strukture čije su dimenzije u sva tri smjera nekoliko međuatomskih udaljenosti (nul-dimenzionalne strukture). Kvantne žice (niti) - kvantne žice - strukture čije su dimenzije u dva smjera jednake nekoliko međuatomskih udaljenosti, au trećem - makroskopskoj vrijednosti (jednodimenzionalne strukture). Kvantne jažice – kvantne jažice – strukture čija je veličina u jednom smjeru nekoliko međuatomskih udaljenosti (dvodimenzionalne strukture).

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Minimalne i maksimalne veličine Donja granica kvantizacije veličine određena je kritičnom veličinom Dmin, pri kojoj postoji barem jedna elektronička razina u strukturi kvantne veličine. Dmin ovisi o prekidu vodljivog pojasa DEc u odgovarajućoj heterospojnici koja se koristi za dobivanje struktura kvantne veličine. U kvantnoj jami postoji barem jedna elektronska razina ako DEc premašuje vrijednost h - Planckova konstanta, me* - efektivna masa elektrona, DE 1 QW - prva razina u pravokutnoj kvantnoj jami s beskonačnim stijenkama.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Minimalne i maksimalne dimenzije Ako udaljenost između energetskih razina postane usporediva s toplinskom energijom k. BT , tada se broj stanovnika povećava visoke razine. Za kvantnu točku, uvjet pod kojim se naseljenost viših razina može zanemariti zapisan je kao E 1 QD, E 2 QD su energije prve i druge kvantizacijske razine veličine. To znači da se prednosti kvantizacije veličine mogu u potpunosti ostvariti ako ovaj uvjet postavlja gornje granice za kvantizaciju veličine. Za Ga. As-Alx. Ga 1-x. Kako je ova vrijednost 12 nm.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Uz njegov energetski spektar, važna karakteristika svakog elektroničkog sustava je gustoća stanja g(E) (broj stanja po jedinici energetskog intervala E) . Za trodimenzionalne kristale gustoća stanja određena je pomoću Born-Karmanovih cikličkih rubnih uvjeta, iz kojih slijedi da se komponente valnog vektora elektrona ne mijenjaju kontinuirano, već poprimaju niz diskretnih vrijednosti, ovdje ni = 0 , ± 1, ± 2, ± 3, te su dimenzije kristala (u obliku kocke sa stranicom L). Volumen k-prostora po jednom kvantnom stanju jednak je (2)3/V, gdje je V = L 3 volumen kristala.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Dakle, broj elektronskih stanja po elementu volumena dk = dkxdkydkz, izračunat po jedinici volumena, ovdje će biti jednak, faktor 2 uzima u obzir dva moguća spina orijentacije. Broj stanja po jedinici volumena u recipročnom prostoru, tj. gustoća stanja) ne ovisi o valnom vektoru. Drugim riječima, u recipročnom prostoru dopuštena stanja su raspoređena s konstantnom gustoćom.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Praktički je nemoguće izračunati funkciju gustoće stanja s obzirom na energiju u općem slučaju, budući da izoenergetske površine mogu imati prilično složen oblik. U najjednostavnijem slučaju izotropnog paraboličkog zakona disperzije, koji vrijedi za rubove energetskih vrpci, može se pronaći broj kvantnih stanja po volumenu sferičnog sloja zatvorenog između dvije bliske izoenergetske površine koje odgovaraju energijama E i E+d. E.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Volumen sferičnog sloja u k-prostoru. dk je debljina sloja. Ovaj volumen će iznositi d. N stanja Uzimajući u obzir odnos između E i k prema paraboličnom zakonu, dobivamo Odavde će gustoća stanja u energiji biti jednaka m * - efektivna masa elektrona

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Dakle, u trodimenzionalnim kristalima s paraboličnim energetskim spektrom, s porastom energije gustoća dopuštenih energetskih razina (gustoća stanja) će rasti proporcionalno na gustoću razina u vodljivom pojasu i u valentnom pojasu. Površina osjenčanih područja proporcionalna je broju razina u energetskom intervalu d. E

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Izračunajmo gustoću stanja za dvodimenzionalni sustav. Ukupna energija nositelja za izotropni parabolični zakon disperzije u filmu s kvantnom jamom, kao što je prikazano gore, ima mješoviti diskretno kontinuirani spektar. U dvodimenzionalnom sustavu, stanja vodljivog elektrona određena su s tri broja (n, kx , ky). Energetski spektar podijeljen je u zasebne dvodimenzionalne En podpojase koji odgovaraju fiksnim vrijednostima n.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Krivulje konstantne energije predstavljaju kružnice u recipročnom prostoru. Svaki diskretni kvantni broj n odgovara apsolutnoj vrijednosti z-komponente valnog vektora. Stoga je volumen u recipročnom prostoru, omeđen zatvorenom površinom zadane energije E u slučaju dvodimenzionalnog sustava, jednak podijeljeno na niz odjeljaka.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Odredimo energetsku ovisnost gustoće stanja za dvodimenzionalni sustav. Da bismo to učinili, za dani n, nalazimo površinu S prstena omeđenog s dvije izoenergetske površine koje odgovaraju energijama E i E+d. E: Ovdje Vrijednost dvodimenzionalnog valnog vektora koja odgovara zadanim n i E; dkr je širina prstena. Budući da jedno stanje u (kxky) ravnini odgovara području gdje je L 2 područje dvodimenzionalnog filma debljine a, broj elektroničkih stanja u prstenu, izračunat po jedinici volumena kristala, bit će jednaki, uzimajući u obzir spin elektrona

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Budući da je ovdje energija koja odgovara dnu n-tog podpojasa. Dakle, gustoća stanja u dvodimenzionalnom filmu je gdje je Q(Y) jedinična Heavisideova funkcija, Q(Y) =1 za Y≥ 0, a Q(Y) =0 za Y

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u dvodimenzionalnom filmu također se može prikazati kao - cijeli dio jednak broju podpojasa čije je dno ispod energije E. Dakle, za dvodimenzionalne filmove s paraboličnim zakonom disperzije, gustoća stanja u bilo kojem podpojasu je konstantna i ne ovisi o energiji. Svaki podpojas daje isti doprinos ukupnoj gustoći stanja. Za fiksnu debljinu filma, gustoća stanja se naglo mijenja kada se ne mijenja za jedinicu.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Ovisnost gustoće stanja dvodimenzionalnog filma o energiji (a) i debljini a (b).

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama U slučaju proizvoljnog zakona disperzije ili druge vrste potencijalne jame, ovisnosti gustoće stanja o energiji i debljini filma mogu se razlikovati od danih gore, ali glavna značajka, nemonotoni tok, ostat će.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Izračunajmo gustoću stanja za jednodimenzionalnu strukturu - kvantnu žicu. Izotropni parabolični zakon disperzije u ovom slučaju može se napisati kao x usmjereno duž kvantnog filamenta, d je debljina kvantnog filamenta duž y i z osi, kx je jednodimenzionalni valni vektor. m, n su pozitivni cijeli brojevi koji karakteriziraju gdje je os kvantni podpojas. Energetski spektar kvantne žice je tako podijeljen u zasebne preklapajuće jednodimenzionalne podpojase (parabole). Gibanje elektrona duž osi x je slobodno (ali s efektivnom masom), dok je gibanje duž druge dvije osi ograničeno.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Energetski spektar elektrona za kvantnu žicu

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj žici u odnosu na energiju Broj kvantnih stanja po intervalu dkx , izračunato po jedinici volumena gdje je energija koja odgovara dnu podpojasa s dati n i m.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO-DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj žici kao funkcija energije Dakle Otuda Pri izvođenju ove formule, spinska degeneracija stanja i činjenica da jedan interval d. E odgovara dvama intervalima ±dkx svakog podpojasa, za koje je (E-En, m) > 0. Energija E se broji od dna vodljivog pojasa skupnog uzorka.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj žici o energiji Ovisnost gustoće stanja kvantne žice o energiji. Brojevi uz krivulje pokazuju kvantne brojeve n i m. Faktori degeneracije razina podpojasa dani su u zagradama.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj žici kao funkcija energije Unutar jednog podpojasa, gustoća stanja opada s porastom energije. Ukupna gustoća stanja je superpozicija identičnih opadajućih funkcija (koje odgovaraju pojedinačnim podpojasima) pomaknutih duž energetske osi. Za E = Em, n, gustoća stanja jednaka je beskonačnosti. Podpojasi s kvantnim brojevima n m pokazuju se dvostruko degeneriranima (samo za Ly = Lz d).

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj točki u ovisnosti o energiji Trodimenzionalnim ograničenjem gibanja čestica dolazimo do problema nalaženja dopuštenih stanja u kvantna točka ili sustav nulte dimenzije. Koristeći aproksimaciju efektivne mase i zakon parabolične disperzije, za rub izotropnog energetskog pojasa, spektar dopuštenih stanja kvantne točke istih dimenzija d duž sve tri koordinatne osi imat će oblik n, m, l = 1 , 2, 3 ... - pozitivni brojevi koji označavaju podpojase. Energetski spektar kvantne točke skup je diskretnih dopuštenih stanja koja odgovaraju fiksnim n, m, l.

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj točki u ovisnosti o energiji. Degeneriranost razina prvenstveno je određena simetrijom problema. g je faktor degeneracije razine

ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj točki prema energiji Degeneracija razina prvenstveno je određena simetrijom problema. Na primjer, za razmatrani slučaj kvantne točke s istim dimenzijama u sve tri dimenzije, razine će biti tri puta degenerirane ako su dva kvantna broja jednaka jedan drugome, a nisu jednaka trećem, i šest puta degenerirane ako su svi kvantni brojevi brojevi nisu međusobno jednaki. Specifična vrsta potencijala također može dovesti do dodatne, tzv. slučajne degeneracije. Na primjer, za razmatranu kvantnu točku, do trostruke degeneracije razina E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), povezano sa simetrijom problema, dodaje se slučajna degeneracija E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 i u prvom i u drugom slučaju), povezan s potencijalom koji ograničava oblik (beskonačna pravokutna potencijalna jama).

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj točki prema energiji Raspodjela broja dopuštenih stanja N u vodljivom pojasu za kvantnu točku istih dimenzija u sve tri dimenzije. Brojevi predstavljaju kvantne brojeve; faktori degeneracije razine dani su u zagradama.

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Trodimenzionalni sustavi elektrona Svojstva ravnotežnih elektrona u poluvodičima ovise o Fermijevoj funkciji distribucije koja određuje vjerojatnost da će elektron biti u kvantnom stanju s energijom E EF je Fermijeva razina ili elektrokemijski potencijal, T je apsolutna temperatura, k je Boltzmannova konstanta. Izračun različitih statističkih veličina znatno je pojednostavljen ako Fermijeva razina leži u zabranjenom energetskom pojasu i daleko je od dna vodljivog pojasa Ec (Ec – EF) > k. T. Tada se u Fermi-Diracovoj distribuciji jedinica u nazivniku može zanemariti i ona prelazi u Maxwell-Boltzmannovu distribuciju klasične statistike. Ovo je slučaj nedegeneriranog poluvodiča

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Trodimenzionalni sustavi elektrona Funkcija distribucije gustoće stanja u vodljivom pojasu g(E), Fermi-Diracova funkcija za tri temperature i Maxwellova Boltzmannova funkcija za trodimenzionalni elektronski plin. Pri T = 0 Fermi-Diracova funkcija ima oblik diskontinuirane funkcije. Za E EF funkcija je jednaka nuli i odgovarajuća kvantna stanja su potpuno slobodna. Za T > 0, Fermijeva funkcija. Diracovo razmazivanje u blizini Fermijeve energije, gdje se brzo mijenja od 1 do 0, a to je razmazivanje proporcionalno k. T, tj. što je više, to je viša temperatura. (Sl. 1. 4. Rubovi)

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Trodimenzionalni elektronski sustavi Gustoća elektrona u vodljivom pojasu nalazi se zbrajanjem svih stanja. Imajte na umu da energiju gornjeg ruba vodljivog pojasa trebamo uzeti kao gornja granica u ovom integralu. Ali budući da Fermi-Diracova funkcija za energije E >EF eksponencijalno opada s porastom energije, zamjena gornje granice beskonačnošću ne mijenja vrijednost integrala. Zamjenom vrijednosti funkcija u integral dobivamo -efektivnu gustoću stanja u vodljivom pojasu

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Dvodimenzionalni elektronski sustavi Odredimo koncentraciju nositelja naboja u dvodimenzionalnom elektronskom plinu. Budući da je gustoća stanja dvodimenzionalnog elektronskog plina Dobivamo Ovdje se također gornja granica integracije uzima jednakom beskonačnosti, uzimajući u obzir oštru ovisnost Fermi-Diracove funkcije distribucije o energiji. Integriranje gdje

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Dvodimenzionalni elektronski sustavi Za nedegenerirani elektronski plin, kada U slučaju ultratankih filmova, kada se može uzeti u obzir samo punjenje donjeg podpojasa Za jaku degeneraciju elektronski plin, kada je n 0 cijeli broj

ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Treba napomenuti da u sustavima s kvantnim jažicama, zbog manje gustoće stanja, uvjet potpune degeneracije ne zahtijeva ekstremno visoke koncentracije ili niske temperature te je često se provodi u eksperimentima. Na primjer, u n-Ga. Kako je kod N 2 D = 1012 cm-2, degeneracija će se dogoditi već na sobnoj temperaturi. U kvantnim žicama, integral za izračun, za razliku od dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih slučajeva, ne izračunava se analitički proizvoljnom degeneracijom, a jednostavne formule može se napisati samo u ekstremnim slučajevima. U nedegeneriranom jednodimenzionalnom elektronskom plinu, u slučaju hipertankih filamenata, kada se može uzeti u obzir samo zauzetost najniže razine s energijom E 11, koncentracija elektrona je tamo gdje je jednodimenzionalna efektivna gustoća stanja