Određivanje stranica pravokutnog trokuta. Kako pronaći stranice pravokutnog trokuta? Osnove geometrije. Rješavanje trokuta s tri strane

Izgradnja bilo kojeg krova nije tako jednostavna kao što se čini. A ako želite da bude pouzdan, izdržljiv i da se ne boji raznih opterećenja, tada prije, čak iu fazi projektiranja, morate napraviti mnogo izračuna. I oni će uključivati ​​ne samo količinu materijala koji se koristi za ugradnju, već i određivanje kutova nagiba, površine padina itd. Kako pravilno izračunati kut krova? Od ove vrijednosti uvelike će ovisiti ostali parametri ovog dizajna.

Projektiranje i izgradnja bilo kojeg krova uvijek je vrlo važan i odgovoran posao. Pogotovo kada je riječ o krovu stambene zgrade ili krovu složenog oblika. Ali čak i uobičajena šupa, postavljena na neuglednu šupu ili garažu, treba samo preliminarne izračune.

Ako unaprijed ne odredite kut nagiba krova, ne saznate koju optimalnu visinu treba imati greben, tada postoji veliki rizik od izgradnje krova koji će se srušiti nakon prvog snijega, ili sav završni premaz s njega će ga otkinuti čak i umjeren vjetar.

Također, kut nagiba krova značajno će utjecati na visinu grebena, površinu i dimenzije padina. Ovisno o tome, bit će moguće točnije izračunati količinu materijala potrebnih za izradu rešetkastog sustava i završnih materijala.

Cijene raznih vrsta krovnih sljemena

Krovni greben

Jedinice

Sjećajući se geometrije koju su svi učili u školi, sigurno je reći da se kut krova mjeri u stupnjevima. Međutim, u knjigama o građevinarstvu, kao iu raznim crtežima, možete pronaći i drugu opciju - kut je označen kao postotak (ovdje mislimo na omjer visine).

općenito, kut nagiba je kut koji čine dvije ravnine koje se sijeku- preklapanje i izravno nagib krova. Može biti samo oštar, odnosno ležati u rasponu od 0-90 stupnjeva.

Napomena! Vrlo strme padine, čiji je kut veći od 50 stupnjeva, izuzetno su rijetke u svom čistom obliku. Obično se koriste samo za ukrašavanje krovova, mogu biti prisutni na tavanima.

Što se tiče mjerenja kutova krova u stupnjevima, onda je sve jednostavno - svi koji su učili geometriju u školi imaju to znanje. Dovoljno je na papiru skicirati shemu krova i pomoću kutomjera odrediti kut.

Što se tiče postotaka, onda morate znati visinu grebena i širinu zgrade. Prvi pokazatelj se dijeli s drugim, a dobivena vrijednost se množi sa 100%. Tako se može izračunati postotak.

Napomena! Pri postotku od 1, tipični stupanj nagiba je 2,22%. To jest, nagib s kutom od 45 običnih stupnjeva jednak je 100%. A 1 posto je 27 lučnih minuta.

Tablica vrijednosti - stupnjevi, minute, postoci

Koji čimbenici utječu na kut nagiba?

Vrlo utječe na kut nagiba bilo kojeg krova veliki brojčimbenici, u rasponu od želja budućeg vlasnika kuće do regije u kojoj će se kuća nalaziti. Prilikom izračuna važno je uzeti u obzir sve suptilnosti, čak i one koje se na prvi pogled čine beznačajnima. U nekom trenutku oni mogu odigrati svoju ulogu. Odredite odgovarajući kut nagiba krova, znajući:

  • vrste materijala od kojih će se graditi krovna pita, počevši od rešetkastog sustava i završavajući vanjskom završnom obradom;
  • klimatski uvjeti u području (opterećenje vjetrom, prevladavajući smjer vjetra, oborine itd.);
  • oblik buduće zgrade, njegova visina, dizajn;
  • namjena zgrade, mogućnosti korištenja tavanskog prostora.

U onim regijama gdje postoji jako opterećenje vjetrom, preporuča se izgraditi krov s jednim nagibom i malim kutom nagiba. Zatim na jak vjetar vjerojatnije je da će krov stajati i da se neće otkinuti. Ako regiju karakterizira velika količina oborina (snijeg ili kiša), onda je bolje napraviti nagib strmiji - to će omogućiti da se oborina kotrlja / odvodi s krova i ne stvara dodatno opterećenje. Optimalni nagib krovnog krova u vjetrovitim područjima varira između 9-20 stupnjeva, a gdje ima puno padalina - do 60 stupnjeva. Kut od 45 stupnjeva omogućit će vam općenito zanemarivanje opterećenja snijegom, ali u ovom slučaju tlak vjetra na krovu bit će 5 puta veći nego na krovu s nagibom od samo 11 stupnjeva.

Napomena! Što su veći parametri nagiba krova, to će više materijala biti potrebno za njegovu izradu. Trošak se povećava za najmanje 20%.

Kutovi nagiba i krovni materijali

Ne samo klimatskim uvjetima imat će značajan utjecaj na oblik i kut padina. Važnu ulogu igraju materijali koji se koriste za izgradnju, posebno - krovište.

Stol. Optimalni kutovi nagiba za krovove od različitih materijala.

Napomena! Što je niži nagib krova, to je manji nagib korišten za izradu sanduka.

Cijene metalnih pločica

metalna pločica

Visina klizaljke također ovisi o kutu nagiba.

Pri proračunu bilo kojeg krova uvijek se kao smjernica uzima pravokutni trokut, gdje su noge visina nagiba na gornjoj točki, odnosno na grebenu ili prijelazu s donjeg dijela cijelog sustava splavi na vrh. (kod mansardnih krovova), kao i projekcija duljine pojedinog nagiba na horizontalu, koja se prikazuje preklopima. Ovdje je samo jedan konstantno- ovo je duljina krova između dva zida, odnosno duljina raspona. Visina dijela grebena varirat će ovisno o kutu nagiba.

Poznavanje formula iz trigonometrije pomoći će u projektiranju krova: tgA \u003d H / L, sinA = H / S, H \u003d LhtgA, S \u003d H / sinA, gdje je A kut nagiba, H je visina krova do područja sljemena, L je ½ cjelokupne duljine raspona krova (sa zabatnim krovom) ili cijele duljine (u slučaju krovnog krova), S - duljina samog nagiba. Na primjer, ako je poznata točna vrijednost visine dijela grebena, tada se kut nagiba određuje prvom formulom. Kut možete pronaći pomoću tablice tangenti. Ako se izračun temelji na kutu krova, tada možete pronaći parametar visine grebena pomoću treće formule. Duljina rogova, koja ima vrijednost kuta nagiba i parametre nogu, može se izračunati pomoću četvrte formule.

Trokut se naziva pravokutnim ako mu je jedan od kutova 90º. Stranica nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza, a druge dvije katete.

Za pronalaženje kuta u pravokutnom trokutu koriste se neka svojstva pravokutnog trokuta, naime da zbroj oštri kutovi jednak je 90º, a također i činjenica da nasuprot kraka, čija je duljina jednaka polovici hipotenuze, leži kut jednak 30º.

Brza navigacija članaka

Jednakokračan trokut

Jedno od svojstava jednakokračnog trokuta je da su mu dva kuta jednaka. Da biste izračunali vrijednosti kutova pravokutnog jednakokračnog trokuta, morate znati da:

  • Pravi kut je 90º.
  • Vrijednosti oštrih kutova određuju se formulom: (180º-90º)/2=45º, tj. kutovi α i β su 45º.

Ako je poznata vrijednost jednog od oštrih kutova, drugi se može pronaći po formuli: β=180º-90º-α, odnosno α=180º-90º-β. Najčešće se ovaj omjer koristi ako je jedan od kutova 60º ili 30º.

Ključni koncepti

Zbroj unutarnjih kutova trokuta je 180º. Budući da je jedan kut pravi, druga dva će biti oštra. Da biste ih pronašli, morate znati sljedeće:

druge metode

Oštri kutovi pravokutni trokut može se izračunati poznavanjem vrijednosti medijana - crte povučene od vrha do suprotne strane trokuta, i visine - ravne crte, koja je okomica spuštena s pravi kut na hipotenuzu. Neka je s medijan povučen iz pravog kuta na središte hipotenuze, h je visina. U ovom slučaju ispada da:

  • sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
  • cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
  • sinα=h/b; sinβ=h/a.

Dvije strane

Ako su u pravokutnom trokutu poznate duljine hipotenuze i jedne od kateta, odnosno dviju stranica, za pronalaženje vrijednosti oštrih kutova koriste se trigonometrijski identiteti:

  • α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
  • α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
  • α=lukg(a/b), β=lukg(b/a).

Definicija trokuta

Trokut- Ovo je geometrijska figura koja nastaje kao rezultat sjecišta tri segmenta, čiji krajevi ne leže na jednoj ravnoj liniji. Svaki trokut ima tri stranice, tri vrha i tri kuta.

Online kalkulator

Trokuti su razne vrste. Na primjer, postoji jednakostranični trokut (u kojem su sve stranice jednake), jednakokračan (u njemu su dvije stranice jednake) i pravokutni (u kojem je jedan od kutova prav, odnosno jednak 90 stupnjeva ).

Područje trokuta može se pronaći na različite načine, ovisno o tome koji su elementi figure poznati prema uvjetu problema, bilo da se radi o kutovima, duljinama ili, općenito, radijusima krugova povezanih s trokut. Razmotrite svaku metodu zasebno s primjerima.

Formula za površinu trokuta s obzirom na njegovu bazu i visinu

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a a- osnovica trokuta;
h h h- visina trokuta povučena na zadanu osnovicu a.

Primjer

Nađite površinu trokuta ako je poznata duljina njegove baze jednaka 10 (cm) i visina povučena na tu bazu jednaka 5 (cm).

Riješenje

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

Zamijenite formulu za površinu i dobijete:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (vidi kv.)

Odgovor: 25 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta s obzirom na duljine svih stranica

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- duljina stranica trokuta;
str str- polovica zbroja svih stranica trokuta (odnosno polovica opsega trokuta):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 ​ (a +b +c)

Ova formula se zove Heronova formula.

Primjer

Nađite površinu trokuta ako su poznate duljine njegove tri strane, jednake 3 (vidi), 4 (vidi), 5 (vidi).

Riješenje

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

Pronađite polovicu opsega str str:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Tada je, prema Heronovoj formuli, površina trokuta:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (vidi kv.)

Odgovor: 6 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta s jednom stranom i dva kuta

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gama))S=2 a 2 sin(β+γ)grijeh β grijeh γ ,

A a a- duljina stranice trokuta;
β , γ \beta, \gama β , γ - kutovi uz bočnu stranu a a a.

Primjer

Dana je stranica trokuta jednaka 10 (vidi) i dva susjedna kuta od 30 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje

A=10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0

Prema formuli:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\približno 14,4S=2 1 0 2 grijeh (3 0 + 3 0 ) grijeh 3 0 grijeh 3 0 = 5 0 ⋅ 2 3 1 1 4 . 4 (vidi kv.)

Odgovor: 14,4 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom opisane kružnice

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4 Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- stranice trokuta
R R R polumjer je kruga opisanog oko trokuta.

Primjer

Uzimamo brojeve iz našeg drugog problema i dodajemo im radijus R R R krugovi. Neka bude jednako 10 (vidi).

Riješenje

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 = 1 . 5 (vidi kv.)

Odgovor: 1,5 (cm.q)

Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom upisane kružnice

S = p ⋅ r S=p\cdot r

str

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)

a, b, c a, b, c

Primjer

Neka polumjer upisane kružnice bude jednak 2 (vidi). Uzimamo duljine stranica iz prethodnog zadatka.

Riješenje

a=3 a=3

p = 3 + 4 + 5 2 = 6 p=\frac(3+4+5)(2)=6

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12

Odgovor: 12 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta s dvije strane i kutom između njih

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)

b, c b, c

α\alfa

Primjer

Strane trokuta su 5 (vidi) i 6 (vidi), kut između njih je 30 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje

b=5 b=5

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5

Odgovor: 7,5 (vidi kv.)

ANDREJ PROKIP: “MOJA LJUBAV JE RUSKA EKOLOGIJA. U TO TREBA ULOŽATI!”
Od 4. do 5. rujna održana je ekološka tribina "Klimatski oblik gradova". Inicijator organizacije događaja je organizacija C40 koju je 2005. godine utemeljio UN. Glavna zadaća forme i gradova je kontrola klimatske promjene gradovima.
Kao što je praksa pokazala, za razliku od društvenih događanja i "sjednica u noćnim klubovima", zastupnika i javnih osoba bilo je malo. Među onima koji su otkrili zabrinutost ekološka situacija bio je Prokip Adrey Zinovievich. Aktivno je sudjelovao na svim plenarnim sjednicama, zajedno s posebnim izaslanikom predsjednika Ruska Federacija o klimatskim pitanjima Ruslan Edelgeriev, zamjenik gradonačelnika Moskve za stambene i komunalne usluge Petr Biryukov, kao i strani predstavnici - gradonačelnik talijanski grad Savona - Hilario Caprioglio. Sudionici su predstavili svoje projekte te raspravljali o strategijama za zadržavanje porasta globalne temperature, te također predlagali praktična rješenja održivi urbani razvoj.
ANDREJ PROKIP O ŠAŠLIKU, DEPUTU I ZELENOJ GRADNJI
Poseban interes za rusku stranu bio je govor govornika, među kojima su bili europski arhitekti, znanstvenici i gradonačelnik Savone. Tema govora bila je TOP smjer - "zelena gradnja". Kao što je sam Andrei Prokip izjavio, "važno je pravilno preraspodijeliti resurse, kao i uzeti u obzir standarde europske gradnje za takvu metropolu kao što je Moskva. Neophodno je da Rusija na federalnoj razini zauzme kurs prema “zelenom financiranju”, pogotovo jer je to ekonomski izvedivo i, kako pokazuje praksa, isplativo.” Također je izrazio zabrinutost zbog pogoršanja zdravlja Rusa u vezi s ekološkim katastrofama i nepoštivanjem ekoloških standarda za odlaganje otpada od strane velikih i malih industrijska poduzeća". Također je potvrdio svoje strahove zahvaljujući govoru Francesca Zambona, profesora WHO-a Europskog ureda za ulaganja u zdravstvo.
Sa svojstvenim humorom Andrey se obratio poznatim osobama koje su bile pozvane na forum, ali se nikada nisu pojavile, s pozivom “da se sjete prirode, ne samo kad žele roštiljati ili ići u ribolov. Uostalom, upravo o dobrohotnosti prirode ovisi zdravlje cijeloga naroda, što nažalost uključuje i njih same.
Osim strastvenih govora o novoj "ljubavnici-prirodi" Andreja Zinovjeviča i važnosti preuzimanja odgovornosti za okoliš Značajan događaj tribine bila je plenarna sjednica na temu „Kako odgojiti novu generaciju“. Sudionici foruma bili su jednoglasni u mišljenju da je potrebno educirati ne samo djecu, već i odrasle generacije. Vrlo je važno odgajati odgovornost prema prirodi u svakodnevnom ponašanju, kao iu poslovanju.
Za Moskvu će biti pokrenut poseban projekt “Učiti živjeti civilizirano”. Ovo je edukativni projekt za sve segmente stanovništva i dobne kategorije. No koliko god teorija i dobre namjere bile divne, za Rusiju je još uvijek aktualna izreka “dok pečeni pijetao ne kljucne, budala se neće prekrstiti”.
Prema Timothyju Netteru, poznatom kazališnom redatelju, umjetnost može promijeniti sve. U jednom od svojih govora govorio je o tome kako ideju očuvanja prirode treba prezentirati u kazalištu i filmu te koliko je važno kroz umjetnost educirati ljude da budu odgovorni za ono što će se nama i prirodi dogoditi sutra.
Pozornost rentv operatera i Andreja Prokirpa privukli su studenti Ruska sveučilišta, predstavljajući projekt ekološki prihvatljive tehnologije proizvodnje spremnika otpornih na vlagu i temperaturu. Ovo je vrlo stvarni problem, budući da se u svijetu donose zakoni protiv plastičnih posuda, koje se, inače, razgrađuju više od 30 godina, zagađuju tlo i uzrokuju uginuće životinja.
Inspirativno je da je Moskva jedan od 94 grada koji sudjeluju u organizaciji C40 i da se već treći put održava forum koji svake godine privlači pozornost sve više poznatih ličnosti i građana.

Pravokutni trokut nalazi se u stvarnosti na gotovo svakom uglu. Poznavanje svojstava ove figure, kao i sposobnost izračunavanja njezine površine, nesumnjivo će vam biti od koristi ne samo za rješavanje problema u geometriji, već iu životnim situacijama.

geometrija trokuta

U elementarnoj geometriji, pravokutni trokut je lik koji se sastoji od tri spojena segmenta koji tvore tri kuta (dva šiljasta i jedan ravni). Pravokutni trokut je izvorna figura, karakterizirana nizom važnih svojstava koja čine temelj trigonometrije. Za razliku od običnog trokuta, stranice pravokutne figure imaju svoja imena:

  • Hipotenuza je najduža stranica trokuta koja leži nasuprot pravog kuta.
  • Noge - segmenti koji tvore pravi kut. Ovisno o kutu koji se razmatra, noga može biti uz njega (tvoreći ovaj kut s hipotenuzom) ili suprotna (ležeći nasuprot kutu). Ne postoje noge za trokute koji nisu pravokutni.

Omjer kateta i hipotenuze čini osnovu trigonometrije: sinusi, tangenti i sekanti definirani su kao omjer stranica pravokutnog trokuta.

Pravokutni trokut u stvarnosti

Ova brojka se često koristi u stvarnosti. Trokuti se koriste u dizajnu i tehnologiji, tako da izračunavanje površine figure moraju napraviti inženjeri, arhitekti i dizajneri. Osnove tetraedra ili prizmi imaju oblik trokuta - trodimenzionalne figure koje je lako susresti u svakodnevnom životu. Osim toga, kvadrat je najjednostavniji prikaz "ravnog" pravokutnog trokuta u stvarnosti. Kvadrat je bravarski, crtački, konstruktorski i stolarski alat kojim zidaju kutove i školarci i inženjeri.

Površina trokuta

Kvadrat geometrijski lik- ovo je kvantifikacija koliki je dio ravnine omeđen stranicama trokuta. Područje običnog trokuta može se pronaći na pet načina, koristeći Heronovu formulu ili radeći u izračunima s takvim varijablama kao što su baza, strana, kut i polumjer upisane ili opisane kružnice. Najviše jednostavna formula površina se izražava kao:

gdje je a stranica trokuta, h njegova visina.

Formula za izračunavanje površine pravokutnog trokuta je još jednostavnija:

gdje su a i b noge.

Radeći s našim online kalkulatorom, možete izračunati površinu trokuta pomoću tri para parametara:

  • dvije noge;
  • krak i susjedni kut;
  • krak i suprotni kut.

U zadacima ili svakodnevnim situacijama dobit ćete različite kombinacije varijabli, tako da ovaj oblik kalkulatora omogućuje izračunavanje površine trokuta na nekoliko načina. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Keramička pločica

Recimo da zidove kuhinje želite obložiti keramičkim pločicama koje imaju oblik pravokutnog trokuta. Da biste odredili potrošnju pločica, morate saznati površinu pojedinog elementa obloge i ukupnu površinu površine koja se obrađuje. Neka trebate obraditi 7 četvornih metara. Duljina nogu jednog elementa je 19 cm svaka, tada će površina pločice biti jednaka:

To znači da je površina jednog elementa 24,5 četvornih centimetara ili 0,01805 četvornih metara. Znajući ove parametre, možete izračunati da će vam za završetak 7 četvornih metara zida trebati 7 / 0,01805 = 387 obloženih pločica.

školski zadatak

Pustiti unutra školski zadatak u geometriji je potrebno pronaći područje pravokutnog trokuta, znajući samo da je stranica jedne noge 5 cm, a vrijednost suprotnog kuta 30 stupnjeva. Naš online kalkulator prati ilustracija koja prikazuje stranice i kutove pravokutnog trokuta. Ako je stranica a = 5 cm, tada je njezin suprotni kut kut alfa, jednak 30 stupnjeva. Unesite ove podatke u obrazac kalkulatora i dobijte rezultat:

Dakle, kalkulator ne samo da izračunava površinu zadanog trokuta, već također određuje duljinu susjedne noge i hipotenuze, kao i vrijednost drugog kuta.

Zaključak

Pravokutni trokuti nalaze se u našim životima doslovno na svakom uglu. Određivanje područja takvih figura bit će vam korisno ne samo pri rješavanju školskih zadataka iz geometrije, već iu svakodnevnim i profesionalnim aktivnostima.