Kao što su u euklidskoj geometriji točka i pravac glavni elementi teorije ravnina, tako je i paralelogram jedan od ključne osobe konveksni četverokuti. Iz njega, poput niti iz lopte, teku pojmovi "pravokutnik", "kvadrat", "romb" i druge geometrijske veličine.
U kontaktu s
Definicija paralelograma
konveksni četverokut, koji se sastoji od segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.
Kako izgleda klasični paralelogram je četverokut ABCD. Stranice se nazivaju bazama (AB, BC, CD i AD), okomica povučena iz bilo kojeg vrha na suprotnu stranu tog vrha naziva se visina (BE i BF), pravci AC i BD su dijagonale.
Pažnja! Kvadrat, romb i pravokutnik su posebni slučajevi paralelograma.
Stranice i kutovi: značajke omjera
Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određena samom oznakom, dokazuju se teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:
- Suprotne strane su identične u parovima.
- Kutovi koji su međusobno nasuprotni jednaki su u parovima.
Dokaz: razmotrimo ∆ABC i ∆ADC koji se dobiju dijeljenjem četverokuta ABCD s pravcem AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, budući da im je AC zajednički (okomiti kutovi za BC||AD odnosno AB||CD). Iz toga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi kriterij jednakosti trokuta).
Dužci AB i BC u ∆ABC odgovaraju u parovima pravcima CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Kako je ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su također identični u parovima, onda je ∠A = ∠C. Svojstvo je dokazano.
Karakteristike dijagonala figure
Glavna značajka ove paralelogramske linije: sjecište ih raspolavlja.
Dokaz: neka je m. E sjecište dijagonala AC i BD lika ABCD. Oni tvore dva sumjerljiva trokuta - ∆ABE i ∆CDE.
AB=CD jer su suprotni. Prema pravcima i sekantima je ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.
Prema drugom znaku jednakosti je ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i, štoviše, sumjerljivi su dijelovi AC i BD. Svojstvo je dokazano.
Značajke susjednih uglova
Na susjednim stranicama zbroj kutova je 180° jer su na istoj strani paralelne linije i sekante. Za četverokut ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Svojstva simetrale:
- , oborene na jednu stranu, okomite su;
- nasuprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
- trokut dobiven povlačenjem simetrale bit će jednakokračan.
Određivanje karakterističnih obilježja paralelograma pomoću teorema
Značajke ove figure proizlaze iz njenog glavnog teorema, koji glasi kako slijedi: četverokut se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ta ih točka dijeli na jednake segmente.
Dokaz: Neka se pravci AC i BD četverokuta ABCD sijeku u t.E. Kako je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (po prvom znaku jednakosti trokuta). Odnosno, ∠EAD = ∠ECB. Oni su također unutarnji kutovi križanja sekante AC za pravce AD i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || PRIJE KRISTA. Također se izvodi slično svojstvo pravaca BC i CD. Teorem je dokazan.
Izračunavanje površine figure
Područje ove figure naći na nekoliko načina jedan od najjednostavnijih: množenje visine i baze na koju je povučena.
Dokaz: Povucite okomice BE i CF iz vrhova B i C. ∆ABE i ∆DCF su jednake jer je AB = CD i BE = CF. ABCD je jednak pravokutniku EBCF, jer se i oni sastoje od razmjernih likova: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz ovoga slijedi da je područje ovog geometrijski lik nalazi se na isti način kao i pravokutnik:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Za određivanje opća formula područje paralelograma, označite visinu kao hb, i sa strane b. Odnosno:
Drugi načini za pronalaženje područja
Izračuni površina kroz stranice paralelograma i kut, koji oni tvore, druga je poznata metoda.
,
Spr-ma - područje;
a i b su njegove stranice
α - kut između odsječaka a i b.
Ova se metoda praktički temelji na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek odsiječe pravokutni trokut, čiji su parametri trigonometrijski identiteti, to je . Transformacijom omjera dobivamo . U jednadžbi prve metode visinu zamijenimo ovim umnoškom i dobijemo dokaz valjanosti ove formule.
Kroz dijagonale paralelograma i ugla, koje stvaraju kada se sijeku, također možete pronaći područje.
Dokaz: AC i BD koji se sijeku tvore četiri trokuta: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbroj jednak je površini ovog četverokuta.
Površina svakog od ovih ∆ može se pronaći iz izraza , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Budući da je , tada se u izračunima koristi jedna vrijednost sinusa. To je . Budući da je AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2 , formula površine se svodi na:
.
Primjena u vektorskoj algebri
Značajke sastavnih dijelova ovog četverokuta našle su primjenu u vektorskoj algebri, naime: zbrajanje dvaju vektora. Pravilo paralelograma kaže da ako su dati vektoriinesu kolinearni, tada će njihov zbroj biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.
Dokaz: iz proizvoljno odabranog početka – tj. - gradimo vektore i . Zatim gradimo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili sumi.
Formule za izračunavanje parametara paralelograma
Identiteti se daju pod sljedećim uvjetima:
- a i b, α - stranice i kut između njih;
- d 1 i d 2 , γ - dijagonale i u točki njihova sjecišta;
- h a i h b - visine spuštene na stranice a i b;
| Parametar | Formula |
| Pronalaženje strana | |
| uz dijagonale i kosinus kuta između njih | 
|
| dijagonalno i bočno | 
|
| kroz visinu i suprotni vrh | |
| Određivanje duljina dijagonala | |
| na stranama i veličini vrha između njih | |
| duž stranica i jedne od dijagonala | 
ZaključakParalelogram, kao jedna od ključnih figura geometrije, koristi se u životu, na primjer, u građevinarstvu pri izračunavanju površine mjesta ili drugih mjerenja. Stoga znanje o razlikovnim značajkama i metodama za izračunavanje njegovih različitih parametara može biti korisno u bilo kojem trenutku u životu. |
Prilikom rješavanja problema na ovu temu, pored osnovna svojstva paralelogram i odgovarajuće formule, možete zapamtiti i primijeniti sljedeće:
- Simetrala unutarnjeg kuta paralelograma odsijeca od njega jednakokračni trokut
- Simetrale unutarnjih kutova uz jednu od stranica paralelograma međusobno su okomite.
- Simetrale koje dolaze iz suprotnih unutarnjih kutova paralelograma, međusobno su paralelne ili leže na jednoj ravnoj crti
- Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica
- Površina paralelograma je polovica umnoška dijagonala puta sinusa kuta između njih.
Razmotrimo zadatke u čijem se rješavanju koriste ova svojstva.
Zadatak 1.
Simetrala kuta C paralelograma ABCD siječe stranicu AD u točki M i produžetak stranice AB izvan točke A u točki E. Odredi opseg paralelograma ako je AE = 4, DM = 3.
Riješenje.
1. Trokut CMD jednakokračan. (Svojstvo 1). Dakle, CD = MD = 3 cm.
2. Trokut EAM je jednakokračan.
Dakle, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Opseg ABCD = 20 cm.
Odgovor. 20 cm
Zadatak 2.
U konveksnom četverokutu ABCD nacrtane su dijagonale. Poznato je da su površine trokuta ABD, ACD, BCD jednake. Dokažite da je zadani četverokut paralelogram.
Riješenje.
1. Neka je BE visina trokuta ABD, CF visina trokuta ACD. Kako su prema uvjetu zadatka površine trokuta jednake i imaju zajedničku osnovicu AD, tada su i visine tih trokuta jednake. BE = CF.
2. BE, CF su okomite na AD. Točke B i C nalaze se s iste strane pravca AD. BE = CF. Prema tome, pravac BC || OGLAS. (*)
3. Neka je AL visina trokuta ACD, BK visina trokuta BCD. Kako su prema uvjetu zadatka površine trokuta jednake i imaju zajedničku osnovicu CD, tada su i visine tih trokuta jednake. AL = BK.
4. AL i BK su okomiti na CD. Točke B i A nalaze se na istoj strani pravca CD. AL = BK. Prema tome, pravac AB || CD (**)
5. Uvjeti (*), (**) znače da je ABCD paralelogram.
Odgovor. dokazano. ABCD je paralelogram.
Zadatak 3.
Na stranicama BC i CD paralelograma ABCD označene su točke M odnosno H tako da se duži BM i HD sijeku u točki O;<ВМD = 95 о,
Riješenje.
1. U trokutu DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. U pravokutnom trokutu DHC Zatim<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ali CD = AB. Tada je AB:HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Odgovor: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Zadatak 4. Jedna od dijagonala paralelograma duljine 4√6 zatvara s osnovicom kut od 60°, a druga dijagonala s istom osnovicom zatvara kut od 45°. Pronađite drugu dijagonalu. Riješenje.
1. AO = 2√6. 2. Primijenite sinusni teorem na trokut AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Odgovor: 12.
Zadatak 5. Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji kut između dijagonala jednak je manjem kutu paralelograma. Nađi zbroj duljina dijagonala. Riješenje.
Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a kut između dijagonala i manjeg kuta paralelograma je φ. 1. Nabrojimo dvije različite S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Dobivamo jednakost 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ili 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Omjerom stranica i dijagonala paralelograma zapisujemo jednakost (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Napravimo sustav: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Pomnožite drugu jednadžbu sustava s 2 i dodajte je prvoj. Dobivamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Stoga je Id 1 + d 2 I = 24. Kako su d 1, d 2 duljine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24. Odgovor: 24.
Zadatak 6. Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštri kut između dijagonala je 45o. Pronađite površinu paralelograma. Riješenje.
1. Iz trokuta AOB pomoću kosinusnog poučka ispisujemo odnos stranice paralelograma i dijagonala. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Slično pišemo relaciju za trokut AOD. To uzimamo u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Dobivamo jednadžbu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Imamo sustav Oduzimanjem prve od druge jednadžbe dobivamo 2d 1 d 2 √2 = 80 odn. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Bilješka: U ovom i u prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sustav u potpunosti, s obzirom da nam je u ovom zadatku potreban umnožak dijagonala za izračunavanje površine. Odgovor: 10. Zadatak 7. Površina paralelograma je 96, a stranice su mu 8 i 15. Odredite kvadrat manje dijagonale. Riješenje.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Napravimo zamjenu u formuli. Dobivamo 96 = 8 15 sin VAD. Stoga je sin VAD = 4/5. 2. Nađi cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 LOŠE = 1. cos 2 LOŠE = 9/25. Prema uvjetu zadatka nalazimo duljinu manje dijagonale. Dijagonala BD će biti manja ako je kut BAD oštar. Tada je cos BAD = 3/5. 3. Iz trokuta ABD pomoću kosinusnog poučka nalazimo kvadrat dijagonale BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. VD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Odgovor: 145.
Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti geometrijski problem? stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor. Paralelogram - geometrijski lik, koji se često nalazi u zadacima kolegija geometrije (odjeljak planimetrije). Ključne značajke ovog četverokuta su jednakost suprotnih kutova i prisutnost dva para paralelnih suprotnih strana. Posebni slučajevi paralelograma su romb, pravokutnik, kvadrat. Izračun površine ove vrste poligona može se izvršiti na nekoliko načina. Razmotrimo svaki od njih. Da biste izračunali površinu paralelograma, možete koristiti vrijednosti njegove strane, kao i duljinu visine spuštene na nju. U tom će slučaju dobiveni podaci biti pouzdani kako za poznatu stranu - bazu figure, tako i ako imate na raspolaganju stranu figure. U ovom slučaju, željena vrijednost će se dobiti formulom: S = a * h(a) = b * h(b), Primjer: vrijednost baze paralelograma je 7 cm, duljina okomice spuštene na nju iz suprotnog vrha je 3 cm. Rješenje: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21. Razmotrite slučaj kada znate veličinu dviju strana figure, kao i stupanj kuta koji one međusobno tvore. Navedeni podaci također se mogu koristiti za pronalaženje površine paralelograma. U ovom slučaju izraz formule će izgledati ovako: S = a * c * sinα = a * c * sinβ, Primjer: osnovica paralelograma je 10 cm, stranica mu je 4 cm manja. Tupi kut figure je 135°. Rješenje: odredite vrijednost druge strane: 10 - 4 \u003d 6 cm. S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2. Prisutnost poznatih vrijednosti dijagonala određenog poligona, kao i kut koji oni formiraju kao rezultat njihovog sjecišta, omogućuje vam određivanje površine figure. S = (d1*d2)/2*sinγ, S je područje koje treba odrediti, Prije nego naučimo kako pronaći površinu paralelograma, moramo se sjetiti što je paralelogram i što se zove njegova visina. Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice po parovima paralelne (leže na paralelnim pravcima). Okomica povučena iz proizvoljne točke na suprotnoj strani na pravac koji sadrži tu stranicu naziva se visina paralelograma. Kvadrat, pravokutnik i romb su posebni slučajevi paralelograma. Površina paralelograma je označena kao (S). S=a*h, gdje je a baza, h je visina koja je povučena na bazu. S=a*b*sinα, gdje su a i b baze, a α kut između baza a i b. S \u003d p * r, gdje je p polu-perimetar, r je polumjer kruga koji je upisan u paralelogram. Površina paralelograma koji čine vektori a i b jednaka je modulu umnoška zadanih vektora, i to: Razmotrite primjer broj 1: Dan je paralelogram čija je stranica 7 cm, a visina 3 cm Kako pronaći površinu paralelograma, potrebna nam je formula za rješavanje. Dakle, S= 7x3. S=21. Odgovor: 21 cm 2. Razmotrimo primjer br. 2: Osnovice su 6 i 7 cm, a kut između osnovki je 60 stupnjeva. Kako pronaći površinu paralelograma? Formula koja se koristi za rješavanje: Dakle, prvo nalazimo sinus kuta. Sinus 60 \u003d 0,5, odnosno S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Odgovor: 21 cm 2. Nadam se da će vam ovi primjeri pomoći u rješavanju problema. I zapamtite, glavna stvar je poznavanje formula i pažljivost Paralelogram je četverokut čije su stranice po par paralelne. Na ovoj slici su suprotne stranice i kutovi međusobno jednaki. Dijagonale paralelograma sijeku se u jednoj točki i dijele ga na pola. Formule površine paralelograma omogućuju vam da pronađete vrijednost kroz stranice, visinu i dijagonale. Paralelogram se također može prikazati u posebnim slučajevima. Smatraju se pravokutnikom, kvadratom i rombom. Ovaj slučaj se smatra klasičnim i ne zahtijeva daljnju istragu. Bolje je razmotriti formulu za izračunavanje površine kroz dvije strane i kut između njih. U izračunu se koristi ista metoda. Ako su zadane stranice i kut između njih, površina se izračunava na sljedeći način: Pretpostavimo da nam je dan paralelogram sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm Kut između njih je α = 30°. Pronađimo područje: Razmotrite primjer izračuna površine paralelograma kroz dijagonale. Neka je zadan paralelogram dijagonala D = 7 cm, d = 5 cm Kut između njih je α = 30°. Zamijenite podatke u formuli: Poznavajući formulu za područje paralelograma u smislu dijagonale, možete riješiti mnoge zanimljive probleme. Pogledajmo jednu od njih.
(
(Budući da je u pravokutnom trokutu krak koji leži nasuprot kutu od 30 o jednak polovici hipotenuze).
načina svog područja.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Za pomoć mentora - prijavite se.
Prvi sat je besplatan!
Odredite površinu paralelograma ako su poznate stranica i visina
Odredite površinu paralelograma ako su poznate 2 stranice i kut između njih
Odredite površinu paralelograma ako su poznate dijagonale i kut između njih
S = (d1*d2)/2*sinφ,
d1, d2 su poznate (ili izračunate) dijagonale,
γ, φ su kutovi između dijagonala d1 i d2.Formule za pronalaženje površine paralelograma
Prvo, razmotrimo primjer izračuna površine paralelograma po visini i strani na koju je spušten.
Površina paralelograma u smislu dijagonala
Formula za područje paralelograma u smislu dijagonala omogućuje vam brzo pronalaženje vrijednosti.
Za izračune potrebna vam je vrijednost kuta koji se nalazi između dijagonala.
Primjer izračuna površine paralelograma kroz dijagonalu dao nam je izvrstan rezultat - 8,75.
Zadatak: Dat je paralelogram površine 92 m2. vidi Točka F nalazi se na sredini njegove stranice BC. Nađimo područje trapeza ADFB, koji će ležati u našem paralelogramu. Za početak nacrtajmo sve što smo dobili prema uvjetima.
Idemo do rješenja: 
Prema našim uvjetima, ah \u003d 92, i prema tome, površina našeg trapeza bit će jednaka 
