Više na jednostavan način. Da biste to učinili, izvadite z iz zagrada. Dobivate: z(az + b) = 0. Faktori se mogu napisati: z=0 i az + b = 0, budući da oba mogu rezultirati nulom. U zapisu az + b = 0 drugu pomičemo udesno s drugim predznakom. Odavde dobivamo z1 = 0 i z2 = -b/a. Ovo su korijeni originala.

Ako ima nepotpuna jednadžba oblika az² + c = 0, u ovom slučaju nalaze se jednostavnim prijenosom slobodnog člana na desna strana jednadžbe. Također promijenite njegov predznak. Dobivate zapis az² \u003d -s. Izrazite z² = -c/a. Izvadite korijen i zapišite dva rješenja - pozitivnu i negativnu vrijednost kvadratnog korijena.

Bilješka

Ako u jednadžbi postoje frakcijski koeficijenti, pomnožite cijelu jednadžbu s odgovarajućim faktorom kako biste se riješili razlomaka.

Znati riješiti kvadratne jednadžbe potrebno je i školarcima i studentima, ponekad može pomoći odrasloj osobi u svakodnevnom životu. Postoji nekoliko specifičnih metoda odlučivanja.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba oblika a*x^2+b*x+c=0. Koeficijent x je željena varijabla, a, b, c - numerički koeficijenti. Zapamtite da se znak "+" može promijeniti u znak "-".

Kako biste riješili ovu jednadžbu, morate upotrijebiti Vietin teorem ili pronaći diskriminant. Najčešći način je pronaći diskriminant, jer za neke vrijednosti a, b, c nije moguće koristiti Vieta teorem.

Da biste pronašli diskriminant (D), morate napisati formulu D=b^2 - 4*a*c. Vrijednost D može biti veća, manja ili jednaka nuli. Ako je D veći ili manji od nule, tada će biti dva korijena, ako je D = 0, onda ostaje samo jedan korijen, točnije, možemo reći da D u ovom slučaju ima dva ekvivalentna korijena. Zamijenite poznate koeficijente a, b, c u formulu i izračunajte vrijednost.

Nakon što ste pronašli diskriminant, za pronalaženje x koristite formule: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a gdje je sqrt funkcija za vađenje kvadratnog korijena zadanog broja. Nakon izračuna ovih izraza, pronaći ćete dva korijena svoje jednadžbe, nakon čega se jednadžba smatra riješenom.

Ako je D manji od nule, tada još uvijek ima korijene. U školi se ovaj dio praktički ne proučava. Studenti trebaju biti svjesni da se ispod korijena pojavljuje negativan broj. Njega se rješavamo odvajanjem imaginarnog dijela, odnosno -1 ispod korijena uvijek je jednako imaginarnom elementu "i" koji se množi s korijenom s istim pozitivnim brojem. Na primjer, ako je D=sqrt(-20), nakon transformacije se dobiva D=sqrt(20)*i. Nakon ove transformacije, rješenje jednadžbe se svodi na isto pronalaženje korijena, kao što je gore opisano.

Vietin teorem sastoji se u izboru x(1) i x(2) vrijednosti. Koriste se dvije identične jednadžbe: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Štoviše, vrlo važna točka je predznak ispred koeficijenta b, zapamtite da je taj predznak suprotan od onoga u jednadžbi. Na prvi pogled se čini da je izračunavanje x(1) i x(2) vrlo jednostavno, no pri rješavanju ćete se susresti s činjenicom da će brojeve morati točno odabrati.

Elementi za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Prema pravilima matematike, neki se mogu rastaviti na faktore: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, ako ste uspjeli pretvoriti pomoću matematičkih formula Na sličan način ovu kvadratnu jednadžbu, onda slobodno zapišite odgovor. x(1) i x(2) bit će jednaki susjednim koeficijentima u zagradama, ali sa suprotnim predznakom.

Također, ne zaboravite na nepotpune kvadratne jednadžbe. Možda vam nedostaju neki od članova, ako je tako, onda su svi njegovi koeficijenti jednostavno jednaki nuli. Ako x^2 ili x ništa ne prethodi, tada su koeficijenti a i b jednaki 1.

Transformacija potpune kvadratne jednadžbe u nepotpunu izgleda ovako (za slučaj \(b=0\)):

Za slučajeve kada je \(c=0\) ili kada su oba koeficijenta jednaka nuli, sve je slično.

Imajte na umu da \(a\) nije jednako nuli, ne može biti jednako nuli, jer se u ovom slučaju pretvara u:

Rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Prije svega, morate shvatiti da je nepotpuna kvadratna jednadžba i dalje, stoga se može riješiti na isti način kao i uobičajena kvadratna (kroz). Da bismo to učinili, jednostavno dodamo komponentu koja nedostaje jednadžbe s nultim koeficijentom.

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(3x^2-27=0\)
Riješenje :

		Imamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu s koeficijentom \(b=0\). Odnosno, jednadžbu možemo napisati u sljedećem obliku:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Zapravo, ovdje je ista jednadžba kao na početku, ali sada se može riješiti kao obični kvadrat. Prvo zapišemo koeficijente.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Izračunajte diskriminant pomoću formule \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Nađimo korijene jednadžbe pomoću formula \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) i \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapiši odgovor

Odgovor : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(-x^2+x=0\)
Riješenje :

		Opet, nepotpuna kvadratna jednadžba, ali sada je koeficijent \(c\) jednak nuli. Jednadžbu pišemo kao potpunu.

Bibliografski opis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi // Mladi znanstvenik. 2016. №6.1. S. 17-20..02.2019).



Naš projekt posvećen je načinima rješavanja kvadratnih jednadžbi. Svrha projekta: naučiti rješavati kvadratne jednadžbe na načine koji nisu uključeni u školski program. Zadatak: pronađite sve moguće načine rješavanja kvadratnih jednadžbi i naučite ih sami koristiti te upoznajte kolege iz razreda s tim metodama.

Što su "kvadratne jednadžbe"?

Kvadratna jednadžba - jednadžba oblika sjekira2 + bx + c = 0, gdje a, b, c- neki brojevi ( a ≠ 0), x- nepoznato.

Brojeve a, b, c nazivamo koeficijentima kvadratne jednadžbe.

• a se zove prvi koeficijent;
• b se naziva drugi koeficijent;
• c - slobodan član.

A tko je prvi "izmislio" kvadratne jednadžbe?

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednadžbi bile su poznate još prije 4000 godina u starom Babilonu. Pronađene drevne babilonske glinene pločice, datirane negdje između 1800. i 1600. godine prije Krista, najraniji su dokaz proučavanja kvadratnih jednadžbi. Iste ploče sadrže metode za rješavanje određenih vrsta kvadratnih jednadžbi.

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje područja kopna i zemljanih radova vojne prirode, kao i razvojem astronomije i sama matematika.

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni. Usprkos visoka razina razvojem algebre u Babilonu, u klinastim tekstovima nema koncepta negativnog broja i općih metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Babilonski matematičari iz otprilike 4. stoljeća pr. koristio metodu kvadratnog komplementa za rješavanje jednadžbi s pozitivnim korijenima. Oko 300. godine pr. Euklid je došao do općenitije metode geometrijskog rješenja. Prvi matematičar koji je pronašao rješenja jednadžbe s negativnim korijenima u obliku algebarske formule bio je indijski znanstvenik. Brahmagupta(Indija, 7. stoljeće nove ere).

Brahmagupta je skicirao opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ax2 + bx = c, a>0

U ovoj jednadžbi koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptina vladavina u biti se podudara s našom.

U Indiji su javna natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem nadmašuje zvijezde, tako znanstvenik čovjek eclipse slavu u narodnim skupovima, nudeći i rješavajući algebarske probleme. Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

U algebarskoj raspravi Al-Khwarizmi dana je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi izražavajući ih na sljedeći način:

1) “Kvadrati su jednaki korijenima”, tj. ax2 = bx.

2) “Kvadrati su jednaki broju”, tj. ax2 = c.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ax2 = c.

4) “Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima”, tj. ax2 + c = bx.

5) “Kvadrati i korijeni su jednaki broju”, tj. ax2 + bx = c.

6) “Korijeni i brojevi jednaki su kvadratima”, tj. bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao upotrebu negativni brojevi, članovi svake od ovih jednadžbi su članovi, a ne oduzimaci. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednadžbi, koristeći metode al-jabra i al-muqabele. Njegova se odluka, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo činjenicu da je čisto retoričko, treba primijetiti, na primjer, da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa, Al-Khwarizmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulu rješenje, vjerojatno zato što u konkretnim praktičnim zadacima to nije bitno. Prilikom rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim njihove geometrijske dokaze.

Obrasci za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu Al-Khwarizmija u Europi su prvi put opisani u "Knjizi o abakusu", napisanoj 1202. godine. talijanski matematičar Leonard Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja zadataka i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova je knjiga pridonijela širenju algebarskih znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi su zadaci iz ove knjige preneseni u gotovo sve europske udžbenike 14.-17. stoljeća. Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bx = c sa svim mogućim kombinacijama predznaka i koeficijenata b, c, formulirano je u Europi 1544. godine. M. Stiefel.

Izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opći pogled Viet ima, ali Viet je priznavao samo pozitivne korijene. talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima u 16.st. uzeti u obzir, osim pozitivnih, i negativni korijeni. Tek u XVII stoljeću. zahvaljujući radu Girard, Descartes, Newton i drugih znanstvenika, način rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima suvremeni oblik.

Razmotrite nekoliko načina rješavanja kvadratnih jednadžbi.

Standardni načini rješavanja kvadratnih jednadžbi iz školski plan i program:

1. Faktorizacija lijeve strane jednadžbe.
2. Metoda odabira punog kvadrata.
3. Rješavanje kvadratnih jednadžbi formulom.
4. Grafičko rješenje kvadratna jednadžba.
5. Rješenje jednadžbi pomoću Vietaovog teorema.

Zadržimo se detaljnije na rješavanju reduciranih i nereduciranih kvadratnih jednadžbi pomoću Vieta teorema.

Podsjetimo se da je za rješavanje gornjih kvadratnih jednadžbi dovoljno pronaći dva broja takva da je umnožak jednak slobodnom članu, a zbroj drugom koeficijentu suprotnog predznaka.

Primjer.x 2 -5x+6=0

Trebate pronaći brojeve čiji je umnožak 6, a zbroj 5. Ti će brojevi biti 3 i 2.

Odgovor: x 1 =2,x 2 =3.

Ali ovu metodu možete koristiti za jednadžbe s prvim koeficijentom koji nije jednak jedan.

Primjer.3x 2 +2x-5=0

Uzimamo prvi koeficijent i množimo ga slobodnim članom: x 2 +2x-15=0

Korijeni ove jednadžbe bit će brojevi čiji je umnožak - 15, a zbroj - 2. Ti brojevi su 5 i 3. Da bismo pronašli korijene izvorne jednadžbe, dobivene korijene podijelimo s prvim koeficijentom.

Odgovor: x 1 = -5/3, x 2 =1

6. Rješavanje jednadžbi metodom "transfera".

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu ax 2 + bx + c = 0, gdje je a≠0.

Množenjem oba njegova dijela s a dobivamo jednadžbu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Neka je ax = y, odakle je x = y/a; tada dolazimo do jednadžbe y 2 + by + ac = 0 koja je ekvivalentna zadanoj. Njegove korijene u 1 i 2 nalazimo pomoću Vieta teorema.

Na kraju dobivamo x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Ovom metodom koeficijent a se množi sa slobodnim članom, kao da se "prenosi" na njega, stoga se naziva metoda "prijenosa". Ova se metoda koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe pomoću Vietinog teorema i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan kvadrat.

Primjer.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Prebacimo" koeficijent 2 na slobodni član i zamjenom dobijemo jednadžbu y 2 - 11y + 30 = 0.

Prema Vietinom inverznom teoremu

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odgovor: x 1 =2,5; x 2 = 3.

7. Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe.

Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Ako je a + b + c \u003d 0 (tj. zbroj koeficijenata jednadžbe jednak nuli), tada je x 1 \u003d 1.

2. Ako je a - b + c \u003d 0, ili b \u003d a + c, tada je x 1 \u003d - 1.

Primjer.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Budući da je a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), tada je x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odgovor: x 1 =1; x 2 = -208/345 .

Primjer.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jer a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), zatim x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Odgovor: x 1 = - 1; x 2 =- 115/132

Postoje i druga svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe. ali je njihova uporaba kompliciranija.

8. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma.

Slika 1. Nomogram

Ovo je stara i trenutno zaboravljena metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi, stavljena na str.83 zbirke: Bradis V.M. Četveroznamenkaste matematičke tablice. - M., Obrazovanje, 1990.

Tablica XXII. Nomogram za rješavanje jednadžbi z2 + pz + q = 0. Ovaj nomogram omogućuje, bez rješavanja kvadratne jednadžbe, određivanje korijena jednadžbe pomoću njezinih koeficijenata.

Krivocrtna ljestvica nomograma izgrađena je prema formulama (slika 1):

Pretpostavljajući OS = p, ED = q, OE = a(sve u cm), sa sl. 1 sličnost trokuta SAN i CDF dobijemo proporciju

odakle, nakon zamjena i pojednostavljenja, slijedi jednadžba z 2 + pz + q = 0, i pismo z označava oznaku bilo koje točke na zakrivljenoj skali.

Riža. 2 Rješavanje kvadratne jednadžbe pomoću nomograma

Primjeri.

1) Za jednadžbu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje korijene z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odgovor: 8,0; 1.0.

2) Riješite jednadžbu pomoću nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podijelimo koeficijente ove jednadžbe s 2, dobit ćemo jednadžbu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odgovor: 4; 0,5.

9. Geometrijska metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi.

Primjer.x 2 + 10x = 39.

U izvorniku je ovaj problem formuliran na sljedeći način: "Kvadrat i deset korijena jednaki su 39."

Razmotrite kvadrat sa stranom x, pravokutnici su izgrađeni na njegovim stranama tako da je druga strana svakog od njih 2,5, dakle, površina svakog je 2,5x. Dobivena figura se zatim nadopunjuje u novi kvadrat ABCD, dovršavajući četiri jednaka kvadrata u kutovima, stranica svakog od njih je 2,5, a površina je 6,25

Riža. 3 Grafički način rješenje jednadžbe x 2 + 10x = 39

Površina S kvadrata ABCD može se prikazati kao zbroj površina: izvornog kvadrata x 2, četiri pravokutnika (4∙2,5x = 10x) i četiri pridružena kvadrata (6,25∙4 = 25), tj. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Zamjenom x 2 + 10x s brojem 39 dobivamo da je S = 39 + 25 \u003d 64, što implicira da je stranica kvadrata ABCD, tj. segment AB \u003d 8. Za željenu stranicu x izvornog kvadrata dobivamo

10. Rješenje jednadžbi pomoću Bezoutovog teorema.

Bezoutov teorem. Ostatak nakon dijeljenja polinoma P(x) binomom x - α jednak je P(α) (tj. vrijednosti P(x) pri x = α).

Ako je broj α korijen polinoma P(x), onda je taj polinom djeljiv s x -α bez ostatka.

Primjer.x²-4x+3=0

R(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Podijelite P(x) s (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ili x-3=0, x=3; Odgovor: x1 =2, x2 =3.

Zaključak: Sposobnost brzog i racionalnog rješavanja kvadratnih jednadžbi jednostavno je neophodna za rješavanje složenijih jednadžbi, na primjer, frakcijskih racionalnih jednadžbi, jednadžbi više stupnjeve, bikvadratne jednadžbe, a u srednjoj školi trigonometrijske, eksponencijalne i logaritamske jednadžbe. Nakon što smo proučili sve pronađene metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi, možemo savjetovati razrednicima da, osim standardnih metoda, rješavaju metodom prijenosa (6) i rješavaju jednadžbe svojstvom koeficijenata (7), jer su pristupačnije za razumijevanje .

Književnost:

1. Bradis V.M. Četveroznamenkaste matematičke tablice. - M., Obrazovanje, 1990.
2. Algebra 8. razred: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. izdanje, revidirano. - M.: Prosvjetljenje, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Povijest matematike u školi. Vodič za učitelje. / Ed. V.N. Mlađi. - M.: Prosvjetljenje, 1964.

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi pravih, višestrukih i kompleksnih korijena. Faktorizacija kvadratni trinom. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati ovako:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može prikazati kao umnožak faktora (faktoriziran):
.

Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Smatrati diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako diskriminant nula, , tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je zamišljena jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Zatim

.

Grafička interpretacija

Ako se gradi graf funkcije
,
koja je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe apscisnu os (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.

Ispod su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule povezane s kvadratnom jednadžbom

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
Iz ovoga se vidi da jednadžba

izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Riješenje

.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva realna korijena:
;
;
.

Odavde dobivamo rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore:

.

Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-os u dvije točke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).

Odgovor

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Riješenje

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-osu (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen faktoriziran dva puta:
,
onda se takav korijen naziva višekratnik. Odnosno, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovor

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Riješenje

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
(1) .
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Diskriminanta je negativna, . Dakle, nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Zatim


.

Graf funkcije ne siječe x-os. Nema pravih korijena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe apscisu (os). Dakle, nema pravih korijena.

Odgovor

Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.

Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Sposobnost njihovog rješavanja je neophodna.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a , b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

1. Nemaju korijenje;
2. Imaju točno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratnih i linearnih jednadžbi, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko jednadžba ima korijena? Postoji divna stvar za ovo - diskriminirajući.

Diskriminirajući

Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac .

Ova se formula mora znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: prema znaku diskriminante možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:

1. Ako D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, bit će dva korijena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne uopće njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi misle. Pogledajte primjere i sve će vam biti jasno:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapisujemo koeficijente za prvu jednadžbu i nalazimo diskriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, pa jednadžba ima dva različita korijena. Drugu jednadžbu analiziramo na isti način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanta je negativna, nema korijena. Ostaje zadnja jednadžba:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su koeficijenti ispisani za svaku jednadžbu. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete miješati izglede i nemojte raditi glupe pogreške. Odaberite sami: brzina ili kvaliteta.

Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati ​​sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi ovo počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada prijeđimo na rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako je D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Pronađimo ih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \lijevo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju kada se u formulu zamijene negativni koeficijenti. I ovdje će vam pomoći gore opisana tehnika: doslovno promatrajte formulu, slikajte svaki korak - i vrlo brzo se riješite pogrešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Događa se da je kvadratna jednadžba nešto drugačija od onoga što je navedeno u definiciji. Na primjer:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Lako je vidjeti da u ovim jednadžbama nedostaje jedan od članova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: za njih čak nije potrebno izračunati diskriminantu. Dakle, predstavimo novi koncept:

Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 zove se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b \u003d c \u003d 0. U ovom slučaju, jednadžba ima oblik ax 2 \u003d 0. Očito, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.

Razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c \u003d 0. Lagano je transformirajmo:

Jer aritmetika Korijen postoji samo iz nenegativnog broja, zadnja jednakost ima smisla samo za (−c /a ) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednadžbu (−c / a ) ≥ 0, bit će dva korijena. Formula je navedena gore;
2. Ako (−c / a )< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno prisjećati se nejednakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što je s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, uopće neće biti korijena.

Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će biti dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:

Izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrade

Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednadžbi:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.