Ерекция към отрицателна мощност- един от основните елементи на математиката, който често се среща при решаването на алгебрични задачи. По-долу има подробна инструкция.
Как да повдигнем на отрицателна степен - теория
Когато вземем число на обичайната степен, ние умножаваме стойността му няколко пъти. Например 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. При отрицателна дроб обратното е вярно. Общият вид според формулата ще бъде както следва: a -n = 1/a n . По този начин, за да повдигнете число на отрицателна степен, трябва да разделите единицата на даденото число, но вече на положителна степен.
Как да повдигнем на отрицателна степен - примери за обикновени числа
Имайки предвид горното правило, нека решим няколко примера.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Отговор: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Отговорът е -4 -2 = 1/16.
Но защо отговорът в първия и втория пример е един и същ? Факт е, че когато отрицателно число се повиши до четна степен (2, 4, 6 и т.н.), знакът става положителен. Ако степента е четна, тогава минусът се запазва:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Как да повдигнем на отрицателна степен - числа от 0 до 1
Спомнете си, че когато число между 0 и 1 се повдигне на положителна степен, стойността намалява с увеличаване на степента. Така например, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
Пример 3: Изчислете 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Отговор: 0,5 -2 = 4
Разбор (последователност от действия):
- Преобразувайте десетичната 0,5 в дробна 1/2. Е по-лесно.
Повишете 1/2 на отрицателна степен. 1/(2) -2. Разделяме 1 на 1/(2) 2, получаваме 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Пример 4: Изчислете 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Пример 5: Изчислете -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Отговор: -0,5 -3 = -8
Въз основа на 4-ти и 5-ти пример ще направим няколко извода:
- За положително число в диапазона от 0 до 1 (пример 4), повдигнато на отрицателна степен, четната или нечетната степен не е важна, стойността на израза ще бъде положителна. В този случай колкото по-голяма е степента, толкова по-голяма е стойността.
- За отрицателно число между 0 и 1 (пример 5), повдигнато на отрицателна степен, четната или нечетната степен не е важна, стойността на израза ще бъде отрицателна. В този случай колкото по-висока е степента, толкова по-ниска е стойността.
Как да повдигнем на отрицателна степен - степен като дробно число
Изразите от този тип имат следния вид: a -m/n, където a е обикновено число, m е числителят на степента, n е знаменателят на степента.
Помислете за пример:
Изчислете: 8 -1/3
Решение (последователност от действия):
- Запомнете правилото за повдигане на число на отрицателна степен. Получаваме: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
- Обърнете внимание, че знаменателят е 8 на дробна степен. Общата форма за изчисляване на дробна степен е следната: a m/n = n √8 m .
- Така 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаваме кубичен корен от осем, което е 2. Въз основа на това 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Отговор: 8 -1/3 = 2
Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда крачки зад нея. През времето, през което Ахил изминава това разстояние, костенурката изпълзява стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил измине сто крачки, костенурката ще пропълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.
Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Гилберт... Всички те по един или друг начин са разглеждали апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и в момента, научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... математическият анализ, теорията на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема ..."[Уикипедия," Апориите на Зенон "]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.
От гледна точка на математиката, Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от стойността към. Този преход предполага прилагане вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за прилагане на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни вкарва в капан. Ние, по инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочното. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне във времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.
Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил безкрайно бързо ще изпревари костенурката“.
Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни стойности. На езика на Зенон това изглежда така:
За времето, необходимо на Ахил да измине хиляда крачки, костенурката пълзи стотина крачки в същата посока. За следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще избяга още хиляда крачки, а костенурката ще пропълзи сто крачки. Сега Ахил е на осемстотин крачки пред костенурката.
Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но не е така цялостно решениепроблеми. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон "Ахил и костенурката". Предстои ни да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.
Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:
Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.
В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент летящата стрела е в покой в различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движение на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти във времето, но те не могат да се използват за определяне на разстоянието. За да определите разстоянието до колата, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството едновременно, но не можете да определите факта на движение от тях (естествено, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне). Това, което искам да отбележа по-специално, е, че две точки във времето и две точки в пространството са две различни неща, които не трябва да се бъркат, тъй като предоставят различни възможности за изследване.
Сряда, 4 юли 2018 г
Много добре разликите между набор и мултимножество са описани в Уикипедия. Ние гледаме.
Както можете да видите, "множеството не може да има два еднакви елемента", но ако има идентични елементи в множеството, такова множество се нарича "мултимножество". Разумните същества никога няма да разберат такава логика на абсурда. Това е нивото на говорещите папагали и дресираните маймуни, при които умът отсъства от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.
Имало едно време инженерите, които са построили моста, са били в лодка под моста по време на тестовете на моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.
Колкото и да се крият математиците зад фразата "имайте предвид, аз съм в къщата", или по-скоро "математика учи абстрактни понятия", има една пъпна връв, която е неразривно свързана с реалността. Тази пъпна връв са парите. Приложимо математическа теориязадава на самите математици.
Учихме математика много добре и сега седим на касата и плащаме заплати. Тук един математик идва при нас за парите си. Преброяваме му цялата сума и я разпределяме на масата си на различни купчини, в които поставяме банкноти с еднакъв номинал. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и даваме на математика неговата "математическа заплата". Обясняваме математиката, че той ще получи останалите сметки само когато докаже, че множеството без еднакви елементи не е равно на множеството с еднакви елементи. Тук започва забавлението.
Първо ще проработи логиката на депутатите: „към другите можеш, но към мен не!“ По-нататък ще започнат уверения, че има различни номера на банкноти на банкноти от една и съща номинална стойност, което означава, че те не могат да се считат за идентични елементи. Е, ние броим заплатата в монети - няма цифри на монетите. Тук математикът ще започне конвулсивно да си припомня физиката: на различни монети има различно количествомръсотията, кристалната структура и атомната подредба на всяка монета са уникални...
И сега имам най-интересния въпрос: къде е границата, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, науката тук дори не е близо.
Вижте тук. Избираме футболни стадиони с еднаква площ. Площта на полетата е една и съща, което означава, че имаме мултимножество. Но ако разгледаме имената на едни и същи стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е едновременно множество и мултимножество. Колко правилно? И тук математикът-шаман-шулер изважда козово асо от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.
За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво "мислимо като неединно цяло" или "немислимо като единно цяло".
Неделя, 18 март 2018 г
Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те са шамани за това, за да научат своите потомци на своите умения и мъдрост, в противен случай шаманите просто ще изчезнат.
Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. В математиката няма формула, чрез която можете да намерите сумата от цифрите на всяко число. Все пак числата са графични символи, с които записваме числата, а на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число“. Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат елементарно.
Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифри дадено число. И така, да кажем, че имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.
1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Преобразувахме числото в числов графичен символ. Това не е математическа операция.
2. Разрязваме една получена снимка на няколко картинки, съдържащи отделни номера. Изрязването на картина не е математическа операция.
3. Преобразувайте отделни графични знаци в числа. Това не е математическа операция.
4. Съберете получените числа. Сега това е математика.
Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са "курсовете по кроене и шиене" от шаманите, използвани от математиците. Но това не е всичко.
От гледна точка на математиката няма значение в коя бройна система записваме числото. И така, в различни системиизчислението, сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. С голямо число 12345, не искам да заблуждавам главата си, помислете за числото 26 от статията за. Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп, вече го направихме. Нека да видим резултата.
Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Това е същото, както ако бихте получили напълно различни резултати при определяне на площта на правоъгълник в метри и сантиметри.
Нулата във всички бройни системи изглежда еднакво и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как се означава в математиката това, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо друго освен числа? За шаманите мога да го позволя, но за учените не. Реалността не е само в числа.
Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са единици за измерване на числата. В крайна сметка не можем да сравняваме числа с различни мерни единици. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, то това няма нищо общо с математиката.
Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът от дадено математическо действие не зависи от стойността на числото, използваната мерна единица и от това кой извършва това действие.
Ох! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на безкрайната святост на душите при възнесение на небето! Нимб отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?
Жена... Ореол отгоре и стрелка надолу е мъж.
Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,
Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:
Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, число четири, обозначение на градуса). И не мисля, че това момиче е глупаво, не който знае физика. Тя просто има дъгов стереотип за възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.
1А не е "минус четири градуса" или "едно а". Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичната бройна система. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат числото и буквата като един графичен символ.
В продължение на разговора за степента на числото е логично да се занимаваме с намирането на стойността на степента. Този процес е наименуван степенуване. В тази статия просто ще проучим как се извършва степенуването, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени - естествени, цели, рационални и ирационални. И по традиция ще разгледаме подробно решенията на примери за повишаване на числата в различни степени.
Навигация в страницата.
Какво означава "степенуване"?
Нека започнем, като обясним какво се нарича степенуване. Ето съответното определение.
Определение.
степенуванее да се намери стойността на степента на число.
По този начин намирането на стойността на степента на a със степента r и повишаването на числото a на степен r е едно и също нещо. Например, ако задачата е „изчислете стойността на степен (0,5) 5“, тогава тя може да бъде преформулирана по следния начин: „Повишете числото 0,5 на степен 5“.
Сега можете да преминете директно към правилата, по които се извършва степенуването.
Повишаване на число на естествена степен
На практика равенството, основано на, обикновено се прилага във формата . Тоест при повишаване на числото a до дробна степен m/n първо се извлича n-тият корен от числото a, след което резултатът се повдига на цяла степен m.
Обмислете решения на примери за повдигане на дробна степен.
Пример.
Изчислете стойността на градуса.
Решение.
Показваме две решения.
Първи начин. По дефиниция на степен с дробен показател. Изчисляваме стойността на степента под знака на корена, след което извличаме кубичния корен: 
.
Вторият начин. По дефиниция на степен с дробен показател и въз основа на свойствата на корените равенствата са верни 
. Сега извадете корена 
Накрая повдигаме на цяла степен 
.
Очевидно получените резултати от повишаването на дробна степен съвпадат.
Отговор:
Обърнете внимание, че дробен показател може да бъде записан като десетичен или смесено число, в тези случаи трябва да се замени със съответната обикновена дроб, след което да се извърши степенуване.
Пример.
Изчислете (44,89) 2,5 .
Решение.
Записваме показателя във формата обикновена дроб(ако е необходимо, вижте статията): 
. Сега извършваме повдигане до дробна степен: 
Отговор:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Трябва също да се каже, че повишаването на числата до рационални степени е доста трудоемък процес (особено когато числителят и знаменателят на дробния показател съдържат достатъчно големи числа), което обикновено се извършва с помощта на компютърна технология.
В заключение на този параграф ще се спрем на конструкцията на числото нула на дробна степен. Дадохме следното значение на дробната степен на нула на формата: защото имаме 
, докато нула на степен m/n не е дефинирана. Така че нула на положителна дробна степен нула, например, 
. И нула в дробна отрицателна степен няма смисъл, например изразите и 0 -4,3 нямат смисъл.
Издигане до ирационална степен
Понякога става необходимо да се намери стойността на степента на число с ирационален показател. В този случай за практически цели обикновено е достатъчно да се получи стойността на степента до определен знак. Веднага отбелязваме, че на практика тази стойност се изчислява с помощта на електронна изчислителна технология, тъй като ръчното повишаване до ирационална мощност изисква голям брой тромави изчисления. Но въпреки това ще опишем в общи линии същността на действията.
За да се получи приблизителна стойност на степента на a с ирационален показател, се взема някакво десетично приближение на показателя и се изчислява стойността на показателя. Тази стойност е приблизителната стойност на степента на числото a с ирационален показател. Колкото по-точно десетично приближение на числото е взето първоначално, толкова по-точна ще бъде градусната стойност в крайна сметка.
Като пример, нека изчислим приблизителната стойност на степента на 2 1,174367... . Нека вземем следното десетично приближение на ирационален индикатор: . Сега повдигаме 2 до рационална степен 1,17 (описахме същността на този процес в предишния параграф), получаваме 2 1,17 ≈ 2,250116. По този начин, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ако вземем по-точно десетично приближение на ирационален експонент, например, тогава получаваме по-точна стойност на първоначалната степен: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Библиография.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика Ж за 5 клетки. образователни институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7 клетки. образователни институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 клетки. образователни институции.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).
Една от основните характеристики в алгебрата, а и в цялата математика, е степента. Разбира се, в 21 век всички изчисления могат да се извършват на онлайн калкулатор, но е по-добре да се научите как да го направите сами за развитието на мозъка.
В тази статия ще разгледаме най-важните въпроси относно това определение. А именно, ще разберем какво е това като цяло и какви са основните му функции, какви свойства съществуват в математиката.
Нека да разгледаме примери как изглежда изчислението, какви са основните формули. Ще анализираме основните видове величини и как те се различават от другите функции.
Нека разберем как да решим с помощта на това количество различни задачи. Ще покажем с примери как се повдига на нулева степен, ирационално, отрицателно и т.н.
Онлайн калкулатор за степенуване
Каква е степента на числото
Какво означава изразът „повдигнете число на степен“?
Степента n на число a е произведението на множителите с големина a n пъти подред.
Математически изглежда така:
a n = a * a * a * …a n .
Например:
- 2 3 = 2 в третата стъпка. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 в стъпка. две = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 в стъпка. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 в 5 стъпка. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 \u003d 10 в 4 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
По-долу има таблица с квадратчета и кубчета от 1 до 10.
Таблица на градусите от 1 до 10
По-долу са резултатите от повишаване на естествените числа на положителни степени - "от 1 до 100".
| Ч-ло | 2 клас | 3 клас |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Свойства на степента
Какво е характерно за такава математическа функция? Нека да разгледаме основните свойства.
Учените са установили следното признаци, характерни за всички степени:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m = (a) (b*m) .
Нека проверим с примери:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. От друга страна 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
По същия начин: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. В противен случай 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ами ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Както можете да видите, правилата работят.
Но как да бъде със събиране и изваждане? Всичко е просто. Първо се извършва степенуване и едва след това събиране и изваждане.
Нека да разгледаме примери:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Но в този случай първо трябва да изчислите добавянето, тъй като има действия в скоби: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Как да произвеждаме изчисления в по-сложни случаи? Редът е същият:
- ако има скоби, трябва да започнете с тях;
- след това степенуване;
- след това извършват операции умножение, деление;
- след събиране, изваждане.
Има специфични свойства, които не са характерни за всички степени:
- Коренът на степен n от числото a до степен m ще бъде записан като: a m / n .
- При повдигане на дроб на степен: както числителят, така и знаменателят му са предмет на тази процедура.
- При повдигане на произведението на различни числа на степен, изразът ще съответства на произведението на тези числа на дадена степен. Тоест: (a * b) n = a n * b n.
- Когато повдигате число на отрицателна степен, трябва да разделите 1 на число в същата стъпка, но със знак „+“.
- Ако знаменателят на дроб е в отрицателна степен, тогава този израз ще бъде равен на произведението на числителя и знаменателя в положителна степен.
- Произволно число на степен 0 = 1 и на стъпка. 1 = на себе си.
Тези правила са важни в отделни случаи, ще ги разгледаме по-подробно по-долу.
Степен с отрицателен показател
Какво да правим с отрицателна степен, т.е. когато индикаторът е отрицателен?
Въз основа на свойства 4 и 5(виж точката по-горе) Оказва се:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
И обратно:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Ами ако е дроб?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Степен с натурален показател
Разбира се като степен с показатели, равни на цели числа.
Неща, които трябва да запомните:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т.н.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… и т.н.
Също така, ако (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...тогава резултатът ще бъде със знак "+". Ако отрицателно число се повдигне на нечетна степен, тогава обратното.
За тях са характерни и общи свойства, както и всички специфични характеристики, описани по-горе.
Дробна степен
Този изглед може да бъде написан като схема: A m / n. Чете се като: корен от n-та степен на числото A на степен m.
С дробен индикатор можете да направите всичко: да намалите, да разложите на части, да повишите до друга степен и т.н.
Степен с ирационален показател
Нека α е ирационално число и А ˃ 0.
За да разберете същността на степента с такъв индикатор, Нека разгледаме различни възможни случаи:
- A \u003d 1. Резултатът ще бъде равен на 1. Тъй като има аксиома - 1 е равно на едно във всички степени;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 са рационални числа;
- 0˂А˂1.
В този случай обратното: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при същите условия като във втория параграф.
Например показателят е числото π.Това е рационално.
r 1 - в този случай е равно на 3;
r 2 - ще бъде равно на 4.
Тогава за A = 1, 1 π = 1.
A = 2, след това 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, след това (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Такива степени се характеризират с всички математически операции и специфични свойства, описани по-горе.
Заключение
Нека обобщим - за какво са тези стойности, какви са предимствата на такива функции? Разбира се, на първо място, те опростяват живота на математиците и програмистите при решаване на примери, тъй като позволяват минимизиране на изчисленията, намаляване на алгоритми, систематизиране на данни и много други.
Къде другаде могат да бъдат полезни тези знания? Във всяка работна специалност: медицина, фармакология, стоматология, строителство, технология, инженерство, дизайн и др.
Първо ниво
Степен и неговите свойства. Изчерпателно ръководство (2019)
Защо са необходими дипломи? Къде ти трябват? Защо трябва да отделяте време за изучаването им?
За да научите всичко за дипломите, за какво служат, как да използвате знанията си в ежедневието, прочетете тази статия.
И, разбира се, познаването на степените ще ви доближи до успешното преминаване на OGE или Единния държавен изпит и влизането в университета на вашите мечти.
Да вървим... (Да вървим!)
Важна забележка! Ако вместо формули видите безсмислици, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).
ПЪРВО НИВО
Степенуването е същата математическа операция като събиране, изваждане, умножение или деление.
Сега ще обясня всичко на човешки език на много прости примери. Бъди внимателен. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.
Да започнем с добавянето.
Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: осем сме. Всеки има по две бутилки кола. Колко кола? Точно така - 16 бутилки.
Сега умножение.
Същият пример с кола може да бъде написан по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това измислят начин да ги „преброят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаше еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.
Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…
Ето таблицата за умножение. Повторете.
И още една, по-красива:
И какви други хитри трикове за броене са измислили мързеливите математици? Правилно - повишаване на число на степен.
Повдигане на число на степен
Ако трябва да умножите едно число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повдигнете това число на пета степен. Например, . Математиците помнят, че две на пета степен е. И те решават такива задачи наум - по-бързо, по-лесно и без грешки.
За да направите това, трябва само запомнете какво е маркирано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.
Между другото, защо се нарича втората степен квадратчисла и третото куб? Какво означава? Много добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.
Пример от реалния живот №1
Нека започнем с квадрат или втора степен на число.
Представете си квадратен басейн с размери метри на метри. Басейнът е във вашия двор. Горещо е и много искам да плувам. Но ... басейн без дъно! Необходимо е дъното на басейна да се покрие с плочки. Колко плочки ви трябват? За да определите това, трябва да знаете площта на дъното на басейна.
Можете просто да преброите, като бъркате с пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако вашите плочки са метър на метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде видяхте такава плочка? Плочката ще бъде по-скоро см на см. И тогава ще бъдете измъчвани от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножавайки по, получавате плочки ().
Забелязахте ли, че умножихме същото число по себе си, за да определим площта на дъното на басейна? Какво означава? Тъй като едно и също число се умножава, можем да използваме техниката на степенуване. (Разбира се, когато имате само две числа, пак трябва да ги умножите или да ги повдигнете на степен. Но ако имате много от тях, тогава повдигането на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията. За изпита това е много важно).
И така, тридесет на втора степен ще бъде (). Или можете да кажете, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на дадено число. Квадратът е изображение на втората степен на число.
Пример от реалния живот №2
Ето една задача за вас, пребройте колко квадрата има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото ... От едната страна на клетките и от другата също. За да преброите броя им, трябва да умножите осем по осем или ... ако забележите това Шахматна дъскае квадрат със страна, тогава можете да поставите на квадрат осем. Вземете клетки. () Така?
Пример от реалния живот #3
Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Между другото, обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъно с размер един метър и дълбочина един метър и се опитайте да изчислите колко кубчета метър на метър общо ще влязат във вашия басейн.
Просто посочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири… двадесет и две, двадесет и три… Колко излезе? Не се ли изгуби? Трудно ли е да броите с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи, затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите неговата дължина, ширина и височина един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета ... По-лесно, нали?
Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако правят това твърде лесно. Намали всичко до едно действие. Забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава по себе си... И какво означава това? Това означава, че можете да използвате степента. И така, това, което някога сте преброили с пръст, те правят с едно действие: три в куб е равно. Написано е така:
Остава само запомнете таблицата с градуси. Освен ако, разбира се, не сте мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.
Е, за да ви убедим окончателно, че дипломите са измислени от безделници и хитри хора, за да решават житейските си проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.
Пример от реалния живот #4
Имате милион рубли. В началото на всяка година печелите още един милион за всеки милион. Тоест всеки ваш милион в началото на всяка година се удвоява. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и „броите с пръста си“, значи сте много трудолюбив човек и .. глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, през първата година - два пъти по две ... през втората година - какво стана, с още две, през третата година ... Стоп! Забелязахте, че числото се умножава само по себе си веднъж. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който изчислява по-бързо, ще получи тези милиони ... Струва ли си да запомните степените на числата, какво мислите?
Пример от реалния живот #5
Имате милион. В началото на всяка година печелите още два за всеки милион. Страхотно е нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът с още един ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножава по себе си пъти. И така, четвъртата степен е милион. Просто трябва да запомните, че три на четвърта степен е или.
Сега знаете, че като повдигнете число на степен, ще направите живота си много по-лесен. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.
Термини и понятия ... за да не се бъркаме
Така че, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е експонента? Много е просто – това е числото, което е „на върха“ на степента на числото. Не научно, но ясно и лесно за запомняне ...
Е, в същото време какво такава основа на степен? Още по-просто е числото, което е най-отдолу, в основата.
Ето снимка, за да сте сигурни.
Ами и в общ изгледза обобщаване и запомняне по-добре ... Степен с основа "" и показател "" се чете като "на степен" и се записва, както следва:
Степен на число с естествен показател
Вероятно вече се досещате: защото показателят е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са тези, които се използват при броене, когато се изброяват предмети: едно, две, три ... Когато броим предмети, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме „една трета“ или „нула цяло пет десети“. Това не са естествени числа. Какви според вас са тези числа?
Числа като "минус пет", "минус шест", "минус седем" се отнасят за цели числа.Като цяло целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. И какво означават отрицателните ("минус") числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.
Всички дроби са рационални числа. Как се появиха, според вас? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци са открили, че не разполагат с достатъчно естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа… Интересно, нали?
Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко безкрайно десетичен знак. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, тогава ще получите ирационално число.
Резюме:
Нека дефинираме концепцията за степен, чийто показател е естествено число (тоест цяло число и положително).
- Всяко число на първа степен е равно на себе си:
- Поставянето на квадрат на число означава да го умножите по себе си:
- Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:
Определение.За да повдигнете число на естествена степен, означава да умножите числото по себе си пъти:
.
Свойства на степента
Откъде са дошли тези имоти? Сега ще ти покажа.
Да видим какво е и ?
По дефиниция:
Колко множителя има общо?
Много е просто: добавихме множители към множителите и резултатът е множители.
Но по дефиниция това е степента на число с експонента, тоест: , която трябваше да бъде доказана.
Пример: Опростете израза.
Решение:
Пример:Опростете израза.
Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило непременнотрябва да е същата причина!
Следователно ние комбинираме степените с основата, но оставаме отделен фактор:
само за продукти на мощности!
При никакви обстоятелства не трябва да пишете това.
2. тоест -та степен на число
Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:
Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест според дефиницията това е степента на числото:
Всъщност това може да се нарече „извеждане на индикатора в скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:
Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?
Но това не е вярно, наистина.
Степен с отрицателна основа
До този момент сме обсъждали само какъв трябва да бъде показателят.
Но каква трябва да бъде основата?
В градуси от естествен показателосновата може да бъде произволен брой. Наистина можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни.
Нека помислим какви знаци (" " или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?
Например числото ще бъде ли положително или отрицателно? НО? ? С първото всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножаваме, резултатът ще бъде положителен.
Но негативните са малко по-интересни. В края на краищата помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по, се оказва.
Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
успяхте ли
Ето и отговорите: В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.
Е, освен когато основата е нула. Основата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).
Пример 6) вече не е толкова прост!
6 практически примера
Анализ на решението 6 примера
Ако не обърнем внимание на осма степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:
Внимателно разглеждаме знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бяха разменени, правилото можеше да се приложи.
Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.
Термините магически са разменили местата си. Този "феномен" се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да променяме знаците в скоби.
Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!
Да се върнем към примера:
И отново формулата:
цялоназоваваме естествените числа, техните противоположности (т.е. взети със знака "") и числото.
положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.
Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.
Всяко число на нулева степен е равно на едно:
Както винаги се питаме: защо е така?
Помислете за мощност с основа. Вземете например и умножете по:
И така, умножихме числото по и получихме същото, както беше -. По какво число трябва да се умножи, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.
Можем да направим същото с произволно число:
Нека повторим правилото:
Всяко число на нулева степен е равно на едно.
Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).
От една страна, трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак получаваш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. И така, каква е истината за това? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест, сега можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.
Да отидем по-нататък. В допълнение към естествените числа и числата, целите числа включват отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим същото като миналия път: умножаваме някакво нормално число по същото в отрицателна степен:
От тук вече е лесно да изразите желаното:
Сега разширяваме полученото правило до произволна степен:
И така, нека формулираме правилото:
Число на отрицателна степен е обратното на същото число на положителна степен. Но в същото време базата не може да бъде нула:(защото е невъзможно да се раздели).
Нека обобщим:
I. Изразът не е дефиниран в случай. Ако, тогава.
II. Всяко число на нулева степен е равно на едно: .
III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число на положителна степен: .
Задачи за самостоятелно решаване:
Е, както обикновено, примери за независимо решение:
Анализ на задачите за самостоятелно решаване:
Знам, знам, цифрите са страшни, но на изпита трябва да си готов на всичко! Решете тези примери или анализирайте решението им, ако не сте успели да го решите и ще научите как лесно да се справяте с тях на изпита!
Нека продължим да разширяваме обхвата на числата, "подходящи" като показател.
Сега помислете рационални числа.Кои числа се наричат рационални?
Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.
За да разберете какво е "дробна степен"Нека разгледаме дроб:
Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:
Сега си спомнете правилото "степен на степен":
Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?
Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.
Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно.
Тоест, коренът на та степен е обратната операция на степенуването: .
Оказва се, че. Очевидно този специален случай може да бъде разширен: .
Сега добавете числителя: какво е това? Отговорът е лесен за намиране с правилото мощност към мощност:
Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.
Нито един!
Запомнете правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат корени от четна степен от отрицателни числа!
И това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.
Какво ще кажете за изразяването?
Но тук възниква проблем.
Числото може да бъде представено като други, намалени дроби, например, или.
И се оказва, че съществува, но не съществува и това са просто два различни записа на едно и също число.
Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но веднага щом напишем индикатора по различен начин, отново имаме проблеми: (тоест получихме напълно различен резултат!).
За да избегнете подобни парадокси, помислете само положителен основен показател с дробен показател.
Така че, ако:
- - естествено число;
- е цяло число;
Примери:
Степените с рационален показател са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:
5 практически примера
Анализ на 5 примера за обучение
Е, сега - най-трудното. Сега ще анализираме степен с ирационален показател.
Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степени с рационален показател, с изключение на
Всъщност по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).
При изучаване на степени с естествен, целочислен и рационален показател, всеки път съставяхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.
Например естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;
...нулева мощност- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определена „подготовка на число”, а именно число;
...цяло отрицателно число- сякаш се е случил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.
Между другото, в науката често се използва степен със сложен експонент, тоест експонентът дори не е реално число.
Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.
КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научите да решавате такива примери :))
Например:
Решете сами:
Анализ на решенията:
1. Да започнем с вече обичайното правило за повишаване на степен в степен:
Сега вижте резултата. Той напомня ли ви за нещо? Спомняме си формулата за съкратено умножение на разликата на квадратите:
В такъв случай,
Оказва се, че:
Отговор: .
2. Привеждаме дроби в експоненти в една и съща форма: или десетични, или обикновени. Получаваме например:
Отговор: 16
3. Нищо специално, нанесете редовни имотистепени:
НАПРЕДНАЛО НИВО
Определение за степен
Степента е израз на формата: , където:
- — основа на степента;
- - експонента.
Степен с естествен показател (n = 1, 2, 3,...)
Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:
Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)
Ако показателят е положително цяло числономер:
ерекция до нулева мощност:
Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.
Ако показателят е цяло число отрицателнономер:
(защото е невъзможно да се раздели).
Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.
Примери:
Степен с рационален показател
- - естествено число;
- е цяло число;
Примери:
Свойства на степента
За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.
Да видим: какво е и?
По дефиниция:
И така, от дясната страна на този израз се получава следният продукт:
Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:
Q.E.D.
Пример : Опростете израза.
Решение : .
Пример : Опростете израза.
Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило непременнотрябва да има същата основа. Следователно ние комбинираме степените с основата, но оставаме отделен фактор:
Друга важна забележка: това правило - само за произведения на мощности!
При никакви обстоятелства не трябва да пиша това.
Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:
Нека го пренаредим така:
Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест според дефиницията това е -та степен на числото:
Всъщност това може да се нарече „извеждане на индикатора в скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:!
Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това не е вярно, наистина.
Сила с отрицателна основа.
До този момент сме обсъждали само това, което трябва да бъде индексстепен. Но каква трябва да бъде основата? В градуси от естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .
Наистина можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим какви знаци (" " или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?
Например числото ще бъде ли положително или отрицателно? НО? ?
С първото всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножаваме, резултатът ще бъде положителен.
Но негативните са малко по-интересни. В края на краищата помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме -.
И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Възможно е да се формулират такива прости правила:
- дористепен, - номер положителен.
- Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
- Положително число на всяка степен е положително число.
- Нула на произволна степен е равна на нула.
Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
успяхте ли Ето и отговорите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.
В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).
Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомняте това, става ясно, че, което означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.
И отново използваме определението за степен:
Всичко е както обикновено - записваме определението на степените и ги разделяме една на друга, разделяме ги на двойки и получаваме:
Преди да анализираме последното правило, нека решим няколко примера.
Изчислете стойностите на изразите:
Решения :
Ако не обърнем внимание на осма степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!
Получаваме:
Внимателно разглеждаме знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бяха обърнати, може да се приложи правило 3. Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.
Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега изглежда така:
Термините магически са разменили местата си. Този "феномен" се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да променяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не може да се замени със смяна само на един неприятен за нас минус!
Да се върнем към примера:
И отново формулата:
И така, последното правило:
Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да опростим:
Е, сега нека отворим скобите. Колко букви ще има? пъти по множители - как изглежда? Това не е нищо друго освен определението за операция умножение: общо се оказаха множители. Тоест, по дефиниция това е степен на число с показател:
Пример:
Степен с ирационален показател
Освен информация за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).
При изучаване на степени с естествен, целочислен и рационален показател, всеки път съставяхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число до нулева степен е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определена „подготовка на число“, а именно число; степен с отрицателно цяло число - сякаш е настъпил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.
Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.
Между другото, в науката често се използва степен със сложен експонент, тоест експонентът дори не е реално число. Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.
Какво правим, ако видим ирационален показател? Опитваме се да се отървем от него! :)
Например:
Решете сами:
| 1) | 2) | 3) |
Отговори:
- Запомнете формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
- Ние привеждаме дроби в една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
- Нищо специално, прилагаме обичайните свойства на градусите:
РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛ И ОСНОВНА ФОРМУЛА
Степенсе нарича израз от формата: , където:
Степен с цяло число
степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).
Степен с рационален показател
степен, чийто показател са отрицателни и дробни числа.
Степен с ирационален показател
показател, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.
Свойства на степента
Характеристики на степените.
- Отрицателното число е повишено до дористепен, - номер положителен.
- Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
- Положително число на всяка степен е положително число.
- Нула е равна на всяка степен.
- Всяко число на нулева степен е равно.
СЕГА ИМАТЕ ДУМА...
Как ви харесва статията? Кажете ми в коментарите по-долу дали ви харесва или не.
Разкажете ни за опита си с мощността.
Може би имате въпроси. Или предложения.
Пишете в коментарите.
И успех на изпитите!
