Десетичната дроб се използва, когато трябва да извършите операции с нецели числа. Това може да изглежда ирационално. Но този тип числа значително улесняват математическите операции, които трябва да се извършват с тях. Това разбиране идва с времето, когато писането им стане познато, а четенето не създава затруднения и се усвояват правилата на десетичните дроби. Освен това се повтарят всички вече познати действия, които са научени с естествени числа. Просто трябва да запомните някои функции.
Десетично определение
Десетичната дроб е специално представяне на нецяло число със знаменател, който се дели на 10 и отговорът е едно и евентуално нули. С други думи, ако знаменателят е 10, 100, 1000 и т.н., по-удобно е числото да се пренапише със запетая. Тогава цялата част ще бъде разположена преди него, а след това дробната част. Освен това записът на втората половина на числото ще зависи от знаменателя. Броят на цифрите, които са в дробната част, трябва да е равен на знаменателя.
Горното може да се илюстрира със следните числа:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Причини за използване на десетични знаци
Математиците се нуждаеха от десетични знаци по няколко причини:
Опростете записа. Такава фракция е разположена на една линия без тире между знаменателя и числителя, докато яснотата не страда.
Простота в сравнение. Достатъчно е просто да съпоставите числата, които са на еднакви позиции, докато при обикновените дроби трябва да ги приведете към общ знаменател.
Опростяване на изчисленията.
Калкулаторите не са предназначени за въвеждане на обикновени дроби, те използват десетична нотация за всички операции.
Как да четем правилно такива числа?
Отговорът е прост: точно като обикновено смесено число със знаменател, който е кратен на 10. Единственото изключение са дроби без цяло число, тогава, когато четете, трябва да кажете „нула цели числа“.
Например 45/1000 трябва да се произнася като четиридесет и пет хилядни, докато 0,045 ще звучи като нула точка четиридесет и пет хилядни.
Смесено число с цяла част, равна на 7 и дроб от 17/100, което ще бъде записано като 7,17, и в двата случая ще се чете като седем цяло и седемнадесет стотни.
Ролята на цифрите в записа на дроби
Вярно е да се отбележи разрядът - това изисква математиката. Десетични знации тяхното значение може да се промени значително, ако напишете числото на грешното място. Това обаче е вярно и преди.
За да прочетете цифрите на цялата част от десетична дроб, просто трябва да използвате правилата, известни за естествени числа. А от дясната страна са огледални и се четат различно. Ако "десетки" звучат в цялата част, тогава след десетичната запетая вече ще бъдат "десети".
Това може ясно да се види в тази таблица.
| Клас | хиляди | единици | , | дробна част | |||||||
| освобождаване от отговорност | сто | дек. | единици | сто | дек. | единици | десети | стотна | хилядна | десетхилядна | |
Как да напиша смесено число като десетична запетая?
Ако знаменателят съдържа число, равно на 10 или 100, и други, тогава въпросът как да преобразувате дроб в десетична запетая е прост. За да направите това, достатъчно е да пренапишете всичките му съставни части по различен начин. Следните точки ще помогнат за това:
напишете числителя на дроба малко настрани, в този момент десетичната точка се намира вдясно, след последната цифра;
преместете запетаята наляво, най-важното тук е да преброите правилно числата - трябва да я преместите толкова позиции, колкото има нули в знаменателя;
ако няма достатъчно от тях, тогава нулите трябва да се появят на празни позиции;
нулите, които са били в края на числителя, вече не са необходими и могат да бъдат задраскани;
добавете цяло число преди запетаята, ако не е там, тогава тук ще се появи и нула.
внимание. Не можете да задраскате нули, които са заобиколени от други числа.
За това как да бъдете в ситуация, в която знаменателят съдържа число не само от едно и нули, как да преобразувате дроб в десетична, можете да прочетете малко по-ниско. Това е важна информация, която определено трябва да прочетете.
Как да преобразувам дроб в десетична, ако знаменателят е произволно число?
Тук има два варианта:
Когато знаменателят може да бъде представен като число, което е десет на произволна степен.
Ако такава операция не може да се направи.
Как да го проверя? Трябва да разложите знаменателя на множители. Ако в продукта присъстват само 2 и 5, тогава всичко е наред и дробта лесно се преобразува в краен десетичен знак. В противен случай, ако се появят 3, 7 и други прости числа, резултатът ще бъде безкраен. Обичайно е такава десетична дроб да се закръгля за по-лесно използване при математически операции. Това ще бъде обсъдено малко по-долу.
Изучаване как се получават такива десетични дроби, 5 клас. Примерите ще бъдат много полезни тук.
Нека знаменателите съдържат числа: 40, 24 и 75. Разлагане на основни факториза тях ще бъде:
- 40=2 2 2 5;
- 24=2 2 2 3;
- 75=5 5 3.
В тези примери само първата фракция може да бъде представена като крайна фракция.
Алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в крайна десетична дроб
Проверете разлагането на знаменателя на прости множители и се уверете, че ще се състои от 2 и 5.
Добавете към тези числа толкова много 2 и 5, че да станат равно число. Те ще дадат стойността на допълнителния множител.
Умножете знаменателя и числителя по това число. Резултатът ще бъде обикновена дроб, под линията, която е 10 до известна степен.
Ако в задачата тези действия се извършват със смесено число, то първо трябва да се представи като неправилна дроб. И едва тогава действайте според описания сценарий.
Представяне на обикновена дроб като заоблен десетичен дроб
Този начин за преобразуване на дроб в десетичен ще изглежда още по-лесен за някого. Защото няма много действие. Просто трябва да разделите числителя на знаменателя.
Всяко число с десетична част вдясно от десетичната запетая може да получи безкраен брой нули. Това свойство трябва да се използва.
Първо запишете цялата част и поставете запетая след нея. Ако дробта е правилна, напишете нула.
След това е необходимо да се извърши разделянето на числителя на знаменателя. Така че да имат еднакъв брой цифри. Тоест, задайте необходимия брой нули отдясно на числителя.
Извършете деление в колона, докато наберете необходимия брой цифри. Например, ако трябва да закръглите до стотни, тогава в отговора трябва да има 3. По принцип трябва да има една цифра повече, отколкото трябва да получите накрая.
Запишете междинния отговор след десетичната запетая и закръглете според правилата. Ако последната цифра е от 0 до 4, тогава просто трябва да я изхвърлите. И когато е равно на 5-9, тогава предното трябва да се увеличи с единица, като се изхвърли последното.
Връщане от десетична към обикновена
В математиката има проблеми, когато е по-удобно да се представят десетични дроби под формата на обикновени, в които има числител със знаменател. Можете да въздъхнете с облекчение: тази операция винаги е възможна.
За тази процедура трябва да направите следното:
запишете цялата част, ако е равна на нула, тогава нищо не трябва да се пише;
начертайте дробна линия;
над него напишете числата от дясната страна, ако първите са нули, тогава те трябва да бъдат задраскани;
под чертата напишете единица с толкова нули, колкото са цифрите след десетичната запетая в оригиналната дроб.
Това е всичко, което трябва да направите, за да преобразувате десетична дроб в обикновена дроб.
Какво можете да правите с десетичните знаци?
В математиката това ще бъдат определени действия с десетични дроби, които преди това са били извършени за други числа.
Те са:
сравнение;
събиране и изваждане;
умножение и деление.
Първото действие, сравнението, е подобно на начина, по който е направено за естествени числа. За да определите кое е по-голямо, трябва да сравните цифрите на цялата част. Ако се окажат равни, преминават към дробната и ги сравняват по същия начин по цифри. Числото с най-голямата цифра в най-високия ред ще бъде отговорът.
Събиране и изваждане на десетични знаци
Това са може би най-простите стъпки. Защото се изпълняват по правилата за естествените числа.
И така, за да добавите десетични дроби, те трябва да бъдат написани една под друга, като се поставят запетаи в колона. При такъв запис целите части се появяват отляво на запетаите, а дробните - отдясно. И сега трябва да събирате числата малко по малко, както се прави с естествените числа, като местите запетаята надолу. Трябва да започнете да добавяте от най-малката цифра на дробната част на числото. Ако няма достатъчно числа в дясната половина, добавете нули.
Изваждането работи по същия начин. И тук важи правилото, което описва възможността да се вземе единица от най-високата цифра. Ако намалената дроб има по-малко цифри след десетичната запетая от субтрахенда, тогава към нея просто се присвояват нули.
Ситуацията е малко по-сложна със задачи, в които трябва да извършите умножение и деление на десетични дроби.
Как да умножавам десетични в различни примери?
Правилото за умножаване на десетични дроби с естествено число е следното:
запишете ги в колона, без да обръщате внимание на запетаята;
размножават се като естествени;
отделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробната част на първоначалното число.
Специален случай е примерът, в който естествено число е равно на 10 на произволна степен. След това, за да получите отговор, просто трябва да преместите запетаята надясно с толкова позиции, колкото нули има в друг фактор. С други думи, при умножаване по 10 запетаята се измества с една цифра, със 100 - ще бъдат две и т.н. Ако в дробната част няма достатъчно цифри, тогава трябва да напишете нули в празни позиции.
Правилото, което се използва, когато в задачата трябва да умножите десетични дроби по други със същото число:
запишете ги един под друг, без да обръщате внимание на запетаите;
умножават, сякаш са естествени числа;
отделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробните части на двете оригинални дроби заедно.
Като специален случай се разграничават примери, при които един от факторите е равен на 0,1 или 0,01 и т.н. В тях трябва да преместите запетаята наляво с броя на цифрите в представените фактори. Тоест, ако се умножи по 0,1, запетаята се измества с една позиция.
Как се дели десетична дроб в различни задачи?
Разделянето на десетични дроби с естествено число се извършва по следното правило:
запишете ги за разделяне в колона, сякаш са естествени;
разделете според обичайното правило, докато завърши цялата част;
поставете запетая в отговора;
продължете да разделяте дробния компонент, докато остатъкът стане нула;
ако е необходимо, можете да зададете желания брой нули.
Ако цялата част е равна на нула, тогава тя също няма да бъде в отговора.
Отделно има разделение на числа, равни на десет, сто и т.н. В такива задачи трябва да преместите запетаята наляво с броя на нулите в делителя. Случва се, че в целочислената част няма достатъчно цифри, вместо това се използват нули. Може да се види, че тази операция е подобна на умножаване по 0,1 и подобни числа.
За да извършите деление на десетични дроби, трябва да използвате това правило:
превърнете делителя в естествено число и за целта преместете запетаята в него надясно до края;
преместете запетаята и в делимото с еднакъв брой цифри;
следвайте предишния сценарий.
Делението на 0,1 е подчертано; 0,01 и други подобни числа. В такива примери запетаята се измества надясно с броя на цифрите в дробната част. Ако те са над, тогава трябва да зададете липсващия брой нули. Струва си да се отбележи, че това действие повтаря разделянето на 10 и подобни числа.
Заключение: всичко е въпрос на практика
Нищо в ученето не е лесно или без усилие. Отнема време и практика, за да овладеете надеждно нов материал. Математиката не прави изключение.
За да не създава трудности темата за десетичните дроби, трябва да решите възможно най-много примери с тях. В крайна сметка имаше време, когато добавянето на естествени числа беше объркващо. И сега всичко е наред.
Затова, ако перифразираме една добре позната фраза: решавайте, решавайте и пак решавайте. Тогава задачите с такива числа ще се изпълняват лесно и естествено, като друг пъзел.
Между другото, пъзелите са трудни за решаване в началото и след това трябва да правите обичайните движения. Същото важи и в математическите примери: след като минете по един и същи път няколко пъти, тогава вече няма да мислите къде да завиете.
вече в начално училищеучениците се занимават с дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Невъзможно е да забравите действия с тези числа. Следователно трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези концепции са прости, основното е да разберете всичко в ред.
Защо са необходими дроби?
Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневието постоянно тласка хората да работят с части от предмети и неща.
Например, шоколадът се състои от няколко резена. Помислете за ситуацията, в която неговата плочка е образувана от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, получавате 6 части. Ще бъде добре разделена на три. Но петимата няма да могат да дадат цял брой резени шоколад.
Между другото, тези резени вече са дроби. И по-нататъшното им разделяне води до появата на по-сложни числа.
Какво е "фракция"?
Това е число, състоящо се от части на едно. Външно изглежда като две числа, разделени с хоризонтална или наклонена черта. Тази характеристика се нарича фракционна. Числото, написано отгоре (вляво), се нарича числител. Този отдолу (вдясно) е знаменателят.
Всъщност дробната черта се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече дивидент, а знаменателят - делител.
Какво представляват дробите?
В математиката има само два вида от тях: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават първо с начално училище, наричайки ги просто „фракции“. Вторите учат в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.
Обикновени дроби са всички тези, които са записани като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетично е число, в което дробната част има позиционен запис и е отделена със запетая от цялото число. Например 4.7. Учениците трябва да са наясно, че двата дадени примера са напълно различни числа.
Всеки проста дробможе да се запише като десетичен знак. Това твърдение почти винаги е вярно и обратното. Има правила, които ви позволяват да запишете десетична дроб като обикновена дроб.
Какви подвидове имат тези видове дроби?
По-добре започнете от хронологичен редтъй като те се изучават. На първо място са обикновените дроби. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.
Правилно. Числителят му винаги е по-малък от знаменателя.
погрешно Числителят му е по-голям или равен на знаменателя.
Редуцируем/нередуцируем. Може да е както правилно, така и грешно. Друго нещо е важно дали числителят и знаменателят имат общи множители. Ако има, тогава те трябва да разделят двете части на дробта, тоест да я намалят.
Смесени. Цяло число се присвоява на обичайната му правилна (неправилна) дробна част. И винаги стои отляво.
Композитен. Образува се от две фракции, разделени една на друга. Тоест, той има три дробни характеристики наведнъж.
Десетичните числа имат само два подвида:
окончателен, т.е. този, в който дробната част е ограничена (има край);
infinite - число, чиито цифри след десетичната запетая не завършват (могат да се пишат безкрайно).
Как да преобразувам десетични числа в обикновени?
Ако това е крайно число, тогава се прилага асоциация по правилото - както чувам, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна черта.
Като намек за необходимия знаменател, не забравяйте, че той винаги е една и няколко нули. Последните трябва да бъдат записани толкова, колкото са цифрите в дробната част на въпросното число.
Как да конвертирате десетични дроби в обикновени, ако цялата им част липсва, тоест е равна на нула? Например 0,9 или 0,05. След прилагане на посоченото правило се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава да запишем само дробните части. За първото число знаменателят ще бъде 10, за второто - 100. Тоест посочените примери ще имат числа като отговори: 9/10, 5/100. Освен това последното се оказва възможно да се намали с 5. Следователно резултатът за него трябва да бъде записан 1/20.
Как да направим обикновена дроб от десетична, ако цялата й част е различна от нула? Например 5,23 или 13,00108. И двата примера четат цялата част и записват нейната стойност. В първия случай това е 5, във втория 13. След това трябва да преминете към дробната част. С тях е необходимо да се извърши същата операция. Първото число има 23/100, второто има 108/100000. Втората стойност трябва да се намали отново. Отговорът е смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.
Как да преобразувам безкраен десетичен знак в обикновена дроб?
Ако е непериодично, тогава такава операция не може да се извърши. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се преобразува или в крайна, или в периодична.
Единственото нещо, което е позволено да се направи с такава дроб е да се закръгли. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуване в десетична - никога няма да даде първоначалната стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не се превеждат в обикновени дроби. Това трябва да се помни.
Как да напишем безкрайна периодична дроб под формата на обикновена?
В тези числа след десетичната запетая винаги се появяват една или повече цифри, които се повтарят. Те се наричат периоди. Например 0,3(3). Тук "3" в периода. Те се класифицират като рационални, тъй като могат да бъдат превърнати в обикновени дроби.
Тези, които са се сблъсквали с периодични фракции, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с произволни числа и след това започва повторението.
Правилото, по което трябва да напишете безкраен десетичен знак под формата на обикновена дроб, ще бъде различно за тези два вида числа. Доста лесно е да напишете чисти периодични дроби като обикновени дроби. Както при последните, те трябва да бъдат преобразувани: запишете точката в числителя, а числото 9 ще бъде знаменателят, като се повтаря толкова пъти, колкото цифри има в периода.
Например 0,(5). Числото няма цяло число, така че трябва незабавно да преминете към дробната част. В числителя напишете 5, а в знаменателя - 9. Тоест отговорът ще бъде дробта 5/9.
Правило как да напишете обикновена десетична дроб, която е смесена дроб.
Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще има знаменател.
Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.
За да определите числителя, трябва да напишете разликата на две числа. Всички цифри след десетичната запетая ще бъдат намалени, заедно с точката. Изважда се - без точка е.
Например 0,5(8) - запишете периодичната десетична дроб като обикновена дроб. Дробната част преди точката е една цифра. Така че нула ще бъде едно. В периода също има само една цифра - 8. Тоест има само една деветка. Тоест трябва да напишете 90 в знаменателя.
За да определите числителя от 58, трябва да извадите 5. Получава се 53. Например ще трябва да напишете 53/90 като отговор.
Как се преобразуват обикновените дроби в десетични?
Най-простият вариант е число, чийто знаменател е числото 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се изхвърля и между дробното и цели частипоставя се запетая.
Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т.н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Само е необходимо да се умножи не само знаменателят, но и числителят с едно и също число.
За всички останали случаи ще ви бъде полезно едно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай можете да получите два отговора: крайна или периодична десетична дроб.
Действия с обикновени дроби
Събиране и изваждане
Учениците ги опознават по-рано от останалите. И отначало дробите имат еднакви знаменатели, а след това различни. Общите правила могат да бъдат сведени до такъв план.
Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.
Напишете допълнителни множители към всички обикновени дроби.
Умножете числителите и знаменателите по факторите, дефинирани за тях.
Добавете (извадете) числителите на дробите и оставете общия знаменател непроменен.
Ако числителят на умаляваното е по-малък от изваждаемото, тогава трябва да разберете дали имаме смесено число или правилна дроб.
В първия случай целочислената част трябва да вземе единица. Добавете знаменател към числителя на дроб. И след това направете изваждането.
Във втория - е необходимо да се приложи правилото за изваждане от по-малко число към по-голямо. Тоест, извадете модула на умаляваното от модула на изважданото и поставете знака „-“ в отговор.
Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест, разделете числителя на знаменателя.
Умножение и деление
За тяхното прилагане не е необходимо дробите да се свеждат до общ знаменател. Това улеснява предприемането на действия. Но все пак трябва да спазват правилата.
Когато умножавате обикновени дроби, е необходимо да вземете предвид числата в числителите и знаменателите. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат намалени.
Умножете числителите.
Умножете знаменателите.
Ако получите редуцируема дроб, тогава тя трябва да бъде опростена отново.
Когато делите, първо трябва да замените делението с умножение, а делителя (втора дроб) с реципрочна (разменете числителя и знаменателя).
След това продължете както при умножението (започвайки от стъпка 1).
В задачи, в които трябва да умножите (делите) с цяло число, последното трябва да бъде записано във формата неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това продължете както е описано по-горе.
Операции с десетични знаци
Събиране и изваждане
Разбира се, винаги можете да превърнете десетичната дроб в обикновена дроб. И действайте според вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за тяхното събиране и изваждане ще бъдат абсолютно еднакви.
Изравнете броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Задайте липсващия брой нули в него.
Напишете дробите така, че запетаята да е под запетаята.
Добавяне (изваждане) като естествени числа.
Махнете запетаята.
Умножение и деление
Важно е, че не е необходимо да добавяте нули тук. Предполага се, че дробите се оставят така, както са дадени в примера. И след това вървете по план.
За умножение трябва да напишете дроби една под друга, без да обръщате внимание на запетаите.
Умножете като естествени числа.
Поставете запетая в отговора, като преброите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.
За да разделите, първо трябва да преобразувате делителя: направете го естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.
Умножете дивидента по същото число.
Разделете десетичната запетая на естествено число.
Поставете запетая в отговора в момента, в който приключи разделянето на цялата част.
Ами ако в един пример има и двата вида дроби?
Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате операции с обикновени и десетични дроби. Има две възможни решения на тези проблеми. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете най-доброто.
Първи начин: представя обикновени десетични знаци
Подходящо е, ако при разделяне или преобразуване се получат крайни фракции. Ако поне едно число дава периодична част, тогава тази техника е забранена. Следователно, дори и да не обичате да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.
Вторият начин: напишете десетичните дроби като обикновени
Тази техника е удобна, ако има 1-2 цифри в частта след десетичната запетая. Ако има повече от тях, може да се получи много голяма обикновена дроб и десетичните записи ще ви позволят да изчислите задачата по-бързо и по-лесно. Следователно винаги е необходимо трезво да се оцени задачата и да се избере най-простият метод за решение.
Инструкция
Ако в форма дробитрябва да представлява цялото номер, след това използвайте единица като знаменател и поставете първоначалната стойност в числителя. Тази форма на запис се нарича неправилна обикновена дроб, тъй като модулът на нейния числител е по-голям от модула на знаменателя. Например, номер 74 може да се запише като 74/1 и номер-12 е като -12/1. По избор можете да числите и знаменателите еднакъв брой пъти - стойност дробив този случай пак ще съвпада с оригиналния номер. Например 74=74/1=222/3 или -12=-12/1=-84/7.
Ако оригиналът номерпредставени в десетичен формат дроби, след това оставете цялата му част непроменена и заменете разделителната запетая с интервал. Поставете дробната част в числителя и използвайте десетката, повдигната на степен с индикатор, равен на броя на цифрите в дробната част на оригиналното число като знаменател. Получената дробна част може да бъде намалена чрез разделяне на числителя и знаменателя на същото номер. Например десетична дроби 7,625 ще съответства на обикновена дроб 7 625/1000, която след намаляване ще приеме стойност 7 5/8. Тази форма на нотация е обикновена дробисмесен. Ако е необходимо, тя може да бъде намалена до неправилна обикновена форма чрез умножаване на цялата част по знаменателя и добавяне на резултата към числителя: 7,625 \u003d 7 625/1000 \u003d 7 5/8 \u003d 61/8.
Ако оригиналната десетична дроб също е периодична, тогава използвайте, например, система от уравнения, за да изчислите нейния еквивалент във формата дробиобикновени. Да кажем, че ако оригиналната дроб е 3,5(3), тогава идентичността е възможна: 100*x-10*x=100*3,5(3)-10*3,5(3). От него можете да извлечете равенството 90 * x \u003d 318 и че желаната дроб ще бъде равна на 318/90, което след намаляване ще даде обикновена дроб 3 24/45.
източници:
- Може ли числото 450 000 да бъде представено като произведение на 2 числа?
В ежедневието най-често се срещат неестествени числа: 1, 2, 3, 4 и т.н. (5 кг. картофи), и дробни, нецели числа (5,4 кг. лук). Повечето от тях са представени в формадесетични дроби. Но представете десетичната запетая в форма дробидостатъчно просто.
Инструкция
Например, като се има предвид числото "0,12". Ако не тази фракция и я представим такава, каквато е, тогава ще изглежда така: 12/100 ("дванадесет"). За да се отървете от стотици в , трябва да разделите и числителя, и знаменателя на числото, което дели техните числа. Това число е 4. След това, разделяйки числителя и знаменателя, се получава числото: 3/25.
Ако разгледаме по-домакински, тогава често на етикета с цената можете да видите, че теглото му е например около 0,478 кг.Такова число също е лесно да си представите в форма дроби:
478/1000 = 239/500. Тази дроб е доста грозна и ако имаше възможност, тогава тази десетична дроб можеше да бъде намалена допълнително. И всичко по един и същи метод: избиране на число, което дели както числителя, така и знаменателя. Това число е най-големият общ множител. „Най-големият“ множител е, защото е много по-удобно да разделите и числителя, и знаменателя на 4 наведнъж (както в първия пример), отколкото да разделите два пъти на 2.
Подобни видеа
десетична фракция- разнообразие дроби, което има "кръгло" число в знаменателя: 10, 100, 1000 и т.н., напр. фракция 5/10 има десетичен запис 0,5. Въз основа на този принцип, фракцияможе да се представи в формадесетичен знак дроби.
Инструкция
Живеем в дигитален свят. Ако по-рано основните ценности бяха представени от земя, пари или средства за производство, сега технологията и информацията решават всичко. Всеки човек, който иска да успее, е просто длъжен да разбере каквито и да е числа, в каквато и форма да са представени. В допълнение към обичайния десетичен запис има много други удобни начини за представяне на числа (по отношение на конкретни задачи). Нека разгледаме най-често срещаните от тях.
Ще имаш нужда
- Калкулатор
Инструкция
За да представите десетично число като обикновена дроб, първо трябва да погледнете какво е то - или реално. Цял номеризобщо няма запетая или има нула след запетаята (или много нули, което е едно и също). Ако има няколко числа след десетичната запетая, тогава даденото номерсе отнася до реалното. Цял номермного лесно да се представи като дроб: числителят върви сам номер, а в знаменателя - . Десетичната дроб е почти същата, само че ще умножим двете части на дробта по десет, докато се отървем от запетаята в числителя.
Като:
± d m … д 1 д 0 , д -1 д -2 …
където ± е знакът за дроб: или +, или -,
, - десетична точка, която служи като разделител между целите и дробните части на числото,
d k- десетични цифри.
В същото време редът на цифрите преди запетаята (вляво от нея) има край (като min 1-на цифра), а след запетаята (вдясно) може да бъде или краен (като опция , може изобщо да няма цифри след запетаята) и безкрайно.
Десетична стойност ± d m … д 1 д 0 , д -1 д -2 … е реално число:
което е равно на сумата от краен или безкраен брой членове.
Представянето на реални числа с помощта на десетични дроби е обобщение на записа на цели числа в десетичната бройна система. Десетичното представяне на цяло число няма цифри след десетичната запетая и следователно това представяне изглежда така:
± d m … д 1 д 0 ,
И това съвпада със записа на нашето число в десетичната бройна система.
десетична- това е резултатът от разделянето на 1 на 10, 100, 1000 и така нататък. Тези дроби са доста удобни за изчисления, т.к те се основават на същата позиционна система, върху която са изградени броенето и записването на цели числа. Поради това записът и правилата за десетичните дроби са почти същите като за целите числа.
Когато пишете десетични дроби, не е необходимо да отбелязвате знаменателя, той се определя от мястото, което заема съответната цифра. Първо напишете цялата част от числото, след което поставете десетична запетая отдясно. Първата цифра след десетичната запетая показва броя на десетите, втората - броя на стотните, третата - броя на хилядните и т.н. Числата след десетичната запетая са десетични знаци.
Например: 
Едно от предимствата на десетичните дроби е, че те могат много лесно да се преобразуват в обикновени дроби: числото след десетичната запетая (нашето е 5047) е числител; знаменателсе равнява нстепен 10, където н- броят на десетичните знаци (имаме това n=4):
Когато в десетичната дроб няма цяло число, тогава поставяме нула пред десетичната запетая:
Свойства на десетичните дроби.
1. Десетичният знак не се променя, когато се добавят нули отдясно:
13.6 =13.6000.
2. Десетичният знак не се променя, когато нулите, които са в края на десетичния знак, се премахнат:
0.00123000 = 0.00123.
внимание!Нулите, които НЕ са в края на десетичната запетая, не трябва да се премахват!
3. Десетичната дроб се увеличава с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, когато преместим десетичната запетая съответно на 1-добре, 2, 2 и така нататък вдясно:
3,675 → 367,5 (фракцията се е увеличила сто пъти).
4. Десетичната дроб става по-малка от десет, сто, хиляда и така нататък, когато преместим десетичната запетая съответно на 1, 2, 3 и така нататък вляво:
1536.78 → 1.53678 (фракцията е станала хиляда пъти по-малка).
Видове десетични знаци.
Десетичните знаци се делят на финал, безкраени периодични десетични знаци.
Краен десетичен знак -това е дроб, съдържащ краен брой цифри след десетичната запетая (или изобщо ги няма), т.е. изглежда така:
Едно реално число може да бъде представено като крайна десетична дроб само ако това число е рационално и когато е написано като несъкратима дроб p/qзнаменател рняма прости делители, различни от 2 и 5.
Безкраен десетичен знак.
Съдържа безкрайно повтаряща се група от цифри, наречени месечен цикъл. Периодът е изписан в скоби. Например 0,12345123451234512345… = 0.(12345).
Периодичен десетичен знак- това е такава безкрайна десетична дроб, в която последователността от цифри след десетичната точка, започваща от определено място, е периодично повтаряща се група от цифри. С други думи, периодична дробе десетичен знак, който изглежда така:
Такава дроб обикновено се записва накратко така:
Числова група b 1 … b l, което се повтаря, е дробен период, броят на цифрите в тази група е продължителност на периода.
Когато в периодична дроб точката идва веднага след десетичната запетая, тогава дробта е чист периодичен. Когато има числа между запетаята и 1-вата точка, тогава дробта е смесен периодичени група от цифри след десетичната запетая до първия знак за точка - дроб предпериод.
Например, дробта 1,(23) = 1,2323… е чисто периодична, а дробта 0,1(23)=0,12323… е смесена периодична.
Основното свойство на периодичните дроби, поради което се отличават от цялото множество десетични дроби, се крие във факта, че периодичните дроби и само те представляват рационални числа. По-точно се случва следното:
Всеки безкраен повтарящ се десетичен знак представлява рационално число. Обратно, когато едно рационално число се разложи на безкрайна десетична дроб, тогава тази дроб ще бъде периодична.
Тази статия е за десетични знаци. Тук ще се занимаваме с десетичен запис дробни числа, въвеждаме понятието десетична дроб и даваме примери за десетични дроби. След това нека поговорим за цифрите на десетичните дроби, дайте имената на цифрите. След това ще се съсредоточим върху безкрайни десетични дроби, да речем за периодични и непериодични дроби. След това изброяваме основните действия с десетични дроби. В заключение установяваме позицията на десетичните дроби върху координатния лъч.
Навигация в страницата.
Десетичен запис на дробно число
Четене на десетични знаци
Нека кажем няколко думи за правилата за четене на десетични дроби.
Десетичните дроби, които съответстват на правилните обикновени дроби, се четат по същия начин като тези обикновени дроби, само преди това се добавя „нула цяло“. Например десетичната дроб 0,12 съответства на обикновената дроб 12/100 (тя се чете „дванадесет стотни“), следователно 0,12 се чете като „нула точка и дванадесет стотни“.
Десетичните дроби, които съответстват на смесени числа, се четат точно по същия начин като тези смесени числа. Например десетичната дроб 56.002 съответства на смесено число, следователно десетичната дроб 56.002 се чете като "петдесет и шест кома две хилядни."
Места в десетични знаци
При записа на десетичните дроби, както и при записа на естествените числа, стойността на всяка цифра зависи от нейната позиция. Наистина, числото 3 в десетично 0,3 означава три десети, в десетично 0,0003 - три десетхилядни, а в десетично 30 000,152 - три десетки хиляди. Така можем да говорим за цифри в десетични знаци, както и за цифрите в естествените числа.
Имена на цифри в десетична дроб до десетична запетаянапълно съвпадат с имената на цифрите в естествените числа. А имената на цифрите в десетичната дроб след десетичната запетая се виждат от следващата таблица.
Например в десетичната дроб 37.051 числото 3 е на мястото на десетиците, 7 е на мястото на единиците, 0 е на десетото място, 5 е на стотното място, 1 е на хилядното място.
Цифрите в десетичната дроб също се различават по старшинство. Ако се движим от цифра на цифра отляво надясно в десетичния запис, тогава ще се движим от Старшида се младши чинове. Например, цифрата на стотните е по-стара от цифрата на десетите, а цифрата на милионните е по-млада от цифрата на стотните. В тази последна десетична дроб можем да говорим за най-значимите и най-малко значимите цифри. Например в десетична 604.9387 старши (най-висок)цифрата е цифрата на стотиците и младши (най-нисък)- десетхилядно място.
За десетични дроби се извършва разгъване в цифри. То е аналогично на разлагането в цифри на естествените числа. Например десетичното разширение на 45.6072 е: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. И свойствата на добавяне от разширяването на десетична дроб в цифри ви позволяват да отидете до други представяния на тази десетична дроб, например 45.6072=45+0.6072 или 45.6072=40.6+5.007+0.0002 или 45.6072= 45.0072+0.6 .
Крайни десетични знаци
До тук говорихме само за десетични дроби, в чийто запис има краен брой цифри след десетичната запетая. Такива дроби се наричат крайни десетични дроби.
Определение.
Крайни десетични знаци- Това са десетични дроби, чиито записи съдържат краен брой знаци (цифри).
Ето няколко примера за крайни десетични знаци: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.
Въпреки това, не всяка обикновена дроб може да бъде представена като крайна десетична дроб. Например дробта 5/13 не може да бъде заменена с равна дроб с един от знаменателите 10, 100, ..., следователно не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб. Ще говорим повече за това в теоретичния раздел за преобразуване на обикновени дроби в десетични дроби.
Безкрайни десетични дроби: периодични дроби и непериодични дроби
Когато пишете десетична дроб след десетична запетая, можете да позволите възможността за безкраен брой цифри. В този случай ще стигнем до разглеждането на така наречените безкрайни десетични дроби.
Определение.
Безкрайни десетични знаци- Това са десетични дроби, в записа на които има безкраен брой цифри.
Ясно е, че не можем да запишем безкрайните десетични дроби изцяло, поради което при записването им те се ограничават само до определен краен брой цифри след десетичната запетая и поставят многоточие, обозначаващо безкрайно продължаваща последователност от цифри. Ето няколко примера за безкрайни десетични дроби: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….
Ако се вгледате внимателно в последните две безкрайни десетични дроби, тогава във фракцията 2.111111111 ... безкрайно повтарящото се число 1 е ясно видимо, а във фракцията 69.74152152152 ..., започвайки от третия знак след десетичната запетая, повтарящата се група от числа 1, 5 и 2 се вижда ясно. Такива безкрайни десетични дроби се наричат периодични.
Определение.
Периодични десетични знаци(или просто периодични дроби) са безкрайни десетични дроби, в записа на които, започвайки от определен знак след десетичната запетая, има някаква цифра или група от цифри, която се нарича дробен период.
Например периодът на периодичната дроб 2.111111111… е числото 1, а периодът на дробта 69.74152152152… е група от числа като 152.
За безкрайни периодични десетични дроби се приема специална формазаписи. За краткост се разбрахме да изпишем точката веднъж, като я поставим в скоби. Например периодичната дроб 2.111111111… се записва като 2,(1) , а периодичната дроб 69.74152152152… се записва като 69.74(152) .
Струва си да се отбележи, че за същата периодична десетична дроб можете да посочите различни периоди. Например, периодичният десетичен знак 0.73333… може да се разглежда като дроб 0.7(3) с период 3, както и дроб 0.7(33) с период 33 и така нататък 0.7(333), 0.7 (3333) ), ... Можете също така да разгледате периодичната дроб 0,73333 ... така: 0,733(3) или така 0,73(333) и т.н. Тук, за да избегнем двусмислие и непоследователност, ние се съгласяваме да считаме за период на десетична дроб най-кратката от всички възможни последователности от повтарящи се цифри и започвайки от най-близката позиция до десетичната запетая. Тоест периодът на десетичната дроб 0.73333… ще се счита за последователност от една цифра 3, а периодичността започва от втората позиция след десетичната запетая, тоест 0.73333…=0.7(3) . Друг пример: периодичната дроб 4.7412121212… има период 12, периодичността започва от третата цифра след десетичната запетая, тоест 4.7412121212…=4.74(12) .
Безкрайни десетични периодични дроби се получават чрез преобразуване в десетични дроби на обикновени дроби, чиито знаменатели съдържат прости множители, различни от 2 и 5.
Тук си струва да споменем периодични дроби с период 9. Ето примери за такива дроби: 6.43(9) , 27,(9) . Тези дроби са друга нотация за периодични дроби с период 0 и е обичайно да се заменят с периодични дроби с период 0. За да направите това, период 9 се заменя с период 0 и стойността на следващата най-висока цифра се увеличава с единица. Например дроб с период 9 от формата 7,24(9) се заменя с периодична дроб с период 0 от формата 7,25(0) или равна крайна десетична дроб от 7,25. Друг пример: 4,(9)=5,(0)=5 . Равенството на дроб с период 9 и съответстващата й дроб с период 0 се установява лесно след замяна на тези десетични дроби с техните равни обикновени дроби.
И накрая, нека разгледаме по-отблизо безкрайните десетични числа, които нямат безкрайно повтаряща се последователност от цифри. Те се наричат непериодични.
Определение.
Неповтарящи се десетични знаци(или просто непериодични дроби) са безкрайни десетични знаци без точка.
Понякога непериодичните дроби имат форма, подобна на тази на периодичните дроби, например 8,02002000200002 ... е непериодична дроб. В тези случаи трябва да сте особено внимателни, за да забележите разликата.
Имайте предвид, че непериодичните дроби не се преобразуват в обикновени дроби, безкрайните непериодични десетични дроби представляват ирационални числа.
Операции с десетични знаци
Едно от действията с десетични числа е сравнението, като също така са дефинирани четири основни аритметики операции с десетични знаци: събиране, изваждане, умножение и деление. Разгледайте отделно всяко от действията с десетични дроби.
Десетично сравнениепо същество се основава на сравнение на обикновени дроби, съответстващи на сравнените десетични дроби. Преобразуването на десетични дроби в обикновени обаче е доста трудоемка операция и безкрайните неповтарящи се дроби не могат да бъдат представени като обикновена дроб, така че е удобно да се използва побитово сравнение на десетични дроби. Побитовото сравнение на десетични числа е подобно на сравнението на естествени числа. За по-подробна информация ви препоръчваме да проучите сравнението на материала на статията на десетични дроби, правила, примери, решения.
Да преминем към следващата стъпка - умножение на десетични знаци. Умножението на крайните десетични дроби се извършва подобно на изваждането на десетични дроби, правила, примери, решения за умножение по колона от естествени числа. При периодичните дроби умножението може да се сведе до умножение на обикновени дроби. От своя страна умножението на безкрайни непериодични десетични дроби след тяхното закръгляне се свежда до умножаване на крайни десетични дроби. Препоръчваме допълнително изучаване на материала на статията умножение на десетични дроби, правила, примери, решения.
Десетични знаци върху координатния лъч
Има едно към едно съответствие между точките и десетичните знаци.
Нека да разберем как се конструират точки върху координатния лъч, съответстващ на дадена десетична дроб.
Можем да заменим крайните десетични дроби и безкрайните периодични десетични дроби с равни на тях обикновени дроби и след това да конструираме съответните обикновени дроби върху координатния лъч. Например десетична дроб 1.4 съответства на обикновена дроб 14/10, следователно точката с координата 1.4 се отстранява от началото в положителна посока с 14 сегмента, равни на една десета от един сегмент.
Десетичните дроби могат да бъдат маркирани на координатния лъч, като се започне от разширяването на тази десетична дроб в цифри. Например, да кажем, че трябва да изградим точка с координата 16.3007, тъй като 16.3007=16+0.3+0.0007, тогава в дадена точкаможе да се достигне чрез последователно полагане на 16 единични сегмента от началото, 3 сегмента, чиято дължина е равна на една десета от единичен сегмент, и 7 сегмента, чиято дължина е равна на десетхилядна част от единичен сегмент .
Този начин на изграждане десетични числана координатния лъч ви позволява да се приближите колкото искате до точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб.
Понякога е възможно точно да се начертае точка, съответстваща на безкраен десетичен знак. Например, 
, тогава тази безкрайна десетична дроб 1,41421... съответства на точката на координатния лъч, отдалечена от началото с дължината на диагонала на квадрат със страна 1 единичен сегмент.
Обратният процес на получаване на десетична дроб, съответстваща на дадена точка от координатния лъч, е т.нар. десетично измерване на сегмент. Да видим как се прави.
Нека нашата задача е да стигнем от началото до дадена точка на координатната линия (или безкрайно да се приближаваме до нея, ако е невъзможно да стигнем до нея). С десетично измерване на сегмент можем последователно да отложим произволен брой единични сегменти от началото, след това сегменти, чиято дължина е равна на една десета от единичен сегмент, след това сегменти, чиято дължина е равна на една стотна от единичен сегмент и т.н. . Записвайки броя на начертаните сегменти от всяка дължина, получаваме десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатния лъч.
Например, за да стигнете до точка M на горната фигура, трябва да отделите 1 единичен сегмент и 4 сегмента, чиято дължина е равна на десета от единицата. Така точката М съответства на десетичната дроб 1,4.
Ясно е, че точките на координатния лъч, които не могат да бъдат достигнати по време на десетичното измерване, съответстват на безкрайни десетични дроби.
Библиография.
- Математика: проучвания. за 5 клетки. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 клас: учебник. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро изд., Рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
