Дискриминантът е двусмислен термин. Тази статия ще се фокусира върху дискриминанта на полином, който ви позволява да определите дали даден полином има реални решения. Формулата за квадратен полином се намира в училищния курс по алгебра и анализ. Как да намерим дискриминанта? Какво е необходимо за решаване на уравнението?

Нарича се квадратен полином или уравнение от втора степен i * w ^ 2 + j * w + k равно на 0, където "i" и "j" са съответно първият и вторият коефициент, "k" е константа, понякога наричана "отсечка", а "w" е променлива. Неговите корени ще бъдат всички стойности на променливата, при която се превръща в идентичност. Такова равенство може да бъде пренаписано като произведение от i, (w - w1) и (w - w2), равно на 0. В този случай е очевидно, че ако коефициентът "i" не се равнява на нула, тогава функцията на лявата страна ще стане нула само ако x приеме стойност w1 или w2. Тези стойности са резултат от настройката на полинома на нула.

За да се намери стойността на променлива, при която квадратният полином се нулира, се използва спомагателна конструкция, изградена върху нейните коефициенти и наречена дискриминант. Тази конструкция се изчислява по формулата D е равно на j * j - 4 * i * k. Защо се използва?

1. Тя казва дали има валидни резултати.
2. Тя помага да ги изчислите.

Как тази стойност показва наличието на реални корени:

• Ако е положителен, тогава можете да намерите два корена в областта на реалните числа.
• Ако дискриминантът е нула, тогава и двете решения са еднакви. Можем да кажем, че има само едно решение и то е от сферата на реалните числа.
• Ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава полиномът няма реални корени.

Опции за изчисление за фиксиране на материала

За сума (7 * w^2; 3 * w; 1), равна на 0изчисляваме D по формулата 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 получаваме -19. Дискриминантна стойност под нула показва, че няма резултати на реалната линия.

Ако приемем, че 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 е еквивалентно на 0, тогава D се изчислява като (-3) на квадрат минус произведението на числата (4; 2; 1) и е равно на 9 - 8, тоест 1. Положителната стойност показва два резултата на реалната линия.

Ако вземем сумата (w^2; 2 * w; 1) и приравним на 0, D се изчислява като две на квадрат минус произведението на числата (4; 1; 1). Този израз ще се опрости до 4 - 4 и ще се превърне в нула. Оказва се, че резултатите са същите. Ако се вгледате внимателно в тази формула, ще стане ясно, че това е " пълен квадрат". Това означава, че равенството може да бъде пренаписано във формата (w + 1) ^ 2 = 0. Стана очевидно, че резултатът в тази задача е „-1“. В ситуация, в която D е равно на 0, лявата страна на равенството винаги може да се свие съгласно формулата „квадрат на сумата“.

Използване на дискриминанта за изчисляване на корени

Тази спомагателна конструкция не само показва броя на реалните решения, но и помага за намирането им. Обща формулаизчислението за уравнението от втора степен е както следва:

w = (-j +/- d) / (2 * i), където d е дискриминантът на степен 1/2.

Да предположим, че дискриминантът е под нула, тогава d е имагинерно и резултатите са имагинерни.

D е нула, тогава d равно на D на степен 1/2 също е нула. Решение: -j / (2 * i). Разглеждайки отново 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, намираме резултати, еквивалентни на -2 / (2 * 1) = -1.

Да предположим, че D > 0, така че d е реално число и отговорът тук се разделя на две части: w1 = (-j + d) / (2 * i) и w2 = (-j - d) / (2 * i) . И двата резултата ще бъдат валидни. Нека да разгледаме 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Тук дискриминантът и d са единици. Така че w1 е (3 + 1), делено на (2 * 2) или 1, а w2 е (3 - 1), делено на 2 * 2 или 1/2.

Резултатът от приравняването на квадратен израз към нула се изчислява съгласно алгоритъма:

1. Определяне на броя на валидните решения.
2. Изчисление d = D^(1/2).
3. Намиране на резултата по формулата (-j +/- d) / (2 * i).
4. Заместване на получения резултат в изходно равенство за проверка.

Някои специални случаи

В зависимост от коефициентите решението може да бъде донякъде опростено. Очевидно, ако коефициентът пред променливата на втора степен е нула, тогава се получава линейно равенство. Когато коефициентът пред променливата е нула на първа степен, тогава са възможни две опции:

1. полиномът се разширява в разликата на квадратите с отрицателен свободен член;
2. за положителна константа не могат да бъдат намерени реални решения.

Ако свободният член е нула, тогава корените ще бъдат (0; -j)

Но има и други специални случаи, които опростяват намирането на решение.

Редуцирано уравнение от втора степен

Даденото се наричатакива квадратен тричлен, където коефициентът пред водещия член е единица. За тази ситуация е приложима теоремата на Vieta, която казва, че сумата от корените е равна на коефициента на променливата на първа степен, умножен по -1, а продуктът съответства на константата "k".

Следователно w1 + w2 е равно на -j и w1 * w2 е равно на k, ако първият коефициент е едно. За да проверим коректността на такова представяне, можем да изразим w2 = -j - w1 от първата формула и да го заместим във второто равенство w1 * (-j - w1) = k. Резултатът е първоначалното равенство w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Важно е да се отбележиче i * w ^ 2 + j * w + k = 0 може да се намали чрез разделяне на "i". Резултатът ще бъде: w^2 + j1 * w + k1 = 0, където j1 е равно на j/i и k1 е равно на k/i.

Нека разгледаме вече решеното 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 с резултатите w1 = 1 и w2 = 1/2. Необходимо е да го разделим наполовина, в резултат на това w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Нека проверим дали условията на теоремата са верни за намерените резултати: 1 + 1/2 = 3/2 и 1 * 1/2 = 1 /2.

Дори втори фактор

Ако факторът на променливата на първа степен (j) се дели на 2, тогава ще бъде възможно да се опрости формулата и да се търси решение чрез една четвърт от дискриминанта D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. оказва се w = (-j +/- d/2) / i, където d/2 = D/4 на степен 1/2.

Ако i = 1 и коефициентът j е четен, тогава решението е произведение от -1 и половината от коефициента в променливата w, плюс/минус корена на квадрат от тази половина, минус константата "k". Формула: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Дискриминант от по-висок порядък

Дискриминантът от втора степен, разгледан по-горе, е най-често използваният специален случай. В общия случай дискриминантът на полином е умножените квадрати на разликите на корените на този многочлен. Следователно дискриминантът нулапоказва наличието на поне две множествени решения.

Да разгледаме i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Да кажем, че дискриминантът е по-голям от нула. Това означава, че има три корена в областта на реалните числа. При нула има множество решения. Ако Д< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Видео

Нашето видео ще ви разкаже подробно за изчисляването на дискриминанта.

Не получихте отговор на въпроса си? Предложете тема на авторите.

Да работим с квадратни уравнения. Това са много популярни уравнения! В самата общ изгледквадратното уравнение изглежда така:

Например:

Тук а =1; b = 3; ° С = -4

Тук а =2; b = -0,5; ° С = 2,2

Тук а =-3; b = 6; ° С = -18

Е, схванахте идеята...

Как се решават квадратни уравнения?Ако имате квадратно уравнение в тази форма, тогава всичко е просто. Помним Вълшебна дума дискриминанта . Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „решете чрез дискриминанта“ е успокояваща и успокояваща. Защото няма нужда да чакате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно. И така, формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака на корена е същият дискриминанта. Както можете да видите, за да намерим x, използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и cв тази формула и помислете. Заместител с вашите знаци! Например за първото уравнение а =1; b = 3; ° С= -4. Тук пишем:

Пример почти решен:

Това е всичко.

Какви случаи са възможни при използване на тази формула? Има само три случая.

1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че можете да извлечете корена от него. Дали коренът се извлича добре или зле е друг въпрос. Важно е какво се добива по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви. Но това играе роля при неравенствата, където ще проучим въпроса по-подробно.

3. Дискриминантът е отрицателен. Отрицателното число не взема корен квадратен. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Всичко е много просто. И как мислите, не можете да сбъркате? Ами да, как...
Най-честите грешки са объркване със знаците на стойностите a, b и c. Или по-скоро не с техните знаци (къде има да се бърка?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук се запазва подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, Така че, го направи!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

Тук а = -6; b = -5; c=-1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броя на грешките ще спадне рязко. Така че ние пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но само изглежда. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или правилно? Освен това ще те направя щастлив. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Просто ще се окаже правилно. Особено ако прилагате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси ще се разреши лесно и без грешки!

Така, как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който запомнихме. Или научих, което също е добре. Можете ли правилно да идентифицирате a, b и c. Знаеш ли как внимателнозаменете ги в коренната формула и внимателнопребройте резултата. Разбрахте ли това ключова думатук - внимателно?

Квадратните уравнения обаче често изглеждат малко по-различно. Например така:

то непълни квадратни уравнения . Те също могат да бъдат решени чрез дискриминанта. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук a, b и c.

Осъзнах? В първия пример а = 1; b = -4;а ° С? Изобщо не съществува! Ами да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е всичко. Заменете нула във формулата вместо ° С,и всичко ще ни се нареди. По същия начин и с втория пример. Тук нямаме само нула с, а b !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никаква дискриминация. Разгледайте първото непълно уравнение. Какво може да се направи от лявата страна? Можете да извадите X от скобите! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че произведението е равно на нула, ако и само ако някой от факторите е равен на нула! не вярвате? Е, тогава измислете две ненулеви числа, които при умножаване ще дадат нула!
Не работи? нещо...
Следователно можем уверено да напишем: х = 0, или х = 4

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете стават. Когато заместваме някое от тях в първоначалното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто, отколкото чрез дискриминанта.

Второто уравнение също може лесно да бъде решено. Преместваме 9 в дясната страна. Получаваме:

Остава да извлечете корена от 9 и това е всичко. Вземете:

също два корена . x = +3 и x = -3.

Ето как се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез изваждане на X извън скобите, или чрез просто прехвърляне на числото вдясно, последвано от извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези методи. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби ...

Сега обърнете внимание на практическите техники, които значително намаляват броя на грешките. Тези, които се дължат на невнимание ... За които тогава е болезнено и обидно ...

Първи прием. Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение, за да го приведете в стандартна форма. Какво означава това?
Да предположим, че след всички трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете формулата на корените! Почти сигурно ще объркате шансовете a, b и c.Изградете примера правилно. Първо х на квадрат, след това без квадрат, след това свободен член. Като този:

И отново, не бързайте! Минусът преди х на квадрат може да ви разстрои много. Лесно е да го забравиш... Отърви се от минуса. как? Да, както беше казано в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

И сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите примера. Решете сами. Трябва да завършите с корени 2 и -1.

Втори прием.Проверете корените си! Според теоремата на Виета. Не се притеснявайте, ще ви обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, с която записахме формулата на корените. Ако (както в този пример) коеф а = 1, проверете корените лесно. Достатъчно е да ги умножите. Трябва да получите безплатен термин, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! безплатен член с твоя знак . Ако не се получи, значи вече са объркали някъде. Потърсете грешка. Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да има съотношение bс противоположност знак. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент b, което е преди x, е равно на -1. Така че всичко е точно!
Жалко е, че е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете такива уравнения! Ще има по-малко грешки.

Прием трети. Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общия знаменател, както е описано в предишния раздел. Когато работите с дроби, грешките по някаква причина се изкачват ...

Между другото, обещах зъл пример с куп минуси за опростяване. Моля те! Ето го.

За да не се объркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Решаването е забавно!

Така че нека повторим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартната форма, изграждаме го точно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния фактор.

4. Ако х на квадрат е чисто, коефициентът за него е равен на единица, решението може лесно да се провери чрез теоремата на Виета. Направи го!

Дробни уравнения. ОДЗ.

Продължаваме да овладяваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Остава последният изглед дробни уравнения. Или те също се наричат ​​много по-солидни - дробни рационални уравнения. Това е същото.

Дробни уравнения.

Както подсказва името, тези уравнения непременно съдържат дроби. Но не само дроби, а дроби, които имат неизвестен в знаменателя. Поне в едно. Например:

Нека ви напомня, ако само в знаменателите числа, това са линейни уравнения.

Как да решим дробни уравнения? На първо място, отървете се от дробите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим... В някои случаи може да се превърне в идентичност, като 5=5 или в неправилен израз, като 7=2. Но това рядко се случва. По-долу ще го спомена.

Но как да се отървем от дробите!? Много просто. Прилагане на всички същите идентични трансформации.

Трябва да умножим цялото уравнение по същия израз. Така че всички знаменатели да намалеят! Всичко веднага ще стане по-лесно. Обяснявам с пример. Да кажем, че трябва да решим уравнението:

Как са ги учили в началното училище? Прехвърляме всичко в една посока, свеждаме го до общ знаменател и т.н. Забравете колко лош сън! Това е, което трябва да направите, когато събирате или изваждате дробни изрази. Или работете с неравенства. И в уравненията ние веднага умножаваме двете части по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?

От лявата страна, за да намалите знаменателя, трябва да умножите по х+2. А отдясно се изисква умножение по 2. Така че уравнението трябва да се умножи по 2(x+2). Ние умножаваме:

Това е обичайното умножение на дроби, но ще напиша подробно:

Моля, обърнете внимание, че все още не отварям скобите. (x + 2)! И така, изцяло го пиша:

От лявата страна е намален изцяло (x+2), а в дясно 2. Както е необходимо! След намаляване получаваме линеенуравнението:

Всеки може да реши това уравнение! х = 2.

Нека решим друг пример, малко по-сложен:

Ако си спомним, че 3 = 3/1 и 2x = 2x/ 1 може да се напише:

И отново се отърваваме от това, което наистина не харесваме - от дроби.

Виждаме, че за да намалим знаменателя с x, е необходимо дробта да се умножи по (x - 2). И единиците не са ни пречка. Е, нека да умножим. всичколявата страна и всичкоправилната страна:

Отново скоби (x - 2)не разкривам. Работя със скобата като цяло, все едно е един номер! Това трябва да се прави винаги, в противен случай нищо няма да се намали.

С чувство на дълбоко задоволство режем (x - 2)и получаваме уравнението без никакви дроби, в линийка!

И сега отваряме скобите:

Даваме подобни, прехвърляме всичко от лявата страна и получаваме:

Класическо квадратно уравнение. Но минусът напред не е добър. Винаги можете да се отървете от него, като умножите или разделите на -1. Но ако се вгледате внимателно в примера, ще забележите, че е най-добре да разделите това уравнение на -2! С един замах минусът ще изчезне и коефициентите ще станат по-хубави! Делим на -2. От лявата страна - термин по термин, а отдясно - просто разделете нула на -2, нула и вземете:

Решаваме чрез дискриминанта и проверяваме според теоремата на Виета. Получаваме x=1 и x=3. Два корена.

Както можете да видите, в първия случай уравнението след трансформацията стана линейно, а тук то е квадратно. Случва се, след като се отървете от дроби, всички x се намаляват. Има нещо останало, като 5=5. Означава, че x може да бъде всичко. Каквото и да е, все ще бъде намалено. И разберете чистата истина, 5=5. Но след като се отървете от дробите, може да се окаже, че е напълно невярно, като например 2=7. И това означава, че няма решения! При произволно x то се оказва невярно.

Осъзнах основен начинрешения дробни уравнения? Това е просто и логично. Променяме оригиналния израз, така че всичко, което не ни харесва, да изчезне. Или пречи. В този случай това са дроби. Ще направим същото с всички сложни примерис логаритми, синуси и други ужасии. Ние винагище се отървем от всичко това.

Трябва обаче да променим оригиналния израз в посоката, от която се нуждаем според правилата, да ... Разработката на която е подготовката за изпита по математика. Тук се учим.

Сега ще научим как да заобиколим един от основните засади на изпита! Но първо, нека видим дали попадате в него или не?

Да вземем прост пример:

Материята вече е позната, умножаваме двете части по (x - 2), получаваме:

Запомнете, със скоби (x - 2)работа с един цяло изражение!

Тук вече не написах този в знаменателите, недостойно ... И не нарисувах скоби в знаменателите, с изключение на х - 2няма нищо, не можете да рисувате. Съкращаваме:

Отваряме скобите, преместваме всичко вляво, даваме подобни:

Решаваме, проверяваме, получаваме два корена. х = 2и х = 3. Отлично.

Да предположим, че задачата казва да се запише коренът или тяхната сума, ако има повече от един корен. Какво ще пишем?

Ако решите, че отговорът е 5, вие бяха устроени от засада. И задачата няма да ви бъде зачетена. Напразно са работили... Верният отговор е 3.

Какъв е проблема?! И се опитайте да проверите. Заменете стойностите на неизвестното в оригиналенпример. И ако при х = 3всичко расте заедно чудесно, получаваме 9 = 9, след това с х = 2дели на нула! Какво категорично не може да се направи. Средства х = 2не е решение и не се взема предвид в отговора. Това е така нареченият външен или допълнителен корен. Просто го изхвърляме. Има само един последен корен. х = 3.

Как така?! Чувам възмутени възгласи. Учеха ни, че едно уравнение може да се умножи по израз! то трансформация на идентичността!

Да, идентични. При малко условие - изразът, с който умножаваме (делим) - различен от нула. НО х - 2при х = 2е равно на нула! Така че всичко е честно.

И сега какво мога да направя?! Не умножавайте по израз? Проверявате ли всеки път? Пак неясно!

Спокойно! Без паника!

В тази трудна ситуация три магически букви ще ни спасят. Знам какво си мислеше. Правилно! то ОДЗ . Област на валидни стойности.

важно! При корени с четна кратност функцията не променя знака.

Забележка! Всяко нелинейно неравенство от училищен курс по алгебра трябва да бъде решено с помощта на метода на интервалите.

Предлагам ви подробна алгоритъм за решаване на неравенства по интервалния метод, след което можете да избегнете грешки, когато решаване на нелинейни неравенства.

Решение квадратни уравненияс отрицателни дискриминанти

Както знаем,

аз 2 = - 1.

Въпреки това,

(- аз ) 2 = (- 1 аз ) 2 = (- 1) 2 аз 2 = -1.

По този начин има поне две стойности за корен квадратен от -1, а именно аз и - аз . Но може би има други комплексни числа, чиито квадрати са - 1?

За да изясним този въпрос, да предположим, че квадратът на комплексно число a + bi е равно на - 1. Тогава

(a + bi ) 2 = - 1,

а 2 + 2аби - b 2 = - 1

Две комплексни числа са равни тогава и само тогава, когато техните реални части и коефициентите на имагинерните части са равни. Ето защо

{	и 2 - b 2 = - 1 аб = 0 (1)

Според второто уравнение на системата (1), поне едно от числата а и b трябва да е равно на нула. Ако b = 0, тогава първото уравнение дава а 2 = - 1. Число а истински, и следователно а 2 > 0. Неотрицателно число а 2 не може да е равно отрицателно число- 1. Следователно равенството b = 0 е невъзможно в този случай. Остава да се признае, че а = 0, но тогава от първото уравнение на системата получаваме: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Следователно единствените комплексни числа, чиито квадрати са -1, са числата аз и - аз , Това условно се записва като:

√-1 = ± аз .

Чрез подобни разсъждения учениците могат да проверят, че има точно две числа, чиито квадрати са равни на отрицателно число - а . Тези числа са √ ai и -√ ai . Обикновено се пише така:

√- а = ± √ ai .

Под √ а тук се има предвид аритметичният, тоест положителен корен. Например, √4 = 2, √9 =.3; Ето защо

√-4 = + 2аз , √-9= ± 3 аз

Ако по-рано, когато разглеждахме квадратни уравнения с отрицателни дискриминанти, казахме, че такива уравнения нямат корени, сега вече не е възможно да се каже така. Квадратните уравнения с отрицателни дискриминанти имат комплексни корени. Тези корени се получават по известни на нас формули. Нека, например, като се има предвид уравнението х 2 + 2х + 5 = 0; тогава

х 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 аз .

Така че това уравнение има два корена: х 1 = - 1 +2аз , х 2 = - 1 - 2аз . Тези корени са взаимно спрегнати. Интересно е да се отбележи, че сборът им е равен на - 2, а произведението е 5, така че теоремата на Виета е изпълнена.

Понятието комплексно число

Комплексното число е израз на формата a + ib, където a и b са произволни реални числа, i е специално число, което се нарича имагинерна единица. За такива изрази понятията за равенство и операциите събиране и умножение се въвеждат, както следва:

1. За две комплексни числа a + ib и c + id се казва, че са равни тогава и само тогава
   a = b и c = d.
2. Сборът от две комплексни числа a + ib и c + id е комплексно число
   a + c + i (b + d).
3. Произведението на две комплексни числа a + ib и c + id е комплексно число
   ac - bd + i (ad + bc).

Комплексните числа често се означават с една буква, като z = a + ib. Реалното число a се нарича реална част от комплексното число z, реалната част се означава с a = Re z . Реалното число b се нарича имагинерна част на комплексното число z, имагинерната част се обозначава с b = Im z . Такива имена се избират във връзка със следните специални свойства на комплексните числа.

Обърнете внимание, че аритметичните операции с комплексни числа от вида z = a + i · 0 се извършват точно по същия начин, както с реални числа. Наистина ли,

Следователно комплексните числа от формата a + i · 0 естествено се идентифицират с реални числа. Поради това комплексните числа от този вид се наричат ​​просто реални. И така, множеството от реални числа се съдържа в множеството от комплексни числа. Множеството от комплексни числа се означава с . Установихме това, а именно

За разлика от реалните числа, числата под формата 0 + ib се наричат ​​чисто въображаеми. Често просто пишете bi, например 0 + i 3 = 3 i. Едно чисто въображаемо число i1 = 1 i = i има изненадващо свойство:
По този начин,

№ 4 .1. В математиката числова функция е функция, чиито домейни и стойности са подмножества от набори от числа - обикновено набор от реални числа или набор от комплексни числа.

Функционална графика

Фрагмент на функционалната графика

Начини за задаване на функция

[редактиране] Аналитичен метод

Обикновено функцията се дефинира с помощта на формула, която включва променливи, операции и елементарни функции. Може би присвояване на части, т.е. различно за различни стойности на аргумента.

[редактиране] Табличен начин

Една функция може да бъде дефинирана чрез изброяване на всички нейни възможни аргументи и техните стойности. След това, ако е необходимо, функцията може да бъде разширена за аргументи, които не са в таблицата, чрез интерполация или екстраполация. Примери за това са ръководство за програмата, график на влака или таблица със стойности за булева функция:

[редактиране] Графичен начин

Осцилограмата задава графично стойността на някаква функция.

Една функция може да бъде зададена графично чрез показване на набор от точки от нейната графика върху равнина. Това може да бъде груба скица на това как трябва да изглежда функцията или показания, взети от инструмент като осцилоскоп. Тази спецификация може да страда от липса на точност, но в някои случаи други методи за спецификация изобщо не могат да бъдат приложени. В допълнение, този начин на настройка е един от най-представителните, лесни за разбиране и висококачествени евристични анализи на функцията.

[редактиране] Рекурсивен начин

Една функция може да бъде дефинирана рекурсивно, тоест чрез себе си. В този случай някои стойности на функцията се определят чрез другите й стойности.

• факториел;
• Числата на Фибоначи;
• Функция на Акерман.

[редактиране] словесен начин

Една функция може да бъде описана с думи на естествен език по някакъв недвусмислен начин, например чрез описание на нейните входни и изходни стойности или алгоритъма, чрез който функцията присвоява съответствия между тези стойности. Заедно с графично, понякога това е единственият начин да се опише функция, въпреки че естествените езици не са толкова детерминистични, колкото формалните.

• функция, която връща цифра в нотацията на pi чрез нейното число;
• функция, която връща броя на атомите във Вселената в даден момент от време;
• функция, която приема човек като аргумент и връща броя на хората, които ще се родят на света след неговото раждане

AT модерно обществоспособността да се работи с уравнения, съдържащи квадратна променлива, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко в практиката в научните и технически разработки. Това може да се докаже от дизайна на морски и речни кораби, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления се определят траекториите на движение на различни тела, включително космически обекти. Примери с решение на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и в най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те могат да бъдат необходими на къмпинг, на спортни събития, в магазини при пазаруване и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на съставни множители

Степента на уравнението се определя от максималната стойност на степента на променливата, която съдържа дадения израз. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратно уравнение.

Ако говорим на езика на формулите, тогава тези изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат доведени до формата, когато лявата страна на израза се състои от три члена. Сред тях: ax 2 (т.е. променлива на квадрат с нейния коефициент), bx (неизвестно без квадрат с нейния коефициент) и c (свободен компонент, т.е. обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случай, че такъв полином няма нито един от съставните си членове, с изключение на ос 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Първо трябва да се разгледат примери с решението на такива задачи, в които не е трудно да се намери стойността на променливите.

Ако изразът изглежда така, сякаш има два члена от дясната страна на израза, по-точно ax 2 и bx, най-лесно е да намерите x, като поставите променливата в скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x(ax+b). Освен това става очевидно, че или x=0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax+b=0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото казва, че произведението на два фактора води до 0 само ако единият от тях е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на тела под действието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета за начало. Тук математическата нотация приема следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Чрез заместване на необходимите стойности, приравняване на дясната страна на 0 и намиране на възможни неизвестни, можете да разберете времето, изминало от момента на издигане на тялото до момента на падане, както и много други количества. Но ще говорим за това по-късно.

Факторизиране на израз

Описаното по-горе правило позволява решаването на тези проблеми в по-сложни случаи. Разгледайте примери с решението на квадратни уравнения от този тип.

X2 - 33x + 200 = 0

Този квадратен трином е пълен. Първо трансформираме израза и го разлагаме на множители. Има два от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примерите с решението на квадратни уравнения в 9 клас позволяват този метод да намери променлива в изрази не само от втория, но дори от третия и четвъртия ред.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Когато разлагаме дясната страна на множители с променлива, има три от тях, а именно (x + 1), (x-3) и (x + 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -един; 3.

Извличане на корен квадратен

Друг случай непълно уравнениевтори ред е израз, изразен на езика на буквите по такъв начин, че дясна часте изграден от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля в дясната страна и след това квадратният корен се извлича от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случай обикновено има два корена на уравнението. Единствените изключения са равенства, които изобщо не съдържат термина c, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна се оказва отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да бъдат извършени с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се появи в древни времена, тъй като развитието на математиката в онези далечни времена до голяма степен се дължи на необходимостта да се определят площите и периметрите на парцелите с най-голяма точност.

Трябва да разгледаме и примери с решението на квадратни уравнения, съставени въз основа на задачи от този вид.

И така, да кажем, че има правоъгълно парче земя, чиято дължина е с 16 метра повече от ширината. Трябва да намерите дължината, ширината и периметъра на обекта, ако е известно, че неговата площ е 612 m 2.

Пристъпвайки към работата, първо ще направим необходимото уравнение. Нека обозначим ширината на сечението като x, тогава дължината му ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), който според условието на нашата задача е 612. Това означава, че x (x + 16) \u003d 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения, а този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата му страна все още съдържа два фактора, произведението от тях изобщо не е равно на 0, така че тук се използват други методи.

Дискриминанта

Първо, ще направим необходимите трансформации, след което външният вид на този израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във формата, съответстваща на предварително зададения стандарт, където a=1, b=16, c= -612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминанта. Тук необходими изчисленияпроизведени по схемата: D = b 2 - 4ac. Тази спомагателна стойност не само дава възможност да се намерят желаните стойности в уравнението от втори ред, тя определя броя настроики. В случай D>0 те са два; за D=0 има един корен. В случай Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е: 256 - 4(-612) = 2704. Това показва, че нашият проблем има отговор. Ако знаете, решението на квадратни уравнения трябва да продължи с формулата по-долу. Позволява ви да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 =18, x 2 =-34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерът на парцела не може да бъде измерен в отрицателни стойности, което означава, че x (т.е. ширината на парцела) е 18 м. От тук изчисляваме дължината: 18+16=34, а периметърът 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Примери и задачи

Продължаваме с изучаването на квадратни уравнения. Примери и подробно решение на някои от тях ще бъдат дадени по-долу.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Нека прехвърлим всичко в лявата страна на равенството, направим трансформация, тоест получаваме формата на уравнението, което обикновено се нарича стандартно, и го приравняваме към нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Добавяйки подобни, определяме дискриминанта: D = 49 - 48 = 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги по горната формула, което означава, че първото от тях ще бъде равно на 4/3, а второто 1.

2) Сега ще разкрием гатанки от различен вид.

Нека да разберем дали тук изобщо има корени x 2 - 4x + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, привеждаме полинома в съответната позната форма и изчисляваме дискриминанта. В този пример не е необходимо да се решава квадратното уравнение, тъй като същността на проблема изобщо не е в това. В този случай D \u003d 16 - 20 \u003d -4, което означава, че наистина няма корени.

Теорема на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения чрез горните формули и дискриминанта, когато квадратният корен се извлича от стойността на последния. Но това не винаги се случва. Има обаче много начини да получите стойностите на променливите в този случай. Пример: решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Той е кръстен на човек, живял във Франция през 16-ти век и имал блестяща кариера благодарение на математическия си талант и връзки в двора. Неговият портрет можете да видите в статията.

Моделът, който известният французин забеляза, беше следният. Той доказа, че сумата от корените на уравнението е равна на -p=b/a, а произведението им съответства на q=c/a.

Сега нека разгледаме конкретните задачи.

3x2 + 21x - 54 = 0

За простота, нека трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 = 0

Използвайки теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От тук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След като направихме проверка, ще се уверим, че тези стойности на променливите наистина се вписват в израза.

Графика и уравнение на парабола

Понятията квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече са дадени по-рано. Сега нека разгледаме някои математически пъзели малко по-подробно. Всяко уравнение от описания тип може да бъде представено визуално. Такава зависимост, начертана под формата на графика, се нарича парабола. Различните му видове са показани на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клонове. Ако a>0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функции помагат за решаването на всякакви уравнения, включително квадратни. Този метод се нарича графичен. И стойността на променливата x е абсцисната координата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени по току-що дадената формула x 0 = -b / 2a. И като замените получената стойност в първоначалното уравнение на функцията, можете да намерите y 0, тоест втората координата на върха на параболата, принадлежаща на оста y.

Пресечната точка на клоновете на параболата с абсцисната ос

Има много примери за решаване на квадратни уравнения, но има и общи закономерности. Нека ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a>0 е възможно само ако y 0 приема отрицателни стойности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

От графиката на парабола можете също да определите корените. Обратното също е вярно. Тоест, ако не е лесно да получите визуално представяне на квадратична функция, можете да приравните дясната страна на израза на 0 и да решите полученото уравнение. И като се знаят точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се чертае.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи квадратна променлива, в старите времена не само правеха математически изчисления и определяха площта на геометричните фигури. Подобни изчисления са били необходими на древните за грандиозни открития в областта на физиката и астрономията, както и за правене на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са били сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди настъпването на нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Те също не бяха запознати с други тънкости от онези, които са известни на всеки ученик от нашето време.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия, Баудхаяма, се заел с решението на квадратни уравнения. Това се случи около осем века преди настъпването на ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване на които той даде, бяха най-простите. Освен него китайските математици също са се интересували от подобни въпроси навремето. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13 век, но по-късно те са използвани в работата си от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

Задачите за квадратно уравнение се изучават както в училищната програма, така и в университетите. Те се разбират като уравнения под формата a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, където х-променлива, a,b,c – константи; а<>0 . Проблемът е да се намерят корените на уравнението.

Геометричният смисъл на квадратното уравнение

Графиката на функция, която е представена от квадратно уравнение, е парабола. Решенията (корените) на квадратно уравнение са точките на пресичане на параболата с оста x. От това следва, че има три възможни случая:
1) параболата няма пресечни точки с оста x. Това означава, че е в горната равнина с клони нагоре или в долната с клони надолу. В такива случаи квадратното уравнение няма реални корени (то има два комплексни корена).

2) параболата има една пресечна точка с оста Ox. Такава точка се нарича връх на параболата, а квадратното уравнение в нея придобива своята минимална или максимална стойност. В този случай квадратното уравнение има един реален корен (или два еднакви корена).

3) Последният случай е по-интересен от практиката - има две точки на пресичане на параболата с абсцисната ос. Това означава, че има два реални корена на уравнението.

Въз основа на анализа на коефициентите при степените на променливите могат да се направят интересни заключения относно разположението на параболата.

1) Ако коефициентът a е по-голям от нула, тогава параболата е насочена нагоре, ако е отрицателна, клоновете на параболата са насочени надолу.

2) Ако коефициентът b е по-голям от нула, тогава върхът на параболата лежи в лявата полуравнина, ако приема отрицателна стойност, тогава в дясната.

Извеждане на формула за решаване на квадратно уравнение

Нека прехвърлим константата от квадратното уравнение

за знака за равенство получаваме израза

Умножете двете страни по 4а

За да получите пълен квадрат отляво, добавете b ^ 2 в двете части и извършете трансформацията

От тук намираме

Формула на дискриминанта и корените на квадратното уравнение

Дискриминантът е стойността на радикалния израз.Ако е положителен, тогава уравнението има два реални корена, изчислени по формулата Когато дискриминантът е нула, квадратното уравнение има едно решение (два съвпадащи корена), които лесно се получават от горната формула за D = 0. Когато дискриминантът е отрицателен, няма реални корени. Въпреки това, за да се изследват решенията на квадратното уравнение в комплексната равнина, тяхната стойност се изчислява по формулата

Теорема на Виета

Разгледайте два корена на квадратно уравнение и постройте квадратно уравнение на тяхна основа Самата теорема на Виета лесно следва от нотацията: ако имаме квадратно уравнение от вида тогава сумата от неговите корени е равна на коефициента p, взет с обратен знак, а произведението от корените на уравнението е равно на свободния член q. Формулата за горното ще изглежда така. Ако константата a в класическото уравнение е различна от нула, тогава трябва да разделите цялото уравнение на нея и след това да приложите теоремата на Vieta.

График на квадратното уравнение върху фактори

Нека се постави задачата: да се разложи квадратното уравнение на множители. За да го изпълним, първо решаваме уравнението (намираме корените). След това заместваме намерените корени във формулата за разширяване на квадратното уравнение.Тази задача ще бъде решена.

Задачи за квадратно уравнение

Задача 1. Намерете корените на квадратно уравнение

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишете коефициентите и ги заменете във формулата за дискриминант

Коренът на тази стойност е 14, лесно е да го намерите с калкулатор или да го запомните при честа употреба, но за удобство в края на статията ще ви дам списък с квадрати на числа, които често могат да бъдат открити в такива задачи.
Намерената стойност се замества в кореновата формула

и получаваме

Задача 2. реши уравнението

2x2+x-3=0.

Решение: Имаме пълно квадратно уравнение, напишете коефициентите и намерете дискриминанта


Използвайки добре известни формули, намираме корените на квадратното уравнение

Задача 3. реши уравнението

9x2 -12x+4=0.

Решение: Имаме пълно квадратно уравнение. Определете дискриминанта

Получихме случая, когато корените съвпадат. Намираме стойностите на корените по формулата

Задача 4. реши уравнението

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаите, когато има малки коефициенти за x, е препоръчително да се приложи теоремата на Vieta. По условието му получаваме две уравнения

От второто условие получаваме, че произведението трябва да е равно на -6. Това означава, че един от корените е отрицателен. Имаме следната възможна двойка решения(-3;2), (3;-2) . Като вземем предвид първото условие, отхвърляме втората двойка решения.
Корените на уравнението са

Задача 5. Намерете дължините на страните на правоъгълник, ако неговият периметър е 18 cm и площта е 77 cm 2.

Решение: Половината от периметъра на правоъгълник е равна на сбора от съседните му страни. Нека означим x - по-голямата страна, тогава 18-x е по-малката му страна. Площта на правоъгълник е равна на произведението на тези дължини:
x(18x)=77;
или
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Намерете дискриминанта на уравнението

Изчисляваме корените на уравнението

Ако x=11,тогава 18x=7 ,обратното също е вярно (ако x=7, тогава 21-x=9).

Задача 6. Факторизирайте квадратното уравнение 10x 2 -11x+3=0.

Решение: Изчислете корените на уравнението, за това намираме дискриминанта

Заместваме намерената стойност във формулата на корените и изчисляваме

Прилагаме формулата за разширяване на квадратното уравнение по корени

Разгъвайки скобите, получаваме идентичността.

Квадратно уравнение с параметър

Пример 1. За какви стойности на параметъра а ,има ли уравнението (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 един корен?

Решение: Чрез директно заместване на стойността a=3 виждаме, че тя няма решение. Освен това ще използваме факта, че с нулев дискриминант уравнението има един корен с кратност 2. Нека напишем дискриминанта

опростете го и приравнете към нула

Получихме квадратно уравнение по отношение на параметъра a, чието решение е лесно да се получи с помощта на теоремата на Виета. Сборът на корените е 7, а произведението им е 12. Чрез просто изброяване установяваме, че числата 3.4 ще бъдат корените на уравнението. Тъй като вече отхвърлихме решението a=3 в началото на изчисленията, единственото правилно ще бъде - а=4.Така, за a = 4, уравнението има един корен.

Пример 2. За какви стойности на параметъра а ,уравнението a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0има повече от един корен?

Решение: Помислете първо за сингулярните точки, те ще бъдат стойностите a=0 и a=-3. Когато a=0, уравнението ще бъде опростено до формата 6x-9=0; x=3/2 и ще има един корен. За a= -3 получаваме идентичността 0=0.
Изчислете дискриминанта

и намерете стойностите на a, за които е положителен

От първото условие получаваме a>3. За второто намираме дискриминанта и корените на уравнението


Нека дефинираме интервалите, в които функцията приема положителни стойности. Като заместим точката a=0 получаваме 3>0 . И така, извън интервала (-3; 1/3) функцията е отрицателна. Не забравяйте точката а=0което трябва да се изключи, тъй като първоначалното уравнение има един корен в него.
В резултат на това получаваме два интервала, които отговарят на условието на проблема

На практика ще има много подобни задачи, опитайте се да се справите сами със задачите и не забравяйте да вземете предвид условията, които се изключват взаимно. Проучете добре формулите за решаване на квадратни уравнения, те доста често са необходими при изчисления в различни проблеми и науки.