Правилата за събиране на дроби с различни знаменатели са много прости.
Разгледайте правилата за добавяне на дроби с различни знаменатели на стъпки:
1. Намерете LCM (най-малкото общо кратно) на знаменателите. Полученият LCM ще бъде общият знаменател на дробите;
2. Привеждане на дроби към общ знаменател;
3. Съберете дроби, сведени до общ знаменател.
На прост примерНаучете как да събирате дроби с различни знаменатели.
Пример
Пример за събиране на дроби с различни знаменатели.
Съберете дроби с различни знаменатели:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Нека да решим стъпка по стъпка.
1. Намерете LCM (най-малкото общо кратно) на знаменателите.
Числото 12 се дели на 6.
От това заключаваме, че 12 е най-малкото общо кратно на числата 6 и 12.
Отговор: nok на числата 6 и 12 е 12:
LCM(6, 12) = 12
Полученият NOC ще бъде общият знаменател на двете дроби 1/6 и 5/12.
2. Приведете дробите към общ знаменател.
В нашия пример само първата дроб трябва да бъде намалена до общ знаменател 12, тъй като втората дроб вече има знаменател 12.
Разделете общия знаменател на 12 на знаменателя на първата дроб:
2 има допълнителен множител.
Умножете числителя и знаменателя на първата дроб (1/6) с допълнителен коефициент 2.
Помислете за фракцията $\frac63$. Стойността му е 2, тъй като $\frac63 =6:3 = 2$. Какво се случва, ако числителят и знаменателят се умножат по 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Очевидно стойността на дробта не се е променила, така че $\frac(12)(6)$ също е равно на 2 като y. умножете числителя и знаменателяс 3 и вземете $\frac(18)(9)$, или с 27 и вземете $\frac(162)(81)$ или с 101 и вземете $\frac(606)(303)$. Във всеки от тези случаи стойността на дробта, която получаваме, като разделим числителя на знаменателя, е 2. Това означава, че тя не се е променила.
Същият модел се наблюдава и при други фракции. Ако числителят и знаменателят на дробта $\frac(120)(60)$ (равна на 2) се разделят на 2 (резултат от $\frac(60)(30)$) или на 3 (резултат от $\ frac(40)(20) $), или с 4 (резултатът от $\frac(30)(15)$) и т.н., тогава във всеки случай стойността на дробта остава непроменена и равна на 2.
Това правило важи и за дроби, които не са равни. цяло число.
Ако числителят и знаменателят на дробта $\frac(1)(3)$ се умножат по 2, получаваме $\frac(2)(6)$, тоест стойността на дробта не се е променила. И всъщност, ако разделите тортата на 3 части и вземете една от тях или я разделите на 6 части и вземете 2 части, ще получите еднакво количество пай и в двата случая. Следователно числата $\frac(1)(3)$ и $\frac(2)(6)$ са идентични. Нека формулираме общо правило.
Числителят и знаменателят на всяка дроб могат да бъдат умножени или разделени на едно и също число, като стойността на дробта не се променя.
Това правило е много полезно. Например, позволява в някои случаи, но не винаги, да се избегнат операции с големи числа.
Например, можем да разделим числителя и знаменателя на дробта $\frac(126)(189)$ на 63 и да получим дробта $\frac(2)(3)$, която е много по-лесна за изчисляване. Още един пример. Можем да разделим числителя и знаменателя на дробта $\frac(155)(31)$ на 31 и да получим дробта $\frac(5)(1)$ или 5, тъй като 5:1=5.
В този пример за първи път се сблъскахме дроб, чийто знаменател е 1. Такива дроби играят важна роля в изчисленията. Трябва да се помни, че всяко число може да бъде разделено на 1 и стойността му няма да се промени. Тоест, $\frac(273)(1)$ е равно на 273; $\frac(509993)(1)$ е равно на 509993 и така нататък. Следователно не е нужно да разделяме числата на , тъй като всяко цяло число може да бъде представено като дроб със знаменател 1.
С такива дроби, чийто знаменател е равен на 1, можете да извършвате същите аритметични операции, както с всички останали дроби: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Може да попитате каква е ползата от представянето на цяло число като дроб, която ще има единица под чертата, защото е по-удобно да се работи с цяло число. Но факт е, че представянето на цяло число като дроб ни дава възможност да извършваме различни действия по-ефективно, когато имаме работа както с цели, така и с дробни числа едновременно. Например да се учи събирайте дроби с различни знаменатели. Да предположим, че трябва да добавим $\frac(1)(3)$ и $\frac(1)(5)$.
Знаем, че можете да събирате само дроби, чиито знаменатели са равни. И така, трябва да се научим как да привеждаме дроби в такъв вид, когато знаменателите им са равни. В този случай отново се нуждаем от факта, че можете да умножите числителя и знаменателя на дроб по едно и също число, без да променяте стойността му.
Първо, умножаваме числителя и знаменателя на дробта $\frac(1)(3)$ по 5. Получаваме $\frac(5)(15)$, стойността на дробта не се е променила. След това умножаваме числителя и знаменателя на дробта $\frac(1)(5)$ по 3. Получаваме $\frac(3)(15)$, отново стойността на дробта не се е променила. Следователно $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Сега нека се опитаме да приложим тази система за събиране на числа, съдържащи както цели, така и дробни части.
Трябва да добавим $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Първо, преобразуваме всички членове в дроби и получаваме: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Сега трябва да приведем всички дроби към общ знаменател, за това умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по 12, втората по 4 и третата по 3. В резултат на това получаваме $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, което е равно на $\frac(55)(12)$. Ако искате да се отървете от неправилна дроб, може да се превърне в число, състоящо се от цяло число и дробна част: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ или $4\frac( 7)( 12)$.
Всички правила, които позволяват операции с дроби, които току-що проучихме, са валидни и в случай на отрицателни числа. И така, -1: 3 може да се запише като $\frac(-1)(3)$, а 1: (-3) като $\frac(1)(-3)$.
Тъй като както разделянето на отрицателно число на положително число, така и деленето на положително число на отрицателно число води до отрицателни числа, и в двата случая ще получим отговора под формата на отрицателно число. Това е
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ или $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Знакът минус, когато е написан по този начин, се отнася за цялата дроб като цяло, а не отделно за числителя или знаменателя.
От друга страна, (-1) : (-3) може да се запише като $\frac(-1)(-3)$ и тъй като, когато разделим отрицателно число на отрицателно число, получаваме положително число, тогава $\frac(-1)(-3)$ може да се запише като $+\frac(1)(3)$.
Събирането и изваждането на отрицателни дроби се извършва по същия начин като събирането и изваждането на положителни дроби. Например, какво е $1- 1\frac13$? Нека представим и двете числа като дроби и да получим $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Нека сведем дробите до общ знаменател и да получим $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, т.е. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ или $-\frac(1)(3)$.
Действия с дроби.
внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")
И така, какво представляват дробите, видовете дроби, трансформациите - запомнихме. Нека да се заемем с основния въпрос.
Какво можете да правите с дроби?Да, всичко е както при обикновените номера. Събиране, изваждане, умножение, деление.
Всички тези действия с десетичен знакоперациите с дроби не се различават от операциите с цели числа. Всъщност те са добри за това, десетични. Единственото нещо е, че трябва да поставите запетаята правилно.
смесени числа, както казах, са малко полезни за повечето действия. Те все още трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби.
А ето и действията с обикновени дробище бъде по-умен. И много по-важно! Нека ви напомня: всички действия с дробни изрази с букви, синуси, неизвестни и така нататък и така нататък не се различават от действията с обикновени дроби! Операциите с обикновени дроби са в основата на цялата алгебра. Именно поради тази причина тук ще анализираме цялата тази аритметика много подробно.
Събиране и изваждане на дроби.
Всеки може да събира (изважда) дроби с еднакви знаменатели (силно се надявам!). Е, нека ви напомня, че съм напълно забравителен: при добавяне (изваждане) знаменателят не се променя. Числителите се събират (изваждат), за да се получи числителят на резултата. Тип:
Накратко, в общ изглед:
Ами ако знаменателите са различни? След това, използвайки основното свойство на дробта (тук отново ни беше полезно!), Правим знаменателите еднакви! Например:
Тук трябваше да направим дробта 4/10 от дробта 2/5. Единствено с цел знаменателите да са еднакви. Отбелязвам за всеки случай, че 2/5 и 4/10 са същата фракция! Само 2/5 ни е неудобно, а 4/10 дори нищо.
Между другото, това е същността на решаването на всякакви задачи по математика. Когато сме навън неудобноизразите правят същото, но по-удобно за решаване.
Друг пример:
Ситуацията е подобна. Тук правим 48 от 16. Чрез просто умножениена 3. Всичко е ясно. Но тук се натъкваме на нещо като:
Как да бъде?! Трудно е да направиш девет от седем! Но ние сме умни, знаем правилата! Да се трансформираме всекидроб, така че знаменателите да са еднакви. Това се нарича "привеждане до общ знаменател":
Как! Как разбрах за 63? Много просто! 63 е число, което се дели едновременно на 7 и 9. Такова число винаги може да се получи чрез умножаване на знаменателите. Ако умножим някое число по 7, например, тогава резултатът със сигурност ще бъде разделен на 7!
Ако трябва да съберете (извадите) няколко дроби, няма нужда да го правите по двойки, стъпка по стъпка. Просто трябва да намерите знаменателя, който е общ за всички дроби, и да приведете всяка дроб към същия знаменател. Например:
И какъв ще е общият знаменател? Можете, разбира се, да умножите 2, 4, 8 и 16. Получаваме 1024. Кошмар. По-лесно е да се изчисли, че числото 16 се дели идеално на 2, 4 и 8. Следователно е лесно да се получи 16 от тези числа. Това число ще бъде общият знаменател. Нека превърнем 1/2 в 8/16, 3/4 в 12/16 и т.н.
Между другото, ако вземем 1024 за общ знаменател, също всичко ще се получи, накрая всичко ще се намали. Само че не всеки ще стигне до този край, поради изчисленията ...
Решете примера сами. Не е логаритъм... Трябва да е 29/16.
Така че, със събирането (изваждането) на дроби е ясно, надявам се? Разбира се, по-лесно е да работите в съкратен вариант, с допълнителни множители. Но това удоволствие е достъпно за тези, които честно са работили в по-ниските класове ... И не са забравили нищо.
И сега ще направим същите действия, но не с дроби, а с дробни изрази. Тук ще бъдат намерени нови рейкове, да ...
И така, трябва да добавим два дробни израза:
Трябва да направим знаменателите еднакви. И то само с помощта умножение! И така, основното свойство на дробта гласи. Следователно не мога да добавя единица към х в първата дроб в знаменателя. (Но това би било хубаво!). Но ако умножите знаменателите, виждате ли, всичко ще расте заедно! Така че записваме реда на дробта, оставяме празно място отгоре, след това го добавяме и записваме произведението на знаменателите отдолу, за да не забравим:
И, разбира се, не умножаваме нищо от дясната страна, не отваряме скоби! И сега, като гледаме общия знаменател на дясната страна, мислим: за да получим знаменателя x (x + 1) в първата дроб, трябва да умножим числителя и знаменателя на тази дроб по (x + 1) . А във втората дроб - х. Получавате това:
Забележка! Скобите са тук! Това е греблото, върху което мнозина стъпват. Не скоби, разбира се, а тяхното отсъствие. Появяват се скоби, защото умножаваме цялоточислител и цялотознаменател! А не отделните им парчета...
В числителя от дясната страна записваме сумата от числителите, всичко е като в числовите дроби, след това отваряме скобите в числителя от дясната страна, т.е. умножете всичко и дайте като. Не е нужно да отваряте скобите в знаменателите, не е нужно да умножавате нещо! Като цяло, в знаменатели (всякакви) продуктът винаги е по-приятен! Получаваме:
Тук получихме отговора. Процесът изглежда дълъг и труден, но зависи от практиката. Решете примери, свикнете, всичко ще стане просто. Тези, които са усвоили дробите за определеното време, правят всички тези операции с една ръка, на машината!
И още една забележка. Много известни хора се занимават с дроби, но се придържат към примери цялочисла. Тип: 2 + 1/2 + 3/4= ? Къде да закрепите двойка? Няма нужда да се закрепвате никъде, трябва да направите дроб от двойка. Не е лесно, много е просто! 2=2/1. Като този. Всяко цяло число може да бъде записано като дроб. Числителят е самото число, знаменателят е единица. 7 е 7/1, 3 е 3/1 и така нататък. Същото е и с буквите. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 и т.н. И тогава работим с тези дроби според всички правила.
Ами на събиране - изваждане на дроби се опресниха знанията. Трансформация на дроби от един вид в друг – многократно. Можете също да проверите. Да се успокоим малко?)
Изчисли:
Отговори (в безпорядък):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Умножение / деление на дроби - в следващия урок. Има и задачи за всички действия с дроби.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
§ 87. Събиране на дроби.
Събирането на дроби има много прилики със събирането на цели числа. Събирането на дроби е действие, състоящо се във факта, че няколко дадени числа (членове) се комбинират в едно число (сума), което съдържа всички единици и части от единици на термини.
Ще разгледаме последователно три случая:
1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели.
2. Събиране на дроби с различни знаменатели.
3. Събиране на смесени числа.
1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели.
Помислете за пример: 1/5 + 2/5.
Нека вземем отсечката AB (фиг. 17), вземем я за единица и я разделим на 5 равни части, тогава частта AC от тази отсечка ще бъде равна на 1/5 от отсечката AB, а частта от същата отсечка CD ще бъде равно на 2/5 AB.
От чертежа се вижда, че ако вземем отсечката AD, то тя ще бъде равна на 3/5 AB; но отсечката AD е точно сумата от отсечките AC и CD. И така, можем да напишем:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Имайки предвид тези членове и получената сума, виждаме, че числителят на сумата е получен чрез добавяне на числителите на членовете, а знаменателят остава непроменен.
От това получаваме следното правило: За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите същия знаменател.
Помислете за пример:
2. Събиране на дроби с различни знаменатели.
Нека съберем дроби: 3/4 + 3/8 Първо те трябва да бъдат намалени до най-малкия общ знаменател:
Междинната връзка 6/8 + 3/8 не може да бъде написана; ние сме го написали тук за по-голяма яснота.
По този начин, за да добавите дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги доведете до най-малкия общ знаменател, да добавите техните числители и да подпишете общия знаменател.
Помислете за пример (ще напишем допълнителни множители върху съответните дроби):
3. Събиране на смесени числа.
Нека съберем числата: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Нека първо приведем дробните части на нашите числа към общ знаменател и ги пренапишем отново:
Сега добавете последователно целите и дробните части:
§ 88. Изваждане на дроби.
Изваждането на дроби се дефинира по същия начин като изваждането на цели числа. Това е действие, чрез което по даден сбор от два члена и един от тях се намира друг член. Нека разгледаме последователно три случая:
1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели.
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели.
3. Изваждане на смесени числа.
1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели.
Помислете за пример:
13 / 15 - 4 / 15
Да вземем отсечката AB (фиг. 18), да я приемем за единица и да я разделим на 15 равни части; тогава AC частта на този сегмент ще бъде 1/15 от AB, а AD частта от същия сегмент ще съответства на 13/15 AB. Нека отделим друг сегмент ED, равен на 4/15 AB.
Трябва да извадим 4/15 от 13/15. На чертежа това означава, че отсечката ED трябва да се извади от отсечката AD. В резултат ще остане сегмент AE, който е 9/15 от сегмент AB. Така че можем да напишем:
Примерът, който направихме, показва, че числителят на разликата се получава чрез изваждане на числителите, а знаменателят остава същият.
Следователно, за да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на субтрахента от числителя на умаляваното и да оставите същия знаменател.
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели.
Пример. 3/4 - 5/8
Първо, нека намалим тези дроби до най-малкия общ знаменател:
Междинната връзка 6 / 8 - 5 / 8 е написана тук за яснота, но може да бъде пропусната в бъдеще.
По този начин, за да извадите дроб от дроб, първо трябва да ги доведете до най-малкия общ знаменател, след това да извадите числителя на изваждаемото от числителя на умаляваното и да подпишете общия знаменател под тяхната разлика.
Помислете за пример:
3. Изваждане на смесени числа.
Пример. 10 3/4 - 7 2/3 .
Нека приведем дробните части на умаляваното и изместеното към най-малкия общ знаменател:
Извадихме цяло от цяло и дроб от дроб. Но има случаи, когато дробната част на субтрахенда е по-голяма от дробната част на умаляваното. В такива случаи трябва да вземете една единица от цялата част на намаленото, да го разделите на онези части, в които е изразена дробната част, и да добавите към дробната част на намаленото. И тогава изваждането ще се извърши по същия начин, както в предишния пример:
§ 89. Умножение на дроби.
Когато изучаваме умножението на дроби, ще разгледаме следните въпроси:
1. Умножение на дроб по цяло число.
2. Намиране на дроб от дадено число.
3. Умножение на цяло число с дроб.
4. Умножение на дроб по дроб.
5. Умножение на смесени числа.
6. Понятието лихва.
7. Намиране на проценти от дадено число. Нека ги разгледаме последователно.
1. Умножение на дроб по цяло число.
Умножаването на дроб по цяло число има същото значение като умножаването на цяло число по цяло число. Умножаването на дроб (множител) по цяло число (множител) означава съставяне на сбор от еднакви членове, при което всеки член е равен на множителя, а броят на членовете е равен на множителя.
Така че, ако трябва да умножите 1/9 по 7, това може да стане по следния начин:
Лесно получихме резултата, тъй като действието се сведе до събиране на дроби с еднакви знаменатели. Следователно,
Разглеждането на това действие показва, че умножаването на дроб по цяло число е еквивалентно на увеличаване на този дроб толкова пъти, колкото има единици в цялото число. И тъй като увеличението на дробта се постига или чрез увеличаване на нейния числител
или чрез намаляване на знаменателя му 
, тогава можем или да умножим числителя по цялото число, или да разделим знаменателя на него, ако такова деление е възможно.
От тук получаваме правилото:
За да умножите дроб по цяло число, трябва да умножите числителя по това цяло число и да оставите същия знаменател или, ако е възможно, да разделите знаменателя на това число, като оставите числителя непроменен.
При умножаване са възможни съкращения, например:
2. Намиране на дроб от дадено число.Има много задачи, в които трябва да намерите или изчислите част от дадено число. Разликата между тези задачи и другите е, че те дават броя на някои обекти или мерни единици и вие трябва да намерите част от това число, което също е посочено тук с определена дроб. За да улесним разбирането, първо ще дадем примери за такива проблеми и след това ще представим метода за тяхното решаване.
Задача 1.Имах 60 рубли; 1/3 от тези пари похарчих за закупуване на книги. Колко струваха книгите?
Задача 2.Влакът трябва да измине разстоянието между градовете А и Б, равно на 300 км. Той вече е изминал 2/3 от това разстояние. Колко километра е това?
Задача 3.В селото има 400 къщи, 3/4 от тях са тухлени, останалите са дървени. Колко тухлени къщи има?
Ето някои от многото проблеми, с които трябва да се справим, за да намерим дроб от дадено число. Обикновено се наричат задачи за намиране на дроб от дадено число.
Решение на проблем 1.От 60 рубли. Похарчих 1/3 за книги; И така, за да намерите цената на книгите, трябва да разделите числото 60 на 3:
Решение на проблем 2.Смисълът на задачата е, че трябва да намерите 2/3 от 300 км. Изчислете първата 1/3 от 300; това се постига чрез разделяне на 300 км на 3:
300: 3 = 100 (това е 1/3 от 300).
За да намерите две трети от 300, трябва да удвоите полученото частно, тоест да умножите по 2:
100 x 2 = 200 (това е 2/3 от 300).
Решение на задача 3.Тук трябва да определите броя на тухлените къщи, които са 3/4 от 400. Първо, нека намерим 1/4 от 400,
400: 4 = 100 (това е 1/4 от 400).
За да се изчислят три четвърти от 400, полученото частно трябва да се утрои, тоест да се умножи по 3:
100 x 3 = 300 (това е 3/4 от 400).
Въз основа на решението на тези задачи можем да изведем следното правило:
За да намерите стойността на дроб от дадено число, трябва да разделите това число на знаменателя на дробта и да умножите полученото частно по неговия числител.
3. Умножение на цяло число с дроб.
По-рано (§ 26) беше установено, че умножението на цели числа трябва да се разбира като добавяне на идентични термини (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). В този параграф (параграф 1) беше установено, че умножаването на дроб с цяло число означава намиране на сумата от еднакви членове, равни на тази дроб.
И в двата случая умножението се състоеше в намиране на сумата от еднакви членове.
Сега преминаваме към умножаване на цяло число по дроб. Тук ще се срещнем с такова, например, умножение: 9 2/3. Съвсем очевидно е, че предишната дефиниция на умножението не е приложима в този случай. Това се вижда от факта, че не можем да заменим такова умножение със събиране на равни числа.
Поради това ще трябва да дадем нова дефиниция на умножението, т.е., с други думи, да отговорим на въпроса какво трябва да се разбира под умножение с дроб, как трябва да се разбира това действие.
Значението на умножаването на цяло число по дроб е ясно от следната дефиниция: да умножиш цяло число (множител) по дроб (множител) означава да намериш тази дроб от множителя.
А именно, умножаването на 9 по 2/3 означава намиране на 2/3 от девет единици. В предишния параграф такива проблеми бяха решени; така че е лесно да разберем, че в крайна сметка имаме 6.
Но сега възниква интересен и важен въпрос: защо такива привидно различни действия като намирането на сумата от равни числа и намирането на част от число се наричат една и съща дума „умножение“ в аритметиката?
Това се случва, защото предишното действие (повтаряне на числото с членове няколко пъти) и новото действие (намиране на част от число) дават отговор на еднородни въпроси. Това означава, че тук изхождаме от съображенията, че еднородни въпроси или задачи се решават с едно и също действие.
За да разберете това, помислете за следния проблем: „1 м плат струва 50 рубли. Колко ще струват 4 м такъв плат?
Този проблем се решава чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метрите (4), т.е. 50 x 4 = 200 (рубли).
Да вземем същата задача, но в нея количеството плат ще бъде изразено като дробно число: „1 м плат струва 50 рубли. Колко ще струват 3/4 м такъв плат?
Този проблем също трябва да бъде решен чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метрите (3/4).
Можете също така да промените числата в него няколко пъти, без да променяте значението на задачата, например вземете 9/10 m или 2 3/10 m и т.н.
Тъй като тези задачи имат еднакво съдържание и се различават само по числа, ние наричаме действията, използвани при решаването им, с една и съща дума – умножение.
Как се умножава цяло число по дроб?
Нека вземем числата, срещнати в последния проблем:
Според дефиницията трябва да намерим 3/4 от 50. Първо намираме 1/4 от 50, а след това 3/4.
1/4 от 50 е 50/4;
3/4 от 50 е .
Следователно.
Помислете за друг пример: 12 5 / 8 = ?
1/8 от 12 е 12/8,
5/8 от числото 12 е .
Следователно,
От тук получаваме правилото:
За да умножите цяло число по дроб, трябва да умножите цялото число по числителя на дробта и да направите този продукт числител и да подпишете знаменателя на дадената дроб като знаменател.
Пишем това правило с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да сравним намереното правило с правилото за умножение на число с частно, което беше изложено в § 38
Трябва да се помни, че преди да извършите умножение, трябва да направите (ако е възможно) порязвания, например:
4. Умножение на дроб по дроб.Умножаването на дроб по дроб има същото значение като умножаването на цяло число по дроб, тоест, когато умножавате дроб по дроб, трябва да намерите дроба в множителя от първата дроб (множител).
А именно, умножаването на 3/4 по 1/2 (половината) означава намиране на половината от 3/4.
Как се умножава дроб по дроб?
Да вземем пример: 3/4 по 5/7. Това означава, че трябва да намерите 5/7 от 3/4. Намерете първо 1/7 от 3/4 и след това 5/7
1/7 от 3/4 ще бъде изразено така:
5/7 числата 3/4 ще бъдат изразени както следва:
По този начин,
Друг пример: 5/8 по 4/9.
1/9 от 5/8 е,
4/9 числата 5/8 са .
По този начин, 
От тези примери може да се изведе следното правило:
За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителя по числителя и знаменателя по знаменателя и да направите първия продукт числител, а втория продукт знаменател на продукта.
Това правило може да се напише най-общо, както следва:
При умножаване е необходимо да се правят (ако е възможно) съкращения. Помислете за примери:
5. Умножение на смесени числа.защото смесени числамогат лесно да бъдат заменени с неправилни дроби, това обстоятелство обикновено се използва при умножаване на смесени числа. Това означава, че в случаите, когато множителят, или множителят, или и двата фактора са изразени като смесени числа, те се заменят с неправилни дроби. Умножете например смесени числа: 2 1/2 и 3 1/5. Превръщаме всяка от тях в неправилна дроб и след това ще умножим получените дроби според правилото за умножение на дроб по дроб:
правило.За да умножите смесени числа, първо трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да умножите според правилото за умножение на дроб по дроб.
Забележка.Ако един от множителите е цяло число, тогава умножението може да се извърши въз основа на закона за разпределение, както следва:
6. Понятието лихва.При решаване на задачи и при извършване на различни практически изчисления ние използваме всякакви видове дроби. Но трябва да се има предвид, че много количества допускат не какви да е, а естествени подразделения за тях. Например, можете да вземете една стотна (1/100) от рубла, това ще бъде стотинка, две стотни са 2 копейки, три стотни са 3 копейки. Можете да вземете 1/10 от рублата, това ще бъде "10 копейки, или стотинка. Можете да вземете една четвърт от рублата, т.е. 25 копейки, половин рубла, т.е. 50 копейки (петдесет копейки). Но те на практика не Не вземайте например 2/7 рубли, защото рублата не е разделена на седмини.
Единицата за измерване на теглото, т.е. килограмът, позволява преди всичко десетични подразделения, например 1/10 кг или 100 г. И такива части от килограм като 1/6, 1/11, 1/ 13 са необичайни.
Като цяло нашите (метрични) мерки са десетични и позволяват десетични подразделения.
Все пак трябва да се отбележи, че е изключително полезно и удобно в голямо разнообразие от случаи да се използва един и същ (унифициран) метод за подразделяне на количествата. Дългогодишният опит показва, че такова добре обосновано разделение е делението на "стотните". Нека разгледаме няколко примера, свързани с най-различни области на човешката практика.
1. Цената на книгите е намаляла с 12/100 от предишната цена.
Пример. Предишната цена на книгата е 10 рубли. Тя падна с 1 рубла. 20 коп.
2. Спестовните банки изплащат през годината на вложителите 2/100 от сумата, която е вложена в спестяванията.
Пример. 500 рубли се поставят в касата, доходът от тази сума за годината е 10 рубли.
3. Броят на завършилите едно училище е 5/100 от общия брой на учениците.
ПРИМЕР В училището са учили само 1200 ученици, 60 от тях са завършили училище.
Стотната част от числото се нарича процент..
Думата "процент" е заимствана от латинскии неговият корен "цент" означава сто. Заедно с предлога (pro centum) тази дума означава "за сто". Значението на този израз следва от факта, че първоначално в древен Римлихвите били парите, които длъжникът плащал на заемодателя „за всеки сто”. Думата "цент" се чува в такива познати думи: центнер (сто килограма), сантиметър (те казват сантиметър).
Например, вместо да кажем, че заводът е произвел 1/100 от всички продукти, произведени от него през изминалия месец, ще кажем следното: заводът е произвел един процент от брака през изминалия месец. Вместо да кажем: заводът е произвел 4/100 продукта повече от установения план, ще кажем: заводът е надхвърлил плана с 4 процента.
Горните примери могат да бъдат изразени по различен начин:
1. Цената на книгите е намаляла с 12 процента от предходната цена.
2. Спестовните банки плащат на вложителите 2 процента годишно от сумата, вложена в спестяванията.
3. Броят на завършилите едно училище е 5 процента от броя на всички ученици в училището.
За съкращаване на буквата е обичайно да се пише знакът% вместо думата "процент".
Трябва обаче да се помни, че знакът % обикновено не се записва в изчисленията, той може да бъде написан в формулировката на проблема и в крайния резултат. Когато извършвате изчисления, трябва да напишете дроб със знаменател 100 вместо цяло число с тази икона.
Трябва да можете да замените цяло число с указаната икона с дроб със знаменател 100:
Обратно, трябва да свикнете да пишете цяло число с посочената икона вместо дроб със знаменател 100:
7. Намиране на проценти от дадено число.
Задача 1.Училището получи 200 кубика. м дърва за огрев, като дървата за огрев от бреза са 30%. Колко брезови дърва имаше?
Значението на този проблем е, че брезовите дърва за огрев са само част от дървата за огрев, доставени на училището, и тази част се изразява като част от 30 / 100. И така, ние сме изправени пред задачата да намерим дроб от число. За да го решим, трябва да умножим 200 по 30 / 100 (задачите за намиране на част от число се решават чрез умножаване на число по дроб.).
Така че 30% от 200 е равно на 60.
Дробта 30/100, срещана в този проблем, може да бъде намалена с 10. Би било възможно да се извърши това намаление от самото начало; решението на проблема няма да се промени.
Задача 2.В лагера имаше 300 деца на различна възраст. Децата на 11 години са 21%, децата на 12 години са 61% и накрая 13-годишните са 18%. Колко деца от всяка възраст бяха в лагера?
В този проблем трябва да извършите три изчисления, тоест да намерите последователно броя на децата на 11 години, след това на 12 години и накрая на 13 години.
И така, тук ще е необходимо да се намери дроб от число три пъти. Хайде да го направим:
1) Колко деца бяха на 11 години?
2) Колко деца бяха на 12 години?
3) Колко деца бяха на 13 години?
След решаването на задачата е полезно да съберете намерените числа; тяхната сума трябва да бъде 300:
63 + 183 + 54 = 300
Трябва да обърнете внимание и на факта, че сумата от процентите, дадени в условието на задачата, е 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Това предполага, че общ бройдеца, които са били в лагера, са взети като 100%.
3 a da cha 3.Работникът получаваше 1200 рубли на месец. От тях той харчи 65% за храна, 6% за апартамент и отопление, 4% за газ, електричество и радио, 10% за културни нужди и 15% спестява. Колко пари са изразходвани за нуждите, посочени в задачата?
За да решите тази задача, трябва да намерите 5 пъти дроб от числото 1200. Нека го направим.
1) Колко пари се харчат за храна? В задачата пише, че този разход е 65% от всички печалби, тоест 65/100 от числото 1200. Нека направим изчислението:
2) Колко пари са платени за апартамент с парно? Разсъждавайки като предишния, стигаме до следното изчисление:
3) Колко пари платихте за газ, електричество и радио?
4) Колко пари се харчат за културни нужди?
5) Колко пари е спестил работникът?
За проверка е полезно да добавите числата, намерени в тези 5 въпроса. Сумата трябва да бъде 1200 рубли. Всички печалби се приемат за 100%, което лесно се проверява чрез сумиране на процентите, дадени в изявлението на проблема.
Решихме три проблема. Въпреки факта, че тези задачи бяха за различни неща (доставка на дърва за огрев за училището, брой деца на различна възраст, разходи на работника), те бяха решени по един и същи начин. Това се случи, защото във всички задачи беше необходимо да се намерят няколко процента от дадените числа.
§ 90. Деление на дроби.
Когато изучаваме разделянето на дроби, ще разгледаме следните въпроси:
1. Разделяне на цяло число на цяло число.
2. Деление на дроб с цяло число
3. Деление на цяло число на дроб.
4. Деление на дроб с дроб.
5. Деление на смесени числа.
6. Намиране на число по дадена негова дроб.
7. Намиране на число по неговия процент.
Нека ги разгледаме последователно.
1. Разделяне на цяло число на цяло число.
Както беше посочено в раздела за цели числа, деленето е действие, състоящо се в това, че като се има предвид произведението на два множителя (дивидента) и един от тези множители (делителят), се намира друг множител.
Разделянето на цяло число на цяло число разгледахме в отдела за цели числа. Там срещнахме два случая на деление: деление без остатък, или "изцяло" (150: 10 = 15), и деление с остатък (100: 9 = 11 и 1 в остатъка). Следователно можем да кажем, че в областта на целите числа точното деление не винаги е възможно, тъй като дивидентът не винаги е произведение на делителя и цялото число. След въвеждането на умножението с дроб, можем да считаме за възможен всеки случай на деление на цели числа (само делението на нула е изключено).
Например, разделянето на 7 на 12 означава намиране на число, чието произведение по 12 би било 7. Това число е частта 7/12, защото 7/12 12 = 7. Друг пример: 14: 25 = 14/25, защото 14/25 25 = 14.
По този начин, за да разделите цяло число на цяло число, трябва да направите дроб, чийто числител е равен на дивидент, а знаменателят е делител.
2. Деление на дроб с цяло число.
Разделете дробта 6/7 на 3. Съгласно определението за деление, дадено по-горе, тук имаме произведението (6/7) и един от множителите (3); изисква се да се намери такъв втори множител, който от умножение по 3 би дал тази работа 6/7. Очевидно трябва да е три пъти по-малък от този продукт. Това означава, че поставената пред нас задача беше да намалим дробта 6/7 3 пъти.
Вече знаем, че съкращаването на дроб може да стане или чрез намаляване на числителя, или чрез увеличаване на знаменателя. Следователно можете да напишете:
AT този случайчислител 6 се дели на 3, така че числителят трябва да се намали 3 пъти.
Да вземем друг пример: 5/8 делено на 2. Тук числителят 5 не се дели на 2, което означава, че знаменателят ще трябва да се умножи по това число:
Въз основа на това можем да формулираме правилото: За да разделите дроб на цяло число, трябва да разделите числителя на дробта на това цяло число(ако е възможно), оставяйки същия знаменател или умножете знаменателя на дробта по това число, оставяйки същия числител.
3. Деление на цяло число на дроб.
Нека се изисква да се раздели 5 на 1/2, т.е. да се намери число, което след умножаване по 1/2 ще даде продуктът 5. Очевидно това число трябва да е по-голямо от 5, тъй като 1/2 е правилна дроб, и когато числото се умножава с правилна дроб, произведението трябва да е по-малко от умножаващото. За да стане по-ясно, нека напишем нашите действия, както следва: 5: 1 / 2 = х , така че x 1/2 \u003d 5.
Трябва да намерим такъв номер х , което, когато се умножи по 1/2, ще даде 5. Тъй като умножаването на определено число по 1/2 означава намиране на 1/2 от това число, тогава, следователно, 1/2 от неизвестното число х е 5, а цялото число х два пъти повече, т.е. 5 2 \u003d 10.
Така че 5: 1/2 = 5 2 = 10
Да проверим: 
Нека разгледаме още един пример. Нека се изисква да се раздели 6 на 2/3. Нека първо се опитаме да намерим желания резултат с помощта на чертежа (фиг. 19).
Фиг.19
Начертайте отсечка AB, равна на 6 от някои единици, и разделете всяка единица на 3 равни части. Във всяка единица три трети (3 / 3) в целия сегмент AB е 6 пъти по-голям, т.е. д. 18/3. Свързваме с помощта на малки скоби 18 получени сегмента от 2; Ще има само 9 сегмента. Това означава, че дробта 2/3 се съдържа в b единици 9 пъти, или, с други думи, дробта 2/3 е 9 пъти по-малка от 6 цели числа. Следователно,
Как да получите този резултат без чертеж само с изчисления? Ще аргументираме следното: необходимо е да разделим 6 на 2/3, т.е. необходимо е да отговорим на въпроса колко пъти 2/3 се съдържа в 6. Нека първо разберем: колко пъти е 1/3 съдържащи се в 6? В цяла единица - 3 трети, а в 6 единици - 6 пъти повече, т.е. 18 трети; за да намерим това число, трябва да умножим 6 по 3. Следователно 1/3 се съдържа в b единици 18 пъти, а 2/3 се съдържа в b единици не 18 пъти, а половината пъти, т.е. 18: 2 = 9 Следователно, когато разделихме 6 на 2/3, направихме следното:
От тук получаваме правилото за деление на цяло число на дроб. За да разделите цяло число на дроб, трябва да умножите това цяло число по знаменателя на дадената дроб и, превръщайки този продукт в числител, да го разделите на числителя на дадената дроб.
Нека напишем правилото с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да сравним намереното правило с правилото за деление на число на частно, което беше изложено в § 38. Имайте предвид, че същата формула е получена там.
При разделяне са възможни съкращения, например:
4. Деление на дроб с дроб.
Нека се изисква да се раздели 3/4 на 3/8. Какво ще обозначи числото, което ще се получи в резултат на деленето? Ще отговори на въпроса колко пъти дробта 3/8 се съдържа в дробта 3/4. За да разберем този въпрос, нека направим чертеж (фиг. 20).
Вземете отсечката AB, вземете я за единица, разделете я на 4 равни части и маркирайте 3 такива части. Отсечката AC ще бъде равна на 3/4 от отсечката AB. Нека сега разделим всеки от четирите начални сегмента наполовина, тогава сегментът AB ще бъде разделен на 8 равни части и всяка такава част ще бъде равна на 1/8 от сегмента AB. Свързваме 3 такива сегмента с дъги, тогава всеки от сегментите AD и DC ще бъде равен на 3/8 от сегмента AB. Чертежът показва, че отсечката, равна на 3/8, се съдържа в отсечката, равна на 3/4, точно 2 пъти; Така че резултатът от разделянето може да се запише така:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Нека разгледаме още един пример. Нека се изисква да се раздели 15/16 на 3/32:
Можем да разсъждаваме така: трябва да намерим число, което, след като бъде умножено по 3/32, ще даде продукт, равен на 15/16. Нека напишем изчисленията така:
15 / 16: 3 / 32 = х
3 / 32 х = 15 / 16
3/32 неизвестен номер х съставляват 15/16
1/32 неизвестно число х е,
32 / 32 номера х грим .
Следователно,
По този начин, за да разделите дроб на дроб, трябва да умножите числителя на първата дроб по знаменателя на втората и да умножите знаменателя на първата дроб по числителя на втората и да направите първия продукт числител и второ знаменателя.
Нека напишем правилото с букви:
При разделяне са възможни съкращения, например:
5. Деление на смесени числа.
Когато разделяте смесени числа, те първо трябва да бъдат преобразувани в неправилни дроби,след това разделете получените дроби според правилата за деление дробни числа. Помислете за пример:
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби:
Сега нека разделим:
По този начин, за да разделите смесени числа, трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да ги разделите според правилото за деление на дроби.
6. Намиране на число по дадена негова дроб.
Между различни задачина дроби, понякога има такива, в които е дадена стойността на някаква дроб от неизвестно число и се изисква да се намери това число. Този тип задача ще бъде обратна на задачата за намиране на дроб от дадено число; там беше дадено число и се изискваше да се намери част от това число, тук е дадена дроб от число и се изисква да се намери самото това число. Тази идея ще стане още по-ясна, ако се обърнем към решението на този тип проблеми.
Задача 1.През първия ден стъкларите са остъклили 50 прозореца, което е 1/3 от всички прозорци на построената къща. Колко прозореца има в тази къща?
Решение.В задачата се казва, че 50 остъклени прозореца съставляват 1/3 от всички прозорци на къщата, което означава, че общо има 3 пъти повече прозорци, т.е.
Къщата имаше 150 прозореца.
Задача 2.В магазина са продадени 1500 кг брашно, което е 3/8 от общата наличност на брашно в магазина. Какви бяха първоначалните доставки на брашно в магазина?
Решение.От условието на задачата се вижда, че продадените 1500 кг брашно съставляват 3/8 от общата наличност; това означава, че 1/8 от този запас ще бъде 3 пъти по-малко, т.е., за да го изчислите, трябва да намалите 1500 3 пъти:
1500: 3 = 500 (това е 1/8 от акциите).
Очевидно целият запас ще бъде 8 пъти по-голям. Следователно,
500 8 \u003d 4000 (кг).
Първоначалната доставка на брашно в магазина беше 4000 кг.
От разглеждането на този проблем може да се изведе следното правило.
За да намерите число по дадена стойност на неговата фракция, достатъчно е да разделите тази стойност на числителя на дробта и да умножите резултата по знаменателя на дробта.
Решихме две задачи за намиране на число по дадена дроб. Такива задачи, както се вижда особено добре от последната, се решават чрез две действия: деление (когато се намери една част) и умножение (когато се намери цялото число).
Въпреки това, след като сме изучили деленето на дроби, горните задачи могат да бъдат решени с едно действие, а именно: деление с дроб.
Например, последната задача може да бъде решена с едно действие по следния начин:
В бъдеще ще решаваме задачата за намиране на число чрез неговата дроб с едно действие - деление.
7. Намиране на число по неговия процент.
В тези задачи ще трябва да намерите число, като знаете няколко процента от това число.
Задача 1.В началото на тази година получих 60 рубли от спестовната каса. доход от сумата, която вложих в спестявания преди година. Колко пари сложих в спестовната каса? (Касите дават на вложителите 2% от дохода на година.)
Смисълът на проблема е, че определена сума пари беше поставена от мен в спестовна банка и лежа там една година. След една година получих 60 рубли от нея. доход, което е 2/100 от парите, които влагам. Колко пари депозирах?
Следователно, знаейки частта от тези пари, изразена по два начина (в рубли и в дроби), трябва да намерим цялата, все още неизвестна сума. Това е обикновена задача за намиране на число, дадена в неговата дроб. Чрез разделяне се решават следните задачи:
И така, 3000 рубли бяха поставени в спестовната банка.
Задача 2.За две седмици рибарите изпълниха месечния план с 64%, като приготвиха 512 тона риба. Какъв беше планът им?
От условието на задачата става ясно, че рибарите са изпълнили част от плана. Тази част се равнява на 512 тона, което е 64% от плана. Колко тона риба трябва да бъдат уловени според плана, не знаем. Решението на задачата ще се състои в намирането на това число.
Такива задачи се решават чрез разделяне на:
Така че, според плана, трябва да подготвите 800 тона риба.
Задача 3.Влакът пътува от Рига до Москва. Когато измина 276-ия километър, един от пътниците попита преминаващия кондуктор колко от пътя вече са изминали. На това кондукторът отговори: „Вече изминахме 30% от цялото пътуване.“ Какво е разстоянието от Рига до Москва?
От условието на задачата се вижда, че 30% от пътуването от Рига до Москва е 276 км. Трябва да намерим цялото разстояние между тези градове, т.е. за тази част намерете цялото:
§ 91. Реципрочни числа. Замяна на делението с умножение.
Вземете дробта 2/3 и пренаредете числителя на мястото на знаменателя, получаваме 3/2. Имаме дроб, реципрочната на тази.
За да получите реципрочна дроб на дадена, трябва да поставите нейния числител на мястото на знаменателя, а знаменателя на мястото на числителя. По този начин можем да получим дроб, която е реципрочна на всяка дроб. Например:
3/4, обратна 4/3; 5/6, обратно 6/5
Две дроби, които имат свойството, че числителят на първата е знаменателят на втората, а знаменателят на първата е числителят на втората, се наричат взаимно обратни.
Сега нека помислим каква дроб ще бъде реципрочната на 1/2. Очевидно ще бъде 2/1 или просто 2. Търсейки дроб, реципрочната стойност на това, получаваме цяло число. И този случай не е изолиран; напротив, за всички дроби с числител 1 (едно), реципрочните ще бъдат цели числа, например:
1/3, обратно 3; 1/5, обратна 5
Тъй като при търсенето на реципрочни се срещнахме и с цели числа, занапред няма да говорим за реципрочни, а за реципрочни.
Нека разберем как да напишем реципрочната стойност на цяло число. За дроби това се решава просто: трябва да поставите знаменателя на мястото на числителя. По същия начин можете да получите реципрочната стойност на цяло число, тъй като всяко цяло число може да има знаменател 1. Следователно реципрочната стойност на 7 ще бъде 1/7, защото 7 \u003d 7/1; за числото 10 обратното е 1/10, тъй като 10 = 10/1
Тази идея може да се изрази по друг начин: реципрочната стойност на дадено число се получава чрез разделяне на едно на даденото число. Това твърдение е вярно не само за цели числа, но и за дроби. Наистина, ако искате да напишете число, което е реципрочно на 5/9, тогава можем да вземем 1 и да го разделим на 5/9, т.е.
Сега нека посочим едно Имотвзаимно реципрочни числа, които ще ни бъдат полезни: произведението на взаимно реципрочни числа е равно на единица.Наистина:
Използвайки това свойство, можем да намерим реципрочни стойности по следния начин. Нека намерим реципрочната стойност на 8.
Нека го обозначим с буквата х , след това 8 х = 1, следователно х = 1/8. Нека намерим друго число, обратното на 7/12, означим го с буква х , след това 7/12 х = 1, следователно х = 1:7/12 или х = 12 / 7 .
Тук въведохме концепцията за взаимно реципрочни числа, за да допълним леко информацията за разделянето на дроби.
Когато разделим числото 6 на 3/5, правим следното:
Обърнете специално внимание на израза и го сравнете с дадения: .
Ако вземем израза отделно, без връзка с предишния, тогава е невъзможно да се реши въпросът откъде идва: от разделянето на 6 на 3/5 или от умножаването на 6 по 5/3. И в двата случая резултатът е един и същ. Така че можем да кажем че деленето на едно число с друго може да се замени с умножаване на делителя по реципрочната стойност на делителя.
Примерите, които даваме по-долу, напълно потвърждават това заключение.
Числителят и това, на което се разделя, е знаменателят.
За да напишете дроб, първо напишете нейния числител, след това начертайте хоризонтална линия под това число и напишете знаменателя под чертата. Хоризонталната линия, разделяща числителя и знаменателя, се нарича дробна черта. Понякога се изобразява като наклонен "/" или "∕". В този случай числителят се записва отляво на реда, а знаменателят отдясно. Така например частта "две трети" ще бъде написана като 2/3. За по-голяма яснота числителят обикновено се записва в горната част на реда, а знаменателят в долната част, т.е. вместо 2/3 можете да намерите: ⅔.
За да изчислите произведението на дроби, първо умножете числителя на едно дробикъм друг числител. Запишете резултата в числителя на новия дроби. След това умножете и знаменателите. Посочете крайната стойност в новия дроби. Например 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
За да разделите една дроб на друга, първо умножете числителя на първата по знаменателя на втората. Направете същото с втората дроб (делител). Или, преди да изпълните всички стъпки, първо „обърнете“ делителя, ако ви е по-удобно: знаменателят трябва да е на мястото на числителя. След това умножете знаменателя на дивидента по новия знаменател на делителя и умножете числителите. Например 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
източници:
- Основни задачи за дроби
Дробните числа ви позволяват да изразите точната стойност на дадено количество по различни начини. С дроби можете да извършвате същите математически операции като с цели числа: изваждане, събиране, умножение и деление. Да се научиш да решаваш дроби, е необходимо да запомните някои от техните характеристики. Те зависят от вида дроби, наличието на цяла част, общ знаменател. Някои аритметични операции след изпълнение изискват намаляване на дробната част от резултата.
Ще имаш нужда
- - калкулатор
Инструкция
Погледнете внимателно числата. Ако сред дробите има десетични и неправилни дроби, понякога е по-удобно първо да извършите действия с десетични знаци и след това да ги преобразувате в грешна форма. Можеш ли да преведеш дробив тази форма първоначално, записвайки стойността след десетичната запетая в числителя и поставяйки 10 в знаменателя. Ако е необходимо, намалете дроба, като разделите числата отгоре и отдолу на един делител. Дробите, в които цялата част се откроява, водят до грешна форма, като я умножите по знаменателя и добавите числителя към резултата. Тази стойност ще стане новият числител дроби. Да се извлече цялата част от първоначално неправилното дроби, разделете числителя на знаменателя. Напишете целия резултат от дроби. И остатъкът от деленето става новият числител, знаменателят дробидокато не се променя. За дроби с цяла част е възможно да се извършват действия поотделно, първо за целите, а след това за дробните части. Например сумата от 1 2/3 и 2 ¾ може да се изчисли:
- Преобразуване на дроби в грешна форма:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Сумиране поотделно на цели и дробни части на членовете:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Препишете ги през разделителя ":" и продължете обичайното разделяне.
За да получите крайния резултат, намалете получената дроб, като разделите числителя и знаменателя на едно цяло число, възможно най-голямото в този случай. В този случай трябва да има цели числа над и под линията.
Забележка
Не правете аритметика с дроби, които имат различни знаменатели. Изберете такова число, че когато числителят и знаменателят на всяка дроб се умножат по него, в резултат на това знаменателите на двете дроби да са равни.
При писане на дробни числа дивидентът се изписва над чертата. Това количество се нарича числител на дроб. Под чертата е изписан делителя или знаменателя на дробта. Например един и половина килограма ориз под формата на дроб ще бъде написан по следния начин: 1 ½ кг ориз. Ако знаменателят на една дроб е 10, тя се нарича десетична дроб. В този случай числителят (дивидентът) се записва вдясно от цялата част, разделена със запетая: 1,5 кг ориз. За удобство на изчисленията такава фракция винаги може да бъде написана в грешна форма: 1 2/10 кг картофи. За да опростите, можете да намалите стойностите на числителя и знаменателя, като ги разделите на едно цяло число. В този пример е възможно деление на 2. Резултатът е 1 1/5 кг картофи. Уверете се, че числата, с които ще правите аритметика, са в една и съща форма.
