Конспект уроку "Фізичний та геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції". Конспект уроку "Рівняння дотичної до графіка функції" Презентація дотична до графіка функції

Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

Методи навчання:наочний, частково пошуковий.

Мета уроку:

  1. Ввести поняття щодо графіку функції в точці, з'ясувати, в чому полягає геометричний змістпохідною, вивести рівняння дотичної та навчити знаходити його для конкретних функцій.
  2. Розвиток логічного мислення, дослідницьких навичок, функціонального мислення, математичної мови.
  3. Вироблення комунікативних навичок у роботі, сприяти розвитку самостійної діяльностіучнів.

Обладнання:комп'ютер, мультимедійний проектор, роздатковий матеріал.

Завантажити:


Попередній перегляд:

Урок на тему "Доторка. Рівняння дотичної"

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Методи навчання:наочний, частково пошуковий.

Мета уроку:

  1. Ввести поняття дотичної до графіку функції у точці, з'ясувати, у чому полягає геометричний сенс похідної, вивести рівняння дотичної і навчити знаходити його за конкретних функций.
  2. Розвиток логічного мислення, дослідницьких навичок, функціонального мислення, математичної мови.
  3. Вироблення комунікативних навичок у роботі, сприяти розвитку самостійної діяльності учнів.

Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектор, роздатковий матеріал.

План уроку

I Організаційний момент.
Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення теми та девізу уроку.

II Актуалізація матеріалу.
(Активізувати увагу, показати недостатність знань про дотичну, сформулювати цілі та завдання уроку.)

Давайте обговоримо, що таке, що стосується графіку функції? Чи погоджуєтесь ви з твердженням, що «Дотична – це пряма, що має з даною кривою одну загальну точку»?
Йде обговорення. Висловлювання дітей (та й чому, ні і чому). У процесі обговорення приходимо до висновку, що це твердження не є вірним.

приклади.
1) Пряма x = 1 має з параболою y = x2 одну загальну точку M(1; 1), проте не є дотичною до параболи. Пряма ж y = 2x – 1, що проходить через ту саму точку, є дотичною до даної параболи.
2) Аналогічно, пряма x = π не є дотичною до графіка y = cos x хоча має з ним єдину загальну точку K(π; 1). З іншого боку, пряма y = - 1, що проходить через ту саму точку, є дотичною до графіка, хоча має з ним нескінченно багато загальних точоквиду;(π+2 πk; 1), де k - ціле число, у кожній з яких вона стосується графіка.


Малюнок 1


Малюнок 2

Постановка мети та завдання перед дітьми на уроці:з'ясувати, що таке щодо графіку функції в точці, як скласти рівняння дотичної?
Що нам для цього знадобиться?
Згадати загальний виглядрівняння прямої, умови паралельності прямих, визначення похідної, правила диференціювання.

ІІІ Підготовча робота до вивчення нового матеріалу.
Опитування матеріалу за картками: (завдання виконуються на дошці)
1 учень: заповнити таблицю похідних елементарних функцій

2 учень: згадай правила диференціювання

3 учень: складіть рівняння прямої y = kx + 4 , Що проходить через точку А(3; -2).
(y = -2x +4)

4 учень: складіть рівняння прямих y = 3x + b , Що проходить через точку С(4; 2).
(y = 3x - 2).

З рештою фронтальна робота.

  1. Сформулюйте визначення похідної.
  2. Які із зазначених прямих паралельні? у = 0,5 х; у = - 0,5 х; у = - 0,5 х + 2. Чому?

Відгадай прізвище вченого:

Ключ до відповідей

Ким був цей учений, із чим пов'язані його роботи, ми дізнаємося на наступному уроці.
Перевірка відповідей учнів за картками.
IV Вивчення нового матеріалу.
Щоб задати рівняння прямої на площині, нам достатньо знати її кутовий.
коефіцієнт та координати однієї точки.

  • Почнемо з кутового коефіцієнта



Малюнок 3

Розглянемо графік функції y = f(x) що диференціюється в точці А(x 0 f (x 0 )) .
Виберемо на ньому крапку M (x 0 + Δх, f(x 0 + Δх)) і проведемо січну AM .
Запитання: чому дорівнює кутовий коефіцієнт січної? (∆f/∆x=tgβ)

Наближаємо по дузі крапку M до точки A . У цьому випадку пряма AM буде повертатися навколо точки A , наближаючись (для гладких ліній) до деякого граничного положення - прямий AT . Тобто AT , Що володіє такою властивістю, називаютьдотичної до графіку функції y = f(x) у точці А(x0, f(x0)).

Кутовий коефіцієнт січної AM у AM → 0 прагне кутового коефіцієнта дотичної AT Δf/Δx → f "(x 0 ) . Значення похідної у точціх 0 приймемо за кутовий коефіцієнт дотичної. Кажуть щодотична є граничне положення січеї при ∆х → 0.

Існування похідної функції у точці x 0 еквівалентно існуванню (невертикальній) дотичної в точці (x 0 , f(x 0 )) графіка, при цьому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f "(x 0 ). У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Визначення дотичної: Стосовна графіка, що диференціюється в точці.х 0 функції f - це пряма, яка проходить через крапку(x 0 f (x 0 )) і має кутовий коефіцієнт f "(х 0) .
Проведемо дотичні до графіку функції y = f(x) у точках х 1 , х 2 , х 3 і відзначимо кути, які вони утворюють з віссю абсцис. (Це кут, що відраховується у позитивному напрямку від позитивного напрямку осі до прямої.)



Малюнок 4

Ми бачимо, що кут α 1 гострий, кут α 3 тупий, а кут α 2 дорівнює нулю, оскільки пряма l паралельна осі Ох. Тангенс гострого кутапозитивний, тупого - негативний. Тому f "(х 1)> 0, f "(х 2) = 0, f "(х 3)

  • Виведемо тепер рівняння дотичноїдо графіку функції f у точці А(x0, f(x0)).

Загальний вигляд рівняння прямої y = kx + b.

  1. Знайдемо кутовий коефіцієнт k = f "(х 0), отримаємо y = f "(х0) x + b, f (x) = f "(х 0 )∙x + b
  2. Знайдемо b. b = f(x 0 ) - f "(х 0 ) x 0 .
  3. Підставимо отримані значення k і b у рівняння прямий: y = f "(х 0 )∙x + f(x 0 ) - f "(х 0 )∙x 0 або y = f(x 0 ) + f "(х 0 )(x - x 0 )
  • Узагальнення матеріалу лекції.



- сформулюйте алгоритм знаходження рівняння дотичної у точці?

1. Значення функції у точці торкання
2. Загальну похідну функції
3. Значення похідної у точці торкання
4. Підставити знайдені значення загальне рівняннядотичної.

V Закріплення вивченого матеріалу.

1. Усна робота:
1) У яких точках графіка щодо нього
а) горизонтальна;
б) утворює з віссю абсцис гострий кут;
в) утворює з віссю абсцис тупий кут?
2) При яких значеннях аргументу похідна функції, заданої графіком
а) дорівнює 0;
б) більше 0;
в) менше 0?


Малюнок 5



Малюнок 6

3) На малюнку зображено графік функції f(x) і дотична до нього в точці з абсцисою x 0 . Знайдіть значення похідної функції f "(x) у точці x 0 .


Малюнок 7

2. Письмова робота.
№ 253 (а, б), № 254 (а, б). (Робота на місцях, з коментарем)

3. Розв'язання опорних задач.
Розглянемо чотири типи завдань. Діти читають умову завдання, пропонують алгоритм рішення, одне із учнів оформляє його на дошці, інші записують у зошит.
1. Якщо задана точка торкання
Скласти рівняння щодо графіку функції f(x) = x 3 – 3x – 1 у точці М з абсцисою -2.
Рішення:

  1. Обчислимо значення функції: f(-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3;
  2. знайдемо похідну функції: f "(х) = 3х 2 - 3;
  3. обчислимо значення похідної: f"(-2) = - 9.;
  4. підставимо ці значення до рівняння дотичної: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Відповідь: y = 9x + 15.

2. По ординаті точки торкання.
Скласти рівняння дотичної у точці графіказ ординатою y0 = 1.
Рішення:

Відповідь: y = -x + 2.

3. Заданого напряму.
Написати рівняння щодо графіка y = x 3 - 2x + 7 , паралельної прямоїу = х .
Рішення.
Шукана дотична паралельна прямий y = x . Отже, вони мають той самий кутовий коефіцієнт k = 1, y"(х) = 3х2 - 2. Абсцис х 0 точок торкання задовольняє рівняння 3х 2 - 2 = 1, звідки х 0 = ±1.
Тепер можна написати рівняння дотичних: y = x + 5 та y = x + 9 .
Відповідь: y = x + 5, y = x + 9.

4. Умови торкання графіка та прямої.
Завдання. При яких b пряма y = 0,5x + b є дотичною до графіка функції f(х) = ?
Рішення.
Згадаємо, що кутовий коефіцієнт дотичної – це значення похідної у точці дотику. Кутовий коефіцієнт цієї прямої дорівнює k = 0,5. Звідси отримуємо рівняння для визначення абсцис x точки дотику: f"(х) = = 0,5. Вочевидь, його єдиний корінь –х = 1. Значення цієї функції у цій точці у(1) = 1. Отже, координати точки дотику (1; 1). Тепер залишається підібрати таке значення параметра b, за якого пряма проходить через цю точку, тобто координати точки задовольняють рівняння прямої: 1 = 0,5 · 1 + b, звідки b = 0,5.

5. Самостійна роботанавчального характеру.

Робота у парах.


Перевірка: результати рішення заносяться до таблиці на дошці (від кожної пари одна відповідь), обговорення відповідей.

6. Знаходження кута перетину графіка функції та прямої.
Кутом перетину графіка функції y = f(x) та прямий l називають кут, під яким у цій точці пряму перетинає дотична до графіку функції.
№ 259(а, б), №260(а) – розібрати біля дошки.

7. Самостійна робота контролюючого характеру.(Робота диференційована, перевіряє вчитель до наступного уроку)
1 варіант.

2 варіант.

  1. В яких точках торкається графіка функції f(x) = 3х2 - 12х + 7 паралельна осі х?
  2. Складіть рівняння щодо графіку функції f(x)= х 2 - 4 у точці з абсцисоюх 0 = - 2. Виконайте рисунок.
  3. З'ясуйте, чи є прямау = 12х - 10 дотичної до графіку функціїу = 4х3.

3 варіант.

VI Підбиття підсумків уроку.
1. Відповіді на запитання
- що називається дотичною до графіка функції у точці?
- У чому полягає геометричний зміст похідної?
- сформулюйте алгоритм знаходження рівняння дотичної у точці?
2. Згадайте цілі та завдання уроку, чи досягли ми цієї мети?
3. У чому були проблеми на уроці, які моменти уроку найбільше сподобалися?
4. Виставлення позначок за урок.
VII Коментар домашнього завдання: п. 19 (1, 2), № 253 (в), № 255 (г), № 256 (г), № 257 (г), № 259 (г). Підготувати повідомлення про Лейбніцу.

Література

1. Алгебра та початки аналізу: підручник для 10 класу загальноосвітніх установ. Укладачі:. М. Микільський, М. К. Потапов, Н. Н. Решетніков, А. В. Шевкін. - М: Просвітництво, 2008.

2. Дидактичні матеріализ алгебри та початків аналізу для 10 класу / Б.М.Івлєв, С.М.Саакян, С.І. Шварцбурд. - М: Просвітництво, 2008.
3. Мультимедійний диск фірми "1С". 1С: Репетитор. Математика (ч. 1) + Варіанти ЄДІ. 2006.
4. Відкритий банкзавдань з математики/ http://mathege.ru/


Уроки 70-71. Рівняння щодо графіку функції

09.07.2015 5132 0

Ціль: отримати рівняння щодо графіку функції.

I. Повідомлення теми та мети уроків

ІІ. Повторення та закріплення пройденого матеріалу

1. Відповіді на запитання щодо домашнього завдання (розбір невирішених завдань).

2. Контроль засвоєння матеріалу (тест).

Варіант 1

1. Знайдіть похідну функції у = 3х4 – 2 cos x.

Відповідь:

у точці х = π.

Відповідь:

3. Розв'яжіть рівняння y '(x) = 0, якщо

Відповідь:

Варіант 2

1. Знайдіть похідну функції у = 5хб + 3 sin x.

Відповідь:

2. Обчисліть значення похідної функціїу точці х = π.

Відповідь:

3. Розв'яжіть рівняння y '(х) = 0, якщо

Відповідь:

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Нарешті перейдемо до заключного етапу вивчення похідної і розглянемо на заняттях, що залишилися, застосування похідної. На цьому занятті обговоримо дотичну графік функції.

Поняття щодо вже розглядалося раніше. Було показано, що графік диференційованої в точці функції f (х) поблизу а практично не відрізняється від графіка дотичної, а значить, він близький до січної, що проходить через точки (а; f (а)) та (а + Δх; f (а + Δх)). Будь-яка з таких січучих проходить через точку М(а; f (а)). Щоб написати рівняння дотичної, треба задати її кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт січної Δ f /Δ x при Δх → 0 прагне до f "(а), яке є кутовим коефіцієнтом дотичної. Тому кажуть, що дотична є граничним положенням січної при Δх→ 0.

Тепер отримаємо рівняння щодо графіку функції f (х). Так як дотична є прямий та її кутовий коефіцієнт f "(а), то можна записати її рівняння у = f "(a) · x + b . Знайдемо коефіцієнт b умови, що дотична проходить через точку М(а; f (а)). Підставимо координати цієї точки в рівняння дотичної та отримаємо: f (а) = f "(a) · a + b, звідки b = f (а) - f "(а) · а. Тепер підставимо знайдене значення b в рівняння дотичної та отримаємо:або Це і є рівняння дотичної. Обговоримо застосування рівняння дотичної.

Приклад 1

Під яким кутом синусоїдаперетинає вісь абсцис на початку координат?

Кут, під яким графік цієї функції перетинає вісь абсцис, дорівнює кутунахилу а дотичної, проведеної до графіка функції f (x ) у цій точці. Знайдемо похідну:Враховуючи геометричний зміст похідної, маємо:та a = 60°.

Приклад 2

Напишемо рівняння щодо графіку функції f (х) = -х2 + 4х у точці a = 1.

f "(х) і самої функції f (x) у точці a = 1 і отримаємо: f "(a) = f "(1) = -2 · 1 + 4 = 2 і f (a) = f (1) = -12 + 4 · 1 = 3. Підставимо ці величини до рівняння дотичної. Маємо: у = 2(х – 1) + 3 або у = 2х + 1.

Для наочності малюнку наведено графік функції f (x ) і щодо цієї функції. Торкання відбувається у точці M (1; 3).

На основі прикладів 1 і 2 можна сформулювати алгоритм отримання рівняння щодо графіку функції у = f(x):

1) позначити абсцис точки торкання літерою а;

2) обчислити f(а);

3) знайти f "(x) і обчислити f "(a);

4) підставити знайдені числа a, f (a), f "(a) у формулу y = f '(a) (x - a) + f (a).

Зауважимо, що спочатку точка може бути невідома і її доводиться шукати з умов завдання. Тоді в алгоритмі п. 2 і 3 слово «обчислити» треба замінити словом «записати» (що ілюструє приклад 3).

У прикладі 2 абсцис а точки торкання була задана безпосередньо. У багатьох випадках точка торкання визначається різними додатковими умовами.

Приклад 3

Напишемо рівняння дотичних, проведених з точки A (0; 4) до графіку функції f(x) = - x 2 + 2х.

Легко перевірити, що точка А лежить на параболі. Водночас невідомі точки дотику параболи та дотичних, тому для знаходження цих точок буде використано додаткову умову – проходження дотичних через точку А.

Припустимо, що торкання відбувається у точці а. Знайдемо похідну функції:Обчислимо значення похідної f "(x ) і самої функції f (х) у точці дотику а і отримаємо: f '(а) = -2а + 2 і f(a ) = -а2 + 2а. Підставимо ці величини до рівняння дотичної. Маємо:або Це рівняння дотичної.

Запишемо умову проходження дотичної через точку А, підставивши координати цієї точки. Отримаємо: 4або 4 = а2, звідки а = ±2. Таким чином, дотик відбувається у двох точках (-2; -8) і С (2; 0). Тож таких дотичних буде дві. Знайдемо їх рівняння. Підставимо значення а = ±2 до рівняння дотичної. Отримаємо: при a = 2 або ух = -2х + 4; при a = -2 або у2 = 6х + 4. Отже, рівняння дотичних у1 = -2х + 4 і у2 = 6х + 4.

Приклад 4

Знайдемо кут між дотичними, використовуючи умови попереднього завдання.

Проведені дотичні у1 = -2х + 4 і у2 = 6х + 4 складають з позитивним напрямом осі абсцис кути а1 та а2 (причому tg a 1 = -2 та tg a 2 = 6) і між собою кут φ = a 1 - А2. Знайдемо, використовуючи відому формулу,звідки φ = arctg 8/11.

Приклад 5

Напишемо рівняння щодо графіку функціїпаралельної прямої у = -х + 2.

Дві прямі паралельні один одному, якщо вони мають рівні кутові коефіцієнти. Кутовий коефіцієнт прямий у = -х + 2 дорівнює -1, кутовий коефіцієнт шуканої дотичної дорівнює f '(a ), де a - Абсцис точки торкання. Тому для визначення а маємо додаткову умову f '(a) = -1.

Використовуючи формулу для похідної приватних функцій, знайдемо похідну:Знайдемо значення похідної у точці a і отримаємо:

Отримаємо рівнянняабо (а - 2)2 = 4, або а - 2 = ±2, звідки а = 4 і а = 0. Таким чином, існують дві дотичні завдання, що задовольняють умові. Підставимо значення а = 4 і а = 0 до рівняння дотичної у = f '(a)(x - а) + f (а). При а = 4 маємо:та дотична у1 = -(х - 4) + 3 або у1 = -х + 7. При а = 0 отримаємо:і дотична у2 = -(х - 0) - 1 або у2 = -х - 1. Отже, рівняння дотичних у1 = -х + 7 і у2 = -х - 1.

Зауважимо, що якщо f "(a ) не існує, то дотична чи не існує (як у функції f (х) = | х | у точці (0; 0) – рис. а, або вертикальна (як у функціїу точці (0; 0) – рис. б.


Отже, існування похідної функції f (х) у точці а еквівалентно існуванню невертикальної дотичної у точці (а; f (а)) графіка. При цьому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f (а). У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Поняття похідної дозволяє проводити наближені обчислення. Вже неодноразово зазначалося, що за Δх→ 0 значення функції f (x ) і дотичної до неї у(х) практично збігаються. Тому при Δх→ 0 поведінка функції f (х) на околиці точки х0 приблизно можна описати формулою(фактично рівняння дотичної). Ця формула успішно використовується для наближених обчислень.

Приклад 6

Обчислимо значення функціїу точці х = 2,03.

Знайдемо похідну цієї функції: f "(х) = 12х2 - 4х + 3. Вважатимемо, що х = а + Δх, де а = 2 і Δх = 0,03. Обчислимо значення функції та її похідної в точці а і отримаємо:і Тепер визначимо значення функції в заданій точціх = 2,03. Маємо:

Зрозуміло, наведену формулу зручно використовувати, якщо значення f(а) та f"(a ) легко обчислити.

Приклад 7

Обчислимо

Розглянемо функціюЗнайдемо похідну:Вважатимемо, що х = а + Δх, де а = 8 і Δх = 0,03. Обчислимо значення функції та її похідної в точці а і отримаємо:Тепер визначимо значення функції у заданій точці х = 8,03. Маємо:

Приклад 8

Узагальним отриманий результат. Розглянемо статечну функцію f(х) = х n і будемо вважати, що х = а + Δх та Δх→ 0. Знайдемо f "(х) = n х n -1 і обчислимо значення функції та її похідної в точці а, отримаємо: f(a) = an і f '(a) = nan -1 . Тепер маємо формулу f(х) = а n + nan -1 Δх. Застосуємо для обчислення числа 0,98-20. Вважатимемо, що a = 1, Δх = -0,02 та n = -20. Тоді отримаємо:

Зрозуміло, що наведену формулу можна використовувати і для будь-яких інших функцій, зокрема тригонометричних.

Приклад 9

Обчислимо tg 48 °.

Розглянемо функцію f(x) = tg x і знайдемо похідну:Вважатимемо, що х = a + Δ х, де a = 45° = π/4 та (ще раз звернемо увагу на те, що в тригонометрії кути зазвичай вимірюють у радіанах). Знайдемо значення функції та її похідної в точці а та отримаємо:Тепер обчислимо(враховано, що π = 3,14).

IV. Контрольні питання

1. Рівняння щодо графіку функції.

2. Алгоритм виведення рівняння дотичної.

3. Геометричний зміст похідної.

4. Застосування рівняння дотичної для наближених обчислень.

V. Завдання під час уроків

§ 29, № 1 (а); 2 (б); 5 (а, б); 6 (в, г); 9(а); 10 (б); 12 (г); 14 (а); 17; 21 (а); 22 (а, в); 24 (а, б); 25 (а); 26.

VI. Завдання додому

§ 29, № 1 (б); 2 (в); 5 (в, г); 6 (а, б); 9 (б); 10 (а); 12 (б); 14 (б); 18; 21 (в); 22 (б, г); 24 (в, г); 25 (б); 27.

VII. Творчі завдання

1. У яких точках х дотичні до графіків функційпаралельні?

Відповідь: х = -1, х = 3.

2. За яких х дотичні до графіків функцій у = 3 cos 5 x - 7 та у = 5 cos 3 x + 4 паралельні?

Відповідь:

3. Під якими кутами перетинаються криві у = х2 і

Відповідь: π/2 та arctg 3/5.

4. Під якими кутами перетинаються криві у = cos x та у = sin х?

Відповідь:

5. До параболи у = 4 - х2 у точці з абсцисою х = 1 проведена дотична. Знайдіть точку перетину цієї дотичної з віссю ординат.

Відповідь: (0; 5).

6. До параболи у = 4х - х2 у точці з абсцисою х = 3 проведена дотична. Знайдіть точку перетину цієї дотичної з віссю абсцис.

Відповідь: (9/2; 0).

7. Знайдіть кут між двома дотичними, проведеними з точки (0; -2) до параболи у = х2.

Відповідь:

8. До графіку функції у = 3х2 + 3х + 2 проведено дотичні з кутовими коефіцієнтами k 1 = 0 і k 2 = 15. Напишіть рівняння прямої, що проходить через точки дотику.

Відповідь: у = 12х – 4.

9. Знайдіть рівняння прямих, що стосуються одночасно парабол у = х2 + х - 2 і у = -х2 + 7х - 11.

Відповідь: у = 7х – 11 і у = х – 2.

10. Напишіть рівняння загальної дотичної до парабол у = -3х2 + 4х + 4 і у = -3х2 + 16х - 20.

Відповідь: у = -2х + 7.

11. Дотична до графіка функції у = х2 - 4х - 3 проведена в точці х = 0. Знайдіть площу трикутника, утвореного дотичною та осями координат.

Відповідь: 9/8.

12. Знайдіть площу трикутника, обмеженого осями координат і дотичної до графіка функціїу точці х = 2.

Відповідь: 1.

VIII. Підбиття підсумків уроків

Розділи: Математика

Цілі.

  • Узагальнити та систематизувати правила диференціювання;
  • Повторити алгоритм побудови дотичної до графіка функції, схему дослідження функції;
  • Розв'язання задач на застосування найбільшого та найменшого значенняфункції.

Устаткування.Плакат “Похідна. Правила обчислення похідних. Застосування похідної”.

Хід уроку

За картами у учнів повторення теоретичного матеріалу.

1. Дайте визначення похідної функції у точці. Що називається диференціюванням? Яку функцію називають диференційованою у точці?

(Виробної функції f у точці х називається число, до якого прагне відношення

Функцію, що має похідну в точці х 0 називають диференціюється в цій точці. Знаходження похідної f називається диференціюванням.)

2. Сформулюйте правила знаходження похідної.

(1. Похідна суми (u+v)"=u"+v";
2. Про постійний множник (Cu) "= Cu";
3. Похідна твори (uv)"=u"v+uv";
4. Похідна дробу (u/v)"=(u"v-uv")/v 2;
5. Похідна статечної функції(x n)"=nx n+1.)

3. Чому рівні похідні таких функцій:

4. Як знайти похідну складної функції?

(Треба послідовно подати її у вигляді елементарних функцій та взяти похідну за відомими правилами).

5. Чому рівні похідні таких функцій:

6. У чому полягає геометричний зміст похідної?

(Існування похідної в точці еквівалентне існуванню невертикальної дотичної в точці (х 0, f (x 0)) графіка функції, причому кутовий коефіцієнт цієї дотичної дорівнює f "(x 0)).

7. Який вид має рівняння щодо графіка функції в точці (x 0 ,f(x 0))?

(Рівняння дотичної має вигляд у=f(x 0)+f"(x 0)(x-х 0))

8. Сформулюєте алгоритм побудови графіка функції за допомогою похідної.

(1. Знайти ООФ.
2. Дослідити на парність.
3. Дослідити на періодичність.
4. Знайти точки перетину графіка з осями координат.
5. Знайти похідну функції та її критичні точки.
6. Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції.
7. Побудувати таблицю за наслідками дослідження.
8. Побудувати графік функції.)

9. Сформулювати теореми, за допомогою яких можна побудувати графік функції.

(1. Ознака зростання (зменшення).
2. Необхідна ознака екстремуму.
3. Ознака максимуму (мінімуму).

10. Які формули є для наближених обчислень функцій?

Індивідуальна робота.

Рівень А (три варіанти), рівень Б (один варіант).

Рівень А.

Варіант 1.

1. Запишіть рівняння щодо графіку функції

f(x)=(x -1) 2 (x -3) 3 паралельної прямої у=5-24х.

2. Число 18 подайте у вигляді суми трьох позитивних доданків так, щоб один доданок був у два рази більший за інший, а добуток усіх трьох доданків був найбільшим.

4. Знайдіть проміжки зростання та зменшення функції f(x)=(x-1) e х+1 .

Варіант 2.

1. Під яким кутом до осі абсцис нахилена дотична до графіка функції f(x)=0,x 2 +x-1,5 у точці з абсцисою х 0 = - 2? Напишіть рівняння цієї дотичної та виконайте малюнок до цього завдання.

2. Як у Ст. 1.

3. Знайдіть похідну функції:

Рівень Б.

1. Знайдіть похідну функції:

а) f(x) = e-5х;
б) f(x) = log 3 (2x2-3x+1).

2. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою х 0 якщо f(x)=e -х, х 0 = 1.

3. Знайдіть проміжки зростання та зменшення функції f(x)=x·e 2х.

Підсумок уроку.

Перевіряється робота, виставляється відмітка за теорію та практику.

Домашнє завданнядається індивідуально:

а)повторити похідні тригонометричних функцій;
б) метод інтервалів;
в) механічний зміст похідної.

2. А: №138, №142, Б: №137(а,б), №140(а).

3. Візьміть похідну функцій:

а) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
б) f(x)=4x 3 -6x;
в) f(x)=-2sin(2x-4);
г) f(x)=cos(2x-4).

4. Назвіть схему дослідження функції.

Клас: 10

Презентація до уроку























Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

Методи навчання: наочний, частково пошуковий.

Ціль уроку.

  1. Запровадити поняття дотичної до графіку функції у точці, з'ясувати у чому полягає геометричний зміст похідної, вивести рівняння дотичної і навчити шукати його за конкретних функций.
  2. Розвивати логічне мислення, математичне мовлення.
  3. Виховувати волю та завзятість задля досягнення кінцевих результатів.

Обладнання: комп'ютер, інтерактивна дошка.

План уроку

I. Організаційний момент

Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення теми уроку та цілей.

ІІ. Актуалізація знань.

(Згадати з учнями геометричне визначення щодо графіку функції. Навести приклади, що показують, що це твердження неповно.)

Згадаймо, що таке?

"Дотична - це пряма, що має з даною кривою одну загальну точку". (Слайд №2)

Обговорення правильності цього визначення. (Після обговорення, учні дійшли висновку, що це визначення неправильно.) Для наочного докази їх умовиводи наводимо такий приклад.

Розглянемо приклад. (Слайд №3)

Нехай дана парабола і дві прямі , Що має з цією параболою одну загальну точку М (1; 1). Проводиться обговорення, чому перша пряма не є до даної параболи дотичною (рис. 1), а друга є (рис.2).

На даному уроці, ми з вами повинні з'ясувати, що ж таке щодо графіку функції в точці, як скласти рівняння дотичної?

Розглянути основні завдання складання рівняння дотичної.

Для цього, згадати загальний вигляд рівняння прямої, умови паралельності прямих, визначення похідної та правила диференціювання. (Слайд №4)

ІІІ. Підготовча робота для вивчення нового матеріалу.

  1. Сформулювати визначення похідної. (Слайд №5)
  2. Заповнити таблицю довільних функцій. (Слайд №6)
  3. Згадати правила диференціювання. (Слайд №7)
  4. Які із зазначених прямих паралельні та чому? (Переконатися наочно) (Слайд №8)

IV Вивчення нового матеріалу.

Щоб задати рівняння прямої на площині, нам достатньо знати кутовий коефіцієнт і координати однієї точки.

Нехай дано графік функції. На ньому вибрано точку , у цій точці до графіку функції проведено дотичну (ми припускаємо, що вона існує). Знайти кутовий коефіцієнт дотичної.

Дамо аргументу збільшення і розглянемо на графіку (Рис. 3) точку P з абцисою. Кутовий коефіцієнт січної MP, тобто. тангенс кута між січною та віссю x, обчислюється за формулою .

Якщо ми тепер звернемося до нуля, то точка Р почне наближатися по кривій до точки М. Дотичну ми охарактеризували як граничне положення при цьому наближенні. Значить, природно вважати, що кутовий коефіцієнт дотичної обчислюватиметься за формулою .

Отже, .

Якщо до графіка функції y = f(x) у точці х = аможна провести дотичну, непаралельну осі у, Висловлює кутовий коефіцієнт дотичної. (Слайд №10)

Або інакше. Похідна у точці х = адорівнює кутовому коефіцієнту щодо графіку функції y = f(x)у цій точці.

Це і є геометричний зміст похідної. (Слайд №11)

Причому, якщо:

З'ясуємо загальний вигляд рівняння дотичної.

Нехай пряма задана рівнянням . Ми знаємо, що . Для обчислення m скористаємося тим, що пряма проходить через точку . Підставимо в рівняння. Отримаємо, тобто. . Підставимо знайдені значення kі mу рівняння прямий:

– рівняння щодо графіку функції. (Слайд №12)

Розглянемо приклади:

Складемо рівняння дотичної:

(Слайд №14)

Вирішуючи ці приклади, ми скористалися дуже простим алгоритмом, який полягає в наступному: (Слайд № 15)

Розглянемо типові завдання та їх вирішення.

№1 Скласти рівняння щодо графіку функції у точці .

(Слайд №16)

Рішення. Скористаємося алгоритмом, враховуючи, що в цьому прикладі .

2)

3) ;

4) Підставимо знайдені числа, у формулу.

№2 До графіку функції провести дотику так, щоб вона була паралельна до прямої . (Слайд №17)

Рішення. Уточнимо формулювання завдання. Вимога "провести дотичну" зазвичай означає "скласти рівняння дотичної". Скористаємося алгоритмом складання дотичної, враховуючи, що в даному прикладі .

Шукальна дотична має бути паралельна прямий. Дві прямі паралельні, тоді й лише тоді, коли рівні їхні кутові коефіцієнти. Значить кутовий коефіцієнт дотичної має дорівнювати кутовому коефіцієнту заданої прямої: .Але . Отже: ; ., тобто.

V. Розв'язання задач.

1. Розв'язання задач на готових кресленнях (Слайд № 18 та Слайд № 19)

2. Розв'язання задач з підручника: № 29.3 (а, в), № 29.12 (б, г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

VI. Підведення підсумків.

1. Дайте відповідь на запитання:

  • Що називається дотичною до графіка функції у точці?
  • У чому полягає геометричний зміст похідної?
  • Чи сформулюйте алгоритм знаходження рівняння дотичної?

2. У чому були проблеми на уроці, які моменти уроку найбільше сподобалися?

3. Виставлення позначок.

VII. Коментарі до домашній роботі

№ 29.3 (б, г), № 29.12 (а, в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)

Література (Слайд 23)

  1. Алгебра та початку математичного аналізу: Навч. Для 10-11 кл. для учнів загальноосвітніх установ (базовий рівень)/За редакцією А.Г. Мордковіча. - М.: Мнемозіна, 2009.
  2. Алгебра та початку математичного аналізу: Задачник, Для 10-11 кл. для учнів загальноосвітніх установ (базовий рівень)/За редакцією А.Г. Мордковіча. - М.: Мнемозіна, 2009.
  3. Алгебра та початку аналізу. Самостійні та контрольні роботидля 10-11 класів. / Єршова О.П., Голобородько В.В. - М.: ІЛЕКСА, 2010.
  4. ЄДІ 2010. Математика. Завдання В8. Робочий зошит/ За редакцією А.Л.Семенова та І.В.Ященко – M.: Видавництво МЦНМО, 2010.
Відкритий урок алгебри у 11 класі 19.10. 2011 р.

Вчитель: Горбунова С. В.

Тема урока:Рівняння щодо графіку функції.

Цілі уроку


  1. Уточнити поняття «дотичним».

  2. Вивести рівняння дотичної.

  3. Скласти алгоритм «складання рівняння щодо графіку функції
у = f(x)».

  1. Почати відпрацьовувати вміння та навички у складанні рівняння дотичної у різних математичних ситуаціях.

  2. Формувати вміння аналізувати, узагальнювати, показувати, використовувати елементи дослідження, розвивати математичну мову.

Обладнання: комп'ютер, презентація, проектор, інтерактивна дошка, картки з памяткою, картки для рефлексії.

Структура уроку:


  1. О.М. У.

  2. Повідомлення теми уроку

  3. Повторення вивченого матеріалу

  4. Постановка проблеми.

  5. Пояснення нового матеріалу.

  6. Створення алгоритму «складання рівняння дотичної».

  7. Історична довідка.

  8. Закріплення. Відпрацювання умінь та навичок у складанні рівняння дотичної.

  9. Домашнє завдання.

  10. Самостійна робота із самоперевіркою

  11. Підбиття підсумків уроку.

  12. Рефлексія
Хід уроку

1. О.Н.У.

2. Повідомлення теми уроку

Тема сьогоднішнього уроку: «Рівняння щодо графіку функції». Відкрийте зошити, запишіть число та тему уроку. (слайд 1)

Нехай слова, які ви бачите на екрані, стануть гаслом сьогоднішнього уроку. (слайд 2)


  • Поганих ідей не буває

  • Думайте творчо

  • Ризикуйте

  • Не критикуйте
Щоб налаштуватись на урок повторимо раніше вивчений матеріал. Увага на екрані. Рішення запишіть у зошит.

2. Повторення вивченого матеріалу (слайд 3).

Мета: перевірити знання основних правил диференціювання.

Знайти похідну функції:

У кого жодної помилки? У кого одна?

3. Актуалізація

Ціль: Активізувати увагу, показати недостатність знань про дотичну, сформулювати цілі та завдання уроку. (Слайд 4)

Давайте обговоримо, що таке, що стосується графіку функції?

Чи погоджуєтесь ви з твердженням, що «Дотична – це пряма, що має з даною кривою одну загальну точку»?
Йде обговорення. Висловлювання дітей (та й чому, ні і чому). У процесі обговорення приходимо до висновку, що це твердження не є вірним.

Давайте розглянемо конкретні приклади:

приклади.(слайд 5)
1) Пряма x = 1 має з параболою y = x 2 одну загальну точку M(1; 1), проте не є дотичною до параболи.

Пряма ж y = 2x – 1, що проходить через ту саму точку, є дотичною до даної параболи.

Пряма x = π не є дотичною до графіка y = cos xхоча має з ним єдину загальну точку K(π; 1). З іншого боку, пряма y = - 1, що проходить через ту саму точку, є дотичною до графіка, хоча має з ним нескінченно багато загальних точок виду (π+2 πk; 1), де k – ціле число, у кожній з яких вона стосується графіка.

^ 4. Постановка мети та завдання перед дітьми на уроці: (слайд 6)

Спробуйте самі сформулювати мету уроку.

З'ясувати, що таке, що стосується графіку функції в точці, вивести рівняння дотичної. Застосовувати формулу під час вирішення завдань
^ 5. Вивчення нового матеріалу

Подивіться, чим відрізняється положення прямої х = 1 від положення у = 2х-1? (Слайд 7)

Зробіть висновок, що таке дотична?

Стосовно це граничне становище січної.

Якщо дотична це пряма лінія, а нам треба скласти рівняння дотичної, то що, як ви вважаєте, нам треба згадати?

Згадати загальний вигляд рівняння прямої.(у=кх+b)

Як ще називають число? (кутовий коефіцієнт або тангенс кута між цим прямим і позитивним напрямом осі Ох) до = tg α

У чому полягає геометричний зміст похідної?

Тангенс кута нахилу між дотичним та позитивним напрямком осі оХ

Т. е. я можу записати tg α = yˈ(x). (слайд 8)

Давайте проілюструємо це на кресленні. (слайд 9)

Нехай дана функція y = f(x) і точка М, що належить графіку цієї функції. Давайте визначимо її координати в такий спосіб: х=а, у= f(а), тобто. М (а, f (а)) і нехай існує похідна f "(а), тобто в даній точці похідна визначена. Проведемо через точку М дотичну. Рівняння дотичної - це рівняння прямої, тому воно має вигляд: y = kx + b. Отже, завдання полягає в тому, щоб відшукати k і b. Зверніть увагу на дошку з того, що там записано, чи можна знайти до?(так, k = f "(а).)

Як тепер знайти b? Пряма, що шукається, походить через точку М(а; f(a)), підставимо ці координати в рівняння прямої: f(a) = ka +b , звідси b = f(a) – ka, тому що до = tg α= yˈ(x), b = f(a) – f "(а)а

Підставимо значення b і k рівняння y = kx + b.

y = f "(а)x + f(a) – f "(а)a, виносячи за дужку загальний множник, отримуємо:

y = f(a) + f"(а) · (x-a).

Нами отримано рівняння щодо графіку функції y = f(x) у точці х = а.

Щоб впевнено вирішувати завдання на дотичну, потрібно чітко розуміти зміст кожного елемента у цьому рівнянні. Давайте ще раз зупинимося на цьому: (слайд 10)


  1. (а, f (а)) – точка торкання

  2. f "(а) = tg α = до тангенс кута нахилу або кутовий коефіцієнт

  3. (х,у) - будь-яка точка дотичної
І так ми вивели рівняння дотичної, проаналізували зміст кожного елемента в даному рівнянні, спробуємо тепер вивести алгоритм складання рівняння дотичної до графіка функції y = f(x)

6. Упорядкування алгоритму (слайд 11).

Пропоную скласти алгоритм самим учням:


  1. Позначимо абсцис точки торкання літерою а.

  2. Обчислимо f(a).

  3. Знайдемо f"(х) і обчислимо f"(а).

  4. Підставимо знайдені значення числа а, f(а), f "(а) до рівняння дотичної.

  5. y = f(a) + f"(а) · (x-a).
(Роздаю учням надрукований заздалегідь алгоритм як пам'ятку для подальшої роботи.)

  1. Історична довідка (слайд 12).
Увага на екрані. Розшифруйте слово

1
4/3
9
-4
-1
-3
5

Відповідь: ФЛЮКСІЯ (слайд 13).

Яка історія походження цієї назви? (Слайд 14,15)

Поняття похідна виникло у зв'язку з необхідністю вирішення низки завдань фізики, механіки та математики. Честь відкриття основних законів математичного аналізу належить англійському вченому Ньютону та німецькому математику Лейбніцу. Лейбніц розглядав завдання проведення дотичної до довільної кривої.

Знаменитий фізик Ісаак Ньютон, що народилася в англійському селі Вульстроп, зробив чималий внесок і в математику. Вирішуючи завдання проведення дотичних до кривим, обчислюючи площі криволінійних постатей, він створив загальний метод розв'язання таких завдань – метод флюксій (похідних), а саму похідну називав флюентою .

Він обчислив похідну та інтеграл статечної функції. Про диференціальне та інтегральне обчислення він пише у своїй роботі «Метод флюксій» (1665 – 1666 рр.), що послужила одним із започаткованих математичного аналізу, диференціального та інтегрального обчислення, яке вчений розробив незалежно від Лейбніца.

Багато вчених у різні рокицікавилися щодо. Епізодично поняття дотичної зустрічалося на роботах італійського математика М.Тартальи (бл. 1500 – 1557гг.) – тут дотична виникла під час вивчення питання про вугіллі нахилу зброї, у якому забезпечується максимальна даність польоту снаряда. І. Кепплер розглядав дотичну в ході вирішення завдання про найбільший обсяг паралелепіпеда, вписаного в кулю даного радіусу.

У 17 столітті на основі вчення Г.Галілея про рух активно розвинулася кінематична концепція похідної. Різні варіанти викладу зустрічаються у Р. Декарта, французького математика Роберваля, англійського вченого Д. Грегорі, у роботах І. Барроу.

8. Закріплення (слайд 16-18).

1) Скласти рівняння дотичної до графіку функції f(x) = х² - 3х + 5 у точці з абсцисою

Рішення:

Складемо рівняння дотичної (за алгоритмом). Викликати сильного учня.


  1. а = -1;

  2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

  3. f "(x) = 2х - 3,
    f "(a) = f "(-1) = -2 - 3 = -5;

  4. y = 9 - 5 · (x + 1),
y = 4 - 5x.

Відповідь: y = 4 - 5x.

Завдання ЄДІ 2011 року В-8

1. Функція у = f(x) визначена на проміжку (-3; 4). На малюнку зображено її графік і дотичну до цього графіку в точці з абсцисою а = 1. Обчисліть значення похідної f"(x) у точці а = 1.

Рішення: для вирішення необхідно згадати, що якщо відомі координати будь-яких двох точок А і В, що лежать на даній прямій, то її кутовий коефіцієнт можна обчислити за формулою: до = , де (x 1; у 1), (х 2; у 2) - координати точок А, відповідно. За графіком видно, що ця дотична проходить через точки з координатами (1; -2) і (3; -1), отже до = (-1 - (-2)) / (3-1) = 0,5.

2. Функцію у = f(x) визначено на проміжку (-3;4). На малюнку зображено її графік і дотичну до цього графіку в точці з абсцисою а = -2. Обчисліть значення похідної f"(x) у точці а = -2.

Рішення: графік проходить через точки (-2; 1) (0; -1). fˈ(-2)= -2

8. Домашнє завдання (слайд 19).

Підготовка до ЄДІ-8 № 3 - 10

^ 9. Самостійна робота

Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у = f (x) у точці з абсцисою а.
варіант 1 варіант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

відповіді: 1 варіант: у = 3х; 2 варіант: у = -11х +12

10. Підбиття підсумків.


  • Що називається дотичною до графіка функції у точці?

  • У чому полягає геометричний зміст похідної?

  • Чи сформулюйте алгоритм знаходження рівняння дотичної в точці?
11. Рефлексія:

Виберіть смайлик, що відповідає вашому настрою та стану після проведеного уроку. Дякую за урок.

Читайте також