У цій статті ми розберемо, по-перше, що розуміють під оцінкою значень виразу чи функції, і, по-друге, як оцінюються значення виразів та функцій. Спочатку введемо необхідні визначення та поняття. Після цього детально опишемо основні методи одержання оцінок. По ходу наводитимемо рішення характерних прикладів.
Що означає оцінити значення виразу?
Нам не вдалося знайти у шкільних підручниках явної відповіді на питання, що розуміється під оцінкою значення виразу. Спробуємо самі розібратися з цим, відштовхуючись від тих крихт інформації з цієї теми, які все ж таки містяться в підручниках та у збірниках завдань для підготовки до ЄДІ та вступу до ВНЗ.
Давайте подивимося, що можна знайти за цікавою для нас темою в книгах. Наведемо кілька цитат:
У перших двох прикладах фігурують оцінки чисел і числових виразів. Там ми маємо справу з оцінкою єдиного значення висловлювання. В інших прикладах фігурують оцінки, що стосуються виразів зі змінними. Кожному значенню змінної з ОДЗ для виразу або з деякої цікавої для нас множини X (яка, зрозуміло, є підмножиною області допустимих значень) відповідає своє значення виразу. Тобто, якщо ОДЗ (або безліч X) не складається з однини, то виразу зі змінною відповідає безліч значень виразу. У цьому випадку доводиться говорити про оцінку не єдиного значення, а про оцінку всіх значень виразу на ОДЗ (або безлічі X). Така оцінка має місце для будь-якого значення виразу, що відповідає деякому значенню змінної з ОДЗ (або множини X).
За міркуваннями ми трохи відволіклися від пошуку відповіді питання, що означає оцінити значення висловлювання. Наведені вище приклади просувають нас у цій справі, і дозволяють прийняти два наступні визначення:
Визначення
Оцінити значення числового виразу- Це означає вказати числову множину, що містить значення, що оцінюється. При цьому вказана числова кількість буде оцінкою значення числового виразу.
Визначення
Оцінити значення виразу зі змінноюна ОДЗ (або на множині X) - це означає вказати числову множину, що містить всі значення, які приймає вираз на ОДЗ (або на множині X). При цьому зазначена множина буде оцінкою значень виразу.
Нескладно переконатись, що для одного виразу можна вказати не єдину оцінку. Наприклад, числове вираз можна оцінити як , або 
, або 
, або , і т.д. Це саме стосується і виразів зі змінними. Наприклад, вираз 
на ОДЗ можна оцінити як 
, або 
, або 
, і т.д. У зв'язку з цим у записані визначення варто додати уточнення, що стосується вказуваної числової множини, що є оцінкою: оцінка не повинна бути аби який, вона повинна відповідати цілям, для яких її знаходять. Наприклад, для вирішення рівняння 
підходить оцінка 
. Але ця оцінка вже не підходить для вирішення рівняння 
, тут значення виразу 
потрібно оцінити інакше, наприклад, так: 
.
Варто окремо відзначити, що однією з оцінок значень виразу f(x) є область значень відповідної функції y=f(x).
На закінчення цього пункту звернемо увагу на форму запису оцінок. Зазвичай оцінки записуються за допомогою нерівностей. Ви, напевно, це і так помітили.
Оцінка значень виразу та оцінка значень функції
За аналогією з оцінкою значень виразу можна говорити про оцінку значень функції. Це виглядає досить природно, особливо якщо при цьому мати на увазі функції, задані формулами, адже оцінка значень виразу f(x) та оцінка значень функції y=f(x) по суті є те саме, що очевидно. Понад те, процес отримання оцінок часто зручно описувати саме термінах оцінки значень функції. Зокрема, у певних випадках отримання оцінки виразу проводиться через знаходження найбільшого та найменшого значень відповідної функції.
Про точність оцінок
У першому пункті цієї статті ми сказали, що для вираження можуть мати місце багато оцінок його значень. Чи є одні з них кращими за інші? Це залежить від розв'язуваного завдання. Пояснимо на прикладі.
Наприклад, використовуючи методи оцінки значень виразів, які описані в наступних пунктах, можна отримати дві оцінки значень виразу 
: перша - це 
, друга - це 
. Трудовитрати отримання цих оцінок істотно відрізняються. Перша їх практично очевидна, а отримання другий оцінки пов'язані з перебуванням найменшого значенняпідкореного виразу та подальшим використанням властивості монотонності функції вилучення квадратного кореня. У деяких випадках з вирішенням поставленого завдання дозволяє впоратися будь-яка оцінка. Наприклад, будь-яка з наших оцінок дозволяє вирішити рівняння 
. Зрозуміло, що в цьому випадку ми обмежилися б знаходженням першої очевидної оцінки, і, природно, не напружувалися б у знаходженні другої оцінки. Але в інших випадках може виявитися, що одна з оцінок не підходить для вирішення поставленого завдання. Наприклад, перша наша оцінка не дозволяє вирішити рівняння 
, а оцінка дозволяє це зробити. Тобто у цьому випадку першої очевидної оцінки нам було б недостатньо, і нам довелося б знаходити другу оцінку.
Так ми підійшли до питання точності оцінок. Можна детально визначити, що розуміти під точністю оцінки. Але для наших потреб у цьому немає особливої потреби, нам буде достатньо спрощеного уявлення про точність оцінки. Давайте домовимося сприймати точність оцінки як певний аналог точності наближення. Тобто, давайте із двох оцінок значень деякого виразу f(x) вважати більш точною ту, яка «ближча» до області значень функції y=f(x) . У цьому сенсі оцінка є найточнішою з усіх можливих оцінок значень виразу , оскільки вона збігається з областю значень відповідної функції 
. При цьому зрозуміло, що оцінка точніше оцінки . Іншими словами, оцінка грубіше за оцінку .
Чи є сенс постійно шукати найточніші оцінки? Ні. І річ тут у тому, що для вирішення завдань часто вистачає порівняно грубих оцінок. А головна перевага таких оцінок перед точними оцінками полягає в тому, що часто їх значно простіше отримати.
Основні методи отримання оцінок
Оцінки значень основних елементарних функцій
Оцінка значень функції y = | x |
Крім основних елементарних функцій, добре вивченої та корисної у плані отримання оцінок є функція y = | x |. Нам відома область значень цієї функції: ; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
М.: 2014 – 288с. М.: 2012 – 256с.
«Решитель» містить відповіді до всіх завдань та вправ з « Дидактичних матеріалівз алгебри 8 клас»; докладно розібрано методи та способи їх вирішення. «Решитель» адресований виключно батькам учнів, для перевірки домашніх завдань та допомоги у вирішенні завдань. За короткий час батьки можуть стати цілком ефективними домашніми репетиторами.
Формат: pdf (201 4 , 28 8с., Єрін В.К.)
Розмір: 3,5 Мб
Дивитись, скачати: drive.google
Формат: pdf (2012 , 256 с., Морозов А.В.)
Розмір: 2,1 Мб
Дивитись, скачати: посилання видалені (див. примітку!!)
Формат: pdf(2005 , 224с., Федоскіна Н.С.)
Розмір: 1,7 Мб
Дивитись, скачати: drive.google
Зміст
Самостійні роботи 4
Варіант 1 4
у багаточлен (повторення) 4
З-2. Розкладання на множники (повторення) 5
З-3. Цілі та дробові вирази 6
З-4. Основна властивість дробу. Скорочення дробів 7
З-5. Скорочення дробів (продовження) 9
з однаковими знаменниками 10
з різними знаменниками 12
знаменниками (продовження) 14
С-9. Розмноження дробів 16
З-10. Розподіл дробів 17
З-11. Усі дії з дробами 18
З-12. Функція 19
З-13. Раціональні та ірраціональні числа 22
З-14. Арифметичний квадратний корінь 23
З-15. Розв'язання рівнянь виду х2=а 27
квадратного кореня 29
З-17. Функція у=\/х 30
Добуток коріння 31
Приватне коріння 33
З-20. Квадратний коріньзі ступеня 34
Внесення множника під знак кореня 37
містять квадратне коріння 39
З-23. Рівняння та їх коріння 42
Неповні квадратні рівняння 43
З-25. Розв'язання квадратних рівнянь 45
(продовження) 47
З-27. Теорема Вієта 49
квадратних рівнянь 50
множники. Біквадратні рівняння 51
З-30. Дробні раціональні рівняння 53
раціональних рівнянь 58
З-32. Порівняння чисел (повторення) 59
С-33. Властивості числових нерівностей 60
З-34. Додавання та множення нерівностей 62
З-35. Доказ нерівностей 63
З-36. Оцінка значення виразу 65
З-37. Оцінка похибки наближення 66
З-38. Округлення чисел 67
З-39. Відносна похибка 68
З-40. Перетин та об'єднання множин 68
З-41. Числові проміжки 69
З-42. Вирішення нерівностей 74
З-43. Вирішення нерівностей (продовження) 76
З-44. Вирішення систем нерівностей 78
З-45. Розв'язання нерівностей 81
змінну під знаком модуля 83
З-47. Ступінь із цілим показником 87
ступеня з цілим показником 88
З-49. Стандартний вид числа 91
З-50. Запис наближених значень 92
С-51. Елементи статистики 93
(повторення) 95
С-53. Визначення квадратичної функції 99
С-54. Функція у=ах2 100
З-55. Графік функції у=ах2+Ьж+з 101
З-56. Розв'язання квадратних нерівностей 102
С-57. Метод інтервалів 105
Варіант 2 108
З 1. Перетворення цілого виразу
у багаточлен (повторення) 108
З-2. Розкладання на множники (повторення) 109
З-3. Цілі та дробові вирази ПЗ
З-4. Основна властивість дробу.
Скорочення дробів 111
З-5. Скорочення дробів (продовження) 112
С-6. Додавання та віднімання дробів
з однаковими знаменниками 114
С-7. Додавання та віднімання дробів
з різними знаменниками 116
С-8. Складання та віднімання дробів з різними
знаменниками (продовження) 117
С-9. Розмноження дробів 118
З-10. Розподіл дробів 119
З-11. Усі дії з дробами 120
З-12. Функція 121
З-13. Раціональні та ірраціональні числа 123
З-14. Арифметичний квадратний корінь 124
З-15. Розв'язання рівнянь виду х2=а 127
З-16. Знаходження наближених значень
квадратного кореня 129
З-17. Функція y=Vx 130
З-18. Квадратний корінь із твору.
Твір коріння 131
З-19. Квадратний корінь із дробу.
Приватне коріння 133
З-20. Квадратний корінь зі ступеня 134
З-21. Винесення множника з-під знака кореня
Внесення множника під знак кореня 137
З-22. Перетворення виразів,
містять квадратне коріння 138
З-23. Рівняння та їх коріння 141
З-24. Визначення квадратного рівняння.
Неповні квадратні рівняння 142
З-25. Розв'язання квадратних рівнянь 144
З-26. Розв'язання квадратних рівнянь
(продовження) 146
З-27. Теорема Вієта 148
З-28. Розв'язання задач за допомогою
квадратних рівнянь 149
З-29. Розкладання квадратного тричленана
множники. Біквадратні рівняння 150
З-30. Дробні раціональні рівняння 152
З-31. Розв'язання задач за допомогою
раціональних рівнянь 157
З-32. Порівняння чисел (повторення) 158
С-33. Властивості числових нерівностей 160
З-34. Додавання та множення нерівностей 161
З-35. Доказ нерівностей 162
З-36. Оцінка значення виразу 163
З-37. Оцінка похибки наближення 165
З-38. Округлення чисел 165
З-39. Відносна похибка 166
З-40. Перетин та об'єднання множин 166
З-41. Числові проміжки 167
З-42. Розв'язання нерівностей 172
З-43. Вирішення нерівностей (продовження) 174
З-44. Вирішення систем нерівностей 176
З-45. Розв'язання нерівностей 179
З-46. Рівняння та нерівності, що містять
змінну під знаком модуля 181
З-47. Ступінь із цілим показником 185
З-48. Перетворення виразів, що містять
ступеня з цілим показником 187
З-49. Стандартний вигляд числа 189
З-50. Запис наближених значень 190
С-51. Елементи статистики 192
С-52. Концепція функції. Графік функції
(повторення) 193
С-53. Визначення квадратичної функції 197
С-54. Функція у=ах2 199
З-55. Графік функції y=ax2+txr+c 200
З-56. Розв'язання квадратних нерівностей 201
С-57. Метод інтервалів 203
Контрольні роботи 206
Варіант 1 206
К-1 206
К-2 208
К-3 212
К-4 215
К-5 218
К-6 221
К-7 223
К-8 226
К-9 229
К-10 (підсумкова) 232
Варіант 2 236
К-1А 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-4А 243
К-5А 246
К-6А 249
К-7А 252
К-8А 255
К-9А (підсумкова) 257
Підсумкове повторення за темами 263
Осіння олімпіада 274
Весняна олімпіада 275
«Складання та віднімання алгебраїчних дробів» - Алгебраїчні дроби. 4а?b. Вивчення нової теми. Цілі: Згадаймо! Кравченко Г. М. Приклади:
«Ступені з цілим показником» – Феоктистів Ілля Євгенович Москва. 3. Ступінь із цілим показником (5 год) п.43. Викладання алгебри у 8 класі з поглибленим вивченнямматематики. Запізніле введення ступеня з негативним показником… Знати визначення ступеня з негативним показником. 2.
"Види квадратних рівнянь" - Неповні квадратні рівняння. Запитання... Повні квадратні рівняння. Квадратні рівняння. Визначення квадратного рівняння Види квадратних рівнянь Розв'язання квадратних рівнянь. Способи розв'язання квадратних рівнянь. Група "Дискримінанта": Миронов А., Мигунов Д., Зайцев Д., Сидоров Е, Іванов Н., Петров Г. Наведене квадратне рівняння. Виконали: учні 8 "в" класу. Метод виділення повного квадрата. Види квадратних рівнянь. Нехай. Графічний метод.
«Числові нерівності 8 клас» - А-с>0. Нерівності. А<0 означает, что а – отрицательное число. >= «Більше чи одно». b>с. Пишуть a>b чи a
«Рішення квадратних рівнянь теорема Вієта» - Один із коренів рівняння дорівнює 5. Завдання №1. МОУ «Кисловська ЗОШ». Керівник: вчитель математики Баранникова Є. А. Кисловка - 2008 р. (Презентація до уроку алгебри у 8 класі). Знайдіть х2 і к. Роботу виконала: учениця 8 класу Слинька В. Розв'язання квадратних рівнянь із застосуванням теореми Вієта.
Наш «Решитель» містить відповіді до всіх завдань та вправ з «Дидактичних матеріалів з алгебри 8 клас»; докладно розібрано методи та способи їх вирішення. «Решитель» адресований виключно батькам учнів, для перевірки домашніх завдань та допомоги у вирішенні завдань.
За короткий час батьки можуть стати цілком ефективними домашніми репетиторами.
Варіант 1 4
у багаточлен (повторення) 4
З-2. Розкладання на множники (повторення) 5
З-3. Цілі та дробові вирази 6
З-4. Основна властивість дробу. Скорочення дробів. 7
С-5; Скорочення дробів (продовження) 9
з однаковими знаменниками 10
з різними знаменниками 12
знаменниками (продовження) 14
С-9. Розмноження дробів 16
З-10. Розподіл дробів 17
З-11. Усі дії з дробами 18
З-12. Функція 19
З-13. Раціональні та ірраціональні числа 22
З-14. Арифметичний квадратний корінь 23
З-15. Розв'язання рівнянь виду х2=а 27
З-16. Знаходження наближених значень
квадратного кореня 29
З-17. Функція у = д/х 30
Добуток коріння 31
Приватне коріння 33
З-20. Квадратний корінь зі ступеня 34
З-21. Винесення множника з-під знака кореня Внесення множника під знак кореня 37
З-23. Рівняння та їх коріння 42
Неповні квадратні рівняння 43
З-25. Розв'язання квадратних рівнянь 45
(продовження) 47
З-27. Теорема Вієта 49
З-28. Розв'язання задач за допомогою
квадратних рівнянь 50
множники. Біквадратні рівняння 51
З-30. Дробні раціональні рівняння 53
З-31. Розв'язання задач за допомогою
раціональних рівнянь 58
З-32. Порівняння чисел (повторення) 59
С-33. Властивості числових нерівностей 60
З-34. Додавання та множення нерівностей 62
З-35. Доказ нерівностей 63
З-36. Оцінка значення виразу 65
З-37. Оцінка похибки наближення 66
З-38. Округлення чисел 67
З-39. Відносна похибка 68
З-40. Перетин та об'єднання множин 68
З-41. Числові проміжки 69
З-42. Вирішення нерівностей 74
З-43. Вирішення нерівностей (продовження) 76
З-44. Вирішення систем нерівностей 78
З-45. Розв'язання нерівностей 81
змінну під знаком модуля 83
З-47. Ступінь із цілим показником 87
ступеня з цілим показником 88
З-49. Стандартний вид числа 91
З-50. Запис наближених значень 92
С-51. Елементи статистики 93
(повторення) 95
С-53. Визначення квадратичної функції 99
С-54. Функція у=ах2 100
З-55. Графік функції у=ах2+Ьж+з 101
З-56. Розв'язання квадратних нерівностей 102
С-57. Метод інтервалів 105
Варіант 2 108
З 1. Перетворення цілого виразу
у багаточлен (повторення) 108
З-2. Розкладання на множники (повторення) 109
З-3. Цілі та дробові вирази 110
З-4. Основна властивість дробу.
Скорочення дробів 111
З-5. Скорочення дробів (продовження) 112
С-6. Додавання та віднімання дробів
з однаковими знаменниками 114
С-7. Додавання та віднімання дробів
е різними знаменниками 116
С-8. Складання та віднімання дробів з різними
знаменниками (продовження) 117
С-9. Розмноження дробів, 118
З-10. Розподіл дробів 119
З-11. Усі дії з дробами 120
З-12. Функція 121
З-13. Раціональні та ірраціональні числа 123
З-14. Арифметичний квадратний корінь 124
З-15. Розв'язання рівнянь виду х2-а 127
З-16. Знаходження наближених значень квадратного кореня 129
З-17. Функція у=\/х " 130
З-18. Квадратний корінь із твору.
Твір коріння 131
З-19. Квадратний корінь із дробу.
Приватне коріння 133
З-20. Квадратний корінь зі ступеня 134
З-21. Винесення множника з-під знака кореня
Внесення множника під знак кореня 137
З-22. Перетворення виразів,
З-23. Рівняння та їх коріння 141
З-24. Визначення квадратного рівняння.
Неповні квадратні рівняння 142
З-25. Розв'язання квадратних рівнянь 144
З-26. Розв'язання квадратних рівнянь
(продовження) 146
З-27. Теорема Вієта 148
З-28. Розв'язання задач за допомогою
квадратних рівнянь 149
З-29. Розкладання квадратного тричлена на
множники. Біквадратні рівняння 150
З-30. Дробні раціональні рівняння 152
З-31. Розв'язання задач за допомогою
раціональних рівнянь 157
З-32. Порівняння чисел (повторення) 158
С-33. Властивості числових нерівностей 160
З-34. Додавання та множення нерівностей 161
З-35. Доказ нерівностей 162
З-36. Оцінка значення виразу 163
З-37. Оцінка похибки наближення 165
З-38. Округлення чисел 165
З-39. Відносна похибка 166
З-40. Перетин та об'єднання множин 166
З-41. Числові проміжки 167
З-42. Розв'язання нерівностей 172
З-43. Вирішення нерівностей (продовження) 174
З-44. Вирішення систем нерівностей 176
З-45. Розв'язання нерівностей 179
З-46. Рівняння та нерівності, що містять
змінну під знаком модуля 181
З-47. Ступінь із цілим показником 185
З-48. Перетворення виразів, що містять
ступеня з цілим показником 187
З-49. Стандартний вигляд числа 189
З-50. Запис наближених значень 190
С-51. Елементи статистики 192
С-52. Концепція функції. Графік функції
(повторення) 193
С-53. Визначення квадратичної функції 197
С-54. Функція у=ах2 199
З-55. Графік функції у=ах24-Ьж+з 200
З-56. Розв'язання квадратних нерівностей 201
С-57. Метод інтервалів 203
Контрольні роботи 206
Варіант 1 206
К-10 (підсумкова) 232
Варіант 2 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-9А (підсумкова) 257
Підсумкове повторення за темами 263
Осіння олімпіада 274
Весняна олімпіада 275
35 поєднує ознаки чисел 3 і 5. Трійка резонує з вібраціями натхнення та радості, ентузіазму та самовираження. Це триєдність минулого, сьогодення та майбутнього; тіла, розуму та духу. Людина під знаком трійки енергійна, талановита, чесна, горда і незалежна.
П'ятірка додає в скарбничку загальної вібрації частку емоційності та вільного вибору. Серед мінусів – надмірна чутливість та часті перепади настрою, негативна дія яких компенсується оптимізмом трійки. 35 в загальному вираженніуособлює креативну енергію, сприятливі можливості, прагнення зміни місць.
Зв'язок числа з характером
Що означає цифра 35 у долі людини, якщо вона визначається за датою народження? Воно наділяє його особливою харизмою, яка притягує до нього друзів та послідовників. Такі люди завжди оточені прихильниками, які обирають їх на роль громадського діячачи неформального лідера.
Негативна сторона цієї числової комбінації у тому, що людина використовує свій авторитет для особистого збагачення. У представників 35 слабо розвинена духовна сфера. Заражаючись прагматизмом і марнославством, вони здатні, незважаючи на обличчя, «йти головами» до наміченої мети.
Магічні властивості
Містичний зміст 35 пов'язаний з тим, що воно пророкує зустріч зі смертельно небезпечною спокусою. Уникнути важких помилок такого випробування можна лише зберігаючи спокій та розважливість.
Сакральні зіставлення числа можна знайти у Біблії, де воно згадується 5 разів. Саме на тридцять п'ятий день посту в пустелі Люцифер наблизився до Ісуса, щоб спокусити його.
Що означає число 35, якщо часто зустрічається
Якщо ангели-охоронці змушують вас постійно бачити 35, вони показують, що ви не досягаєте своїх цілей. Ви чесні і старанні, але успіх обходить вас стороною.
Ви стикаєтеся з незліченними перешкодами та спантеличені своїм майбутнім. Такий вплив має на ваше життя управитель числа 35 - планета Сатурн. Його приховане дія проявляється через цифру 8, яка виходить додаванням 3 і 5. Можливо, ви ухиляєтеся від свого призначення і граєте чужу роль. Щоб знайти справжнє покликання, прислухайтеся, чого просить душа, і дотримуйтесь її негласного заклику.
