Mnohouholník je časť roviny ohraničená uzavretou prerušovanou čiarou. Rohy mnohouholníka sú označené bodmi vrcholov lomenej čiary. Rohové vrcholy mnohouholníka a vrcholy mnohouholníka sú zhodné body.

Definícia. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné.

Vlastnosti rovnobežníka

1. Opačné strany sú si rovné.
Na obr. jedenásť AB = CD; BC = AD.

2. Opačné uhly sú rovnaké (dva ostré a dva tupé uhly).
Na obr. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Diagonály (úsečky spájajúce dva protiľahlé vrcholy) sa pretínajú a priesečník je rozdelený na polovicu.

Na obr. 11 segmentov AO = OC; BO = OD.

Definícia. Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnobežné a ostatné dve nie sú.

Paralelné strany zavolal jej dôvodov a ďalšie dve strany strany.

Druhy lichobežníka

1. Hrazda ktorého strany nie sú rovnaké,
volal všestranný(obr. 12).

2. Lichobežník, ktorého strany sú rovnaké, sa nazýva rovnoramenné(obr. 13).

3. Lichobežník, v ktorom jedna strana zviera so základňami pravý uhol, sa nazýva pravouhlý(obr. 14).

Segment spájajúci stredy strán lichobežníka (obr. 15) sa nazýva stredová čiara lichobežníka ( MN). Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu.

Lichobežník možno nazvať zrezaným trojuholníkom (obr. 17), preto sú názvy lichobežníkov podobné ako názvy trojuholníkov (trojuholníky sú mnohostranné, rovnoramenné, pravouhlé).

Plocha rovnobežníka a lichobežníka

Pravidlo. Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu jeho strany o výšku nakreslenú na túto stranu.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných udalostiach a Pripravované akcie.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité upozornenia a oznámenia.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Preto zavoláme jedného z nich veľký , druhý - malá základňa lichobežník. Výška lichobežníkom možno nazvať ľubovoľný segment kolmice nakreslený z vrcholov na zodpovedajúcu opačnú stranu (pre každý vrchol sú dve protiľahlé strany), uzavretý medzi prevzatým vrcholom a protiľahlou stranou. Ale je možné vyčleniť "špeciálny typ" výšok.
Definícia 8. Výška základne lichobežníka je segment priamky kolmý na základne, uzavretý medzi základňami.
Veta 7 . Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu.
Dôkaz. Nech sa dáva lichobežník ABCD a stredná čiara KM. Nakreslite čiaru cez body B a M. Pokračujeme stranou AD cez bod D, až kým sa nepretne s BM. Trojuholníky BCm a MPD sú rovnaké v bočných a dvoch uhloch (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - prekrývajúce sa, ∠ BMC=∠ DMP - vertikálne), preto VM=MP alebo bod M je stredom BP. KM je stredová čiara v trojuholníku ABP. Podľa vlastnosti strednej čiary trojuholníka je KM rovnobežná s AP a najmä AD a rovná sa polovici AP:

Veta 8 . Uhlopriečky rozdeľujú lichobežník na štyri časti, z ktorých dve susediace so stranami sú rovnaké.
Dovoľte mi pripomenúť, že čísla sa nazývajú rovnaké, ak majú rovnakú plochu. Trojuholníky ABD a ACD sú rovnaké: majú rovnakú výšku (označené žltou farbou) a spoločnú základňu. Tieto trojuholníky sú všeobecná časť AOD. Ich oblasť sa môže rozšíriť takto:

Druhy lichobežníka:
Definícia 9. (Obrázok 1) Lichobežník s ostrým uhlom je lichobežník, v ktorom sú uhly susediace s väčšou základňou ostré.
Definícia 10. (Obrázok 2) Tupý lichobežník je lichobežník, v ktorom je jeden z uhlov susediacich s väčšou základňou tupý.
Definícia 11. (Obrázok 4) Lichobežník sa nazýva obdĺžnikový, v ktorom je jedna strana kolmá na základne.
Definícia 12. (Obrázok 3) Rovnoramenný (rovnoramenný, rovnoramenný) je lichobežník, v ktorom sú strany rovnaké.

Vlastnosti rovnoramenného lichobežníka:
Veta 10 . Uhly susediace s každou základňou rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.
Dôkaz. Dokážme napríklad rovnosť uhlov A a D s väčšou základňou AD rovnoramenného lichobežníka ABCD. Na tento účel vedieme priamku cez bod C rovnobežnú s bočnou stranou AB. Bude pretínať veľkú základňu v bode M. Štvoruholník ABCM je rovnobežník, pretože konštrukčne má dva páry rovnobežných strán. Preto sa segment CM sečnice uzavretej vo vnútri lichobežníka rovná jeho bočnej strane: CM=AB. Odtiaľ je jasné, že CM=CD, trojuholník CMD je rovnoramenný, ∠CMD=∠CDM, a teda ∠A=∠D. Uhly susediace s menšou základňou sú tiež rovnaké, pretože sú pre nájdené vnútorné jednostranné a majú súčet dvoch riadkov.
Veta 11 . Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.
Dôkaz. Zvážte trojuholníky ABD a ACD. Je rovnaký na dvoch stranách a uhol medzi nimi (AB=CD, AD je spoločný, uhly A a D sú rovnaké podľa vety 10). Preto AC=BD.

Veta 13 . Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rozdelené priesečníkom na zodpovedajúce rovnaké segmenty. Zvážte trojuholníky ABD a ACD. Je rovnaký na dvoch stranách a uhol medzi nimi (AB=CD, AD je spoločný, uhly A a D sú rovnaké podľa vety 10). Preto ∠ ОАD = ∠ ОDA, teda uhly ОВС a OSV sú rovnaké ako zodpovedajúcim spôsobom sa prekrývajúce uhly ODA a ОАD. Pripomeňme si vetu: ak sú dva uhly v trojuholníku rovnaké, potom je rovnoramenný, preto sú trojuholníky ОВС a ОAD rovnoramenné, čo znamená OS=OB a ОА=OD atď.
Rovnoramenný lichobežník je symetrický obrazec.
Definícia 13. Os symetrie rovnoramenného lichobežníka sa nazýva priamka prechádzajúca stredmi jeho základní.
Veta 14 . Os symetrie rovnoramenného lichobežníka je kolmá na jeho základne.
Vo vete 9 sme dokázali, že priamka spájajúca stredy podstav lichobežníka prechádza priesečníkom uhlopriečok. Ďalej (Veta 13) sme dokázali, že trojuholníky AOD a BOC sú rovnoramenné. OM a OK sú podľa definície mediány týchto trojuholníkov. Pripomeňme si vlastnosť rovnoramenného trojuholníka: medián rovnoramenného trojuholníka, zníženého k základni, je tiež výškou trojuholníka. Vzhľadom na kolmosť podôb častí priamky KM je os súmernosti kolmá na základne.
Znaky, ktoré odlišujú rovnoramenný lichobežník medzi všetkými lichobežníkmi:
Veta 15 . Ak sú uhly susediace s jednou zo základov lichobežníka rovnaké, potom je lichobežník rovnoramenný.
Veta 16 . Ak sú uhlopriečky lichobežníka rovnaké, potom je lichobežník rovnoramenný.
Veta 17 . Ak bočné strany lichobežníka, predĺžené k priesečníku, tvoria rovnoramenný trojuholník spolu s jeho veľkou základňou, potom je lichobežník rovnoramenný.
Veta 18 . Ak sa dá lichobežník vpísať do kruhu, potom je rovnoramenný.
Znak pravouhlého lichobežníka:
Veta 19 . Akýkoľvek štvoruholník s iba dvoma pravými uhlami v susedných vrcholoch je pravouhlý lichobežník (samozrejme, že dve strany sú rovnobežné, pretože jednostranné sú rovnaké. v prípade, že tri pravé uhly sú obdĺžnikom)
Veta 20 . Polomer kružnice vpísanej do lichobežníka sa rovná polovici výšky základne.
Dôkazom tejto vety je vysvetliť, že polomery nakreslené k základniam ležia vo výške lichobežníka. Z bodu O - stredu kružnice ABCD vpísanej do tohto lichobežníka nakreslíme polomery k bodom dotyku s jeho základňami lichobežníka. Ako viete, polomer nakreslený k bodu dotyku je kolmý na dotyčnicu, teda OK ^ BC a OM ^ AD. Pripomeňme si vetu: ak je čiara kolmá na jednu z rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú. Čiara OK je teda tiež kolmá na AD. Bodom O teda prechádzajú dve priamky kolmé na priamku AD, ktoré nemôžu byť, preto sa tieto priamky zhodujú a tvoria spoločnú kolmicu KM, ktorá sa rovná súčtu dva polomery a je priemerom vpísanej kružnice, teda r=KM/2 alebo r=h/2.
Veta 21 . Plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu základní a výšky základní.

dôkaz: Nech ABCD je daný lichobežník a AB a CD sú jeho základne. Nech je tiež AH výška spadnutá z bodu A do čiary CD. Potom S ABCD = S ACD + S ABC .
Ale S ACD = 1/2AH CD a S ABC = 1/2AH AB.
Preto S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

Druhý vzorec sa presunul zo štvoruholníka.

\[(\Large(\text(ľubovoľný lichobežník)))\]

Definície

Lichobežník je konvexný štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné.

Rovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú jeho základne a ďalšie dve strany sa nazývajú jeho strany.

Výška lichobežníka je kolmica spadnutá z akéhokoľvek bodu jednej základne na druhú základňu.

Vety: vlastnosti lichobežníka

1) Súčet bočných uhlov je \(180^\circ\) .

2) Uhlopriečky rozdeľujú lichobežník na štyri trojuholníky, z ktorých dva sú podobné a ďalšie dva sú rovnaké.

Dôkaz

1) Pretože \(AD\paralelný BC\) , potom sú uhly \(\uhol BAD\) a \(\uhol ABC\) na týchto priamkach jednostranné a sečna \(AB\) , preto, \(\uhol BAD +\uhol ABC=180^\circ\).

2) Pretože \(AD\paralelný BC\) a \(BD\) je sečna, potom \(\uhol DBC=\uhol BDA\) ako ležiaci naprieč.
Tiež \(\uhol BOC=\uhol AOD\) ako zvislý.
Preto v dvoch rohoch \(\trojuholník BOC \sim \trojuholník AOD\).

Dokážme to \(S_(\trojuholník AOB)=S_(\trojuholník COD)\). Nech \(h\) je výška lichobežníka. Potom \(S_(\trojuholník ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trojuholník ACD)\). potom: \

Definícia

Stredová čiara lichobežníka je segment, ktorý spája stredy strán.

Veta

Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu.

dôkaz*

1) Dokážme rovnobežnosť.

Nakreslite čiaru \(MN"\paralelná AD\) (\(N"\v CD\) ) cez bod \(M\) ). Potom podľa Thalesovej vety (pretože \(MN"\paralelný AD\paralelný BC, AM=MB\)) bod \(N"\) je stredom segmentu \(CD\)... Body \(N\) a \(N"\) sa teda budú zhodovať.

2) Dokážme vzorec.

Nakreslíme \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Nechaj \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Potom podľa Thalesovej vety sú \(M"\) a \(N"\) stredmi segmentov \(BB"\) a \(CC"\). Takže \(MM"\) je stredná čiara \(\trojuholník ABB"\) , \(NN"\) je stredná čiara \(\trojuholník DCC"\) . Preto: \

Pretože \(MN\paralelný AD\paralelný BC\) a \(BB", CC"\perp AD\), potom \(B"M"N"C"\) a \(BM"N"C\) sú obdĺžniky. Podľa Thalesovej vety \(MN\paralelná AD\) a \(AM=MB\) znamenajú, že \(B"M"=M"B\) . Preto \(B"M"N"C"\) a \(BM"N"C\) sú rovnaké obdĺžniky, teda \(M"N"=B"C"=BC\) .

Touto cestou:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Veta: vlastnosť ľubovoľného lichobežníka

Stredy základní, priesečník uhlopriečok lichobežníka a priesečník predĺžení bočných strán ležia na tej istej priamke.

dôkaz*
Po preštudovaní témy „Podobné trojuholníky“ sa odporúča oboznámiť sa s dôkazom.

1) Dokážme, že body \(P\) , \(N\) a \(M\) ležia na tej istej priamke.

Nakreslite čiaru \(PN\) (\(P\) je priesečník predĺženia strán, \(N\) je stred \(BC\) ). Nech pretína stranu \(AD\) v bode \(M\) . Dokážme, že \(M\) je stred \(AD\) .

Zvážte \(\triangle BPN\) a \(\triangle APM\) . Sú podobné v dvoch uhloch (\(\uhol APM\) - spoločný, \(\uhol PAM=\uhol PBN\) zodpovedajúci v \(AD\paralelný BC\) a \(AB\) sečna). znamená: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Zvážte \(\triangle CPN\) a \(\triangle DPM\) . Sú podobné v dvoch uhloch (\(\uhol DPM\) - spoločný, \(\uhol PDM=\uhol PCN\) zodpovedajúci v \(AD\paralelný BC\) a \(CD\) sečna). znamená: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Odtiaľ \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ale \(BN=NC\) , teda \(AM=DM\) .

2) Dokážme, že body \(N, O, M\) ležia na jednej priamke.

Nech \(N\) je stred \(BC\) , \(O\) je priesečník uhlopriečok. Nakreslite čiaru \(NIE\) , bude pretínať stranu \(AD\) v bode \(M\) . Dokážme, že \(M\) je stred \(AD\) .

\(\trojuholník BNO\sim \trojuholník DMO\) v dvoch uhloch (\(\uhol OBN=\uhol ODM\) ako leží na \(BC\paralelná AD\) a \(BD\) sečna; \(\uhol BON=\uhol DOM\) ako zvislý). znamená: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Podobne \(\trojuholník CON\sim \trojuholník AOM\). znamená: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Odtiaľ \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ale \(BN=CN\) , teda \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Rovnostranný lichobežník)))\]

Definície

Lichobežník sa nazýva obdĺžnikový, ak je jeden z jeho uhlov pravý.

Lichobežník sa nazýva rovnoramenný, ak sú jeho strany rovnaké.

Vety: vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

1) Rovnoramenný lichobežník má rovnaké základné uhly.

2) Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.

3) Dva trojuholníky tvorené uhlopriečkami a základňou sú rovnoramenné.

Dôkaz

1) Uvažujme rovnoramenný lichobežník \(ABCD\) .

Z vrcholov \(B\) a \(C\) spustíme na stranu \(AD\) kolmice \(BM\) a \(CN\). Pretože \(BM\perp AD\) a \(CN\perp AD\) , potom \(BM\paralelné CN\) ; \(AD\paralelný BC\) , potom \(MBCN\) je rovnobežník, teda \(BM = CN\) .

Uvažujme pravouhlé trojuholníky \(ABM\) a \(CDN\) . Keďže majú rovnaké prepony a rameno \(BM\) sa rovná ramenu \(CN\) , tieto trojuholníky sú zhodné, teda \(\uhol DAB = \uhol CDA\) .

2)

Pretože \(AB=CD, \uhol A=\uhol D, AD\)- všeobecný, potom na prvom znaku. Preto \(AC=BD\) .

3) Pretože \(\trojuholník ABD=\trojuholník ACD\), potom \(\uhol BDA=\uhol CAD\) . Preto je trojuholník \(\trojuholník AOD\) rovnoramenný. Podobne sa dá dokázať, že \(\trojuholník BOC\) je rovnoramenný.

Vety: znaky rovnoramenného lichobežníka

1) Ak sú uhly na základni lichobežníka rovnaké, potom je rovnoramenný.

2) Ak sú uhlopriečky lichobežníka rovnaké, potom je rovnoramenný.

Dôkaz

Uvažujme lichobežník \(ABCD\) taký, že \(\uhol A = \uhol D\) .

Dotvorme lichobežník na trojuholník \(AED\), ako je znázornené na obrázku. Pretože \(\uhol 1 = \uhol 2\) , potom trojuholník \(AED\) je rovnoramenný a \(AE = ED\) . Uhly \(1\) a \(3\) sa rovnajú rovnobežkám \(AD\) a \(BC\) a sečne \(AB\) . Podobne sú uhly \(2\) a \(4\) rovnaké, ale \(\uhol 1 = \uhol 2\) , potom \(\uhol 3 = \uhol 1 = \uhol 2 = \uhol 4\), preto je aj trojuholník \(BEC\) rovnoramenný a \(BE = EC\) .

Nakoniec \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), teda \(AB = CD\) , čo sa malo dokázať.

2) Nechajte \(AC=BD\) . Pretože \(\trojuholník AOD\sim \trojuholník BOC\), potom ich koeficient podobnosti označíme \(k\) . Potom ak \(BO=x\) , potom \(OD=kx\) . Podobne ako \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Pretože \(AC=BD\) , potom \(x+kx=y+ky \šípka doprava x=y\) . Takže \(\trojuholník AOD\) je rovnoramenný a \(\uhol OAD=\uhol ODA\) .

Teda podľa prvého znaku \(\trojuholník ABD=\trojuholník ACD\) (\(AC=BD, \uhol OAD=\uhol ODA, AD\)- všeobecný). Takže \(AB=CD\) , takže.

Lichobežník je špeciálny prípad štvoruholníka, v ktorom je jeden pár strán rovnobežný. Pojem "lichobežník" pochádza z Grécke slovoτράπεζα, čo znamená "stôl", "stôl". V tomto článku zvážime typy lichobežníka a jeho vlastnosti. Okrem toho prídeme na to, ako vypočítať jednotlivé prvky tohto príkladu, uhlopriečku rovnoramenného lichobežníka, stredovú čiaru, plochu atď. Materiál je prezentovaný v štýle elementárnej populárnej geometrie, teda v ľahko dostupnom formulár.

Všeobecné informácie

Po prvé, poďme pochopiť, čo je štvoruholník. Tento obrázok je špeciálny prípad mnohouholníka, ktorý obsahuje štyri strany a štyri vrcholy. Dva vrcholy štvoruholníka, ktoré nesusedia, sa nazývajú opačné. To isté možno povedať o dvoch nesusediacich stranách. Hlavné typy štvoruholníkov sú rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec, lichobežník a deltoid.

Takže späť na hrazdu. Ako sme už povedali, tento obrazec má dve strany, ktoré sú rovnobežné. Nazývajú sa základne. Ďalšie dve (neparalelné) sú strany. V skúšobných materiáloch a rôznych kontrolné práce veľmi často sa dajú nájsť úlohy súvisiace s lichobežníkmi, ktorých riešenie často vyžaduje od študenta znalosti, ktoré program neposkytuje. Kurz školskej geometrie oboznamuje študentov s vlastnosťami uhlov a uhlopriečok, ako aj so stredovou čiarou rovnoramenného lichobežníka. Ale napokon, okrem toho má spomínaný geometrický útvar aj iné črty. Ale viac o nich neskôr...

Typy lichobežníka

Existuje mnoho typov tejto postavy. Najčastejšie je však zvyčajné zvážiť dva z nich - rovnoramenné a obdĺžnikové.

1. Obdĺžnikový lichobežník- toto je obrázok, na ktorom je jedna zo strán kolmá na základne. Má dva uhly, ktoré majú vždy deväťdesiat stupňov.

2. Rovnoramenný lichobežník je geometrický útvar, ktorého strany sú si navzájom rovné. To znamená, že uhly na základniach sú tiež párovo rovnaké.

Hlavné princípy metodiky štúdia vlastností lichobežníka

Hlavným princípom je využitie tzv. task approach. V podstate nie je potrebné písať teoretický kurz geometrie nových vlastností tohto útvaru. Môžu byť objavené a formulované v procese riešenia rôzne úlohy(lepšie ako systém). Zároveň je veľmi dôležité, aby učiteľ vedel, aké úlohy treba žiakom v tom či onom čase v edukačnom procese stanoviť. Okrem toho môže byť každá vlastnosť lichobežníka reprezentovaná ako kľúčová úloha v systéme úloh.

Druhým princípom je takzvaná špirálová organizácia štúdia „pozoruhodných“ vlastností lichobežníka. To znamená návrat v procese učenia sa k individuálnym črtám danej veci geometrický obrazec. Študenti si ich teda ľahšie zapamätajú. Napríklad vlastnosť štyroch bodov. Dá sa to dokázať tak pri štúdiu podobnosti, ako aj následne pomocou vektorov. Rovnakú plochu trojuholníkov susediacich so stranami obrázku je možné dokázať použitím nielen vlastností trojuholníkov s rovnakými výškami nakreslených na stranách, ktoré ležia na rovnakej priamke, ale aj pomocou vzorca S= 1/ 2 (ab*sina). Okrem toho môžete cvičiť na vpísanom lichobežníku alebo pravouhlom trojuholníku na opísanom lichobežníku atď.

Používanie „mimoškolských“ prvkov geometrického útvaru v obsahu školského kurzu je technológiou úloh na ich vyučovanie. Neustále apelovanie na študované vlastnosti pri prechode inými témami umožňuje študentom hlbšie poznanie lichobežníka a zabezpečuje úspešnosť riešenia úloh. Začnime teda študovať túto nádhernú postavu.

Prvky a vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

Ako sme už uviedli, strany tohto geometrického útvaru sú rovnaké. Je tiež známy ako pravý lichobežník. Prečo je taký pozoruhodný a prečo dostal také meno? Medzi vlastnosti tohto obrázku patrí skutočnosť, že nielen strany a rohy na základniach sú rovnaké, ale aj uhlopriečky. Súčet uhlov rovnoramenného lichobežníka je tiež 360 stupňov. Ale to nie je všetko! Zo všetkých známych lichobežníkov možno opísať kruh iba okolo rovnoramenného. Je to spôsobené tým, že súčet protiľahlých uhlov tohto obrázku je 180 stupňov a iba za tejto podmienky možno opísať kruh okolo štvoruholníka. Ďalšou vlastnosťou uvažovaného geometrického útvaru je, že vzdialenosť od vrcholu základne k priemetu opačného vrcholu na priamku, ktorá obsahuje túto základňu, sa bude rovnať stredovej čiare.

Teraz poďme zistiť, ako nájsť uhly rovnoramenného lichobežníka. Zvážte riešenie tohto problému za predpokladu, že sú známe rozmery strán obrázku.

Riešenie

Zvyčajne sa štvoruholník zvyčajne označuje písmenami A, B, C, D, kde BS a AD sú základne. V rovnoramennom lichobežníku sú strany rovnaké. Budeme predpokladať, že ich veľkosť je X a veľkosti základne sú Y a Z (menšie a väčšie). Na vykonanie výpočtu je potrebné nakresliť výšku H z uhla B. Výsledkom je pravouhlý trojuholník ABN, kde AB je prepona a BN a AN sú nohy. Vypočítame veľkosť nohy AN: menšiu odčítame od väčšej základne a výsledok vydelíme 2. Zapíšeme ho vo forme vzorca: (Z-Y) / 2 \u003d F. Teraz vypočítame ostrý uhol trojuholníka, použijeme funkciu cos. Dostaneme nasledujúci záznam: cos(β) = Х/F. Teraz vypočítame uhol: β=arcos (Х/F). Ďalej, keď poznáme jeden uhol, môžeme určiť druhý, preto vykonáme elementárnu aritmetickú operáciu: 180 - β. Všetky uhly sú definované.

Existuje aj druhé riešenie tohto problému. Na začiatku znížime výšku H od rohu B. Vypočítame hodnotu nohy BN. Vieme, že druhá mocnina prepony správny trojuholník sa rovná súčtu štvorcov nôh. Dostaneme: BN \u003d √ (X2-F2). Ďalej použijeme goniometrická funkcia tg. V dôsledku toho máme: β = arctg (BN / F). Ostrý roh nájdené. Ďalej určíme rovnakým spôsobom ako pri prvej metóde.

Vlastnosť uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka

Najprv si napíšme štyri pravidlá. Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, potom:

Výška postavy sa bude rovnať súčtu základov vydelených dvoma;

Jeho výška a stredná čiara sú rovnaké;

Stred kruhu je bod, kde je ;

Ak je bočná strana rozdelená bodom dotyku na segmenty H a M, potom sa rovná odmocnina produkty týchto segmentov;

Štvoruholník, ktorý tvorili dotykové body, vrchol lichobežníka a stred vpísanej kružnice, je štvorec, ktorého strana sa rovná polomeru;

Plocha postavy sa rovná súčinu základov a súčinu polovice súčtu základov a jeho výšky.

Podobné lichobežníky

Táto téma je veľmi vhodná na štúdium vlastností tohto. Napríklad uhlopriečky rozdeľujú lichobežník na štyri trojuholníky a tie, ktoré susedia so základňami, sú podobné a tie, ktoré susedia so stranami, sú rovnaké. Toto tvrdenie možno nazvať vlastnosťou trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Prvá časť tohto tvrdenia je dokázaná prostredníctvom kritéria podobnosti v dvoch uhloch. Na dôkaz druhej časti je lepšie použiť metódu uvedenú nižšie.

Dôkaz vety

Akceptujeme, že obrazec ABSD (AD a BS - základne lichobežníka) je rozdelený uhlopriečkami VD a AC. Ich priesečník je O. Získame štyri trojuholníky: AOS - na spodnej základni, BOS - na hornej základni, ABO a SOD po stranách. Trojuholníky SOD a BOS majú spoločnú výšku, ak segmenty BO a OD sú ich základňami. Dostaneme, že rozdiel medzi ich plochami (P) sa rovná rozdielu medzi týmito segmentmi: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Preto PSOD = PBOS / K. Podobne trojuholníky BOS a AOB majú spoločnú výšku. Za ich základ berieme segmenty CO a OA. Získame PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K a PAOB \u003d PBOS / K. Z toho vyplýva, že PSOD = PAOB.

Na upevnenie učiva sa študentom odporúča nájsť vzťah medzi plochami získaných trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami, riešením nasledujúcej úlohy. Je známe, že oblasti trojuholníkov BOS a AOD sú rovnaké, je potrebné nájsť oblasť lichobežníka. Keďže PSOD \u003d PAOB, znamená to, že PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD vyplýva, že BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Preto PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dostaneme PSOD = √ (PBOS * PAOD). Potom PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

vlastnosti podobnosti

Pokračovaním v rozvíjaní tejto témy môžeme dokázať aj iné zaujímavé funkcie lichobežník. Takže pomocou podobnosti môžete dokázať vlastnosť segmentu, ktorý prechádza bodom tvoreným priesečníkom uhlopriečok tohto geometrického útvaru, rovnobežnými so základňami. K tomu riešime nasledovnú úlohu: je potrebné nájsť dĺžku úsečky RK, ktorá prechádza bodom O. Z podobnosti trojuholníkov AOD a BOS vyplýva, že AO/OS=AD/BS. Z podobnosti trojuholníkov AOP a ASB vyplýva, že AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Odtiaľ dostaneme, že RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Podobne z podobnosti trojuholníkov DOK a DBS vyplýva, že OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Odtiaľ dostaneme, že RO=OK a RK=2*BS*AD/(BS+AD). Úsečka prechádzajúca bodom, kde sa pretínajú uhlopriečky rovnobežne so základňami a spájajúce dve strany, je rozpolená priesečníkom. Jeho dĺžka je harmonickým priemerom základov postavy.

Zvážte nasledujúcu vlastnosť lichobežníka, ktorá sa nazýva vlastnosť štyroch bodov. Priesečníky uhlopriečok (O), priesečníky pokračovania strán (E), ako aj stredy základní (T a W) ležia vždy na tej istej priamke. To sa dá ľahko dokázať pomocou metódy podobnosti. Výsledné trojuholníky BES a AED sú podobné a v každom z nich mediány ET a EZH rozdeľujú uhol vo vrchole E na rovnaké časti. Preto body E, T a W ležia na tej istej priamke. Rovnakým spôsobom sa na tej istej priamke nachádzajú body T, O a G. To všetko vyplýva z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD. Z toho usudzujeme, že všetky štyri body – E, T, O a W – budú ležať na jednej priamke.

Pomocou podobných lichobežníkov môžu byť študenti požiadaní, aby našli dĺžku segmentu (LF), ktorý rozdeľuje obrazec na dva podobné. Tento segment by mal byť rovnobežný so základňami. Keďže výsledné lichobežníky ALFD a LBSF sú podobné, potom BS/LF=LF/AD. Z toho vyplýva, že LF=√(BS*BP). Dostaneme, že segment, ktorý rozdeľuje lichobežník na dva podobné, má dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru dĺžok základne obrázku.

Zvážte nasledujúcu vlastnosť podobnosti. Je založená na segmente, ktorý rozdeľuje lichobežník na dve rovnako veľké postavy. Akceptujeme, že lichobežník ABSD je segmentom EN rozdelený na dva podobné. Z vrcholu B je vynechaná výška, ktorá je rozdelená segmentom EH na dve časti - B1 a B2. Získame: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 a PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Ďalej zostavíme systém, ktorého prvá rovnica je (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 a druhá (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Z toho vyplýva, že B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) a BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Dostaneme, že dĺžka úsečky deliacej lichobežník na dva rovnaké sa rovná strednej štvorci dĺžok základní: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Úsudky o podobnosti

Dokázali sme teda, že:

1. Segment spájajúci stredy strán lichobežníka je rovnobežný s AD a BS a rovná sa aritmetickému priemeru BS a AD (dĺžka základne lichobežníka).

2. Priamka prechádzajúca bodom O priesečníka uhlopriečok rovnobežných s AD a BS sa bude rovnať harmonickému priemeru čísel AD a BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Úsečka, ktorá rozdeľuje lichobežník na podobné, má dĺžku geometrického priemeru základní BS a AD.

4. Prvok rozdeľujúci obrazec na dva rovnaké má dĺžku stredných štvorcových čísel AD a BS.

Na upevnenie materiálu a pochopenie spojenia medzi uvažovanými segmentmi ich študent potrebuje postaviť pre konkrétny lichobežník. Ľahko dokáže zobraziť stredovú čiaru a segment, ktorý prechádza bodom O - priesečníkom uhlopriečok obrazca - rovnobežne so základňami. Ale kde bude tretí a štvrtý? Táto odpoveď privedie študenta k objaveniu požadovaného vzťahu medzi priemermi.

Úsečka, ktorá spája stredy uhlopriečok lichobežníka

Zvážte nasledujúcu vlastnosť tohto obrázku. Akceptujeme, že úsečka MH je rovnobežná so základňami a pretína uhlopriečky. Priesečníky nazvime W a W. Tento segment sa bude rovnať polovičnému rozdielu báz. Poďme to analyzovať podrobnejšie. MSH - stredná čiara trojuholníka ABS, rovná sa BS / 2. MS - stredná čiara trojuholníka ABD, rovná sa AD / 2. Potom dostaneme, že ShShch = MShch-MSh, teda Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Ťažisko

Pozrime sa, ako je tento prvok určený pre daný geometrický útvar. K tomu je potrebné predĺžiť základne v opačných smeroch. Čo to znamená? Je potrebné pridať spodnú základňu k hornej základni - na ktorúkoľvek zo strán, napríklad vpravo. A spodok je predĺžený o dĺžku vrchu doľava. Ďalej ich spojíme uhlopriečkou. Priesečník tohto segmentu so strednou čiarou obrázku je ťažisko lichobežníka.

Vpísané a ohraničené lichobežníky

Vymenujme vlastnosti takýchto postáv:

1. Lichobežník môže byť vpísaný do kruhu len vtedy, ak je rovnoramenný.

2. Lichobežník môže byť opísaný okolo kruhu za predpokladu, že súčet dĺžok ich základní sa rovná súčtu dĺžok strán.

Dôsledky vpísanej kružnice:

1. Výška opísaného lichobežníka sa vždy rovná dvom polomerom.

2. Bočná strana opísaného lichobežníka sa pozoruje od stredu kružnice v pravom uhle.

Prvý dôsledok je zrejmý a na preukázanie druhého je potrebné zistiť, či je uhol SOD správny, čo v skutočnosti tiež nebude ťažké. Ale vedomosti daný majetok umožňuje použiť pri riešení problémov pravouhlý trojuholník.

Teraz špecifikujeme tieto dôsledky pre rovnoramenný lichobežník, ktorý je vpísaný do kruhu. Dostaneme, že výška je geometrickým priemerom základov obrázku: H=2R=√(BS*AD). Pri precvičovaní hlavnej techniky riešenia úloh pre lichobežníky (princíp kreslenia dvoch výšok) musí študent vyriešiť nasledujúcu úlohu. Akceptujeme, že BT je výška rovnoramennej postavy ABSD. Je potrebné nájsť segmenty AT a TD. Pomocou vyššie opísaného vzorca to nebude ťažké.

Teraz poďme zistiť, ako určiť polomer kruhu pomocou oblasti ohraničeného lichobežníka. Znížime výšku z vrcholu B na základňu AD. Pretože kruh je vpísaný do lichobežníka, potom BS + AD \u003d 2AB alebo AB \u003d (BS + AD) / 2. Z trojuholníka ABN nájdeme sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Dostaneme PABSD \u003d (BS + HELL) * R, z toho vyplýva, že R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Všetky vzorce strednej čiary lichobežníka

Teraz je čas prejsť na posledný prvok tohto geometrického útvaru. Poďme zistiť, čomu sa rovná stredná čiara lichobežníka (M):

1. Cez základne: M \u003d (A + B) / 2.

2. Cez výšku, základňu a uhly:

M \u003d A-H* (ctga + ctgp)/2;

M \u003d B + H * (ctga + ctgp) / 2.

3. Cez výšku, uhlopriečky a uhol medzi nimi. Napríklad D1 a D2 sú uhlopriečky lichobežníka; α, β - uhly medzi nimi:

M = D1*D2*sina/2H = D1*D2*sinp/2H.

4. Cez plochu a výšku: M = P / N.