Vom analiza două tipuri de sisteme de rezolvare de ecuații:
1. Rezolvarea sistemului prin metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.
Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii metoda de substitutie trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Ne exprimăm. Din orice ecuație, exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate, valoarea rezultata.
3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.
A rezolva sistem prin adunare (scădere) termen cu termen nevoie:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face aceiași coeficienți.
2. Adunăm sau scădem ecuațiile, ca rezultat obținem o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvăm ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.
Soluția sistemului este punctele de intersecție ale graficelor funcției.
Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.
Exemplul #1:
Să rezolvăm prin metoda substituției
Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda substituției2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)
1. Express
Se poate observa că în cea de-a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, deci rezultă că este mai ușor să exprimați variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y
2. După exprimare, înlocuim 3 + 10y în prima ecuație în locul variabilei x.
2(3+10y)+5y=1
3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (paranteze deschise)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Soluția sistemului de ecuații este punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y. Să găsim x, în primul paragraf unde am exprimat înlocuim y acolo.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând, scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)
Exemplul #2:
Să rezolvăm prin adunare (scădere) termen cu termen.
Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda adunării3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)
1. Selectați o variabilă, să presupunem că selectăm x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțiți prima ecuație cu 2 și a doua cu 3 pentru a obține raportul general 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Din prima ecuație, scădeți a doua pentru a scăpa de variabila x. Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)
Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online este gratuit. Fara gluma.
Calculatorul gratuit oferit atenției dumneavoastră are un arsenal bogat de posibilități de calcule matematice. Vă permite să utilizați calculatorul online în domenii diverse Activități: educational, profesionalși comercial. Desigur, utilizarea unui calculator online este deosebit de populară eleviși şcolari, le face mult mai ușor să efectueze o varietate de calcule.
Cu toate acestea, calculatorul poate fi un instrument util în unele domenii de afaceri și pentru oameni de diferite profesii. Desigur, necesitatea de a folosi un calculator în afaceri sau în muncă este determinată în primul rând de tipul de activitate în sine. Dacă afacerea și profesia sunt asociate cu calcule și calcule constante, atunci merită să încercați un calculator electronic și să evaluați gradul de utilitate al acestuia pentru o anumită afacere.
Acest calculator online poate
- Executați corect funcțiile matematice standard scrise pe o singură linie, cum ar fi - 12*3-(7/2) și poate gestiona numere mai mari decât numărăm numere uriașe într-un calculator online. Nici măcar nu știm cum să apelăm corect un astfel de număr ( sunt 34 de caractere și aceasta nu este deloc limita).
- Cu exceptia tangentă, cosinus, sinusurilorși alte funcții standard - calculatorul acceptă operațiuni de calcul arc tangentă, arc tangentă si altii.
- Disponibil în arsenal logaritmi, factorialeși alte caracteristici interesante
- Acest calculator online poate face diagrame!!!
Pentru a reprezenta grafice, serviciul folosește un buton special (este desenat graficul gri) sau o reprezentare literală a acestei funcții (Plot). Pentru a construi un grafic într-un calculator online, trebuie doar să scrieți o funcție: plot(tan(x)),x=-360..360.
Am luat cel mai simplu grafic pentru tangentă și, după punctul zecimal, am indicat intervalul variabilei X de la -360 la 360.
Puteți construi absolut orice funcție, cu orice număr de variabile, de exemplu: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) Sau chiar mai complex decât vă puteți gândi. Acordăm atenție comportamentului variabilei X - intervalul de la și până la este indicat folosind două puncte.
Singurul negativ (deși este dificil să-l numim negativ) al acestui lucru calculator online asta este că nu știe să construiască sfere și alte figuri tridimensionale - doar un avion.
Cum se lucrează cu Calculatorul de matematică
1. Afișajul (ecranul de calcul) afișează expresia introdusă și rezultatul calculului acesteia în caractere obișnuite, așa cum scriem pe hârtie. Acest câmp este pur și simplu pentru vizualizarea operațiunii curente. Intrarea este afișată pe afișaj pe măsură ce introduceți o expresie matematică în linia de introducere.
2. Câmpul de introducere a expresiei este destinat scrierii expresiei de calculat. Trebuie remarcat aici că simbolurile matematice folosite în programele de calculator nu se potrivesc întotdeauna cu cele pe care le folosim de obicei pe hârtie. În prezentarea generală a fiecărei funcții a calculatorului, veți găsi denumirea corectă pentru o anumită operație și exemple de calcule în calculator. Pe această pagină de mai jos este o listă cu toate operațiunile posibile din calculator, indicând și ortografia lor corectă.
3. Bara de instrumente - Acestea sunt butoanele calculatorului care înlocuiesc introducerea manuală a simbolurilor matematice care indică operația corespunzătoare. Unele butoane ale calculatorului (funcții suplimentare, convertor de unități, soluții de matrice și ecuații, grafice) completează bara de activități cu câmpuri noi în care sunt introduse date pentru un anumit calcul. Câmpul „Istoric” conține exemple de scriere a expresiilor matematice, precum și cele mai recente șase intrări ale tale.
Vă rugăm să rețineți că atunci când apăsați butoanele pentru apelarea funcțiilor suplimentare, convertorul de valori, rezolvarea matricelor și ecuațiilor, trasarea graficelor, întregul panou al calculatorului se deplasează în sus, acoperind o parte a afișajului. Completați câmpurile obligatorii și apăsați tasta „I” (evidențiată cu roșu în figură) pentru a vedea afișajul la dimensiune completă.
4. Tastatura numerică conține numere și semne aritmetice. Butonul „C” șterge întreaga intrare din câmpul de introducere a expresiei. Pentru a șterge caracterele unul câte unul, trebuie să utilizați săgeata din dreapta liniei de introducere.
Încercați să închideți întotdeauna parantezele la sfârșitul unei expresii. Pentru majoritatea operațiunilor, acest lucru nu este critic, calculatorul online va calcula totul corect. Cu toate acestea, în unele cazuri sunt posibile erori. De exemplu, atunci când creșteți la o putere fracțională, parantezele neînchise vor face ca numitorul fracției din exponent să meargă la numitorul bazei. Pe display, brațul de închidere este indicat cu gri pal, acesta trebuie închis când înregistrarea este finalizată.
| Cheie | Simbol | Operațiune |
|---|---|---|
| pi | pi | pi constantă |
| e | e | numărul Euler |
| % | % | La sută |
| () | () | Deschide/Închide Paranteze |
| , | , | Virgulă |
| păcat | păcat(?) | Sinusul unui unghi |
| cos | ca(?) | Cosinus |
| bronzat | bronzat(y) | Tangentă |
| sinh | sinh() | Sinus hiperbolic |
| bani lichizi | cosh() | Cosinus hiperbolic |
| tanh | tanh() | Tangenta hiperbolica |
| păcatul-1 | ca în() | Sinus invers |
| cos-1 | acos() | cosinus invers |
| bronz-1 | un bronz() | tangenta inversa |
| sinh-1 | asinh() | Sinus hiperbolic invers |
| cosh-1 | acosh() | Cosinus hiperbolic invers |
| tanh-1 | atanh() | tangentă hiperbolică inversă |
| x2 | ^2 | Pătrare |
| x 3 | ^3 | cub |
| X y | ^ | Exponentiație |
| 10 x | 10^() | Exponentiație în baza 10 |
| ex | exp() | Exponentiarea numarului Euler |
| vx | sqrt(x) | Rădăcină pătrată |
| 3vx | sqrt3(x) | rădăcină de gradul 3 |
| yvx | pătrat(x,y) | extragerea rădăcinilor |
| log 2 x | log2(x) | logaritm binar |
| Buturuga | log(x) | Logaritm zecimal |
| ln | log(x) | logaritmul natural |
| log yx | log(x,y) | Logaritm |
| I/II | Minimizați/Apelați funcții suplimentare | |
| unitate | Convertor de unități | |
| matrice | matrici | |
| rezolva | Ecuații și sisteme de ecuații | |
| Complot | ||
| Funcții suplimentare (apel cu tasta II) | ||
| mod | mod | Împărțire cu rest |
| ! | ! | Factorială |
| i/j | i/j | unitate imaginară |
| Re | Re() | Selectarea întregii părți reale |
| Sunt | Sunt() | Excluderea părții reale |
| |x| | abs() | Valoarea absolută a unui număr |
| Arg | arg() | Argumentul funcției |
| nCr | ncr() | Coeficient binomial |
| gcd | gcd() | GCD |
| lcm | lcm() | NOC |
| sumă | sumă() | Valoarea totală a tuturor soluțiilor |
| fac | factorizați() | factorizare primara |
| dif | diff() | Diferenţiere |
| deg | grade | |
| Rad | radiani | |
I. ax 2 \u003d 0 – incomplet ecuație pătratică (b=0, c=0 ). Rezolvare: x=0. Raspuns: 0.
Rezolvați ecuații.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Soluţie. Extindeți parantezele prin înmulțire 2x pentru fiecare termen dintre paranteze:
2x2 +6x=6x-x2 ; mutarea termenilor din partea dreaptă în partea stângă:
2x2 +6x-6x+x2=0; Iată termeni similari:
3x 2 =0, deci x=0.
Răspuns: 0.
II. ax2+bx=0 –incomplet ecuație pătratică (s=0 ). Rezolvare: x (ax+b)=0 → x 1 =0 sau ax+b=0 → x 2 =-b/a. Răspuns: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
Soluţie. Scoateți factorul comun X pentru paranteze:
x(5x-26)=0; fiecare factor poate fi zero:
x=0 sau 5x-26=0→ 5x=26, împărțiți ambele părți ale egalității la 5 și obținem: x \u003d 5.2.
Răspuns: 0; 5,2.
Exemplul 3 64x+4x2=0.
Soluţie. Scoateți factorul comun 4x pentru paranteze:
4x(16+x)=0. Avem trei factori, 4≠0, prin urmare, sau x=0 sau 16+x=0. Din ultima egalitate obținem x=-16.
Răspuns: -16; 0.
Exemplul 4(x-3) 2 +5x=9.
Soluţie. Aplicând formula pentru pătratul diferenței a două expresii, deschideți parantezele:
x 2 -6x+9+5x=9; transforma la forma: x 2 -6x+9+5x-9=0; Iată termeni similari:
x2-x=0; îndura Xîn afara parantezelor, obținem: x (x-1)=0. De aici sau x=0 sau x-1=0→ x=1.
Răspuns: 0; 1.
III. ax2+c=0 –incomplet ecuație pătratică (b=0 ); Rezolvare: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
În cazul în care un (-c/a)<0 , atunci nu există rădăcini reale. În cazul în care un (-s/a)>0
Exemplul 5 x 2 -49=0.
Soluţie.
x 2 \u003d 49, de aici x=±7. Răspuns:-7; 7.
Exemplul 6 9x2-4=0.
Soluţie.
Este adesea necesar să se găsească suma pătratelor (x 1 2 + x 2 2) sau suma cuburilor (x 1 3 + x 2 3) a rădăcinilor unei ecuații pătratice, mai rar - suma reciprocelor lui pătratele rădăcinilor sau suma aritmeticii rădăcini pătrate din rădăcinile ecuației pătratice:
Teorema lui Vieta poate ajuta cu asta:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Expres prin pși q:
1) suma pătratelor rădăcinilor ecuației x2+px+q=0;
2) suma cuburilor rădăcinilor ecuației x2+px+q=0.
Soluţie.
1) Expresie x 1 2 + x 2 2 obţinută prin pătrarea ambelor părţi ale ecuaţiei x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; deschideți parantezele: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; exprimăm cantitatea dorită: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Avem o ecuație utilă: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) Expresie x 1 3 + x 2 3 reprezentați prin formula sumei cuburilor sub forma:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q) ).
O altă ecuație utilă: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
Exemple.
3) x 2 -3x-4=0. Fără a rezolva ecuația, calculați valoarea expresiei x 1 2 + x 2 2.
Soluţie.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, si munca x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dîn exemplul 1) egalitate:
x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q. Avem -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Apoi x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
Răspuns: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Calculați: x 1 3 +x 2 3 .
Soluţie.
După teorema lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații pătratice reduse x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, si munca x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-patru. Să aplicăm ceea ce am obținut ( în exemplul 2) egalitate: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
Răspuns: x 1 3 + x 2 3 =32.
Întrebare: ce se întâmplă dacă ni se oferă o ecuație pătratică neredusă? Răspuns: poate fi întotdeauna „redusă” împărțind termen cu termen la primul coeficient.
5) 2x2 -5x-7=0. Fără a rezolva, calculează: x 1 2 + x 2 2.
Soluţie. Ni se oferă o ecuație pătratică completă. Împărțiți ambele părți ale ecuației la 2 (primul coeficient) și obțineți următoarea ecuație pătratică: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.
După teorema lui Vieta, suma rădăcinilor este 2,5 ; produsul rădăcinilor este -3,5 .
Rezolvăm în același mod ca exemplu 3) folosind egalitatea: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Răspuns: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0. Găsi:
Să transformăm această egalitate și, prin înlocuirea sumei rădăcinilor în termenii teoremei Vieta, -p, iar produsul rădăcinilor prin q, obținem o altă formulă utilă. La derivarea formulei, am folosit egalitatea 1): x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
În exemplul nostru x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Înlocuiți aceste valori în formula rezultată:
7) x 2 -13x+36=0. Găsi:
Să transformăm această sumă și să obținem o formulă prin care va fi posibil să găsim suma rădăcinilor pătrate aritmetice din rădăcinile unei ecuații pătratice.
Avem x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Înlocuiți aceste valori în formula derivată:
Sfat : verificați întotdeauna posibilitatea de a găsi rădăcinile ecuației pătratice prin mod potrivit, dupa toate acestea 4 revizuit formule utile vă permit să finalizați rapid sarcina, în primul rând, în cazurile în care discriminantul este un număr „incomod”. În toate cazurile simple, găsiți rădăcinile și operați asupra lor. De exemplu, în ultimul exemplu, selectăm rădăcinile folosind teorema Vieta: suma rădăcinilor ar trebui să fie egală cu 13 , și produsul rădăcinilor 36 . Care sunt aceste numere? Desigur, 4 și 9. Acum calculați suma rădăcinilor pătrate ale acestor numere: 2+3=5. Asta e!
I. Teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică redusă.
Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 este egal cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Găsiți rădăcinile ecuației pătratice date folosind teorema lui Vieta.
Exemplul 1) x 2 -x-30=0. Aceasta este ecuația pătratică redusă ( x 2 +px+q=0), al doilea coeficient p=-1, și termenul liber q=-30.În primul rând, asigurați-vă că ecuația dată are rădăcini și că rădăcinile (dacă există) vor fi exprimate ca numere întregi. Pentru aceasta este suficient ca discriminatorul să fie pătrat plin număr întreg.
Găsirea discriminantului D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Acum, conform teoremei Vieta, suma rădăcinilor trebuie să fie egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, i.e. ( -p), iar produsul este egal cu termenul liber, i.e. ( q). Apoi:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Trebuie să alegem astfel de două numere, astfel încât produsul lor să fie egal cu -30 , iar suma este unitate. Acestea sunt numerele -5 și 6 . Răspuns: -5; 6.
Exemplul 2) x 2 +6x+8=0. Avem ecuația pătratică redusă cu al doilea coeficient p=6și membru gratuit q=8. Asigurați-vă că există rădăcini întregi. Să găsim discriminantul D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Discriminantul D 1 este pătratul perfect al numărului 1 , deci rădăcinile acestei ecuații sunt numere întregi. Alegem rădăcinile după teorema Vieta: suma rădăcinilor este egală cu –p=-6, iar produsul rădăcinilor este q=8. Acestea sunt numerele -4 și -2 .
De fapt: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Răspuns: -4; -2.
Exemplul 3) x 2 +2x-4=0. În această ecuație pătratică redusă, al doilea coeficient p=2, și termenul liber q=-4. Să găsim discriminantul D1, deoarece al doilea coeficient este un număr par. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Discriminantul nu este un pătrat perfect al unui număr, așa că facem concluzie: rădăcinile acestei ecuații nu sunt numere întregi și nu pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Deci, rezolvăm această ecuație, ca de obicei, conform formulelor (în acest caz formule). Primim:
Exemplul 4). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile ei dacă x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Soluţie. Ecuația dorită va fi scrisă sub forma: x 2 +px+q=0, de altfel, pe baza teoremei Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Atunci ecuația va lua forma: x2 +3x-28=0.
Exemplul 5). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale dacă:
II. teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică completă ax2+bx+c=0.
Suma rădăcinilor este minus b impartit de A, produsul rădăcinilor este Cu impartit de A:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
Exemplul 6). Aflați suma rădăcinilor unei ecuații pătratice 2x2 -7x-11=0.
Soluţie.
Suntem convinși că această ecuație va avea rădăcini. Pentru a face acest lucru, este suficient să scrieți o expresie pentru discriminant și, fără a o calcula, asigurați-vă că discriminantul este mai mare decât zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Și acum să folosim teorema Vieta pentru ecuații pătratice complete.
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
Exemplul 7). Aflați produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice 3x2 +8x-21=0.
Soluţie.
Să găsim discriminantul D1, deoarece al doilea coeficient ( 8 ) este un număr par. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Ecuația pătratică are 2 rădăcină, conform teoremei Vieta, produsul rădăcinilor x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0 este o ecuație pătratică generală
discriminant D=b2-4ac.
În cazul în care un D>0, atunci avem două rădăcini reale:
În cazul în care un D=0, atunci avem o singură rădăcină (sau două rădăcini egale) x=-b/(2a).
Daca D<0, то действительных корней нет.
Exemplu 1) 2x2 +5x-3=0.
Soluţie. A=2; b=5; c=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 rădăcini adevărate.
4x2 +21x+5=0.
Soluţie. A=4; b=21; c=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 rădăcini adevărate.
II. ax2+bx+c=0 – ecuație pătratică specială pentru o secundă chiar
coeficient b
Exemplu 3) 3x2 -10x+3=0.
Soluţie. A=3; b\u003d -10 (număr par); c=3.
Exemplul 4) 5x2-14x-3=0.
Soluţie. A=5; b= -14 (număr par); c=-3.
Exemplul 5) 71x2 +144x+4=0.
Soluţie. A=71; b=144 (număr par); c=4.
Exemplul 6) 9x 2 -30x+25=0.
Soluţie. A=9; b\u003d -30 (număr par); c=25.
III. ax2+bx+c=0 – ecuație pătratică tip privat, furnizat: a-b+c=0.
Prima rădăcină este întotdeauna minus unu, iar a doua rădăcină este minus Cu impartit de A:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.
Exemplul 7) 2x2+9x+7=0.
Soluţie. A=2; b=9; c=7. Să verificăm egalitatea: a-b+c=0. Primim: 2-9+7=0 .
Apoi x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3,5. Răspuns: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – ecuație pătratică a unei anumite forme în condițiile : a+b+c=0.
Prima rădăcină este întotdeauna egală cu unu, iar a doua rădăcină este egală cu Cu impartit de A:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.
Exemplul 8) 2x2 -9x+7=0.
Soluţie. A=2; b=-9; c=7. Să verificăm egalitatea: a+b+c=0. Primim: 2-9+7=0 .
Apoi x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3,5. Răspuns: 1; 3,5.
Pagina 1 din 1 1
Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a 8-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este esențială.
O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a , b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.
Înainte de a studia metode specifice de soluție, observăm că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:
- Nu au rădăcini;
- Au exact o rădăcină;
- Au două rădăcini diferite.
Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.
discriminant
Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac .
Această formulă trebuie cunoscută pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului, puteți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:
- Daca D< 0, корней нет;
- Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
- Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.
Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:
O sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Scriem coeficienții pentru prima ecuație și găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Deci, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație în același mod:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămâne:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
discriminant zero- rădăcina va fi una.
Rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor - dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.
Apropo, dacă vă „umpleți mâna”, după un timp nu va mai fi nevoie să scrieți toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de multe.
Rădăcinile unei ecuații pătratice
Acum să trecem la soluție. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:
Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice
Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - obțineți același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Prima ecuație:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:
A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]
În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:
După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar atunci când coeficienții negativi sunt înlocuiți în formulă. Aici, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: priviți formula literal, pictați fiecare pas - și scăpați de greșeli foarte curând.
Ecuații patratice incomplete
Se întâmplă ca ecuația pătratică să fie oarecum diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Este ușor de observat că unul dintre termeni lipsește din aceste ecuații. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu trebuie să calculeze discriminantul. Deci, să introducem un nou concept:
Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.
Desigur, un caz foarte dificil este posibil atunci când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b \u003d c \u003d 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 \u003d 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură ecuație. rădăcină: x \u003d 0.
Să luăm în considerare alte cazuri. Fie b \u003d 0, apoi obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c \u003d 0. Să o transformăm ușor:
Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar atunci când (−c / a ) ≥ 0. Concluzie:
- Dacă o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 satisface inegalitatea (−c / a ) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
- Dacă (−c / a )< 0, корней нет.
După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - în incomplet ecuații pătratice fara calcule complexe deloc. De fapt, nici măcar nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c / a ) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea lui x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. În cazul în care există număr pozitiv vor fi două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.
Acum să ne ocupăm de ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:
Scoaterea factorului comun din parantezăProdusul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, vom analiza câteva dintre aceste ecuații:
O sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nu există rădăcini, pentru că pătratul nu poate fi egal cu un număr negativ.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
