Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci colt ascutitîntre aceste linii va fi definită ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 . Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Liniile drepte Ax + Vy + C \u003d 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele atunci când coeficienții A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sunt proporționali. Dacă și С 1 = λС, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece prin punct dat

Perpendicular pe această linie

Definiție. Linia care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y \u003d kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, prin urmare, liniile sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y - 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiție de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie astfel:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte Ași B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații de pante

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei drepte este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile unei linii drepte sunt date în vedere generala

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea pantelor lor:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții la coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca pantele lor să fie reciproce ca mărime și opuse ca semn, i.e.

Această condiție poate fi scrisă și în formă

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile dreptelor sunt date în forma generală (6), atunci condiția pentru perpendicularitatea lor (necesară și suficientă) este îndeplinirea egalității

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă, iar cealaltă perpendiculară pe dreapta dată l.

Sarcina 1

Aflați cosinusul unghiului dintre dreptele $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ și $\left\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right.$.

Să fie date două drepte în spațiu: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ și $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Alegem un punct arbitrar din spațiu și trasăm două linii auxiliare prin el, paralele cu datele. Unghiul dintre liniile date este oricare dintre cele două colțurile adiacente format din linii auxiliare. Cosinusul unuia dintre unghiurile dintre linii poate fi găsit din formula binecunoscuta$\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) +p_(1) \cdot p_(2) )(\sqrt(m_(1)) ^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2)^(2) +n_(2)^(2) +p_(2) ^(2) ) ) $. Dacă valoarea $\cos \phi >0$, atunci se obține un unghi ascuțit între drepte, dacă $\cos \phi

Ecuații canonice ale primei drepte: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

Ecuațiile canonice ale celei de-a doua drepte pot fi obținute din cele parametrice:

\ \ \

Astfel, ecuațiile canonice ale acestei drepte sunt: ​​$\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Calculam:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ stânga(-3\right)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \aproximativ 0,9449.\]

Sarcina 2

Prima linie trece puncte date$A\left(2,-4,-1\right)$ și $B\left(-3,5,6\right)$, a doua linie trece prin punctele date $C\left(1,-2 , 8\right)$ și $D\left(6,7,-2\right)$. Găsiți distanța dintre aceste linii.

Fie ca o dreaptă să fie perpendiculară pe liniile $AB$ și $CD$ și să le intersecteze în punctele $M$ și, respectiv, $N$. În aceste condiții, lungimea segmentului $MN$ este egală cu distanța dintre liniile $AB$ și $CD$.

Construim vectorul $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Fie segmentul care reprezintă distanța dintre drepte să treacă prin punctul $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ pe dreapta $AB$.

Construim vectorul $\overline(AM)$:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\stânga(z_(M) -\stânga(-1\dreapta)\dreapta)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\dreapta)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

Vectorii $\overline(AB)$ și $\overline(AM)$ sunt aceiași, prin urmare sunt coliniari.

Se știe că dacă vectorii $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ și $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ sunt coliniare, atunci coordonatele lor sunt proporționale, atunci este $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )(\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, unde $m $ este rezultatul împărțirii.

De aici obținem: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

În final, obținem expresii pentru coordonatele punctului $M$:

Construim vectorul $\overline(CD)$:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ stânga(-2-8\right)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Să treacă segmentul care reprezintă distanța dintre drepte prin punctul $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ pe linia $CD$.

Construim vectorul $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

Vectorii $\overline(CD)$ și $\overline(CN)$ sunt aceiași, prin urmare sunt coliniari. Aplicam conditia vectorilor coliniari:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ unde $n $ este rezultatul diviziunii.

De aici obținem: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

În final, obținem expresii pentru coordonatele punctului $N$:

Construim vectorul $\overline(MN)$:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\stânga(z_(N) -z_(M) \dreapta)\cdot \bar(k).\]

Inlocuim expresiile pentru coordonatele punctelor $M$ si $N$:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\dreapta)\dreapta)\cdot \bar(k).\]

După parcurgerea pașilor, obținem:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

Deoarece dreptele $AB$ și $MN$ sunt perpendiculare, produsul scalar al vectorilor corespunzători este egal cu zero, adică $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ stânga(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

După parcurgerea pașilor, obținem prima ecuație pentru determinarea $m$ și $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Deoarece dreptele $CD$ și $MN$ sunt perpendiculare, produsul scalar al vectorilor corespunzători este egal cu zero, adică $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

După parcurgerea pașilor, obținem a doua ecuație pentru determinarea $m$ și $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

Găsiți $m$ și $n$ rezolvând sistemul de ecuații $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ cdot n =77) \end(matrice)\right.$.

Aplicam metoda Cramer:

\[\Delta =\left|\begin(array)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(array)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(array)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(array)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ]\

Găsiți coordonatele punctelor $M$ și $N$:

\ \

In cele din urma:

În cele din urmă, scriem vectorul $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4,618-2,6701\right)\cdot \bar(k)$ sau $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar(j)+1,9479\cdot \bar(k)$.

Distanța dintre liniile $AB$ și $CD$ este lungimea vectorului $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \ aproximativ 3,8565$ lin. unitati

Oh-oh-oh-oh-oh ... ei bine, e minuscul, de parcă ți-ai citi propoziția pentru tine =) Cu toate acestea, atunci relaxarea va ajuta, mai ales că astăzi mi-am cumpărat accesorii potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi păstra o dispoziție veselă.

Dispunerea reciprocă a două linii drepte

Cazul când sala cântă în cor. Două linii pot:

1) potrivire;

2) fi paralel: ;

3) sau se intersectează într-un singur punct: .

Ajutor pentru manechini : vă rugăm să rețineți semnul matematic al intersecției, acesta va apărea foarte des. Intrarea înseamnă că linia se intersectează cu linia în punct.

Cum se determină poziția relativă a două linii?

Să începem cu primul caz:

Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile

Să considerăm drepte și să compunem trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, așadar, aceste drepte coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu -1 (schimbați semnele) și reduceți toți coeficienții ecuației cu 2, obțineți aceeași ecuație: .

Al doilea caz când liniile sunt paralele:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor la variabile sunt proporționali: , dar.

Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele:

Cu toate acestea, este clar că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o asemenea valoare a „lambda” încât egalitățile să fie îndeplinite

Deci, pentru linii drepte vom compune un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , iar din a doua ecuație: , prin urmare, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții la variabile nu sunt proporționali.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, poate fi utilizată schema de soluție tocmai considerată. Apropo, este foarte asemănător cu algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am luat în considerare în lecție. Conceptul de (non)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorială. Dar există un pachet mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor:

Soluţie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: .

, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatori la răscruce:

Restul sar peste piatra si merg mai departe, direct catre Kashchei cel fara de moarte =)

b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie aceleași. Aici determinantul nu este necesar.

Evident, coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, în timp ce .

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

În acest fel,

c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Să calculăm determinantul, compus din coordonatele acestor vectori:
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincid.

Factorul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: .

Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curând veți învăța (sau chiar ați învățat deja) să rezolvați verbal problema luată în considerare, literal, în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv să ofer ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să puneți o cărămidă importantă în fundația geometrică:

Cum se desenează o linie paralelă cu una dată?

Pentru ignorarea acestei sarcini simple, Privighetoarea Tâlharul pedepsește aspru.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.

Soluţie: Notează linia necunoscută cu litera . Ce spune condiția despre ea? Linia trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „ce” este potrivit și pentru construirea dreptei „te”.

Scoatem vectorul direcție din ecuație:

Răspuns:

Geometria exemplului pare simplă:

Verificarea analitică constă în următorii pași:

1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.

Verificarea analitică în majoritatea cazurilor este ușor de efectuat verbal. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi vă vor da seama rapid cum liniile sunt paralele fără nici un desen.

Exemplele de auto-rezolvare astăzi vor fi creative. Pentru că mai trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă

Există o modalitate rațională și nu foarte rațională de a rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că luați în considerare o problemă care vă este bine cunoscută curiculumul scolar:

Cum se află punctul de intersecție a două drepte?

Dacă drept se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.

În sănătatea ta sens geometric sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute sunt două drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Soluţie: Există două moduri de rezolvare - grafică și analitică.

Mod grafic este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. De fapt, am considerat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a VII-a decid astfel, ideea este că va dura timp să faci un desen corect și EXACT. În plus, unele linii nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în al treizecilea regat, în afara foii de caiet.

Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție metoda analitica. Să rezolvăm sistemul:

Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării în termeni a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilitățile relevante, vizitați lecția Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banala - coordonatele punctului de intersectie trebuie sa satisfaca fiecare ecuatie a sistemului.

Exemplul 5

Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Este convenabil să împărțiți problema în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația unei drepte.
2) Scrieți ecuația unei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru mulți probleme geometrice, și mă voi concentra asupra acestui lucru în mod repetat.

Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției:

O pereche de pantofi nu a fost încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:

Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o linie.
Unghiul dintre linii

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu cea dată, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se desenează o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă perpendiculară care trece printr-un punct.

Soluţie: Se ştie prin presupunere că . Ar fi bine să găsim vectorul direcție al dreptei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.

Compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să desfășurăm schița geometrică:

Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Extrageți vectorii de direcție din ecuații si cu ajutorul produs scalar al vectorilor concluzionăm că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată .

Verificarea, din nou, este ușor de efectuat verbal.

Exemplul 7

Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare, dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să aranjați soluția punct cu punct.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el în cel mai scurt drum. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie se notează în mod tradițional cu litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie este exprimat prin formula

Exemplul 8

Aflați distanța de la un punct la o linie

Soluţie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să faceți calculele:

Răspuns:

Să executăm desenul:

Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă faci un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Luați în considerare o altă sarcină conform aceluiași desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele punctului , care este simetric față de punctul în raport cu dreapta . Vă propun să efectuați acțiunile pe cont propriu, totuși, voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe o dreaptă.

2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele mijlocului segmentului găsi .

Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este și ea egală cu 2,2 unități.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar în turn un microcalculator ajută foarte mult, permițându-vă să numărați fracții comune. Am sfătuit de multe ori și o să recomand din nou.

Cum se află distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Aflați distanța dintre două drepte paralele

Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Un mic indiciu: există o infinitate de moduri de a rezolva. Debriefing la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să ghiciți singuri, cred că ați reușit să vă împrăștiați bine ingeniozitatea.

Unghiul dintre două linii

Oricare ar fi colțul, apoi cantul:


În geometrie, unghiul dintre două drepte este luat ca unghi MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat a fi unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul purpuriu.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția de „defilare” colțului este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu, dacă .

De ce am spus asta? Se pare că te poți descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că în formulele prin care vom găsi unghiurile se poate obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desenul pentru un unghi negativ, este imperativ să indicați orientarea acestuia (în sensul acelor de ceasornic) cu o săgeată.

Cum să găsiți unghiul dintre două linii? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

Soluţieși Metoda unu

Luați în considerare două rânduri dat de ecuaţiiîn general:

Dacă drept nu perpendicular, apoi orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă , atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea liniilor în formulare.

Pe baza celor de mai sus, soluția este formalizată convenabil în doi pași:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai dreptelor:
deci liniile nu sunt perpendiculare.

2) Găsim unghiul dintre drepte prin formula:

Prin utilizarea funcție inversă ușor de găsit colțul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arc-tangentei (vezi Fig. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință atât în ​​grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.

Ei bine, minus, deci minus, e în regulă. Iată o ilustrație geometrică:

Nu este surprinzător că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece, în starea problemei, primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început tocmai de la aceasta.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație . Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

voi fi scurt. Unghiul dintre două linii egal cu unghiulîntre vectorii lor de direcție. Astfel, dacă reușiți să găsiți coordonatele vectorilor de direcție a \u003d (x 1; y 1; z 1) și b \u003d (x 2; y 2; z 2), puteți găsi unghiul. Mai precis, cosinusul unghiului conform formulei:

Să vedem cum funcționează această formulă pe exemple specifice:

O sarcină. Punctele E și F sunt marcate în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și, respectiv, B 1 C 1. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Deoarece muchia cubului nu este specificată, setăm AB = 1. Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, iar axele x, y, z sunt direcționate de-a lungul AB, AD și, respectiv, AA 1. . Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Acum să găsim coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile noastre.

Aflați coordonatele vectorului AE. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de punctele A = (0; 0; 0) și E = (0,5; 0; 1). Deoarece punctul E este mijlocul segmentului A 1 B 1 , coordonatele acestuia sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Rețineți că originea vectorului AE coincide cu originea, deci AE = (0,5; 0; 1).

Acum să ne ocupăm de vectorul BF. În mod similar, analizăm punctele B = (1; 0; 0) și F = (1; 0,5; 1), deoarece F - mijlocul segmentului B 1 C 1 . Avem:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Deci, vectorii de direcție sunt gata. Cosinusul unghiului dintre drepte este cosinusul unghiului dintre vectorii de direcție, deci avem:

O sarcină. Într-o prismă triedră regulată ABCA 1 B 1 C 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele D și E sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și, respectiv, B 1 C 1. Aflați unghiul dintre dreptele AD și BE.

Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axa x este îndreptată de-a lungul AB, z - de-a lungul AA 1 . Îndreptăm axa y astfel încât planul OXY să coincidă cu planul ABC. Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Aflați coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile dorite.

Mai întâi, să găsim coordonatele vectorului AD. Luați în considerare punctele: A = (0; 0; 0) și D = (0,5; 0; 1), deoarece D - mijlocul segmentului A 1 B 1 . Deoarece începutul vectorului AD coincide cu originea, obținem AD = (0,5; 0; 1).

Acum să găsim coordonatele vectorului BE. Punctul B = (1; 0; 0) este ușor de calculat. Cu punctul E - mijlocul segmentului C 1 B 1 - puțin mai dificil. Avem:

Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

O sarcină. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele K și L sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și B 1 C 1, respectiv. Aflați unghiul dintre liniile AK și BL.

Introducem un sistem de coordonate standard pentru o prismă: plasăm originea coordonatelor în centrul bazei inferioare, direcționăm axa x de-a lungul FC, axa y prin punctele medii ale segmentelor AB și DE și axa z. vertical în sus. Segmentul unitar este din nou egal cu AB = 1. Să scriem coordonatele punctelor de interes pentru noi:

Punctele K și L sunt punctele mijlocii ale segmentelor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1, deci coordonatele lor se găsesc prin media aritmetică. Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AK și BL:

Acum să găsim cosinusul unghiului:

O sarcină. Într-o piramidă pătrangulară obișnuită SABCD, ale căror margini sunt egale cu 1, punctele E și F sunt marcate - punctele de mijloc ale laturilor SB și, respectiv, SC. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axele x și y sunt direcționate de-a lungul AB și, respectiv, AD, iar axa z este îndreptată vertical în sus. Segmentul unitar este egal cu AB = 1.

Punctele E și F sunt punctele mijlocii ale segmentelor SB și SC, deci coordonatele lor se găsesc ca medie aritmetică a capetelor. Notăm coordonatele punctelor de interes pentru noi:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AE și BF:

Coordonatele vectorului AE coincid cu coordonatele punctului E, deoarece punctul A este originea. Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

Articolul vorbește despre găsirea unghiului dintre planuri. După ce aducem definiția, vom stabili o ilustrare grafică, vom lua în considerare o metodă detaliată pentru găsirea coordonatelor prin metodă. Obținem o formulă pentru planurile care se intersectează, care include coordonatele vectori normali.

Materialul va folosi date și concepte care au fost studiate anterior în articole despre avion și linia în spațiu. Pentru început, este necesar să trecem la raționament care să permită o anumită abordare pentru a determina unghiul dintre două plane care se intersectează.

Sunt date două plane care se intersectează γ 1 și γ 2. Intersecția lor va lua denumirea c . Construcția planului χ este legată de intersecția acestor plane. Planul χ trece prin punctul M ca o dreaptă c. Planele γ 1 și γ 2 vor fi intersectate folosind planul χ. Acceptăm denumirile dreptei care intersectează γ 1 și χ pentru dreapta a și care intersectează γ 2 și χ pentru dreapta b. Obținem că intersecția dreptelor a și b dă punctul M .

Locația punctului M nu afectează unghiul dintre liniile care se intersectează a și b, iar punctul M este situat pe dreapta c prin care trece planul χ.

Este necesar să se construiască un plan χ 1 perpendicular pe dreapta c și diferit de planul χ . Intersecția planelor γ 1 și γ 2 cu ajutorul lui χ 1 va lua denumirea dreptelor a 1 și b 1 .

Se poate observa că la construirea χ și χ 1, dreptele a și b sunt perpendiculare pe dreapta c, apoi a 1, b 1 sunt perpendiculare pe dreapta c. Găsind drepte a și a 1 în planul γ 1 cu perpendicularitate pe dreapta c, atunci pot fi considerate paralele. În același mod, locația lui b și b 1 în planul γ 2 cu perpendicularitatea dreptei c indică paralelismul lor. Aceasta înseamnă că este necesar să facem un transfer paralel al planului χ 1 la χ, unde obținem două drepte care coincid a și a 1 , b și b 1 . Obținem că unghiul dintre liniile care se intersectează a și b 1 este egal cu unghiul dreptelor care se intersectează a și b.

Luați în considerare figura de mai jos.

Această judecată este dovedită de faptul că între dreptele care se intersectează a și b există un unghi care nu depinde de locația punctului M, adică de punctul de intersecție. Aceste drepte sunt situate în planurile γ 1 și γ 2 . De fapt, unghiul rezultat poate fi considerat ca fiind unghiul dintre două plane care se intersectează.

Să trecem la determinarea unghiului dintre planele de intersectare existente γ 1 și γ 2 .

Definiția 1

Unghiul dintre două plane care se intersectează γ 1 și γ 2 numiți unghiul format de intersecția dreptelor a și b, unde planele γ 1 și γ 2 se intersectează cu planul χ perpendicular pe dreapta c.

Luați în considerare figura de mai jos.

Definiția poate fi transmisă sub altă formă. La intersecția planurilor γ 1 și γ 2, unde c este dreapta pe care se intersectează, marcați punctul M, prin care se trasează drepte a și b, perpendiculare pe dreapta c și situate în planele γ 1 și γ 2 , atunci unghiul dintre dreptele a și b va fi unghiul dintre plane. În practică, acest lucru este aplicabil pentru construirea unui unghi între planuri.

La intersecție se formează un unghi care are o valoare mai mică de 90 de grade, adică măsura gradului unghiului este valabilă pe un interval de acest tip (0, 90] . În același timp, aceste plane sunt numite perpendiculare dacă la intersecţie se formează un unghi drept.Unghiul dintre plane paralele este considerat egal cu zero.

Modalitatea obișnuită de a găsi unghiul dintre planurile care se intersectează este de a efectua construcții suplimentare. Acest lucru ajută la determinarea cu acuratețe, iar acest lucru se poate face folosind semnele de egalitate sau similaritate ale triunghiului, sinusurilor, cosinusului unghiului.

Luați în considerare rezolvarea problemelor folosind un exemplu din problemele Examenului de stat unificat din blocul C 2.

Exemplul 1

Este dat un paralelipiped dreptunghic A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, unde latura A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, punctul E separă latura A A 1 într-un raport de 4: 3. Aflați unghiul dintre planele A B C și B E D 1 .

Soluţie

Pentru claritate, trebuie să faceți un desen. Înțelegem asta

O reprezentare vizuală este necesară pentru a face mai convenabil lucrul cu unghiul dintre planuri.

Facem definirea unei drepte de-a lungul căreia se intersectează planele A B C și B E D 1. Punctul B este un punct comun. Ar trebui găsit un alt punct comun de intersecție. Se consideră dreptele D A și D 1 E , care sunt situate în același plan A D D 1 . Locația lor nu indică paralelism, ceea ce înseamnă că au un punct de intersecție comun.

Cu toate acestea, linia DA este situată în planul A B C, iar D 1 E în B E D 1 . Prin urmare, obținem că liniile D Ași D 1 E au un punct comun de intersecție, care este comun și pentru planele A B C și B E D 1 . Indică punctul de intersecție al liniilor D Ași D 1 E litera F. De aici obținem că B F este o dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planele A B C și B E D 1.

Luați în considerare figura de mai jos.

Pentru a obține un răspuns este necesar să construim drepte situate în planele A B C și B E D 1 cu trecerea printr-un punct situat pe dreapta B F și perpendicular pe acesta. Atunci unghiul rezultat dintre aceste drepte este considerat unghiul dorit dintre planele A B C și B E D 1.

Din aceasta se poate observa că punctul A este proiecția punctului E pe planul A B C. Este necesar să se traseze o dreaptă care să intersecteze dreapta B F în unghi drept în punctul M. Se poate observa că linia A M este proiecția dreptei E M pe planul A B C, pe baza teoremei despre acele perpendiculare A M ⊥ B F . Luați în considerare figura de mai jos.

∠ A M E este unghiul dorit format din planele A B C și B E D 1 . Din triunghiul rezultat A E M putem găsi sinusul, cosinusul sau tangenta unghiului, după care unghiul însuși, numai cu cele două laturi cunoscute ale sale. Prin condiție, avem că lungimea lui A E se găsește în acest fel: linia A A 1 este împărțită la punctul E într-un raport de 4: 3, ceea ce înseamnă că lungimea totală a liniei este de 7 părți, apoi A E \u003d 4 părți. Îl găsim pe A.M.

Trebuie luat în considerare triunghi dreptunghic A B F . Avem un unghi drept A cu înălțimea A M. Din condiția A B \u003d 2, atunci putem găsi lungimea A F prin asemănarea triunghiurilor D D 1 F și A E F. Obținem că A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Este necesar să găsim lungimea laturii B F din triunghiul A B F folosind teorema lui Pitagora. Obținem că B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Lungimea laturii A M se găsește prin aria triunghiului A B F. Avem că aria poate fi egală atât cu S A B C = 1 2 · A B · A F , cât și cu S A B C = 1 2 · B F · A M .

Obținem că A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Atunci putem afla valoarea tangentei unghiului triunghiului A E M. Se obtine:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Unghiul dorit obținut prin intersecția planelor A B C și B E D 1 este egal cu a r c t g 5, apoi, la simplificare, se obține a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Răspuns: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Unele cazuri de găsire a unghiului dintre liniile care se intersectează sunt date folosind plan de coordonate Despre x y z și metoda coordonatelor. Să luăm în considerare mai detaliat.

Dacă este dată o problemă unde este necesar să găsim unghiul dintre planele care se intersectează γ 1 și γ 2, notăm unghiul dorit cu α.

Atunci sistemul de coordonate dat arată că avem coordonatele vectorilor normali ai planurilor care se intersectează γ 1 și γ 2 . Atunci notăm că n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z este un vector normal al planului γ 1 , iar n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - pentru planul γ 2 . Luați în considerare o constatare detaliată a unghiului situat între aceste plane în funcție de coordonatele vectorilor.

Este necesar să se desemneze linia dreaptă de-a lungul căreia planele γ 1 și γ 2 se intersectează cu litera c. Pe dreapta cu avem un punct M, prin care trasăm un plan χ, perpendicular pe c. Planul χ de-a lungul dreptelor a și b intersectează planele γ 1 și γ 2 în punctul M . Din definiție rezultă că unghiul dintre planele de intersectare γ 1 și γ 2 este egal cu unghiul dreptelor de intersectare a și, respectiv, b aparținând acestor plane.

În planul χ, punem deoparte vectorii normali din punctul M și îi notăm n 1 → și n 2 →. Vectorul n 1 → este situat pe o dreaptă perpendiculară pe dreapta a, iar vectorul n 2 → pe o dreaptă perpendiculară pe dreapta b. De aici rezultă că planul dat χ are un vector normal al dreptei a egal cu n 1 → iar pentru dreapta b egal cu n 2 → . Luați în considerare figura de mai jos.

De aici obținem o formulă prin care putem calcula sinusul unghiului dreptelor care se intersectează folosind coordonatele vectorilor. Am constatat că cosinusul unghiului dintre dreptele a și b este același cu cosinusul dintre planele care se intersectează γ 1 și γ 2 este derivat din formula cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , unde avem că n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) și n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) sunt coordonatele vectorilor planurilor reprezentate.

Unghiul dintre liniile care se intersectează se calculează folosind formula

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Exemplul 2

Prin condiție, este dat un paralelipiped А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , unde A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7 și punctul E separă latura A A 1 4: 3. Aflați unghiul dintre planele A B C și B E D 1 .

Soluţie

Se poate observa din condiția ca laturile sale să fie perpendiculare perechi. Aceasta înseamnă că este necesar să se introducă un sistem de coordonate O x y z cu un vârf în punctul C și axe de coordonate O x, O y, O z. Este necesar să puneți direcția pe părțile corespunzătoare. Luați în considerare figura de mai jos.

Planuri care se intersectează A B Cși B E D 1 formează un unghi, care poate fi găsit prin formula 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , unde n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) și n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) sunt vectori normali ai acestor plane. Este necesar să se determine coordonatele. Din figură, vedem că axa de coordonate O x y coincide în planul A B C, ceea ce înseamnă că coordonatele vectorului normal k → egale cu valoarea n 1 → = k → = (0, 0, 1) .

Vectorul normal al planului B E D 1 este produsul vectorial al lui B E → și B D 1 → , unde coordonatele lor sunt găsite de coordonatele puncte extreme B, E, D 1 , care sunt determinate pe baza stării problemei.

Obținem că B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Deoarece A E E A 1 = 4 3 , din coordonatele punctelor A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 găsim E 2 , 3 , 4 . Obținem că B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

Este necesar să înlocuiți coordonatele găsite în formula pentru calcularea unghiului prin arc cosinus. Primim

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Metoda coordonatelor dă un rezultat similar.

Răspuns: a r c cos 6 6 .

Problema finală este luată în considerare pentru a găsi unghiul dintre planele care se intersectează cu ecuațiile disponibile cunoscute ale planelor.

Exemplul 3

Calculați sinusul, cosinusul unghiului și valoarea unghiului format din două drepte care se intersectează, care sunt definite în sistemul de coordonate O x y z și date de ecuațiile 2 x - 4 y + z + 1 = 0 și 3 y - z - 1 = 0 .

Soluţie

Când studiezi un subiect ecuație generală linia de forma A x + B y + C z + D = 0 a arătat că A, B, C sunt coeficienți egali cu coordonatele vectorului normal. Prin urmare, n 1 → = 2 , - 4 , 1 și n 2 → = 0 , 3 , - 1 sunt vectori normali ai dreptelor date.

Este necesar să înlocuiți coordonatele vectorilor normali ai planurilor în formula de calcul al unghiului dorit al planurilor care se intersectează. Atunci obținem asta

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Avem deci că cosinusul unghiului ia forma cos α = 13 210 . Atunci unghiul liniilor care se intersectează nu este obtuz. Înlocuind în identitate trigonometrică, obținem că valoarea sinusului unghiului este egală cu expresia. Calculăm și obținem asta

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Răspuns: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter