Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu privire la oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Y \u003d f (x) și dacă în acest punct se poate desena o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe axa x, atunci panta tangentei este f "(a). Am folosit deja mai multe De exemplu, în § 33 s-a stabilit că graficul funcției y \u003d sin x (sinusoid) la origine formează un unghi de 45 ° cu axa absciselor (mai precis, tangenta la grafic la originea face un unghi de 45 ° cu direcția pozitivă a axei x), iar în exemplul 5 din § 33 de puncte au fost găsite în programul dat funcții, în care tangenta este paralelă cu axa x. În exemplul 2 din § 33, a fost întocmită o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y \u003d x 2 în punctul x \u003d 1 (mai precis, în punctul (1; 1), dar mai des numai este indicată valoarea abscisei, presupunând că dacă valoarea abscisei este cunoscută, atunci valoarea ordonatei poate fi găsită din ecuația y = f(x)). În această secțiune, vom dezvolta un algoritm pentru compilarea ecuației tangentei la graficul oricărei funcții.

Să fie date funcția y \u003d f (x) și punctul M (a; f (a)) și se știe, de asemenea, că f "(a) există. Să compunem ecuația tangentei la graficul lui funcția dată într-un punct dat.Această ecuație este ca ecuația oricărei drepte, nu paralelă cu axa y, are forma y = kx + m, deci problema este de a găsi valorile coeficienților k si m.

Nu există probleme cu panta k: știm că k \u003d f "(a). Pentru a calcula valoarea lui m, folosim faptul că linia dorită trece prin punctul M (a; f (a)). Aceasta înseamnă că, dacă înlocuim punctele de coordonate M în ecuația unei linii drepte, obținem egalitatea corectă: f (a) \u003d ka + m, de unde aflăm că m \u003d f (a) - ka.
Rămâne să înlocuim valorile găsite ale coeficienților de balenă în ecuația Drept:

Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul x \u003d a.
Dacă, să zicem,
Înlocuind în ecuația (1) valorile găsite a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, obținem: y \u003d 1 + 2 (x-f), adică y \u003d 2x -1.
Comparați acest rezultat cu cel obținut în Exemplul 2 din § 33. Desigur, același lucru s-a întâmplat.
Să compunem ecuația tangentei la graficul funcției y \u003d tg x la origine. Avem: prin urmare, cos x f "(0) = 1. Înlocuind valorile găsite a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 în ecuația (1), obținem: y \u003d x .
De aceea am trasat tangentoidul în § 15 (vezi Fig. 62) prin originea coordonatelor la un unghi de 45 ° față de axa absciselor.
Rezolvarea acestora este suficientă exemple simple, am folosit de fapt un anumit algoritm, care este încorporat în formula (1). Să explicăm acest algoritm.

ALGORITM PENTRU COMPONEREA ECUAȚIEI FUNCȚIEI TANGENTE LA GRAFUL y \u003d f (x)

1) Desemnați abscisa punctului de contact cu litera a.
2) Calculați 1 (a).
3) Găsiți f „(x) și calculați f” (a).
4) Înlocuiți numerele găsite a, f(a), (a) în formula (1).

Exemplul 1 Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul x = 1.
Să folosim algoritmul, având în vedere că în acest exemplu

Pe fig. 126 arată o hiperbolă, este construită o linie dreaptă y \u003d 2x.
Desenul confirmă calculele date: într-adevăr, linia y \u003d 2-x atinge hiperbola în punctul (1; 1).

Răspuns: y \u003d 2-x.
Exemplul 2 Desenați o tangentă la graficul funcției astfel încât să fie paralelă cu dreapta y \u003d 4x - 5.
Să rafinăm formularea problemei. Cerința de a „desena o tangentă” înseamnă de obicei „a face o ecuație pentru o tangentă”. Acest lucru este logic, deoarece dacă o persoană a fost capabilă să întocmească o ecuație pentru o tangentă, atunci este puțin probabil să aibă dificultăți să construiască pe plan de coordonate linie dreaptă conform ecuației ei.
Să folosim algoritmul de compilare a ecuației tangentei, având în vedere că în acest exemplu, Dar, spre deosebire de exemplul precedent, aici există o ambiguitate: abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit.
Să începem să vorbim așa. Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu linia dreaptă y \u003d 4x-5. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă panta lor este egală. Aceasta înseamnă că panta tangentei trebuie să fie egală cu panta dreptei date: Astfel, putem găsi valoarea lui a din ecuația f "(a) \u003d 4.
Avem:
Din ecuația Deci, există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 2, cealaltă în punctul cu abscisa -2.
Acum puteți acționa conform algoritmului.

Exemplul 3 Din punctul (0; 1) trageți o tangentă la graficul funcției
Să folosim algoritmul pentru compilarea ecuației tangentei, având în vedere că în acest exemplu Rețineți că aici, ca și în exemplul 2, abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit. Cu toate acestea, acționăm conform algoritmului.

Prin condiție, tangenta trece prin punctul (0; 1). Înlocuind în ecuația (2) valorile x = 0, y = 1, obținem:
După cum puteți vedea, în acest exemplu, abia la pasul al patrulea al algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului de atingere. Înlocuind valoarea a \u003d 4 în ecuația (2), obținem:

Pe fig. 127 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului considerat: un grafic al funcției

În § 32 am observat că pentru o funcție y = f(x), care are o derivată la un punct fix x, egalitatea aproximativă este valabilă:

Pentru comoditatea unui raționament suplimentar, schimbăm notația: în loc de x vom scrie a, în schimb vom scrie x și, în consecință, vom scrie x-a. Atunci egalitatea aproximativă scrisă mai sus va lua forma:

Acum aruncați o privire la fig. 128. O tangentă este trasată la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul M (a; f (a)). Punctul x marcat pe axa x aproape de a. Este clar că f(x) este ordonata graficului funcției în punctul x specificat. Și ce este f (a) + f "(a) (x-a)? Aceasta este ordonata tangentei corespunzătoare aceluiași punct x - vezi formula (1). Care este sensul egalității aproximative (3)? calculați valoarea aproximativă a funcției, se ia valoarea ordonatei tangentei.

Exemplul 4 Aflați valoarea aproximativă a expresiei numerice 1.02 7 .
Vorbim despre găsirea valorii funcției y \u003d x 7 în punctul x \u003d 1,02. Folosim formula (3), ținând cont de faptul că în acest exemplu
Ca rezultat, obținem:

Dacă folosim un calculator, obținem: 1,02 7 = 1,148685667...
După cum puteți vedea, acuratețea aproximării este destul de acceptabilă.
Răspuns: 1,02 7 =1,14.

A.G. Algebră Mordkovich, clasa a 10-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, traininguri, cazuri, quest-uri teme de discuție întrebări întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment din manualul elementelor de inovare la lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic timp de un an instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate

Tipul locului de muncă: 7

Condiție

Linia y=3x+2 este tangentă la graficul funcției y=-12x^2+bx-10. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mică decât zero.

Afișează soluția

Soluţie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=-12x^2+bx-10 prin care trece tangenta la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y"(x_0)=-24x_0+b=3. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției, cât și tangentă, adică -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cazuri)

Rezolvând acest sistem, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. După starea abscisei, punctele de atingere sunt mai mici decât zero, deci x_0=-1, apoi b=3+24x_0=-21.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Linia y=-3x+4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=-x^2+5x-7. Găsiți abscisa punctului de contact.

Afișează soluția

Soluţie

Panta dreptei către graficul funcției y=-x^2+5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este y"(x_0). Dar y"=-2x+5, deci y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Angular coeficientul dreptei y=-3x+4 specificat în condiția este -3.Drecțiile paralele au aceiași coeficienți de pantă.De aceea, găsim o astfel de valoare x_0 care =-2x_0 +5=-3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Afișează soluția

Soluţie

Din figură, determinăm că tangenta trece prin punctele A(-6; 2) și B(-1; 1). Notăm cu C(-6; 1) punctul de intersecție al dreptelor x=-6 și y=1, iar cu \alpha unghiul ABC (se vede în figură că este ascuțit). Apoi linia AB formează un unghi obtuz \pi -\alpha cu direcția pozitivă a axei Ox.

După cum știți, tg(\pi -\alpha) va fi valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x_0. observa asta tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. De aici, prin formulele de reducere, obținem: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Linia y=-2x-4 este tangentă la graficul funcției y=16x^2+bx+12. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mare decât zero.

Afișează soluția

Soluţie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=16x^2+bx+12 prin care

este tangent la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y "(x_0)=32x_0+b=-2. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției, cât și tangentă, adică 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cazuri)

Rezolvând sistemul, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. În funcție de starea abscisei, punctele de atingere sunt mai mari decât zero, deci x_0=1, apoi b=-2-32x_0=-34.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y=6.

Afișează soluția

Soluţie

Linia y=6 este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim astfel de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe această diagramă astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte maxime sau minime). După cum puteți vedea, există 4 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Linia y=4x-6 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=x^2-4x+9. Găsiți abscisa punctului de contact.

Afișează soluția

Soluţie

Panta tangentei la graficul funcției y \u003d x ^ 2-4x + 9 la un punct arbitrar x_0 este y "(x_0). Dar y" \u003d 2x-4, ceea ce înseamnă y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Panta tangentei y \u003d 4x-7 specificată în condiție este egală cu 4. Dreptele paralele au aceleași pante. Prin urmare, găsim o astfel de valoare x_0 încât 2x_0-4 \u003d 4. Obținem : x_0 \u003d 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x_0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x_0.

Afișează soluția

Soluţie

Din figură, determinăm că tangenta trece prin punctele A(1; 1) și B(5; 4). Se notează cu C(5; 1) punctul de intersecție al dreptelor x=5 și y=1, iar cu \alpha unghiul BAC (se vede în figură că este ascuțit). Apoi linia AB formează un unghi \alpha cu direcția pozitivă a axei Ox.

Tangentă este o linie dreaptă care trece printr-un punct al curbei și coincide cu acesta în acest punct până la primul ordin (Fig. 1).

O altă definiție: aceasta este poziția limită a secantei la Δ X→0.

Explicație: Luați o dreaptă care intersectează curba în două puncte: DARși b(Vezi poza). Aceasta este o secanta. Îl vom întoarce în sensul acelor de ceasornic până va avea doar unul punct comun cu o curbă. Deci obținem o tangentă.

Definiția strictă a tangentei:

Graficul tangent la funcție f, diferentiabil la un punct Xdespre, este o dreaptă care trece prin punctul ( Xdespre; f(Xdespre)) și având o pantă f′( Xdespre).

Panta are o linie dreaptă y=kx +b. Coeficient k si este factor de pantă această linie dreaptă.

Coeficientul unghiular este egal cu tangenta unghi ascutit format din această linie dreaptă cu axa absciselor:

k = tgα

Aici unghiul α este unghiul dintre linie y=kx +bși direcția pozitivă (adică în sens invers acelor de ceasornic) a axei x. Se numeste unghi de înclinare drept(Fig.1 și 2).

Dacă unghiul de înclinare este drept y=kx +b acută, atunci panta este număr pozitiv. Graficul crește (Fig. 1).

Dacă unghiul de înclinare este drept y=kx +b obtuz, atunci panta este număr negativ. Graficul este în scădere (Fig. 2).

Dacă linia este paralelă cu axa x, atunci panta dreptei este zero. În acest caz, panta dreptei este, de asemenea, zero (deoarece tangenta lui zero este zero). Ecuația dreptei va arăta ca y = b (Fig. 3).

Dacă unghiul de înclinare al unei linii drepte este de 90º (π/2), adică este perpendicular pe axa x, atunci linia dreaptă este dată de egalitate x=c, Unde c- un număr real (Fig. 4).

Ecuația tangentei la graficul funcțieiy = f(X) la punct Xdespre:

Exemplu: Să găsim ecuația tangentei la graficul funcției f(X) = X 3 – 2X 2 + 1 în punctul cu abscisa 2.

Soluție.

Urmăm algoritmul.

1) Punct de atingere Xdespre este egal cu 2. Calculați f(Xdespre):

f(Xdespre) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Găsiți f′( X). Pentru a face acest lucru, folosim formulele de diferențiere prezentate în secțiunea anterioară. Conform acestor formule, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Mijloace:

f′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Acum, folosind valoarea rezultată f′( X), calculati f′( Xdespre):

f′( Xdespre) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Deci, avem toate datele necesare: Xdespre = 2, f(Xdespre) = 1, f ′( Xdespre) = 4. Inlocuim aceste numere in ecuatia tangentei si gasim solutia finala:

y= f(Xdespre) + f′( Xdespre) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Răspuns: y \u003d 4x - 7.

Ecuația tangentei la graficul funcției

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Regiunea Chelyabinsk

Ecuația tangentei la graficul funcției

Articolul a fost publicat cu sprijinul Complexului Hotelier ITAKA+. Stând în orașul constructorilor de nave Severodvinsk, nu vă veți confrunta cu problema găsirii de locuințe temporare. , pe site-ul complexului hotelier „ITAKA +” http://itakaplus.ru, puteți închiria ușor și rapid un apartament în oraș, pentru orice perioadă, cu plata zilnică.

Pe stadiul prezent dezvoltarea educației ca una dintre sarcinile sale principale este formarea unei personalități cu gândire creativ. Capacitatea de creativitate la studenți poate fi dezvoltată numai dacă aceștia sunt implicați sistematic în bazele activităților de cercetare. Fundația pentru ca elevii să-și folosească forțele creative, abilitățile și talentele este formată de cunoștințe și abilități cu drepturi depline. În acest sens, problema formării unui sistem de cunoștințe și abilități de bază pentru fiecare subiect al cursului de matematică școlară este de o importanță nu mică. În același timp, abilitățile cu drepturi depline ar trebui să fie scopul didactic nu al sarcinilor individuale, ci al sistemului lor atent gândit. În sensul cel mai larg, un sistem este înțeles ca un set de elemente interconectate care interacționează care au integritate și o structură stabilă.

Luați în considerare o metodologie pentru a-i învăța pe elevi cum să întocmească o ecuație a unei tangente la un grafic de funcție. În esență, toate sarcinile pentru găsirea ecuației tangentei sunt reduse la necesitatea de a selecta din mulțimea (snop, familie) de linii pe acelea dintre ele care satisfac o anumită cerință - sunt tangente la graficul unei anumite funcții. În acest caz, setul de linii din care se efectuează selecția poate fi specificat în două moduri:

a) un punct situat pe planul xOy (creion central de linii);
b) coeficient unghiular (mănunchi paralel de linii).

În acest sens, la studierea temei „Tangentă la graficul unei funcții” pentru a izola elementele sistemului, am identificat două tipuri de sarcini:

1) sarcini pe o tangentă dată de un punct prin care trece;
2) sarcini pe o tangentă dată de panta acesteia.

Învățarea rezolvării problemelor pe o tangentă s-a realizat folosind algoritmul propus de A.G. Mordkovici. Diferența sa fundamentală față de cele deja cunoscute este că abscisa punctului tangent se notează cu litera a (în loc de x0), în legătură cu care ecuația tangentei ia forma

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(comparați cu y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Această tehnică metodologică, în opinia noastră, permite elevilor să realizeze rapid și ușor unde sunt scrise coordonatele punctului curent în ecuația tangentei generale și unde sunt punctele de contact.

Algoritm pentru compilarea ecuației tangentei la graficul funcției y = f(x)

1. Desemnați cu litera a abscisa punctului de contact.
2. Găsiți f(a).
3. Găsiți f „(x) și f „(a).
4. Înlocuiți numerele găsite a, f (a), f "(a) în ecuație generală tangentă y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Acest algoritm poate fi compilat pe baza selecției independente a operațiilor de către elevi și a secvenței de execuție a acestora.

Practica a arătat că soluția consecventă a fiecăreia dintre sarcinile cheie folosind algoritmul vă permite să vă formați capacitatea de a scrie ecuația tangentei la graficul funcției în etape, iar pașii algoritmului servesc drept puncte forte pentru acțiuni. . Această abordare corespunde teoriei formării treptate a acțiunilor mentale dezvoltată de P.Ya. Galperin și N.F. Talizina.

În primul tip de sarcini au fost identificate două sarcini cheie:

• tangenta trece printr-un punct situat pe curbă (problema 1);
• tangenta trece printr-un punct care nu se află pe curbă (Problema 2).

Sarcina 1. Echivalează tangenta cu graficul funcției în punctul M(3; – 2).

Soluţie. Punctul M(3; – 2) este punctul de contact, deoarece

1. a = 3 - abscisa punctului de atingere.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 este ecuația tangentei.

Sarcina 2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = - x 2 - 4x + 2, trecând prin punctul M(- 3; 6).

Soluţie. Punctul M(– 3; 6) nu este un punct tangent, deoarece f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - ecuație tangentă.

Tangenta trece prin punctul M(– 3; 6), prin urmare, coordonatele ei satisfac ecuația tangentei.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Dacă a = – 4, atunci ecuația tangentei este y = 4x + 18.

Dacă a \u003d - 2, atunci ecuația tangentei are forma y \u003d 6.

În al doilea tip, sarcinile cheie vor fi următoarele:

• tangenta este paralelă cu o dreaptă (problema 3);
• tangenta trece la un anumit unghi la dreapta dată (Problema 4).

Sarcina 3. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, paralele cu dreapta y \u003d 9x + 1.

Soluţie.

1. a - abscisa punctului de atingere.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Dar, pe de altă parte, f "(a) \u003d 9 (condiția de paralelism). Deci, trebuie să rezolvăm ecuația 3a 2 - 6a \u003d 9. Rădăcinile sale a \u003d - 1, a \u003d 3 (Fig. . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 este ecuația tangentei;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f „(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 este ecuația tangentei.

Sarcina 4. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = 0,5x 2 - 3x + 1, trecând cu un unghi de 45 ° la dreapta y = 0 (Fig. 4).

Soluţie. Din condiția f "(a) \u003d tg 45 ° găsim a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - abscisa punctului de atingere.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - ecuația tangentei.

Este ușor de demonstrat că rezolvarea oricărei alte probleme se reduce la rezolvarea uneia sau mai multor probleme cheie. Luați în considerare următoarele două probleme ca exemplu.

1. Scrieți ecuațiile tangentelor la parabola y = 2x 2 - 5x - 2, dacă tangentele se intersectează în unghi drept și una dintre ele atinge parabola în punctul cu abscisa 3 (Fig. 5).

Soluţie. Deoarece abscisa punctului de contact este dată, prima parte a soluției se reduce la problema cheie 1.

1. a \u003d 3 - abscisa punctului de contact al uneia dintre laturile unghiului drept.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - ecuația primei tangente.

Lasă a este unghiul de înclinare al primei tangente. Deoarece tangentele sunt perpendiculare, atunci este unghiul de înclinare al celei de-a doua tangente. Din ecuația y = 7x – 20 a primei tangente avem tg a = 7. Găsiți

Aceasta înseamnă că panta celei de-a doua tangente este .

Soluția ulterioară se reduce la sarcina cheie 3.

Fie B(c; f(c)) punctul tangent al celei de-a doua drepte, atunci

1. - abscisa celui de-al doilea punct de contact.
2.
3.
4.
este ecuația celei de-a doua tangente.

Notă. Coeficientul unghiular al tangentei poate fi găsit mai ușor dacă elevii cunosc raportul dintre coeficienții dreptelor perpendiculare k 1 k 2 = - 1.

2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor comune la graficele de funcții

Soluţie. Sarcina se reduce la găsirea absciselor punctelor de contact ale tangentelor comune, adică la rezolvarea problemei cheie 1 în termeni generali, compilarea unui sistem de ecuații și apoi rezolvarea acestuia (Fig. 6).

1. Fie a abscisa punctului de atingere situat pe graficul funcției y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f „(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Fie c abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției
2.
3. f „(c) = c.
4.

Din moment ce tangentele sunt comune, atunci

Deci y = x + 1 și y = - 3x - 3 sunt tangente comune.

Scopul principal al sarcinilor luate în considerare este pregătirea elevilor pentru auto-recunoașterea tipului de sarcină cheie atunci când rezolvă sarcini mai complexe care necesită anumite abilități de cercetare (capacitatea de a analiza, compara, generaliza, formula o ipoteză etc.). Astfel de sarcini includ orice sarcină în care sarcina cheie este inclusă ca componentă. Să luăm ca exemplu problema (invers cu problema 1) de a găsi o funcție din familia tangentelor sale.

3. Pentru ce b și c sunt liniile y \u003d x și y \u003d - 2x tangente la graficul funcției y \u003d x 2 + bx + c?

Soluţie.

Fie t abscisa punctului de contact al dreptei y = x cu parabola y = x 2 + bx + c; p este abscisa punctului de contact al dreptei y = - 2x cu parabola y = x 2 + bx + c. Atunci ecuația tangentei y = x va lua forma y = (2t + b)x + c - t 2 , iar ecuația tangentei y = - 2x va lua forma y = (2p + b)x + c - p 2 .

Compuneți și rezolvați un sistem de ecuații

Răspuns:

Sarcini pentru soluție independentă

1. Scrieți ecuațiile tangentelor trasate la graficul funcției y = 2x 2 - 4x + 3 în punctele de intersecție ale graficului cu dreapta y = x + 3.

Răspuns: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.

2. Pentru ce valori ale lui a trece tangenta desenată la graficul funcției y \u003d x 2 - ax în punctul graficului cu abscisa x 0 \u003d 1 prin punctul M (2; 3) ?

Răspuns: a = 0,5.

3. Pentru ce valori ale lui p linia y = px - 5 atinge curba y = 3x 2 - 4x - 2?

Răspuns: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Aflați toate punctele comune ale graficului funcției y = 3x - x 3 și tangenta trasată la acest grafic prin punctul P(0; 16).

Răspuns: A(2; - 2), B(- 4; 52).

5. Aflați cea mai scurtă distanță dintre parabolă y = x 2 + 6x + 10 și linie

Răspuns:

6. Pe curba y \u003d x 2 - x + 1, găsiți punctul în care tangenta la grafic este paralelă cu linia y - 3x + 1 \u003d 0.

Răspuns: M(2; 3).

7. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = x 2 + 2x - | 4x | care îl atinge în două puncte. Faceți un desen.

Răspuns: y = 2x - 4.

8. Demonstrați că dreapta y = 2x – 1 nu intersectează curba y = x 4 + 3x 2 + 2x. Găsiți distanța dintre cele mai apropiate puncte ale acestora.

Răspuns:

9. Pe parabola y \u003d x 2, sunt luate două puncte cu abscise x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Prin aceste puncte se trasează o secantă. În ce punct al parabolei tangenta la aceasta va fi paralelă cu secantei desenate? Scrieți ecuațiile secantei și tangentei.

Răspuns: y \u003d 4x - 3 - ecuație secante; y = 4x – 4 este ecuația tangentei.

10. Aflați unghiul q între tangentele la graficul funcției y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, desenate în puncte cu abscisele 0 și 1.

Răspuns: q = 45°.

11. În ce puncte tangenta la graficul funcției formează un unghi de 135° cu axa Ox?

Răspuns: A(0; - 1), B(4; 3).

12. În punctul A(1; 8) la curbă se trasează o tangentă. Aflați lungimea segmentului tangentei cuprins între axele de coordonate.

Răspuns:

13. Scrieți ecuația tuturor tangentelor comune la graficele funcțiilor y \u003d x 2 - x + 1 și y \u003d 2x 2 - x + 0,5.

Răspuns: y = - 3x și y = x.

14. Aflați distanța dintre tangente la graficul funcției paralel cu axa x.

Răspuns:

15. Determinați la ce unghiuri intersectează parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 axa x.

Răspuns: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Pe graficul funcţiei găsiți toate punctele, tangenta la fiecare dintre ele la acest grafic intersectează semiaxele pozitive ale coordonatelor, decupând segmente egale din ele.

Răspuns: A(-3; 11).

17. Linia y = 2x + 7 și parabola y = x 2 – 1 se intersectează în punctele M și N. Aflați punctul de intersecție K al dreptelor tangente la parabolă în punctele M și N.

Răspuns: K(1; - 9).

18. Pentru ce valori ale lui b este linia y \u003d 9x + b tangentă la graficul funcției y \u003d x 3 - 3x + 15?

Raspunsul 1; 31.

19. Pentru ce valori ale lui k linia y = kx – 10 are un singur punct comun cu graficul funcției y = 2x 2 + 3x – 2? Pentru valorile găsite ale lui k, determinați coordonatele punctului.

Răspuns: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. Pentru ce valori ale lui b trece tangenta trasată la graficul funcției y = bx 3 – 2x 2 – 4 în punctul cu abscisa x 0 = 2 prin punctul M(1; 8)?

Răspuns: b = - 3.

21. O parabolă cu un vârf pe axa Ox este tangentă la o dreaptă care trece prin punctele A(1; 2) și B(2; 4) în punctul B. Aflați ecuația parabolei.

Răspuns:

22. La ce valoare a coeficientului k atinge parabola y \u003d x 2 + kx + 1 de axa Ox?

Răspuns: k = q 2.

23. Aflați unghiurile dintre dreapta y = x + 2 și curba y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Aflați distanța dintre tangentele la graficul generatoarelor de funcții cu direcția pozitivă a axei Ox la un unghi de 45 °.

Răspuns:

30. Aflați locul vârfurilor tuturor parabolelor de forma y = x 2 + ax + b atingând dreapta y = 4x - 1.

Răspuns: linie dreaptă y = 4x + 3.

Literatură

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra și începuturile analizei: 3600 de probleme pentru școlari și solicitanții la universitate. - M., Butarda, 1999.
2. Mordkovich A. Al patrulea seminar pentru tineri profesori. Subiectul este „Aplicații derivate”. - M., „Matematică”, Nr. 21/94.
3. Formarea de cunoștințe și deprinderi pe baza teoriei asimilării treptate a acțiunilor mentale. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talizina. - M., Universitatea de Stat din Moscova, 1968.