Introduceți funcția pentru care doriți să găsiți integrala

Calculatorul oferă o soluție DETALIATĂ a integralelor definite.

Acest calculator rezolvă integrala definită a funcției f(x) cu limitele superioare și inferioare date.

Exemple

Cu utilizarea gradului
(pătrat și cub) și fracții

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Rădăcină pătrată

Sqrt(x)/(x + 1)

rădăcină cubă

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Folosind sinus și cosinus

2*sin(x)*cos(x)

Arcsin

X*arcsin(x)

Arc cosinus

x*arccos(x)

Aplicarea logaritmului

X*log(x, 10)

logaritmul natural

Expozant

Tg(x)*sin(x)

Cotangentă

Ctg(x)*cos(x)

Fracții iraționale

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arctangent

X*arctg(x)

Arc tangentă

X*arсctg(x)

Sinus și cosinus hiperbolic

2*sh(x)*ch(x)

Tangentă și cotangentă hiperbolică

ctgh(x)/tgh(x)

Arcsinus și arccosinus hiperbolic

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Arctangentă și arctangentă hiperbolice

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Reguli de introducere a expresiilor și funcțiilor

Expresiile pot consta din funcții (notațiile sunt date în ordine alfabetică): absolut (x) Valoare absolută X
(modul X sau |x|) arccos(x) Funcția - arc cosinus al X arccosh(x) Arc cosinus hiperbolic de la X arcsin(x) Arcsine din X arcsinh(x) Arcsin hiperbolic din X arctg(x) Funcție - arc tangentă de la X arctgh(x) Arc tangenta este hiperbolica de la X e e un număr care este aproximativ egal cu 2,7 exp(x) Funcție - exponent de la X(care este e^X) log(x) sau log(x) Logaritmul natural al X
(A obtine log7(x), trebuie să introduceți log(x)/log(7) (sau, de exemplu, pentru log10(x)=log(x)/log(10)) pi Numărul este „Pi”, care este aproximativ egal cu 3,14 sin(x) Funcția - Sinus de X cos(x) Funcția - Cosinus de X sinh(x) Funcția - Sinus hiperbolic al X numerar(x) Funcția - Cosinus hiperbolic de X sqrt(x) Funcția este rădăcina pătrată a lui X sqr(x) sau x^2 Funcție - Pătrat X tg(x) Functie - Tangenta de la X tgh(x) Funcție - tangentă hiperbolică a X cbrt(x) Funcția este rădăcina cubă a X

Puteți utiliza următoarele operații în expresii: Numere reale introduceți în formular 7.5 , nu 7,5 2*x- înmulțirea 3/x- Divizia x^3- exponentiarea x + 7- adaos x - 6- scăderea
Alte caracteristici: podea(x) Funcție - rotunjire X jos (exemplu etaj(4,5)==4,0) plafon (x) Funcție - rotunjire X sus (exemplu plafon (4,5)==5,0) semn(x) Funcție - Semn X erf(x) Funcție de eroare (sau integrală de probabilitate) laplace(x) Funcția Laplace

Calculați aria unei figuri delimitate de linii.

Soluţie.

Găsim punctele de intersecție ale dreptelor date. Pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații:

Pentru a găsi abscisele punctelor de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm ecuația:

Găsim: X 1 = -2, X 2 = 4.

Deci, aceste drepte, care sunt o parabolă și o dreaptă, se intersectează în puncte A(-2; 0), B(4; 6).

Aceste linii formează o figură închisă, aria lui care se calculează folosind formula de mai sus:

Conform formulei Newton-Leibniz, găsim:

Găsiți aria unei zone delimitate de o elipsă.

Soluţie.

Din ecuația elipsei pentru cadranul I avem . De aici, conform formulei, obținem

Să aplicăm înlocuirea X = A păcat t, dx = A cos t dt. Noi limite ale integrării t = α și t = β sunt determinate din ecuațiile 0 = A păcat t, A = A păcat t. Poate fi pus α = 0 și β = π /2.

Găsim un sfert din suprafața necesară

De aici S = pab.

Găsiți aria unei figuri delimitate de liniiy = - X 2 + X + 4 șiy = - X + 1.

Soluţie.

Găsiți punctele de intersecție ale dreptelor y = -X 2 + X + 4, y = -X+ 1, echivalând ordonatele dreptelor: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 sau X 2 - 2X- 3 = 0. Aflați rădăcinile X 1 = -1, X 2 = 3 și ordonatele corespunzătoare y 1 = 2, y 2 = -2.

Folosind formula suprafeței figurii, obținem

Găsiți aria cuprinsă de parabolăy = X 2 + 1 și directX + y = 3.

Soluţie.

Rezolvarea sistemului de ecuații

găsiți abscisele punctelor de intersecție X 1 = -2 și X 2 = 1.

Presupunând y 2 = 3 - Xși y 1 = X 2 + 1, pe baza formulei pe care o obținem

Calculați aria cuprinsă în lemniscate Bernoullir 2 = A 2 cos 2 φ .

Soluţie.

În sistemul de coordonate polare, aria figurii delimitată de arcul curbei r = f(φ ) și două raze polare φ 1 = ʅ și φ 2 = ʆ , se exprimă prin integrală

Datorită simetriei curbei, determinăm mai întâi un sfert din aria dorită

Prin urmare, suprafața totală este S = A 2 .

Calculați lungimea arcului unui astroidX 2/3 + y 2/3 = A 2/3 .

Soluţie.

Scriem ecuația astroidului sub formă

(X 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (A 1/3) 2 .

Sa punem X 1/3 = A 1/3 cos t, y 1/3 = A 1/3 păcat t.

De aici obținem ecuațiile parametrice ale astroidului

X = A cos 3 t, y = A păcatul 3 t, (*)

unde 0 ≤ t ≤ 2π .

Având în vedere simetria curbei (*), este suficient să găsim o pătrime din lungimea arcului L corespunzătoare modificării parametrului t de la 0 la π /2.

Primim

dx = -3A cos 2 t păcat t dt, dy = 3A păcatul 2 t cos t dt.

De aici găsim

Integrarea expresiei rezultate în intervalul de la 0 la π /2, obținem

De aici L = 6A.

Găsiți aria delimitată de spirala lui Arhimeder = aφ și doi vectori cu rază care corespund unghiurilor polareφ 1 șiφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Soluţie.

Arie delimitată de o curbă r = f(φ ) se calculează prin formula , unde α și β - limitele de modificare a unghiului polar.

Astfel, primim

(*)

Din (*) rezultă că aria delimitată de axa polară și prima întoarcere a spiralei lui Arhimede ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

În mod similar, găsim aria delimitată de axa polară și a doua tură a spiralei lui Arhimede ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Suprafața necesară este egală cu diferența acestor zone

Calculați volumul unui corp obținut prin rotație în jurul unei axeBou figură delimitată de paraboley = X 2 șiX = y 2 .

Soluţie.

Să rezolvăm sistemul de ecuații

si ia X 1 = 0, X 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, de unde punctele de intersecție ale curbelor O(0; 0), B(unsprezece). După cum se poate observa în figură, volumul dorit al corpului de revoluție este egal cu diferența dintre cele două volume formate prin rotație în jurul axei Bou trapezoizi curbilinii OCBAși ODBA:

Calculați aria delimitată de axăBou și sinusoidy = păcatX pe segmente: a); b) .

Soluţie.

a) Pe segment, funcția sin X păstrează semnul, și deci prin formula , presupunând y= păcat X, găsim

b) Pe segmentul , funcţia sin X schimba semnul. Pentru rezolvarea corectă a problemei, este necesar să se împartă segmentul în două și [ π , 2π ], în fiecare dintre care funcția își păstrează semnul.

Conform regulii semnelor, pe segmentul [ π , 2π ] zona este luată cu semnul minus.

Ca urmare, aria dorită este egală cu

Determinați volumul corpului delimitat de suprafața obținută din rotația elipseiîn jurul axei majoreA .

Soluţie.

Având în vedere că elipsa este simetrică față de axele de coordonate, este suficient să găsim volumul format prin rotație în jurul axei Bou zonă OAB, egal cu un sfert din aria elipsei și dublu rezultatul.

Să notăm volumul corpului de revoluție prin V X; apoi, pe baza formulei, avem , unde 0 și A- abscisele punctelor Bși A. Din ecuația elipsei găsim . De aici

Astfel, volumul necesar este egal cu . (Când elipsa se rotește în jurul axei minore b, volumul corpului este de )

Aflați aria delimitată de paraboley 2 = 2 px șiX 2 = 2 py .

Soluţie.

În primul rând, găsim coordonatele punctelor de intersecție ale parabolelor pentru a determina intervalul de integrare. Transformând ecuațiile originale, obținem și . Echivalând aceste valori, obținem sau X 4 - 8p 3 X = 0.

X 4 - 8p 3 X = X(X 3 - 8p 3) = X(X - 2p)(X 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Găsim rădăcinile ecuațiilor:

Având în vedere faptul că punctul A intersecția parabolelor este în primul trimestru, apoi limitele de integrare X= 0 și X = 2p.

Zona dorită este găsită prin formulă

Exemplul 1 . Calculați aria figurii mărginite de linii: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi fig.) Construim o linie dreaptă x + 2y - 4 \u003d 0 de-a lungul a două puncte A (4; 0) și B (0; 2). Exprimând y în termeni de x, obținem y \u003d -0,5x + 2. Conform formulei (1), unde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, vom găsi

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 mp. unitati

Exemplul 2 Calculați aria figurii mărginite de linii: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 și y \u003d 0.

Soluţie. Să construim o figură.

Să construim o dreaptă x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Aflați punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C, este o linie dreaptă.

Pentru triunghiul AMN avem: ; y \u003d 0,5x + 2, adică f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati

Exemplul 3 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

În acest caz, este necesar să se calculeze aria unui trapez curbiliniu delimitat de o parabolă y = x 2 , linii drepte x \u003d 2 și x \u003d 3 și axa Ox (a se vedea fig.) Conform formulei (1), găsim aria unui trapez curbiliniu

= = 6kv. unitati

Exemplul 4 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y \u003d - x 2 + 4 și y = 0

Să construim o figură. Zona dorită este închisă între parabola y \u003d - x 2 + 4 și axa Oh.

Aflați punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Presupunând y \u003d 0, găsim x \u003d Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul: \u003d + 4x] pătrat. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5 Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici este necesar să se calculeze aria trapezului curbiliniu delimitată de ramura superioară a parabolei y 2 \u003d x, axa Ox și liniile drepte x \u003d 1x \u003d 4 (a se vedea fig.)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități sq.

Exemplul 6 . Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Zona dorită este limitată de o sinusoidă cu jumătate de undă și de axa Ox (vezi Fig.).

Avem - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metri pătrați. unitati

Exemplul 7 Calculați aria figurii delimitată de linii: y \u003d - 6x, y \u003d 0 și x \u003d 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi Fig.).

Prin urmare, aria sa este găsită prin formula (3)

= =

Exemplul 8 Calculați aria figurii delimitată de liniile: y \u003d și x \u003d 2. Vom construi curba y \u003d de puncte (a se vedea fig.). Astfel, aria figurii se găsește prin formula (4)

Exemplul 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aici trebuie să calculați aria delimitată de cercul x 2 + y 2 = r 2 , adică aria unui cerc de rază r centrat la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone, luând limitele integrării de la 0

dor; avem: 1 = = [

Prin urmare, 1 =

Exemplul 10 Calculați aria figurii mărginite de linii: y \u003d x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y \u003d x 2 și linie dreaptă y \u003d 2x (a se vedea fig.) Pentru a determina punctele de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0 și x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= }