Principal functii elementare, proprietățile lor inerente și graficele corespunzătoare sunt una dintre bazele cunoștințelor matematice, similare ca importanță cu tabelul înmulțirii. Funcțiile elementare sunt baza, suportul pentru studiul tuturor problemelor teoretice.

Articolul de mai jos oferă material cheie pe tema funcțiilor elementare de bază. Vom introduce termeni, le vom da definiții; Să studiem în detaliu fiecare tip de funcții elementare și să le analizăm proprietățile.

Se disting următoarele tipuri de funcții elementare de bază:

Definiția 1

• funcție constantă (constant);
• rădăcina gradului al n-lea;
• funcția de putere;
• functie exponentiala;
• funcția logaritmică;
• funcții trigonometrice;
• funcţii trigonometrice fraterne.

O funcție constantă este definită prin formula: y = C (C este un număr real) și are, de asemenea, un nume: constantă. Această funcție determină dacă orice valoare reală a variabilei independente x corespunde aceleiași valori a variabilei y – valoarea C .

Graficul unei constante este o dreaptă care este paralelă cu axa x și trece printr-un punct având coordonatele (0, C). Pentru claritate, prezentăm grafice ale funcțiilor constante y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (marcate cu negru, roșu și, respectiv, albastru în desen).

Definiția 2

Această funcție elementară este definită prin formula y = x n (n - numar natural mai mult de un).

Să luăm în considerare două variante ale funcției.

1. Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr par

Pentru claritate, indicăm desenul, care arată graficele unor astfel de funcții: y = x , y = x 4 și y = x 8 . Aceste funcții sunt codate pe culori: negru, roșu și, respectiv, albastru.

O vedere similară a graficelor funcției de un grad par pentru alte valori ale indicatorului.

Definiția 3

Proprietăți ale funcției rădăcină de gradul al n-lea, n este un număr par

• domeniul de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale nenegative [ 0 , + ∞) ;
• când x = 0, funcția y = x n are o valoare egală cu zero;
• dat function - function vedere generala(nu este nici par, nici impar);
• interval: [ 0 , + ∞) ;
• această funcție y = x n cu exponenți pari ai rădăcinii crește pe întregul domeniu de definiție;
• funcția are o convexitate cu direcție ascendentă pe întregul domeniu de definiție;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;
• graficul funcției pentru n par trece prin punctele (0 ; 0) și (1 ; 1) .

1. Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr impar

O astfel de funcție este definită pe întregul set de numere reale. Pentru claritate, luați în considerare graficele funcțiilor y = x 3 , y = x 5 și x 9 . În desen, acestea sunt indicate prin culori: culorile negru, roșu și, respectiv, albastru ale curbelor.

Alte valori impare ale exponentului rădăcinii funcției y = x n vor da un grafic de formă similară.

Definiția 4

Proprietăți ale funcției rădăcină de gradul al n-lea, n este un număr impar

• domeniul definiției este mulțimea tuturor numerelor reale;
• această funcție este impară;
• intervalul de valori este mulțimea tuturor numerelor reale;
• funcția y = x n cu exponenți impari ai rădăcinii crește pe întregul domeniu de definiție;
• funcția are concavitate pe intervalul (- ∞ ; 0 ] și convexitate pe intervalul [ 0 , + ∞) ;
• punctul de inflexiune are coordonatele (0 ; 0) ;
• nu există asimptote;
• graficul funcției pentru n impar trece prin punctele (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) și (1 ; 1) .

Funcția de putere

Definiția 5

Funcția de putere este definită de formula y = x a .

Tipul de grafice și proprietățile funcției depind de valoarea exponentului.

• când o funcție de putere are un exponent întreg a, atunci forma graficului funcției de putere și proprietățile acesteia depind de dacă exponentul este par sau impar și, de asemenea, ce semn are exponentul. Să luăm în considerare toate aceste cazuri speciale mai detaliat mai jos;
• exponentul poate fi fracționar sau irațional - în funcție de aceasta, variază și tipul de grafice și proprietățile funcției. Vom analiza cazuri speciale prin stabilirea mai multor condiții: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• o funcție de putere poate avea un exponent zero, vom analiza și acest caz mai detaliat mai jos.

Să analizăm funcția de putere y = x a când a este impar număr pozitiv, de exemplu, a = 1 , 3 , 5 ...

Pentru claritate, indicăm graficele unor astfel de funcții de putere: y = x (culoarea neagră a graficului), y = x 3 (culoarea albastră a graficului), y = x 5 (culoarea roșie a graficului), y = x 7 (graficul verde). Când a = 1 , obținem o funcție liniară y = x .

Definiția 6

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este un pozitiv impar

• funcția este crescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funcția este convexă pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] și concavă pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) (excluzând funcția liniară);
• punctul de inflexiune are coordonate (0 ; 0) (excluzând funcția liniară);
• nu există asimptote;
• puncte de trecere a funcției: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Să analizăm funcția de putere y = x a când a este un număr pozitiv par, de exemplu, a = 2 , 4 , 6 ...

Pentru claritate, indicăm graficele unor astfel de funcții de putere: y \u003d x 2 (culoarea neagră a graficului), y = x 4 (culoarea albastră a graficului), y = x 8 (culoarea roșie a graficului). Când a = 2, obținem o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă pătratică.

Definiția 7

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este chiar pozitiv:

• domeniu de definiție: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• descrescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funcția este concavă pentru x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;
• funcția puncte de trecere: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice cu funcții exponențiale y = x a când a este impar un număr negativ: y = x - 9 (culoarea neagră a graficului); y = x - 5 (culoarea albastră a diagramei); y \u003d x - 3 (culoarea roșie a graficului); y = x - 1 (graficul verde). Când a \u003d - 1, obținem o proporționalitate inversă, al cărei grafic este o hiperbolă.

Definiția 8

Proprietățile funcției de putere atunci când exponentul este impar negativ:

Când x \u003d 0, obținem o discontinuitate de al doilea fel, deoarece lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ pentru a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Astfel, linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală;

• interval: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funcția este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcţia este descrescătoare pentru x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funcția este convexă pentru x ∈ (- ∞ ; 0) și concavă pentru x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nu există puncte de inflexiune;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 când a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• funcția puncte de trecere: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice ale funcției de putere y = x a când a este un număr negativ par: y = x - 8 (diagrama cu negru); y = x - 4 (culoarea albastră a graficului); y = x - 2 (culoarea roșie a graficului).

Definiția 9

Proprietățile funcției de putere atunci când exponentul este chiar negativ:

• domeniu de definiție: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Când x \u003d 0, obținem o discontinuitate de al doilea fel, deoarece lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ pentru a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Astfel, linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală;

• funcția este pare deoarece y (- x) = y (x) ;
• funcția este crescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; 0) și descrescătoare pentru x ∈ 0 ; +∞ ;
• funcția este concavă pentru x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nu există puncte de inflexiune;
• asimptota orizontală este o linie dreaptă y = 0 deoarece:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 când a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funcția puncte de trecere: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Încă de la început, atenție la următorul aspect: în cazul în care a este o fracție pozitivă cu numitor impar, unii autori iau intervalul - ∞ ca domeniu de definiție al acestei funcții de putere; + ∞ , stipulând că exponentul a este o fracție ireductibilă. În prezent, autorii multor publicații educaționale conform algebrei și începuturilor analizei, funcțiile de putere NU sunt DEFINITE, unde exponentul este o fracție cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Mai departe, vom adera la o astfel de poziție: luăm setul [ 0 ; +∞). Recomandare pentru elevi: aflați punctul de vedere al profesorului în acest moment pentru a evita neînțelegerile.

Deci, să aruncăm o privire la funcția de putere y = x a când exponentul este un număr rațional sau irațional cu condiția ca 0< a < 1 .

Să ilustrăm cu grafice funcțiile de putere y = x a când a = 11 12 (diagrama cu negru); a = 5 7 (culoarea roșie a graficului); a = 1 3 (culoarea albastră a diagramei); a = 2 5 (culoarea verde a graficului).

Alte valori ale exponentului a (presupunând 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definiția 10

Proprietățile funcției de putere la 0< a < 1:

• interval: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funcţia este crescătoare pentru x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funcția are convexitate pentru x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;

Să analizăm funcția de putere y = x a când exponentul este un număr rațional sau irațional neîntreg cu condiția ca a > 1 .

Ilustram graficele functiei putere y \u003d x a în condiții date folosind următoarele funcții ca exemplu: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (negru, roșu, albastru, verde grafice, respectiv).

Alte valori ale exponentului a cu condiția a > 1 vor da un aspect similar al graficului.

Definiția 11

Proprietățile funcției de putere pentru a > 1:

• domeniu de definire: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• interval: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• funcţia este crescătoare pentru x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funcția este concavă pentru x ∈ (0 ; + ∞) (când 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;
• funcția puncte de trecere: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Vă atragem atenția! Când a este o fracție negativă cu un numitor impar, în lucrările unor autori există opinia că domeniul definiției în acest caz– interval - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) cu condiția ca exponentul a să fie o fracție ireductibilă. În acest moment autorii materiale didactice conform algebrei și începuturilor analizei, funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu numitor impar cu valori negative ale argumentului NU sunt DEFINITE. Mai mult, aderăm doar la o astfel de vedere: luăm mulțimea (0 ; + ∞) ca domeniu al funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționari. Sugestie pentru elevi: clarificați viziunea profesorului în acest moment pentru a evita dezacordul.

Continuăm subiectul și analizăm funcția de putere y = x a cu condiția: - 1< a < 0 .

Iată un desen de grafice ale următoarelor funcții: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (linii negre, roșii, albastre, verzi, respectiv ).

Definiția 12

Proprietățile funcției de putere la - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ când - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• interval: y ∈ 0 ; +∞ ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• nu există puncte de inflexiune;

Desenul de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (negru, roșu, albastru, culori verzi curbe, respectiv).

Definiția 13

Proprietățile funcției de putere pentru a< - 1:

• domeniu de definire: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ când a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• funcția este descrescătoare pentru x ∈ 0; +∞ ;
• funcția este concavă pentru x ∈ 0; +∞ ;
• nu există puncte de inflexiune;
• asimptotă orizontală - linie dreaptă y = 0 ;
• punct de trecere a funcției: (1 ; 1) .

Când a \u003d 0 și x ≠ 0, obținem funcția y \u003d x 0 \u003d 1, care determină linia din care este exclus punctul (0; 1) (am convenit că expresia 0 0 nu va fi dată orice valoare).

Funcția exponențială are forma y = a x , unde a > 0 și a ≠ 1 , iar graficul acestei funcții arată diferit în funcție de valoarea bazei a . Să luăm în considerare cazurile speciale.

Mai întâi, să analizăm situația în care baza funcției exponențiale are o valoare de la zero la unu (0< a < 1) . Un exemplu ilustrativ sunt graficele funcțiilor pentru a = 1 2 (culoarea albastră a curbei) și a = 5 6 (culoarea roșie a curbei).

Graficele funcției exponențiale vor avea o formă similară pentru alte valori ale bazei, cu condiția ca 0< a < 1 .

Definiția 14

Proprietățile unei funcții exponențiale când baza este mai mică de unu:

• interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• o funcție exponențială a cărei bază este mai mică de unu este în scădere pe întregul domeniu de definiție;
• nu există puncte de inflexiune;
• asimptotă orizontală - dreaptă y = 0 cu variabila x tinde spre + ∞ ;

Acum luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale este mai mare decât unu (a > 1).

Să ilustrăm acest caz special cu graficul funcțiilor exponențiale y = 3 2 x (culoarea albastră a curbei) și y = e x (culoarea roșie a graficului).

Alte valori ale bazei, mai mari decât unu, vor oferi o vedere similară a graficului funcției exponențiale.

Definiția 15

Proprietățile funcției exponențiale când baza este mai mare decât unu:

• domeniul de definiție este întregul set de numere reale;
• interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• o funcţie exponenţială a cărei bază este mai mare decât unu este crescătoare pentru x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funcţia este concavă pentru x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• nu există puncte de inflexiune;
• asimptotă orizontală - dreaptă y = 0 cu variabila x tinde spre - ∞ ;
• punct de trecere a funcției: (0 ; 1) .

Funcția logaritmică are forma y = log a (x) , unde a > 0 , a ≠ 1 .

O astfel de funcție este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului: pentru x ∈ 0 ; +∞ .

Graficul funcției logaritmice are alt fel, pe baza valorii bazei a.

Luați în considerare mai întâi situația când 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Alte valori ale bazei, nu mai mari de unu, vor oferi o vedere similară a graficului.

Definiția 16

Proprietățile unei funcții logaritmice când baza este mai mică de unu:

• domeniu de definire: x ∈ 0 ; +∞ . Deoarece x tinde spre zero din dreapta, valorile funcției tind spre + ∞;
• interval: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• logaritmică
• funcția este concavă pentru x ∈ 0; +∞ ;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;

Acum să analizăm un caz special când baza funcției logaritmice este mai mare decât unu: a > 1 . În desenul de mai jos, există grafice ale funcțiilor logaritmice y = log 3 2 x și y = ln x (culorile albastru și, respectiv, roșu ale graficelor).

Alte valori ale bazei mai mari decât unu vor oferi o vedere similară a graficului.

Definiția 17

Proprietățile unei funcții logaritmice când baza este mai mare decât unu:

• domeniu de definire: x ∈ 0 ; +∞ . Deoarece x tinde spre zero din dreapta, valorile funcției tind spre - ∞;
• interval: y ∈ - ∞ ; + ∞ (întregul set de numere reale);
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• funcția logaritmică este crescătoare pentru x ∈ 0; +∞ ;
• funcția are convexitate pentru x ∈ 0; +∞ ;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;
• punct de trecere a funcției: (1 ; 0) .

Funcțiile trigonometrice sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să analizăm proprietățile fiecăruia dintre ele și graficele corespunzătoare.

În general, toate funcțiile trigonometrice sunt caracterizate de proprietatea periodicității, adică. când valorile funcțiilor se repetă pentru diferite valori ale argumentului care diferă unele de altele prin valoarea perioadei f (x + T) = f (x) (T este perioada). Astfel, elementul „perioada cea mai mică pozitivă” este adăugat la lista de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice. În plus, vom indica astfel de valori ale argumentului pentru care funcția corespunzătoare dispare.

1. Funcția sinus: y = sin(x)

Graficul acestei funcții se numește undă sinusoidală.

Definiția 18

Proprietățile funcției sinus:

• domeniu de definiție: întreaga mulțime de numere reale x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funcția dispare când x = π k , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
• funcția este crescătoare pentru x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z și descrescătoare pentru x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• funcţia sinus are maxime locale în punctele π 2 + 2 π · k ; 1 și minime locale în punctele - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• funcția sinus este concavă când x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z și convex când x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• nu există asimptote.

1. functia cosinus: y=cos(x)

Graficul acestei funcții se numește undă cosinus.

Definiția 19

Proprietățile funcției cosinus:

• domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• cea mai mică perioadă pozitivă: T \u003d 2 π;
• interval: y ∈ - 1 ; unu ;
• această funcție este pară, deoarece y (- x) = y (x) ;
• funcția este crescătoare pentru x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z și descrescătoare pentru x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• funcţia cosinus are maxime locale în punctele 2 π · k ; 1 , k ∈ Z și minime locale în punctele π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• funcţia cosinus este concavă când x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z și convex când x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• punctele de inflexiune au coordonatele π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• nu există asimptote.

1. Funcția tangentă: y = t g (x)

Graficul acestei funcții se numește tangentoid.

Definiția 20

Proprietățile funcției tangente:

• domeniu de definiție: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
• Comportarea funcției tangente la limita domeniului de definiție lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Astfel, dreptele x = π 2 + π · k k ∈ Z sunt asimptote verticale;
• funcția dispare când x = π k pentru k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
• interval: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcţia este în creştere la - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• funcţia tangentă este concavă pentru x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z și convex pentru x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• punctele de inflexiune au coordonatele π k; 0 , k ∈ Z ;

1. Funcția cotangentă: y = c t g (x)

Graficul acestei funcții se numește cotangentoid. .

Definiția 21

Proprietățile funcției cotangente:

• domeniu de definiție: x ∈ (π k ; π + π k) , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);

Comportarea funcției cotangente la limita domeniului de definiție lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Astfel, dreptele x = π k k ∈ Z sunt asimptote verticale;

• cea mai mică perioadă pozitivă: T \u003d π;
• funcția dispare când x = π 2 + π k pentru k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
• interval: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcţia este descrescătoare pentru x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• funcția cotangentă este concavă pentru x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z și convexă pentru x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• punctele de inflexiune au coordonatele π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• nu există asimptote oblice și orizontale.

Funcțiile trigonometrice inverse sunt arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Adesea, datorită prezenței prefixului „arc” în nume, funcțiile trigonometrice inverse sunt numite funcții arc. .

1. Funcția arcsinus: y = a r c sin (x)

Definiția 22

Proprietățile funcției arcsinus:

• această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcția arcsinus este concavă pentru x ∈ 0; 1 și convexitatea pentru x ∈ - 1 ; 0;
• punctele de inflexiune au coordonatele (0 ; 0) , este si zeroul functiei;
• nu există asimptote.

1. Funcția arccosin: y = a r c cos (x)

Definiția 23

Proprietățile funcției arccosin:

• domeniu de definire: x ∈ - 1 ; unu ;
• interval: y ∈ 0 ; π;
• această funcție este de formă generală (nici par, nici impar);
• funcția este în scădere pe întregul domeniu de definire;
• funcţia arccosinus este concavă pentru x ∈ - 1 ; 0 și convexitatea pentru x ∈ 0 ; unu ;
• punctele de inflexiune au coordonatele 0 ; π2;
• nu există asimptote.

1. Funcția arctangentă: y = a r c t g (x)

Definiția 24

Proprietățile funcției arctangente:

• domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• interval: y ∈ - π 2 ; π2;
• această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcția este în creștere pe întregul domeniu de definire;
• funcția arctangentă este concavă pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] și convexă pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• punctul de inflexiune are coordonatele (0; 0), este si zero al functiei;
• Asimptotele orizontale sunt drepte y = - π 2 pentru x → - ∞ și y = π 2 pentru x → + ∞ (asimptotele din figură sunt linii verzi).

1. Funcția cotangentă a arcului: y = a r c c t g (x)

Definiția 25

Proprietățile funcției arc cotangent:

• domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• interval: y ∈ (0 ; π) ;
• această funcție este de tip general;
• funcția este în scădere pe întregul domeniu de definire;
• funcţia arc cotangentă este concavă pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) și convexitatea pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• punctul de inflexiune are coordonatele 0 ; π2;
• Asimptotele orizontale sunt drepte y = π la x → - ∞ (linia verde în desen) și y = 0 la x → + ∞.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Pe domeniul funcției de putere y = x p sunt valabile următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p zero, p = 0 , atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este constantă, egală cu unu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, ... .

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversă față de ea însăși: x = y
pentru n ≠ 1, funcția inversă este o rădăcină de grad n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural par n = 2, 4, 6, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ... .

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
pentru x ≤ 0 scade monoton
pentru x ≥ 0 crește monoton
Extreme: minim, x=0, y=0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 2, Rădăcină pătrată:
pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcție de putere cu exponent negativ întreg, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... . Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .

Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ... .

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -1,
pentru n< -2 ,

Exponent par, n = -2, -4, -6, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ... .

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -2,
pentru n< -2 ,

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile x pozitive, cât și negative. Luați în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.

p este negativ, p< 0

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ... ) mai mic decât zero: .

Grafice ale funcțiilor exponențiale cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Iată proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent negativ rațional , unde n = -1, -3, -5, ... este un întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Proprietățile funcției de putere y = x p cu exponent rațional negativ , unde n = -2, -4, -6, ... este un număr întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numător impar, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Valori multiple: -∞ < y < +∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вниз
pentru x > 0 : convex în sus
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 2, 4, 6, ...

Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional , fiind în 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Valori multiple: 0 ≤ y< +∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно убывает
pentru x > 0 : crescător monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în sus la x ≠ 0
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn: pentru x ≠ 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Exponentul p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 5, 7, 9, ... este un număr natural impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 4, 6, 8, ...

Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 4, 6, 8, ... este un număr natural par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 монотонно убывает
pentru x > 0 crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu cele ale unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Funcția de putere cu exponent irațional

Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p . Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele considerate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x. Pentru valorile pozitive ale argumentului, proprietățile depind numai de valoarea exponentului p și nu depind de dacă p este întreg, rațional sau irațional.

y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Funcția de putere cu p. negativ< 0

Domeniu: x > 0
Valori multiple: y > 0
Monoton: scade monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Limite: ;
valoare privată: Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0

Indicatorul este mai mic de unu 0< p < 1

Domeniu: x ≥ 0
Valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în sus
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indicatorul este mai mare decât un p > 1

Domeniu: x ≥ 0
Valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Vezi si:

O funcție de putere se numește o funcție de forma y=x n (se citește ca y este egal cu x cu puterea lui n), unde n este oarecare număr dat. Cazuri particulare de funcții de putere sunt funcții de forma y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x și multe altele. Să vorbim mai multe despre fiecare dintre ele.

Funcția liniară y=x 1 (y=x)

Graficul este o linie dreaptă care trece prin punctul (0; 0) la un unghi de 45 de grade față de direcția pozitivă a axei Ox.

Graficul este prezentat mai jos.

Proprietățile de bază ale unei funcții liniare:

• Funcția este în creștere și este definită pe axa numerelor întregi.
• Nu are valori maxime și minime.

Funcția pătratică y=x 2

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă.

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice:

• 1. Pentru x=0, y=0 și y>0 pentru x0
• 2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că valoarea maximă a funcției nu există.
• 3. Funcția scade pe interval (-∞; 0] și crește pe intervalul )