- (Math.) Funcția y \u003d f (x) este numită chiar dacă nu se schimbă atunci când variabila independentă își schimbă doar semnul, adică dacă f (x) \u003d f (x). Dacă f (x) = f (x), atunci funcția f (x) se numește impară. De exemplu, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x este un exemplu de funcție impară. f(x) = x2 este un exemplu de funcție pare. f(x) = x3 ... Wikipedia

O funcție care satisface egalitatea f (x) = f (x). Vedeți funcțiile pare și impare... Marea Enciclopedie Sovietică

F(x) = x este un exemplu de funcție impară. f(x) = x2 este un exemplu de funcție pare. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x este un exemplu de funcție impară. f(x) = x2 este un exemplu de funcție pare. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x este un exemplu de funcție impară. f(x) = x2 este un exemplu de funcție pare. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x este un exemplu de funcție impară. f(x) = x2 este un exemplu de funcție pare. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funcții speciale introduse de matematicianul francez E. Mathieu în 1868 la rezolvarea problemelor privind vibrația unei membrane eliptice. M. f. sunt folosite și în studiul distribuției undele electromagneticeîntr-un cilindru eliptic... Marea Enciclopedie Sovietică

Solicitarea „păcat” este redirecționată aici; vezi și alte sensuri. Solicitarea „sec” este redirecționată aici; vezi și alte sensuri. „Sine” redirecționează aici; vezi și alte sensuri... Wikipedia

O funcție se numește par (impar) dacă pentru oricare și egalitatea

.

Graficul unei funcții pare este simetric față de axă
.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Exemplul 6.2. Examinați funcțiile pare sau impare

1)
; 2)
; 3)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită cu
. Sa gasim
.

Acestea.
. Mijloace, funcţie dată este chiar.

2) Funcția este definită pentru

Acestea.
. Astfel, această funcție este impară.

3) funcția este definită pentru , i.e. pentru

,
. Prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară. Să o numim o funcție generală.

3. Investigarea unei funcții pentru monotonitate.

Funcţie
se numește crescător (descrescător) pe un anumit interval dacă în acest interval fiecare valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari (mai mici) a funcției.

Funcțiile care cresc (descresc) pe un anumit interval sunt numite monotone.

Dacă funcţia
diferențiabilă pe interval
și are o derivată pozitivă (negativă).
, apoi funcția
crește (descrește) în acest interval.

Exemplul 6.3. Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor

1)
; 3)
.

Soluţie.

1) Această funcție este definită pe toată axa numerelor. Să găsim derivata.

Derivata este zero daca
și
. Domeniu de definire - axa numerică, împărțită la puncte
,
pentru intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval.

În interval
derivata este negativa, functia scade pe acest interval.

În interval
derivata este pozitivă, prin urmare, funcția este în creștere pe acest interval.

2) Această funcție este definită dacă
sau

.

Determinăm semnul trinomului pătrat în fiecare interval.

Astfel, domeniul de aplicare al funcției

Să găsim derivata
,
, dacă
, adică
, dar
. Să determinăm semnul derivatei în intervale
.

În interval
derivata este negativă, prin urmare, funcția scade pe interval
. În interval
derivata este pozitivă, funcția crește pe interval
.

4. Investigarea unei funcții pentru un extremum.

Punct
se numește punctul maxim (minim) al funcției
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului asta pentru toata lumea
acest cartier satisface inegalitatea

.

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc puncte extreme.

Dacă funcţia
la punct are un extremum, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero sau nu există (o condiție necesară pentru existența unui extremum).

Punctele în care derivata este egală cu zero sau nu există sunt numite critice.

5. Condiții suficiente pentru existența unui extremum.

Regula 1. Dacă în timpul trecerii (de la stânga la dreapta) prin punctul critic derivat
schimbă semnul din „+” în „-”, apoi la punctul funcţie
are un maxim; dacă de la „-” la „+”, atunci minimul; dacă
nu schimbă semnul, atunci nu există extremum.

Regula 2. Lasă la punct
derivata prima a functiei
zero
, iar derivata a doua există și este diferită de zero. În cazul în care un
, apoi este punctul maxim, dacă
, apoi este punctul minim al funcției.

Exemplu 6.4 . Explorați funcțiile maxime și minime:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită și continuă pe interval
.

Să găsim derivata
și rezolvați ecuația
, adică
.de aici
sunt puncte critice.

Să determinăm semnul derivatei în intervalele ,
.

La trecerea prin puncte
și
derivata își schimbă semnul din „–” în „+”, prin urmare, conform regulii 1
sunt punctele minime.

La trecerea printr-un punct
derivata schimbă semnul de la „+” la „-”, deci
este punctul maxim.

,
.

2) Funcția este definită și continuă în interval
. Să găsim derivata
.

Prin rezolvarea ecuației
, găsi
și
sunt puncte critice. Dacă numitorul
, adică
, atunci derivata nu există. Asa de,
este al treilea punct critic. Să determinăm semnul derivatei în intervale.

Prin urmare, funcția are un minim la punct
, maxim la puncte
și
.

3) O funcție este definită și continuă dacă
, adică la
.

Să găsim derivata

.

Să găsim punctele critice:

Vecinătăți de puncte
nu aparțin domeniului definiției, deci nu sunt extremum t. Deci haideți să explorăm punctele critice
și
.

4) Funcția este definită și continuă pe interval
. Folosim regula 2. Aflați derivata
.

Să găsim punctele critice:

Să găsim derivata a doua
și determinați-i semnul la puncte

La puncte
funcția are un minim.

La puncte
funcția are un maxim.

Dependența variabilei y de variabila x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Notația este y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.

Luați în considerare proprietatea de paritate mai detaliat.

O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:

2. Valoarea funcției la punctul x aparținând domeniului funcției trebuie să fie egală cu valoarea funcției la punctul -x. Adică, pentru orice punct x, din domeniul funcției, următoarea egalitate f (x) \u003d f (-x) trebuie să fie adevărată.

Graficul unei funcții pare

Dacă construiți un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa y.

De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Luați un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare, f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2.

Figura arată că graficul este simetric față de axa y.

Graficul unei funcții impare

O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Domeniul funcției date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică dacă un punct a aparține domeniului funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului funcției date.

2. Pentru orice punct x, din domeniul funcției, trebuie îndeplinită următoarea egalitate f (x) \u003d -f (x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Luați un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3.

Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine.

Definiție 1. Funcția este numită chiar (ciudat ) dacă împreună cu fiecare valoare a variabilei
sens - X de asemenea aparține
si egalitatea

Astfel, o funcție poate fi pară sau impară numai atunci când domeniul ei de definiție este simetric față de originea pe dreapta reală (numerele Xși - X aparțin simultan
). De exemplu, funcția
nu este nici par, nici impar, deoarece domeniul său de definire
nesimetric față de origine.

Funcţie
chiar, pentru că
simetric faţă de originea coordonatelor şi.

Funcţie
ciudat pentru că
și
.

Funcţie
nu este nici par, nici impar, deoarece deși
și este simetric față de origine, egalitățile (11.1) nu sunt îndeplinite. De exemplu,.

Graficul unei funcții pare este simetric față de axă OU, deoarece dacă punctul

aparține și graficului. Graficul unei funcții impare este simetric față de origine, deoarece dacă
aparține graficului, apoi punctului
aparține și graficului.

Când se demonstrează dacă o funcție este pară sau impară, următoarele afirmații sunt utile.

Teorema 1. a) Suma a două funcții pare (impare) este o funcție pară (impare).

b) Produsul a două funcții pare (impare) este o funcție pară.

c) Produsul dintre o funcție pare și o funcție impară este o funcție impară.

d) Dacă f este o funcție uniformă pe platou X, și funcția g definite pe platou
, apoi funcția
- chiar.

e) Dacă f este o funcție ciudată pe platou X, și funcția g definite pe platou
și par (impar), apoi funcția
- chiar ciudat).

Dovada. Să demonstrăm, de exemplu, b) și d).

b) Fie
și
sunt chiar funcții. Atunci, deci. Cazul funcțiilor impare este considerat în mod similar
și
.

d) Fie f este o funcție uniformă. Apoi.

Celelalte afirmații ale teoremei sunt dovedite în mod similar. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2. Orice funcție
, definit pe platou X, care este simetric față de origine, poate fi reprezentat ca suma unei funcții par și impare.

Dovada. Funcţie
poate fi scris sub forma

.

Funcţie
este chiar, din moment ce
, și funcția
este ciudat pentru că. În acest fel,
, Unde
- chiar și
este o funcție ciudată. Teorema a fost demonstrată.

Definiție 2. Funcția
numit periodic dacă există un număr
, astfel încât pentru orice
numere
și
aparțin și domeniului definiției
și egalitățile

Un astfel de număr T numit perioadă funcții
.

Definiția 1 implică faptul că dacă T– perioada de functionare
, apoi numărul T de asemenea este perioada funcției
(pentru că la înlocuire T pe - T egalitatea este menținută). Folosind metoda inducţiei matematice se poate demonstra că dacă T– perioada de functionare f, apoi și
, este, de asemenea, o perioadă. Rezultă că, dacă o funcție are o perioadă, atunci are infinite de perioade.

Definiție 3. Cea mai mică dintre perioadele pozitive ale unei funcții se numește ei principal perioadă.

Teorema 3. Dacă T este perioada principală a funcției f, atunci perioadele rămase sunt multipli ale acestuia.

Dovada. Presupuneți contrariul, adică că există o perioadă funcții f (>0), nu multiplu T. Apoi, împărțirea pe T cu restul, obținem
, Unde
. De aceea

acesta este – perioada de functionare f, și
, ceea ce contrazice faptul că T este perioada principală a funcției f. Din contradicția obținută decurge afirmația teoremei. Teorema a fost demonstrată.

Este bine cunoscut faptul că funcțiile trigonometrice sunt periodice. Perioada principală
și
egală
,
și
. Aflați perioada funcției
. Lăsa
este perioada acestei funcții. Apoi

(deoarece
.

ororor
.

Sens T, determinată din prima egalitate, nu poate fi o perioadă, deoarece depinde de X, adică este o functie a X, nu un număr constant. Perioada se determină din a doua egalitate:
. Sunt infinite de perioade
cea mai mică perioadă pozitivă se obţine când
:
. Aceasta este perioada principală a funcției
.

Un exemplu de funcție periodică mai complexă este funcția Dirichlet

Rețineți că dacă T este un număr rațional, atunci
și
sunt numere raționale sub rațional Xși irațional când este irațional X. De aceea

pentru orice număr rațional T. Prin urmare, orice număr rațional T este perioada funcției Dirichlet. Este clar că această funcție nu are perioadă principală, deoarece există numere raționale pozitive în mod arbitrar apropiate de zero (de exemplu, un număr rațional poate fi făcut prin alegerea nîn mod arbitrar aproape de zero).

Teorema 4. Dacă funcţia f pus pe platou Xși are o perioadă T, și funcția g pus pe platou
, apoi funcția complexă
are si punct T.

Dovada. Avem prin urmare

adică se demonstrează afirmaţia teoremei.

De exemplu, din moment ce cos X are punct
, apoi funcțiile
au o perioadă
.

Definiție 4. Se numesc funcţiile care nu sunt periodice neperiodică .

Ascundeți afișarea

Modalități de a seta o funcție

Fie funcția dată de formula: y=2x^(2)-3 . Atribuind orice valoare variabilei independente x, puteți utiliza această formulă pentru a calcula valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. De exemplu, dacă x=-0,5 , atunci folosind formula, obținem că valoarea corespunzătoare a lui y este y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Având în vedere orice valoare luată de argumentul x în formula y=2x^(2)-3 , poate fi calculată o singură valoare a funcției care îi corespunde. Funcția poate fi reprezentată sub formă de tabel:

X	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Folosind acest tabel, vă puteți da seama că pentru valoarea argumentului -1, valoarea funcției -3 va corespunde; iar valoarea x=2 va corespunde cu y=0 și așa mai departe. De asemenea, este important de știut că fiecare valoare de argument din tabel corespunde unei singure valori de funcție.

Mai multe funcții pot fi setate folosind grafice. Cu ajutorul graficului se stabilește ce valoare a funcției se corelează cu o anumită valoare a lui x. Cel mai adesea, aceasta va fi o valoare aproximativă a funcției.

Funcția pară și impară

Funcția este chiar funcția, când f(-x)=f(x) pentru orice x din domeniu. O astfel de funcție va fi simetrică față de axa Oy.

Funcția este funcţie ciudată când f(-x)=-f(x) pentru orice x din domeniu. O astfel de funcție va fi simetrică față de originea O (0;0) .

Funcția este nici măcar, nici ciudatși a sunat funcţie vedere generala cand nu are simetrie fata de axa sau origine.

Examinăm următoarea funcție pentru paritate:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) cu un domeniu de definiție simetric despre origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Prin urmare, funcția f(x)=3x^(3)-7x^(7) este impară.

Funcția periodică

Funcția y=f(x) , în domeniul căreia f(x+T)=f(x-T)=f(x) este adevărat pentru orice x, se numește functie periodica cu perioada T \neq 0 .

Repetarea graficului funcției pe orice segment al axei absciselor, care are lungimea T .

Intervale în care funcția este pozitivă, adică f (x) > 0 - segmente ale axei absciselor, care corespund punctelor graficului funcției care se află deasupra axei absciselor.

f(x) > 0 pe (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Lacune în care funcția este negativă, adică f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Limitarea funcției

mărginit de jos se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr A pentru care inegalitatea f(x) \geq A este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1+x^(2)) deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pentru orice x .

mărginit de sus o funcție y=f(x), x \in X este numită dacă există un număr B pentru care inegalitatea f(x) \neq B este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pentru orice x \in [-1;1] .

Limitat se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr K > 0 pentru care inegalitatea \left | f(x) \dreapta | \neq K pentru orice x \in X .

Exemplu funcție limitată: y=\sin x este limitat pe întreaga dreaptă numerică, deoarece \left | \sin x \right | \neq 1.

Funcția de creștere și scădere

Se obișnuiește să se vorbească despre o funcție care crește pe intervalul luat în considerare ca functie de crestere când o valoare mai mare a lui x va corespunde unei valori mai mari a funcției y=f(x) . De aici rezultă că luând din intervalul considerat două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) și x_(1) > x_(2) , va fi y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Se numește o funcție care scade pe intervalul luat în considerare functia descrescatoare când o valoare mai mare a lui x va corespunde unei valori mai mici a funcției y(x) . De aici rezultă că luând din intervalul considerat două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) și x_(1) > x_(2) , va fi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Rădăcinile funcției se obișnuiește să se numească punctele în care funcția F=y(x) intersectează axa absciselor (se obțin ca urmare a rezolvării ecuației y(x)=0 ).

a) Dacă o funcție pară crește pentru x > 0, atunci ea scade pentru x< 0

b) Când o funcție pară scade pentru x > 0, atunci crește pentru x< 0

c) Când o funcție impară crește pentru x > 0, atunci crește și pentru x< 0

d) Când o funcție impară scade pentru x > 0, atunci va scădea și pentru x< 0

Extreme ale funcției

Punct minim al funcției y=f(x) se obișnuiește să se numească un astfel de punct x=x_(0) , în care vecinătatea lui va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0) ), și apoi inegalitatea f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - desemnarea funcției în punctul min.

Funcția punct maxim y=f(x) se obișnuiește să se numească un astfel de punct x=x_(0) , în care vecinătatea lui va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0) ), și apoi inegalitatea f(x) va fi multumit pentru ei< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Stare necesară

Conform teoremei lui Fermat: f"(x)=0, atunci când funcția f(x) , care este diferențiabilă în punctul x_(0) , va apărea un extremum în acest punct.

Stare suficientă

1. Când semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, atunci x_(0) va fi punctul minim;
2. x_(0) - va fi un punct maxim doar atunci când derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul staționar x_(0) .

Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe interval

Etape de calcul:

1. Se caută derivata f"(x) ;
2. Se găsesc punctele staţionare şi critice ale funcţiei şi se aleg cele aparţinând intervalului;
3. Valorile funcției f(x) se găsesc la punctele și capetele staționare și critice ale segmentului. Cel mai mic dintre rezultate va fi cea mai mică valoare a funcției, și altele - cel mai mare.