Transformarea unei ecuații pătratice complete într-una incompletă arată astfel (pentru cazul \(b=0\)):

Pentru cazurile în care \(c=0\) sau când ambii coeficienți sunt egali cu zero, totul este similar.

Vă rugăm să rețineți că \(a\) nu este egal cu zero, nu poate fi egal cu zero, deoarece în acest caz se transformă în:

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

În primul rând, trebuie să înțelegeți că ecuația pătratică incompletă este încă, prin urmare, poate fi rezolvată în același mod ca și ecuația pătratică obișnuită (prin). Pentru a face acest lucru, adăugăm pur și simplu componenta lipsă a ecuației cu un coeficient zero.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(3x^2-27=0\)
Soluţie :

		Avem o ecuație pătratică incompletă cu coeficientul \(b=0\). Adică, putem scrie ecuația în următoarea formă:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		De fapt, aici este aceeași ecuație ca la început, dar acum poate fi rezolvată ca un pătrat obișnuit. Mai întâi notăm coeficienții.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Calculați discriminantul folosind formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Să găsim rădăcinile ecuației folosind formulele \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) și \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Scrieți răspunsul

Răspuns : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(-x^2+x=0\)
Soluţie :

		Din nou, o ecuație pătratică incompletă, dar acum coeficientul \(c\) este egal cu zero. Scriem ecuația ca fiind completă.

Ecuații cuadratice apar adesea în timpul soluției diverse sarcini fizica si matematica. În acest articol, vom analiza cum să rezolvăm aceste egalități într-un mod universal „prin discriminant”. În articol sunt prezentate și exemple de utilizare a cunoștințelor dobândite.

Despre ce ecuații vorbim?

Figura de mai jos prezintă o formulă în care x este o variabilă necunoscută, iar caracterele latine a, b, c reprezintă unele numere cunoscute.

Fiecare dintre aceste simboluri se numește coeficient. După cum puteți vedea, numărul „a” se află în fața variabilei la pătrat x. Aceasta este puterea maximă a expresiei reprezentate, motiv pentru care se numește ecuație pătratică. Un alt nume este adesea folosit: o ecuație de ordinul doi. Valoarea a în sine este un coeficient pătrat (la pătratul variabilei), b este un coeficient liniar (este lângă variabila ridicată la prima putere), iar în final numărul c este un termen liber.

Rețineți că forma ecuației prezentată în figura de mai sus este o expresie pătratică clasică generală. Pe lângă aceasta, există și alte ecuații de ordinul doi în care coeficienții b, c pot fi zero.

Când sarcina este setată să rezolve egalitatea luată în considerare, aceasta înseamnă că trebuie găsite astfel de valori ale variabilei x care să o satisfacă. Primul lucru de reținut aici este următorul: deoarece puterea maximă a lui x este 2, acest tip de expresie nu poate avea mai mult de 2 soluții. Aceasta înseamnă că, dacă, la rezolvarea ecuației, s-au găsit 2 x valori care o satisfac, atunci puteți fi sigur că nu există un al treilea număr, înlocuindu-l pe care în loc de x, egalitatea ar fi și adevărată. Soluțiile unei ecuații din matematică se numesc rădăcinile acesteia.

Metode de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi

Rezolvarea ecuațiilor de acest tip necesită cunoașterea unor teorii despre ele. În cursul școlar de algebră sunt luate în considerare 4 metode diferite de rezolvare. Să le enumerăm:

• folosind factorizarea;
• folosind formula pentru pătratul perfect;
• aplicarea graficului funcției patratice corespunzătoare;
• folosind ecuația discriminantă.

Avantajul primei metode este simplitatea ei, cu toate acestea, nu poate fi aplicată la toate ecuațiile. A doua metodă este universală, dar oarecum greoaie. A treia metodă se distinge prin claritatea sa, dar nu este întotdeauna convenabilă și aplicabilă. Și, în cele din urmă, utilizarea ecuației discriminante este o modalitate universală și destul de simplă de a găsi rădăcinile oricărei ecuații de ordinul doi. Prin urmare, în articol îl vom lua în considerare numai pe asta.

Formula pentru obținerea rădăcinilor ecuației

Să ne întoarcem la forma generală a ecuației pătratice. Să o scriem: a*x²+ b*x + c =0. Înainte de a folosi metoda de rezolvare „prin discriminant”, egalitatea trebuie redusă întotdeauna la forma scrisă. Adică, trebuie să fie compus din trei termeni (sau mai puțin dacă b sau c este 0).

De exemplu, dacă există o expresie: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², atunci mai întâi ar trebui să transferați toți membrii săi într-o parte a egalității și să adăugați termenii care conțin variabila x în același puterile.

LA acest caz această operație va duce la următoarea expresie: -6*x²-4*x+8=0, care este echivalentă cu ecuația 6*x²+4*x-8=0 (aici am înmulțit laturile stânga și dreapta ale ecuația prin -1).

În exemplul de mai sus, a = 6, b=4, c=-8. Rețineți că toți termenii egalității considerate sunt întotdeauna însumați între ei, prin urmare, dacă apare semnul „-”, aceasta înseamnă că coeficientul corespunzător este negativ, ca și numărul c în acest caz.

După ce am analizat acest punct, ne întoarcem acum la formula însăși, care face posibilă obținerea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Arată ca în fotografia de mai jos.

După cum se poate vedea din această expresie, vă permite să obțineți două rădăcini (ar trebui să acordați atenție semnului „±”). Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți coeficienții b, c și a în el.

Conceptul de discriminant

În paragraful anterior, a fost dată o formulă care vă permite să rezolvați rapid orice ecuație de ordinul doi. În ea, expresia radicală se numește discriminant, adică D \u003d b²-4 * a * c.

De ce este evidențiată această parte a formulei și are chiar propriul nume? Faptul este că discriminantul conectează toți cei trei coeficienți ai ecuației într-o singură expresie. Ultimul fapt înseamnă că transportă complet informații despre rădăcini, care pot fi exprimate prin următoarea listă:

1. D>0: egalitatea are 2 diverse solutii, ambele fiind numere reale.
2. D=0: Ecuația are o singură rădăcină și este un număr real.

Sarcina de a determina discriminantul

Iată un exemplu simplu despre cum să găsiți discriminantul. Să fie dată următoarea egalitate: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Să o aducem la forma standard, obținem: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, de la care ajungem la egalitate : -2*x² +2*x-11 = 0. Aici a=-2, b=2, c=-11.

Acum puteți folosi formula numită pentru discriminant: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Numărul rezultat este răspunsul la sarcină. Deoarece discriminantul din exemplu este mai mic decât zero, putem spune că această ecuație pătratică nu are rădăcini reale. Soluția sa va fi doar numere de tip complex.

Un exemplu de inegalitate prin discriminant

Să rezolvăm probleme de un tip ușor diferit: este dată egalitatea -3*x²-6*x+c = 0. Este necesar să găsim astfel de valori ale lui c pentru care D>0.

În acest caz se cunosc doar 2 din 3 coeficienți, deci nu se va putea calcula valoarea exactă a discriminantului, dar se știe că este pozitiv. Utilizăm ultimul fapt la compilarea inegalității: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rezolvarea inegalitatii obtinute conduce la rezultatul: c>-3.

Să verificăm numărul rezultat. Pentru a face acest lucru, calculăm D pentru 2 cazuri: c=-2 și c=-4. Numărul -2 satisface rezultatul (-2>-3), discriminantul corespunzător va avea valoarea: D = 12>0. La rândul său, numărul -4 nu satisface inegalitatea (-4Astfel, orice numere c care sunt mai mari decât -3 vor îndeplini condiția.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații

Iată o problemă care constă nu numai în găsirea discriminantului, ci și în rezolvarea ecuației. Este necesar să găsiți rădăcinile pentru egalitatea -2*x²+7-9*x = 0.

În acest exemplu, discriminantul este egal cu următoarea valoare: D = 81-4*(-2)*7= 137. Atunci rădăcinile ecuației sunt determinate după cum urmează: x = (9±√137)/(- 4). Acestea sunt valorile exacte ale rădăcinilor, dacă calculați aproximativ rădăcina, atunci obțineți numerele: x \u003d -5,176 și x \u003d 0,676.

problema geometrica

Vom rezolva o problemă care va necesita nu numai capacitatea de a calcula discriminantul, ci și utilizarea aptitudinilor gândire abstractăși cunoașterea modului de scriere a ecuațiilor pătratice.

Bob avea o pilota de 5 x 4 metri. Băiatul a vrut să coasă o fâșie continuă de material frumos pe tot perimetrul. Cât de groasă va fi această bandă dacă se știe că Bob are 10 m² de material textil.

Lăsați banda să aibă o grosime de x m, atunci aria țesăturii de-a lungul părții lungi a păturii va fi (5 + 2 * x) * x și, deoarece există 2 laturi lungi, avem: 2 * x * (5 + 2 * x). Pe partea scurtă, aria țesăturii cusute va fi de 4*x, deoarece există 2 dintre aceste laturi, obținem valoarea 8*x. Rețineți că 2*x a fost adăugat la partea lungă, deoarece lungimea pilotei a crescut cu acel număr. Suprafața totală a țesăturii cusute pe pătură este de 10 m². Prin urmare, obținem egalitatea: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Pentru acest exemplu, discriminantul este: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Rădăcina sa este 22. Folosind formula, găsim rădăcinile dorite: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0,5). Evident, dintre cele două rădăcini, doar numărul 0,5 este potrivit pentru starea problemei.

Astfel, fâșia de material pe care Bob o coase pe pătură va avea 50 cm lățime.

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea trinom pătrat. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factorizării.

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile ecuației pătratice sunt cunoscute, atunci polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

În plus, presupunem că sunt numere reale.
Considera discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătrat are forma:
.
Dacă discriminantul zero, , atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă se construiește graficul funcției
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul intersectează axa (axa) absciselor în două puncte.
Când , graficul atinge axa x la un moment dat.
Când , graficul nu traversează axa x.

Mai jos sunt exemple de astfel de grafice.

Formule utile legate de ecuația cuadratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru polinomul de gradul doi sub forma:
.
Din aceasta se poate observa că ecuația

efectuat la
și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

Soluţie

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem descompunerea trinomului pătrat în factori:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 traversează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa x (axa) în două puncte:
și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

Răspuns

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Soluţie

Scriem ecuația pătratică în vedere generala:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește multiplu. Adică, ei consideră că există două rădăcini egale:
.

Răspuns

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Soluţie

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi


.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu traversează abscisa (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Răspuns

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Cu acest program de matematică poți rezolva ecuația pătratică.

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare în două moduri:
- folosirea discriminantului
- folosind teorema Vieta (dacă este posibil).

Mai mult, răspunsul este afișat exact, nu aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \(81x^2-16x-1=0\), răspunsul este afișat sub această formă:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ în loc de aceasta: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Acest program poate fi util elevilor de liceu scoli de invatamant generalîn pregătire pentru munca de controlși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai curând posibil? teme pentru acasă matematica sau algebra? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui polinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătrat

Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracții.
În plus, numere fracționare poate fi introdus nu numai ca zecimală, ci și ca fracție obișnuită.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională din întreg poate fi separată fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale deci: 2,5x - 3,5x^2

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ.

Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
întreaga parte separate de fracție printr-un ampersand: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

La introducerea unei expresii puteți folosi paranteze. În acest caz, la rezolvarea unei ecuații pătratice, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Decide

S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Aveți JavaScript dezactivat în browser.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.

pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Asteapta te rog sec...

daca tu am observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Un pic de teorie.

Ecuația pătratică și rădăcinile ei. Ecuații patratice incomplete

Fiecare dintre ecuații
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
are forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere.
În prima ecuație a = -1, b = 6 și c = 1,4, în a doua a = 8, b = -7 și c = 0, în a treia a = 1, b = 0 și c = 4/9. Astfel de ecuații se numesc ecuații pătratice.

Definiție.
ecuație pătratică se numește o ecuație de forma ax 2 +bx+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \).

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice. Numărul a se numește primul coeficient, numărul b este al doilea coeficient și numărul c este intersecția.

În fiecare dintre ecuațiile de forma ax 2 +bx+c=0, unde \(a \neq 0 \), cea mai mare putere a variabilei x este un pătrat. De aici și numele: ecuație pătratică.

Rețineți că o ecuație pătratică se mai numește și ecuație de gradul doi, deoarece partea stângă este un polinom de gradul doi.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul la x 2 este 1 ecuație pătratică redusă. De exemplu, ecuațiile pătratice date sunt ecuațiile
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Dacă în ecuația pătratică ax 2 +bx+c=0 cel puțin unul dintre coeficienții b sau c este egal cu zero, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică incompletă. Deci, ecuațiile -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sunt ecuații patratice incomplete. În primul dintre ele b=0, în al doilea c=0, în al treilea b=0 și c=0.

Ecuațiile patratice incomplete sunt de trei tipuri:
1) ax 2 +c=0, unde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, unde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Luați în considerare soluția ecuațiilor fiecăruia dintre aceste tipuri.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0 pentru \(c \neq 0 \), termenul său liber este transferat la partea dreaptași împărțiți ambele părți ale ecuației la a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Deoarece \(c \neq 0 \), atunci \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Dacă \(-\frac(c)(a)>0 \), atunci ecuația are două rădăcini.

Dacă \(-\frac(c)(a) Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 pentru \(b \neq 0 \) factorizați partea stângă și obțineți ecuația
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrice)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrice) \right. \)

Prin urmare, o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 pentru \(b \neq 0 \) are întotdeauna două rădăcini.

O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 \u003d 0 este echivalentă cu ecuația x 2 \u003d 0 și, prin urmare, are o singură rădăcină 0.

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să considerăm acum cum se rezolvă ecuațiile pătratice în care ambii coeficienți ai necunoscutelor și termenul liber sunt nenuli.

Rezolvăm ecuația pătratică în formă generală și ca rezultat obținem formula rădăcinilor. Apoi această formulă poate fi aplicată pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

Rezolvați ecuația pătratică ax 2 +bx+c=0

Împărțind ambele părți cu a, obținem ecuația pătratică redusă echivalentă
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformăm această ecuație prin evidențierea pătratului binomului:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Expresia rădăcină se numește discriminant al unei ecuații pătratice ax 2 +bx+c=0 („discriminant” în latină - distinctor). Este notat cu litera D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Acum, folosind notația discriminantului, rescriem formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), unde \(D= b^2-4ac \)

Este evident ca:
1) Dacă D>0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini.
2) Dacă D=0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Dacă D Astfel, în funcție de valoarea discriminantului, ecuația pătratică poate avea două rădăcini (pentru D > 0), o rădăcină (pentru D = 0) sau fără rădăcini (pentru D Când se rezolvă o ecuație pătratică folosind această formulă , este recomandabil să procedați în felul următor:
1) calculați discriminantul și comparați-l cu zero;
2) dacă discriminantul este pozitiv sau egal cu zero, atunci utilizați formula rădăcinii, dacă discriminantul este negativ, atunci scrieți că nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Ecuația pătratică dată ax 2 -7x+10=0 are rădăcinile 2 și 5. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul este 10. Vedem că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient, luat cu semn opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Acestea. Teorema lui Vieta afirmă că rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 au proprietatea:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Primul nivel

Ecuații cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

În termenul „ecuație pătratică” cuvântul cheie este „quadratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să conțină în mod necesar o variabilă (același X) în pătrat și, în același timp, nu ar trebui să existe X-uri în gradul trei (sau mai mare).

Soluția multor ecuații se reduce la soluția ecuațiilor pătratice.

Să învățăm să determinăm că avem o ecuație pătratică și nu alta.

Exemplul 1

Scăpați de numitor și înmulțiți fiecare termen al ecuației cu

Să mutăm totul în partea stângă și să aranjam termenii în ordinea descrescătoare a puterilor lui x

Acum putem spune cu încredere că această ecuație este pătratică!

Exemplul 2

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este un pătrat!

Exemplul 3

Să înmulțim totul cu:

Infricosator? Gradul al patrulea și al doilea... Totuși, dacă facem o înlocuire, vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:

Exemplul 4

Se pare că este, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:

Vedeți, s-a micșorat - și acum este o simplă ecuație liniară!

Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:

Exemple:

Raspunsuri:

1. pătrat;
2. pătrat;
3. nu pătrat;
4. nu pătrat;
5. nu pătrat;
6. pătrat;
7. nu pătrat;
8. pătrat.

Matematicienii împart în mod condiționat toate ecuațiile pătratice în următoarele tipuri:

• Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber c, nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete, există dat sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)

• Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

  Sunt incomplete deoarece lipsește un element din ele. Dar ecuația trebuie să conțină întotdeauna x pătrat !!! În caz contrar, nu va mai fi o ecuație pătratică, ci o altă ecuație.

De ce au venit cu o asemenea împărțire? S-ar părea că există un X pătrat, și bine. O astfel de împărțire se datorează metodelor de soluție. Să luăm în considerare fiecare dintre ele mai detaliat.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai simple!

Ecuațiile patratice incomplete sunt de tipuri:

1. , în această ecuație coeficientul este egal.
2. , în această ecuație termenul liber este egal cu.
3. , în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

1. i. Din moment ce știm să extragem Rădăcină pătrată, atunci să exprimăm din această ecuație

Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțim două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.

Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru este că ar trebui să știți întotdeauna și să vă amintiți că nu poate fi mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Rezolvați ecuația

Acum rămâne să extragi rădăcina din părțile din stânga și din dreapta. La urma urmei, îți amintești cum să extragi rădăcinile?

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!!!

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Rezolvați ecuația

Ai! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini!

Pentru astfel de ecuații în care nu există rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:

Rezolvați ecuația

Să scoatem factorul comun din paranteze:

În acest fel,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Aici ne vom descurca fără exemple.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Vă reamintim că ecuația pătratică completă este o ecuație a ecuației de formă unde

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai complicată (doar puțin) decât cele date.

Tine minte, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul! Chiar incomplet.

Restul metodelor te vor ajuta să o faci mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind discriminantul.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este foarte simplă, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are o rădăcină.O atenție deosebită trebuie acordată pasului. Discriminantul () ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci formula de la pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
• Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9:

Rezolvați ecuația

Pasul 1 ocolire.

Pasul 2

Găsirea discriminantului:

Deci ecuația are două rădăcini.

Pasul 3

Răspuns:

Exemplul 10:

Rezolvați ecuația

Ecuația este în formă standard, deci Pasul 1 ocolire.

Pasul 2

Găsirea discriminantului:

Deci ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Rezolvați ecuația

Ecuația este în formă standard, deci Pasul 1 ocolire.

Pasul 2

Găsirea discriminantului:

Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina din discriminant. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema Vieta.

Dacă vă amintiți, atunci există un astfel de tip de ecuații care se numesc reduse (când coeficientul a este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Exemplul 12:

Rezolvați ecuația

Această ecuație este potrivită pentru rezolvare folosind teorema lui Vieta, deoarece .

Suma rădăcinilor ecuației este, i.e. obținem prima ecuație:

Iar produsul este:

Să creăm și să rezolvăm sistemul:

• și. Suma este;
• și. Suma este;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Rezolvați ecuația

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscut, - unele numere, de altfel.

Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru liber.

De ce? Pentru că dacă, ecuația va deveni imediat liniară, deoarece va disparea.

În acest caz, și poate fi egal cu zero. În această ecuație de scaun se numește incomplet. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.

Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:

Pentru început, vom analiza metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Se pot distinge următoarele tipuri de ecuații:

I. , în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

II. , în această ecuație coeficientul este egal.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum luați în considerare soluția fiecăruia dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr la pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțim două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă avem două rădăcini

Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a scrie pe scurt că problema nu are soluții, folosim pictograma set goală.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Factorizăm partea stângă a ecuației și găsim rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina discriminantului în formula rădăcinii? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce să fac? Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci ecuația are rădăcină:
• Dacă, atunci ecuația are aceeași rădăcină, dar de fapt, o rădăcină:

  Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.

• Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce este posibil sumă diferită rădăcini? Să ne întoarcem la sens geometric ecuație pătratică. Graficul funcției este o parabolă:

Într-un caz particular, care este o ecuație pătratică, . Și aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației pătratice sunt punctele de intersecție cu axa x (axa). Este posibil ca parabola să nu traverseze deloc axa sau o poate intersecta într-unul (când partea superioară a parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă - atunci în jos.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Răspuns: .

Răspuns:

Asta înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Folosirea teoremei Vieta este foarte ușoară: trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai la date ecuații pătratice ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul #1:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație este potrivită pentru rezolvare folosind teorema lui Vieta, deoarece . Alți coeficienți: ; .

Suma rădăcinilor ecuației este:

Iar produsul este:

Să selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

• și. Suma este;
• și. Suma este;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; .

Exemplul #2:

Soluţie:

Selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și apoi verificăm dacă suma lor este egală:

si: da in total.

si: da in total. Pentru a-l obține, trebuie doar să schimbați semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, produsul.

Răspuns:

Exemplul #3:

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor - un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Deci suma rădăcinilor este diferențele modulelor lor.

Selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este - nepotrivit;

și: - nu este adecvat;

și: - nu este adecvat;

şi: - potrivite. Rămâne doar să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, atunci rădăcina, care este mai mică în valoare absolută, trebuie să fie negativă: . Verificăm:

Răspuns:

Exemplul #4:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Selectăm astfel de perechi de numere al căror produs este egal și apoi determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:

Evident, numai rădăcini și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul #5:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini sunt minus.

Selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal cu:

Evident, rădăcinile sunt numerele și.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil - să inventați rădăcinile oral, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.

Dar teorema Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor. Pentru a vă face profitabil să îl folosiți, trebuie să aduceți acțiunile la automatism. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi discriminantul! Doar teorema lui Vieta:

Soluții pentru sarcini pentru munca independentă:

Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Conform teoremei lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu produsul:

Nu este potrivit pentru că suma;

: suma este ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; .

Sarcina 2.

Și din nou, teorema noastră preferată Vieta: suma ar trebui să funcționeze, dar produsul este egal.

Dar din moment ce nu ar trebui să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; .

Sarcina 3.

Hmm... Unde este?

Este necesar să transferați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Da, oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date. Deci mai întâi trebuie să aduceți ecuația. Dacă nu o puteți aduce în discuție, renunțați la această idee și rezolvați-o într-un alt mod (de exemplu, prin discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a aduce o ecuație pătratică înseamnă a face coeficientul de conducere egal cu:

Excelent. Atunci suma rădăcinilor este egală, iar produsul.

Este mai ușor să ridici aici: până la urmă - un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; .

Sarcina 4.

Termenul liber este negativ. Ce are atât de special? Și faptul că rădăcinile vor fi de semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, ci produsul.

Deci, rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este cu minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; .

Sarcina 5.

Ce trebuie făcut mai întâi? Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:

Rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor trebuie să fie egală, ceea ce înseamnă că cu un minus va exista o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; .

Lasă-mă să rezum:

1. Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
2. Folosind teorema Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
3. Dacă ecuația nu este dată sau nu a fost găsită o pereche adecvată de factori ai termenului liber, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să o rezolvați în alt mod (de exemplu, prin discriminant).

3. Metoda de selecție a pătratului complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați ca termeni din formulele de înmulțire prescurtată - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după schimbarea variabilelor, ecuația poate fi reprezentată ca o ecuație pătratică incompletă de tip.

De exemplu:

Exemplul 1:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nu-ți aduce aminte de nimic? Este discriminatorul! Exact așa s-a obținut formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Ecuație cuadratică este o ecuație de formă, unde este necunoscuta, sunt coeficienții ecuației pătratice, este termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egale cu zero:

• dacă coeficientul, ecuația are forma: ,
• dacă este un termen liber, ecuația are forma: ,
• dacă și, ecuația are forma: .

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Exprimați necunoscutul: ,

2) Verificați semnul expresiei:

• dacă, atunci ecuația nu are soluții,
• dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să luăm factorul comun din paranteze: ,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție folosind discriminantul

1) Să aducem ecuația la forma standard: ,

2) Calculați discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

• dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
• dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
• dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (o ecuație de formă, unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Soluție pătrat complet