În acest articol, ne vom uita la operații de bază cu fracții algebrice:

• reducerea fracției
• înmulțirea fracțiilor
• împărțirea fracțiilor

Sa incepem cu tăieturi fracții algebrice .

S-ar părea că, algoritm evident.

La reduce fracțiile algebrice, nevoie

1. Factorizați numărătorul și numitorul unei fracții.

2. Reduceți aceiași multiplicatori.

Totuși, școlarii fac adesea greșeala de a „reduce” nu factorii, ci termenii. De exemplu, sunt amatori care „reduc” cu fracții și obțin ca rezultat, ceea ce, desigur, nu este adevărat.

Luați în considerare exemple:

1. Reduce fracția:

1. Factorizăm numărătorul după formula pătratului sumei, iar numitorul după formula diferenței de pătrate

2. Împărțiți numărătorul și numitorul la

2. Reduce fracția:

1. Factorizează numărătorul. Deoarece numărătorul conține patru termeni, aplicăm gruparea.

2. Factorizați numitorul. Același lucru este valabil și pentru grupare.

3. Să notăm fracția pe care am obținut-o și să reducem aceiași factori:

Înmulțirea fracțiilor algebrice.

Când înmulțim fracții algebrice, înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.

Important! Nu este nevoie să vă grăbiți pentru a efectua înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții. După ce am scris produsul dintre numărătorii fracțiilor în numărător și produsul numitorilor în numitor, trebuie să factorăm fiecare factor și să reducem fracția.

Luați în considerare exemple:

3. Simplificați expresia:

1. Să scriem produsul fracțiilor: la numărător produsul numărătorilor, iar la numitor produsul numitorilor:

2. Factorizăm fiecare paranteză:

Acum trebuie să reducem aceiași multiplicatori. Rețineți că expresiile și diferă doar prin semn: iar ca urmare a împărțirii primei expresii la a doua, obținem -1.

Asa de,

Efectuăm împărțirea fracțiilor algebrice după următoarea regulă:

Acesta este Pentru a împărți cu o fracție, trebuie să înmulțiți cu cea „inversată”.

Vedem că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire și înmulțirea se rezumă în cele din urmă la reducerea fracțiilor.

Luați în considerare un exemplu:

4. Simplificați expresia:

Pentru a înțelege cum să reduceți fracțiile, să ne uităm mai întâi la un exemplu.

A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același. Atât 360, cât și 420 se termină într-un număr, deci putem reduce această fracție cu 2. În noua fracție, atât 180, cât și 210 sunt de asemenea divizibile cu 2, reducem această fracție cu 2. În numerele 90 și 105, suma dintre cifrele sunt divizibile cu 3, deci ambele numere sunt divizibile cu 3, reducem fracția cu 3. În noua fracție, 30 și 35 se termină în 0 și 5, ceea ce înseamnă că ambele numere sunt divizibile cu 5, deci reducem fracția cu 5. Fracția rezultată, șase șaptimi, este ireductibilă. Acesta este răspunsul final.

Putem ajunge la același răspuns într-un mod diferit.

Atât 360, cât și 420 se termină cu zero, ceea ce înseamnă că sunt divizibili cu 10. Reducem fracția cu 10. În noua fracție, atât numărătorul 36, cât și numitorul 42 sunt împărțiți la 2. Reducem fracția cu 2. În următoarea fracție, atât numărătorul 18, cât și numitorul 21 sunt împărțite la 3, ceea ce înseamnă că reducem fracția cu 3. Am ajuns la rezultat - șase șaptimi.

Și încă o soluție.

Data viitoare vom lua în considerare exemple de reducere a fracțiilor.

Acest articol continuă tema transformării fracțiilor algebrice: considerați o astfel de acțiune ca reducerea fracțiilor algebrice. Să definim termenul în sine, să formulăm regula de abreviere și să analizăm exemple practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înțeles abrevierea fracțiunii algebrice

În materialele de pe fracția obișnuită, am luat în considerare reducerea acesteia. Am definit reducerea unei fracții comune ca împărțirea numărătorului și numitorului acesteia la un factor comun.

Reducerea unei fracții algebrice este o operație similară.

Definiția 1

Reducerea fracțiilor algebrice este împărțirea numărătorului și numitorului său cu un factor comun. În acest caz, spre deosebire de reducerea unei fracții obișnuite (doar un număr poate fi numitor comun), un polinom, în special un monom sau un număr, poate servi ca factor comun pentru numărătorul și numitorul unei fracții algebrice.

De exemplu, fracția algebrică 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 poate fi redusă cu numărul 3, ca rezultat obținem: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Putem reduce aceeași fracție cu variabila x, iar aceasta ne va da expresia 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . De asemenea, este posibilă reducerea unei fracții date cu un monom 3 x sau oricare dintre polinoame x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y sau 3 x 2 + 6 x y.

Scopul final al reducerii unei fracții algebrice este o fracție dintr-o formă mai simplă, în cel mai bun caz o fracție ireductibilă.

Sunt toate fracțiile algebrice supuse reducerii?

Din nou, din materialele pe fracții obișnuite, știm că există fracții reductibile și ireductibile. Ireductibile - acestea sunt fracții care nu au factori comuni ai numărătorului și numitorului, alții decât 1.

Cu fracțiile algebrice, totul este la fel: pot avea sau nu factori comuni ai numărătorului și numitorului. Prezența factorilor comuni vă permite să simplificați fracția originală prin reducere. Când nu există factori comuni, este imposibil să optimizați o anumită fracție prin metoda reducerii.

În cazuri generale, pentru un anumit tip de fracție, este destul de dificil de înțeles dacă este supusă reducerii. Desigur, în unele cazuri, prezența unui factor comun al numărătorului și numitorului este evidentă. De exemplu, în fracția algebrică 3 · x 2 3 · y este destul de clar că factorul comun este numărul 3 .

Într-o fracție - x · y 5 · x · y · z 3 înțelegem imediat că este posibil să o reducem cu x, sau y, sau cu x · y. Și totuși, exemplele de fracții algebrice sunt mult mai frecvente, atunci când factorul comun al numărătorului și numitorului nu este atât de ușor de văzut și chiar mai des - este pur și simplu absent.

De exemplu, putem reduce fracția x 3 - 1 x 2 - 1 cu x - 1, în timp ce factorul comun specificat nu este în înregistrare. Dar fracția x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 nu poate fi redusă, deoarece numărătorul și numitorul nu au un factor comun.

Astfel, problema de a afla contractibilitatea unei fracții algebrice nu este atât de simplă și este adesea mai ușor să lucrezi cu o fracție dintr-o formă dată decât să încerci să afli dacă aceasta este contractabilă. În acest caz, există astfel de transformări care în cazuri particulare ne permit să determinăm factorul comun al numărătorului și numitorului sau să concluzionam că fracția este ireductibilă. Vom analiza această problemă în detaliu în următorul paragraf al articolului.

Regula de reducere a fracțiilor algebrice

Regula de reducere a fracțiilor algebrice constă din două etape consecutive:

• găsirea factorilor comuni ai numărătorului și numitorului;
• în cazul constatării acestora, implementarea acţiunii directe de reducere a fracţiei.

Cea mai convenabilă metodă pentru găsirea numitorilor comuni este factorizarea polinoamelor prezente în numărătorul și numitorul unei fracții algebrice date. Acest lucru vă permite să vedeți vizual imediat prezența sau absența factorilor comuni.

Însăși acțiunea de reducere a unei fracții algebrice se bazează pe proprietatea principală a unei fracții algebrice, exprimată prin egalitatea nedefinită , unde a , b , c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero. Primul pas este reducerea fracției la forma a c b c , în care observăm imediat factorul comun c . Al doilea pas este efectuarea reducerii, adică. trecerea la o fracție de forma a b .

Exemple tipice

În ciuda unor evidente, să clarificăm cazul special când numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt egale. Fracțiile similare sunt identic egale cu 1 pe întreaga ODZ a variabilelor acestei fracții:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Pentru că fracții comune sunt un caz special de fracții algebrice, să ne amintim cum se realizează reducerea lor. Numerele naturale scrise la numărător și numitor sunt descompuse în factori primi, apoi factorii comuni se reduc (dacă există).

De exemplu, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Produsul factorilor simpli identici poate fi scris ca grade, iar în procesul de reducere a fracțiilor, folosiți proprietatea de a împărți grade cu aceleași baze. Atunci soluția de mai sus ar fi:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numeratorul și numitorul împărțite la un factor comun 2 2 3). Sau, pentru claritate, pe baza proprietăților înmulțirii și împărțirii, vom da soluției următoarea formă:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Prin analogie, se realizează reducerea fracțiilor algebrice, în care numărătorul și numitorul au monomii cu coeficienți întregi.

Exemplul 1

Dată o fracție algebrică - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Trebuie redus.

Soluţie

Este posibil să scrieți numărătorul și numitorul unei fracții date ca produs factori primiși variabile, apoi reduceți:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Cu toate acestea, o modalitate mai rațională ar fi să scrieți soluția ca o expresie cu puteri:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Răspuns:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Când există coeficienți numerici fracționari în numărătorul și numitorul unei fracții algebrice, există două moduri posibile de acțiuni ulterioare: fie împărțiți separat acești coeficienți fracționari, fie scăpați mai întâi de coeficienții fracționali prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu câteva numar natural. Ultima transformare se realizează datorită proprietății principale a unei fracții algebrice (puteți citi despre aceasta în articolul „Reducerea unei fracții algebrice la un nou numitor”).

Exemplul 2

Dată o fracție 2 5 x 0 , 3 x 3 . Trebuie redus.

Soluţie

Este posibil să se reducă fracția în acest fel:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Să încercăm să rezolvăm problema diferit, scăpând anterior de coeficienții fracționali - înmulțim numărătorul și numitorul cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor coeficienți, adică. pe LCM(5, 10) = 10. Atunci obținem:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Răspuns: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Când reducem fracțiile algebrice vedere generala, în care numărătorii și numitorii pot fi atât monomii, cât și polinoame, o problemă este posibilă atunci când factorul comun nu este întotdeauna vizibil imediat. Sau mai mult decât atât, pur și simplu nu există. Apoi, pentru a determina factorul comun sau pentru a fixa faptul absenței acestuia, numărătorul și numitorul fracției algebrice sunt factorizați.

Exemplul 3

Dată o fracție rațională 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Trebuie scurtat.

Soluţie

Să factorizăm polinoamele în numărător și numitor. Să facem parantezele:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vedem că expresia dintre paranteze poate fi convertită folosind formulele de înmulțire abreviate:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Se vede clar că este posibil să se reducă fracția printr-un factor comun b 2 (a + 7). Să facem o reducere:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Scriem o soluție scurtă fără explicații ca un lanț de egalități:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Răspuns: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Se întâmplă ca factorii comuni să fie ascunși de coeficienți numerici. Apoi, la reducerea fracțiilor, este optim să se scoată factorii numerici la puteri mai mari ale numărătorului și numitorului.

Exemplul 4

Dată o fracție algebrică 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Ar trebui redus dacă este posibil.

Soluţie

La prima vedere, numărătorul și numitorul nu au un numitor comun. Cu toate acestea, să încercăm să convertim fracția dată. Să scoatem factorul x din numărător:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Acum puteți vedea o oarecare similitudine între expresia dintre paranteze și expresia din numitor datorită x 2 y . Să scoatem coeficienții numerici la puteri mai mari ai acestor polinoame:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Acum multiplicatorul comun devine vizibil, efectuăm reducerea:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Răspuns: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Să subliniem că abilitatea de a reduce fracțiile raționale depinde de capacitatea de a factoriza polinoame.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Ultima dată am făcut un plan, în urma căruia, puteți învăța cum să reduceți rapid fracțiile. Acum luați în considerare exemple specifice de reducere a fracțiilor.

Exemple.

Verificăm dacă un număr mai mare este divizibil cu unul mai mic (numărător cu numitor sau numitor cu numărător)? Da, în toate aceste trei exemple, numărul mai mare este divizibil cu cel mai mic. Astfel, reducem fiecare fracție cu cea mai mică dintre numere (cu numărător sau numitor). Avem:

Verificați dacă numărul mai mare este divizibil cu cel mai mic? Nu, nu se distribuie.

Apoi trecem la verificarea următorului punct: înregistrarea numărătorului și numitorului se termină cu unul, două sau mai multe zerouri? În primul exemplu, numărătorul și numitorul se termină cu zero, în al doilea - cu două zerouri, în al treilea - cu trei zerouri. Deci, reducem prima fracție cu 10, a doua cu 100 și a treia cu 1000:

Obțineți fracții ireductibile.

Un număr mai mare nu este divizibil cu unul mai mic, înregistrarea numerelor nu se termină cu zerouri.

Acum verificăm dacă numărătorul și numitorul sunt în aceeași coloană în tabelul înmulțirii? 36 și 81 sunt ambele divizibile cu 9, 28 și 63 - cu 7, iar 32 și 40 - cu 8 (sunt și divizibile cu 4, dar dacă există o alegere, vom reduce întotdeauna cu mai mult). Astfel, ajungem la răspunsuri:

Toate numerele rezultate sunt fracții ireductibile.

Un număr mai mare nu este divizibil cu unul mai mic. Dar înregistrarea atât a numărătorului, cât și a numitorului se termină cu zero. Deci, reducem fracția cu 10:

Această fracție poate fi încă redusă. Verificăm conform tabelului înmulțirii: atât 48 cât și 72 se împart la 8. Reducem fracția cu 8:

De asemenea, putem reduce fracția rezultată cu 3:

Această fracție este ireductibilă.

Numărul mai mare nu este divizibil cu cel mai mic. Înregistrarea numărătorului și numitorului se termină cu zero. Deci, reducem fracția cu 10.

Verificăm numerele obținute la numărător și numitor pentru și . Deoarece suma cifrelor lui 27 și 531 este divizibilă cu 3 și 9, această fracție poate fi redusă atât cu 3, cât și cu 9. O alegem pe cea mai mare și o reducem cu 9. Rezultatul este o fracție ireductibilă.

La prima vedere, fracțiile algebrice par foarte complicate, iar un elev nepregătit poate crede că este imposibil să faci ceva cu ele. Adunarea de variabile, numere și chiar puteri inspiră frică. Cu toate acestea, aceleași reguli sunt folosite pentru a reduce fracțiile (cum ar fi 15/25) și fracțiile algebrice.

Pași

Reducerea fracțiilor

Consultați pașii pentru fracții simple. Operațiile cu fracțiile ordinare și algebrice sunt similare. De exemplu, luați fracția 15/35. Pentru a simplifica această fracție, găsi divizor comun . Ambele numere sunt divizibile cu cinci, așa că putem extrage 5 la numărător și numitor:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Acum poti reduce factorii comuni, adică tăiați 5 la numărător și numitor. Ca rezultat, obținem o fracție simplificată 3/7 . În expresiile algebrice, factorii comuni se disting în același mod ca și în cei obișnuiți. În exemplul anterior, am putut extrage cu ușurință 5 din 15 - același principiu se aplică expresiilor mai complexe, cum ar fi 15x - 5. Să găsim factorul comun. LA acest caz acesta va fi 5, deoarece ambii termeni (15x și -5) sunt divizibili cu 5. Ca și înainte, extragem factorul comun și îl transferăm La stânga.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Pentru a verifica dacă totul este corect, este suficient să înmulțiți expresia dintre paranteze cu 5 - rezultatul va fi aceleași numere care erau la început. Membri compuși pot fi distinse la fel ca cele simple. Pentru fracțiile algebrice se aplică aceleași principii ca și pentru fracțiile obișnuite. Acesta este cel mai simplu mod de a reduce o fracție. Luați în considerare următoarea fracție:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Rețineți că atât numărătorul (sus) cât și numitorul (jos) au un termen (x+2), deci poate fi redus în același mod ca factorul comun 5 în 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Ca rezultat, obținem o expresie simplificată: (x-3)/(x+10)

Reducerea fracțiilor algebrice

Găsiți factorul comun în numărător, adică în partea de sus a fracției. Când reduceți o fracție algebrică, primul pas este simplificarea ambelor părți. Începeți cu numărătorul și încercați să-l descompuneți în cât mai multe posibil Mai mult multiplicatori. Luați în considerare în această secțiune următoarea fracție:

9x-3 15x+6

Să începem cu numărătorul: 9x - 3. Pentru 9x și -3, factorul comun este numărul 3. Să luăm 3 din paranteze, așa cum facem cu numerele obișnuite: 3 * (3x-1). În urma acestei transformări, se va obține următoarea fracție:

3(3x-1) 15x+6

Găsiți factorul comun în numărător. Să continuăm execuția exemplului de mai sus și să scriem numitorul: 15x+6. Ca și înainte, aflăm cu ce număr ambele părți sunt divizibile. Și în acest caz factorul comun este 3, deci putem scrie: 3 * (5x +2). Să rescriem fracția în următoarea formă:

3(3x-1) 3(5x+2)

Reduceți termenii identici. În acest pas, puteți simplifica fracția. Anulați aceiași termeni la numărător și numitor. În exemplul nostru, acest număr este 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Stabiliți că fracția are cea mai simplă formă. O fracție este complet simplificată atunci când nu mai există factori comuni în numărător și numitor. Rețineți că nu puteți abrevia acei termeni care se află în paranteze - în exemplul de mai sus, nu există nicio modalitate de a extrage x din 3x și 5x, deoarece (3x -1) și (5x + 2) sunt membri cu drepturi depline. Astfel, fracția nu este supusă unei simplificări suplimentare, iar răspunsul final este următorul:

(3x-1)(5x+2)

Exersați singuri reducerea fracțiilor. Cel mai bun modÎnvățați metoda este de a rezolva în mod independent problemele. Răspunsurile corecte sunt date mai jos de exemple.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Răspuns:(x=13)

2x 2-x 5x

Răspuns:(2x-1)/5

Mișcări speciale

Mutați semnul negativ din fracție. Să presupunem că ni se dă următoarea fracție:

3(x-4) 5(4x)

Rețineți că (x-4) și (4-x) sunt „aproape” identice, dar nu pot fi anulate definitiv, deoarece sunt „întors”. Cu toate acestea, (x - 4) poate fi scris ca -1 * (4 - x), la fel cum (4 + 2x) poate fi scris ca 2 * (2 + x). Aceasta se numește „inversarea semnelor”.

-1*3(4-x) 5(4x)

Acum puteți reduce aceiași termeni (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Deci iată răspunsul final: -3/5 . Învață să recunoști diferența de pătrate. Diferența de pătrate este atunci când pătratul unui număr este scăzut din pătratul altui număr, ca în expresia (a 2 - b 2). diferență pătrate pline poate fi întotdeauna descompusă în două părți - suma și diferența dintre corespunzătoare rădăcini pătrate. Atunci expresia va lua următoarea formă:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Acest truc este foarte util atunci când căutați termeni comuni în fracțiile algebrice.

• Verificați dacă ați factorizat corect cutare sau cutare expresie. Pentru a face acest lucru, înmulțiți factorii - rezultatul ar trebui să fie aceeași expresie.
• Pentru a simplifica complet o fracție, selectați întotdeauna cei mai mari factori.