Acest curs de prelegeri a fost susținut de mai bine de 10 ani pentru studenții de matematică teoretică și aplicată de la Universitatea de Stat din Orientul Îndepărtat. Corespunde standardului de generație a II-a pentru aceste specialități. Recomandat studenților și studenților specialităților matematice.

Teorema lui Cauchy privind existența și unicitatea unei soluții la problema Cauchy pentru o ecuație de ordinul întâi.
În această secțiune, prin impunerea unor restricții în partea dreaptă a ecuației diferențiale de ordinul întâi, vom demonstra existența și unicitatea unei soluții determinate de datele inițiale (x0,y0). Prima dovadă a existenței unei soluții la ecuații diferențiale se datorează lui Cauchy; dovada de mai jos este dată de Picard; se produce folosind metoda aproximărilor succesive.

CUPRINS
1. Ecuații de ordinul întâi
1.0. Introducere
1.1. Ecuații de variabile separabile
1.2. Ecuații omogene
1.3. Ecuații omogene generalizate
1.4. Ecuații liniare de ordinul întâi și reducerile acestora
1.5. ecuația lui Bernoulli
1.6. Ecuația Riccati
1.7. Ecuația în diferențiale totale
1.8. factor integrator. Cele mai simple cazuri de găsire a factorului integrator
1.9. Ecuații nerezolvate în raport cu derivata
1.10. Teorema lui Cauchy privind existența și unicitatea unei soluții la problema Cauchy pentru o ecuație de ordinul întâi
1.11. Puncte singulare
1.12. Soluții speciale
2. Ecuații de ordin superior
2.1. Concepte de bază și definiții
2.2. Tipuri de ecuații de ordinul al n-lea, rezolvabile în cuadraturi
2.3. Integrale intermediare. Ecuații care permit reduceri în ordine
3. Ecuații diferențiale liniare de ordinul al n-lea
3.1. Noțiuni de bază
3.2. Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul al n-lea
3.3. Reducerea ordinului unei ecuații liniare omogene
3.4. Ecuații liniare neomogene
3.5. Reducerea ordinii într-o ecuație liniară neomogenă
4. Ecuații liniare cu coeficienți constanți
4.1. Ecuație liniară omogenă cu coeficienți constanți
4.2. Ecuații liniare neomogene cu coeficienți constanți
4.3. Ecuații liniare de ordinul doi cu soluții oscilante
4.4. Integrare prin serie de putere
5. Sisteme liniare
5.1. Sisteme eterogene și omogene. Unele proprietăți ale soluțiilor sistemelor liniare
5.2. Condiții necesare și suficiente pentru independența liniară a k soluții ale unui sistem liniar omogen
5.3. Existenţa unei matrice fundamentale. Construirea unei soluții generale a unui sistem liniar omogen
5.4. Construirea întregului set de matrici fundamentale ale unui sistem liniar omogen
5.5. Sisteme eterogene. Construirea unei soluții generale prin metoda variației constantelor arbitrare
5.6. Sisteme liniare omogene cu coeficienți constanți
5.7. Câteva informații din teoria funcțiilor matricelor
5.8. Construcția matricei fundamentale a unui sistem de ecuații liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul general
5.9. Teoremă de existență și teoreme privind proprietățile funcționale ale soluțiilor sistemelor normale de ecuații diferențiale de ordinul întâi
6. Elemente ale teoriei stabilităţii
6.1
6.2. Cele mai simple tipuri de puncte de odihnă
7. Ecuații în derivate parțiale de ordinul I
7.1. Ecuație diferențială parțială liniară omogenă de ordinul I
7.2. Ecuație diferențială parțială liniară neomogenă de ordinul I
7.3. Sistem de două ecuații cu diferențe parțiale cu 1 funcție necunoscută
7.4. Ecuația Pfaff
8. Variante ale sarcinilor de control
8.1. Testul nr. 1
8.2. Examenul nr. 2
8.3. Examenul nr. 3
8.4. Lucrare de testare nr. 4
8.5. Examenul nr. 5
8.6. Testul nr. 6
8.7. Lucrare de testare nr. 7
8.8. Lucrarea de control numărul 8.

Descărcare gratuită e-carteîntr-un format convenabil, urmăriți și citiți:
Descarcă cartea Curs de prelegeri despre ecuații diferențiale ordinare, Shepeleva R.P., 2006 - fileskachat.com, descărcare rapidă și gratuită.

Descărcați pdf
Mai jos puteți cumpăra această carte la cel mai bun preț redus cu livrare în toată Rusia.

Alexander Viktorovich Abrosimov Data nașterii: 16 noiembrie 1948 (1948 11 16) Locul nașterii: Kuibyshev Data morții ... Wikipedia

I Ecuații diferențiale ecuații care conțin funcțiile necesare, derivatele lor de diferite ordine și variabile independente. Teoria lui D. la. a apărut la sfârșitul secolului al XVII-lea. influențat de nevoile mecanicii și ale altor științe ale naturii, ...... Marea Enciclopedie Sovietică

Ecuațiile diferențiale obișnuite (ODE) sunt o ecuație diferențială de forma în care este o funcție necunoscută (eventual o funcție vectorială, apoi, de regulă, și o funcție vectorială cu valori într-un spațiu de aceeași dimensiune; în acest .. ... Wikipedia

Wikipedia are articole despre alte persoane cu acest nume de familie, vezi Yudovich. Viktor Iosifovich Yudovici Data nașterii: 4 octombrie 1934 (1934 10 04) Locul nașterii: Tbilisi, URSS Data morții ... Wikipedia

Diferenţial- (Diferenţial) Definiţie diferenţială, funcţie diferenţială, blocare diferenţială Informaţii despre definirea diferenţialului, funcţie diferenţială, blocare diferenţială Cuprins Conţinut matematic Descriere informală… … Enciclopedia investitorului

Unul dintre conceptele de bază în teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale. Rolul lui X. se manifestă în proprietățile esențiale ale acestor ecuații, precum proprietățile locale ale soluțiilor, solvabilitatea diverse sarcini, corectitudinea lor etc. Să ...... Enciclopedia matematică

O ecuație în care necunoscutul este o funcție a unei variabile independente, iar această ecuație include nu numai funcția necunoscută în sine, ci și derivatele sale de diferite ordine. Termenul de ecuații diferențiale a fost propus de G. ... ... Enciclopedia matematică

Trenogin Vladilen Aleksandrovich V. A. Trenogin la o prelegere la MISiS Data nașterii ... Wikipedia

Trenogin, Vladilen Aleksandrovich Trenogin Vladilen Aleksandrovich V. A. Trenogin la o prelegere la MISiS Data nașterii: 1931 (1931) ... Wikipedia

Ecuația Gauss, ecuația diferențială ordinară liniară de ordinul 2 sau, în formă autoadjunctă, Variabilele și parametrii în cazul general pot lua orice valori complexe. După înlocuire, se obține următoarea formă ...... Enciclopedia matematică

Makarskaya E. V. În cartea: Zilele științei studențești. Primăvara - 2011. M.: Universitatea de Stat de Economie, Statistică și Informatică din Moscova, 2011. P. 135-139.

Autorii au în vedere aplicarea practică a teoriei ecuațiilor diferențiale liniare pentru studiul sistemelor economice. Lucrarea analizează modelele dinamice ale lui Keynes și Samuelson-Hicks cu găsirea stărilor de echilibru ale sistemelor economice.

Ivanov A.I., Isakov I., Demin A.V. et al. Partea 5. M.: Slovo, 2012.

Manualul ia în considerare metode cantitative pentru studierea consumului de oxigen de către o persoană în timpul testelor cu activitate fizică dozată, efectuate la Centrul Științific de Stat al Federației Ruse - IBMP RAS. Manualul este destinat oamenilor de știință, fiziologilor și medicilor care lucrează în domeniul medicinei aerospațiale, subacvatice și sportive.

Mikheev A. V. St. Petersburg: Departamentul de tipărire operațională a Școlii Superioare de Economie a Universității Naționale de Cercetare - Sankt Petersburg, 2012.

Această colecție conține probleme în cursul ecuațiilor diferențiale, citite de autor la facultate economie NRU HSE - Sankt Petersburg. La începutul fiecărui subiect, rezumat sunt analizate fapte teoretice de bază și exemple de soluții la probleme tipice. Pentru studenții și ascultătorii de programe de învățământ profesional superior.

Konakov V.D. STI. WP BRP. Editura Consiliului de Administrație al Facultății de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova, 2012. Nr. 2012.

Acest manual se bazează pe un curs special la alegerea studentului, citit de autor la Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova. M.V. Lomonosov în anii academici 2010-2012. Manualul introduce cititorul în metoda parametrix și analogul său discret, dezvoltat în cea mai mare parte timpuri recente autorul manualului și colegii săi coautori. Acesta reunește materiale care erau conținute anterior doar într-un număr de articole de jurnal. Fără a depune eforturi pentru o generalitate maximă a prezentării, autorul și-a propus să demonstreze posibilitățile metodei în demonstrarea teoremelor limită locale privind convergența lanțurilor Markov la un proces de difuzie și în obținerea de estimări de tip Aronson bifacial pentru unele difuzii degenerate.

Iss. 20. NY: Springer, 2012.

Această publicație este o colecție de articole individuale ale „Third Conferinta Internationala on the dynamics of information systems”, care a avut loc la Universitatea din Florida, 16-18 februarie 2011. Scopul acestei conferințe a fost de a reuni oameni de știință și ingineri din industrie, guvern și mediul academic pentru a împărtăși noi descoperiri și rezultate pe probleme legate de teoria și practica dinamicii sistemelor informaționale. Dinamica sistemelor informaționale: Mathematical Discovery este un studiu de ultimă generație și este destinat studenților absolvenți și cercetătorilor care sunt interesați de cele mai recente descoperiri din teoria informaţieiși sisteme dinamice. Oamenii de știință din alte discipline pot beneficia, de asemenea, de aplicarea noilor dezvoltări în domeniile lor de studiu.

Palvelev R., Sergeev A. G. Proceedings of Mathematical Institute. V.A. Steklov RAS. 2012. V. 277. S. 199-214.

Se studiază limita adiabatică în ecuațiile hiperbolice Landau-Ginzburg. Folosind această limită, se stabilește o corespondență între soluțiile ecuațiilor Ginzburg-Landau și traiectorii adiabatice din spațiul modulelor soluțiilor statice, numite vârtejuri. Manton a propus un principiu adiabatic euristic postulând că orice soluție a ecuațiilor Ginzburg-Landau cu energie cinetică suficient de mică poate fi obținută ca perturbare a unei traiectorii adiabatice. O dovadă riguroasă a acestui fapt a fost găsită recent de primul autor

Oferim o formulă explicită pentru un cvasiizomorfism între operadele Hycomm (omologia spațiului modulelor curbelor stabile de gen 0) și BV/Δ (coeficientul de homotopie al lui Batalin-Vilkovisky operat de operatorul BV). Cu alte cuvinte, derivăm o echivalență a algebrelor Hycomm și algebrelor BV îmbunătățite cu o homotopie care trivializează operatorul BV. Aceste formule sunt date în termenii graficelor Givental și sunt dovedite în două moduri diferite. O demonstrație folosește acțiunea de grup Givental, iar cealaltă demonstrație trece printr-un lanț de formule explicite privind rezoluțiile Hycomm și BV. A doua abordare oferă, în special, o explicație omologică a acțiunii grupului Givental asupra algebrelor Hycomm.

Sub științific editat de: A. Mikhailov Vol. 14. M.: Facultatea de Sociologie a Universității de Stat din Moscova, 2012.

Articolele din această colecție sunt scrise pe baza rapoartelor făcute în 2011 la Facultatea de Sociologie a Universității de Stat din Moscova. M.V. Lomonosov la întâlnirea celui de-al XIV-lea seminar științific anual interdisciplinar „Modelarea matematică a proceselor sociale” numit după. Erou munca socialistă academicianul A.A. Samara.

Publicația este destinată personalul științific, profesori, studenți ai universităților și instituțiilor științifice ale Academiei Ruse de Științe care sunt interesați de problemele, dezvoltarea și implementarea metodologiei modelare matematică procesele sociale.

„CULEGERI DESPRE ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARE PARTEA 1. ELEMENTE ALE TEORIEI GENERALE Manualul conturează prevederile care stau la baza teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare: ...”

-- [ Pagina 1 ] --

A. E. Mamontov

PRELEȚII DESPRE COMUNE

ECUATII DIFERENTIALE

ELEMENTE ALE TEORIEI GENERALE

Manualul de instruire stabilește prevederile care alcătuiesc

baza teoriei ecuațiilor diferențiale obișnuite: conceptul de soluții, existența lor, unicitatea,

dependenta de parametri. De asemenea (în § 3) se acordă o oarecare atenție soluției „explicite” a anumitor clase de ecuații. Ghidul este destinat studiu aprofundat curs „Ecuații diferențiale” de către studenții care studiază la Facultatea de Matematică a Universității Pedagogice de Stat din Novosibirsk.

UDC 517.91 BBK В161.61 Prefață Manualul este destinat studenților Facultății de Matematică a Universității Pedagogice de Stat din Novosibirsk care doresc să studieze cursul obligatoriu „Ecuații diferențiale” într-un volum extins. Cititorilor li se oferă conceptele de bază și rezultatele care formează fundamentul teoriei ecuațiilor diferențiale obișnuite: concepte de soluții, teoreme privind existența lor, unicitatea, dependența de parametri. Materialul descris este prezentat sub forma unui text logic inseparabil în §§ 1, 2, 4, 5. De asemenea (în § 3, care stă oarecum depărtat și întrerupe temporar firul principal al cursului), cele mai populare metode de Găsirea „explicită” a soluțiilor pentru unele clase de ecuații sunt considerate pe scurt. La prima lectură, § 3 poate fi omis fără a deteriora semnificativ structura logică a cursului.

Un rol important îl au exercițiile, care sunt incluse într-un număr mare în text. Cititorul este sfătuit cu insistență să le rezolve „în hot pursuit”, ceea ce garantează asimilarea materialului și va servi drept test. Mai mult decât atât, aceste exerciții umplu adesea țesutul logic, adică, fără a le rezolva, nu toate propozițiile vor fi riguros dovedite.

Între paranteze drepte la mijlocul textului se fac observații care au rol de comentarii (explicații extinse sau laterale). Din punct de vedere lexical, aceste fragmente întrerup textul principal (adică, pentru o lectură coerentă, trebuie „ignorate”), dar sunt totuși necesare ca explicații. Cu alte cuvinte, aceste fragmente trebuie percepute ca și cum ar fi fost scoase în câmp.

Există „remarci pentru profesor” rubricate separat în text - ele pot fi omise atunci când citesc de către elevi, dar sunt utile pentru profesorul care va folosi manualul, de exemplu, atunci când susține prelegeri - ele ajută la înțelegerea mai bună a logicii cursul și indicați direcția posibilelor îmbunătățiri (extinderi) ale cursului . Cu toate acestea, dezvoltarea acestor comentarii de către studenți nu poate fi decât binevenită.

Un rol asemănător îl joacă „motivele profesorului” – ele oferă într-o formă extrem de concisă dovada unora dintre prevederile oferite cititorului ca exerciții.

Cei mai comuni termeni (cheie) sunt utilizați ca abrevieri, a căror listă este dată la sfârșit pentru comoditate. Există, de asemenea, o listă de notații matematice care apar în text, dar nu sunt printre cele mai comune (și/sau nu sunt înțelese clar în literatură).

Simbolul înseamnă sfârșitul dovezii, formularea enunțului, observații etc. (acolo unde este necesar pentru a evita confuziile).

Formulele sunt numerotate independent în fiecare paragraf. Când se face referire la o parte a formulei, se folosesc indici, de exemplu (2)3 înseamnă a treia parte a formulei (2) (părțile formulei sunt considerate fragmente separate printr-un spațiu tipografic și dintr-o poziție logică - o grămadă de „și”).

Acest manual nu poate înlocui complet studiul aprofundat al subiectului, care necesită exerciții independente și citirea literaturii suplimentare, de exemplu, a cărei listă este dată la sfârșitul manualului. Cu toate acestea, autorul a încercat să prezinte principalele prevederi ale teoriei într-o formă destul de concisă, potrivită pentru un curs de curs. În acest sens, trebuie remarcat faptul că atunci când citiți un curs de prelegere despre acest manual, este nevoie de aproximativ 10 prelegeri.

Este planificată publicarea a încă 2 părți (volume) care continuă acest manual și, astfel, se completează ciclul de prelegeri pe tema „ecuații diferențiale obișnuite”: partea 2 (ecuații liniare), partea 3 (teoria ulterioară a ecuațiilor neliniare, ecuații diferențiale parțiale). de ordinul întâi).

§ 1. Introducere O ecuație diferențială (DE) este o relație de forma u1 u1 un, derivate superioare F y, u(y),..., = 0, y1 y2 yk (1) unde y = (y1,. .., yk) Rk sunt variabile independente, iar u = u(y) sunt funcții necunoscute1, u = (u1,..., un). Astfel, există n necunoscute în (1), deci sunt necesare n ecuații, adică F = (F1,..., Fn), astfel încât (1) este, în general, un sistem de n ecuații. Dacă există o singură funcție necunoscută (n = 1), atunci ecuația (1) este scalară (o ecuație).

Deci, funcția (funcțiile) F este dată(e) și u este căutată. Dacă k = 1, atunci (1) se numește ODE, iar în caz contrar - PDE. Cel de-al doilea caz face obiectul unui curs special UMF, prevăzut în seria de tutoriale omonimă. În această serie de manuale (formată din 3 părți-volume), vom studia doar ODE-uri, cu excepția ultimului paragraf al ultimei părți (volum), în care vom începe să studiem câteva cazuri speciale de PDE.

2u u Exemplu. 2 = 0 este PDE.

y1 y Mărimile necunoscute u pot fi reale sau complexe, ceea ce nu este esențial, întrucât acest moment se referă doar la forma de scriere a ecuațiilor: orice notație complexă poate fi transformată în reală prin separarea părților reale și imaginare (dar, bineînțeles, dublarea numărul de ecuații și necunoscute), și invers, în unele cazuri este convenabil să treceți la notație complexă.

du d2v dv 2 = uv; u3 = 2. Acesta este un sistem de 2 ODE-uri Exemplu.

dy dy dy pentru 2 funcții necunoscute ale variabilei independente y.

Dacă k = 1 (ODE), atunci se folosește semnul „direct” d/dy.

u(y) du Exemplu. exp(sin z)dz este o ODE deoarece are un Exemplu. = u(u(y)) pentru n = 1 nu este un DE, ci o ecuație diferențială funcțională.

Acesta nu este un DE, ci o ecuație integro-diferențială, nu vom studia astfel de ecuații. Cu toate acestea, în mod specific ecuația (2) este ușor redusă la EDO:

Un exercitiu. Reduceți (2) la o ODE.

Dar, în general, ecuațiile integrale sunt un obiect mai complex (este parțial studiat în cursul analizei funcționale), deși, așa cum vom vedea mai jos, cu ajutorul lor se obțin unele rezultate pentru ODE.

DE apar atât din nevoi intra-matematice (de exemplu, în geometria diferențială), cât și din aplicații (în mod istoric pentru prima dată, iar acum în principal în fizică). Cel mai simplu DE este „problema de bază a calculului diferențial” despre restaurarea unei funcții din derivata ei: = h(y). După cum se știe din analiză, soluția sa are forma u(y) = + h(s)ds. DE mai generale necesită metode speciale pentru soluționarea lor. Cu toate acestea, așa cum vom vedea mai jos, practic toate metodele de rezolvare a ODE-urilor „în formă explicită” se reduc în esență la cazul trivial indicat.

În aplicații, EDO-urile apar cel mai adesea atunci când descriu procese care se dezvoltă în timp, astfel încât rolul unei variabile independente este de obicei jucat de timpul t.

astfel, sensul ODE în astfel de aplicații este de a descrie modificarea parametrilor sistemului în timp. Prin urmare, este convenabil atunci când se construiește teorie generală ODE indică variabila independentă cu t (și o numește timp cu toate consecințele terminologice care decurg), iar funcția (funcțiile) necunoscută (funcțiile) cu x = (x1,..., xn). În acest fel, forma generala ODE (sistemul ODE) este după cum urmează:

unde F = (F1,..., Fn) - adică acesta este un sistem de n EDO pentru n funcții x, iar dacă n = 1, atunci o EDO pentru 1 funcție x.

Mai mult, x = x(t), t R și x sunt în general cu valori complexe (acest lucru este pentru comoditate, deoarece atunci unele sisteme pot fi scrise mai compact).

Se spune că sistemul (3) are ordinul m față de xm.

Derivatele se numesc senior, iar restul (inclusiv xm = ei înșiși) se numesc junior. Dacă toți m =, atunci spunem pur și simplu că ordinea sistemului este egală.

Adevărat, numărul m este adesea numit ordinea sistemului, ceea ce este și natural, așa cum va deveni clar mai jos.

Problema necesității studierii ODE-urilor și a aplicațiilor lor, o vom considera suficient de fundamentată de alte discipline (geometrie diferențială, analiză matematică, mecanică teoretică etc.), și este parțial parțial acoperită în cursul exercițiilor practice la rezolvarea problemelor (pentru de exemplu, dintr-o carte cu probleme). În acest curs ne vom ocupa exclusiv de studiul matematic al sistemelor de forma (3), ceea ce înseamnă a răspunde la următoarele întrebări:

1. ce înseamnă „rezolvarea” ecuației (sistemului) (3);

2. cum se face;

3. ce proprietăți au aceste soluții, cum să le investighem.

Întrebarea 1 nu este atât de evidentă pe cât pare - vezi mai jos. Observăm imediat că orice sistem (3) poate fi redus la un sistem de ordinul întâi, notând derivate inferioare ca noi funcții necunoscute. Cel mai simplu mod de a explica această procedură este cu un exemplu:

a 5 ecuații pentru 5 necunoscute. Este ușor de înțeles că (4) și (5) sunt echivalente în sensul că soluția uneia dintre ele (după redenumirea corespunzătoare) este soluția celeilalte. În acest caz, ar trebui să se precizeze doar problema netedenței soluțiilor - vom face acest lucru în continuare atunci când întâlnim ODE de ordin superior (adică nu prima).

Dar acum este clar că este suficient să studiezi doar ODE-uri de ordinul întâi, în timp ce altele pot fi necesare doar pentru comoditatea notării (o astfel de situație va apărea uneori în cazul nostru).

Și acum ne limităm la ODE de ordinul întâi:

dimx = dim F = n.

Studiul ecuației (sistemului) (6) este incomod din cauza faptului că nu este permis față de derivatele dx/dt. După cum se știe din analiză (din teorema funcției implicite), în anumite condiții pe F, ecuația (6) poate fi rezolvată față de dx/dt și scrisă sub forma în care este dat f: Rn+1 Rn și x: R Rn este cel necesar. Se spune că (7) este o EDO rezolvată în raport cu derivate (o EDO de formă normală). La trecerea de la (6) la (7), în mod firesc, pot apărea dificultăți:

Exemplu. Ecuația exp(x) = 0 nu poate fi scrisă sub forma (7) și nu are deloc soluții, adică exp nu are zerouri nici măcar în planul complex.

Exemplu. Ecuația x 2 + x2 = 1 cu rezoluție este scrisă ca două ODE-uri normale x = ± 1 x2. Ar trebui să le rezolvați pe fiecare și apoi să interpretați rezultatul.

Cometariu. La reducerea (3) la (6), pot apărea dificultăți dacă (3) are ordinul 0 în raport cu o anumită funcție sau o parte a funcțiilor (adică, aceasta este o ecuație diferențială funcțională). Dar atunci aceste funcții trebuie excluse de teorema funcției implicite.

Exemplu. x = y, xy = 1 x = 1/x. Trebuie să găsiți x din ODE rezultată și apoi y din ecuația funcțională.

Dar, în orice caz, problema trecerii de la (6) la (7) aparține mai mult domeniului analizei matematice decât DE și nu ne vom ocupa de ea. Cu toate acestea, la rezolvarea ODE-urilor de forma (6), pot apărea momente interesante din punctul de vedere al ODE-urilor, așa că această problemă este potrivită pentru a fi studiată la rezolvarea problemelor (cum se face, de exemplu, în ) și va fi ușor atinsă în § 3. Dar în restul cursului ne vom ocupa doar de sisteme şi ecuaţii normale. Deci, luați în considerare ODE (sistemul ODE) (7). Să-l scriem o dată în formă componentă cu componentă:

Conceptul de „rezolvare (7)” (și, în general, orice DE) a fost înțeles de mult timp ca căutarea unei „formule explicite” pentru soluție (adică sub formă de funcții elementare, antiderivatele lor sau funcții speciale, etc.), fără accent pe netezimea soluției și pe intervalul de definire a acesteia. Cu toate acestea, starea actuală a teoriei ODE-urilor și a altor ramuri ale matematicii (și științele naturii în general) arată că această abordare este nesatisfăcătoare, fie și numai pentru că proporția de ODE-uri care pot fi susceptibile de o astfel de „integrare explicită” este extrem de mică. (chiar și pentru cea mai simplă EDO x = f (t) cunoscută că soluția functii elementare se întâmplă rar, deși există o „formulă explicită”).

Exemplu. Ecuația x = t2 + x2, în ciuda simplității sale extreme, nu are soluții în funcții elementare (și aici nu există nici măcar o „formulă”).

Și deși este util să cunoaștem acele clase de ODE pentru care este posibilă o construcție „explicită” a unei soluții (asemănător cu cât de util este să poți „calcula integralele” atunci când este posibil, deși acest lucru este extrem de rar), În acest sens, următorii termeni sună caracteristic: „integrare ODE”, „ODE ​​integrală” (analogi învechiți ai conceptelor moderne „rezolvare ODE”, „soluție a ODE”), care reflectă conceptele anterioare ale soluției. Cum să înțelegem termenii moderni, vom schița acum.

și această problemă va fi luată în considerare în § 3 (și în mod tradițional i se acordă multă atenție atunci când se rezolvă probleme la orele practice), dar nu trebuie să ne așteptăm la nicio universalitate de la această abordare. De regulă, prin procesul de rezolvare (7) înțelegem pași complet diferiți.

Ar trebui clarificat care funcție x = x(t) poate fi numită o soluție a (7).

În primul rând, observăm că o formulare clară a conceptului de soluție este imposibilă fără precizarea mulțimii pe care este definită.Fie doar pentru că o soluție este o funcție, iar orice funcție (conform definiției școlii) este o lege. care se potrivește cu orice element dintr-o anumită mulțime (numit domeniu de definiție această funcție) cu un element al unei alte mulțimi (valori ale funcției). Astfel, a vorbi despre o funcție fără a specifica domeniul ei este absurd prin definiție. Funcțiile analitice (mai larg - elementare) servesc aici ca o „excepție” (înșelătoare) din următoarele motive (și unele altele), dar în cazul DE astfel de libertăți sunt inacceptabile.

și, în general, fără a specifica seturile de definiții ale tuturor funcțiilor implicate în (7). După cum va fi clar din cele ce urmează, este oportun să legăm strict conceptul de soluție cu mulțimea definiției sale și să considerăm soluțiile diferite dacă mulțimile lor de definiție sunt diferite, chiar dacă soluțiile coincid la intersecția acestor mulțimi.

Cel mai adesea, în situații specifice, aceasta înseamnă că, dacă soluțiile sunt construite sub formă de funcții elementare, astfel încât 2 soluții au „aceeași formulă”, atunci este de asemenea necesar să se clarifice dacă mulțimile pe care sunt scrise aceste formule coincid. Confuzia care a domnit multă vreme în această întrebare a fost scuzabilă atâta timp cât au fost luate în considerare soluții sub formă de funcții elementare, deoarece funcțiile analitice pot fi extinse în mod unic la intervale mai largi.

Exemplu. x1(t) = et pe (0,2) și x2(t) = et pe (1,3) sunt soluții diferite ale ecuației x = x.

În același timp, este firesc să luăm un interval deschis (poate infinit) ca set de definiții al oricărei soluții, deoarece această mulțime ar trebui să fie:

1. deschis, astfel încât în ​​orice moment are sens să vorbim despre o derivată (bifață);

2. conectat astfel încât soluția să nu se despartă în bucăți deconectate (în acest caz este mai convenabil să vorbim despre mai multe soluții) - vezi Exemplul anterior.

Astfel, soluția (7) este o pereche (, (a, b)), unde a b +, este definită pe (a, b).

Notă pentru profesor. În unele manuale, este permisă includerea capetelor segmentului în domeniul soluției, dar acest lucru este nepractic deoarece nu face decât să complice prezentarea și nu dă o generalizare reală (vezi § 4).

Pentru a facilita înțelegerea raționamentului ulterioar, este util să folosiți interpretarea geometrică (7). În spațiul Rn+1 = ((t, x)) în fiecare punct (t, x) unde f este definit, putem considera vectorul f (t, x). Dacă construim un grafic al soluției (7) în acest spațiu (se numește curba integrală a sistemului (7)), atunci acesta este format din puncte de forma (t, x(t)). Pe măsură ce t (a, b) se modifică, acest punct se mișcă de-a lungul IC. Tangenta la IC în punctul (t, x(t)) are forma (1, x (t)) = (1, f (t, x(t))). Astfel, IC-urile sunt acele și numai acele curbe din spațiul Rn+1 care în fiecare dintre punctele lor (t, x) au o tangentă paralelă cu vectorul (1, f (t, x)). Pe baza acestei idei, așa-numitul metoda izoclinului pentru construcția aproximativă a IC, care este utilizată atunci când se afișează grafice ale soluțiilor pentru ODE-uri specifice (vezi.

de exemplu ). De exemplu, pentru n = 1, construcția noastră înseamnă următoarele: în fiecare punct al IC, panta sa față de axa t are proprietatea tg = f (t, x). Este firesc să presupunem că, luând orice punct din mulțimea de definiții f, putem desena un IC prin el. Această idee va fi riguros fundamentată mai jos. Deși ne lipsește o formulare riguroasă a netedei soluțiilor, acest lucru se va face mai jos.

Acum ar trebui să rafinăm mulțimea B pe care f este definit. Acest set este natural să luați:

1. deschis (astfel încât IC-ul să poată fi construit în vecinătatea oricărui punct din B), 2. conectat (în caz contrar, toate piesele conectate pot fi considerate separat - oricum, IC-ul (ca grafic al unei funcții continue) nu poate sări de la o piesă la alta, deci pe aceasta nu va afecta generalitatea căutării soluțiilor).

Vom lua în considerare numai soluțiile clasice ale lui (7), adică astfel încât x însuși și x-ul său sunt continue pe (a, b). Atunci este firesc să se ceară ca f C(B). În cele ce urmează, această cerință va fi întotdeauna implicită de către noi. Deci, obținem în sfârșit Definiția. Fie B Rn+1 un domeniu, f C(B).

O pereche (, (a, b)), a b +, definită pe (a, b), se numește soluție la (7) dacă C(a, b), pentru fiecare t (a, b) punctul (t , (t) ) B și (t) există și (t) = f (t, (t)) (apoi automat C 1(a, b)).

Este clar din punct de vedere geometric că (7) va avea multe soluții (ceea ce este ușor de înțeles grafic), deoarece dacă desenăm IR-uri pornind de la puncte de forma (t0, x0), unde t0 este fix, atunci vom obține IR-uri diferite. În plus, modificarea intervalului de determinare a soluției va da o soluție diferită, conform definiției noastre.

Exemplu. x = 0. Rezolvare: x = = const Rn. Totuși, dacă alegem ceva t0 și fixăm valoarea x0 a soluției în punctul t0: x(t0) = x0, atunci valoarea este determinată unic: = x0, adică soluția este unică până la alegerea intervalului. (a, b) t0.

Prezența unui set de soluții „fără față” este incomod pentru a lucra cu ele2 - este mai convenabil să le „numerăm” după cum urmează: adăugați condiții suplimentare la (7) în așa fel încât să evidențiați singurul (într-un anumit sens). ) soluție, iar apoi, sortând aceste condiții, lucrați cu fiecare soluție separat (din punct de vedere geometric, poate exista o singură soluție (IR), dar sunt multe piese - ne vom ocupa de acest inconvenient mai târziu).

Definiție. Sarcina pentru (7) este (7) cu condiții suplimentare.

De fapt, am inventat deja cea mai simplă problemă - aceasta este problema Cauchy: (7) cu condiții de formă (date Cauchy, date inițiale):

Din punct de vedere al aplicațiilor, această problemă este firească: de exemplu, dacă (7) descrie modificarea unor parametri x cu timpul t, atunci (8) înseamnă că la un moment (inițial) este cunoscută valoarea parametrilor. . Este nevoie să studiem și alte probleme, despre asta vom vorbi mai târziu, dar deocamdată ne vom concentra pe problema Cauchy. Desigur, această problemă are sens pentru (t0, x0) B. În consecință, o soluție la problema (7), (8) este o soluție (7) (în sensul definiției date mai sus) astfel încât t0 (a, b ) și (opt).

Următoarea noastră sarcină este să dovedim existența unei soluții la problema Cauchy (7), (8), și pentru anumite complemente.Exemplu este o ecuație pătratică, este mai bine să scriem x1 =..., x2 =... decât x = b/2 ±...

sub anumite ipoteze asupra f - și unicitatea sa într-un anumit sens.

Cometariu. Trebuie să clarificăm conceptul de normă a unui vector și a unei matrice (deși vom avea nevoie de matrice doar în partea 2). Datorită faptului că într-un spațiu finit-dimensional toate normele sunt echivalente, alegerea unei anumite norme nu contează dacă ne interesează doar estimări, și nu cantități exacte. De exemplu, |x|p = (|xi|p)1/p poate fi folosit pentru vectori, p este segmentul Peano (Picard). Se consideră conul K = (|x x0| F |t t0|) și partea sa trunchiată K1 = K (t IP ). Este clar că doar K1 C.

Teorema. (Peano). Fie îndeplinite cerințele pentru f în problema (1) specificate în definiția soluției, adică:

f C(B), unde B este o regiune în Rn+1. Atunci pentru toate (t0, x0) B pe Int(IP) există o soluție la problema (1).

Dovada. Să stabilim arbitrar (0, T0] și să construim așa-numita linie întreruptă Euler cu un pas, și anume: este o linie întreruptă în Rn+1, în care fiecare legătură are o proiecție pe axa t a lungimii, prima legătura din dreapta începe în punctul (t0, x0) și este astfel încât dx/dt = f (t0, x0) pe ea, capătul din dreapta al acestei legături (t1, x1) servește ca capăt din stânga celui de-al doilea , pe care dx/dt = f (t1, x1), etc., și similar cu stânga. Polilinia rezultată definește o funcție liniară pe bucăți x = (t). Atâta timp cât t IP, polilinia rămâne în K1 (și cu atât mai mult în C și, prin urmare, în B), deci construcția este corectă - pentru aceasta, de fapt, s-a făcut construcție auxiliară înainte de teoremă.

Într-adevăr, peste tot, cu excepția punctelor de întrerupere, există și apoi (s) (t) = (z)dz, unde valorile arbitrare ale derivatei sunt luate la punctele de întrerupere.

În acest caz (deplasarea de-a lungul liniei întrerupte prin inducție) În special, | (t)x0| F |t t0|.

Astfel, pe funcțiile IP:

2. sunt echicontinue, deoarece sunt Lipschitz:

Aici, cititorul ar trebui, dacă este necesar, să-și reîmprospătească cunoștințele despre concepte și rezultate precum: echicontinuitate, convergență uniformă, teorema Artsela-Ascoli etc.

După teorema Arzela-Ascoli, există o secvență k 0 astfel încât k este pe IP, unde C(IP). Prin construcție, (t0) = x0, deci rămâne de verificat că Demonstrăm acest lucru pentru s t.

Un exercitiu. În mod similar, luați în considerare s t.

Punem 0 si gasim 0 astfel incat pentru toate (t1, x1), (t2, x2) C este adevarata Acest lucru se poate face prin prisma continuitatii uniforme a lui f pe multimea compacta C. Gasiti m N astfel incat Fix t Int (IP) și luați orice s Int(IP) astfel încât t s t +. Atunci pentru tot z avem |k (z) k (t)| F, deci având în vedere (4) |k (z) (t)| 2F.

Rețineți că k (z) = k (z) = f (z, k (z)), unde z este abscisa capătului din stânga al segmentului de polilinie care conține punctul (z, k (z)). Dar punctul (z, k (z)) cade într-un cilindru cu parametrii (, 2F) construit pe punctul (t, (t)) (de fapt, chiar și într-un trunchi de con - vezi figură, dar nu" t contează acum), deci având în vedere (3) obținem |k (z) f (t, (t))|. Pentru o linie întreruptă, avem, după cum sa menționat mai sus, formula Pentru k, aceasta va da (2).

Cometariu. Fie f C 1(B). Atunci soluția definită la (a, b) va fi de clasa C 2(a, b). Într-adevăr, pe (a, b) avem: există f (t, x(t)) = ft(t, x(t)) + (t, x(t))x (t) (aici este jacobianul matricea ) este o funcție continuă. Deci există și 2 C(a, b). Putem crește și mai mult netezimea soluției dacă f este netedă. Dacă f este analitică, atunci este posibil să se dovedească existența și unicitatea unei soluții analitice (aceasta este așa-numita teoremă Cauchy), deși acest lucru nu rezultă din raționamentul anterior!

Aici este necesar să ne amintim ce este o funcție analitică. A nu se confunda cu o funcție reprezentată printr-o serie de puteri (aceasta este doar o reprezentare a unei funcții analitice pe, în general vorbind, o parte a domeniului său de definire)!

Cometariu. Pentru dat (t0, x0), se poate încerca să maximizeze T0 variind T și R. Cu toate acestea, de regulă, acest lucru nu este atât de important, deoarece există metode speciale pentru studierea intervalului maxim de existență a unei soluții (vezi § 4).

Teorema Peano nu spune nimic despre unicitatea soluției. Cu înțelegerea noastră a soluției, aceasta nu este întotdeauna unică, deoarece dacă există o soluție, atunci restricțiile sale la intervale mai înguste vor fi alte soluții. Vom lua în considerare acest punct mai detaliat mai târziu (în § 4), dar deocamdată, prin unicitate, înțelegem coincidența a oricăror două soluții la intersecția intervalelor definiției lor. Nici în acest sens, teorema lui Peano nu spune nimic despre unicitate, ceea ce nu este întâmplător, deoarece în condițiile ei, unicitatea nu poate fi garantată.

Exemplu. n = 1, f (x) = 2 |x|. Problema Cauchy are o soluție banală: x1 0, și mai mult x2(t) = t|t|. Din aceste două soluții, poate fi compilată o întreagă familie de soluții cu 2 parametri:

unde + (valorile infinite înseamnă nicio ramură corespunzătoare). Dacă luăm în considerare întregul R drept domeniul de definire al tuturor acestor soluții, atunci există încă o infinitate de ele.

Rețineți că dacă folosim demonstrația teoremei lui Peano în termenii liniilor întrerupte ale lui Euler în această problemă, atunci se va obține numai soluția zero. Pe de altă parte, dacă este permisă o mică eroare la fiecare pas din procesul de construire a liniilor Euler întrerupte, atunci chiar și după ce parametrul de eroare tinde la zero, toate soluțiile rămân. Astfel, teorema lui Peano și liniile întrerupte ale lui Euler sunt naturale ca metodă de construire a soluțiilor și sunt strâns legate de metodele numerice.

Problema observată în exemplu se datorează faptului că funcția f nu este netedă în x. Se dovedește că dacă impunem cerințe suplimentare asupra regularității lui f în x, atunci unicitatea poate fi asigurată, iar acest pas este necesar într-un anumit sens (vezi mai jos).

Să ne amintim câteva noțiuni din analiză. O funcție (scalară sau vectorială) g se numește funcție Hölder cu exponent (0, 1] pe mulțime dacă se numește condiția Lipschitz pentru 1. Pentru 1, acest lucru este posibil doar pentru funcții constante. O funcție definită pe un segment (unde alegerea lui 0 nu este esențială) se numește modul de continuitate, dacă Se spune că g satisface condiția Hölder generalizată cu modul, dacă În acest caz se numește modul de continuitate al lui g.

Se poate demonstra că orice modul de continuitate este modulul de continuitate al unei funcții continue.

Faptul invers este important pentru noi, și anume: orice funcție continuă pe o mulțime compactă are propriul modul de continuitate, adică satisface (5) cu unele. Să demonstrăm. Amintiți-vă că dacă este compact și g este C(), atunci g este neapărat continuu în mod uniform, adică

= (): |x y| = |g(x) g(y)|. Se pare că aceasta este echivalentă cu condiția (5) cu unele. Într-adevăr, dacă există, atunci este suficient să construim un modul de continuitate astfel încât (()), iar apoi pentru |x y| = = () obținem Deoarece (și) sunt arbitrare, atunci x și y pot fi arbitrare.

Și invers, dacă (5) este adevărată, atunci este suficient să găsim astfel încât (()), și apoi pentru |x y| = () obținem Rămâne de justificat tranzițiile logice:

Pentru monoton și este suficient să luați funcții inverse, dar în cazul general este necesar să folosiți așa-numitele. funcții inverse generalizate. Existența lor necesită o dovadă separată, pe care nu o vom oferi, ci doar o idee (este util să însoțim lectura cu desene):

pentru orice F definim F(x) = min F (y), F (x) = max F (y) - aceasta este funcții monotone, și au inverse. Este ușor de verificat că x x F (F (x)), (F)1(F (x)) x, F ((F)1(x)) x.

Cel mai bun modul de continuitate este liniar (condiția Lipschitz). Acestea sunt funcții „aproape diferențiabile”. Pentru a da un sens riguros ultimei afirmații necesită ceva efort și ne vom limita la doar două observații:

1. Strict vorbind, nu orice funcție Lipschitz este diferențiabilă, ca exemplul g(x) = |x| la R;

2. dar diferențiabilitatea implică Lipschitz, așa cum arată următoarea Aserțiune. Orice funcție g care are tot M pe o mulțime convexă satisface condiția Lipschitz asupra ei.

[Pentru moment, pentru concizie, luați în considerare funcțiile scalare g.] Dovada. Pentru toate x, y avem Este clar că această afirmație este valabilă și pentru funcțiile vectoriale.

Cometariu. Dacă f = f (t, x) (în general, o funcție vectorială), atunci putem introduce noțiunea „f este Lipschitz în x”, adică |f (t, x) f (t, y)| C|x y|, și de asemenea să demonstreze că dacă D este convex în x pentru tot t, atunci pentru proprietatea lui Lipschitz a lui f față de x în D, este suficient ca | prin |x y|. Pentru n = 1, se face de obicei folosind formula de increment finit: g(x)g(y) = g (z)(xy) (dacă g este o funcție vectorială, atunci z este diferit pentru fiecare componentă). Pentru n 1 este convenabil să folosiți următorul analog al acestei formule:

Lema. (Adamara). Fie f C(D) (în general vorbind, o funcție vectorială), unde D (t = t) este convex pentru orice t și f (t, x) f (t, y) = A(t, x, y) (x y), unde A este o matrice dreptunghiulară continuă.

Dovada. Pentru orice t fix, aplicăm calculul din demonstrația Aserției pentru = D (t = t), g = fk. Obținem reprezentarea dorită cu A(t, x, y) = A este într-adevăr continuă.

Să revenim la întrebarea unicității soluției problemei (1).

Să punem întrebarea astfel: care ar trebui să fie modulul de continuitate al lui f față de x, astfel încât soluția (1) să fie unică în sensul că 2 soluții definite pe același interval coincid? Răspunsul este dat de următoarea teoremă:

Teorema. (Osgood). Fie, în condițiile teoremei Peano, modulul de continuitate al lui f față de x în B, adică funcția din inegalitate satisface condiția (putem presupune C). Atunci problema (1) nu poate avea două diverse solutii definit pe un interval al formei (t0 a, t0 + b).

Comparați cu exemplul de non-unicitate de mai sus.

Lema. Dacă z C 1(,), atunci în ansamblu (,):

1. în punctele în care z = 0, |z| există și ||z| | |z|;

2. în punctele în care z = 0, există derivate unilaterale |z|± și ||z|± | = |z | (în special, dacă z = 0, atunci |z| = 0 există).

Exemplu. n = 1, z(t) = t. În punctul t = 0, derivata lui |z| nu există, dar există derivate unilaterale.

Dovada. (Leme). În acele puncte în care z = 0, avem z z : există |z| = și ||z| | |z|. În acele puncte t, unde z(t) = 0, avem:

Cazul 1: z (t) = 0. Atunci obținem existența lui |z| (t) = 0.

Cazul 2: z (t) = 0. Atunci dacă +0 sau 0 atunci z(t +)| |z(t)| al cărui modul este egal cu |z (t)|.

Prin presupunere, F C 1(0,), F 0, F, F (+0) = +. Fie z1,2 două soluții ale lui (1) definite pe (t0, t0 +). Notăm z = z1 z2. Avem:

Să presupunem că există t1 (pentru certitudinea t1 t0) astfel încât z(t1) = 0. Mulțimea A = ( t t1 | z(t) = 0 ) nu este goală (t0 A) și este mărginită de sus. Prin urmare, are o limită superioară t1. Prin construcție, z = 0 pe (, t1), și deoarece z este continuu, avem z() = 0.

Prin Lema |z| C 1(, t1), iar pe acest interval |z| |z | (|z|), deci Integrarea peste (t, t1) (unde t (, t1)) dă F (|z(t)|) F (|z(t1)|) t1 t. Pentru t + 0 obținem o contradicție.

Corolarul 1. Dacă, în condițiile teoremei lui Peano, f este Lipschitz în x în B, atunci problema (1) are o soluție unică în sensul descris în teorema lui Osgood, deoarece în acest caz () = C satisface (7).

Corolarul 2. Dacă C(B) în condițiile teoremei lui Peano, atunci soluția (1) definită pe Int(IP) este unică.

Lema. Orice soluție (1) definită pe IP trebuie să satisfacă estimarea |x | = |f (t, x)| F, iar graficul său se află în K1 și cu atât mai mult în C.

Dovada. Să presupunem că există t1 IP astfel încât (t, x(t)) C. Pentru certitudine, fie t1 t0. Atunci există t2 (t0, t1] astfel încât |x(t) x0| = R. Similar raționamentului din demonstrația teoremei lui Osgood, putem presupune că t2 este punctul cel mai din stânga, dar avem (t, x (t)) C, astfel încât |f (t, x(t))|F și, prin urmare, (t, x(t)) K1, care contrazice |x(t2) x0| = R. Prin urmare, (t, x(t) ) C pe toate IP, iar apoi (calculele repetate) (t, x(t)) K1.

Dovada. (Corolarul 2). C este o mulțime compactă, obținem că f este Lipschitz în x în C, unde graficele tuturor soluțiilor se află datorită Lemei. Prin corolarul 1, obținem ceea ce este necesar.

Cometariu. Condiția (7) înseamnă că condiția Lipschitz pentru f nu poate fi slăbită substanțial. De exemplu, condiția lui Hölder cu 1 nu mai este valabilă. Doar modulele de continuitate apropiate de liniară sunt potrivite - cum ar fi cel „cel mai rău”:

Un exercitiu. (destul de complicat). Demonstrați că dacă (7) satisface, atunci există un 1 care satisface (7) astfel încât 1/ este la zero.

În cazul general, nu este necesar să se solicite exact ceva din modulul de continuitate al lui f în x pentru unicitate - sunt posibile tot felul de cazuri speciale, de exemplu:

Afirmație. Dacă, în condițiile teoremei Peano, atunci oricare 2 soluții (1) definite pe (9) sunt adevărate, este clar că x C 1(a, b), și atunci diferențierea (9) dă (1)1, iar (1)2 este evident.

Spre deosebire de (1), este firesc ca (9) să construiască o soluție pe un interval închis.

Picard a propus următoarea metodă de aproximări succesive pentru rezolvarea (1)=(9). Notăm x0(t) x0 și apoi prin inducție Teoremă. (Cauchy-Picara). Fie, în condițiile teoremei Peano, funcția f Lipschitz în x în orice mulțime compactă K convexă în x în domeniul B, adică

Atunci pentru orice (t0, x0) B problema Cauchy (1) (alias (9)) are o soluție unică pe Int(IP) și xk x pe IP, unde xk sunt definite în (10).

Cometariu. Este clar că teorema rămâne valabilă dacă condiția (11) este înlocuită cu C(B), deoarece din această condiție rezultă (11).

Notă pentru profesor. De fapt, nu sunt necesare toate multimile compacte convexe in x, ci doar cilindri, dar formularea se face in acest fel, deoarece in § 5 vom avea nevoie de multimi compacte mai generale si, in plus, tocmai cu o astfel de formulare Remarca pare cel mai natural.

Dovada. Alegem arbitrar (t0, x0) B și facem aceeași construcție auxiliară ca înainte de teorema lui Peano. Să demonstrăm prin inducție că toate xk sunt definite și continue pe IP, iar graficele lor se află în K1 și cu atât mai mult în C. Acest lucru este evident pentru x0. Dacă acest lucru este adevărat pentru xk1, atunci este clar din (10) că xk este definit și continuu pe IP și aceasta este apartenența lui K1.

Acum demonstrăm estimarea asupra IP prin inducție:

(C este o mulțime compactă convexă în x în B și L(C) este definită pentru aceasta). Pentru k = 0, aceasta este estimarea dovedită (t, x1(t)) K1. Dacă (12) este adevărată pentru k:= k 1, atunci din (10) avem ceea ce a fost necesar. Astfel, seria este majorată pe IP printr-o serie numerică convergentă și prin urmare (aceasta se numește teorema Weierstrass) converge uniform pe IP către o funcție x C(IP). Dar asta înseamnă xk x pe IP. Apoi în (10) pe IP trecem la limită și obținem (9) pe IP și, prin urmare, (1) pe Int(IP).

Unicitatea rezultă imediat din Corolarul 1 al teoremei lui Osgood, dar este util să o demonstrăm în alt mod, folosind exact ecuația (9). Fie 2 soluții x1,2 ale problemei (1) (adică (9)) pe Int(IP). După cum am menționat mai sus, atunci graficele lor se află în mod necesar în K1 și cu atât mai mult în C. Fie t I1 = (t0, t0 +), unde este oarecare număr pozitiv. Atunci = 1/(2L(C)). Atunci = 0. Astfel, x1 = x2 pe I1.

Notă pentru profesor. Există, de asemenea, o dovadă a unicității cu ajutorul lemei Gronwall, este și mai natural, deoarece trece imediat la nivel global, dar până acum lema Gronwall nu este foarte convenabilă, deoarece este dificil să o percepem în mod adecvat înaintea ODE-urilor liniare.

Cometariu. Ultima dovadă a unicității este instructivă prin faptul că arată încă o dată într-o lumină diferită cum unicitatea locală duce la unicitatea globală (ceea ce nu este adevărat pentru existență).

Un exercitiu. Demonstrați unicitatea deodată pe toate IP, argumentând din contra, ca în demonstrarea teoremei lui Osgood.

Un caz special important (1) sunt EDO liniare, adică acelea în care valoarea f (t, x) este liniară în x:

În acest caz, pentru a se încadra în condițiile teoriei generale, ar trebui să se solicite. Astfel, în acest caz, banda acționează ca B, iar condiția de a fi Lipschitz (și chiar diferențiabilă) față de x este îndeplinită automat: pentru toate t (a, b), x, y Rn avem |f (t, x) f (t, y)| = |A(t)(x y)| |A(t)| · |(x y)|.

Dacă selectam temporar o mulțime compactă (a, b), atunci pe ea obținem |f (t, x) f (t, y)| L|(x y)|, unde L = max |A|.

Teoremele Peano și Osgood sau Cauchy-Picard implică solubilitatea unică a problemei (13) pe un interval (Peano-Picard) care conține t0. Mai mult, soluția pe acest interval este limita aproximărilor succesive Picard.

Un exercitiu. Găsiți acest interval.

Dar se dovedește că, în acest caz, toate aceste rezultate pot fi dovedite la nivel global simultan, adică pe tot (a, b):

Teorema. Fie (14) adevărată. Atunci problema (13) are o soluție unică pe (a, b), iar aproximațiile Picard succesive converg către ea uniform pe orice mulțime compactă (a, b).

Dovada. Din nou, ca și în TK-P, construim o soluție a ecuației integrale (9) folosind aproximări succesive folosind formula (10). Dar acum nu trebuie să verificăm condiția ca graficul să cadă în con și cilindru, deoarece

f este definit pentru tot x atâta timp cât t (a, b). Trebuie doar să verificăm că toate xk sunt definite și continue pe (a, b), ceea ce este evident prin inducție.

În loc de (12), arătăm acum o estimare similară a formei în care N este un număr în funcție de alegerea lui . Primul pas de inducție pentru această estimare este diferit (pentru că nu este legat de K1): pentru k = 0 |x1(t) x0| N datorită continuității lui x1, iar următorii pași sunt similari cu (12).

Este posibil să nu descriem acest lucru, deoarece este evident, dar putem observa din nou xk x pe , iar x este soluția (10) corespunzătoare pe . Dar făcând acest lucru, am construit o soluție pentru tot (a, b), deoarece alegerea mulțimii compacte este arbitrară. Unicitatea rezultă din teoremele Osgood sau Cauchy-Picard (și din discuția de mai sus despre unicitatea globală).

Cometariu. După cum am menționat mai sus, TC-P este formal de prisos datorită teoremelor Peano și Osgood, dar este util din 3 motive - acesta:

1. vă permite să conectați problema Cauchy pentru ODE cu o ecuație integrală;

2. oferă o metodă constructivă de aproximări succesive;

3. facilitează demonstrarea existenței globale pentru EDO liniare.

[deși acesta din urmă poate fi dedus și din argumentele § 4.] În cele ce urmează, ne vom referi cel mai adesea la el.

Exemplu. x = x, x(0) = 1. Aproximații succesive Prin urmare, x(t) = e este soluția problemei inițiale pe ansamblul lui R.

Cel mai adesea, nu se va obține o serie, dar rămâne o anumită constructivitate. De asemenea, este posibil să se estimeze eroarea x xk (vezi ).

Cometariu. Din teoremele Peano, Osgood și Cauchy-Picard, este ușor să obțineți teoremele corespunzătoare pentru EDO de ordin superior.

Un exercitiu. Formulați conceptele problemei Cauchy, soluția sistemului și problema Cauchy, toate teoremele pentru EDO de ordin superior, folosind reducerea la sisteme de ordinul întâi descrise în § 1.

Încălcând oarecum logica cursului, dar pentru a asimila și justifica mai bine metodele de rezolvare a problemelor din orele practice, vom întrerupe temporar prezentarea teoriei generale și ne vom ocupa de problema tehnică a „soluției explicite a ODE-urilor”.

§ 3. Câteva metode de integrare Astfel, considerăm ecuaţia scalară = f (t, x). Cel mai simplu caz special pe care am învățat să îl integrăm este așa-numitul. URP, adică o ecuație în care f (t, x) = a(t)b(x). Trucul formal al integrării ERP este de a „separa” variabilele t și x (de unde și numele): = a(t)dt, și apoi să luăm integrala:

unde x = B (A(t)). Un astfel de raționament formal conține mai multe puncte care necesită justificare.

1. Împărțirea cu b(x). Presupunem că f este continuă, deci a C(,), b C(,), adică B este un dreptunghi (,) (,)(în general vorbind, infinit). Mulțimile (b(x) 0) și (b(x) 0) sunt deschise și, prin urmare, sunt seturi finite sau numărabile de intervale. Între aceste intervale există puncte sau segmente în care b = 0. Dacă b(x0) = 0, atunci problema Cauchy are o soluție x x0. Poate că această soluție nu este unică, atunci în domeniul ei de definiție există intervale în care b(x(t)) = 0, dar atunci ele pot fi împărțite la b(x(t)). Rețineți în trecere că funcția B este monotonă pe aceste intervale și, prin urmare, putem lua B 1. Dacă b(x0) = 0, atunci b(x(t)) = 0 în vecinătatea lui t0, iar procedura este legală. . Astfel, procedura descrisă ar trebui, în general, să fie aplicată la împărțirea domeniului de definire a unei soluții în părți.

2. Integrarea părților din stânga și din dreapta în raport cu diferite variabile.

Metoda I. Să dorim să găsim o soluție la problema Kod(t) shi (1) x = (t). Avem: = a(t)b((t)), de unde - am obtinut strict aceeasi formula.

Metoda II. Ecuația este așa-numita. o notație simetrică a ODE originală, adică una care nu specifică care variabilă este independentă și care este dependentă. O astfel de formă are sens doar în cazul în care luăm în considerare o ecuație de ordinul întâi, având în vedere teorema privind invarianța formei primei diferențiale.

Aici este potrivit să tratăm mai detaliat conceptul de diferenţial, ilustrându-l prin exemplul planului ((t, x)), curbe pe acesta, legături emergente, grade de libertate şi un parametru pe curbă.

Astfel, ecuația (2) conectează diferențele t și x de-a lungul IC dorit. Atunci integrarea ecuației (2) în modul arătat la început este perfect legală - înseamnă, dacă doriți, integrarea peste orice variabilă aleasă ca independentă.

În Metoda I, am arătat acest lucru alegând t ca variabilă independentă. Acum vom arăta acest lucru prin alegerea parametrului s de-a lungul IC ca variabilă independentă (deoarece aceasta arată mai clar egalitatea lui t și x). Fie valoarea s = s0 să corespundă punctului (t0, x0).

Atunci avem: = a(t(s))t (s)ds, care după dă Aici ar trebui să ne concentrăm asupra universalității notației simetrice, de exemplu: cercul nu se scrie nici ca x(t), nici ca t(x), dar ca x(s), t(s).

Alte ODE-uri de ordinul întâi sunt reduse la URP, ceea ce poate fi văzut la rezolvarea problemelor (de exemplu, conform cărții de probleme).

Un alt caz important este ODE liniară:

Metoda I. Variaţia constantei.

acesta este un caz special al unei abordări mai generale, care va fi discutat în partea 2. Ideea este că căutarea unei soluții în formă specială scade ordinea ecuației.

Să decidem mai întâi. ecuație omogenă:

În virtutea unicității, fie x 0, fie oriunde x = 0. În acest din urmă caz ​​(fie x 0 pentru certitudine), obținem că (4) oferă toate soluțiile lui (3)0 (inclusiv cele zero și negative).

Formula (4) conține o constantă arbitrară C1.

Metoda variației constante constă în faptul că soluția (3) C1(t) = C0 + Se poate vedea (ca și în cazul sistemelor liniare algebrice) structura ORNY=CHRNY+OROU (mai multe despre aceasta în Partea 2).

Dacă vrem să rezolvăm problema Cauchy x(t0) = x0, atunci trebuie să găsim C0 din datele Cauchy - obținem cu ușurință C0 = x0.

Metoda II. Să găsim un IM, adică o funcție v cu care (3) ar trebui înmulțit (scris în așa fel încât toate necunoscutele să fie colectate pe partea stângă: x a(t)x = b(t)) astfel încât derivata a unei combinații convenabile.

Avem: vx vax = (vx), dacă v = av, adică (o astfel de ecuație, (3) este echivalentă cu o ecuație care este deja ușor de rezolvat și dă (5). Dacă problema Cauchy este rezolvată, atunci în ( 6) este convenabil să luați imediat integrala definita Unele altele sunt reduse la ODE-uri liniare (3), așa cum se poate observa la rezolvarea problemelor (de exemplu, conform cărții de probleme). Cazul important al ODE liniare (imediat pentru orice n) va fi luat în considerare mai detaliat în partea 2.

Ambele situații luate în considerare sunt un caz special al așa-zisului. UPD. Considerăm o EDO de ordinul întâi (pentru n = 1) într-o formă simetrică:

După cum sa menționat deja, (7) specifică IC în planul (t, x) fără a specifica care variabilă este considerată independentă.

Dacă înmulțim (7) cu o funcție arbitrară M (t, x), obținem o formă echivalentă de scriere a aceleiași ecuații:

Astfel, aceeași ODE are multe intrări simetrice. Printre acestea, un rol deosebit îl joacă așa-zișii. înregistrează în diferențiale totale, numele UPD nu are succes, deoarece această proprietate nu este o ecuație, ci forma înregistrării sale, adică, astfel încât partea stângă a (7) este egală cu dF (t, x) cu unele F.

Este clar că (7) este un SPD dacă și numai dacă A = Ft, B = Fx cu ceva F. După cum se știe din analiză, pentru aceasta din urmă este necesar și suficient. Nu justificăm strict. puncte tehnice, de exemplu, netezimea tuturor funcțiilor. Cert este că § joacă un rol secundar - nu este deloc necesar pentru alte părți ale cursului și nu aș dori să depun eforturi excesive pentru prezentarea sa detaliată.

Astfel, dacă (9) este satisfăcută, atunci există un F (este unic până la o constantă aditivă) astfel încât (7) este rescris ca dF (t, x) = 0 (de-a lungul IR), adică.

F (t, x) = const de-a lungul IC, adică IC-urile sunt liniile de nivel ale funcției F. Obținem că integrarea SPD-ului este o sarcină trivială, deoarece căutarea F prin A și B satisface (9) ) nu este dificil. Dacă (9) nu este satisfăcut, atunci ar trebui să găsim așa-numitul. IM M (t, x) astfel încât (8) este un FDD, pentru care este necesar și suficient să se realizeze un analog al lui (9), care ia forma:

După cum rezultă din teoria PDE de ordinul întâi (pe care o vom acoperi în partea 3), ecuația (10) are întotdeauna o soluție, deci IM există. Astfel, orice ecuație de forma (7) poate fi scrisă sub forma unui FDD și, prin urmare, permite integrarea „explicită”. Dar aceste considerații nu dau o metodă constructivă în cazul general, deoarece pentru a rezolva (10), în general, se cere găsirea unei soluții (7), care este ceea ce căutăm. Cu toate acestea, există o serie de tehnici de căutare IM care sunt luate în considerare în mod tradițional în clasele practice (vezi de exemplu).

Rețineți că metodele de mai sus pentru rezolvarea ERP și ODE-uri liniare sunt un caz special al ideologiei IM.

Într-adevăr, ERP dx/dt = a(t)b(x), scris în forma simetrică dx = a(t)b(x)dt, se rezolvă prin înmulțirea cu IM 1/b(x), deoarece după aceasta se transformă în FDD dx/b(x) = a(t)dt, adică dB(x) = dA(t). Ecuația liniară dx/dt = a(t)x + b(t), scrisă sub forma simetrică dx a(t)xdt b(t)dt, se rezolvă prin înmulțirea cu MI

(cu excepția blocului mare asociat sistemelor liniare) sunt că, folosind metode speciale de reducere a ordinii și schimbare a variabilelor, acestea sunt reduse la ODE-uri de ordinul întâi, care sunt apoi reduse la FDD și sunt rezolvate prin aplicarea teorema principală a calculului diferențial: dF = 0 F = const. Problema scăderii ordinii este inclusă în mod tradițional în cursul exercițiilor practice (vezi de exemplu).

Să spunem câteva cuvinte despre EDO de ordinul întâi care nu sunt rezolvate în raport cu derivata:

După cum sa discutat în § 1, se poate încerca să rezolve (11) în raport cu x și să se obțină o formă normală, dar acest lucru nu este întotdeauna recomandabil. Este adesea mai convenabil să rezolvi (11) direct.

Luați în considerare spațiul ((t, x, p)), unde p = x este tratat temporar ca o variabilă independentă. Atunci (11) definește o suprafață (F (t, x, p) = 0) în acest spațiu, care poate fi scrisă parametric:

Este util să ne amintim ce înseamnă aceasta, de exemplu cu ajutorul unei sfere în R3.

Soluțiile dorite vor corespunde curbelor pe această suprafață: t = s, x = x(s), p = x (s) - se pierde un grad de libertate deoarece există o legătură dx = pdt pe soluții. Să scriem această relație în termeni de parametri de pe suprafața (12): gu du + gv dv = h(fudu + fv dv), i.e.

Astfel, soluțiile dorite corespund curbelor de pe suprafața (12), în care parametrii sunt legați prin ecuația (13). Acesta din urmă este o ODE în formă simetrică care poate fi rezolvată.

Cazul I. Dacă într-o regiune (gu hfu) = 0, atunci (12) atunci t = f ((v), v), x = g((v), v) oferă o reprezentare parametrică a curbelor dorite în plan ((t, x)) (adică proiectăm pe acest plan, deoarece nu avem nevoie de p).

Cazul II. În mod similar, dacă (gv hfv) = 0.

Cazul III. În unele puncte simultan gu hfu = gv hfv = 0. Aici este necesară o analiză separată, dacă această mulțime corespunde unor soluții (se numesc apoi singular).

Exemplu. Ecuația lui Clairaut x = tx + x 2. Avem:

x = tp + p2. Parametrizăm această suprafață: t = u, p = v, x = uv + v 2. Ecuația (13) ia forma (u + 2v)dv = 0.

Cazul I. Neimplementat.

Cazul II. u + 2v = 0, atunci dv = 0, adică v = C = const.

Prin urmare, t = u, x = Cu + C 2 este notația parametrică a IR.

Este ușor să-l scrieți în mod explicit x = Ct + C 2.

Cazul III. u + 2v = 0, adică v = u/2. Prin urmare, t = u, x = u2/4 este notația parametrică a „candidatului IC”.

Pentru a verifica dacă acesta este într-adevăr un IR, îl scriem explicit x = t2/4. S-a dovedit că aceasta este o soluție (specială).

Un exercitiu. Demonstrați că soluția specială le privește pe toate celelalte.

Acesta este un fapt general - graficul oricărei soluții speciale este învelișul familiei tuturor celorlalte soluții. Aceasta este baza pentru o altă definiție a unei soluții singulare, tocmai ca un plic (vezi ).

Un exercitiu. Demonstrează asta pentru mai mult ecuație generală Clairaut x = tx (x) cu o funcție convexă, soluția specială are forma x = (t), unde este transformata Legendre a lui , adică = ()1, sau (t) = max(tv (v)). În mod similar pentru ecuația x = tx + (x).

Cometariu. Conținutul § 3 este descris mai detaliat și mai precis în manual.

Notă pentru profesor. Atunci când susțin un curs de prelegeri, poate fi util să extinzi § 3, dându-i o formă mai riguroasă.

Să revenim acum la schema principală a cursului, continuând expunerea începută în §§ 1,2.

§ 4. Rezolvabilitatea globală a problemei Cauchy În § 2 am demonstrat existenţa locală a unei soluţii la problema Cauchy, adică numai pe un interval care conţine punctul t0.

În baza unor ipoteze suplimentare asupra f, am demonstrat și unicitatea soluției, înțelegând-o ca coincidența a două soluții definite pe același interval. Dacă f este liniară în x, atunci se obține o existență globală, adică pe întregul interval în care coeficienții ecuației (sistemului) sunt definiți și continui. Totuși, după cum arată o încercare de a aplica teoria generală la un sistem liniar, intervalul Peano-Picard este în general mai mic decât cel pe care poate fi construită o soluție. Apar întrebări firești:

1. cum se determină intervalul maxim pe care se poate afirma existența unei soluții (1)?

2. Acest interval coincide întotdeauna cu intervalul maxim, pe care partea dreaptă a lui (1)1 mai are sens?

3. cum se formulează cu acuratețe conceptul de unicitate a unei soluții fără rezerve cu privire la intervalul definiției acesteia?

Faptul că răspunsul la întrebarea 2 este în general negativ (sau mai bine zis, necesită o mare acuratețe) este arătat de următorul exemplu. x = x2, x(0) = x0. Dacă x0 = 0, atunci x 0 - nu există alte soluții prin teorema lui Osgood. Dacă x0 = 0, atunci decidem că este util să facem un desen). Intervalul de existență al unei soluții nu poate fi mai mare decât (, 1/x0) sau respectiv (1/x0, +), pentru x0 0 și x0 0 (a doua ramură a hiperbolei nu are legătură cu soluția! - aceasta este greseala tipica elevi). La prima vedere, nimic din problema inițială „prefigura un astfel de rezultat”. În § 4 vom găsi o explicație pentru acest fenomen.

Pe exemplul ecuației x = t2 + x2 se arată o eroare tipică a elevilor cu privire la intervalul de existență a soluției. Aici faptul că „ecuația este definită peste tot” nu implică deloc că soluția poate fi extinsă la întreaga linie. Acest lucru este clar chiar și dintr-un punct de vedere pur cotidian, de exemplu, în legătură cu legile juridice și procesele care se desfășoară în temeiul acestora: chiar dacă legea nu prevede în mod explicit încetarea existenței unei companii în 2015, aceasta nu înseamnă deloc că această companie nu va da faliment până în acest an din motive interne (deși funcționează în cadrul legii).

Pentru a răspunde la întrebările 1–3 (și chiar pentru a le formula clar), este necesară noțiunea de soluție neextensibilă. Vom considera (după cum am convenit mai sus) soluțiile ecuației (1)1 ca perechi (, (tl (), tr ())).

Definiție. Soluția (, (tl (), tr ())) este continuarea soluției (, (tl (), tr ())) dacă (tl (), tr ()) (tl (), tr () ), și |(tl(),tr()) =.

Definiție. O soluție (, (tl (), tr ())) este neextensibilă dacă nu are extensii netriviale (adică diferite). (vezi exemplul de mai sus).

Este clar că IS-urile au o valoare deosebită, iar în termenii lor este necesar să se dovedească existența și unicitatea. Apare o întrebare firească - este întotdeauna posibil să construim un SI bazat pe o soluție locală sau pe problema Cauchy? Se dovedește că da. Pentru a înțelege acest lucru, să introducem conceptele:

Definiție. O mulțime de soluții ((, (tl (), tr ()))) este consecventă dacă oricare 2 soluții din această mulțime coincid la intersecția intervalelor definiției lor.

Definiție. O mulțime consistentă de soluții se numește maximă dacă nu i se poate adăuga încă o soluție, astfel încât noua mulțime să fie consecventă și să conțină noi puncte în uniunea domeniilor soluției.

Este clar că construcția INN este echivalentă cu construcția SI și anume:

1. Dacă există un IS, atunci orice INN care îl conține poate fi doar un set de restricții ale acestuia.

Un exercitiu. Verifica.

2. Dacă există un INN, atunci HP (, (t, t+)) este construit după cum urmează:

setăm (t) = (t), unde este orice element INN definit în acest punct. Este evident că o astfel de funcție va fi definită în mod unic în ansamblu (t, t+) (unicitatea rezultă din consistența mulțimii), iar în fiecare punct coincide cu toate elementele INN definite în acest punct. Pentru orice t (t, t+) există cineva definit în el și, prin urmare, în vecinătatea lui și, din moment ce există o soluție (1)1 în această vecinătate, atunci la fel. Astfel, există o soluție (1)1 pe ansamblu (t, t+). Este neextensibil, deoarece altfel ar putea fi adăugată o extensie non-trivială la INN, în ciuda maximalității sale.

Construirea problemei ILS (1) în cazul general (în condițiile teoremei Peano), atunci când nu există unicitate locală, este posibilă (vezi , ), dar mai degrabă greoaie - se bazează pe un pas cu- aplicarea treptată a teoremei Peano cu o estimare mai mică pentru lungimea intervalului de extensie. Astfel, HP există întotdeauna. Vom justifica acest lucru doar în cazul în care există unicitate locală, atunci construcția INN (și deci și IR) este banală. De exemplu, pentru certitudine, vom acționa în cadrul TC-P.

Teorema. Fie îndeplinite condițiile TK-P în domeniul B Rn+1. Atunci pentru orice (t0, x0) B problema (1) are un IS unic.

Dovada. Luați în considerare mulțimea tuturor soluțiilor problemei (1) (nu este goală conform TK-P). Formează INN - consistentă datorită unicității locale și maximă având în vedere faptul că acesta este ansamblul tuturor soluțiilor problemei Cauchy în general. Deci NR există. Este unică datorită unicității locale.

Dacă se cere construirea unui SI pe baza soluției locale disponibile (1)1 (și nu problema Cauchy), atunci această problemă, în cazul unicității locale, se reduce la problema Cauchy: trebuie să alegeți orice punct din IR existent și luați în considerare problema Cauchy corespunzătoare. IS-ul acestei probleme va fi o continuare a soluției originale datorită unicității sale. Dacă nu există unicitate, atunci continuarea soluției date se efectuează conform procedurii indicate mai sus.

Cometariu. HP nu poate fi extins la sfârșitul intervalului său de existență (indiferent de condiția de unicitate), astfel încât să fie o soluție și la punctele finale. Pentru justificare, este necesar să clarificăm ce se înțelege prin soluția unei EDO la capetele unui segment:

1. Abordare 1. Fie ca soluția (1)1 a intervalului să fie înțeleasă ca o funcție care satisface ecuația de la capete în sensul unei derivate unilaterale. Atunci, posibilitatea extinderii specificate a unei soluții, de exemplu, la capătul drept al intervalului existenței sale (t, t+] înseamnă că IC are un punct final în interiorul B și C 1(t, t+). Dar apoi, rezolvand problema Cauchy x(t+) = (t+) pentru (1) si gasind solutia acesteia, obtinem, pentru extremitatea dreapta t+ (in punctul t+ ambele derivate unilaterale exista si sunt egale cu f (t+). , (t+)), deci există o derivată obișnuită), adică nu a fost NR.

2. Abordarea 2. Dacă soluția (1)1 a intervalului este înțeleasă ca o funcție care este numai continuă la capete, dar astfel încât capetele IC să se afle în B (chiar dacă ecuația nu trebuie îndeplinită la capete), atunci același raționament se va dovedi în continuare, doar în ceea ce privește ecuația integrală corespunzătoare (vezi detalii).

Astfel, limitându-ne imediat doar la intervale deschise ca seturi de definiții ale soluțiilor, nu am încălcat generalitatea (ci am evitat doar agitația inutilă cu derivatele unilaterale etc.).

Ca urmare, am răspuns la întrebarea 3, pusă la începutul § 4: în condiția de unicitate (de exemplu, Osgood sau Cauchy-Picard), soluția problemei Cauchy este unică în HP. Dacă condiția de unicitate este încălcată, atunci pot exista multe IS ale problemei Cauchy, fiecare cu propriul interval de existență. Orice soluție (1) (sau pur și simplu (1)1) poate fi extinsă la un IS.

Pentru a răspunde la întrebările 1 și 2, este necesar să luăm în considerare nu variabila t separat, ci comportamentul IC în spațiul Rn+1. La întrebarea cum se comportă IC „aproape de capete”, el răspunde. Rețineți că intervalul de existență are capete, dar IC poate să nu le aibă (sfârșitul IC în B nu există întotdeauna - vezi observația de mai sus, dar sfârșitul poate să nu existe pe B – vezi mai jos).

Teorema. (despre părăsirea compactului).

o formulăm în condiții de unicitate locală, dar acest lucru nu este necesar - vezi, unde TPK-ul este formulat ca criteriu pentru NR.

În condițiile TC-P, graficul oricărui IS din ecuația (1)1 lasă orice mulțime compactă K B, adică K B (t, t+): (t, (t)) K la t .

Exemplu. K = ( (t, x) B | ((t, x), B) ).

Cometariu. Astfel, IC-ul IS aproape de t± se apropie de B: ((t, (t)), B) 0 ca t t± - procesul de continuare a soluției nu se poate termina strict în interiorul B.

pozitiv, aici ca exercițiu este util să se demonstreze pozitivitatea distanței dintre mulțimile închise disjunse, dintre care una este o mulțime compactă.

Dovada. Fix K B. Luați orice 0 (0, (K, B)). Dacă B = Rn+1, atunci prin definiție presupunem (K, B) = +. Mulțimea K1 = ( (t, x) | ((t, x), K) 0 /2 ) este de asemenea compactă în B, deci există F = max |f |. Alegem numerele T și R până la K suficient de mici încât orice cilindru de forma De exemplu, este suficient să ia T 2 + R2 2/4. Atunci problema Cauchy a formei, conform TK-P, are o soluție pe un interval nu mai îngust decât (t T0, t + T0), unde T0 = min(T, R/F) pentru toate (t, x) K.

Acum, ca segment dorit, puteți lua = . Într-adevăr, trebuie să arătăm că dacă (t, (t)) K, atunci t + T0 t t + T0. Să arătăm, de exemplu, a doua inegalitate. O soluție la problema Cauchy (2) cu x = (t) există la dreapta cel puțin până la punctul t + T0, dar este un IS al aceleiași probleme, care, datorită unicității sale, este o extensie, deci t + T0 t+.

Astfel, graficul IS întotdeauna „atinge B”, astfel încât intervalul de existență al IS depinde de geometria IC.

De exemplu:

Afirmație. Fie B = (a, b)Rn (interval finit sau infinit), f satisface condițiile TC-P din B, este un IS al problemei (1) cu t0 (a, b). Atunci fie t+ = b fie |(t)| + pentru t t+ (și similar pentru t).

Dovada. Deci fie t+ b, apoi t+ +.

Se consideră o mulțime compactă K = B B. Pentru orice R +, conform TPK, există (R) t+ astfel încât pentru t ((R), t+) punctul (t, (t)) K. Dar deoarece t t+, acest lucru este posibil numai pentru contul |(t)| R. Dar asta înseamnă |(t)| + pentru t t+.

În acest caz particular, vedem că dacă f este definit „pentru tot x”, atunci intervalul de existență al IS poate fi mai mic decât maximul posibil (a, b) numai datorită tendinței IS de a la apropierea de capetele intervalului (t, t+) (cazul general - până la limita B).

Un exercitiu. Generalizați ultima Aserțiune în cazul în care B = (a, b), unde Rn este o regiune arbitrară.

Cometariu. Trebuie înțeles că |(t)| + nu înseamnă orice k(t).

Astfel, am răspuns la întrebarea 2 (cf. exemplul de la începutul § 4): IR ajunge la B, dar proiecția sa pe axa t poate să nu ajungă la capetele proiecției lui B pe axa t. Rămâne întrebarea 1 - există semne prin care, fără a rezolva ODE, se poate judeca posibilitatea de a continua soluția la „cel mai larg interval posibil”? Știm că pentru EDO liniare această extensie este întotdeauna posibilă, dar în exemplul de la începutul § 4 acest lucru este imposibil.

Să luăm mai întâi în considerare, pentru ilustrare, un caz special al ERP pentru n = 1:

convergența integralei improprie h(s)ds (improprie din cauza = + sau din cauza singularității lui h în punct) nu depinde de alegerea lui (,). Prin urmare, mai jos vom scrie pur și simplu h(s)ds când vorbim despre convergența sau divergența acestei integrale.

acest lucru ar putea fi deja realizat în teorema lui Osgood și în afirmațiile aferente.

Afirmație. Fie a C(,), b C(, +), ambele funcții sunt pozitive pe intervalele lor. Fie problema Cauchy (unde t0 (,), x0) are un IS x = x(t) pe intervalul (t, t+) (,). Apoi:

Consecinţă. Dacă a = 1, = +, atunci t+ = + Demonstrație. (Aserțiuni). Rețineți că x crește monoton.

Un exercitiu. Dovedi.

Prin urmare, x(t+) = lim x(t) + există. Avem Cazul 1. t+, x(t+) + - este imposibil de TPK, deoarece x este un IS.

Ambele integrale sunt fie finite, fie infinite.

Un exercitiu. Adăugați dovada.

Rațiune pentru profesor. Ca rezultat, obținem că în cazul 3: a(s)ds +, iar în cazul 4 (dacă se realizează deloc) la fel.

Astfel, pentru cele mai simple EDO pentru n = 1 de forma x = f (x), extensibilitatea soluțiilor până la este determinată de similitudine.

autonome), vezi partea 3.

Exemplu. Pentru f (x) = x, 1 (în special, cazul liniar = 1) și f (x) = x ln x, extensibilitatea soluțiilor (pozitive) la + poate fi garantată. Pentru f(x) = x și f(x) = x ln x la 1, soluțiile „se descompun în timp finit”.

În cazul general, situația este determinată de mulți factori și nu este atât de simplă, dar importanța „rata de creștere a lui f în x” rămâne. Pentru n 1, este dificil de formulat criterii de extensibilitate, dar există condiții suficiente. De regulă, ele sunt justificate cu ajutorul așa-numitelor. estimări a priori ale soluţiilor.

Definiție. Fie h C(,), h 0. Se spune că pentru soluțiile unor EDO, AO |x(t)| h(t) pe (,) dacă orice soluție a acestei EDO satisface această estimare pe acea parte a intervalului (,) în care este definită (adică, nu se presupune că soluțiile sunt în mod necesar definite pe întreg intervalul (,) ).

Dar se dovedește că prezența AO garantează că soluțiile vor fi în continuare definite pe ansamblu (,) (și deci satisfac estimarea pe întreg intervalul), astfel încât estimarea a priori se transformă într-una a posteriori:

Teorema. Fie problema Cauchy (1) să satisfacă condițiile TK-P, iar pentru soluțiile ei există un AO pe intervalul (,) cu ceva h C(,), și cilindrul curbiliniu (|x| h(t), t (,)) B Atunci HP (1) este definită pe toate (,) (și, prin urmare, satisface AO).

Dovada. Să demonstrăm că t+ (t este similar). Să spunem t+. Se consideră o mulțime compactă K = (|x| h(t), t ) B. Prin TPK, ca t t+, punctul graficului (t, x(t)) părăsește K, ceea ce este imposibil din cauza AO.

Astfel, pentru a demonstra extinderea unei soluții la un anumit interval, este suficientă estimarea formală a soluției pe întregul interval necesar.

Analogie: măsurabilitatea unei funcții după Lebesgue și evaluarea formală a integralei implică existența reală a integralei.

Iată câteva exemple de situații în care funcționează această logică. Să începem prin a ilustra teza de mai sus despre „creșterea lui f în x este destul de lentă”.

Afirmație. Fie B = (,) Rn, f satisface condițiile TK-P din B, |f (t, x)| a(t)b(|x|), unde a și b îndeplinesc condițiile propoziției anterioare c = 0 și = +. Atunci IS-ul problemei (1) există pe (,) pentru tot t0 (,), x0 Rn.

Lema. Dacă și sunt continue, (t0) (t0); pentru t t Dovada. Rețineți că în vecinătatea (t0, t0 +): dacă (t0) (t0), atunci acest lucru este imediat evident, în caz contrar (dacă (t0) = (t0) = 0) avem (t0) = g(t0, 0 ) (t0), care dă din nou ceea ce se cere.

Să presupunem acum că există t1 t0 astfel încât (t1). Prin raționament evident, se poate găsi (t1) t2 (t0, t1] astfel încât (t2) = (t2), și pe (t0, t2), dar atunci la punctul t2 avem =, - o contradicție.

g este oricare și, de fapt, este nevoie doar de C și oriunde =, acolo. Dar pentru a nu ne copleși capetele, să o considerăm ca în Lemă. Există o inegalitate strictă aici, dar o EDO neliniară și există și așa-numita.

Notă pentru profesor. Inegalitățile de acest fel ca în lemă sunt numite inegalități de tip Chaplygin (NC). Este ușor de observat că Lema nu avea nevoie de o condiție de unicitate, așa că un astfel de „NP strict” este adevărat și în cadrul teoremei lui Peano. „LF non-strict” este în mod evident fals fără unicitate, deoarece egalitatea este un caz special de inegalitate nestrictă. În fine, „NP nestrict” este adevărat în cadrul condiției de unicitate, dar nu poate fi dovedit decât local, cu ajutorul IM.

Dovada. (Aserțiuni). Să demonstrăm că t+ = (t = similar). Să presupunem că t+, apoi prin Aserția de mai sus |x(t)| + pentru t t+, deci putem presupune x = 0 pe . Dacă demonstrăm AO |x| h on ) (mingea este închisă pentru comoditate).

Problema Cauchy x(0) = 0 are un IS x = 0 unic pe R.

Să indicăm o condiție suficientă pe f în care existența unui IS pe R+ poate fi garantată pentru toate x0 = x(0) suficient de mici. Pentru a face acest lucru, să presupunem că (4) are așa-numitul o funcție Lyapunov, adică o funcție V astfel încât:

1. VC1(B(0, R));

2. sgnV (x) = sgn|x|;

Să verificăm îndeplinirea condițiilor A și B:

A. Luați în considerare problema Cauchy unde |x1| R/2. Să construim un cilindru B = R B(0, R) - domeniul funcției f, unde este mărginit și de clasa C 1, astfel încât să existe F = max |f |. Conform TK-P, există o soluție la (5) definită pe intervalul (t1 T0, t1 + T0), unde T0 = min(T, R/(2F)). Alegând un T suficient de mare, se poate obține T0 = R/(2F). Este important ca T0 să nu depindă de alegerea lui (t1, x1), cu condiția ca |x1| R/2.

B. Atâta timp cât soluția (5) este definită și rămâne în bila B(0, R), putem face următorul argument. Avem:

V (x(t)) = f (x(t)) V (x(t)) 0, adică V (x(t)) V (x1) M (r) = max V (y) . Este clar că m și M nu scad; r sunt discontinue la zero, m(0) = M (0) = 0, iar în afara zero sunt pozitive. Prin urmare, există R0 astfel încât M(R)m(R/2). Dacă |x1| R, apoi V (x(t)) V (x1) M (R) m(R/2), de unde |x(t)| R/2. Rețineți că R R/2.

Acum putem formula o teoremă, care din Secs. A,B deduce existența globală a soluțiilor (4):

Teorema. Dacă (4) are o funcție Lyapunov în B(0, R), atunci pentru toate x0 B(0, R) (unde R este definit mai sus) IS a problemei Cauchy x(t0) = x0 pentru sistemul (4) (cu orice t0) definit la +.

Dovada. După itemul A, soluția poate fi construită pe , unde t1 = t0 + T0 /2. Această soluție se află în B(0, R) și îi aplicăm elementul B, astfel încât |x(t1)| R/2. Aplicăm din nou elementul A și obținem o soluție pe , unde t2 = t1 + T0/2, adică acum soluția este construită pe . Aplicăm elementul B acestei soluții și obținem |x(t2)| R/2, etc. Într-un număr numărabil de pași, obținem o soluție în § 5. Dependența soluțiilor EDO de Considerăm problema Cauchy unde Rk. Dacă pentru unele t0(), x0() această problemă Cauchy are un IS, atunci este x(t,). Apare întrebarea: cum se studiază dependența lui x de? Această întrebare este importantă datorită diverselor aplicații (și va apărea în special în partea 3), dintre care una (deși poate nu cea mai importantă) este soluția aproximativă a ODE-urilor.

Exemplu. Să luăm în considerare problema Cauchy, IS-ul său există și este unic, după cum reiese din TK-P, dar este imposibil de exprimat în funcții elementare. Atunci cum să-i investighezi proprietățile? Una dintre modalități este următoarea: rețineți că (2) este „aproape” de problema y = y, y(0) = 1, a cărei soluție este ușor de găsit: y(t) = et. Putem presupune că x(t) y(t) = et. Această idee este clar formulată după cum urmează: considerăm problema At = 1/100 aceasta este (2), iar la = 0 aceasta este problema pentru y. Dacă demonstrăm că x = x(t,) este continuă într-un anumit sens, atunci obținem că x(t,) y(t) la 0, ceea ce înseamnă x(t, 1/100) y(t ) = et.

Adevărat, rămâne neclar cât de aproape este x de y, dar demonstrarea că x este continuu în raport cu este primul pas necesar fără de care progresul ulterioar este imposibil.

În mod similar, este util să se studieze dependența de parametri în datele inițiale. După cum vom vedea mai târziu, această dependență poate fi redusă cu ușurință la o dependență de un parametru din partea dreaptă a ecuației, așa că deocamdată ne limităm la o problemă de forma Fie f C(D), unde D este o regiune în Rn+k+1; f este Lipschitz în x în orice mulțime compactă în D convexă în x (de exemplu, C(D) este suficient). Fixăm (t0, x0). Se notează M = Rk | (t0, x0,) D este mulțimea de admisibile (pentru care problema (4) are sens). Rețineți că M este deschis. Presupunem că (t0, x0) sunt alese astfel încât M =. Conform TK-P, pentru tot M există un singur IS al problemei (4) - funcția x = (t,) definită pe intervalul t (t(), t+()).

Strict vorbind, deoarece depinde de multe variabile, trebuie să scriem (4) după cum urmează:

unde (5)1 este satisfăcută pe mulțimea G = ( (t,) | M, t (t (), t+()) ). Cu toate acestea, diferența dintre semnele d / dt și / t este pur psihologică (utilizarea lor depinde de același concept psihologic de „fix”). Astfel, mulțimea G este mulțimea maximă naturală a definiției unei funcții, iar problema continuității ar trebui investigată tocmai pe G.

Avem nevoie de un rezultat auxiliar:

Lema. (Gronwall). Fie funcția C, 0, să satisfacă estimarea pentru tot t. Apoi, pentru toate, adevărată Notă pentru profesor. Când citiți o prelegere, nu puteți memora această formulă în avans, ci lăsați spațiu și introduceți-l după încheiere.

Dar apoi păstrați această formulă la vedere, pentru că va fi necesară în ToNZ.

h = A + B Ah + B, de unde obținem ceea ce se cere.

Semnificația acestei leme: ecuație diferențială și inegalitate, conexiune între ele, ecuație integrală și inegalitate, conexiune între toate, lemele diferențiale și integrale ale lui Gronwall și conexiunea dintre ele.

Cometariu. Este posibil să se demonstreze această lemă în baza unor ipoteze mai generale despre, A și B, dar nu avem nevoie de acest lucru încă, dar se va face în cursul UMF (astfel, este ușor de observat că nu am folosit continuitatea lui A). și B etc.).

Acum suntem gata să expunem rezultatul clar:

Teorema. (ToNS) În baza ipotezelor făcute despre f și în notația introdusă mai sus, putem afirma că G este deschis, dar C(G).

Cometariu. Este clar că setul M nu este în general conectat, așa că nici G poate să nu fie conectat.

Notă pentru profesor. Cu toate acestea, dacă am inclus (t0, x0) în numărul de parametri, atunci conexiunea ar fi - aceasta se face în .

Dovada. Fie (t,) G. Este necesar să se demonstreze că:

Fie, pentru certitudine, t t0. Avem: M, astfel încât (t,) este definit pe (t(), t+()) t, t0, ceea ce înseamnă că pe un segment astfel încât t punctul (t, (t,),) trece prin curba compactă D (paralelă cu hiperplanele ( = 0)). Aceasta înseamnă că setul formularului Definiție trebuie să fie ținut tot timpul în fața ochilor tăi!

există și o mulțime compactă în D pentru a și b suficient de mici (convexe în x), astfel încât funcția f este Lipschitz în x:

[Această evaluare trebuie ținută în fața ochilor tăi tot timpul! ] și este uniform continuu în toate variabilele și cu atât mai mult |f (t, x, 1)f (t, x, 2)| (|12|), (t, x, 1), (t, x, 2).

[Această evaluare trebuie ținută în fața ochilor tăi tot timpul! ] Considerăm un 1 arbitrar astfel încât |1 | b și soluția corespunzătoare (t, 1). Mulțimea ( = 1) este compactă în D ( = 1), iar pentru t = t0 punctul (t, (t, 1), 1) = (t0, x0, 1) = (t0, (t0,), 1) ( = 1), iar conform TPK, pentru t t+(1) punctul (t, (t, 1), 1) pleacă ( = 1). Fie t2 t0 (t2 t+(1)) chiar prima valoare la care ajunge punctul menționat.

Prin construcție, t2 (t0, t1). Sarcina noastră va fi să arătăm că t2 = t1 sub restricții suplimentare asupra. Fie acum t3 . Avem (pentru toate aceste t3, toate cantitățile utilizate mai jos sunt definite prin construcție):

(t3, 1)(t3,) = f (t, (t, 1), 1)f (t, (t,),) dt, Să încercăm să demonstrăm că această valoare este mai mică decât a în valoare absolută.

unde integrandul este evaluat după cum urmează:

±f (t, (t,),), mai degrabă decât ±f (t, (t,),), deoarece diferența |(t, 1) (t,)| doar că nu există încă o estimare, deci (t, (t, 1),) este neclar, dar pentru |1 | există și (t, (t,), 1) este cunoscut.

astfel încât |(t3, 1)(t3,)| K|(t, 1)(t,)|+(|1|) dt.

Astfel, funcția (t3) = |(t3, 1) (t3,)| (aceasta este o funcție continuă) satisface condițiile lemei Gronwall cu A(s) K 0, B(s) (|1 |), T = t2, = 0, deci prin această lemă obținem [Această estimare trebuie să fie ținut în fața ochilor în orice moment! ] dacă luăm |1 | 1(t1). Vom presupune că 1(t1) b. Toate raționamentele noastre sunt corecte pentru toate t3 .

Astfel, cu o astfel de alegere de 1, când t3 = t2, tot |(t2, 1) (t2,)| a, precum și |1 | b. Prin urmare, (t2, (t2, 1), 1) este posibilă numai datorită faptului că t2 = t1. Dar aceasta înseamnă, în special, că (t, 1) este definită pe întregul interval , adică t1 t+(1), și toate punctele de forma (t, 1) G dacă t , |1 | 1 (t1).

Adică, deși t+ depinde de, dar segmentul rămâne la stânga lui t+() la suficient de aproape de. În figură În mod similar, la t t0, este prezentată existența numerelor t4 t0 și 2(t4). Dacă t t0, atunci punctul (t,) B(, 1) G, în mod similar pentru t t0, și dacă t = t0, atunci ambele cazuri sunt aplicabile, astfel încât (t0,) B(, 3) G, unde 3 = min (12). Este important ca pentru un (t,) fix se poate găsi t1(t,) astfel încât t1 t 0 (sau, respectiv, t4) și 1(t1) = 1(t,) 0 (sau respectiv 2), astfel încât alegerea lui 0 = 0(t,) este clară (deoarece o bilă poate fi înscrisă în vecinătatea cilindrică rezultată).

de fapt, s-a dovedit o proprietate mai subtilă: dacă un IS este definit pe un anumit interval, atunci toate IS-urile cu parametri suficient de apropiați sunt definite pe el (adică,

toate HP-urile putin perturbate). Cu toate acestea, și invers, această proprietate decurge din deschiderea lui G, așa cum va fi arătat mai jos, deci acestea sunt formulări echivalente.

Astfel, am demonstrat punctul 1.

Dacă ne aflăm în cilindrul specificat în spațiu, atunci estimarea este adevărată pentru |1 | 4(, t,). În același timp |(t3,) (t,)| pentru |t3 t| 5(, t,) datorită continuității în t. Ca rezultat, pentru (t3, 1) B((t,),) avem |(t3, 1) (t,)|, unde = min(4, 5). Acesta este punctul 2.

„Ministerul Educației și Științei Federației Ruse Bugetul Federal de Stat Instituția de Învățământ de Învățământ Profesional Superior UNIVERSITATEA DE STAT DE MANAGEMENT Institutul de Formare a Personalului Științific, Pedagogic și Științific PROGRAM DE TESTE DE INTRARE ÎN DISCIPLINA SPECIALĂ SOCIOLOGIA MANAGEMENTULUI MOSCOVA - 2014 1. INSTRUCȚIUNI DE ORGANIZARE ȘI METODOLOGICE examenele de admitere la școala universitară din...”

« Universitatea de Stat din Amur Departamentul de Psihologie și Pedagogie COMPLEX EDUCAȚIONAL ȘI METODOLOGIC DISCIPLINA CONSULTATIVA PSIHOLOGIE Principalul program educațional în direcția diplomei de licență 030300.62 Psihologie Blagoveshchensk 2012 UMKd dezvoltat Considerat și recomandat la o reuniune a Departamentului de Psihologie Pedago ...

„industria auto) Omsk - 2009 3 Agenția Federală pentru Educație GOU VPO Academia de Automobile și Drumuri din Siberia (SibADI) Departamentul de Pedagogică Inginerie INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE pentru studierea disciplinei Tehnologii pedagogice pentru studenții specialității 050501 - Pregătire profesională (mașini și autovehicule). ."

„Serial Manual G.S. Rozenberg, F.N. Ryansky Manual de ECOLOGIE TEORETICĂ ȘI APLICATĂ Recomandat de Asociația Educațională și Metodologică pentru Învățământul Universitar Clasic din Federația Rusă ca manual pentru studenții de învățământ superior. institutii de invatamantîn specialități de mediu ediția a II-a Editura Nijnevartovsk a Institutului Pedagogic Nijnevartovsk 2005 LBC 28.080.1ya73 P64 Recenzători: Dr. Biol. Științe, profesorul V.I. Popchenko (Institutul de Ecologie...»

„MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERATIEI RUSĂ instituție de învățământ bugetar de stat federal de învățământ profesional superior UNIVERSITATEA PEDAGOGICĂ DE STAT KRASNOYARSK numită după. V.P. Astafieva E.M. Antipova MIC ATELIER DE BOTANICA Ediție electronică KRASNOYARSK 2013 LBC 28,5 A 721 Recenzători: Vasiliev A.N. V.P. Astafiev; Yamskikh G.Yu., doctor în științe geologice, profesor la Universitatea Federală Siberiană Tretyakova I.N., doctor în științe biologice, profesor, cercetător principal al Institutului Forestier...»

„Ministerul Educației și Științei Federației Ruse Instituția bugetară de învățământ de stat federal de învățământ profesional superior Universitatea de stat din Amur Departamentul de psihologie și pedagogie COMPLEX EDUCAȚIONAL ȘI METODOLOGIC DE DISCIPLINĂ BAZĂ DE PEDIATRIE ȘI IGIENĂ Principalul program educațional în direcția formării 050400.62 Psihologic și educație pedagogică Blagoveshchensk 2012 1 UMKd dezvoltat Revizuit și recomandat la o reuniune a Departamentului de Psihologie și ... "

«verificarea sarcinilor cu răspuns detaliat Certificarea de stat (finală) a absolvenților clasei a IX-a a instituțiilor de învățământ general (într-o formă nouă) 2013 GEOGRAFIE Moscova 2013 Alcătuit de: Ambartsumova E.M. Creșterea obiectivității rezultatelor certificării de stat (finale) a absolvenților clasei a IX-a a instituțiilor de învățământ general (în ... "

„Recomandări practice privind utilizarea conținutului de referință, informații și metodologie pentru predarea limbii ruse ca limbă de stat a Federației Ruse. Recomandările practice se adresează profesorilor de limbă rusă (inclusiv ca limbă non-nativă). Conţinut: Sfaturi practiceşi linii directoare pentru selectarea 1. conţinutului materialului pentru instruire şi activități educaționale dedicat problemelor de funcționare a limbii ruse ca limba de stat...»

«EVMURYUKINA DEZVOLTAREA GÂNDIRII CRITICE ȘI A COMPETENȚEI MEDIA A STUDENTILOR ÎN PROCESUL DE ANALIZA PRESEI manual pentru universități Taganrog 2008 2 Muryukina Ye.V. Dezvoltarea gândirii critice și a competenței media a elevilor în procesul de analiză a presei. Manual pentru universități. Taganrog: NP Center for Personality Development, 2008. 298 p. Manualul tratează dezvoltarea gândirii critice și a competenței media a elevilor în procesul orelor de educație media. Pentru că presa de azi…”

„O. P. Golovchenko DESPRE FORMAREA ACTIVITĂȚII FIZICE UMANE Partea a II-a PEDAGOGIE ȘI ACTIVITĂȚI MOTRICE 3 Ediția educațională Oleg Petrovich Golovchenko FORMAREA ACTIVITĂȚII FIZICE UMANE Tutorial Partea a II-a Pedagogia activității motrice Ediția a II-a, corectată *** Editor N.I. . Dispunerea computerului Kosenkova a fost realizată de D.V. Smolyak și S.V. Potapova *** Semnat spre publicare la 23.11. Format 60 x 90/1/16. Hârtie de scris Cască Timp Metodă operațională de imprimare Usl. p.l..."

«INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT DE STAT DE ÎNVĂȚĂMUL PROFESIONAL SUPERIOR Universitatea de Stat din Kazan numită după V.I. IN SI. ULYANOVA-LENINA Biblioteci electronice de resurse științifice și educaționale. Ajutor didactic Abrosimov A.G. Lazareva Yu.I. Kazan 2008 Biblioteci electronice de resurse științifice și educaționale. Ajutor didactic în direcția Electronică resurse educaționale. - Kazan: KSU, 2008. Manualul educațional și metodologic este publicat prin decizie ... "

„MINISTERUL EDUCAȚIEI AL FEDERATIEI RUSĂ Instituția de învățământ de stat de învățământ profesional superior Universitatea de Stat din Orenburg Filiala Akbulak Departamentul de Pedagogie V.A. TETSKOVA METODOLOGIA PREDĂRII ARTEI ÎN ȘCOALA PRIMARĂ A ȘCOALA GENERALĂ DE ÎNVĂȚĂMÂNT INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE Recomandate pentru publicare de către Consiliul Editorial și Editural al Statului instituție educațională superior învăţământul profesional Universitatea de Stat din Orenburg...»

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERATIEI RUSE Dzhegutanova LITERATURA PENTRU COPII DIN ȚĂRILE LIMBA DE STUDIU COMPLEXUL EDUCAȚIONAL ȘI METODOLOGIC Stavropol 2010 1 Publicat prin decizia UDC 82.0 a consiliului editorial și editorial al LBC 83.3 (0) GOU VPO Revista de stat Pedagopol: ...

„REGULAMENTE privind noul sistem de evaluare intrașcolară a calității educației MBOU Kamyshinskaya școala secundară 1. Dispoziții generale 1.1. Regulamentul privind sistemul intrașcolar de evaluare a calității educației (în continuare - regulamentul) stabilește cerințe uniforme pentru implementarea sistemului intrașcolar de evaluare a calității educației (în continuare - SSEKO) în bugetul municipal. instituție educațională Kamyshinskaya mijloc școală gimnazială(denumită în continuare școala). 1.2. Implementarea practică a SSOKO este construită în conformitate cu ... "

“MINISTERUL SĂNĂTĂȚII AL REPUBLICII UZBEKISTAN ACADEMIA DE MEDICĂ TASHKENT DEPARTAMENTUL MG CU ALERGOLOGIE CLINICĂ APROBAT de Prorectorul pentru Afaceri Academice Prof. O.R. Teshaev _ 2012 RECOMANDĂRI PENTRU DEZVOLTAREA DEZVOLTĂRILOR EDUCAȚIONALE ȘI METODOLOGICE PENTRU CLASELE PRACTICE PE UN SISTEM METODOLOGIC UNIFICAT Instrucțiuni pentru profesori universități medicale Tașkent- 2012 MINISTERUL SĂNĂTĂȚII AL REPUBLICII UZBEKISTAN CENTRUL PENTRU DEZVOLTAREA EDUCAȚIEI MEDICALE TASHKENT MEDICAL...»

„Agenția Federală pentru Educație Universitatea de Stat Gorno-Altai A.P. Makoshev GEOGRAFIE POLITICĂ ȘI GEOPOLITICĂ Manual educațional și metodologic Gorno-Altaisk RIO Universitatea de Stat Gorno-Altai 2006 Publicat prin hotărâre a Consiliului editorial și de editare al Universității de Stat Gorno-Altai universitate de stat Makoshev A.P. GEOGRAFIE POLITICĂ ȘI GEOPOLITĂ. Ajutor didactic. - Gorno-Altaisk: RIO GAGU, 2006.-103 p. Manualul educațional și metodic a fost elaborat în conformitate cu...”

„A.V. Novitskaya, L.I. Nikolaeva ȘCOALA VIITORULUI PROGRAM EDUCAȚIONAL MODERN ETAPELE VIEȚII CLASA 1 MANUAL METODOLOGIC PENTRU PROFESORUL ȘCOALA PRIMARĂ Moscova 2009 UDC 371(075.8) LBC 74.00 N 68 Drepturile de autor sunt protejate prin lege, referirea la autori este obligatorie. Novitskaya A.V., Nikolaeva L.I. H 68 Modern program educațional Pașii vieții. – M.: Avvallon, 2009. – 176 p. ISBN 978 5 94989 141 4 Această broșură se adresează în primul rând educatorilor, dar cu siguranță cu informațiile ei...”

« Complex educațional și metodologic DREPT AFACERILOR RUS 030500 - Jurisprudență Moscova 2013 Autor - compilator al Departamentului de Discipline de Drept Civil Referent - Complexul educațional și metodologic a fost luat în considerare și aprobat în cadrul unei ședințe a Departamentului de Discipline de Drept Civil Protocolul nr. _2013. Dreptul rus al afacerilor: educațional și metodic ... "

"DAR. A. Yamashkin V. V. Rujnenkov Al. A. Yamashkin GEOGRAFIA REPUBLICII MORDOVIA Manual EDITURA SARANSK A UNIVERSITĂȚII MORDOVIE 2004 UDC 91 (075) (470.345) LBC D9(2P351–6Mo) Ya549 Recenzători: Departamentul de Geografie fizică a Universității de Stat Pedagoezh; doctor în geografie profesor A. M. Nosonov; profesor al complexului școlar nr. 39 din Saransk A. V. Leontiev Publicat prin decizia consiliului educațional și metodologic al facultății de formare preuniversitară și secundară ... "

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERAȚIEI RUSE UNIVERSITATEA NAȚIONALĂ DE CERCETARE NUCLEARĂ „MEPhI” T. I. Buharova, V. L. Kamynin, A. B. Kostin, D. S. Tkachenko Curs de prelegeri despre ecuațiile diferențiale obișnuite ca ajutor de predare pentru studenții din învățământul superior 201 din Moscow Curs de prelegeri despre obișnuit ecuatii diferentiale : Tutorial. - M.: NRNU MEPhI, 2011. - 228 p. Manualul a fost creat pe baza unui curs de prelegeri susținute de autori la Institutul de Fizică Ingineriei din Moscova timp de mulți ani. Este destinat studenților Universității Naționale de Cercetare Nucleară MEPhI a tuturor facultăților, precum și studenților cu pregătire matematică avansată. Manualul a fost elaborat în cadrul Programului de Creare și Dezvoltare a NRNU MEPhI. Recenzător: doctor în fizică-matematică. Științe N.A. Kudriashov. ISBN 978-5-7262-1400-9 © Universitatea Națională de Cercetare Nucleară MEPhI, 2011 Cuprins Cuvânt înainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare Concepte de bază. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 II. Existența și unicitatea unei soluții la problema Cauchy pentru o ecuație de ordinul întâi Teorema de unicitate pentru OLE de ordinul întâi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Existența unei soluții la problema Cauchy pentru OLE de ordinul întâi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continuarea soluției pentru ODE de ordinul întâi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Problema Cauchy pentru un sistem normal de ordinul al n-lea Concepte de bază și unele proprietăți auxiliare ale funcțiilor vectoriale. . . . Unicitatea soluției problemei Cauchy pentru un sistem normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . Conceptul de spațiu metric. Principiul mapărilor compresive. . . . . . Teoreme de existență și unicitate pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru sisteme normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 38 43 44 48 IV. Câteva clase de ecuații diferențiale obișnuite rezolvate în ecuații în cuadratura cu variabile separabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄC-uri liniare de ordinul întâi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuații omogene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ecuația lui Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuația în diferențiale totale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 58 63 64 65 V. 67 Ecuații de ordinul întâi nerezolvate în raport cu derivata Teorema existenței și unicității pentru o soluție a unei EDO nerezolvate în raport cu derivata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluție specială. Curba discriminanta. plic. . . . . . . . . . . . . . . . Metoda de introducere a parametrilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ecuația lui Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ecuația lui Clairaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. Sisteme ODE liniare Concepte de bază. Teorema de existență și unicitate pentru rezolvarea problemei Sisteme omogene de EDO liniare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . determinantul lui Vronsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluții complexe ale unui sistem omogen. Trecerea la dsr real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sisteme neomogene de EDO liniare. Metoda de variație a constantelor. . . . . Sisteme omogene de EDO liniare cu coeficienți constanți. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O funcție exponențială a unei matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 70 77 79 81 85 Cauchy 85 . . . 87 . . . 91 . . . . . . 96 97 . . . 100 . . . 111 Sisteme neomogene de EDO liniare cu coeficienți constanți. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VII. ODE liniare de ordin înalt Reducere la un sistem de ODE liniare. Teorema existenței și unicității pentru rezolvarea problemei Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ODE liniară omogenă de ordin înalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proprietăți ale soluțiilor complexe ale unei EDO liniare omogene de ordin înalt. Trecerea de la ÔSR complex la real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄD-uri liniare de ordin înalt neomogene. Metoda de variație a constantelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄD-uri liniare omogene de ordin înalt cu coeficienți constanți. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ODE liniară de ordin înalt neomogenă cu coeficienți constanți. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VIII. Teoria durabilității Concepte de bază și definiții legate de sustenabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilitatea soluțiilor unui sistem liniar. . . . . . Teoremele lui Lyapunov privind stabilitatea. . . . . . . . . . Stabilitate la prima aproximare. . . . . . . Comportarea traiectoriilor de fază în apropierea punctului de repaus 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. Primele integrale ale sistemelor de EDO 198 Primele integrale ale sistemelor autonome de ecuații diferențiale ordinare198 Sisteme neautonome de EDO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Notarea simetrică a sistemelor OÄC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X. Ecuații diferențiale parțiale de ordinul întâi Ecuații diferențiale parțiale liniare de ordinul întâi omogene Problema Cauchy pentru o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuații cvasiliniare în derivate parțiale de ordinul întâi. . . . Problema Cauchy pentru o ecuație diferențială parțială cvasiliniară de ordinul întâi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4-210. . . . . 210 . . . . . 212 . . . . . 216 . . . . . 223 . . . . . 227 PREFAŢĂ În pregătirea cărţii, autorii şi-au propus scopul de a culege într-un singur loc şi de a prezenta într-o formă accesibilă informaţii despre majoritatea problemelor legate de teoria ecuaţiilor diferenţiale obişnuite. Prin urmare, pe lângă materialul inclus în programul obligatoriu al cursului de ecuații diferențiale obișnuite predat la NRNU MEPhI (și alte universități), manualul include și întrebări suplimentare care, de regulă, nu au suficient timp la prelegeri, dar care va fi de folos pentru o mai bună înțelegere a materiei și va fi de folos studenților actuali în viitoarele lor activități profesionale. Sunt date dovezi riguroase din punct de vedere matematic pentru toate afirmațiile manualului propus. Aceste dovezi, de regulă, nu sunt originale, dar toate au fost revizuite în conformitate cu stilul de prezentare a cursurilor de matematică la MEPhI. Potrivit opiniei larg răspândite în rândul profesorilor și oamenilor de știință, disciplinele matematice ar trebui studiate cu dovezi complete și detaliate, trecând treptat de la simplu la complex. Autorii acestui manual sunt de aceeași părere. Informațiile teoretice date în carte sunt susținute de analiza unui număr suficient de exemple, ceea ce, sperăm, va facilita studierea materialului de către cititor. Manualul se adresează studenților cu pregătire avansată la matematică, în primul rând studenților Universității Naționale de Cercetare Nucleară MEPhI. În același timp, va fi util tuturor celor care sunt interesați de teoria ecuațiilor diferențiale și utilizează această ramură a matematicii în munca lor. -5- Capitolul I. Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare 1. 1. Concepte de bază Pe tot parcursul manualului, prin ha, bi notăm oricare dintre mulțimile (a, b), , (a, b], , se obține x0 2 Zx ln 4C + 3 u(t)v(t) dt5 Zx v(t) dt.log C 6 x0 x0 După potențarea ultimei inegalități și aplicarea (2.3), avem 2 x 3 Zx Z u(x) 6 C + u(t)v (t) dt 6 C exp 4 v(t) dt5 x0 x0 pentru toți x 2 [ 1, 1]. , y) 2 G. Astfel, f satisface condiția Lipschitz cu L = 1 , de fapt, chiar și cu L = sin 1 în y. Totuși, derivata fy0 în punctele (x, 0) 6= (0, 0) nici măcar nu există. Următoarea teoremă, care este interesantă în sine, ne permite pentru a demonstra unicitatea soluției problemei Cauchy: Teorema 2.1 (La o estimare pentru diferența a două soluții) Fie G un domeniu 2 în R și fie f (x, y) 2 C G și satisface condiția Lipschitz în G de y cu constanta L. Dacă y1 , y2 sunt două soluții ale ecuației y 0 = f (x, y) pe segmentul , atunci este valabilă următoarea inegalitate (estimare): jy2 (x) y1 (x)j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) 6 y1 pentru toate x 2 . -19- y2 Dovada. Prin definiția 2. 2 soluții ale ecuației (2.1), obținem că 8 x 2 puncte x, y1 (x) și x, y2 (x) 2 G. Pentru tot t 2 avem egalitățile corecte y10 (t) = f t , y1 (t ) și y20 (t) = f t, y2 (t) , pe care le integrăm față de t pe segmentul , unde x 2 . Integrarea este legală, deoarece părțile din dreapta și din stânga sunt continue pe funcții. Se obține sistemul de egalități Zx y1 (x) y1 (x0) = x0 Zx y2 (x) y2 (x0) = f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. x0 Scăzând unul din celălalt, avem jy1 (x) y2 (x)j = y1 (x0) y2 (x0) + Zx h f t, y1 (t) i f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 ( x0) + f t, y1 (t) f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt. x0 Se notează C = y1 (x0) y2 (x0) > 0, v(t) = L > 0, u(t) = y1 (t) j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) y2 (t) > 0. pentru toate x 2 . Teorema a fost demonstrată. Ca corolar al teoremei demonstrate, obținem o teoremă de unicitate pentru rezolvarea problemei Cauchy (2.1), (2.2). Corolarul 1. Fie o funcție f (x, y) 2 C G și să satisfacă condiția Lipschitz în y în G, iar funcțiile y1 (x) și y2 (x) să fie două soluții ale ecuației (2.1) pe același interval , cu x0 2 . Dacă y1 (x0) = y2 (x0), atunci y1 (x) y2 (x) pe . Dovada. Să luăm în considerare două cazuri. -20- 1. Fie x > x0 , atunci din teorema 2. 1 rezultă că h i i.e. y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L(x x0) , y2 (x) pentru x > x0 . 2. Fie x 6 x0 , facem schimbarea t = x, apoi yi (x) = yi (t) y~i (t) pentru i = 1, 2. Deoarece x 2 , atunci t 2 [ x0 , x1 ] și egalitatea y~1 (x0) = y~2 (x0) este valabilă. Să aflăm ce ecuație y~i (t) satisface. Următorul lanț de egalități este adevărat: d y~i (t) = dt d~ yi (x) = dx f x, yi (x) = f (t, y~i (t)) . Aici am folosit regula de diferențiere a unei funcții complexe și faptul că yi (x) sunt soluții ale ecuației (2.1). Deoarece funcția f~(t, y) f (t, y) este continuă și satisface condiția Lipschitz față de y, atunci prin teorema 2.1 avem că y~1 (t) y~2 (t) pe [ x0 , x1 ], adică y1 (x) y2 (x) la . Combinând ambele cazuri luate în considerare, obținem afirmarea corolarului. Corolarul 2. (Despre dependența continuă de datele inițiale) Fie o funcție f (x, y) 2 C G și satisface în G condiția Lipschitz pe y cu constantă L, iar funcțiile y1 (x) și y2 (x) sunt soluții ale Ecuația (2.1) definită la . Se notează l = x1 x0 și δ = y1 (x0) y2 (x0) . Atunci pentru 8 x 2 inegalitatea y1 (x) y2 (x) 6 δ eL l este adevărată. Demonstrarea rezultă imediat din Teorema 2. 1. Inegalitatea din Corolarul 2 se numește estimarea stabilității soluției față de datele inițiale. Semnificația sa constă în faptul că, dacă la x = x0 soluțiile sunt „aproape”, atunci sunt și „aproape” pe segmentul final. Teorema 2. 1 oferă o estimare, care este importantă pentru aplicații, pentru modulul diferenței a două soluții, iar Corolarul 1 oferă unicitatea soluției problemei Cauchy (2.1), (2.2). Există și alte condiții suficiente pentru unicitate, dintre care una o prezentăm acum. După cum sa menționat mai sus, unicitatea geometrică a soluției problemei Cauchy înseamnă că nu mai mult de o curbă integrală a ecuației (2.1) poate trece prin punctul (x0, y0) al domeniului G. Teorema 2.2 (Osgood despre unicitate). Fie o funcție f (x, y) 2 C G și pentru 8 (x, y1), (x, y2) 2 G inegalitatea f (x, y1) f (x, y2) 6 6 ϕ jy1 y2 j , unde ϕ ( u) > 0 pentru u 2 (0, β], ϕ(u) este continuă, iar Zβ du ! +1 când ε ! 0+. Atunci cel mult o curbă integrală (2.1).-21- Demonstrație. Fie că există există două soluții y1 (x) și y2 (x) ale ecuației (2.1), astfel încât y1 (x0) = y2 (x0) = y0 , notăm z(x) = y2 (x) y1 (x).dyi dx dz = f (x, y2) f (x, y1) jzj 6 ϕ jzj jzj, adică atunci z dx 1 d inegalitatea jzj2 6 ϕ jzj jzj, din care, pentru jzj 6= 0, rezultă că 2 dx dublă inegalitate: Zjz2 j Zx2 dx 6 x1 2 d jzj 6 2 jzjϕ jzj Zx2 dx, (2.5) x1 jz1 j i = 1, 2. Prin presupunere, z(x) 6 0 și, în plus, este continuu, deci există un astfel de segment, alegeți-l și fixați-l. Se consideră mulțimile n o X1 = x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x >x2 și z(x) = 0 . Cel puțin una dintre aceste mulțimi nu este goală, deoarece z(x0) = 0 și x0 62 . Fie, de exemplu, X1 6= ∅, este mărginit de sus, deci 9 α = sup X1 . Rețineți că z(α) = 0, adică α 2 X1 , deoarece presupunând că z(α) > 0, din cauza continuității, vom avea z(x) > 0 pe un interval α δ1 , α + δ1 , iar acest lucru contrazice definiția lui α = sup X1 . Din condiția z(α) = 0 rezultă că α< x1 . По построению z(x) > 0 pentru tot x 2 (α, x2 ], iar din moment ce z(x) ! 0+ este continuu pentru x ! α + 0. Să repetăm ​​argumentele din derivarea (2.5), integrând peste segmentul [α + δ, x2 ], unde x2 este ales mai sus și fix, iar δ 2 (0, x2 α) este arbitrar, obținem următoarea inegalitate: Zjz2 j Zx2 dx 6 α+δ d jzj2 6 inegalitate, avem tendința de a δ ! 0+, atunci z(α+δ) ! z(α) = 0, din Zjz2 j d jzj2 ! +1, prin condiția de continuitate z(x), și apoi integrala 2 jzjϕ jzj a teoremei jz(α+ δ)j -22 - Partea dreaptă a inegalității Rx2 dx = x2 α δ 6 x2 α este mărginită de α + δ de sus de o valoare finită, ceea ce este simultan imposibil, că problema Cauchy (2.1), (2.2) este înțeleasă după cum urmează problema găsirii funcției y(x): 0 y = f (x, y), (x, y) 2 G, y(x0) = y0 , (x0 , y0 ) 2 G, unde f (x, y) 2 C G și (x0 , y0) 2 G, G este un domeniu în R2 Lema 2. 2. Fie f (x, y) 2 C G Atunci sunt valabile următoarele afirmații: 1 ) orice re soluția ϕ(x) a ecuației (2.1) pe intervalul ha, bi satisfăcând (2.2) x0 2 ha, bi este o soluție pe ha, bi a ecuației integrale Zx y(x) = y0 + f τ, y( τ) dτ ; (2.6) x0 2) dacă ϕ(x) 2 C ha, bi este o soluție a ecuației integrale (2.6) pe ha, bi, 1 unde x0 2 ha, bi, atunci ϕ(x) 2 C ha, bi și este o soluție a lui (2.1 ), (2.2). Dovada. 1. Fie ϕ(x) o soluție la (2.1), (2.2) pe ha, bi. Atunci, prin Observația 2.2 ϕ(x) 2 C ha, bi și 8 τ 2 ha, bi, avem egalitatea ϕ 0 (τ) = f τ, ϕ(τ) , integrând care de la x0 la x, obținem ( pentru orice x 2 ha , bi) Rx ϕ(x) ϕ(x0) = f τ, ϕ(τ) dτ și ϕ(x0) = y0 , adică, ϕ(x) este soluția (2.6). x0 2. Fie y = ϕ(x) 2 C ha, bi o soluție a (2.6). Deoarece f x, ϕ(x) este continuă pe ha, bi prin presupunere, atunci Zx ϕ(x) y0 + f τ, ϕ(τ) dτ 2 C 1 ha, bi x0 ca o integrală cu o limită superioară variabilă a unui continuu funcţie. Diferențiând ultima egalitate față de x, obținem ϕ 0 (x) = f x, ϕ(x) 8 x 2 ha, bi și, evident, ϕ(x0) = y0 , adică. ϕ(x) este soluția problemei Cauchy (2.1), (2.2). (Ca de obicei, o derivată la sfârșitul unui segment se înțelege ca însemnând derivata unilaterală corespunzătoare.) -23- Observația 2. 6. Lema 2. 2 se numește lema privind echivalența problemei Cauchy (2.1) , (2.2) la ecuația integrală (2.6). Dacă demonstrăm că există o soluție a ecuației (2.6), atunci obținem solubilitatea problemei Cauchy (2.1), (2.2). Acest plan este implementat în următoarea teoremă. Teorema 2.3 (Teorema existenței locale). Fie dreptunghiul P = (x, y) 2 R2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β se află în întregime în domeniul G al funcției f (x, y). Funcția f (x, y) 2 C G și satisface condiția Lipschitz pentru n y ov G cu constantă L. Notă β M = max f (x, y) , h = min α, M . Atunci există o soluție a problemei Cauchy (2.1), (2.2) pe intervalul P. Dovada. Să stabilim existența unei soluții a ecuației integrale (2.6) pe interval. Pentru a face acest lucru, luați în considerare următoarea succesiune de funcții: Zx y0 (x) = y0 , y1 (x) = y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ ) dτ etc. x0 1. Să arătăm că cele 8 n 2 N funcții yn (aproximații succesive) sunt definite, adică să arătăm că pentru 8 x 2 inegalitatea yn (x) y0 6 β este valabilă pentru tot n = 1, 2, . . . Folosim metoda inducției matematice (MMI): a) baza de inducție: n = 1. Zx y1 (x) y0 = f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β, x0 unde M0 = max f (x , y0) pentru jx x 0 j 6 α , M0 6 M ; b) ipoteza si pasul de inductie. Fie adevărată inegalitatea pentru yn 1 (x), să o demonstrăm pentru yn (x): Zx yn (x) y0 = f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 Deci, dacă jx x0 j 6 h , apoi yn ( x) y0 6 β 8 n 2 N. -24- x0 6 M h 6 β. Scopul nostru este de a demonstra convergența celui mai apropiat succesor 1 yk (x) k=0, pentru aceasta este convenabil să o reprezentăm astfel: yn = y0 + n X yk 1 (x) = y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 + . . . + yn yn 1 , k=1 adică. secvențe de sume parțiale ale unei serii funcționale. 2. Estimați termenii acestei serii prin demonstrarea următoarelor inegalități 8 n 2 N și 8 x 2 : x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! Să aplicăm metoda inducţiei matematice: jx n 1 1 hn . n! (2.7) a) baza de inducție: n = 1. y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h, dovedit mai sus; b) ipoteza si pasul de inductie. Fie inegalitatea adevărată pentru n, să spunem pentru n: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) = f τ, yn 2 (τ) 1, până la dτ 6 x0 Zx i yn 6 prin condiția Lipschitz 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 prin ipoteza de inducție 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ = (n 1)! x0 M0 Ln 1 = (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ = (n 1)! n n! 1 x0 Rx Aici am folosit faptul că integrala I = jτ x0 pentru x > x0 pentru x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот serie de numere converge k! k=1 prin testul d'Alembert, deoarece M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak(k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Atunci, conform testului Weierstrass de convergență uniformă, seria funcțională 1 P y0 + yk (x) yk 1 (x) converge absolut și uniform pe intervalul k=1 ke , deci, șirul funcțional 1 yk (x) ) k=0 converge uniform pe interval către o funcție ϕ(x), iar din moment ce yn (x) 2 C , rezultă că ϕ(x) 2 C ca limită a unei secvențe uniform convergente de funcții continue. 4. Considerăm definiția lui yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 este o egalitate adevărată pentru toți n 2 N și x 2 . Partea stângă a egalității (2.8) are o limită ca n ! 1, deoarece yn (x) ⇒ ϕ(x) pe , și deci partea dreaptă a lui (2.8) are și o limită Rx (aceeași). Să arătăm că este egală cu funcția y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 folosind următorul criteriu pentru convergența uniformă a șirului funcțional: X yn (x) ⇒ ϕ(x) pentru n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 pentru n! unu . x2X X Reamintim că notația yn (x) ⇒ ϕ(x) pentru n ! 1 este folosit de obicei pentru convergența uniformă pe mulțimea X a șirului funcțional 1 a funcției yk (x) k=0 la funcția ϕ(x). -26- Să arătăm că y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 aici X = . Pentru a face acest lucru, luați în considerare f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 prin condiția Lipschitz 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 pentru n! 1 τ 2X X 1 convergență yn (x) ⇒ ϕ(x). Astfel, trecând la limita din (2.8), obținem pentru tot x 2 egalitatea corectă Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 în care ϕ(x) 2 C . Prin lema 2.2 demonstrată mai sus, ϕ(x) este o soluție la problema Cauchy (2.1), (2.2). Teorema a fost demonstrată. Observația 2. 7. Teorema 2. 3 stabilește existența unei soluții pe intervalul . Prin corolarul 1 al teoremei 2.1, această soluție este unică în sensul că orice altă soluție a problemei Cauchy (2.1), (2.2) definită nu coincide cu ea pe acest interval. Observația 2. 8. Reprezentați un dreptunghi P ca o uniune a două dreptunghiuri (intersectate) P = P [ P + , (Fig. 2. 3) unde n P = (x, y) n P = (x, y) + x2; x2; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Orez. 2. 3. Unirea dreptunghiurilor Fie f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P ) obținem existența (și unicitatea) unei soluții pe segmentul n o β + + , unde h = min α, M + sau, respectiv, pe , n o β − De observat că în acest caz, în general, h+ 6= h− , și h h = min α, M − din Teorema 2. 3 este minimul lui h+ și h− . Observația 2. 9. Existența unei soluții la problema (2.1), (2.2) este garantată de Teorema 2. 3 numai pe un anumit interval . Într-un astfel de caz, se spune că teorema este locală. Se pune întrebarea: caracterul local al Teoremei 2.3 nu este o consecință a metodei aplicate de demonstrare a acesteia? Poate că, folosind o altă metodă de demonstrare, este posibil să se stabilească existența unei soluții pe întreg intervalul , i.e. global, cum a fost cazul proprietății de unicitate a soluției problemei Cauchy (2.1), (2.2)? Următorul exemplu arată că natura locală a teoremei 2.3 este legată de „esența” problemei și nu de metoda de demonstrare a acesteia. Exemplul 2. 1. Considerăm problema Cauchy 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o în dreptunghiul P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Funcția f (x, y) = −y 2 este continuă în P și fy0 = −2y 2 C P , deci toate condițiile Teo1 β , α = și Teorema 2. 3 sunt îndeplinite, iar M = max f (x, y) = 4. Atunci h = min P P M 4 -28- Teorema 2. 3 garantează existenţa unei soluţii pe intervalul 1 1 . Să rezolvăm - , 4 4 această problemă Cauchy folosind „separarea variabilelor”: - dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 este soluția problemei Cauchy (2.9). x+1 Graficul soluției este prezentat în fig. (2.4), care arată că soluția 1 pentru x< x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 >A, B1< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B >Bk+1 > Bk pentru toți k 2 N; 1) A< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k >N este valabil Să demonstrăm această afirmație auxiliară pentru cazul A, B 2 R (adică A și B sunt finiți; dacă A = 1 sau B =+1, atunci în mod similar). Luați x A B x , arbitrar x 2 (A, B) și δ(x) = min , δ(x) > 0. Prin 2 2 numărul δ din convergența Ak ! A și Bk! B obținem că 9 N1 (δ) 2 N: 8 k > N1 , A< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k >N2,x< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k >N. Aplicând Corolarul 1 din Secțiunea 2.1 (adică teorema unicității), obținem că ϕ(t) ψ(t) pentru tot t 2 și, în special, pentru t = x. Deoarece x este un punct arbitrar în (A, B), se demonstrează unicitatea soluției și, odată cu aceasta, corolarul. Observația 2. 10. În corolarul tocmai dovedit, am întâlnit mai întâi noțiunea de extindere a unei soluții la un set mai larg. În paragraful următor, îl vom studia mai detaliat. Să dăm câteva exemple. p Exemplul 2. 2. Pentru ecuația y 0 = ejxj x2 + y 2 aflați dacă soluția ei există în ansamblu (A, B) = (1, +1). Considerăm această ecuație în „fâșia” Q = R2 , funcția p jxj f (x, y) = e x2 + y 2 ∂f y = ejxj p , fy0 6 ejxj = L(x). ∂y x2 + y 2 Conform afirmației 2.1 din Secțiunea 2.1, funcția f (x, y) satisface condiția Lipschitz față de y cu „constanta” L = L(x), x este fixă. Atunci sunt îndeplinite toate condițiile corolarului, iar pentru orice dată inițială (x0 , y0) 2 R2 soluția problemei Cauchy există și, în plus, este unică pe (1, +1). Rețineți că ecuația în sine nu poate fi rezolvată în pătraturi, dar soluțiile aproximative pot fi construite numeric. este definită și continuă în Q, -32- Exemplul 2. 3. Pentru ecuația y 0 = ex y 2 aflați dacă soluțiile sale există definite pe R. Dacă luăm în considerare din nou această ecuație în „fâșia” Q = R2 , unde funcția ∂ f f (x, y)= ex y 2 (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j pentru toate y1 , y2 2 R. Într-adevăr, f (x, y2) f (x, y1) = ex jy2 + y1 j jy2 y1 j, iar expresia jy2 + y1 j nu este mărginită pentru y1 , y2 2 R. Astfel, corolarul nu se aplică. Rezolvăm această ecuație prin „separarea variabilelor”, obținem soluția generală: „ y(x) = 0, y(x) = 1 . ex + C Pentru certitudine, se ia x0 = 0, y0 2 R. Dacă y0 = 0, atunci y(x ) 0 este o soluție a problemei Cauchy pe R. 1 este o soluție a problemei Cauchy, pentru y0 2 [ 1, 0) ex este definită pentru tot x 2 R, în timp ce pentru y0 2 ( 1, 1) [ (0, +1) soluția nu este y0 + 1 poate fi continuată prin punctul x = ln Mai precis, dacă x > 0, atunci y0 1 se definește soluția y(x) = y0 +1 pentru x 2 (1, x) și dacă x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, atunci soluția există numai pentru x 2 1; ln y0 Acest exemplu arată că restricția de creștere a funcției f (x, y) în corolarul teoremei 2. 4 demonstrată mai sus este esențială pentru extinderea soluției la întreg (A, B). În mod similar, exemplele sunt obținute cu funcția f (x, y) = f1 (x) y 1+ε pentru orice ε > 0; în exemplul de mai sus, ε = 1 este luat doar pentru comoditatea prezentării. 2. 3. Continuarea soluției pentru EDO de ordinul întâi Definiția 2. 5. Se consideră ecuația y 0 = f (x, y) și fie y(x) soluția sa pe ha, bi și Y (x) soluție pe hA , Bi, unde ha, bi este conținut în hA, Bi și Y (x) = y(x) pe ha, bi. Atunci Y (x) se numește o extensie a soluției y(x) la hA, Bi, în timp ce y(x) se spune că este extins la hA, Bi. -34- În Secțiunea 2.2 am demonstrat o teoremă de existență locală pentru o soluție a problemei Cauchy (2.1), (2.2). În ce condiții se poate extinde această soluție la un interval mai larg? Această secțiune este dedicată acestei întrebări. Principalul său rezultat este următorul. Teorema 2.5 (cu privire la continuarea soluției într-un domeniu închis mărginit). Fie o funcție f (x, y) 2 C G și să satisfacă condiția Lipschitz față de y în R2 , iar (x0 , y0) să fie un punct interior al unui domeniu închis mărginit G G. Atunci soluția ecuației y 0 = f (x , y) extensibil până la ∂G a graniței lui G, adică poate fi extins la un astfel de segment încât punctele a, y(a) și b, y(b) să se afle pe ∂G. ∂f (x, y) este continuă într-un domeniu închis ∂y mărginit G convex în y, atunci funcția f (x, y) satisface condiția Lipschitz în G față de variabila y. Vezi corolarul Aserției 2. 1 ∂f din Subsecțiunea 2.1. Prin urmare, această teoremă va fi adevărată dacă este continuă în ∂y G. Observația 2. 11. Reamintim că dacă Demonstrație. Deoarece (x0 , y0) este un punct interior al lui G, atunci există un dreptunghi închis n o 2 P = (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β , care se află în întregime în G. Apoi, prin teoremă 2. 3 din n 2.2 există h > 0 astfel încât să existe o soluție (și unică) y = ϕ(x) a ecuației y 0 = f (x, y) pe interval. Să continuăm mai întâi această soluție la dreapta până la limita domeniului G, împărțind demonstrația în pași separate. 1. Se consideră mulțimea E R: n o E = α > 0 soluția y = ϕ(x) este extensibilă, există o soluție y = ϕ1 (x) a ecuației y 0 = f (x, y) care îndeplinește condițiile Cauchy ϕ1 ~b = ϕ ~b . Astfel, ϕ(x) și ϕ1 (x) sunt soluții pe intervalul ~b h1 , ~b ale aceleiași ecuații care coincid în punctul x = ~b, deci coincid pe întreg intervalul ~b h1 , ~b și , prin urmare, ϕ1 (x) este o extensie a soluției ϕ(x) din intervalul ~b h1 , ~b la ~b h1 , ~b + h1 . Se consideră funcția ψ(x): ϕ(x), x 2 x0 , ψ(x) = ϕ1 (x), x 2 ~b ~b , h1 , ~b + h1 ~b h1 , x0 + α0 + h1 , care este o soluție a ecuației y 0 = f (x, y) și satisface condiția Cauchy ψ(x0) = y0 . Atunci numărul α0 + h1 2 E, care contrazice definiția α0 = sup E. Prin urmare, Cazul 2 este imposibil. În mod similar, soluția ϕ(x) se extinde la stânga, la intervalul , unde punctul este a, ϕ(a) 2 ∂G. Teorema este complet demonstrată. -37- Capitolul III. Problema Cauchy pentru un sistem normal de ordinul al n-lea 3. 1. Concepte de bază și unele proprietăți auxiliare ale funcțiilor vectoriale În acest capitol, vom considera un sistem normal de ordinul al n-lea de forma 8 > t, y , . . . , y y _ = f 1 n 1 1 > ,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > > : y_ = f t, y , . . . , y , n n 1 n unde funcțiile necunoscute (dorite) sunt y1 (t), . . . , yn (t), în timp ce funcțiile fi sunt cunoscute, i = 1, n, punctul de deasupra funcției indică derivata față de t. Se presupune că toate fi sunt definite în domeniul G Rn+1 . Este convenabil să scriem sistemul (3.1) sub formă vectorială: y_ = f (t, y), unde y(t) y1 (t) . . . , yn (t) , f (t, y) f1 (t, y) . . . , fn (t, y); Nu vom scrie săgeți în desemnarea vectorilor pentru concizie. O astfel de notație va fi notată și prin (3.1). Fie punctul t0 , y10 , . . . , yn0 se află în G. Problema Cauchy pentru (3.1) este să găsim o soluție ϕ(t) a sistemului (3.1) care să îndeplinească condiția: ϕ1 (t0) = y10 , ϕ2 (t0) = y20 , ..., ϕn (t0) = yn0 , (3.2) sau sub formă vectorială ϕ(t0) = y 0 . După cum sa observat în Capitolul 1, prin soluția sistemului (3.1) pe intervalul ha, bi înțelegem funcția vectorială ϕ(t) = ϕ1 (t), . . . , ϕn (t) îndeplinind următoarele condiţii: 1) 8 t 2 ha, bi punctul t, ϕ(t) se află în G; 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt ϕ(t); 38 3) 8 t 2 ha, bi ϕ(t) satisface (3.1). Dacă o astfel de soluție satisface suplimentar (3.2), unde t0 2 ha, bi, atunci se numește soluție a problemei Cauchy. Condițiile (3.2) se numesc condiții inițiale sau condiții Cauchy, iar numerele t0 , y10 , . . . , yn0 sunt date Cauchy (date inițiale). În cazul special când funcția vectorială f (t, y) (n+1) a variabilei depinde de y1 , . . . , yn liniar, adică are forma: f (t, y) = A(t) y + g(t), unde A(t) = aij (t) este o matrice n n, sistemul (3.1) se numește liniar. În cele ce urmează, vom avea nevoie de proprietățile funcțiilor vectoriale, pe care le prezentăm aici pentru comoditatea referințelor. Regulile de adunare și înmulțire cu un număr pentru vectori sunt cunoscute din cursul de algebră liniară, aceste operații de bază sunt efectuate în funcție de coordonate. n Dacă introducem produsul scalar x în R, y = x1 y1 + . . . + xn yn , atunci obținem un spațiu euclidian, notat și cu Rn , cu lungimea s q n P a vectorului jxj = x, x = x2k (sau norma euclidiană). Pentru un produs scalar k=1 și lungime, două inegalități de bază sunt adevărate: 1) 8 x, y 2 Rn 2) 8 x, y 2 Rn x+y 6 x + y x, y 6 x (inegalitatea triunghiului); y (inegalitatea Cauchy-Bunyakov - Din cursul analizei matematice din al doilea semestru, se știe că convergența unei secvențe de puncte (vectori) în spațiul euclidian (finit-dimensional) este echivalentă cu convergența șirurilor de coordonate dintre acești vectori, spun ei, este echivalent cu convergența în funcție de coordonate.Acest lucru decurge cu ușurință din inegalitățile: q p max x 6 x21 + . . . . + x2n = jxj 6 n max xk .16k6n 16k6n Similar cazului scalar, derivata și integrala unei funcții vectoriale sunt definite, iar proprietățile sunt ușor de demonstrat prin trecerea la coordonate. Să prezentăm câteva inegalități pentru funcțiile vectoriale, care vor fi folosite în cele ce urmează. 1. Pentru orice funcție vectorială y(t) = y1 (t), . . . , yn (t) , integrabil (de exemplu, continuu) pe , se respectă următoarea inegalitate: Zb Zb y(t) dt 6 a y(t) dt a -39- (3.3) sau în forma de coordonate 0 Zb Zb y1 ( t) dt, @ y2 (t) dt, . . . , a 1 Zb a Zb q yn (t) dt A 6 y12 (t) + . . . yn2 (t) dt . a o Dovada. Rețineți mai întâi că inegalitatea nu exclude cazul b< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – arunc matricea A, atunci: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 prin inegalitatea Cauchy-Áunyakovsky 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 [email protected] 2 2 l=1 2 x , k,i=1 ceea ce implică (3.5). Definiția 3. 1. Să spunem că funcția vectorială f (t, y) satisface condiția Lipschitz față de variabila vectorială y pe mulțimea G de variabile (t, y) dacă 9 L > 0 astfel încât pentru orice t , y , 2 t, y 2 G inegalitatea f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 este satisfăcută. Ca și în cazul unei funcții a două variabile (vezi Aserția 2.1), o condiție suficientă pentru proprietatea Lipschitz într-un domeniu G „convex în y” este ca derivatele parțiale să fie mărginite. Să dăm o definiție precisă. Definiția 3. 2. Un domeniu G de variabile (t, y) se numește convex 1 2 în y dacă pentru oricare două puncte t, y și t, y aflate în G, segmentul care leagă aceste două puncte îi aparține în întregime, adică. e. setați n o t, y y = y 1 + τ y 2 y 1 , unde τ 2 . Afirmația 3. 1. Dacă domeniul G al variabilelor (t, y) este convex în y, iar derivatele parțiale ∂fi sunt continue și mărginite de o constantă l în G pentru ∂yj al tuturor i, j = 1, n, atunci funcția vectorială f t, y satisface în G condiția Lipschitz pe y cu constanta L = n l. 1 2 Dovada. Luați în considerare punctele arbitrare t, y și t, y din G și 1 2 segmentul care le conectează, adică. setați t, y , unde y = y + τ y y1 , t este fix și τ 2 . -41- Să introducem o funcție vectorială cu un argument scalar g(τ) = f t, y(τ) , 2 1 apoi g(1) g(0) = f t, y f t, y , iar pe de altă parte Z1 g (1) g (0) = d g(τ) dτ = dτ Z1 A(τ) d y(τ) dτ = dτ 0 0 h = datorită y = y 1 + τ y 2 y i 1 Z1 = A(τ) y 2 y 1 dτ , 0 unde A(τ) este o matrice cu intrări ∂fi și ∂yj y2 y 1 este coloana corespunzătoare. Aici am folosit regula de diferențiere a unei funcții complexe și anume, pentru tot i = 1, n, t este fix, avem: gi0 (τ) = ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t , y(τ) = + + ... + = dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi , ..., y2 y1 . = ∂y1 ∂yn Scriind aceasta sub formă de matrice, obținem: 0 2 1 g (τ) = A(τ) y y cu n n matrice A(τ) = aij (τ) ∂fi ∂yj . Folosind estimarea integrală (3.3) și inegalitatea (3.5), după substituție obținem: f t, y 2 f t, y 1 Z1 = g 0 (τ) dτ = 0 Z1 6 A(τ) y 2 Z1 y1 A(τ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A(τ) A(τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 n l 0 6 max A(τ) deoarece 2 y 1 dτ 6 2 2 n P ∂fi = i,j=1 ∂yj 2 y2 y1 , 2 6 n2 l2 pentru 8 τ 2 . Afirmația a fost dovedită. -42- 3. 2. Unicitatea soluției problemei Cauchy pentru un sistem normal Teorema 3. 1 (asupra estimarii diferenței a două soluții). Fie G un domeniu Rn+1 , iar funcția vectorială f (x, y) să fie continuă în G și să satisfacă condiția Lipschitz față de variabila vectorială y pe mulțimea G cu constantă L. Dacă y 1 , y 2 sunt două soluții ale sistemului normal (3.1) y_ = f (x, y) pe segmentul , apoi estimarea y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L(t t0 ) este valabil pentru toate t 2 . Demonstrarea repetă textual demonstrația Teoremei 2.1 din Sec. 2.1, ținând cont de renotații evidente. 2 De aici este ușor de obținut teorema unicității și stabilității soluției în raport cu datele inițiale. Corolarul 3.1. Fie funcția vectorială f (t, y) continuă în domeniul G și satisface condiția Lipschitz în y în G și fie funcțiile y 1 (t) și y 2 (t) două soluții ale sistemului normal (3.1). ) pe același segment și t0 2 . Dacă y 1 (t0) = y 2 (t0), atunci y 1 (t) y 2 (t) pe . Corolarul 3.2. (pe dependența continuă de datele inițiale). Fie funcția vectorială f (t, y) continuă în domeniul G și satisface condiția Lipschitz pe y cu constantă L > 0 în G și fie funcțiile vectoriale y 1 (t) și y 2 (t) soluții ale sistemul normal (3.1) definit la . Atunci, pentru 8 t 2, inegalitatea y 1 (t) este valabilă, unde δ = y 1 (t0) y 2 (t0) și l = t1 y 2 (t) 6 δ eL l , t0 . Dovada corolarelor repetă cuvânt cu cuvânt dovezile Corolarelor 2.1 și 2.2, ținând cont de renotațiile evidente. 2 Studiul solubilității problemei Cauchy (3.1), (3.2), ca și în cazul unidimensional, se reduce la solubilitatea unei ecuații integrale (vectorale). Lema 3. 1. Fie f (t, y) 2 C G; Rn 1 . Atunci sunt valabile următoarele afirmații: 1) orice soluție ϕ(t) a ecuației (3.1) pe intervalul ha, bi satisfăcând (3.2) t0 2 ha, bi este o soluție continuă pe ha, bi 1 Prin C G; H este obișnuit să desemneze mulțimea tuturor funcțiilor continue în domeniul G cu valori în spațiul H. De exemplu, f (t, y) 2 C G; Rn componente) definite pe mulțimea G. este mulțimea tuturor funcțiilor vectoriale continue (cu n -43-ecuație integrală y(t) = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ ; (3.6) t0 2) dacă vectorul -funcția ϕ(t) 2 C ha, bi este o soluție continuă a ecuației integrale (3.6) pe ha, bi, unde t0 2 ha, bi, atunci ϕ(t) are o derivată continuă pe ha, bi și este o soluție a lui (3.1), (3.2). Dovada. 1. Fie 8 τ 2 ha, bi satisface egalitatea dϕ(τ) = f τ, ϕ(τ) . Apoi, integrând de la t0 la t, ținând cont de (3.2), obținem dτ Rt 0 că ϕ(t) = y + f τ, ϕ(τ) dτ, adică, ϕ(t) satisface ecuația (3.6). t0 2. Fie o funcție vectorială continuă ϕ(t) satisface ecuația (3.6) pe ha, bi. Atunci f t, ϕ(t) este continuă pe ha, bi prin teorema de continuitate a funcției compozite și, prin urmare, partea dreaptă a lui (3.6) ) (și deci partea stângă) are o derivată continuă față de t pe ha, bi. Pentru t = t0, din (3.6) ϕ(t0) = y 0 , adică, ϕ(t) este soluția problemei Cauchy (3.1), (3.2). Rețineți că, ca de obicei, derivata de la sfârșitul segmentului (dacă îi aparține) este înțeleasă ca derivată unilaterală a funcției. Lema este dovedită. Observația 3. 1. Folosind analogia cu cazul unidimensional (vezi capitolul 2) și enunțurile demonstrate mai sus, putem demonstra teorema privind existența și extinderea unei soluții la problema Cauchy prin construirea unei secvențe iterative convergente către rezolvarea ecuației integrale (3.6) pe un interval t0 h, t0 + h . Aici prezentăm o altă dovadă a existenței (și unicității) teoremei pentru o soluție bazată pe principiul mapării contracției. Facem acest lucru pentru a familiariza cititorul cu metode mai moderne de teorie, care vor fi folosite în viitor, în cursurile de ecuații integrale și ecuații de fizică matematică. Pentru a ne duce la îndeplinire planul, avem nevoie de o serie de concepte noi și aserțiuni auxiliare, pe care le vom lua în considerare acum. 3. 3. Conceptul de spațiu metric. Principiul mapărilor de contracție Cel mai important concept de limită în matematică se bazează pe conceptul de „proximitate” punctelor, adică. pentru a putea găsi distanța dintre ele. Pe axa numerelor, distanța este modulul diferenței dintre două numere, în plan este bine renumită formulă distanțe euclidiene etc. Multe fapte de analiză nu folosesc proprietățile algebrice ale elementelor, ci se bazează doar pe conceptul de distanță dintre ele. Dezvoltarea acestei abordări, de ex. separarea „ființei” legată de conceptul de limită duce la conceptul de spațiu metric. -44- Definitia 3. 3. Fie X o multime de natura arbitrara, iar ρ(x, y) o functie reala a doua variabile x, y 2 X, satisfacand trei axiome: 1) ρ(x, y) > 0 8 x, y 2 X și ρ(x, y) = 0 numai pentru x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (axioma de simetrie); 3) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) (inegalitatea triunghiului). În acest caz, setul X cu funcţie datăρ(x, y) se numește spațiu metric (ÌP), iar funcția ρ(x, y) : X X 7! R care satisface 1) – 3), – metrică sau distanță. Să dăm câteva exemple de spații metrice. Exemplul 3. 1. Fie X = R cu distanța ρ(x, y) = x y , obținem MT R. n o n xi 2 R, i = 1, n este Exemplul 3. 2. Fie X = R = x1 , . . . , xn este mulţimea colecţiilor ordonate de n numere reale s n 2 P x = x1 , . . . , xn cu distanța ρ(x, y) = xk yk , obținem n1 k=1 n spațiu euclidian dimensional R . n Exemplul 3. 3. Fie X = C a, b ; R este mulțimea tuturor funcțiilor continue pe a, b cu valori în Rn , adică. funcții vectoriale continue, cu distanța ρ(f, g) = max f (t) g(t) , unde f = f (t) = f1 (t), . . . , fn (t) , t2 s n 2 P g = g(t) g1 (t), . . . , gn (t) , f g = fk (t) gk (t) . k=1 Pentru exemplele 3. 1 –3. Cele 3 axiome ale MP sunt direct verificate, lăsăm asta ca un exercițiu pentru cititorul conștiincios. Ca de obicei, dacă unui element xn 2 X i se atribuie fiecărui număr întreg pozitiv n, atunci spunem că este dată o succesiune de puncte xn MP X. Definiția 3. 4. Se spune că o succesiune de puncte xn MP X converge către un punct x 2 X dacă lim ρ xn , x = 0. n!1 Definiția 3. 5. O secvență xn se numește fundamentală dacă pentru orice ε > 0 există un număr natural N (ε) astfel încât pentru toți n > N și m > N inegalitatea ρ xn , xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε >0 9 N (ε) 2 N: 8m, n > N =) max fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε >0 există un număr N (ε) astfel încât pentru toate n > N și pentru toate t 2 a, b inegalitatea fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Considerăm B = Am , B: X 7! X, B - compresie. Prin teorema 3.2, operatorul B are un punct fix unic x . Deoarece A și B fac naveta AB = BA și întrucât Bx = x , avem B Ax = A Bx = Ax , adică. y = Ax este, de asemenea, un punct fix al lui B și, deoarece un astfel de punct este unic prin Teorema 3.2, atunci y = x sau Ax = x . Prin urmare, x este un punct fix al operatorului A. Să demonstrăm unicitatea. Să presupunem că x~ 2 X și A~ x = x~, atunci m m 1 B x~ = A x~ = A x~ = . . . = x~, adică. x~ este de asemenea un punct fix pentru B, de unde x~ = x . Teorema a fost demonstrată. Un caz special al unui spațiu metric este un spațiu liniar normat. Să dăm o definiție precisă. Definiția 3. 9. Fie X un spațiu liniar (real sau complex) pe care este definită o funcție numerică x, care acționează de la X la R și satisface axiomele: 1) 8 x 2 X, x > 0 și x = 0 numai pentru x = θ; 2) 8 x 2 X și pentru 8 λ 2 R (sau C) 3) 8 x, y 2 X este nick). x+y 6 x + y λx = jλj x ; (inegalitatea triunghiulară) Atunci X se numește spațiu normat, x: X 7! R care satisface 1) – 3), se numește normă. și funcția Într-un spațiu normat, puteți introduce distanța dintre elemente prin formula ρ x, y = x y . Îndeplinirea axiomelor MP este ușor de verificat. Dacă spațiul metric rezultat este complet, atunci spațiul normat corespunzător se numește spațiu Banax. Este adesea posibil să se introducă o normă în moduri diferite pe același spațiu liniar. Ca urmare, apare un concept. Definiţia 3. 10. Fie X un spaţiu liniar, şi fie şi două 1 2 norme introduse pe el. Norme și se numesc echivalente 1 2 norme dacă 9 C1 > 0 și C2 > 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1 . Observația 3. 3. Dacă și sunt două norme echivalente pe X și 1 2 spațiul X este complet într-una dintre ele, atunci este complet și în cealaltă normă. Acest lucru decurge cu ușurință din faptul că șirul xn X, care este fundamental în ceea ce privește, este, de asemenea, fundamental în ceea ce privește și converge către 1 2 același element x 2 X. este utilizat atunci când o bilă închisă a acestui spațiu este luată ca un spațiu n complet o Br (a) = x 2 X ρ x, a 6 r , unde r > 0 și a 2 X sunt fixe. Rețineți că o minge închisă într-un PMP este ea însăși un PMP cu aceeași distanță. Dovada acestui fapt lăsăm cititorului ca exercițiu. Observația 3. 5. Mai sus, completitatea spațiului a fost stabilită din exemplul n măsura 3. 3. De reținut că în spațiul liniar X = C 0, T , R, se poate introduce norma kxk = max x(t) astfel încât normalizarea rezultată va fi Banach. Pe același set de funcții vectoriale continue pe spațiul 0, T, putem introduce o normă echivalentă prin formula kxkα = max e αt x(t) pentru orice α 2 R. Pentru α > 0, echivalența rezultă din inegalități. e αT x(t) 6 e αt x(t) 6 x(t) pentru toate t 2 0, T , de unde e αT kxk 6 kxkα 6 kxk. Folosim această proprietate a normelor echivalente pentru a demonstra teorema privind solubilitatea unică a problemei Cauchy pentru sisteme liniare (normale). 3. 4. Teoreme de existență și unicitate pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru sisteme normale Se consideră problema Cauchy (3.1) – (3.2), unde datele inițiale t0 , y 0 2 G, G Rn+1 sunt domeniul funcția vectorială f (t, y ). În această secțiune, vom presupune că G are – unele n forma G = a, b o , unde domeniul este Rn și mingea este BR (y 0) = Teorema este valabilă. y 2 Rn y y0 6 R se află în întregime în. Teorema 3. 4. Fie f (t, y) 2 C G o funcție vectorială; Rn și 9 M > 0 și L > 0 astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții: 1) 8 (t, y) 2 G = a, b f (t, y) 6 M; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 . Fixați un număr δ 2 (0, 1) și fie t0 2 (a, b). Atunci R159h = min; ; t0 a; b t0 > 0 M L astfel încât să existe și o soluție unică a problemei Cauchy (3.1), (3.2) y(t) pe intervalul Jh = t0 h, t0 + h și y(t) y 0 6 R pentru toate t 2 Jh. -48- Dovada. După Lema 3.1, problema Cauchy (3.1), (3.2) este echivalentă cu ecuația integrală (3.6) pe intervalul , și deci și pe Jh , unde h este ales mai sus. Se consideră spațiul Banach X = C (Jh ; Rn), mulțimea de funcții vectoriale x(t) continuă pe segmentul Jh cu norma kxk = max x(t), și se introduce o mulțime închisă în X: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh = y(t) 2 X y(t) n = y(t) 2 X y y(t) o 0 6R = o 0 y 6R este o bilă închisă în X. Operatorul A definit de regulă : Ay = y 0 + Zt f τ , y(τ) dτ, t 2 Jh , t0 ia SR y 0 în sine, deoarece y 0 = max Ay Zt t2Jh f τ, y(τ) dτ 6 h ​​​​M 6 R t0 prin condiția 1 a teoremei și definiția lui h. Să demonstrăm că A este un operator de contracție pe SR. Să luăm un 0 1 2 arbitrar și să estimăm valoarea: Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 = q y2 y1 , unde q = h L 6 1 5< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 este ales conform R prin formula h = min M ; 1L 5; b a , iar peste tot trebuie să luăm -49- Jh = t0 , t0 + h = a, a + h ca segment Jh. Toate celelalte condiții ale teoremei nu se modifică, demonstrația ei, ținând cont de redenumire, R este păstrată. Pentru cazul t0 = b, în ​​mod similar, h = min M ; 1L 5; b a și Jh = b h, b . n Observația 3. 7. În teorema 3. 4, condiția f (t, y) 2 C G; R , unde G = a, b D, poate fi slăbit prin înlocuirea acestuia cu cerința ca f (t, y) să fie continuu față de variabila t pentru fiecare y 2 , cu condițiile 1 și 2 păstrate. Dovada rămâne la fel. Observația 3. 8. Este suficient ca condițiile 1 și 2 ale teoremei 3. 4 să fie 0 pentru tot t, y 2 a, b BR y , în timp ce constantele M și L depind, în general, 0 de y și R. restricțiile asupra funcția vectorială f t, y , similar Teoremei 2.4, este valabilă teorema de existență și unicitate pentru rezolvarea problemei Cauchy (3.1), (3.2) pe întregul interval a, b. n Teorema 3. 5. Fie o funcție vectorială f x, y 2 C G, R , unde G = a, b Rn , și există L > 0 astfel încât condiția 8 t, y 1 , t, y 2 2 G f t , y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 . Atunci, pentru orice t0 2 și y 0 2 Rn, există pe a și b o soluție unică a problemei Cauchy (3.1), (3.2). Dovada. Să luăm arbitrare t0 2 și y 0 2 Rn și să le reparăm. Reprezentăm mulțimea G = a, b Rn astfel: G = G [ G+ , unde Rn , și G+ = t0 , b Rn , presupunând că t0 2 a, b , în caz contrar unul G = a, t0 din etapele dovada va lipsi. Să argumentăm pentru banda G+ . Pe intervalul t0 , b, problema Cauchy (3.1), (3.2) este echivalentă cu ecuația (3.6). Introducem un operator pentru integrala n A: X 7! X, unde X = Ct0, b; R , după formula Ay = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ. t0 Atunci ecuația integrală (3.6) poate fi scrisă ca o ecuație operator Ay = y. (3.8) Dacă demonstrăm că ecuația operatorului (3.8) are o soluție în PMP X, atunci obținem solubilitatea problemei Cauchy pe t0 , b sau pe a, t0 pentru G . Dacă această soluție este unică, atunci în virtutea echivalenței, soluția problemei Cauchy va fi și ea unică. Prezentăm două dovezi ale solubilității unice a ecuației (3.8). Demonstrație 1. Se consideră funcții vectoriale arbitrare 1 2 n y , y 2 X = C t0 , b ; R , atunci următoarele estimări sunt valabile pentru orice -50- t 2 t0 , b Ay 2: Ay 1 Zt h f τ, y 2 (τ) = 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1 . Reamintim că norma în X se introduce astfel: kxk = max x(τ) . Din inegalitatea rezultată, vom avea ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2 y2 y1 . Continuând acest proces, putem demonstra prin inducție că 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! k y2 y1 . Prin urmare, în final, obținem estimarea Ak y 2 Ak y 1 = max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! k y2 y1 . k Deoarece α(k) = ! 0 pentru k! 1, atunci există k0 astfel încât k! că α(k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α >0 (vezi Observația 3. 5) prin formula: x α = max e αt x(t) . -51- Să arătăm că este posibil să alegem α în așa fel încât operatorul A din spațiul X cu norma pentru α > L să fie contractiv. Într-adevăr, α Ay 2 Ay 1 α Zt h f τ, y 2 (τ) αt = max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ = t0 = L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) = y2 α t0 = L max e αt Deoarece α > L, atunci q = L α 1 1 αt e α e e αt0< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об funcție inversă , datorită căruia se poate rezolva egalitatea (4.3) față de y și se poate obține formula y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) care este valabilă într-o vecinătate a punctului x0 . Să arătăm că egalitatea (4.4) dă o soluție pentru ecuația (4.1) în vecinătatea punctului x0 . Într-adevăr, folosind teorema de diferențiere a funcției inverse și ținând cont de relația F10 (x) = f1 (x), obținem y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 ( y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), de unde rezultă că funcția y(x) din (4.4) este o soluție a ecuației (4.1). Considerăm acum problema Cauchy pentru ecuația (4.1) cu condiția inițială y(x0) = y0 . (4.5) Formula (4.2) poate fi scrisă ca Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Înlocuind aici condiția inițială (4.5), aflăm că C = 0, adică, rezolvarea problemei Cauchy se determină din relaţia Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) În mod evident, este determinat în mod unic. Astfel, soluția generală a ecuației (4.1) este dată de formula (4.4), iar soluția problemei Cauchy (4.4), (4.5) se găsește din relația (4.6). Observația 4. 1. Dacă f2 (y) = 0 pentru unele y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), atunci, evident, soluțiile ecuației (4.1) sunt și funcțiile y( x) yj , j = 1, 2, . . . , s, care se dovedește prin înlocuirea directă a acestor funcții în ecuația (4.1). Observația 4. 2. Pentru ecuația (4.1), soluția generală se determină din relația F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Astfel, partea stângă a relației (4.7) este constantă pe fiecare soluție a ecuației (4.1). Relații precum (4.7) pot fi scrise și la rezolvarea altor EDO. Astfel de relații sunt de obicei numite integrale (integrale generale) ale EDO corespunzătoare. Să dăm o definiție precisă. Definiția 4. 1. Se consideră ecuația y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Relația (x, y) = C, (4.9) unde (x, y) este o funcție a clasei C 1 , se numește integrală generală a ecuației (4.8) dacă această relație nu este satisfăcută identic, dar este satisfăcut pe fiecare soluție a ecuației (4.8 ). Pentru fiecare valoare specifică a lui C 2 R, obținem o integrală parțială. Soluția generală a ecuației (4.8) se obține din integrala generală (4.9) folosind teorema funcției implicite. Exemplul 4. 1. Considerăm ecuația x (4.10) y 0 (x) = y și condiția inițială y(2) = 4. (4.11) Aplicând metoda separării variabilelorõ descrisă mai sus pentru a rezolva ecuația (4.10), obținem y dy = x dx , de unde găsim integrala generală pentru ecuația (4.10) y 2 x2 = C. Soluția generală a ecuației (4.10) se scrie prin formula p y= C + x2 , iar soluția problemei Cauchy ( 4.10), (4.11) se scrie prin formula p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. EDO liniare de ordinul întâi O EDO liniară de ordinul întâi este ecuația y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Dacă q(x) 6 Dacă q(x) x 2 ha, b. (4.12) 0, atunci ecuația se numește neomogenă. 0, atunci ecuația se numește omogenă: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Teorema 4. 1. 1) Dacă y1 (x), y2 (x) sunt soluții ale ecuația omogenă (4.120) , α, β sunt numere arbitrare, atunci funcția y (x) αy1 (x) + βy2 (x) este și ea o soluție a ecuației (4.120). 2) Pentru soluția generală a ecuației neomogene (4.12) are loc formula yon = yoo + ych; (4.13) aici yо este soluția generală a ecuației neomogene (4.12), yн este o soluție particulară a ecuației neomogene (4.12), yоо este soluția generală a ecuației omogene (4.120). Dovada. Prima afirmație a teoremei se demonstrează prin verificare directă: avem y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Să demonstrăm a doua afirmație. Fie y0 o soluție arbitrară a ecuației (4.120), atunci y00 = p(x)y0 . Pe de altă parte, 0 ych = p(x)ych + q(x). Prin urmare, 0 y0 + ych = p(x) y0 + ych + q(x), ceea ce înseamnă că y y0 + ych este o soluție a ecuației (4.12). Astfel, formula (4.13) dă o soluție pentru ecuația neomogenă (4.12). Să arătăm că toate soluțiile ecuației (4.12) pot fi obținute din această formulă. Într-adevăr, fie y^(x) o soluție a ecuației (4.12). Punem y~(x) = y^(x) ych. Avem y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 ych (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)ych (x) = p(x) y ^ (x) q(x) = ych (x) = p(x)~ y (x). Astfel, y~(x) este o soluție a ecuației omogene (4.120), și avem y^(x) = y~(x) + ych, care corespunde formulei (4.13). Teorema a fost demonstrată. -58- Mai jos vom considera problemele Cauchy pentru ecuațiile (4.12) și (4.120) cu condiția inițială y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) În ceea ce privește funcțiile p(x) și q(x) din (4.12), presupunem că p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Observația 4. 3. Se pune F (x, y) = p(x)y + q(x). Atunci, având în vedere condițiile impuse mai sus asupra p(x) și q(x), avem F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 și, în consecință, pentru problema Cauchy (4.12), (4.14) teoremele de existență și unicitate pentru soluție, demonstrate în capitolul 2, sunt valabile pe întreg intervalul ha, bi. Se consideră mai întâi ecuația omogenă (4.120). Teorema 4. 2. enunţuri: Fie p(x) 2 C (ha, bi). Atunci sunt adevărate următoarele: 1) orice soluție a ecuației (4.120) este definită pe întregul interval ha, bi; 2) soluția generală a ecuației omogene (4. 120) este dat de formula y(x) = C e unde C R p(x) dx , (4.15) este o constantă arbitrară; 3) rezolvarea problemei Cauchy (4.120), (4.14) este dată de formula Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Dovada. Să derivăm formula (4.15) în conformitate cu metoda dată la începutul capitolului. În primul rând, observăm că funcția y 0 este o soluție a ecuației (4.120). Fie y(x) o soluție a ecuației (4.120) și y 6 0 pe ha, bi. Atunci 9 x1 2 ha, bi astfel încât y(x1) = y0 6= 0. Se consideră ecuația (4.120) în vecinătatea punctului x1 . Aceasta este o ecuație cu variabile separabile și y(x) 6= 0 într-o vecinătate a punctului x1 . Apoi, în urma rezultatelor paragrafului anterior, obținem o formulă explicită pentru soluția Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- de unde R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, care corespunde formulei (4.15). Mai mult, soluția y 0 este dată de formula (4.15) pentru C = 0. Prin substituție directă în ecuația (4.120), vedem că funcția y(x) dată de formula (4.15) pentru orice C este o soluție pentru ecuația (4.120), de altfel, pe întreg intervalul ha, bi. Să arătăm că formula (4.15) definește soluția generală a ecuației (4.120). Într-adevăr, fie y^(x) o soluție arbitrară a ecuației (4.120). Dacă y^(x) 6= 0 pe ha, bi, atunci repetând raționamentul anterior, obținem că această funcție este dată de formula (4.15) pentru unele C: și anume, dacă y^(x0) = y^0 , atunci Rx p( ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Dacă 9x1 2 ha, bi este astfel încât y^(x1) = 0, atunci problema Cauchy pentru ecuația (4.120) cu condiția inițială y(x1) = 0 are două soluții y ^(x) și y(x) 0. Prin observația 4.3, soluția problemei Cauchy este unică, prin urmare, y^(x) 0 și, prin urmare, este dată de formula (4.15) pentru C = 0. Astfel, am demonstrat că ecuația soluție generală (4.120) este definită pe toți ha, bi și este dată de formula (4.15). Formula (4.16) este în mod evident un caz particular al formulei (4.15), deci funcția y(x) pe care o definește este o soluție a ecuației (4.120). În plus, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , deci formula (4.16) definește într-adevăr o soluție a problemei Cauchy (4.120), (4.14). Teorema 4.2 este demonstrată. Considerăm acum ecuația neomogenă (4.12). Teorema 4. 3. Fie p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Atunci sunt adevărate următoarele afirmații: 1) orice soluție a ecuației (4.12) este definită pe întregul interval ha, bi; 2) soluția generală a ecuației neomogene (4.12) este dată de formula Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e ​​​​p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e unde C este o constantă arbitrară; 3) rezolvarea problemei Cauchy (4.12), (4.14) este dată de formula Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ ) dθ dξ. (4.18) Dovada. În conformitate cu teorema 4.1 și formula (4.13) yon = yоо + yн, este necesar să se găsească o anumită soluție a ecuației (4.12). Pentru a-l găsi, aplicăm așa-numita metodă de variație a unei constante arbitrare. Esența acestei metode este următoarea: luăm formula (4.15), înlocuim constanta C din ea cu o funcție necunoscută C(x) și căutăm o anumită soluție a ecuației (4.12) sub forma ych (x) = C (x) e R p(x) dx. (4.19) Înlocuim yn (x) din (4.19) în ecuația (4.12) și găsim C(x) astfel încât această ecuație să fie satisfăcută. Avem R R 0 ych (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Înlocuind în (4.12), obținem C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) ) dx = q(x), de unde R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Integrând ultima relație și substituind C(x) găsit în formula (4.19), obținem că Z R R p(x) dx ych (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Mai mult, în virtutea Teoremei 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Prin urmare, folosind formula (4.13) din teorema 4.1, obținem că Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yoo + ych = Ce +e q(x)e ​​​​p(x) dx dx, care coincide cu formula (4.17). În mod evident, formula (4.17) oferă o soluție pe întreg intervalul ha, bi. În sfârșit, soluția problemei Cauchy (4.12), (4.14) este dată de formula Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q( ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Într-adevăr, formula (4.20) este un caz special al formulei (4.17) pentru C = y0 , deci definește o soluție a ecuației (4.12). În plus, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , deci inițial date (4.14). Reducem formula (4.20) la forma (4.18). Într-adevăr, din (4.20) avem Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q ( ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 care coincide cu formula (4.18). Teorema 4. 3 se demonstrează. Corolar (cu privire la estimarea soluției problemei Cauchy pentru un sistem liniar). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi) și p(x) 6 K, q(x) 6 M Fie 8 x 2 ha, bi. Atunci rezolvarea problemei Cauchy (4.12), (4.14) satisface estimarea M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Dovada. Fie mai întâi x > x0 . În virtutea (4.18), avem Rx Zx K dξ y(x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ = y0 eK(x x0) Zx +M x0 = y0 e K(x x0) eK(x ξ ) dξ = x0 M + K e K(x ξ) ξ=x ξ=x0 = y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1 . Acum să fie x< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, atunci, evident, funcția y(x) 0 este o soluție a ecuației (4.24). Pentru a rezolva ecuația Bernoulli (4.24) α 6= 0, α 6= 1, împărțim ambele părți ale ecuației la y α . Pentru α > 0, trebuie să ținem cont că, în virtutea Remarcii 4. 4, funcția y(x) 0, este o soluție a ecuației (4.24), care se va pierde într-o astfel de împărțire. Prin urmare, în viitor va trebui adăugat la soluția generală. După împărțire, obținem relația y α y 0 = a(x)y 1 α + b(x). Să introducem o nouă funcție dorită z = y 1 α , apoi z 0 = (1 deci ajungem la o ecuație pentru z z 0 = (1 α)a(x)z + (1 α)y α)b(x) . α y 0, iar (4.25) Ecuația (4.25) este o ecuație liniară. Astfel de ecuații sunt considerate în Secțiunea 4.2, unde se obține o formulă pentru soluția generală, datorită căreia soluția z(x) a ecuației (4.25) se scrie ca z(x) = Ce R (α 1) a( x) dx + + (1 α )e R (α 1) a(x) dx 1 Z b(x)e R (α 1) a(x) dx dx. (4.26) Atunci funcția y(x) = z 1 α (x), unde z(x) este definit în (4.26), este o soluție a ecuației Bernoulli (4.24). -64- În plus, după cum sa indicat mai sus, pentru α > 0, soluția este și funcția y(x) 0. Exemplul 4. 4. Să rezolvăm ecuația y 0 + 2y = y 2 ex . (4.27) Împărțiți ecuația (4.27) la y 2 și faceți modificarea z = obținem o ecuație liniară neomogenă 1 y. Ca rezultat, z 0 + 2z = ex . (4.28) Rezolvăm mai întâi ecuația omogenă: z 0 + 2z = 0, dz = 2dx, z ln jzj = 2x + c, z = Ce2x , C 2 R1 . Rezolvarea ecuației neomogene (4.28) se caută prin metoda variației unei constante arbitrare: zin = C(x)e2x , C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x = ex , C 0 = e x, C(x) = e x , de unde zin = ex , iar soluția generală a ecuației (4.28) z(x) = Ce2x + ex . Prin urmare, soluția ecuației Bernoulli (4.24) poate fi scrisă ca y(x) = 1 . ex + Ce2x În plus, soluția ecuației (4.24) este și funcția y(x) Am pierdut această soluție la împărțirea acestei ecuații la y 2 . 0. 4. 5. Ecuația în diferențiale complete Se consideră ecuația în diferențiale M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, (x, y) 2 G, (4.29) G este un domeniu în R2 . O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială completă dacă există o funcție F (x, y) 2 C 1 (G), numită potențial, astfel încât dF (x, y) = M (x, y)dx + N ( x, y )dy, (x, y) 2 G. Să presupunem, pentru simplitate, că M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G) și domeniul G sunt pur și simplu conectate. Sub aceste ipoteze, în cursul analizei matematice (vezi, de exemplu, ) se demonstrează că potențialul F (x, y) pentru ecuația (4.29) există (adică (4.29) este o ecuație în diferențiale totale) dacă și numai dacă My (x, y) = Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. Mai mult, (x, Z y) F (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy, (4.30) (x0 , y0) unde punctul (x0 , y0) este ceva fix punctul din G, (x, y) este punctul curent din G, iar integrala curbilinie este luată de-a lungul oricărei curbe care leagă punctele (x0, y0) și (x, y) și se află în întregime în domeniul G. Dacă ecuația ( 4.29) este ecuația