, pagina 6

11 Funcții de bază ale unei variabile complexe

Amintiți-vă definiția exponentului complex - . Apoi

Extinderea seriei Maclaurin. Raza de convergență a acestei serii este +∞, ceea ce înseamnă că exponentul complex este analitic pe întregul plan complex și

(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)

Prima egalitate de aici urmează, de exemplu, din teorema privind diferențierea termen cu termen a unei serii de puteri.

11.1 Funcții trigonometrice și hiperbolice

Sinusul unei variabile complexe numită funcție

Cosinusul unei variabile complexe exista o functie

Sinusul hiperbolic al unei variabile complexe este definit astfel:

Cosinusul hiperbolic al unei variabile complexe-- este o funcție

Notăm câteva proprietăți ale funcțiilor nou introduse.

A. Dacă x∈ ℝ , atunci cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .

B. Există următoarea legătură între funcțiile trigonometrice și hiperbolice:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; shiz=isinz.

B. Identități trigonometrice și hiperbolice de bază:

cos2z+sin2z=1; ch2z-sh2z=1.

Dovada identității hiperbolice de bază.

Principal identitate trigonometrică rezultă din identitatea hiperbolică ononică atunci când se ia în considerare legătura dintre funcțiile trigonometrice și hiperbolice (vezi proprietatea B)

G Formule de adunare:

În special,

D. Pentru a calcula derivatele funcțiilor trigonometrice și hiperbolice, ar trebui să se aplice teorema privind diferențierea termen cu termen a unei serii de puteri. Primim:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

E. Funcțiile cos z, ch z sunt pare, în timp ce funcțiile sin z, sh z sunt impare.

G. (periodicitate) Funcția e z este periodică cu perioada 2π i. Funcțiile cos z, sin z sunt periodice cu o perioadă de 2π, iar funcțiile ch z, sh z sunt periodice cu o perioadă de 2πi. În plus,

Aplicând formulele de sumă, obținem

W. Descompuneri în părți reale și imaginare:

Dacă o funcție analitică cu o singură valoare f(z) mapează bijectiv un domeniu D pe un domeniu G, atunci D se numește domeniu de univalență.

ȘI. Domeniul D k ​​=( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Dovada. Relația (5) implică că maparea exp:D k → ℂ este injectivă. Fie w orice număr complex diferit de zero. Apoi, rezolvând ecuațiile e x =|w| și e iy =w/|w| cu variabile reale x și y (alegem y din semiinterval); luate în considerare uneori ...... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

Funcții inverse față de funcțiile hiperbolice (vezi Funcții hiperbolice) sh x, ch x, th x; ele sunt exprimate prin formule (a se citi: arezin hiperbolic, cosinus suprafață hiperbolic, aretangent ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Funcții inverse hiperbolice. funcții; exprimat in formule... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Funcțiile hiperbolice inverse sunt definite ca inversele funcțiilor hiperbolice. Aceste funcții determină aria sectorului hiperbolei unității x2 − y2 = 1 în același mod în care funcțiile trigonometrice inverse determină lungimea ... ... Wikipedia

Cărți

• Funcții hiperbolice , Yanpolsky A.R. Cartea descrie proprietățile funcțiilor hiperbolice și hiperbolice inverse și oferă relația dintre acestea și alte funcții elementare. Aplicații ale funcțiilor hiperbolice la...

Poate fi scris într-o formă parametrică folosind funcții hiperbolice (așa explică numele lor).

Notăm y= b·sht , apoi x2 / a2=1+sh2t =ch2t . De unde x=± a·cht .

Astfel, ajungem la următoarele ecuații parametrice ale hiperbolei:

Y= în sht , –< t < . (6)

Orez. unu.

Semnul "+" din formula superioară (6) corespunde ramurii drepte a hiperbolei, iar semnul ""– "" corespunde ramurii din stânga (vezi Fig. 1). Vârfurile hiperbolei A(– a; 0) și B(a; 0) corespund valorii parametrului t=0.

Pentru comparație, putem da ecuațiile parametrice ale unei elipse folosind funcții trigonometrice:

X=un cost,

Y=in sint , 0 t 2p . (7)

3. În mod evident, funcția y=chx este pară și ia doar valori pozitive. Funcția y=shx este impară, deoarece :

Funcțiile y=thx și y=cthx sunt impare ca câte ai unei funcții par și impare. Rețineți că, spre deosebire de funcțiile trigonometrice, funcțiile hiperbolice nu sunt periodice.

4. Să studiem comportamentul funcției y= cthx în vecinătatea punctului de discontinuitate x=0:

Astfel, axa y este asimptota verticală a graficului funcției y=cthx . Să definim asimptotele oblice (orizontale):

Prin urmare, linia y=1 este asimptota orizontală dreaptă a graficului funcției y=cthx . Datorită ciudățeniei acestei funcții, asimptota ei orizontală stângă este linia dreaptă y= –1. Este ușor de arătat că aceste linii sunt simultan asimptote pentru funcția y=thx. Funcțiile shx și chx nu au asimptote.

2) (chx)"=shx (afișat în mod similar).

4)

Există, de asemenea, o anumită analogie cu funcțiile trigonometrice. Un tabel complet al derivatelor tuturor funcțiilor hiperbolice este prezentat în secțiunea IV.

Tangent, cotangent

Definiții ale funcțiilor hiperbolice, domeniile lor de definiții și valori

sh x- sinus hiperbolic
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- cosinus hiperbolic
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
mersi- tangentă hiperbolică
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- cotangentă hiperbolică
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

Grafice ale funcțiilor hiperbolice

Graficul sinusului hiperbolic y = sh x

Graficul cosinusului hiperbolic y = ch x

Graficul tangentei hiperbolice y= mersi

Graficul cotangentei hiperbolice y= cth x

Formule cu funcții hiperbolice

Relația cu funcțiile trigonometrice

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i-lea z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Aici i este o unitate imaginară, i 2 = - 1 .

Aplicând aceste formule funcțiilor trigonometrice, obținem formule care relaționează funcțiile hiperbolice.

Paritate

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x; cth(-x) = - cth x.

Funcţie ch(x)- chiar. Funcții sh(x), mersi), cth(x)- ciudat.

Diferența de pătrate

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Formule pentru suma și diferența de argumente

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Formule pentru produsele sinusului hiperbolic și cosinusului

,
,
,

,
,
.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor hiperbolice

,
,
,
,
.

Relația dintre sinusul și cosinusul hiperbolic cu tangenta și cotangenta

, ,
, .

Derivate

,

Integrale ale lui sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Extinderi în serie

Funcții inverse

Areasină

La - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areacozină

La 1 ≤ x< ∞ și 0 ≤ y< ∞ exista formule:
,
.

A doua ramură a areacosinului este situată la 1 ≤ x< ∞ și - ∞< y ≤ 0 :
.

Zona tangentă

La - 1 < x < 1 și - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Alături de legătura dintre funcțiile trigonometrice și exponențiale pe care am descoperit-o în domeniul complex (formule Euler)

în domeniul complex există o legătură foarte simplă între funcţiile trigonometrice şi hiperbolice.

Amintiți-vă că, conform definiției:

Dacă în identitatea (3) înlocuim cu atunci în partea dreaptă obținem aceeași expresie care se află în partea dreaptă a identității, din care rezultă egalitatea laturilor stângi. Același lucru este valabil și pentru identitățile (4) și (2).

Împărțind ambele părți ale identității (6) în părțile corespunzătoare ale identității (5) și invers (5) cu (6), obținem:

O înlocuire similară în identitățile (1) și (2) și o comparație cu identitățile (3) și (4) dă:

În sfârșit, din identitățile (9) și (10) găsim:

Dacă introducem identitățile (5)-(12) unde x este un număr real, adică considerăm argumentul pur imaginar, atunci obținem încă opt identități între funcțiile trigonometrice ale unui argument pur imaginar și funcțiile hiperbolice corespunzătoare ale unui real. argument, precum și între funcțiile hiperbolice ale unui argument imaginar pur imaginar și funcțiile trigonometrice corespunzătoare ale argumentului real:

Relaţiile obţinute fac posibilă trecerea de la funcţiile trigonometrice la cele hiperbolice şi din

funcţii hiperbolice la cele trigonometrice cu înlocuirea argumentului imaginar cu cel real. Ele pot fi formulate după următoarea regulă:

Pentru a trece de la funcțiile trigonometrice ale unui argument imaginar la cele hiperbolice sau, dimpotrivă, de la funcțiile hiperbolice ale unui argument imaginar la cele trigonometrice, ar trebui să scoatem unitatea imaginară din semnul funcției pentru sinus și tangente și să o renunțăm cu totul. pentru cosinus.

Legătura stabilită este remarcabilă, în special prin aceea că face posibilă obținerea tuturor relațiilor dintre funcțiile hiperbolice din relațiile cunoscute dintre funcțiile trigonometrice prin înlocuirea acestora din urmă cu funcții hiperbolice.

Să arătăm cum este. se face.

Luați de exemplu identitatea trigonometrică de bază

și puneți în el unde x este un număr real; primim:

Dacă în această identitate înlocuim sinusul și cosinusul cu sinusul și cosinusul hiperbolic conform formulelor, atunci obținem sau și aceasta este identitatea de bază între derivatele anterior într-un mod diferit.

În mod similar, puteți deriva toate celelalte formule, inclusiv formule pentru funcțiile hiperbolice ale sumei și diferențelor argumentelor, argumente duble și jumătate, etc., astfel, din trigonometria obișnuită, obțineți „trigonometrie hiperbolică”.