Formule de volum pentru cifrele de rotație în jurul unei axe. Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală definită. Calculul volumului unui corp format prin rotirea unei figuri plate în jurul unei axe

Folosirea integralelor pentru a găsi volume de solide de revoluție

Utilitatea practică a matematicii se datorează faptului că fără

cunoștințele matematice specifice fac dificilă înțelegerea principiilor dispozitivului și a utilizării tehnologie moderna. Fiecare persoană din viața sa trebuie să efectueze calcule destul de complexe, să folosească echipamente utilizate în mod obișnuit, să găsească formulele necesare în cărțile de referință și să compună algoritmi simpli pentru rezolvarea problemelor. LA societate modernă necesită mai multe specialități nivel inalt educația este asociată cu aplicarea directă a matematicii. Astfel, pentru un școlar, matematica devine o materie semnificativă din punct de vedere profesional. Rolul principal îi revine matematicii în formarea gândirii algoritmice, ea aduce în evidență capacitatea de a acționa conform unui anumit algoritm și de a proiecta noi algoritmi.

Studiind subiectul folosirii integralei pentru a calcula volumele corpurilor de revoluție, propun studenților de la orele opționale să ia în considerare tema: „Volumele corpurilor de revoluție folosind integrale”. Iată câteva îndrumări pentru a trata acest subiect:

1. Aria unei figuri plate.

Din cursul algebrei, știm că problemele practice au condus la conceptul de integrală definită..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Pentru a afla volumul unui corp de revoluție format prin rotirea unui trapez curbiliniu în jurul axei Ox, delimitat de o linie întreruptă y=f(x), axa Ox, drepte x=a și x=b, calculăm prin formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Volumul cilindrului.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Conul se obține prin rotire triunghi dreptunghic ABC(C=90) în jurul axei Ox pe care se află piciorul AC.

Segmentul AB se află pe linia y=kx+c, unde https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Fie a=0, b=H (H este înălțimea conului), apoi Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= „>.

5. Volumul unui trunchi de con.

Un trunchi de con poate fi obținut prin rotire trapez dreptunghiular ABCD (CDOx) în jurul axei Ox.

Segmentul AB se află pe dreapta y=kx+c, unde , c=r.

Deoarece dreapta trece prin punctul A (0; r).

Astfel, linia dreaptă arată ca https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Fie a=0, b=H (H este înălțimea trunchiului de con), apoi https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volumul mingii.

Bila poate fi obținută prin rotirea unui cerc cu centrul (0;0) în jurul axei x. Semicercul situat deasupra axei x este dat de ecuație

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Subiect: „Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală definită”

Tip de lecție: combinate.

Scopul lecției:învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție folosind integrale.

Sarcini:

consolidați capacitatea de a selecta trapeze curbilinii dintr-un rând forme geometriceși să dezvolte abilitățile de a calcula zonele trapezelor curbilinie;

familiarizează-te cu conceptul de figură tridimensională;

învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție;

contribuie la dezvoltare gandire logica, vorbire matematică competentă, acuratețe în construcția desenelor;

să cultive interesul pentru subiect, să opereze cu concepte și imagini matematice, să cultive voința, independența, perseverența în obținerea rezultatului final.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Salut de grup. Comunicarea elevilor a obiectivelor lecției.

Aș vrea să încep lecția de astăzi cu o pildă. „A fost un om înțelept care știa totul. O persoană a vrut să demonstreze că înțeleptul nu știe totul. Strângând fluturele în mâini, a întrebat: „Spune-mi, înțelept, care fluture este în mâinile mele: mort sau viu?” Și el însuși se gândește: „Dacă cel viu spune, o voi omorî, dacă cel mort spune, o voi da afară”. Înțeleptul, după ce s-a gândit, a răspuns: „Totul este în mâinile tale”.

Prin urmare, să lucrăm fructuos astăzi, să dobândim un nou depozit de cunoștințe și vom aplica abilitățile și abilitățile dobândite în viața ulterioară și în activități practice. „Totul este în mâinile tale”.

II. Repetarea materialului învățat anterior.

Să ne amintim punctele principale ale materialului studiat anterior. Pentru a face acest lucru, vom finaliza sarcina „Ștergeți cuvântul suplimentar”.

(Elevii spun un cuvânt în plus.)

Corect "Diferenţial".Încercați restul cuvintelor pentru a numi unul cuvânt comun. (Calcul integral.)

Să ne amintim principalele etape și concepte legate de calculul integral.

Exercițiu. Restabiliți permisele. (Elevul iese și scrie cu un marker cuvintele necesare.)

Lucrați în caiete.

A fost derivată formula Newton-Leibniz fizician englez Isaac Newton (1643-1727) și filozoful german Gottfried Leibniz (1646-1716). Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece matematica este limba vorbită de natura însăși.

Luați în considerare modul în care această formulă este utilizată în rezolvarea sarcinilor practice.

Exemplul 1: Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Soluţie: Să construim pe plan de coordonate grafice de funcții . Selectați zona figurii care trebuie găsită.

III. Învățarea de materiale noi.

Acordați atenție ecranului. Ce se arată în prima poză? (Figura arată o figură plată.)

Ce se arată în a doua imagine? Această cifră este plată? (Figura arată o figură tridimensională.)

În spațiu, pe pământ și în viața de zi cu zi, ne întâlnim nu numai cu figuri plate, ci și cu cele tridimensionale, dar cum să calculăm volumul unor astfel de corpuri? De exemplu: volumul unei planete, comete, meteorit etc.

Ei se gândesc la volum atunci când construiesc case și toarnă apă dintr-un vas în altul. Ar fi trebuit să apară reguli și metode de calcul al volumelor, un alt lucru este cât de exacte și justificate au fost.

1612 a fost pentru locuitori oraș austriac Linz, unde a locuit pe atunci celebrul astronom Johannes Kepler, este foarte productivă, în special pentru struguri. Oamenii pregăteau butoaie de vin și doreau să știe să-și determine practic volumele.

Astfel, lucrările considerate ale lui Kepler au marcat începutul unui întreg flux de cercetare, care a culminat în ultimul sfert al secolului al XVII-lea. design în lucrările lui I. Newton și G.V. Calcul diferențial și integral Leibniz. De atunci, matematica variabilelor de magnitudine a ocupat un loc de frunte în sistemul cunoștințelor matematice.

Așadar astăzi vom fi angajați în astfel de activități practice, prin urmare,

Tema lecției noastre: „Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală definită”.

Veți învăța definiția unui corp de revoluție completând următoarea sarcină.

"Labirint".

Exercițiu. Găsiți o cale de a ieși din situația confuză și scrieți definiția.

IVCalculul volumelor.

Folosind o integrală definită, puteți calcula volumul unui corp, în special al unui corp de revoluție.

Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unui trapez curbiliniu în jurul bazei sale (Fig. 1, 2)

Volumul unui corp de revoluție se calculează cu una dintre formule:

1. în jurul axei x.

2. , dacă rotația trapezului curbiliniu în jurul axei y.

Elevii notează formulele de bază într-un caiet.

Profesorul explică soluția exemplelor de pe tablă.

1. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei y a unui trapez curbiliniu delimitat de drepte: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Soluţie.

Raspuns: 1163 cmc.

2. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unui trapez parabolic în jurul axei absciselor y = , x = 4, y = 0.

Soluţie.

V. Simulator de matematică.

2. Se numește mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date

DAR) integrală nedefinită,

B) funcția,

B) diferențiere.

7. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor unui trapez curbiliniu delimitat de linii:

D/Z. Fixarea de material nou

Calculați volumul corpului format prin rotația petalei în jurul axei x y=x2, y2=x.

Să reprezentăm graficele funcției. y=x2, y2=x. Graficul y2 = x se transformă în forma y = .

Avem V = V1 - V2 Să calculăm volumul fiecărei funcții:

Concluzie:

O integrală definită este un fel de fundație pentru studiul matematicii, care aduce o contribuție indispensabilă la rezolvarea problemelor cu conținut practic.

Subiectul „Integral” demonstrează clar legătura dintre matematică și fizică, biologie, economie și tehnologie.

Dezvoltare stiinta moderna de neconceput fără folosirea integralei. În acest sens, este necesar să începem să-l studiem în cadrul mijlocului educatie speciala!

VI. Notare.(Cu comentarii.)

Marele Omar Khayyam - matematician, poet, filozof. El cheamă să fie stăpâni pe destinul său. Ascultă un fragment din lucrarea lui:

Spui că această viață este doar un moment.
Apreciază-l, inspiră-te din el.
Pe măsură ce o cheltuiți, așa va trece.
Nu uita: ea este creația ta.

Definiția 3. Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe care nu intersectează figura și se află în același plan cu aceasta.

Axa de rotație poate intersecta și figura dacă este axa de simetrie a figurii.

Teorema 2.
, axa
și segmente de linie dreaptă
și

se rotește în jurul unei axe
. Apoi volumul corpului de revoluție rezultat poate fi calculat prin formula

(2)

Dovada. Pentru un astfel de corp, secțiunea cu abscisa este un cerc cu raza
, mijloace
iar formula (1) dă rezultatul dorit.

Dacă cifra este limitată de graficele a două funcţii continue
și
, și segmente de linie
și
, în plus
și
, apoi la rotirea în jurul axei absciselor, obținem un corp al cărui volum

Exemplul 3 Calculați volumul unui tor obținut prin rotirea unui cerc delimitat de un cerc

în jurul axei x.

R soluţie. Cercul specificat este mărginit de jos de graficul funcției
, Si mai sus -
. Diferența pătratelor acestor funcții:

Volumul dorit

(graficul integrandului este semicercul superior, deci integrala scrisă mai sus este aria semicercului).

Exemplul 4 Segment parabolic cu bază
, și înălțimea , se învârte în jurul bazei. Calculați volumul corpului rezultat („lămâie” de Cavalieri).

R soluţie. Plasați parabola așa cum se arată în figură. Apoi ecuația sa
, și
. Să găsim valoarea parametrului :
. Deci, volumul dorit:

Teorema 3. Fie un trapez curbiliniu mărginit de graficul unei funcții continue nenegative
, axa
și segmente de linie dreaptă
și
, în plus
, se rotește în jurul unei axe
. Apoi volumul corpului de revoluție rezultat poate fi găsit prin formula

(3)

idee dovada. Împărțirea segmentului
puncte

, în părți și trageți linii drepte
. Întregul trapez se va descompune în benzi, care pot fi considerate aproximativ dreptunghiuri cu bază
si inaltime
.

Cilindrul rezultat din rotirea unui astfel de dreptunghi este tăiat de-a lungul generatricei și desfășurat. Obținem un paralelipiped „aproape” cu dimensiuni:
,
și
. Volumul acestuia
. Deci, pentru volumul unui corp de revoluție vom avea o egalitate aproximativă

Pentru a obține egalitatea exactă, trebuie să trecem la limita la
. Suma scrisă mai sus este suma integrală pentru funcție
, prin urmare, în limită obținem integrala din formula (3). Teorema a fost demonstrată.

Observație 1. În teoremele 2 și 3, condiția
poate fi omisă: formula (2) este în general insensibilă la semn
, iar în formula (3) este suficient
inlocuit de
.

Exemplul 5 Segment parabolic (bază
, înălțime ) se învârte în jurul înălțimii. Aflați volumul corpului rezultat.

Soluţie. Aranjați parabola așa cum se arată în figură. Și deși axa de rotație traversează figura, aceasta - axa - este axa de simetrie. Prin urmare, ar trebui luată în considerare doar jumătatea dreaptă a segmentului. Ecuația parabolei
, și
, mijloace
. Avem pentru volum:

Observația 2. Dacă limita curbilinie a unui trapez curbiliniu este dată de ecuațiile parametrice
,
,
și
,
atunci formulele (2) și (3) pot fi utilizate cu înlocuirea pe
și
pe
când se schimbă t din
inainte de .

Exemplul 6 Figura este delimitată de primul arc al cicloidei
,
,
, și axa absciselor. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea acestei figuri în jurul: 1) axei
; 2) osii
.

Soluţie. 1) Formula generală
În cazul nostru:

2) Formula generală
Pentru figura noastră:

Încurajăm elevii să facă singuri toate calculele.

Observația 3. Fie un sector curbiliniu delimitat de o linie continuă
și raze
,

, se rotește în jurul axei polare. Volumul corpului rezultat poate fi calculat prin formula.

Exemplul 7 Parte dintr-o figură delimitată de un cardioid
, situat în afara cercului
, se rotește în jurul axei polare. Aflați volumul corpului rezultat.

Soluţie. Ambele linii și, prin urmare, figura pe care o limitează, sunt simetrice față de axa polară. Prin urmare, este necesar să se ia în considerare doar partea pentru care
. Curbele se intersectează la
și

la
. În plus, cifra poate fi considerată ca diferența a două sectoare și, prin urmare, volumul poate fi calculat ca diferența a două integrale. Avem:

Sarcini pentru o soluție independentă.

1. Un segment circular a cărui bază
, înălțime , se învârte în jurul bazei. Aflați volumul corpului de revoluție.

2. Aflați volumul unui paraboloid de revoluție a cărui bază , iar înălțimea este .

3. Figura delimitată de un astroid
,
se rotește în jurul axei x. Aflați volumul corpului, care se obține în acest caz.

4. Figura delimitată prin linii
și
se rotește în jurul axei x. Aflați volumul corpului de revoluție.

I. Volume de corpuri de revoluție. Studiați preliminar capitolul XII, p°p° 197, 198, după manualul lui G. M. Fikhtengol'ts* Analizați în detaliu exemplele date la p° 198.

508. Calculați volumul corpului format prin rotația elipsei În jurul axei x.

În acest fel,

530. Aflați aria suprafeței formate prin rotația în jurul axei Ox a arcului sinusoidei y \u003d sin x de la punctul X \u003d 0 până la punctul X \u003d It.

531. Calculați aria suprafeței unui con cu înălțimea h și raza r.

532. Calculaţi aria suprafeţei formate de

rotația astroidului x3 -) - y* - a3 în jurul axei x.

533. Calculați aria suprafeței formate prin inversarea buclei curbei 18 y-x(6-x)r în jurul axei x.

534. Aflați suprafața torului produsă de rotația cercului X2 - j - (y-3)2 = 4 în jurul axei x.

535. Calculați aria suprafeței formate prin rotația cercului X = a cost, y = asint în jurul axei Ox.

536. Calculați aria suprafeței formate prin rotația buclei curbei x = 9t2, y = St - 9t3 în jurul axei Ox.

537. Aflați aria suprafeței formate prin rotația arcului curbei x = e * sint, y = el cost în jurul axei Ox

de la t = 0 la t = -.

538. Arătaţi că suprafaţa produsă de rotaţia arcului cicloidei x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) în jurul axei Oy, este egală cu 16 u2 o2.

539. Aflați suprafața obținută prin rotirea cardioidului în jurul axei polare.

540. Aflați aria suprafeței formate prin rotația lemniscatei în jurul axei polare.

Sarcini suplimentare pentru Capitolul IV

Arii figurilor plane

541. Aflați întreaga zonă a unei regiuni delimitate de o curbă Și axa Oh.

542. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

543. Aflați partea din aria regiunii situată în primul cadran și delimitată de curbă

l axele de coordonate.

544. Găsiți aria zonei conținute în interior

bucle:

545. Aflați aria regiunii delimitată de o buclă a curbei:

546. Găsiți aria ariei conținute în interiorul buclei:

547. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

548. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

549. Aflați aria regiunii delimitată de axa Oxr

drept și curbat

Cu exceptia găsirea ariei unei figuri plate folosind o integrală definită (vezi 7.2.3.) cea mai importantă aplicație a temei este calculul volumului unui corp de revoluție. Materialul este simplu, dar cititorul trebuie să fie pregătit: este necesar să se poată rezolva integrale nedefinite complexitate medie și aplicați formula Newton-Leibniz în integrală definită, n De asemenea, sunt necesare abilități puternice de redactare. În general, există multe aplicații interesante în calculul integral; folosind o integrală definită, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de revoluție, lungimea unui arc, aria suprafeței corpul și multe altele. Imaginați-vă câteva figură plată pe planul de coordonate. Reprezentat? ... Acum această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

- în jurul axei x ;

- în jurul axei y .

Să aruncăm o privire la ambele cazuri. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, provoacă cele mai mari dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

Calculul volumului unui corp format prin rotirea unei figuri plate în jurul unei axe BOU

Exemplul 1

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de linii în jurul axei.

Soluţie: Ca și în problema găsirii zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică în avion XOY este necesar să se construiască o figură mărginită de drepte, fără a uita că ecuația definește axa. Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru, ea este cea care se rotește în jurul axei. Ca rezultat al rotației, se obține o astfel de farfurie zburătoare ușor în formă de ou, cu două vârfuri ascuțite pe axă. BOU, simetric față de axă BOU. De fapt, corpul are un nume matematic, uită-te în cartea de referință.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție? Dacă corpul se formează ca urmare a rotației în jurul unei axeBOU, este împărțit mental în straturi paralele de grosime mică dx care sunt perpendiculare pe axa BOU. Volumul întregului corp este în mod evident egal cu suma volumelor unor astfel de straturi elementare. Fiecare strat, ca o felie rotundă de lămâie, are un cilindru mic înalt dx si cu raza bazei f(X). Atunci volumul unui strat este produsul ariei de bază π f 2 la înălțimea cilindrului ( dx), sau π∙ f 2 (X)∙dx. Și aria întregului corp de revoluție este suma volumelor elementare sau integrala definită corespunzătoare. Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat prin formula:

Cum să setați limitele de integrare „a” și „fi” este ușor de ghicit din desenul finalizat. Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă. În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă BOU. Acest lucru nu schimbă nimic - funcția din formulă este pătrat: f 2 (X), prin urmare, volumul unui corp de revoluție este întotdeauna nenegativ, ceea ce este destul de logic. Calculați volumul corpului de revoluție folosind această formulă:

După cum am observat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspuns, este necesar să se indice dimensiunea - unități cubice. Adică în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce exact cubic unitati? Pentru că este cea mai universală formulare. Poate fi centimetri cubi, poate fi Metri cubi, poate kilometri cubi, etc., atât câți omuleți verzi pot încăpea imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul unei axe BOU figură delimitată de linii , , .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și .

Soluţie: Să descriem în desen o figură plată delimitată de linii , , , , fără a uita că ecuația X= 0 specifică axa OY:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei BOU rezultă un bagel unghiular plat (o șaibă cu două suprafețe conice).

Volumul corpului de revoluție se calculează ca diferența de volum corporală. Mai întâi, să ne uităm la figura care este încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul axei BOU rezultând un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con ca V 1 .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotim această cifră în jurul axei BOU, atunci primești și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu V 2 .

Evident, diferența de volum V = V 1 - V 2 este volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit: