Էրեկցիա դեպի բացասական ուժ- մաթեմատիկայի հիմնական տարրերից մեկը, որը հաճախ հանդիպում է հանրահաշվական խնդիրներ լուծելիս: Ստորև ներկայացված է մանրամասն հրահանգ:

Ինչպես բարձրացնել դեպի բացասական ուժ՝ տեսություն

Երբ թիվը տանում ենք սովորական հզորության, դրա արժեքը մի քանի անգամ ենք բազմապատկում։ Օրինակ՝ 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Բացասական կոտորակի դեպքում ճիշտ հակառակն է։ Ընդհանուր ձևն ըստ բանաձևի կլինի հետևյալը՝ a -n = 1/a n . Այսպիսով, թիվը բացասական աստիճանի հասցնելու համար անհրաժեշտ է մեկը բաժանել տրված թվի վրա, բայց արդեն դրականի։

Ինչպես բարձրացնել բացասական հզորության - օրինակներ սովորական թվերի վրա

Հաշվի առնելով վերը նշված կանոնը՝ լուծենք մի քանի օրինակ։

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Պատասխան՝ 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Պատասխանը -4 -2 = 1/16 է:

Բայց ինչու՞ է առաջին և երկրորդ օրինակների պատասխանը նույնը։ Բանն այն է, որ երբ բացասական թիվը հասցվում է զույգ մեծության (2, 4, 6 և այլն), նշանը դառնում է դրական։ Եթե ​​աստիճանը հավասար էր, ապա մինուսը պահպանվում է.

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Ինչպես բարձրացնել բացասական հզորության՝ 0-ից 1 թվեր

Հիշեցնենք, որ երբ 0-ի և 1-ի միջև եղած թիվը բարձրացվում է մինչև դրական ուժ, արժեքը նվազում է, քանի որ հզորությունը մեծանում է: Այսպիսով, օրինակ, 0.5 2 = 0.25: 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Օրինակ 3. Հաշվել 0,5 -2
Լուծում` 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4:
Պատասխան՝ 0,5 -2 = 4

Վերլուծություն (գործողությունների հաջորդականություն).

• Տասնորդական 0,5-ը փոխարկեք կոտորակային 1/2-ի: Ավելի հեշտ է։
  Բարձրացրեք 1/2-ը բացասական հզորության: 1/(2) -2 . 1-ը բաժանեք 1/(2) 2-ի, կստանանք 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Օրինակ 4. Հաշվել 0,5 -3
Լուծում` 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Օրինակ 5. Հաշվել -0,5 -3
Լուծում` -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Պատասխան՝ -0,5 -3 = -8

4-րդ և 5-րդ օրինակների հիման վրա մենք մի քանի եզրակացություն կանենք.

• 0-ից 1 միջակայքում գտնվող դրական թվի համար (օրինակ 4), բարձրացված մինչև բացասական ուժի, զույգ կամ կենտ աստիճանը կարևոր չէ, արտահայտության արժեքը կլինի դրական: Այս դեպքում որքան մեծ է աստիճանը, այնքան մեծ է արժեքը։
• 0-ի և 1-ի միջև ընկած բացասական թվի համար (օրինակ 5), բարձրացված մինչև բացասական հզորության, զույգ կամ կենտ աստիճանը կարևոր չէ, արտահայտության արժեքը կլինի բացասական: Այս դեպքում որքան բարձր է աստիճանը, այնքան ցածր է արժեքը:

Ինչպես բարձրացնել բացասական հզորության՝ հզորությունը որպես կոտորակային թիվ

Այս տեսակի արտահայտություններն ունեն հետևյալ ձևը՝ a -m/n, որտեղ a-ն սովորական թիվ է, m-ը աստիճանի համարիչն է, n-ը՝ աստիճանի հայտարարը։

Դիտարկենք մի օրինակ.
Հաշվել՝ 8 -1/3

Լուծում (գործողությունների հաջորդականություն).

• Հիշեք թիվը բացասական աստիճանի հասցնելու կանոնը։ Մենք ստանում ենք՝ 8 -1/3 = 1/(8) 1/3:
• Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը կոտորակայինի նկատմամբ 8 է: Կոտորակի աստիճանի հաշվարկման ընդհանուր ձևը հետևյալն է՝ a m/n = n √8 m .
• Այսպիսով, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1): Ստանում ենք ութի խորանարդի արմատը, որը 2 է։ Սրանից ելնելով 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2։
• Պատասխան՝ 8 -1/3 = 2

Հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեյացին մ. Ահա թե ինչպես է այն հնչում.

Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, որի ընթացքում Աքիլլեսը վազում է այս տարածությունը, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ: Երբ Աքիլեսը հարյուր քայլ վազի, կրիան կսողա ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը անվերջ կշարունակվի, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային։

Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Գիլբերտը... Բոլորն էլ այս կամ այն ​​կերպ համարում էին Զենոնի ապորիաները։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « Քննարկումները ներկայումս շարունակվում են, գիտական ​​հանրությունը դեռ չի հասցրել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության մասին... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, ֆիզիկական և փիլիսոփայական նոր մոտեցումներ։ ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի համընդհանուր ընդունված լուծում…«[Wikipedia», Zeno's Aporias]: Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե որն է խաբեությունը:

Մաթեմատիկայի տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը արժեքից դեպի. Այս անցումը ենթադրում է հաստատունների փոխարեն կիրառել: Որքան հասկանում եմ, չափման փոփոխական միավորների կիրառման մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ չի մշակվել, կամ չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա։ Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ։ Մենք, մտածողության իներցիայով, փոխադարձին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից սա կարծես ժամանակի դանդաղում է, մինչև այն ամբողջովին դադարի այն պահին, երբ Աքիլլեսը կհասնի կրիային: Եթե ​​ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:

Եթե ​​շրջենք այն տրամաբանությունը, որին սովոր ենք, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հաստատուն արագությամբ։ Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը տասն անգամ պակաս է նախորդից։ Եթե ​​այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել՝ «Աքիլլեսը անսահման արագ կանցնի կրիային»։

Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից։ Մնացեք ժամանակի հաստատուն միավորներում և մի անցեք փոխադարձ արժեքների: Զենոնի լեզվով դա հետևյալն է.

Այն ժամանակ, ինչ Աքիլեսից պահանջվում է հազար քայլ վազել, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ: Հաջորդ ժամանակային ընդմիջման համար, հավասար է առաջինին, Աքիլլեսը հազար քայլ էլ կվազի, իսկ կրիան հարյուր քայլ կսողա։ Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։

Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց դա այդպես չէ ամբողջական լուծումԽնդիրներ. Լույսի արագության անհաղթահարելիության մասին Էյնշտեյնի հայտարարությունը շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք և լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։

Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.

Թռչող նետը անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն հանգստի վիճակում է, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահի, այն միշտ հանգստանում է:

Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է։ Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Մեքենայի շարժման փաստը որոշելու համար անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, սակայն դրանք չեն կարող օգտագործվել հեռավորությունը որոշելու համար։ Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար ձեզ անհրաժեշտ է միաժամանակ երկու լուսանկար, որոնք արված են տարածության տարբեր կետերից, բայց դուք չեք կարող որոշել դրանցից շարժման փաստը (իհարկե, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են անհրաժեշտ, եռանկյունաչափությունը կօգնի ձեզ): . Այն, ինչ ուզում եմ մասնավորապես նշել, այն է, որ ժամանակի երկու կետերը և տարածության երկու կետերը երկու տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք հետազոտության տարբեր հնարավորություններ են տալիս:

չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ

Շատ լավ է, որ տարբերությունները set-ի և multiset-ի միջև նկարագրված են Վիքիպեդիայում: Մենք նայում ենք.

Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտը չի կարող ունենալ երկու միանման տարրեր», բայց եթե հավաքածուում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»։ Խելամիտ էակները երբեք չեն հասկանա աբսուրդի նման տրամաբանությունը։ Սա խոսող թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որում միտքը բացակայում է «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։

Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամրջի փորձարկումների ժամանակ նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե ​​կամուրջը փլվեր, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե ​​կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:

Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «մտածիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկայի ուսումնասիրություն». վերացական հասկացություններ«Կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապված է իրականության հետ։ Այս պորտալարը փող է։ Կիրառելի է։ մաթեմատիկական տեսությունսահմանում է հենց մաթեմատիկոսներին:

Շատ լավ ենք սովորել մաթեմատիկա, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այստեղ մի մաթեմատիկոս գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար։ Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և դնում մեր սեղանի վրա տարբեր կույտերի մեջ, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Հետո յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկական թղթադրամ և տալիս մաթեմատիկոսին իր «մաթեմատիկական աշխատավարձի հավաքածուն»։ Մաթեմատիկան բացատրում ենք, որ մնացած հաշիվները նա կստանա միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի բազմությունը հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը։ Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:

Առաջին հերթին կաշխատի պատգամավորների տրամաբանությունը՝ «դուք կարող եք դա կիրառել ուրիշների վրա, իսկ ինձ՝ ոչ»։ Այնուհետև, կսկսվեն հավաստիացումները, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամների վրա կան տարբեր թղթադրամների համարներ, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույնական տարրեր: Դե, մենք աշխատավարձը հաշվում ենք մետաղադրամներով - մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի ջղաձգորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամների վրա կա տարբեր քանակությամբՅուրաքանչյուր մետաղադրամի կեղտը, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմային դասավորությունը յուրահատուկ է...

Եվ հիմա ինձ մոտ ամենահետաքրքիր հարցն է՝ որտեղ է այն սահմանը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ։

Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք նույն դաշտի տարածքով ֆուտբոլային մարզադաշտեր: Դաշտերի տարածքը նույնն է, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե հաշվի առնենք նույն մարզադաշտերի անունները, շատ բան ենք ստանում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն միաժամանակ և՛ բազմախումբ է, և՛ բազմաբնույթ: Որքանո՞վ ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-շալլերը իր թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։

Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մեկ հարցին՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անընկալելի որպես մեկ ամբողջություն»։

կիրակի, 18 մարտի, 2018 թ

Թվի թվանշանների գումարը դափի հետ շամանների պար է, որը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Այո, մաթեմատիկայի դասերին մեզ սովորեցնում են գտնել թվերի թվանշանների գումարը և օգտագործել այն, բայց նրանք շամաններ են դրա համար, որպեսզի իրենց ժառանգներին սովորեցնեն իրենց հմտություններն ու իմաստությունը, այլապես շամանները պարզապես կմահանան։

Դուք ապացույցի կարիք ունե՞ք։ Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվի թվանշանների գումարը» էջը։ Նա գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա որևէ բանաձև, որով կարող ես գտնել որևէ թվի թվանշանների գումարը։ Ի վերջո, թվերը գրաֆիկական նշաններ են, որոնցով մենք գրում ենք թվեր, իսկ մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես՝ «Գտե՛ք ցանկացած թիվ ներկայացնող գրաֆիկական նշանների գումարը»։ Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները կարող են դա անել տարրական կարգով:

Եկեք պարզենք, թե ինչ և ինչպես ենք անում, որպեսզի գտնենք թվանշանների գումարը տրված համարը. Եվ այսպես, ենթադրենք ունենք 12345 թիվը։ Ի՞նչ է պետք անել այս թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար։ Դիտարկենք բոլոր քայլերը հերթականությամբ։

1. Թղթի վրա գրի՛ր թիվը: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք թիվը վերածել ենք թվային գրաֆիկական նշանի։ Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

2. Ստացված մեկ նկարը կտրեցինք առանձին թվեր պարունակող մի քանի նկարների։ Նկար կտրելը մաթեմատիկական գործողություն չէ։

3. Անհատական ​​գրաֆիկական նիշերը վերածել թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

4. Գումարի՛ր ստացված թվերը։ Հիմա դա մաթեմատիկան է:

12345 թվի թվանշանների գումարը 15 է։ Սրանք մաթեմատիկոսների կողմից օգտագործվող շամանների «կտրելու և կարելու դասընթացներն» են։ Բայց սա դեռ ամենը չէ:

Մաթեմատիկայի տեսանկյունից նշանակություն չունի, թե որ թվային համակարգում ենք մենք գրում թիվը։ Այսպիսով, ներս տարբեր համակարգերհաշվի առնելով՝ նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի։ Մաթեմատիկայի մեջ թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմում գտնվող բաժանորդ: Մեծ թվով 12345, ես չեմ ուզում խաբել իմ գլուխը, հաշվի առեք 26 թիվը հոդվածի մասին: Գրենք այս թիվը երկուական, օկտալ, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերով։ Մենք յուրաքանչյուր քայլ մանրադիտակի տակ չենք դիտարկելու, մենք դա արդեն արել ենք։ Եկեք նայենք արդյունքին:

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր է։ Այս արդյունքը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Դա նման է ուղղանկյունի մակերեսը մետրերով և սանտիմետրերով գտնելը ձեզ բոլորովին այլ արդյունքներ կտա:

Զրոն բոլոր թվային համակարգերում նույն տեսքն ունի և չունի թվանշանների գումար: Սա ևս մեկ փաստարկ է այն փաստի օգտին, որ . Հարց մաթեմատիկոսներին. ինչպե՞ս է մաթեմատիկայում նշանակվում այն, ինչը թիվ չէ: Ի՞նչ է, մաթեմատիկոսների համար, բացի թվերից, ոչինչ գոյություն չունի: Շամանների համար ես կարող եմ դա թույլ տալ, իսկ գիտնականների համար՝ ոչ։ Իրականությունը միայն թվերով չէ:

Ստացված արդյունքը պետք է համարել որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավորներ են։ Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել տարբեր չափման միավորների հետ։ Եթե ​​միևնույն մեծության չափման տարբեր միավորներով նույն գործողությունները դրանք համեմատելուց հետո հանգեցնում են տարբեր արդյունքների, ապա դա ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։

Ի՞նչ է իրական մաթեմատիկան: Սա այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գործողության արդյունքը կախված չէ թվի արժեքից, օգտագործված չափման միավորից և նրանից, թե ով է կատարում այս գործողությունը։

Ստորագրեք դռան վրա Բացում է դուռը և ասում.

Օ՜ Սա կանանց զուգարանը չէ՞։
- Երիտասարդ կին! Սա լաբորատորիա է երկինք համբարձվելիս հոգիների անորոշ սրբությունն ուսումնասիրելու համար: Նիմբուս վերևում և վերև սլաք: Էլ ի՞նչ զուգարան:

Իգական... Վերևում լուսապսակ և ներքև սլաքը արական է:

Եթե ​​դուք ունեք դիզայներական արվեստի նման ստեղծագործություն, որը ձեր աչքի առաջ օրական մի քանի անգամ փայլում է,

Այնուհետև զարմանալի չէ, որ հանկարծ ձեր մեքենայում տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.

Անձամբ ես ինքս ինձ վրա ջանք եմ գործադրում թուխ մարդու մեջ տեսնել մինուս չորս աստիճան (մեկ նկար) (մի քանի նկարների կազմություն. մինուս նշան, թիվ չորս, աստիճանների նշանակում): Եվ ես չեմ կարծում, որ այդ աղջիկը հիմար է, ոչ ով գիտի ֆիզիկա. Նա պարզապես ունի գրաֆիկական պատկերների ընկալման աղեղային կարծրատիպ: Եվ մաթեմատիկոսները դա մեզ անընդհատ սովորեցնում են: Ահա մի օրինակ.

1A-ն «մինուս չորս աստիճան» կամ «մեկ ա» չէ: Սա «թափող մարդ» է կամ տասնվեցական թվային համակարգում «քսանվեց» թիվը: Այն մարդիկ, ովքեր անընդհատ աշխատում են այս թվային համակարգում, ավտոմատ կերպով ընկալում են թիվը և տառը որպես մեկ գրաֆիկական խորհրդանիշ։

Թվի աստիճանի մասին զրույցի շարունակության մեջ տրամաբանական է զբաղվել աստիճանի արժեքը գտնելով։ Այս գործընթացը անվանվել է հզորացում. Այս հոդվածում մենք պարզապես կուսումնասիրենք, թե ինչպես է կատարվում աստիճանավորումը, մինչդեռ կանդրադառնանք բոլոր հնարավոր ցուցանիշներին՝ բնական, ամբողջ, ռացիոնալ և իռացիոնալ։ Եվ ըստ ավանդույթի, մենք մանրամասնորեն կքննարկենք թվերի տարբեր աստիճանների բարձրացման օրինակների լուծումները:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է նշանակում «արտահայտում»:

Սկսենք բացատրելով այն, ինչ կոչվում է աստիճանականացում։ Ահա համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Էքսպոենտացիաթվի հզորության արժեքը գտնելն է:

Այսպիսով, a-ի հզորության արժեքը գտնելը r ցուցանիշով և a թիվը հասցնելով r-ի մեծության նույն բանն է։ Օրինակ, եթե առաջադրանքը «հաշվիր հզորության արժեքը (0.5) 5», ապա այն կարելի է վերաձեւակերպել հետևյալ կերպ.

Այժմ դուք կարող եք ուղղակիորեն անցնել այն կանոններին, որոնցով իրականացվում է աստիճանավորումը:

Թիվը բնական ուժի հասցնելը

Գործնականում, վրա հիմնված հավասարությունը սովորաբար կիրառվում է ձևով: Այսինքն՝ a թիվը բարձրացնելիս մինչև կոտորակային աստիճան m/n սկզբում հանվում է a թվի n-րդ արմատը, որից հետո արդյունքը հասցվում է ամբողջ թվի m հզորության։

Դիտարկենք կոտորակային հզորության բարձրացման օրինակների լուծումները:

Օրինակ.

Հաշվիր աստիճանի արժեքը։

Լուծում.

Մենք ցույց ենք տալիս երկու լուծում.

Առաջին ճանապարհը. Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ: Մենք հաշվարկում ենք աստիճանի արժեքը արմատի նշանի տակ, որից հետո մենք հանում ենք խորանարդի արմատը. .

Երկրորդ ճանապարհը. Ըստ կոտորակային ցուցիչ ունեցող աստիճանի սահմանման և արմատների հատկությունների հիման վրա, հավասարությունները ճշմարիտ են . Այժմ հանեք արմատը Ի վերջո, մենք բարձրացնում ենք ամբողջ թվի հզորությունը .

Ակնհայտ է, որ կոտորակային հզորության բարձրացման ստացված արդյունքները համընկնում են։

Պատասխան.

Նկատի ունեցեք, որ կոտորակային ցուցիչը կարող է գրվել որպես տասնորդական կամ խառը թիվ, այս դեպքերում այն ​​պետք է փոխարինել համապատասխան սովորական կոտորակով, որից հետո կատարել աստիճանավորում։

Օրինակ.

Հաշվիր (44,89) 2,5 .

Լուծում.

Ցուցանիշը գրում ենք ձևով ընդհանուր կոտորակ(անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը): . Այժմ մենք կատարում ենք բարձրացում մինչև կոտորակային հզորություն.

Պատասխան.

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Պետք է նաև ասել, որ թվերը ռացիոնալ հզորությունների հասցնելը բավականին աշխատատար գործընթաց է (հատկապես այն դեպքում, երբ կոտորակային ցուցանիշի համարիչը և հայտարարը բավարար են. մեծ թվեր), որը սովորաբար իրականացվում է համակարգչային տեխնիկայի միջոցով։

Այս պարբերության վերջում մենք կանդրադառնանք զրո թվի կոտորակային հզորության կառուցմանը: Ձևի զրոյի կոտորակային աստիճանին տվել ենք հետևյալ նշանակությունը՝ քանի որ ունենք , մինչդեռ զրոյական մ/ն հզորությունը սահմանված չէ։ Այսպիսով, զրո դրական կոտորակային հզորությանը զրո, օրինակ, . Իսկ կոտորակային բացասական հզորության մեջ զրոն իմաստ չունի, օրինակ արտահայտությունները և 0 -4,3-ը իմաստ չունեն։

Իռացիոնալ ուժի բարձրացում

Երբեմն անհրաժեշտ է դառնում պարզել իռացիոնալ ցուցիչով թվի աստիճանի արժեքը։ Այս դեպքում գործնական նպատակներով սովորաբար բավական է ստանալ աստիճանի արժեքը մինչև որոշակի նշան։ Մենք անմիջապես նշում ենք, որ գործնականում այս արժեքը հաշվարկվում է էլեկտրոնային հաշվողական տեխնոլոգիայի միջոցով, քանի որ ձեռքով իռացիոնալ հզորության բարձրացումը պահանջում է մեծ թվով ծանր հաշվարկներ: Բայց, այնուամենայնիվ, մենք ընդհանուր առմամբ կնկարագրենք գործողությունների էությունը։

Իռացիոնալ ցուցիչով a-ի աստիճանի մոտավոր արժեքը ստանալու համար վերցվում է աստիճանի որոշակի տասնորդական մոտարկում և հաշվարկվում է աստիճանի արժեքը։ Այս արժեքը իռացիոնալ ցուցիչով a թվի աստիճանի մոտավոր արժեքն է։ Որքան ավելի ճշգրիտ լինի թվի տասնորդական մոտարկումը սկզբում, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի աստիճանի արժեքը վերջում:

Որպես օրինակ՝ եկեք հաշվարկենք 2 1,174367-ի հզորության մոտավոր արժեքը... . Վերցնենք իռացիոնալ ցուցիչի հետևյալ տասնորդական մոտարկումը. Այժմ մենք բարձրացնում ենք 2-ը մինչև 1.17 ռացիոնալ ուժ (մենք նկարագրեցինք այս գործընթացի էությունը նախորդ պարբերությունում), ստանում ենք 2 1.17 ≈ 2.250116: Այս կերպ, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Եթե ​​վերցնենք իռացիոնալ ցուցիչի ավելի ճշգրիտ տասնորդական մոտարկում, օրինակ՝ , ապա մենք ստանում ենք սկզբնական աստիճանի ավելի ճշգրիտ արժեքը. 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա Ժ դասագիրք 5 բջիջի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 7 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ դասագիրք 8 բջիջների համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 9 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլք Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար.
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար).

Հանրահաշվի և, իսկապես, բոլոր մաթեմատիկայի հիմնական բնութագրիչներից մեկը աստիճանն է: Իհարկե, 21-րդ դարում բոլոր հաշվարկները կարող են իրականացվել առցանց հաշվիչով, բայց ավելի լավ է սովորել, թե ինչպես դա անել ինքներդ՝ ուղեղի զարգացման համար:

Այս հոդվածում մենք կքննարկենք այս սահմանման հետ կապված ամենակարևոր հարցերը: Մասնավորապես, մենք կհասկանանք, թե ինչ է դա ընդհանրապես և որոնք են նրա հիմնական գործառույթները, ինչ հատկություններ կան մաթեմատիկայի մեջ:

Եկեք նայենք օրինակներին, թե ինչպիսին է հաշվարկը, որոնք են հիմնական բանաձևերը: Մենք կվերլուծենք մեծությունների հիմնական տեսակները և ինչպես են դրանք տարբերվում այլ գործառույթներից:

Եկեք հասկանանք, թե ինչպես լուծել այս քանակությունը տարբեր առաջադրանքներ. Օրինակներով ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է զրոյական աստիճանի բարձրացնել՝ իռացիոնալ, բացասական և այլն։

Առցանց հզորության հաշվիչ

Որքա՞ն է թվի աստիճանը

Ի՞նչ է նշանակում «թիվը բարձրացրեք ուժի» արտահայտությունը:

A թվի n աստիճանը անընդմեջ a n անգամ մեծության գործակիցների արտադրյալն է:

Մաթեմատիկորեն այն ունի հետևյալ տեսքը.

a n = a * a * a * …a n .

Օրինակ:

• 2 3 = 2 երրորդ քայլում: = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 քայլով: երկու = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 քայլով: չորս = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 5 քայլով: = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 4 քայլով: = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000:

Ստորև ներկայացված է քառակուսիների և խորանարդների աղյուսակը 1-ից 10-ը:

1-ից 10 աստիճանների աղյուսակ

Ստորև ներկայացնում ենք բնական թվերի բարձրացման արդյունքները դրական հզորությունների՝ «1-ից մինչև 100»։

Չ-լո	2-րդ դասարան	3-րդ դասարան
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Դիպլոմային հատկություններ

Ի՞նչն է բնորոշ նման մաթեմատիկական ֆունկցիային: Եկեք նայենք հիմնական հատկություններին.

Գիտնականները հաստատել են հետևյալը բոլոր աստիճաններին բնորոշ նշաններ.

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m);
• (ա բ) մ = (ա) (բ*մ) .

Եկեք ստուգենք օրինակներով.

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Մյուս կողմից 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32:

Նմանապես՝ 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2: Հակառակ դեպքում 2 3-2 = 2 1 =2:

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Իսկ եթե այն տարբեր է: 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64:

Ինչպես տեսնում եք, կանոններն աշխատում են:

Բայց ինչպես լինել գումարումով և հանումով? Ամեն ինչ պարզ է. Սկզբում կատարվում է հզորացում, և միայն դրանից հետո գումարում և հանում:

Դիտարկենք օրինակներ.

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Բայց այս դեպքում նախ պետք է հաշվարկեք գումարումը, քանի որ փակագծերում կան գործողություններ՝ (5 + 3) 3 = 8 3 = 512:

Ինչպես արտադրել հաշվարկներ ավելի բարդ դեպքերում? Կարգը նույնն է.

• եթե կան փակագծեր, ապա պետք է սկսել դրանցից.
• ապա աստիճանավորում;
• ապա կատարել բազմապատկման, բաժանման գործողություններ;
• գումարումից հետո հանում.

Կան հատուկ հատկություններ, որոնք բնորոշ չեն բոլոր աստիճաններին.

1. n-րդ աստիճանի արմատը a թվից մինչև m աստիճանը կգրվի այսպես՝ a m/n .
2. Կոտորակը աստիճանի հասցնելիս այս ընթացակարգին ենթակա են և՛ համարիչը, և՛ նրա հայտարարը:
3. Տարբեր թվերի արտադրյալը մեծացնելու դեպքում արտահայտությունը կհամապատասխանի այս թվերի արտադրյալին տվյալ հզորությանը: Այսինքն՝ (a * b) n = a n * b n .
4. Թիվը բացասական աստիճանի հասցնելիս պետք է նույն քայլով 1-ը բաժանել թվի, բայց «+» նշանով:
5. Եթե ​​կոտորակի հայտարարը բացասական աստիճանի է, ապա այս արտահայտությունը հավասար կլինի համարիչի և դրական աստիճանի հայտարարի արտադրյալին:
6. Ցանկացած թիվ 0 = 1-ի և աստիճանի ուժով: 1 = իրեն:

Այս կանոնները կարևոր են առանձին դեպքերում, մենք դրանք ավելի մանրամասն կքննարկենք ստորև:

Բացասական ցուցիչով աստիճան

Ի՞նչ անել բացասական աստիճանի հետ, այսինքն՝ երբ ցուցանիշը բացասական է։

4-րդ և 5-րդ հատկությունների հիման վրա(տե՛ս վերը նշված կետը) պարզվում է:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25:

Եվ հակառակը.

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Իսկ եթե դա կոտորակ է:

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9:

Բնական ցուցիչով աստիճան

Այն հասկացվում է որպես ամբողջ թվերի հավասար ցուցիչներով աստիճան:

Հիշելու բաներ.

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… և այլն:

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… և այլն:

Նաև, եթե (-a) 2 n +2, n=0, 1, 2…ապա արդյունքը կլինի «+» նշանով: Եթե ​​բացասական թիվը հասցվում է կենտ հզորության, ապա հակառակը։

Նրանց բնորոշ են նաև ընդհանուր հատկությունները և վերը նկարագրված բոլոր հատուկ հատկանիշները։

Կոտորակի աստիճան

Այս տեսակետը կարող է գրվել որպես սխեմա. A m / n: Այն կարդացվում է այսպես՝ A թվի n-րդ աստիճանի արմատը՝ m-ի չափով։

Կոտորակի ցուցիչով դուք կարող եք ամեն ինչ անել՝ փոքրացնել, մասերի բաժանվել, մեկ այլ աստիճան բարձրացնել և այլն:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Թող α իռացիոնալ թիվ լինի, իսկ А ˃ 0:

Նման ցուցանիշով աստիճանի էությունը հասկանալու համար. Դիտարկենք տարբեր հնարավոր դեպքեր.

• A \u003d 1. Արդյունքը հավասար կլինի 1-ի: Քանի որ կա աքսիոմա՝ 1-ը հավասար է մեկին բոլոր ուժերում.

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 ռացիոնալ թվեր են;

• 0˂А˂1.

Այս դեպքում հակառակը՝ А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 նույն պայմաններում, ինչ երկրորդ պարբերությունում։

Օրինակ, ցուցիչը π թիվն է:Դա ռացիոնալ է։

r 1 - այս դեպքում այն ​​հավասար է 3-ի;

r 2 - հավասար կլինի 4-ի:

Այնուհետև A = 1-ի համար 1 π = 1:

A = 2, ապա 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16:

A = 1/2, ապա (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8:

Նման աստիճանները բնութագրվում են վերը նկարագրված բոլոր մաթեմատիկական գործողություններով և հատուկ հատկություններով:

Եզրակացություն

Եկեք ամփոփենք՝ ինչի՞ համար են այս արժեքները, որո՞նք են նման գործառույթների առավելությունները: Իհարկե, դրանք առաջին հերթին պարզեցնում են մաթեմատիկոսների և ծրագրավորողների կյանքը օրինակներ լուծելիս, քանի որ թույլ են տալիս նվազագույնի հասցնել հաշվարկները, նվազեցնել ալգորիթմները, համակարգել տվյալները և շատ ավելին:

Ուրիշ որտե՞ղ կարող է օգտակար լինել այս գիտելիքը: Ցանկացած աշխատանքային մասնագիտությամբ՝ բժշկություն, դեղաբանություն, ատամնաբուժություն, շինարարություն, տեխնոլոգիա, ճարտարագիտություն, դիզայն և այլն:

Առաջին մակարդակ

Աստիճանը և դրա հատկությունները: Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Ինչու են անհրաժեշտ աստիճաններ: Որտե՞ղ են դրանք ձեզ անհրաժեշտ: Ինչու՞ պետք է ժամանակ հատկացնեք դրանք ուսումնասիրելուն:

Գիտելիքների մասին ամեն ինչ իմանալու համար, թե ինչի համար են դրանք, ինչպես օգտագործել ձեր գիտելիքները առօրյա կյանքում, կարդացեք այս հոդվածը:

Եվ, իհարկե, գիտական ​​աստիճանների իմացությունը ձեզ ավելի կմոտեցնի OGE կամ միասնական պետական ​​քննությունը հաջողությամբ հանձնելուն և ձեր երազանքների համալսարան ընդունվելուն:

Եկեք գնանք ... (Եկեք գնանք):

Կարևոր նշում! Եթե ​​բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք անհեթեթություն, մաքրեք ձեր քեշը: Դա անելու համար սեղմեք CTRL+F5 (Windows-ում) կամ Cmd+R (Mac-ում):

ԱՌԱՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Ցուցադրումը նույն մաթեմատիկական գործողությունն է, ինչ գումարումը, հանումը, բազմապատկումը կամ բաժանումը:

Հիմա ես ամեն ինչ կբացատրեմ մարդկային լեզվով պարզ օրինակներ. Զգույշ եղիր. Օրինակները տարրական են, բայց բացատրում են կարևոր բաները։

Սկսենք ավելացումից։

Այստեղ բացատրելու բան չկա։ Դուք արդեն ամեն ինչ գիտեք՝ մենք ութ հոգի ենք։ Յուրաքանչյուրն ունի երկու շիշ կոլա: Որքա՞ն կոլա: Ճիշտ է` 16 շիշ:

Հիմա բազմապատկում:

Կոլայի հետ նույն օրինակը կարելի է այլ կերպ գրել. Մաթեմատիկոսները խորամանկ և ծույլ մարդիկ են։ Նրանք նախ նկատում են որոշ օրինաչափություններ, իսկ հետո դրանք ավելի արագ «հաշվելու» միջոց են գտնում: Մեր դեպքում նրանք նկատեցին, որ ութ հոգուց յուրաքանչյուրն ունի նույն թվով շիշ կոլա և հայտնագործեցին մի տեխնիկա, որը կոչվում է բազմապատկում: Համաձայն եմ, այն համարվում է ավելի հեշտ և արագ, քան:

Այսպիսով, ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների հաշվելու համար պարզապես անհրաժեշտ է հիշել բազմապատկման աղյուսակ. Իհարկե, դուք կարող եք ամեն ինչ անել ավելի դանդաղ, դժվար և սխալներով: Բայց…

Ահա բազմապատկման աղյուսակը. Կրկնել.

Եվ մեկ այլ, ավելի գեղեցիկ.

Իսկ հաշվելու ուրիշ ի՞նչ խորամանկ հնարքներ են հորինել ծույլ մաթեմատիկոսները: Ճիշտ - թիվը հասցնելով ուժի.

Թիվը հզորության բարձրացում

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է թիվն ինքն իրենով հինգ անգամ բազմապատկել, ապա մաթեմատիկոսներն ասում են, որ պետք է այդ թիվը հասցնել հինգերորդ աստիճանի: Օրինակ, . Մաթեմատիկոսները հիշում են, որ երկուսից հինգերորդ ուժը հավասար է: Եվ նրանք իրենց մտքում լուծում են այդպիսի խնդիրներ՝ ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների։

Դա անելու համար ձեզ միայն անհրաժեշտ է հիշեք, թե ինչն է գույնով ընդգծված թվերի հզորությունների աղյուսակում. Հավատացեք ինձ, դա ձեր կյանքը շատ կհեշտացնի։

Ի դեպ, ինչու է կոչվում երկրորդ աստիճան քառակուսիթվեր, և երրորդը խորանարդ? Ինչ է դա նշանակում? Շատ լավ հարց. Այժմ դուք կունենաք և՛ քառակուսիներ, և՛ խորանարդներ:

Իրական կյանքի օրինակ թիվ 1

Սկսենք քառակուսուց կամ թվի երկրորդ աստիճանից։

Պատկերացրեք քառակուսի լողավազան, որը չափում է մետր մետր: Լողավազանը ձեր բակում է։ Շոգ է, և ես շատ եմ ուզում լողալ: Բայց ... լողավազան առանց հատակի: Անհրաժեշտ է լողավազանի հատակը ծածկել սալիկներով։ Քանի սալիկ է ձեզ հարկավոր: Դա որոշելու համար դուք պետք է իմանաք լողավազանի հատակի տարածքը:

Դուք կարող եք պարզապես մատը սեղմելով հաշվել, որ լողավազանի հատակը մետր առ մետր խորանարդիկներից է: Եթե ​​ձեր սալիկները մետր առ մետր են, ապա ձեզ անհրաժեշտ կլինեն կտորներ: Հեշտ է... Բայց որտե՞ղ եք տեսել այդպիսի կղմինդր։ Սալիկն ավելի շուտ կլինի սմ առ սմ, իսկ հետո ձեզ տանջելու է «մատով հաշվելը»։ Հետո պետք է բազմապատկել։ Այսպիսով, լողավազանի հատակի մի կողմում մենք կտեղավորենք սալիկներ (կտորներ), իսկ մյուս կողմում նույնպես սալիկներ: Բազմապատկելով՝ ստանում եք սալիկներ ():

Նկատեցի՞ք, որ մենք նույն թիվն ինքնին բազմապատկեցինք՝ լողավազանի հատակի մակերեսը որոշելու համար: Ինչ է դա նշանակում? Քանի որ նույն թիվը բազմապատկվում է, մենք կարող ենք օգտագործել աստիճանավորման տեխնիկան: (Իհարկե, երբ դուք ունեք ընդամենը երկու թիվ, դուք դեռ պետք է բազմապատկեք դրանք կամ հասցնեք դրանք հզորության: Բայց եթե դրանք շատ են, ապա հզորության բարձրացումը շատ ավելի հեշտ է, և նաև ավելի քիչ սխալներ կան հաշվարկներում: Քննության համար սա շատ կարևոր է):
Այսպիսով, երեսունից երկրորդ աստիճանը կլինի (): Կամ կարող եք ասել, որ երեսուն քառակուսի կլինի: Այլ կերպ ասած, թվի երկրորդ աստիճանը միշտ կարող է ներկայացվել որպես քառակուսի: Եվ հակառակը, եթե քառակուսի եք տեսնում, այն ՄԻՇՏ ինչ-որ թվի երկրորդ աստիճանն է։ Քառակուսին թվի երկրորդ աստիճանի պատկերն է։

Իրական կյանքի օրինակ #2

Ահա ձեզ համար առաջադրանք, հաշվեք, թե քանի քառակուսի կա շախմատի տախտակի վրա՝ օգտագործելով թվի քառակուսին... Բջիջների մի կողմում և մյուս կողմից նույնպես: Նրանց թիվը հաշվելու համար անհրաժեշտ է ութը բազմապատկել ութով կամ ... եթե դա նկատում եք Շախմատի տախտակկողքով քառակուսի է, ապա կարող ես քառակուսի ութը: Ստացեք բջիջներ: () Ուրեմն?

Իրական կյանքի օրինակ #3

Այժմ խորանարդը կամ թվի երրորդ ուժը: Նույն լողավազան. Բայց հիմա պետք է պարզել, թե որքան ջուր պետք է լցվի այս լողավազանի մեջ։ Դուք պետք է հաշվարկեք ծավալը: (Ծավալներն ու հեղուկները, ի դեպ, չափվում են խորանարդ մետր. Անսպասելիորեն, չէ՞:) Նկարեք լողավազան. հատակը մեկ մետր չափի և մեկ մետր խորություն և փորձեք հաշվարկել, թե ընդհանուր քանի խորանարդ մետր առ մետր կմտնի ձեր լողավազան:

Պարզապես ցույց տվեք ձեր մատը և հաշվեք: Մեկ, երկու, երեք, չորս… քսաներկու, քսաներեք… Որքա՞ն է ստացվել: Չե՞ք կորել։ Դժվա՞ր է մատով հաշվել։ Այնպես, որ! Օրինակ վերցրեք մաթեմատիկոսներից: Նրանք ծույլ են, ուստի նկատել են, որ լողավազանի ծավալը հաշվարկելու համար պետք է դրա երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը միմյանցով բազմապատկել։ Մեր դեպքում լողավազանի ծավալը հավասար կլինի խորանարդի... Ավելի հեշտ է, չէ՞:

Հիմա պատկերացրեք, թե որքան ծույլ և խորամանկ են մաթեմատիկոսները, եթե դա շատ հեշտ են դարձնում: Ամեն ինչ կրճատեց մեկ գործողության: Նրանք նկատեցին, որ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը հավասար են, և որ նույն թիվը բազմապատկվում է ինքն իրեն... Իսկ ի՞նչ է սա նշանակում: Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք օգտագործել աստիճանը: Այսպիսով, այն, ինչ մի անգամ մատով հաշվում էիր, նրանք անում են մեկ գործողությամբ՝ երեքը խորանարդի մեջ հավասար են։ Գրված է այսպես.

Մնում է միայն անգիր անել աստիճանների աղյուսակը. Եթե, իհարկե, մաթեմատիկոսների նման ծույլ ու խորամանկ չեք։ Եթե ​​սիրում եք շատ աշխատել և սխալվել, կարող եք շարունակել հաշվել մատով։

Դե, որպեսզի վերջապես ձեզ համոզեմ, որ աստիճանները հորինել են լոֆերներն ու խորամանկները՝ իրենց կյանքի խնդիրները լուծելու, այլ ոչ թե ձեզ համար խնդիրներ ստեղծելու համար, ահա ևս մի երկու օրինակ կյանքից։

Իրական կյանքի օրինակ #4

Դուք ունեք մեկ միլիոն ռուբլի: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց վաստակում եք ևս մեկ միլիոն: Այսինքն՝ ձեր յուրաքանչյուր միլիոնը յուրաքանչյուր տարվա սկզբին կրկնապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք տարիների ընթացքում: Եթե ​​հիմա նստած ու «մատով հաշվում եք», ուրեմն շատ աշխատասեր մարդ եք և... հիմար։ Բայց, ամենայն հավանականությամբ, մի քանի վայրկյանից պատասխան կտաս, քանի որ դու խելացի ես։ Այսպիսով, առաջին տարում - երկու անգամ երկու ... երկրորդ տարում - ինչ եղավ, ևս երկուսը, երրորդ տարում ... Կանգ առեք: Նկատեցիք, որ թիվը մեկ անգամ բազմապատկվում է ինքն իրեն։ Այսպիսով, երկուսից հինգերորդ ուժը միլիոն է: Հիմա պատկերացրեք, որ դուք ունեք մրցույթ, և նա, ով ավելի արագ է հաշվարկում, կստանա այս միլիոնները... Արժե՞ հիշել թվերի աստիճանները, ի՞նչ եք կարծում։

Իրական կյանքի օրինակ #5

Դուք ունեք մեկ միլիոն: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց դուք վաստակում եք ևս երկուսը: Հիանալի է, ճիշտ է? Յուրաքանչյուր միլիոնը եռապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք մեկ տարվա ընթացքում: Եկեք հաշվենք. Առաջին տարին՝ բազմապատկեք, հետո արդյունքը մեկ ուրիշով... Դա արդեն ձանձրալի է, քանի որ դուք արդեն հասկացաք ամեն ինչ՝ երեքն ինքն իրենով բազմապատկվում է անգամներ: Այսպիսով, չորրորդ իշխանությունը միլիոն է: Պարզապես պետք է հիշել, որ երեքից չորրորդ ուժը կամ է:

Այժմ դուք գիտեք, որ թիվն ուժի հասցնելով, դուք շատ կհեշտացնեք ձեր կյանքը: Եկեք ավելի մանրամասն նայենք, թե ինչ կարող եք անել աստիճաններով և ինչ պետք է իմանաք դրանց մասին:

Տերմիններ և հասկացություններ ... որպեսզի չշփոթվեն

Այսպիսով, նախ, եկեք սահմանենք հասկացությունները: Ինչ ես մտածում, ինչ է ցուցիչը? Դա շատ պարզ է՝ սա այն թիվն է, որը թվի հզորության «վերևում» է։ Ոչ գիտական, բայց պարզ և հեշտ հիշվող…

Դե, միեւնույն ժամանակ, ինչ աստիճանի նման բազա? Նույնիսկ ավելի պարզ է այն թիվը, որը գտնվում է ներքևում, հիմքում:

Ահա մի նկար, որպեսզի համոզվեք:

Դե և ներս ընդհանուր տեսարանընդհանրացնել և ավելի լավ հիշել ... «» հիմքով և «» ցուցիչով աստիճանը կարդացվում է որպես «աստիճան» և գրվում է հետևյալ կերպ.

Բնական ցուցիչով թվի հզորությունը

Դուք հավանաբար արդեն կռահեցիք, քանի որ ցուցիչն է բնական թիվ. Այո, բայց ինչ կա բնական թիվ? Տարրական! Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են հաշվելու ժամանակ իրերը թվարկելիս՝ մեկ, երկու, երեք… Երբ մենք հաշվում ենք տարրերը, մենք չենք ասում՝ «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»: «Մեկ երրորդ» կամ «զրո միավոր հինգ տասներորդ» էլ չենք ասում։ Սրանք բնական թվեր չեն։ Ի՞նչ եք կարծում, որո՞նք են այս թվերը:

Նման թվերը վերաբերում են «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»: ամբողջ թվեր.Ընդհանուր առմամբ, ամբողջ թվերը ներառում են բոլոր բնական թվերը, բնական թվերին հակառակ թվերը (այսինքն՝ վերցված մինուս նշանով) և թիվը։ Զրոն հեշտ է հասկանալ, սա այն դեպքում, երբ ոչինչ չկա: Իսկ ի՞նչ են նշանակում բացասական («մինուս») թվերը։ Բայց դրանք հորինվել են հիմնականում պարտքերը նշելու համար. եթե հեռախոսում հաշվեկշիռ ունեք ռուբլով, դա նշանակում է, որ դուք օպերատորին պարտք եք ռուբլով:

Բոլոր կոտորակները ռացիոնալ թվեր են: Ինչպե՞ս են դրանք առաջացել, ի՞նչ եք կարծում։ Շատ պարզ. Մի քանի հազար տարի առաջ մեր նախնիները հայտնաբերեցին, որ չունեն բավականաչափ բնական թվեր երկարությունը, քաշը, մակերեսը և այլն չափելու համար: Եվ նրանք եկան ռացիոնալ թվեր… Հետաքրքիր է, այնպես չէ՞:

Կան նաև իռացիոնալ թվեր։ Որո՞նք են այս թվերը: Մի խոսքով, անվերջ տասնորդական. Օրինակ, եթե շրջանագծի շրջագիծը բաժանեք տրամագծի վրա, ապա ստացվում է իռացիոնալ թիվ։

Ամփոփում:

Սահմանենք աստիճան հասկացությունը, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ և դրական)։

1. Առաջին աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն.
2. Թիվ քառակուսի դնելը նշանակում է այն բազմապատկել ինքն իրենով.
3. Թիվը խորանարդիկ դարձնելը նշանակում է այն երեք անգամ բազմապատկել ինքն իրենով.

Սահմանում.Թիվը բնական հզորության հասցնելու համար նշանակում է թիվը ինքն իրենով բազմապատկել.
.

Դիպլոմային հատկություններ

Որտեղի՞ց են առաջացել այս հատկությունները: Ես ձեզ հիմա ցույց կտամ:

Եկեք տեսնենք, թե ինչ է և ?

Ըստ սահմանման.

Քանի՞ բազմապատկիչ կա ընդհանուր առմամբ:

Դա շատ պարզ է՝ մենք գործոններին ավելացրել ենք գործոններ, և արդյունքը՝ գործոններ։

Բայց ըստ սահմանման սա ցուցիչ ունեցող թվի աստիճանն է, այսինքն՝ , որը պահանջվում էր ապացուցել։

ՕրինակՊարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում:

Օրինակ:Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Լուծում:Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում անպայմանպետք է լինի նույն պատճառը!
Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում ենք առանձին գործոն.

միայն հզորության արտադրանքի համար:

Ոչ մի դեպքում դա չպետք է գրեք:

2. այսինքն - թվի հզորությունը

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք անդրադառնանք աստիճանի սահմանմանը.

Ստացվում է, որ արտահայտությունն ինքն իրենով մեկ անգամ է բազմապատկվում, այսինքն՝ ըստ սահմանման, սա թվի երրորդ ուժն է.

Իրականում սա կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ.

Հիշենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։

Բայց դա իրականում ճիշտ չէ:

Բացասական հիմքով աստիճան

Մինչև այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպիսին պետք է լինի ցուցանիշը։

Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։

ից աստիճաններով բնական ցուցանիշհիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ. Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թիվ, լինի դրանք դրական, բացասական կամ զույգ:

Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ։

Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ ԲԱՅՑ ? Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանց հետ, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանից մի պարզ կանոն. Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք, ստացվում է.

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Դուք հասցրե՞լ եք:

Ահա պատասխանները. Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի:

Դե, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը նույնը չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ:

6 պրակտիկայի օրինակ

Լուծման վերլուծություն 6 օրինակ

Եթե ​​ուշադրություն չդարձնենք ութերորդ աստիճանին, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Եկեք նայենք 7-րդ դասարանի ծրագրին: Այսպիսով, հիշո՞ւմ եք: Սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։ Մենք ստանում ենք.

Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե ​​դրանք փոխանակվեին, կանոնը կարող էր կիրառվել:

Բայց ինչպե՞ս դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է՝ այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը։

Պայմանները կախարդական կերպով փոխվել են տեղերը: Այս «ֆենոմենը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։

Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ!

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

ամբողջանվանում ենք բնական թվերը, դրանց հակադիրները (այսինքն՝ վերցված «» նշանով) և թիվը։

դրական ամբողջ թիվ, և դա ոչնչով չի տարբերվում բնականից, այնուհետև ամեն ինչ ճիշտ է թվում, ինչպես նախորդ բաժնում:

Հիմա նայենք նոր դեպքերին։ Սկսենք հավասար ցուցանիշից.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Ինչպես միշտ, մենք ինքներս մեզ հարցնում ենք՝ ինչո՞ւ է այդպես։

Հաշվի առեք բազայի հետ որոշ հզորություն: Վերցրեք, օրինակ, և բազմապատկեք հետևյալով.

Այսպիսով, մենք թիվը բազմապատկեցինք և ստացանք նույնը, ինչ եղել է -: Ի՞նչ թվով պետք է բազմապատկել, որպեսզի ոչինչ չփոխվի: Ճիշտ է, շարունակվում է: Միջոցներ.

Նույնը կարող ենք անել կամայական թվով.

Կրկնենք կանոնը.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Բայց կան բացառություններ շատ կանոններից: Եվ այստեղ այն նույնպես կա - սա թիվ է (որպես հիմք):

Մի կողմից, այն պետք է հավասար լինի ցանկացած աստիճանի - ինչքան էլ զրոն իր վրա բազմապատկես, միեւնույն է, զրո ես ստանում, սա պարզ է։ Բայց մյուս կողմից, ինչպես զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ, այն պետք է հավասար լինի։ Այսպիսով, ո՞րն է սրա ճշմարտությունը: Մաթեմատիկոսները որոշեցին չխառնվել և հրաժարվեցին զրոն հասցնել զրո հզորության: Այսինքն՝ այժմ մենք կարող ենք ոչ միայն զրոյի բաժանել, այլև այն հասցնել զրոյական հզորության։

Եկեք ավելի հեռու գնանք: Բացի բնական թվերից և թվերից, ամբողջ թվերը ներառում են բացասական թվեր: Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը, եկեք անենք նույնը, ինչ նախորդ անգամ.

Այստեղից արդեն հեշտ է արտահայտել ցանկալիը.

Այժմ մենք ընդլայնում ենք ստացված կանոնը կամայական աստիճանի.

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք կանոնը.

Բացասական հզորության թիվը նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը: Բայց միևնույն ժամանակ բազան չի կարող զրոյական լինել.(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):

Ամփոփենք.

I. Արտահայտությունը գործով սահմանված չէ: Եթե, ապա.

II. Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի.

III. Թիվը, որը հավասար չէ զրոյի բացասական հզորությանը, նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Դե, ինչպես միշտ, օրինակներ անկախ լուծման համար.

Անկախ լուծման համար առաջադրանքների վերլուծություն.

Գիտեմ, գիտեմ, թվերը սարսափելի են, բայց քննության ժամանակ պետք է պատրաստ լինել ամեն ինչի: Լուծե՛ք այս օրինակները կամ վերլուծե՛ք դրանց լուծումը, եթե չկարողացաք լուծել այն, և դուք կսովորեք, թե ինչպես հեշտությամբ վարվել դրանց հետ քննության ժամանակ:

Շարունակենք ընդլայնել «հարմար» թվերի շրջանակը որպես ցուցիչ։

Հիմա հաշվի առեք ռացիոնալ թվեր.Ո՞ր թվերն են կոչվում ռացիոնալ:

Պատասխան. այն ամենը, ինչ կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են, ընդ որում:

Հասկանալու համար, թե ինչ է «կոտորակային աստիճան»Դիտարկենք կոտորակը.

Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցնենք հզորության.

Հիմա հիշեք կանոնը «աստիճանից աստիճան»:

Ի՞նչ թիվ պետք է բարձրացվի մինչև ուժ ստանալու համար:

Այս ձևակերպումը րդ աստիճանի արմատի սահմանումն է։

Հիշեցնեմ՝ թվի ()-ի րդ աստիճանի արմատը այն թիվն է, որը, երբ բարձրացվում է աստիճանի, հավասար է։

Այսինքն՝ րդ աստիճանի արմատը հզորության հակադարձ գործողությունն է.

Պարզվում է, որ. Ակնհայտ է, որ այս հատուկ դեպքը կարող է երկարաձգվել.

Հիմա ավելացրեք համարիչը. ինչ է դա: Պատասխանը հեշտ է ստանալ իշխանությունից իշխանություն կանոնով.

Բայց հիմքը կարո՞ղ է լինել որևէ թիվ: Ի վերջո, արմատը չի կարող արդյունահանվել բոլոր թվերից:

Ոչ ոք!

Հիշեք կանոնը. ցանկացած թիվ, որը բարձրացվում է մինչև զույգ մեծության, դրական թիվ է: Այսինքն՝ բացասական թվերից անհնար է զույգ աստիճանի արմատներ հանել։

Իսկ սա նշանակում է, որ նման թվերը չի կարելի հասցնել կոտորակային աստիճանի զույգ հայտարարով, այսինքն՝ արտահայտությունն իմաստ չունի։

Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը:

Բայց այստեղ խնդիր է առաջանում.

Թիվը կարող է ներկայացվել որպես այլ, կրճատված կոտորակներ, օրինակ, կամ.

Եվ պարզվում է, որ այն կա, բայց չկա, և դրանք ընդամենը երկու տարբեր գրառումներ են նույն թվով։

Կամ մեկ այլ օրինակ՝ մեկ անգամ, հետո կարող ես գրել: Բայց հենց որ ցուցիչն այլ կերպ ենք գրում, նորից անախորժություն ենք ունենում. (այսինքն՝ լրիվ այլ արդյունք ենք ստացել):

Նման պարադոքսներից խուսափելու համար մտածեք միայն դրական բազային ցուցիչ կոտորակային ցուցիչով.

Այսպիսով, եթե.

• - բնական թիվ;
• ամբողջ թիվ է;

Օրինակներ.

Ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժերը շատ օգտակար են արմատներով արտահայտությունները փոխակերպելու համար, օրինակ.

5 պրակտիկայի օրինակ

Վերապատրաստման 5 օրինակների վերլուծություն

Դե, հիմա - ամենադժվարը: Այժմ մենք կվերլուծենք աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով.

Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանների համար, բացառությամբ

Իրոք, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն, իռացիոնալ թվերը բոլորն իրական թվեր են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում:

Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է.

...զրոյական հզորություն- սա, այսպես ասած, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն, այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին դեռ չի հայտնվել, հետևաբար, արդյունքը միայն որոշակի «պատրաստում է»: մի թիվ», մասնավորապես թիվ;

...բացասական ամբողջ թվի ցուցիչ- կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվն ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։

Ի դեպ, գիտությունը հաճախ օգտագործում է աստիճան բարդ ցուցիչով, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։

Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

ՈՐՏԵՂ ՎՍՏԱՀ ԵՆՔ, ԴՈՒ ԳՆԱԼՈՒ ԵՔ: (եթե սովորես, թե ինչպես լուծել նման օրինակները :))

Օրինակ:

Ինքներդ որոշեք.

Լուծումների վերլուծություն.

1. Սկսենք աստիճանի աստիճանի բարձրացման արդեն սովորական կանոնից.

Հիմա նայեք հաշիվը. Նա ձեզ ինչ-որ բան հիշեցնու՞մ է: Մենք հիշում ենք քառակուսիների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձևը.

Այս դեպքում,

Ստացվում է, որ.

Պատասխան. .

2. Ցուցանիշներով կոտորակները բերում ենք նույն ձևին՝ երկուսն էլ տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.

Պատասխան՝ 16

3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, դիմիր կանոնավոր հատկություններաստիճաններ:

Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ

աստիճանի սահմանում

Աստիճանը ձևի արտահայտությունն է՝ , որտեղ.

• — աստիճանի հիմք;
• - ցուցիչ.

Աստիճան բնական ցուցիչով (n = 1, 2, 3,...)

Թիվը բնական n հզորության հասցնելը նշանակում է թիվն ինքն իրենով բազմապատկել.

Հզորությունը ամբողջ թվային ցուցիչով (0, ±1, ±2,...)

Եթե ​​ցուցիչն է դրական ամբողջ թիվթիվ:

էրեկցիա զրոյական հզորության:

Արտահայտությունն անորոշ է, քանի որ, մի կողմից, ցանկացած աստիճան սա է, իսկ մյուս կողմից՝ երրորդ աստիճանի ցանկացած թիվ սա է։

Եթե ​​ցուցիչն է ամբողջ բացասականթիվ:

(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):

Եվս մեկ անգամ nulls-ի մասին. արտահայտությունը գործով սահմանված չէ։ Եթե, ապա.

Օրինակներ.

Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով

• - բնական թիվ;
• ամբողջ թիվ է;

Օրինակներ.

Դիպլոմային հատկություններ

Խնդիրների լուծումը հեշտացնելու համար փորձենք հասկանալ՝ որտեղի՞ց են առաջացել այդ հատկությունները: Եկեք ապացուցենք դրանք։

Տեսնենք՝ ինչ է և.

Ըստ սահմանման.

Այսպիսով, այս արտահայտության աջ կողմում ստացվում է հետևյալ արտադրանքը.

Բայց ըստ սահմանման, սա ցուցիչով թվի ուժ է, այսինքն.

Ք.Ե.Դ.

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում : .

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում անպայմանպետք է ունենա նույն հիմքը. Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում ենք առանձին գործոն.

Մեկ այլ կարևոր նշում. այս կանոնը. միայն հզորությունների արտադրանքի համար!

Ոչ մի դեպքում դա չպետք է գրեմ։

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք անդրադառնանք աստիճանի սահմանմանը.

Եկեք վերադասավորենք այն այսպես.

Ստացվում է, որ արտահայտությունը բազմապատկվում է ինքն իրեն մեկ անգամ, այսինքն, ըստ սահմանման, սա թվի --րդ ուժն է.

Իրականում սա կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ:

Հիշենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։ Բայց դա իրականում ճիշտ չէ:

Բացասական հիմքով հզորություն.

Մինչ այս պահը մենք քննարկել ենք միայն այն, ինչ պետք է լինի ցուցանիշըաստիճան. Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։ ից աստիճաններով բնական ցուցիչ հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ .

Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թիվ, լինի դրանք դրական, բացասական կամ զույգ: Եկեք մտածենք, թե ինչ նշաններ («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ:

Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ ԲԱՅՑ ?

Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանց հետ, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանից մի պարզ կանոն. Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք (-ով), կստանանք -.

Եվ այսպես անվերջ. յուրաքանչյուր հաջորդ բազմապատկման հետ նշանը կփոխվի: Կարելի է նման ձեւակերպել պարզ կանոններ:

1. նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
2. Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
3. Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
4. Զրո ցանկացած հզորության հավասար է զրոյի:

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա պատասխանները.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։

Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի: Դե, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը նույնը չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ: Այստեղ դուք պետք է պարզեք, թե որն է ավելի քիչ. Եթե ​​դա հիշում եք, պարզ է դառնում, որ դա նշանակում է, որ հիմքը զրոյից փոքր է։ Այսինքն՝ մենք կիրառում ենք 2-րդ կանոնը՝ արդյունքը կլինի բացասական։

Եվ կրկին օգտագործում ենք աստիճանի սահմանումը.

Ամեն ինչ սովորական է. մենք գրում ենք աստիճանների սահմանումը և դրանք բաժանում ենք միմյանց, բաժանում դրանք զույգերի և ստանում.

Նախքան վերջին կանոնը վերլուծելը, լուծենք մի քանի օրինակ։

Հաշվարկել արտահայտությունների արժեքները.

Լուծումներ :

Եթե ​​ուշադրություն չդարձնենք ութերորդ աստիճանին, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Եկեք նայենք 7-րդ դասարանի ծրագրին: Այսպիսով, հիշո՞ւմ եք: Սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։

Մենք ստանում ենք.

Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե ​​դրանք չեղարկվեին, կարող էր կիրառվել 3-րդ կանոնը: Բայց ինչպե՞ս դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է՝ այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը։

Եթե ​​այն բազմապատկես, ոչինչ չի փոխվում, չէ՞: Բայց հիմա այն ունի հետևյալ տեսքը.

Պայմանները կախարդական կերպով փոխվել են տեղերը: Այս «ֆենոմենը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։ Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ:Այն չի կարող փոխարինվել մեզ համար միայն մեկ անընդունելի մինուս փոխելով:

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

Այսպիսով, հիմա վերջին կանոնը.

Ինչպե՞ս ենք դա ապացուցելու։ Իհարկե, ինչպես միշտ. եկեք ընդլայնենք աստիճան հասկացությունը և պարզեցնենք.

Դե, հիմա բացենք փակագծերը։ Քանի՞ տառ կլինի: անգամ բազմապատկիչներով - ինչ տեսք ունի: Սա ոչ այլ ինչ է, քան գործողության սահմանում բազմապատկումԸնդամենը պարզվեց, որ բազմապատկիչներ կան: Այսինքն, դա, ըստ սահմանման, թվի ուժ է ցուցիչով.

Օրինակ:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Ի հավելումն միջին մակարդակի աստիճանների մասին տեղեկատվության, մենք աստիճանը կվերլուծենք իռացիոնալ ցուցանիշով: Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ, ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն. , իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում: Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է. զրոյական աստիճանի թիվն, իբրև թե, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն՝ այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքը դեռ չի էլ հայտնվել, հետևաբար, արդյունքը միայն որոշակի «թվի պատրաստում», այն է՝ թիվ. աստիճան բացասական ամբողջ թվով – կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվն ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։

Չափազանց դժվար է պատկերացնել աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով (ինչպես դժվար է պատկերացնել 4-չափ տարածությունը): Ավելի շուտ, դա զուտ մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը մաթեմատիկոսները ստեղծել են աստիճանի հասկացությունը թվերի ողջ տարածության վրա տարածելու համար։

Ի դեպ, գիտությունը հաճախ օգտագործում է աստիճան բարդ ցուցիչով, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։ Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

Այսպիսով, ի՞նչ անենք, եթե տեսնենք իռացիոնալ ցուցիչ: Մենք ամեն ինչ անում ենք, որ ձերբազատվենք դրանից :)

Օրինակ:

Ինքներդ որոշեք.

1)

2)

3)

Պատասխանները:

1. Հիշեք քառակուսիների բանաձևի տարբերությունը. Պատասխան.
2. Կոտորակները բերում ենք միևնույն ձևի` կամ երկու տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.
3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք կիրառում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.

ԲԱԺԻՆ ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԸ

Աստիճանկոչվում է ձևի արտահայտություն՝ , որտեղ.

Աստիճան՝ ամբողջ թվով ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական)։

Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բացասական և կոտորակային թվերն են։

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Ցուցանիշ, որի ցուցիչը անվերջ տասնորդական կոտորակ կամ արմատ է:

Դիպլոմային հատկություններ

Աստիճանների առանձնահատկությունները.

• Բացասական թիվը բարձրացված է նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
• Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
• Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
• Զրոն հավասար է ցանկացած հզորության:
• Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է:

ՀԻՄԱ ԽՈՍՔ ՈՒՆԵՍ...

Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը: Տեղեկացրեք ինձ ստորև ներկայացված մեկնաբանություններում՝ ձեզ դուր եկավ, թե ոչ:

Պատմեք մեզ էներգիայի հատկությունների հետ կապված ձեր փորձի մասին:

Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.

Գրեք մեկնաբանություններում։

Եվ հաջողություն ձեր քննություններին: