Խտրականությունը երկիմաստ տերմին է: Այս հոդվածը կկենտրոնանա բազմանդամի դիսկրիմինանտի վրա, որը թույլ է տալիս որոշել, թե արդյոք տվյալ բազմանդամն ունի իրական լուծումներ։ Քառակուսի բազմանդամի բանաձևը գտնվում է հանրահաշվի և վերլուծության դպրոցական դասընթացում: Ինչպե՞ս գտնել խտրականին: Ի՞նչ է անհրաժեշտ հավասարումը լուծելու համար:

Քառակուսային բազմանդամը կամ երկրորդ աստիճանի հավասարումը կոչվում է i * w ^ 2 + j * w + k հավասար է 0-ի, որտեղ «i»-ն և «j»-ն առաջին և երկրորդ գործակիցներն են, համապատասխանաբար, «k»-ն հաստատուն է, որը երբեմն կոչվում է «ընդհատում», իսկ «w» փոփոխական է: Դրա արմատները կլինեն այն փոփոխականի բոլոր արժեքները, որոնց դեպքում այն ​​վերածվում է ինքնության: Նման հավասարությունը կարող է վերագրվել որպես i, (w - w1) և (w - w2) արտադրյալ, որը հավասար է 0-ի: Այս դեպքում ակնհայտ է, որ եթե «i» գործակիցը չի վերանում, ապա ֆունկցիան ձախ կողմը զրո կդառնա միայն այն դեպքում, եթե x-ը վերցնի w1 կամ w2 արժեքը: Այս արժեքները բազմանդամը զրո դնելու արդյունք են:

Փոփոխականի արժեքը գտնելու համար, որի դեպքում քառակուսի բազմանդամը անհետանում է, օգտագործվում է օժանդակ կառուցվածք, որը կառուցված է նրա գործակիցների վրա և կոչվում է դիսկրիմինանտ: Այս շինարարությունը հաշվարկվում է ըստ բանաձևի D հավասար է j * j - 4 * i * k: Ինչու է այն օգտագործվում:

1. Նա ասում է, որ եթե լինեն վավեր արդյունքներ:
2. Նա օգնում է դրանք հաշվարկել:

Ինչպես է այս արժեքը ցույց տալիս իրական արմատների առկայությունը.

• Եթե ​​դա դրական է, ապա իրական թվերի տարածաշրջանում կարող եք գտնել երկու արմատ:
• Եթե ​​դիսկրիմինատորը զրո է, ապա երկու լուծումներն էլ նույնն են։ Կարելի է ասել, որ լուծումը մեկն է, այն էլ իրական թվերի ոլորտից է։
• Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, ապա բազմանդամը իրական արմատներ չունի:

Նյութը ամրացնելու համար հաշվարկային տարբերակներ

Գումարի համար (7 * w^2; 3 * w; 1) հավասար է 0-իմենք հաշվարկում ենք D 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 բանաձևով մենք ստանում ենք -19: Զրոյից ցածր դիսկրիմինացիոն արժեքը ցույց է տալիս, որ իրական գծի վրա արդյունքներ չկան:

Եթե ​​համարենք 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 0-ին համարժեք, ապա D-ն հաշվարկվում է որպես (-3) քառակուսի հանած (4; 2; 1) թվերի արտադրյալը և հավասար է 9 - 8-ի, այսինքն՝ 1-ի: Դրական արժեքը ցույց է տալիս իրական գծի երկու արդյունք:

Եթե ​​վերցնենք գումարը (w^2; 2 * w; 1) և հավասարենք 0-ի, D-ը հաշվարկվում է որպես երկու քառակուսի հանած թվերի արտադրյալը (4; 1; 1): Այս արտահայտությունը կպարզեցվի մինչև 4 - 4 և կվերածվի զրոյի: Ստացվում է, որ արդյունքները նույնն են. Եթե ​​ուշադիր նայեք այս բանաձևին, պարզ կդառնա, որ սա « լրիվ քառակուսի«. Սա նշանակում է, որ հավասարությունը կարող է վերաշարադրվել (w + 1) ^ 2 = 0 ձևով։ Ակնհայտ դարձավ, որ այս խնդրի արդյունքը «-1» է։ Այն իրավիճակում, երբ D-ը հավասար է 0-ի, հավասարության ձախ կողմը միշտ կարող է փլվել «գումարի քառակուսի» բանաձևի համաձայն։

Օգտագործելով տարբերակիչ՝ արմատները հաշվարկելու համար

Այս օժանդակ կոնստրուկցիան ոչ միայն ցույց է տալիս իրական լուծումների քանակը, այլեւ օգնում է գտնել դրանք։ Ընդհանուր բանաձևերկրորդ աստիճանի հավասարման համար հաշվարկը հետևյալն է.

w = (-j +/- d) / (2 * i), որտեղ d-ն 1/2-ի հզորության տարբերակիչն է:

Ենթադրենք, դիսկրիմինատորը զրոյից ցածր է, ապա d-ն երևակայական է, իսկ արդյունքները՝ երևակայական:

D-ն զրո է, ապա d-ն հավասար է D-ին 1/2-ի հզորությանը նույնպես զրո է։ Լուծում` -j / (2 * i). Կրկին հաշվի առնելով 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, մենք գտնում ենք -2 / (2 * 1) = -1-ին համարժեք արդյունքներ:

Ենթադրենք D > 0, ուրեմն d-ն իրական թիվ է, և այստեղ պատասխանը բաժանվում է երկու մասի՝ w1 = (-j + d) / (2 * i) և w2 = (-j - d) / (2 * i) . Երկու արդյունքներն էլ վավեր կլինեն։ Եկեք նայենք 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0: Այստեղ տարբերակիչն ու d-ն մեկն են: Այսպիսով, w1-ը (3 + 1) բաժանված է (2 * 2) կամ 1-ի, իսկ w2-ը (3 - 1) բաժանված է 2 * 2-ի կամ 1/2-ի:

Քառակուսի արտահայտությունը զրոյի հավասարեցնելու արդյունքը հաշվարկվում է ըստ ալգորիթմի.

1. Վավեր լուծումների քանակի որոշում:
2. Հաշվարկ d = D ^ (1/2).
3. Արդյունքը գտնելն ըստ (-j +/- d) / (2 * i) բանաձևի.
4. Ստացված արդյունքի փոխարինումը սկզբնական հավասարությամբ ստուգման համար:

Որոշ հատուկ դեպքեր

Կախված գործակիցներից՝ լուծումը կարող է որոշ չափով պարզեցվել։ Ակնհայտ է, որ եթե փոփոխականի դիմաց երկրորդ հզորության գործակիցը զրո է, ապա ստացվում է գծային հավասարություն։ Երբ փոփոխականի դիմաց գործակիցը զրո է առաջին հզորությանը, ապա հնարավոր է երկու տարբերակ.

1. բազմանդամն ընդլայնվում է բացասական ազատ անդամ ունեցող քառակուսիների տարբերության մեջ.
2. դրական հաստատունի համար իրական լուծումներ չեն կարող գտնվել:

Եթե ​​ազատ անդամը զրո է, ապա արմատները կլինեն (0; -j)

Բայց կան այլ հատուկ դեպքեր, որոնք հեշտացնում են լուծում գտնելը։

Կրճատված երկրորդ աստիճանի հավասարում

Տրվածը կոչվում էայդպիսին քառակուսի եռանկյուն, որտեղ առաջատար անդամի դիմաց գործակիցը մեկն է։ Այս իրավիճակի համար կիրառելի է Վիետայի թեորեմը, որն ասում է, որ արմատների գումարը հավասար է առաջին աստիճանի փոփոխականի գործակցին, բազմապատկված -1-ով, իսկ արտադրյալը համապատասխանում է «k» հաստատունին։

Հետևաբար, w1 + w2 հավասար է -j-ի, իսկ w1 * w2-ը հավասար է k-ի, եթե առաջին գործակիցը մեկ է։ Նման ներկայացման ճիշտությունը ստուգելու համար մենք կարող ենք w2 = -j - w1 արտահայտել առաջին բանաձևից և այն փոխարինել երկրորդ հավասարությամբ w1 * (-j - w1) = k: Արդյունքը սկզբնական հավասարությունն է w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0:

Կարևոր է նշելոր i * w ^ 2 + j * w + k = 0 կարելի է կրճատել՝ բաժանելով «i»-ի։ Արդյունքը կլինի՝ w^2 + j1 * w + k1 = 0 որտեղ j1-ը հավասար է j/i-ի, իսկ k1-ը հավասար է k/i-ի:

Դիտարկենք արդեն լուծված 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 w1 = 1 և w2 = 1/2 արդյունքներով։ Անհրաժեշտ է կիսով չափ կիսել, արդյունքում w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0: Ստուգենք, որ թեորեմի պայմանները ճիշտ են գտնված արդյունքների համար. 1 + 1/2 = 3/2 և 1 * 1/2 = 1/2:

Նույնիսկ երկրորդ գործոնը

Եթե ​​փոփոխականի գործակիցը առաջին աստիճանին (j) բաժանվում է 2-ի, ապա հնարավոր կլինի պարզեցնել բանաձևը և լուծում փնտրել տարբերակիչ D / 4 \u003d (j / 2) քառորդի միջոցով ^ 2 - i * k: ստացվում է w = (-j +/- d/2) / i, որտեղ d/2 = D/4 1/2-ի հզորության:

Եթե ​​i = 1, իսկ j գործակիցը զույգ է, ապա լուծումը w փոփոխականի գործակիցի -1-ի և կեսի արտադրյալն է, գումարած/մինուս այս կեսի քառակուսու արմատը՝ հանած «k» հաստատունը։ Բանաձև՝ w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2:

Բարձրագույն կարգի դիսկրիմինանտ

Երկրորդ աստիճանի դիսկրիմինատորը, որը դիտարկվել է վերևում, ամենից հաճախ օգտագործվող հատուկ դեպքն է: Ընդհանուր դեպքում բազմանդամի դիսկրիմինանտն է այս բազմանդամի արմատների տարբերությունների բազմապատկված քառակուսիները. Հետեւաբար, խտրական զրոցույց է տալիս առնվազն երկու բազմակի լուծումների առկայությունը:

Դիտարկենք i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0:

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Ենթադրենք, դիսկրիմինատորը զրոյից մեծ է. Սա նշանակում է, որ իրական թվերի տարածաշրջանում կա երեք արմատ: Զրոյի դեպքում կան բազմաթիվ լուծումներ: Եթե ​​Դ< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Տեսանյութ

Մեր տեսանյութը ձեզ մանրամասն կպատմի խտրականության հաշվարկի մասին։

Ձեր հարցի պատասխանը չե՞ք ստացել։ Թեմա առաջարկեք հեղինակներին:

Եկեք աշխատենք հետ քառակուսի հավասարումներ. Սրանք շատ տարածված հավասարումներ են: Ի շատ ընդհանուր տեսարանքառակուսի հավասարումն այսպիսի տեսք ունի.

Օրինակ:

Այստեղ ա =1; բ = 3; գ = -4

Այստեղ ա =2; բ = -0,5; գ = 2,2

Այստեղ ա =-3; բ = 6; գ = -18

Դե, հասկացաք...

Ինչպե՞ս լուծել քառակուսի հավասարումներ:Եթե ​​դուք ունեք քառակուսի հավասարում այս ձևով, ապա ամեն ինչ պարզ է: Մենք հիշում ենք Կախարդական բառ խտրական . Ավագ դպրոցի հազվագյուտ աշակերտ այս բառը չի լսել: «Որոշիր խտրականի միջոցով» արտահայտությունը հուսադրող և հուսադրող է: Որովհետև խտրականի կողմից հնարքների սպասել պետք չէ։ Այն պարզ է և անփորձանք օգտագործելու համար: Այսպիսով, քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

Արմատային նշանի տակ արտահայտությունը նույնն է խտրական. Ինչպես տեսնում եք, x գտնելու համար մենք օգտագործում ենք միայն a, b և c. Նրանք. գործակիցները քառակուսի հավասարումից. Պարզապես զգուշորեն փոխարինեք արժեքները ա, բ և գայս բանաձևի մեջ և հաշվի առեք. Փոխարինող ձեր նշաններով! Օրինակ, առաջին հավասարման համար ա =1; բ = 3; գ= -4. Այստեղ մենք գրում ենք.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

Այսքանը:

Ի՞նչ դեպքեր են հնարավոր այս բանաձևն օգտագործելիս: Միայն երեք դեպք կա.

1. Խտրականը դրական է. Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք արմատը հանել դրանից: Արմատը լավ է հանվում, թե վատ, այլ հարց է։ Կարեւոր է, թե ինչ է արդյունահանվում սկզբունքորեն։ Այսպիսով, ձեր քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի: Երկու տարբեր լուծումներ.

2. Խտրականը զրո է։ Ապա դուք ունեք մեկ լուծում. Խիստ ասած՝ սա մեկ արմատ չէ, այլ երկու նույնական. Բայց սա դեր է խաղում անհավասարությունների մեջ, որտեղ ավելի մանրամասն կուսումնասիրենք հարցը։

3. Խտրականը բացասական է. Բացասական թիվը չի վերցնում քառակուսի արմատը: Դե, լավ: Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Ամեն ինչ շատ պարզ է. Իսկ ի՞նչ եք կարծում, չե՞ք կարող սխալվել։ Դե, այո, ինչպես ...
Ամենատարածված սխալները արժեքների նշանների հետ շփոթվելն է ա, բ և գ. Ավելի ճիշտ, ոչ թե իրենց նշաններով (որտե՞ղ կարելի է շփոթել), այլ բացասական արժեքների փոխարինմամբ արմատները հաշվարկելու բանաձևով: Այստեղ պահվում է բանաձևի մանրամասն գրառումը հատուկ թվերով: Եթե ​​հաշվարկների հետ կապված խնդիրներ կան, այնպես որ դա արեք!

Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ a = -6; b = -5; c=-1

Ենթադրենք, դուք գիտեք, որ հազվադեպ եք պատասխաններ ստանում առաջին անգամ:

Դե, մի ծուլացեք: Լրացուցիչ տող գրելու համար կպահանջվի 30 վայրկյան Եվ սխալների քանակը կտրուկ կնվազի. Այսպիսով, մենք մանրամասն գրում ենք բոլոր փակագծերով և նշաններով.

Թվում է, թե աներևակայելի դժվար է այդքան ուշադիր նկարել: Բայց դա միայն թվում է. Փորձիր. Դե, կամ ընտրեք: Ո՞րն է ավելի լավ, արագ, թե ճիշտ: Բացի այդ, ես ձեզ կուրախացնեմ։ Որոշ ժամանակ անց ամեն ինչ այդքան խնամքով նկարելու կարիք չի լինի։ Պարզապես ճիշտ կստացվի։ Հատկապես, եթե դուք կիրառում եք գործնական տեխնիկա, որոնք նկարագրված են ստորև: Այս չար օրինակը մի շարք մինուսներով կլուծվի հեշտությամբ և առանց սխալների:

Այսպիսով, ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներմեր հիշած խտրականի միջոցով։ Կամ սովորել, ինչը նույնպես լավ է։ Կարող եք ճիշտ ճանաչել ա, բ և գ. Գիտե՞ք ինչպես ուշադիրդրանք փոխարինել արմատային բանաձևով և ուշադիրհաշվել արդյունքը. Դուք դա հասկացա՞ք հիմնաբառայստեղ - ուշադիր?

Այնուամենայնիվ, քառակուսի հավասարումները հաճախ մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

այն թերի քառակուսի հավասարումներ . Դրանք կարող են լուծվել նաև խտրականի միջոցով։ Պարզապես պետք է ճիշտ պարզել, թե ինչն է այստեղ հավասար ա, բ և գ.

Հասկացա? Առաջին օրինակում a = 1; b = -4;ա գ? Այն ընդհանրապես գոյություն չունի։ Դե, այո, այդպես է: Մաթեմատիկայի մեջ սա նշանակում է, որ c = 0 ! Այսքանը: Փոխարինեք զրո բանաձևի փոխարեն գ,և մեզ մոտ ամեն ինչ կստացվի: Նմանապես երկրորդ օրինակով. Միայն զրո մենք այստեղ չունենք Հետ, ա բ !

Բայց թերի քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել շատ ավելի հեշտ։ Առանց որևէ խտրականության։ Դիտարկենք առաջին թերի հավասարումը: Ինչ կարելի է անել ձախ կողմում: Դուք կարող եք հանել X-ը փակագծերից: Եկեք հանենք այն:

Իսկ ի՞նչ: Եվ այն փաստը, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գործոններից որևէ մեկը հավասար է զրոյի: Չե՞ք հավատում։ Դե, ուրեմն եկեք երկու ոչ զրոյական թվեր, որոնք բազմապատկելուց զրո կտան։
Չի աշխատում? Ինչ - որ բան...
Այսպիսով, մենք կարող ենք վստահորեն գրել. x = 0, կամ x = 4

Ամեն ինչ. Սրանք կլինեն մեր հավասարման արմատները: Երկուսն էլ տեղավորվում են: Դրանցից որևէ մեկը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք ճիշտ նույնականությունը 0 = 0: Ինչպես տեսնում եք, լուծումը շատ ավելի պարզ է, քան տարբերակիչի միջոցով:

Երկրորդ հավասարումը նույնպես կարելի է հեշտությամբ լուծել. Մենք 9-ը տեղափոխում ենք աջ կողմ: Մենք ստանում ենք.

Մնում է արմատը հանել 9-ից, և վերջ։ Ստանալ:

նաև երկու արմատ . x = +3 և x = -3.

Այսպես են լուծվում բոլոր թերի քառակուսի հավասարումները։ Կամ փակագծերից հանելով X-ը, կամ պարզապես թիվը աջ տեղափոխելով, որին հաջորդում է արմատը հանելով։
Չափազանց դժվար է շփոթել այս մեթոդները։ Պարզապես այն պատճառով, որ առաջին դեպքում պետք է արմատը հանել X-ից, ինչը ինչ-որ կերպ անհասկանալի է, իսկ երկրորդ դեպքում փակագծերից հանելու բան չկա…

Այժմ հաշվի առեք գործնական տեխնիկան, որը կտրուկ նվազեցնում է սխալների թիվը: Հենց նրանք, որոնք անուշադրության պատճառով են… որոնց համար հետո ցավալի է և վիրավորական…

Առաջին ընդունելություն. Մի ծուլացեք քառակուսի հավասարումը լուծելուց առաջ՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար: Ինչ է սա նշանակում?
Ենթադրենք, ցանկացած փոխակերպումից հետո դուք ստանում եք հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատների բանաձեւը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունները ա, բ և գ.Ճիշտ կառուցիր օրինակը։ Նախ՝ x քառակուսի, հետո առանց քառակուսու, հետո ազատ անդամ։ Սրա նման:

Եվ կրկին, մի շտապեք: X-ի քառակուսի առաջ մինուսը կարող է ձեզ շատ տխրեցնել: Մոռանալը հեշտ է... Ազատվեք մինուսից։ Ինչպե՞ս: Այո, ինչպես ուսուցանվեց նախորդ թեմայում: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Եվ այժմ դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և լրացնել օրինակը: Որոշեք ինքներդ: Դուք պետք է ավարտեք 2-րդ և -1 արմատներով:

Երկրորդ ընդունելություն.Ստուգեք ձեր արմատները: Վիետայի թեորեմի համաձայն. Մի անհանգստացեք, ես ամեն ինչ կբացատրեմ: Ստուգում վերջին բանըհավասարումը։ Նրանք. այն, որով մենք գրեցինք արմատների բանաձևը. Եթե ​​(ինչպես այս օրինակում) գործակիցը a = 1, հեշտությամբ ստուգեք արմատները: Բավական է դրանք բազմապատկել։ Դուք պետք է ստանաք անվճար ժամկետ, այսինքն. մեր դեպքում -2. Ուշադրություն դարձրեք, ոչ թե 2, այլ -2: ազատ անդամ ձեր նշանով . Եթե ​​դա չի ստացվել, նշանակում է, որ նրանք արդեն ինչ-որ տեղ խառնվել են: Փնտրեք սխալ: Եթե ​​ստացվեց, պետք է արմատները ծալել։ Վերջին և վերջնական ստուգում. Պետք է լինի հարաբերակցություն բՀետ հակառակը նշան. Մեր դեպքում -1+2 = +1: Գործակից բ, որը x-ից առաջ է, հավասար է -1-ի: Այսպիսով, ամեն ինչ ճիշտ է:
Ափսոս, որ այդքան պարզ է միայն այն օրինակների համար, որտեղ x քառակուսին մաքուր է՝ գործակցով a = 1.Բայց գոնե ստուգեք նման հավասարումների մեջ։ Սխալներն ավելի քիչ կլինեն։

Ընդունելություն երրորդ. Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկեք հավասարումը ընդհանուր հայտարարով, ինչպես նկարագրված է նախորդ բաժնում: Կոտորակների, սխալների հետ աշխատելիս, չգիտես ինչու, բարձրանալ ...

Ի դեպ, ես խոստացա մի չար օրինակ՝ մի շարք մինուսներով պարզեցնելու համար։ Խնդրում եմ։ Ահա նա։

Որպեսզի մինուսների մեջ չշփոթվենք, հավասարումը բազմապատկում ենք -1-ով։ Մենք ստանում ենք.

Այսքանը: Որոշում կայացնելը զվարճալի է:

Այսպիսով, եկեք ամփոփենք թեման:

Գործնական խորհուրդներ:

1. Մինչ լուծելը քառակուսի հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի, կառուցում ճիշտ.

2. Եթե քառակուսիում x-ի դիմաց բացասական գործակից կա, ապա այն վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով -1-ով:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը համապատասխան գործակցով բազմապատկելով։

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, ապա դրա գործակիցը հավասար է մեկի, լուծումը հեշտությամբ կարելի է ստուգել Վիետայի թեորեմով։ Արա!

Կոտորակային հավասարումներ. ՕՁ.

Մենք շարունակում ենք յուրացնել հավասարումները։ Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես աշխատել գծային և քառակուսի հավասարումների հետ: Մնում է վերջին տեսակետը կոտորակային հավասարումներ. Կամ դրանք նաև կոչվում են շատ ավելի ամուր. կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ. Սա նույնն է.

Կոտորակային հավասարումներ.

Ինչպես ենթադրում է անունը, այս հավասարումները անպայման պարունակում են կոտորակներ։ Բայց ոչ միայն կոտորակներ, այլ կոտորակներ, որոնք ունեն անհայտ է հայտարարի մեջ. Գոնե մեկում։ Օրինակ:

Հիշեցնեմ, եթե միայն հայտարարներում թվեր, սրանք գծային հավասարումներ են։

Ինչպես որոշել կոտորակային հավասարումներ? Նախ ազատվե՛ք կոտորակներից։ Դրանից հետո հավասարումը, ամենից հաճախ, վերածվում է գծային կամ քառակուսայինի։ Եվ հետո մենք գիտենք, թե ինչ պետք է անենք... Որոշ դեպքերում այն ​​կարող է վերածվել ինքնության, օրինակ՝ 5=5 կամ սխալ արտահայտության, օրինակ՝ 7=2։ Բայց դա հազվադեպ է պատահում: Ստորև կնշեմ.

Բայց ինչպե՞ս ազատվել կոտորակներից։ Շատ պարզ. Կիրառելով բոլոր նույն նույնական փոխակերպումները:

Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը նույն արտահայտությամբ։ Որպեսզի բոլոր հայտարարները պակասեն: Ամեն ինչ անմիջապես կհեշտանա։ Բացատրում եմ օրինակով. Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հավասարումը.

Ինչպե՞ս էին նրանց սովորեցնում տարրական դպրոցում: Մենք ամեն ինչ փոխանցում ենք մեկ ուղղությամբ, նվազեցնում ենք ընդհանուր հայտարարի և այլն։ Մոռացեք, թե ինչ վատ երազ է: Սա այն է, ինչ դուք պետք է անեք, երբ ավելացնում կամ հանում եք կոտորակային արտահայտություններ: Կամ աշխատեք անհավասարությունների հետ: Իսկ հավասարումների մեջ մենք երկու մասերն էլ անմիջապես բազմապատկում ենք մի արտահայտությամբ, որը մեզ հնարավորություն կտա կրճատել բոլոր հայտարարները (այսինքն, ըստ էության, ընդհանուր հայտարարով): Իսկ ի՞նչ է այս արտահայտությունը։

Ձախ կողմում, հայտարարը նվազեցնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել x+2. Իսկ աջ կողմում պահանջվում է բազմապատկել 2-ով, ուստի հավասարումը պետք է բազմապատկել 2 (x+2). Մենք բազմապատկում ենք.

Սա կոտորակների սովորական բազմապատկումն է, բայց ես մանրամասն կգրեմ.

Ուշադրություն դարձրեք, որ փակագծերը դեռ չեմ բացում։ (x + 2)! Այսպիսով, ես ամբողջությամբ գրում եմ.

Ձախ կողմում այն ​​ամբողջությամբ կրճատվել է (x+2), իսկ աջում 2. Ինչպես պահանջվում է։ Կրճատումից հետո մենք ստանում ենք գծայինհավասարումը:

Յուրաքանչյուրը կարող է լուծել այս հավասարումը: x = 2.

Եկեք լուծենք ևս մեկ օրինակ՝ մի փոքր ավելի բարդ.

Եթե ​​հիշենք, որ 3 = 3/1, և 2x = 2x/ 1-ը կարելի է գրել.

Եվ կրկին մենք ազատվում ենք այն ամենից, ինչ մեզ իրականում դուր չի գալիս՝ կոտորակներից:

Տեսնում ենք, որ x-ով հայտարարը կրճատելու համար անհրաժեշտ է կոտորակը բազմապատկել (x - 2). Իսկ միավորները մեզ խանգարում են։ Դե, եկեք բազմապատկենք: Բոլորըձախ կողմը և բոլորըաջ կողմ:

Կրկին փակագծեր (x - 2)Չեմ բացահայտում. Ես աշխատում եմ փակագծով որպես ամբողջություն, կարծես մեկ թիվ լինի: Դա միշտ պետք է արվի, այլապես ոչինչ չի կրճատվի։

Խորը բավարարվածության զգացումով կտրեցինք (x - 2)և մենք ստանում ենք հավասարումը առանց կոտորակների, քանոնով։

Եվ հիմա մենք բացում ենք փակագծերը.

Մենք տալիս ենք նմանատիպերը, ամեն ինչ տեղափոխում ենք ձախ կողմը և ստանում.

Դասական քառակուսի հավասարում. Բայց առջեւում մինուսը լավ չէ։ Դուք միշտ կարող եք ազատվել դրանից՝ բազմապատկելով կամ բաժանելով -1-ով: Բայց եթե ուշադիր նայեք օրինակին, կնկատեք, որ ավելի լավ է այս հավասարումը բաժանել -2-ի: Մի հարվածով մինուսը կվերանա, իսկ գործակիցները կդառնան ավելի գեղեցիկ։ Բաժանում ենք -2-ի։ Ձախ կողմում` տերմին առ տերմին, իսկ աջ կողմում` պարզապես զրոն բաժանեք -2-ի, զրո և ստացեք.

Մենք լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով և ստուգում ըստ Վիետայի թեորեմի։ Մենք ստանում ենք x=1 և x=3. Երկու արմատ.

Ինչպես տեսնում եք, առաջին դեպքում փոխակերպումից հետո հավասարումը դարձել է գծային, իսկ այստեղ՝ քառակուսի։ Պատահում է, որ կոտորակներից ազատվելուց հետո բոլոր x-երը կրճատվում են։ Ինչ-որ բան է մնացել, օրինակ 5=5: Դա նշանակում է որ x-ը կարող է լինել ամեն ինչ. Ինչ էլ լինի, միեւնույն է, կկրճատվի։ Եվ ստացեք մաքուր ճշմարտությունը, 5=5: Բայց կոտորակներից ազատվելուց հետո կարող է պարզվել, որ այն լիովին չի համապատասխանում իրականությանը, օրինակ՝ 2=7։ Իսկ սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան! Ցանկացած x-ով ստացվում է, որ կեղծ է:

Հասկացա հիմնական ճանապարհըլուծումներ կոտորակային հավասարումներ? Դա պարզ է և տրամաբանական։ Մենք փոխում ենք սկզբնական արտահայտությունը, որպեսզի վերանա այն ամենը, ինչ մեզ դուր չի գալիս։ Կամ խանգարել: Այս դեպքում դա կոտորակներ են: Նույնը կանենք բոլորի հետ բարդ օրինակներլոգարիթմներով, սինուսներով և այլ սարսափներով: Մենք միշտմենք այս ամենից կազատվենք.

Այնուամենայնիվ, մենք պետք է փոխենք բնօրինակ արտահայտությունը մեզ անհրաժեշտ ուղղությամբ կանոնների համաձայն, այո ... Որի զարգացումը մաթեմատիկայի քննությանը նախապատրաստվելն է։ Այստեղ մենք սովորում ենք.

Այժմ մենք կսովորենք, թե ինչպես շրջանցել դրանցից մեկը հիմնական որոգայթները քննության վրա! Բայց նախ տեսնենք՝ դուք դրա մեջ եք ընկնում, թե ոչ։

Եկեք մի պարզ օրինակ բերենք.

Գործն արդեն ծանոթ է, երկու մասերն էլ բազմապատկում ենք (x - 2), ստանում ենք.

Հիշեք՝ փակագծերով (x - 2)աշխատել մեկի հետ ամբողջ արտահայտությունը!

Այստեղ ես այլևս չգրեցի այն հայտարարի մեջ, անարժանապատիվ ... Եվ հայտարարների մեջ փակագծեր չգծեցի, բացառությամբ x - 2ոչինչ չկա, չես կարող նկարել: Մենք կրճատում ենք.

Մենք բացում ենք փակագծերը, ամեն ինչ տեղափոխում ենք ձախ, տալիս ենք նմանատիպերը.

Լուծում ենք, ստուգում, երկու արմատ ենք ստանում։ x = 2և x = 3. Գերազանց։

Ենթադրենք, առաջադրանքն ասում է, որ պետք է գրել արմատը կամ դրանց գումարը, եթե կան մեկից ավելի արմատներ: ի՞նչ գրենք։

Եթե ​​որոշեք, որ պատասխանը 5 է, դուք դարանակալվել են. Եվ առաջադրանքը ձեզ համար չի հաշվարկվի: Իզուր աշխատեցին ... Ճիշտ պատասխանը 3-ն է։

Ինչ է պատահել?! Իսկ դու փորձում ես ստուգել։ Փոխարինեք անհայտի արժեքները օրիգինալօրինակ. Եվ եթե ժամը x = 3ամեն ինչ հիանալի աճում է միասին, մենք ստանում ենք 9 = 9, ապա հետ x = 2բաժանել զրոյի! Այն, ինչ բացարձակապես հնարավոր չէ անել. Միջոցներ x = 2լուծում չէ և հաշվի չի առնվում պատասխանում։ Սա այսպես կոչված կողմնակի կամ լրացուցիչ արմատն է: Մենք պարզապես մերժում ենք այն: Կա միայն մեկ վերջնական արմատ. x = 3.

Ինչու այդպես?! Ես վրդովված բացականչություններ եմ լսում. Մեզ սովորեցրել են, որ հավասարումը կարելի է բազմապատկել արտահայտությամբ։ այն ինքնության վերափոխում!

Այո, նույնական: Փոքր պայմանով - արտահայտությունը, որով մենք բազմապատկում ենք (բաժանում) - տարբերվում է զրոյից. ԲԱՅՑ x - 2ժամը x = 2հավասար է զրոյի! Այսպիսով, ամեն ինչ արդար է:

Իսկ հիմա ինչ կարող եմ անել?! Չե՞ք բազմապատկել արտահայտությամբ: Դուք ամեն անգամ ստուգու՞մ եք: Կրկին անհասկանալի!

Հանգիստ! Խուճապ չկա:

Այս դժվարին իրավիճակում երեք կախարդական տառեր կփրկեն մեզ։ Ես գիտեմ, թե ինչ էիր մտածում։ Ճիշտ! այն ՕՁ . Վավեր արժեքների տարածք:

Կարևոր. Նույնիսկ բազմակիության արմատներում ֆունկցիան չի փոխում նշանը:

Նշում! Դպրոցական հանրահաշվի դասընթացի ցանկացած ոչ գծային անհավասարություն պետք է լուծվի ինտերվալների մեթոդով:

Ես ձեզ առաջարկում եմ մանրամասն ինտերվալ մեթոդով անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ, որից հետո դուք կարող եք խուսափել սխալներից, երբ ոչ գծային անհավասարությունների լուծում.

Լուծում քառակուսի հավասարումներբացասական տարբերակիչներով

Ինչպես գիտենք,

ես 2 = - 1.

Այնուամենայնիվ,

(- ես ) 2 = (- 1 ես ) 2 = (- 1) 2 ես 2 = -1.

Այսպիսով, 1-ի քառակուսի արմատի համար կա առնվազն երկու արժեք, մասնավորապես ես և - ես . Բայց միգուցե կան այլ բարդ թվեր, որոնց քառակուսիները 1-ն են:

Այս հարցը պարզաբանելու համար ենթադրենք, որ կոմպլեքս թվի քառակուսին ա + բի հավասար է - 1. Հետո

(ա + բի ) 2 = - 1,

ա 2 + 2աբի - բ 2 = - 1

Երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են, եթե և միայն եթե դրանց իրական մասերը և երևակայական մասերի գործակիցները հավասար են։ Ահա թե ինչու

{	և 2 - բ 2 = - 1 աբ = 0 (1)

Համաձայն (1) համակարգի երկրորդ հավասարման՝ թվերից առնվազն մեկը ա և բ պետք է հավասար լինի զրոյի: Եթե բ = 0, ապա ստացվում է առաջին հավասարումը ա 2 = - 1. Թիվ ա իրական, և հետևաբար ա 2 > 0. Ոչ բացասական թիվ ա 2-ը չի կարող հավասարվել բացասական թիվ- 1. Հետևաբար, հավասարություն բ = 0 այս դեպքում անհնար է: Մնում է ճանաչել, որ ա = 0, բայց հետո համակարգի առաջին հավասարումից մենք ստանում ենք. բ 2 = - 1, բ = ± 1.

Հետևաբար, միակ բարդ թվերը, որոնց քառակուսիները -1 են, թվերն են ես և - ես , Սա պայմանականորեն գրված է այսպես.

√-1 = ± ես .

Նմանատիպ պատճառաբանությամբ ուսանողները կարող են ստուգել, ​​որ կա ճիշտ երկու թիվ, որոնց քառակուսիները հավասար են բացասական թվի. ա . Այս թվերն են √ այ և -√ այ . Պայմանականորեն գրված է այսպես.

√- ա = ± √ այ .

√ տակ ա այստեղ նկատի ունի թվաբանությունը, այսինքն՝ դրական, արմատը։ Օրինակ, √4 = 2, √9 =.3; Ահա թե ինչու

√-4 = + 2ես , √-9= ± 3 ես

Եթե ​​նախկինում բացասական դիսկրիմինանտներով քառակուսի հավասարումներ դիտարկելիս ասում էինք, որ նման հավասարումները արմատներ չունեն, ապա այժմ դա այլեւս հնարավոր չէ ասել։ Բացասական դիսկրիմինանտներով քառակուսի հավասարումները բարդ արմատներ ունեն: Այս արմատները ստացվում են մեզ հայտնի բանաձեւերով։ Եկեք, օրինակ, հաշվի առնենք հավասարումը x 2 + 2X + 5 = 0; ապա

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 ես .

Այսպիսով, այս հավասարումը երկու արմատ ունի. X 1 = - 1 +2ես , X 2 = - 1 - 2ես . Այս արմատները փոխկապակցված են: Հետաքրքիր է նշել, որ դրանց գումարը հավասար է - 2-ի, իսկ արտադրյալը 5 է, ուստի Վիետայի թեորեմը կատարվում է։

Կոմպլեքս թվի հայեցակարգը

Կոմպլեքս թիվը a + ib ձևի արտահայտությունն է, որտեղ a և b ցանկացած իրական թվեր են, i-ն հատուկ թիվ է, որը կոչվում է երևակայական միավոր: Նման արտահայտությունների համար հավասարություն հասկացությունները և գումարման ու բազմապատկման գործողությունները ներկայացվում են հետևյալ կերպ.

1. Երկու բարդ թվեր a + ib և c + id ասում են, որ հավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե
   a = b և c = d.
2. a + ib և c + id երկու բարդ թվերի գումարը բարդ թիվ է
   a + c + i (b + d).
3. a + ib և c + id երկու բարդ թվերի արտադրյալը բարդ թիվ է
   ac - bd + i (ad + bc):

Բարդ թվերը հաճախ նշվում են մեկ տառով, օրինակ՝ z = a + ib: Իրական a թիվը կոչվում է z բարդ թվի իրական մասը, իսկական մասը նշանակվում է a = Re z: Իրական b թիվը կոչվում է z բարդ թվի երևակայական մասը, երևակայական մասը նշանակվում է b = Im z: Նման անուններն ընտրվում են բարդ թվերի հետևյալ հատուկ հատկությունների հետ կապված.

Նկատի ունեցեք, որ z = a + i · 0 ձևի բարդ թվերի վրա թվաբանական գործողությունները կատարվում են ճիշտ այնպես, ինչպես իրական թվերի վրա։ Իսկապես,

Հետևաբար, a + i · 0 ձևի բարդ թվերը բնականաբար նույնացվում են իրական թվերի հետ: Դրա պատճառով այս տեսակի բարդ թվերը կոչվում են պարզապես իրական: Այսպիսով, իրական թվերի բազմությունը պարունակվում է բարդ թվերի բազմության մեջ։ Կոմպլեքս թվերի բազմությունը նշանակվում է . Մենք դա հաստատել ենք, այն է

Ի տարբերություն իրական թվերի, 0 + ib ձևի թվերը կոչվում են զուտ երևակայական։ Հաճախ պարզապես գրել bi, օրինակ՝ 0 + i 3 = 3 i: Զուտ երևակայական i1 = 1 i = i թիվը զարմանալի հատկություն ունի.
Այս կերպ,

№ 4 .1. Մաթեմատիկայի մեջ թվային ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի տիրույթները և արժեքները թվային բազմությունների ենթաբազմություն են՝ ընդհանուր առմամբ իրական թվերի կամ բարդ թվերի բազմությունը:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Ֆունկցիայի գրաֆիկի հատված

Գործառույթ սահմանելու եղանակներ

[խմբագրել] Վերլուծական մեթոդ

Սովորաբար, ֆունկցիան սահմանվում է բանաձևի միջոցով, որը ներառում է փոփոխականներ, գործողություններ և տարրական գործառույթներ. Թերևս մասնակի հանձնարարություն, այսինքն՝ տարբեր փաստարկի տարբեր արժեքների համար:

[խմբագրել] Աղյուսակային ձև

Ֆունկցիան կարող է սահմանվել՝ թվարկելով դրա բոլոր հնարավոր արգումենտները և դրանց արժեքները: Դրանից հետո, անհրաժեշտության դեպքում, ֆունկցիան կարող է երկարաձգվել աղյուսակում չգտնվող արգումենտների համար՝ ինտերպոլացիայի կամ էքստրապոլացիայի միջոցով։ Օրինակներ են ծրագրի ուղեցույցը, գնացքի ժամանակացույցը կամ բուլյան ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը.

[խմբագրել] Գրաֆիկական եղանակ

Օսցիլոգրամը գրաֆիկորեն սահմանում է որոշ ֆունկցիայի արժեքը։

Ֆունկցիան կարելի է գրաֆիկորեն ճշտել՝ հարթության վրա ցուցադրելով դրա գրաֆիկի կետերի մի շարք: Սա կարող է լինել կոպիտ ուրվագիծ, թե ինչպիսին պետք է լինի ֆունկցիան, կամ ընթերցումներ՝ վերցված այնպիսի գործիքից, ինչպիսին է օսցիլոսկոպը: Այս ճշգրտումը կարող է տուժել ճշգրտության պակասից, սակայն որոշ դեպքերում ճշգրտման այլ մեթոդներ ընդհանրապես չեն կարող կիրառվել: Բացի այդ, կարգավորման այս եղանակը ֆունկցիայի ամենաներկայացուցիչ, հեշտ հասկանալի և բարձրորակ էվրիստիկական վերլուծություններից մեկն է:

[խմբագրել] Ռեկուրսիվ եղանակ

Ֆունկցիան կարող է սահմանվել ռեկուրսիվ կերպով, այսինքն՝ իր միջոցով։ Այս դեպքում ֆունկցիայի որոշ արժեքներ որոշվում են նրա մյուս արժեքների միջոցով:

• գործոնային;
• Ֆիբոնաչիի թվեր;
• Աքերմանի գործառույթը.

[խմբագրել] բանավոր ձևով

Ֆունկցիան կարող է նկարագրվել բնական լեզվով բառերով միանշանակ կերպով, օրինակ՝ նկարագրելով դրա մուտքային և ելքային արժեքները կամ ալգորիթմը, որով ֆունկցիան վերագրում է համապատասխանություններ այդ արժեքների միջև։ հետ միասին գրաֆիկորեն, երբեմն սա գործառույթը նկարագրելու միակ միջոցն է, թեև բնական լեզուներն այնքան դետերմինիստական ​​չեն, որքան ֆորմալները:

• ֆունկցիա, որն իր թվով վերադարձնում է թվանշան pi-ի նշումով.
• ֆունկցիա, որը վերադարձնում է տիեզերքի ատոմների թիվը ժամանակի տվյալ պահին.
• գործառույթ, որը մարդուն ընդունում է որպես փաստարկ և վերադարձնում է այն մարդկանց թիվը, ովքեր ծնվելու են աշխարհ նրա ծնվելուց հետո

AT ժամանակակից հասարակությունքառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումների հետ աշխատելու ունակությունը կարող է օգտակար լինել գործունեության բազմաթիվ ոլորտներում և լայնորեն կիրառվում է պրակտիկայում գիտական ​​և տեխնիկական զարգացումներում: Դրա մասին կարող են վկայել ծովային և գետային նավերի, ինքնաթիռների և հրթիռների նախագծումը։ Նման հաշվարկների օգնությամբ որոշվում են տարբեր մարմինների շարժման հետագծերը, այդ թվում տիեզերական օբյեկտներ. Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները օգտագործվում են ոչ միայն տնտեսական կանխատեսումների, շենքերի նախագծման և կառուցման մեջ, այլև առավել սովորական առօրյա հանգամանքներում: Դրանք կարող են անհրաժեշտ լինել ճամբարային ճամփորդությունների ժամանակ, սպորտային միջոցառումների ժամանակ, խանութներում գնումներ կատարելիս և այլ շատ սովորական իրավիճակներում:

Բաժանենք արտահայտությունը բաղադրիչ գործոնների

Հավասարման աստիճանը որոշվում է տվյալ արտահայտությունը պարունակող փոփոխականի աստիճանի առավելագույն արժեքով։ Եթե ​​այն հավասար է 2-ի, ապա նման հավասարումը կոչվում է քառակուսի հավասարում։

Եթե ​​խոսենք բանաձևերի լեզվով, ապա այդ արտահայտությունները, անկախ նրանից, թե ինչ տեսք ունեն, միշտ կարելի է հասցնել այն ձևի, երբ արտահայտության ձախ կողմը բաղկացած է երեք տերմիններից։ Դրանցից՝ ax 2 (այսինքն՝ իր գործակցի հետ քառակուսի փոփոխական), bx (անհայտ առանց քառակուսու իր գործակցով) և c (ազատ բաղադրիչ, այսինքն՝ սովորական թիվ)։ Այս ամենը աջ կողմում հավասար է 0-ի: Այն դեպքում, երբ նման բազմանդամը չունի իր բաղկացուցիչ անդամներից մեկը, բացառությամբ կացին 2-ի, այն կոչվում է ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում: Նախ պետք է դիտարկել այնպիսի խնդիրների լուծման օրինակներ, որոնցում փոփոխականների արժեքը դժվար չէ գտնել:

Եթե ​​արտահայտությունը կարծես երկու տերմին ունի արտահայտության աջ կողմում, ավելի ճիշտ՝ ax 2 և bx, ապա ամենահեշտ է գտնել x՝ փոփոխականը փակցնելով: Այժմ մեր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x(ax+b): Այնուհետև ակնհայտ է դառնում, որ կամ x=0, կամ խնդիրը կրճատվում է հետևյալ արտահայտությունից փոփոխական գտնելով՝ ax+b=0: Սա թելադրված է բազմապատկման հատկություններից մեկով։ Կանոնն ասում է, որ երկու գործոնի արտադրյալը ստանում է 0 միայն այն դեպքում, երբ նրանցից մեկը զրո է:

Օրինակ

x=0 կամ 8x - 3 = 0

Արդյունքում ստանում ենք հավասարման երկու արմատ՝ 0 և 0,375։

Այս կարգի հավասարումները կարող են նկարագրել ծանրության գործողության տակ գտնվող մարմինների շարժումը, որոնք սկսել են շարժվել որոշակի կետից՝ որպես սկզբնաղբյուր: Այստեղ մաթեմատիկական նշումը ստանում է հետևյալ ձևը՝ y = v 0 t + gt 2 /2: Փոխարինելով անհրաժեշտ արժեքները, աջ կողմը հավասարեցնելով 0-ին և գտնելով հնարավոր անհայտները, դուք կարող եք պարզել մարմնի բարձրանալու պահից մինչև ընկնելու պահն անցած ժամանակը, ինչպես նաև շատ այլ մեծություններ: Բայց այս մասին կխոսենք ավելի ուշ:

Արտահայտության ֆակտորինգ

Վերը նկարագրված կանոնը հնարավորություն է տալիս լուծել այս խնդիրները ավելի բարդ դեպքերում: Դիտարկենք այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ:

X2 - 33x + 200 = 0

Այս քառակուսի եռանկյունը ամբողջական է: Նախ, մենք փոխակերպում ենք արտահայտությունը և այն տարրալուծում գործոնների: Դրանցից երկուսը կա՝ (x-8) և (x-25) = 0: Արդյունքում մենք ունենք երկու արմատ 8 և 25:

9-րդ դասարանի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակները թույլ են տալիս այս մեթոդին գտնել փոփոխական ոչ միայն երկրորդ, այլ նույնիսկ երրորդ և չորրորդ կարգի արտահայտություններում:

Օրինակ՝ 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0: Աջ կողմը փոփոխականով գործոնների վերածելիս կան երեքը, այսինքն՝ (x + 1), (x-3) և (x +): 3).

Արդյունքում ակնհայտ է դառնում, որ այս հավասարումն ունի երեք արմատ՝ -3; - մեկ; 3.

Քառակուսի արմատի հանում

Մեկ այլ դեպք թերի հավասարումերկրորդ կարգը տառերի լեզվով արտահայտված արտահայտություն է այնպես, որ աջ մասկառուցված է կացին 2 և գ բաղադրիչներից։ Այստեղ փոփոխականի արժեքը ստանալու համար ազատ տերմինը տեղափոխվում է աջ կողմ, իսկ դրանից հետո քառակուսի արմատը հանվում է հավասարության երկու կողմերից։ Պետք է նշել, որ այս դեպքում սովորաբար հավասարման երկու արմատ կա. Բացառություն են կազմում այն ​​հավասարությունները, որոնք ընդհանրապես չեն պարունակում c տերմինը, որտեղ փոփոխականը հավասար է զրոյի, ինչպես նաև արտահայտությունների տարբերակները, երբ աջ կողմը բացասական է ստացվում։ Վերջին դեպքում լուծումներ ընդհանրապես չկան, քանի որ վերը նշված գործողությունները չեն կարող կատարվել արմատներով: Պետք է դիտարկել այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումների օրինակներ:

Այս դեպքում հավասարման արմատները կլինեն -4 և 4 թվերը։

Հողամասի մակերեսի հաշվարկ

Այս տեսակի հաշվարկների անհրաժեշտությունը ի հայտ է եկել դեռևս հին ժամանակներում, քանի որ այդ հեռավոր ժամանակներում մաթեմատիկայի զարգացումը մեծապես պայմանավորված էր հողամասերի տարածքներն ու պարագծերը առավելագույն ճշգրտությամբ որոշելու անհրաժեշտությամբ։

Պետք է դիտարկել նաև այս կարգի խնդիրների հիման վրա կազմված քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ։

Այսպիսով, ասենք, կա մի ուղղանկյուն հողատարածք, որի երկարությունը 16 մետրով ավելի է լայնությունից։ Դուք պետք է գտնեք տեղանքի երկարությունը, լայնությունը և պարագիծը, եթե հայտնի է, որ դրա մակերեսը 612 մ 2 է։

Անցնելով գործին, սկզբում մենք կկատարենք անհրաժեշտ հավասարումը. Հատվածի լայնությունը նշանակենք x, ապա դրա երկարությունը կլինի (x + 16): Գրվածից հետևում է, որ տարածքը որոշվում է x (x + 16) արտահայտությամբ, որը, ըստ մեր խնդրի պայմանի, 612 է։ Սա նշանակում է, որ x (x + 16) \u003d 612։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը, և այս արտահայտությունը հենց դա է, չի կարելի նույն կերպ անել։ Ինչո՞ւ։ Թեև դրա ձախ կողմը դեռ երկու գործոն է պարունակում, սակայն դրանց արտադրյալը բոլորովին հավասար չէ 0-ի, ուստի այստեղ օգտագործվում են այլ մեթոդներ։

Խտրական

Առաջին հերթին մենք կկատարենք անհրաժեշտ փոխակերպումները, այնուհետև այս արտահայտության տեսքը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x 2 + 16x - 612 = 0: Սա նշանակում է, որ մենք ստացել ենք նախկինում նշված ստանդարտին համապատասխան արտահայտություն, որտեղ. a=1, b=16, c= -612:

Սա կարող է լինել տարբերակիչի միջոցով քառակուսի հավասարումներ լուծելու օրինակ: Այստեղ անհրաժեշտ հաշվարկներարտադրված ըստ սխեմայի՝ D = b 2 - 4ac: Այս օժանդակ արժեքը ոչ միայն հնարավորություն է տալիս գտնել ցանկալի արժեքները երկրորդ կարգի հավասարման մեջ, այն որոշում է թիվը. տարբերակները. D>0 դեպքում դրանք երկուսն են. D=0-ի համար կա մեկ արմատ: Այն դեպքում, երբ Դ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Արմատների և դրանց բանաձևի մասին

Մեր դեպքում տարբերակիչն է՝ 256 - 4(-612) = 2704: Սա ցույց է տալիս, որ մեր խնդիրն ունի պատասխան: Եթե ​​գիտեք, ապա քառակուսի հավասարումների լուծումը պետք է շարունակել ստորև բերված բանաձևով: Այն թույլ է տալիս հաշվարկել արմատները:

Սա նշանակում է, որ ներկայացված դեպքում՝ x 1 =18, x 2 =-34: Այս երկընտրանքի երկրորդ տարբերակը լուծում չի կարող լինել, քանի որ հողամասի չափը չի կարող չափվել բացասական արժեքներով, ինչը նշանակում է, որ x-ը (այսինքն՝ հողամասի լայնությունը) 18 մ է: Այստեղից մենք հաշվարկում ենք երկարությունը. 18+16=34, իսկ պարագիծը 2(34+ 18) = 104 (մ 2):

Օրինակներ և առաջադրանքներ

Շարունակում ենք քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրությունը։ Օրինակներ և դրանցից մի քանիսի մանրամասն լուծումը կտրվի ստորև։

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Ամեն ինչ տեղափոխենք հավասարության ձախ կողմը, կատարենք փոխակերպում, այսինքն՝ ստանում ենք հավասարման ձևը, որը սովորաբար կոչվում է ստանդարտ, և հավասարեցնում ենք զրոյի։

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Նմանատիպերը ավելացնելով՝ մենք որոշում ենք տարբերակիչը՝ D \u003d 49 - 48 \u003d 1: Այսպիսով, մեր հավասարումը կունենա երկու արմատ: Մենք դրանք հաշվում ենք վերը նշված բանաձեւով, ինչը նշանակում է, որ դրանցից առաջինը հավասար կլինի 4/3-ի, իսկ երկրորդը՝ 1-ի։

2) Այժմ մենք կբացահայտենք այլ տեսակի հանելուկներ:

Եկեք պարզենք, արդյոք այստեղ ընդհանրապես արմատներ կան x 2 - 4x + 5 = 1: Սպառիչ պատասխան ստանալու համար բազմանդամը բերում ենք համապատասխան ծանոթ ձևին և հաշվում դիսկրիմինանտը։ Այս օրինակում պետք չէ լուծել քառակուսի հավասարումը, քանի որ խնդրի էությունը ամենևին էլ սրանում չէ։ Այս դեպքում D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ինչը նշանակում է, որ իսկապես արմատներ չկան:

Վիետայի թեորեմա

Հարմար է քառակուսի հավասարումները լուծել վերը նշված բանաձևերի և դիսկրիմինանտի միջոցով, երբ վերջինիս արժեքից հանվում է քառակուսի արմատը։ Բայց դա միշտ չէ, որ տեղի է ունենում: Այնուամենայնիվ, այս դեպքում փոփոխականների արժեքները ստանալու բազմաթիվ եղանակներ կան: Օրինակ՝ քառակուսի հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով: Այն անվանվել է մի մարդու անունով, ով ապրել է 16-րդ դարում Ֆրանսիայում և փայլուն կարիերա է ունեցել իր մաթեմատիկական տաղանդի և դատարանում ունեցած կապերի շնորհիվ: Նրա դիմանկարը կարելի է տեսնել հոդվածում։

Նախշը, որը նկատել է հայտնի ֆրանսիացին, հետևյալն էր. Նա ապացուցեց, որ հավասարման արմատների գումարը հավասար է -p=b/a, իսկ դրանց արտադրյալը համապատասխանում է q=c/a:

Հիմա եկեք նայենք կոնկրետ առաջադրանքներին:

3x2 + 21x - 54 = 0

Պարզության համար եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը.

x 2 + 7x - 18 = 0

Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը՝ սա մեզ կտա հետևյալը. արմատների գումարը -7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ -18։ Այստեղից մենք ստանում ենք, որ հավասարման արմատները -9 և 2 թվերն են: Ստուգելով՝ մենք կհամոզվենք, որ փոփոխականների այս արժեքները իսկապես տեղավորվում են արտահայտության մեջ:

Պարաբոլայի գրաֆիկ և հավասարում

Քառակուսային ֆունկցիա և քառակուսի հավասարումներ հասկացությունները սերտորեն կապված են: Դրա օրինակներն արդեն տրվել են նախկինում: Հիմա եկեք մի փոքր ավելի մանրամասն նայենք մի քանի մաթեմատիկական հանելուկների: Նկարագրված տիպի ցանկացած հավասարում կարող է ներկայացվել տեսողականորեն: Նման կախվածությունը, որը գծված է գրաֆիկի տեսքով, կոչվում է պարաբոլա։ Դրա տարբեր տեսակները ներկայացված են ստորև նկարում:

Ցանկացած պարաբոլա ունի գագաթ, այսինքն՝ կետ, որտեղից դուրս են գալիս նրա ճյուղերը։ Եթե ​​a>0, ապա դրանք բարձրանում են դեպի անսահմանություն, իսկ երբ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ֆունկցիաների տեսողական ներկայացումները օգնում են լուծել ցանկացած հավասարումներ, այդ թվում՝ քառակուսային: Այս մեթոդը կոչվում է գրաֆիկական: Իսկ x փոփոխականի արժեքը աբսցիսային կոորդինատն է այն կետերում, որտեղ գրաֆիկի գիծը հատվում է 0x-ի հետ։ Գագաթի կոորդինատները կարելի է գտնել x 0 = -b / 2a բանաձեւով: Եվ արդյունքում ստացված արժեքը ֆունկցիայի սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելով՝ կարող եք պարզել y 0, այսինքն՝ y առանցքին պատկանող պարաբոլայի գագաթի երկրորդ կոորդինատը։

Պարաբոլայի ճյուղերի հատումը աբսցիսայի առանցքի հետ

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները շատ են, բայց կան նաև ընդհանուր օրինաչափություններ։ Դիտարկենք դրանք։ Պարզ է, որ գրաֆիկի հատումը 0x առանցքի հետ a>0-ի համար հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե y 0-ը բացասական արժեքներ է ընդունում։ Իսկ համար ա<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Հակառակ դեպքում Դ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Պարաբոլայի գրաֆիկից կարող եք որոշել նաև արմատները: Ճիշտ է նաև հակառակը. Այսինքն՝ եթե քառակուսի ֆունկցիայի տեսողական պատկեր ստանալը հեշտ չէ, կարող եք արտահայտության աջ կողմը հավասարեցնել 0-ի և լուծել ստացված հավասարումը։ Իսկ իմանալով 0x առանցքի հետ հատման կետերը՝ ավելի հեշտ է գծագրել։

Պատմությունից

Քառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումների օգնությամբ հին ժամանակներում ոչ միայն մաթեմատիկական հաշվարկներ էին կատարվում և որոշվում էին երկրաչափական ձևերի տարածքը: Հիններին նման հաշվարկներ էին պետք ֆիզիկայի և աստղագիտության բնագավառում մեծ հայտնագործությունների, ինչպես նաև աստղագիտական ​​կանխատեսումներ անելու համար։

Ինչպես ենթադրում են ժամանակակից գիտնականները, Բաբելոնի բնակիչներն առաջիններից են, ովքեր լուծել են քառակուսի հավասարումներ։ Դա տեղի է ունեցել մեր դարաշրջանի գալուստից չորս դար առաջ: Իհարկե, նրանց հաշվարկները սկզբունքորեն տարբերվում էին ներկայումս ընդունվածներից և շատ ավելի պարզունակ էին։ Օրինակ, միջագետքի մաթեմատիկոսները գաղափար չունեին բացասական թվերի գոյության մասին։ Նրանց անծանոթ էին նաև մեր ժամանակների որևէ ուսանողի ծանոթ այլ նրբություններ։

Թերևս ավելի վաղ, քան Բաբելոնի գիտնականները, Հնդկաստանից եկած իմաստուն Բաուդայաման ձեռնամուխ եղավ քառակուսի հավասարումների լուծմանը: Դա տեղի է ունեցել Քրիստոսի դարաշրջանի գալուստից մոտ ութ դար առաջ: Ճիշտ է, երկրորդ կարգի հավասարումները, լուծման մեթոդները, որոնք նա տվեց, ամենապարզն էին։ Նրանից բացի, հին ժամանակներում նմանատիպ հարցերով հետաքրքրված էին նաեւ չինացի մաթեմատիկոսները։ Եվրոպայում քառակուսի հավասարումները սկսեցին լուծվել միայն 13-րդ դարի սկզբին, բայց հետագայում դրանք օգտագործվեցին իրենց աշխատանքում այնպիսի մեծ գիտնականների կողմից, ինչպիսիք են Նյուտոնը, Դեկարտը և շատ ուրիշներ:

Քառակուսային հավասարման առաջադրանքները ուսումնասիրվում են ինչպես դպրոցական ծրագրում, այնպես էլ բուհերում: Դրանք հասկացվում են որպես a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ x-փոփոխական, a,b,c – հաստատուններ; ա<>0 . Խնդիրը հավասարման արմատները գտնելն է։

Քառակուսի հավասարման երկրաչափական նշանակությունը

Ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը ներկայացված է քառակուսի հավասարմամբ, պարաբոլա է: Քառակուսային հավասարման լուծումները (արմատները) պարաբոլայի հատման կետերն են x առանցքի հետ։ Հետևում է, որ հնարավոր է երեք դեպք.
1) պարաբոլան չունի x առանցքի հետ հատման կետեր: Սա նշանակում է, որ այն գտնվում է վերին հարթության վրա՝ ճյուղերով վեր կամ ստորինը՝ ճյուղերով ներքև։ Նման դեպքերում քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ (այն ունի երկու բարդ արմատ):

2) պարաբոլան ունի Ox առանցքի հետ հատման մեկ կետ: Նման կետը կոչվում է պարաբոլայի գագաթ, և դրանում գտնվող քառակուսի հավասարումը ստանում է իր նվազագույն կամ առավելագույն արժեքը։ Այս դեպքում քառակուսի հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ (կամ երկու նույնական արմատ):

3) Գործնականում առավել հետաքրքիր է վերջին դեպքը. կան պարաբոլայի հատման երկու կետ աբսցիսայի առանցքի հետ: Սա նշանակում է, որ կան հավասարման երկու իրական արմատներ։

Փոփոխականների հզորության գործակիցների վերլուծության հիման վրա կարելի է հետաքրքիր եզրակացություններ անել պարաբոլայի տեղակայման վերաբերյալ։

1) Եթե a գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլան ուղղված է դեպի վեր, եթե բացասական է, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։

2) Եթե b գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլայի գագաթն ընկած է ձախ կիսահարթության մեջ, եթե բացասական արժեք է ընդունում, ապա աջում։

Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի ստացում

Փոխանցենք հաստատունը քառակուսի հավասարումից

հավասարության նշանի համար մենք ստանում ենք արտահայտությունը

Երկու կողմերը բազմապատկեք 4 ա-ով

Ձախ կողմում լրիվ քառակուսի ստանալու համար երկու մասում էլ ավելացրեք b ^ 2 և կատարեք փոխակերպումը

Այստեղից մենք գտնում ենք

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը

Տարբերիչը արմատական ​​արտահայտության արժեքն է, եթե այն դրական է, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ՝ հաշվարկված բանաձևով. Երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ լուծում (երկու համընկնող արմատ), որը հեշտ է ստանալ D=0-ի վերը նշված բանաձևից: Երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, իրական արմատներ չկան: Այնուամենայնիվ, բարդ հարթության մեջ քառակուսի հավասարման լուծումները ուսումնասիրելու համար և դրանց արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով.

Վիետայի թեորեմա

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման երկու արմատ և դրանց հիման վրա կառուցեք քառակուսային հավասարում: Վիետայի թեորեմն ինքնին հեշտությամբ հետևում է նշումից. եթե մենք ունենք ձևի քառակուսային հավասարում. ապա նրա արմատների գումարը հավասար է p գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով, իսկ հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է q ազատ անդամին։ Վերը նշվածի բանաձևը նման կլինի. Եթե դասական հավասարման մեջ a հաստատունը զրոյական չէ, ապա պետք է դրա վրա բաժանել ամբողջ հավասարումը, այնուհետև կիրառել Վիետայի թեորեմը:

Գործոնների վրա քառակուսի հավասարման ժամանակացույց

Թող դրվի խնդիր՝ քառակուսի հավասարումը բաժանել գործոնների: Այն իրականացնելու համար նախ լուծում ենք հավասարումը (գտնում ենք արմատները): Այնուհետև գտնված արմատները փոխարինում ենք քառակուսի հավասարման ընդլայնման բանաձևով: Այս խնդիրը կլուծվի:

Առաջադրանքներ քառակուսի հավասարման համար

Առաջադրանք 1. Գտե՛ք քառակուսի հավասարման արմատները

x^2-26x+120=0 .

Լուծում. Գրի՛ր գործակիցները և փոխարինի՛ր տարբերակիչ բանաձևով

Այս արժեքի արմատը 14 է, այն հեշտ է գտնել հաշվիչի միջոցով կամ հիշել այն հաճախակի օգտագործմամբ, այնուամենայնիվ, հարմարության համար հոդվածի վերջում ես ձեզ կտամ թվերի քառակուսիների ցանկ, որոնք հաճախ կարող են լինել. հայտնաբերված նման առաջադրանքներում:
Գտնված արժեքը փոխարինվում է արմատային բանաձևով

և մենք ստանում ենք

Առաջադրանք 2. լուծել հավասարումը

2x2+x-3=0.

Լուծում. Ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում, դուրս գրենք գործակիցները և գտնենք տարբերակիչը


Օգտագործելով հայտնի բանաձևերը, մենք գտնում ենք քառակուսի հավասարման արմատները

Առաջադրանք 3. լուծել հավասարումը

9x2 -12x+4=0:

Լուծում. Մենք ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում: Որոշեք խտրականությունը

Մենք ստացանք այն դեպքը, երբ արմատները համընկնում են. Արմատների արժեքները մենք գտնում ենք բանաձևով

Առաջադրանք 4. լուծել հավասարումը

x^2+x-6=0 .

Լուծում. Այն դեպքերում, երբ x-ի համար կան փոքր գործակիցներ, նպատակահարմար է կիրառել Վիետայի թեորեմը: Նրա պայմանով մենք ստանում ենք երկու հավասարում

Երկրորդ պայմանից ստանում ենք, որ արտադրյալը պետք է հավասար լինի -6-ի։ Սա նշանակում է, որ արմատներից մեկը բացասական է: Մենք ունենք լուծումների հետևյալ հնարավոր զույգը (-3;2), (3;-2) . Առաջին պայմանը հաշվի առնելով՝ մերժում ենք լուծումների երկրորդ զույգը։
Հավասարման արմատներն են

Առաջադրանք 5. Գտե՛ք ուղղանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա պարագիծը 18 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 77 սմ 2։

Լուծում. Ուղղանկյան պարագծի կեսը հավասար է հարակից կողմերի գումարին: Նշանակենք x - մեծ կողմը, ապա 18-x-ը նրա փոքր կողմն է: Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է այս երկարությունների արտադրյալին.
x(18x)=77;
կամ
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Գտե՛ք հավասարման դիսկրիմինանտը

Մենք հաշվարկում ենք հավասարման արմատները

Եթե x=11,ապա 18x=7,ճիշտ է նաև հակառակը (եթե x=7, ապա 21-x=9):

Խնդիր 6. Գործոնացնել քառակուսի 10x 2 -11x+3=0 հավասարումը:

Լուծում. Հաշվե՛ք հավասարման արմատները, դրա համար մենք գտնում ենք դիսկրիմինանտը

Գտնված արժեքը փոխարինում ենք արմատների բանաձևով և հաշվարկում

Մենք կիրառում ենք քառակուսի հավասարումը արմատներով ընդլայնելու բանաձևը

Ընդարձակելով փակագծերը՝ ստանում ենք ինքնությունը։

Քառակուսային հավասարում պարամետրով

Օրինակ 1. Պարամետրի ինչ արժեքների համար ա ,(a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 հավասարումը մեկ արմատ ունի՞:

Լուծում. a=3 արժեքի ուղղակի փոխարինմամբ տեսնում ենք, որ այն լուծում չունի։ Այնուհետև մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ զրոյական դիսկրիմինանտի դեպքում հավասարումն ունի 2-ի բազմակի մեկ արմատ: Դուրս գրենք խտրականությունը

պարզեցնել այն և հավասարեցնել զրոյի

Մենք ստացել ենք a պարամետրի նկատմամբ քառակուսային հավասարում, որի լուծումը հեշտ է ստանալ Վիետայի թեորեմի միջոցով։ Արմատների գումարը 7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ 12։ Պարզ թվարկումով մենք հաստատում ենք, որ 3.4 թվերը կլինեն հավասարման արմատները: Քանի որ հաշվարկների սկզբում մենք արդեն մերժել ենք a=3 լուծումը, միակ ճիշտը կլինի. a=4.Այսպիսով, a = 4-ի համար հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Օրինակ 2. Պարամետրի ինչ արժեքների համար ա ,հավասարումը a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ունի մեկից ավելի արմատ.

Լուծում. Նախ դիտարկենք եզակի կետերը, դրանք կլինեն a=0 և a=-3 արժեքները: Երբ a=0, հավասարումը կպարզեցվի 6x-9=0 ձևով; x=3/2 և կլինի մեկ արմատ: a= -3-ի համար մենք ստանում ենք նույնականությունը 0=0:
Հաշվիր դիսկրիմինատորը

և գտե՛ք a-ի արժեքները, որոնց համար այն դրական է

Առաջին պայմանից ստանում ենք a>3. Երկրորդի համար մենք գտնում ենք տարբերակիչն ու հավասարման արմատները


Եկեք սահմանենք այն միջակայքերը, որտեղ ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեքներ: a=0 կետը փոխարինելով՝ ստանում ենք 3>0 . Այսպիսով, միջակայքից դուրս (-3; 1/3) ֆունկցիան բացասական է: Մի մոռացեք կետը a=0որը պետք է բացառվի, քանի որ սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ:
Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու միջակայք, որոնք բավարարում են խնդրի պայմանը

Գործնականում նմանատիպ շատ առաջադրանքներ կլինեն, փորձեք ինքներդ լուծել առաջադրանքները և մի մոռացեք հաշվի առնել միմյանց բացառող պայմանները։ Լավ ուսումնասիրեք քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը, դրանք բավականին հաճախ անհրաժեշտ են տարբեր խնդիրների և գիտությունների հաշվարկներում: