Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարման կանոնները շատ պարզ են.

Դիտարկենք տարբեր հայտարարներով կոտորակները քայլերով գումարելու կանոնները.

1. Գտե՛ք հայտարարների LCM (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը): Ստացված LCM-ը կլինի կոտորակների ընդհանուր հայտարարը.

2. Կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի;

3. Ավելացրե՛ք ընդհանուր հայտարարի կրճատված կոտորակները:

Վրա պարզ օրինակԻմացեք, թե ինչպես գումարել տարբեր հայտարարներով կոտորակներ:

Օրինակ

Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարման օրինակ:

Ավելացնել տարբեր հայտարարներով կոտորակներ.

1	+	5
6		12

Եկեք քայլ առ քայլ որոշենք.

1. Գտե՛ք հայտարարների LCM (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը):

12 թիվը բաժանվում է 6-ի։

Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ 12-ը 6 և 12 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։

Պատասխան՝ 6 և 12 թվերի թիվը 12 է։

LCM (6, 12) = 12

Ստացված ԱՕԿ-ը կլինի 1/6 և 5/12 երկու կոտորակների ընդհանուր հայտարարը:

2. Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի:

Մեր օրինակում միայն առաջին կոտորակը պետք է կրճատել 12-ի ընդհանուր հայտարարի, քանի որ երկրորդ կոտորակն արդեն ունի 12 հայտարար:

12-ի ​​ընդհանուր հայտարարը բաժանեք առաջին կոտորակի հայտարարի վրա.

2-ն ունի լրացուցիչ բազմապատկիչ:

Առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը (1/6) բազմապատկեք 2-ի հավելյալ գործակցով։

Դիտարկենք $\frac63$ կոտորակը: Դրա արժեքը 2 է, քանի որ $\frac63 =6:3 = 2$: Ի՞նչ կլինի, եթե համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվեն 2-ով: $\frac63 \անգամ 2=\frac(12)(6)$: Ակնհայտ է, որ կոտորակի արժեքը չի փոխվել, ուստի $\frac(12)(6)$ նույնպես հավասար է 2-ի որպես y: բազմապատկել համարիչն ու հայտարարը 3-ով և ստացեք $\frac(18)(9)$, կամ 27-ով և ստացեք $\frac(162)(81)$ կամ 101-ով և ստացեք $\frac(606)(303)$: Այս դեպքերից յուրաքանչյուրում այն ​​կոտորակի արժեքը, որը ստանում ենք համարիչը հայտարարի վրա բաժանելով, 2 է։ Սա նշանակում է, որ այն չի փոխվել։

Նույն օրինաչափությունը նկատվում է նաև այլ կոտորակների դեպքում։ Եթե ​​$\frac(120)(60)$ կոտորակի համարիչը և հայտարարը (հավասար է 2-ի) բաժանվում է 2-ի ($\frac(60)(30)$-ի արդյունք), կամ 3-ի (արդյունք $\-ի): frac(40)(20) $), կամ 4-ով ($\frac(30)(15)$) և այլն, ապա յուրաքանչյուր դեպքում կոտորակի արժեքը մնում է անփոփոխ և հավասար 2-ի:

Այս կանոնը վերաբերում է նաև ոչ հավասար կոտորակներին։ ամբողջ թիվ.

Եթե ​​$\frac(1)(3)$ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են 2-ով, ստանում ենք $\frac(2)(6)$, այսինքն՝ կոտորակի արժեքը չի փոխվել։ Եվ իրականում, եթե տորթը բաժանեք 3 մասի և վերցնեք դրանցից մեկը, կամ բաժանեք 6 մասի և վերցնեք 2 մաս, ապա երկու դեպքում էլ նույն քանակությամբ կարկանդակ կստանաք։ Հետևաբար, $\frac(1)(3)$ և $\frac(2)(6)$ թվերը նույնական են։ Ձևակերպենք ընդհանուր կանոն.

Ցանկացած կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարելի է բազմապատկել կամ բաժանել նույն թվով, իսկ կոտորակի արժեքը չի փոխվում։

Այս կանոնը շատ օգտակար է. Օրինակ, այն թույլ է տալիս որոշ դեպքերում, բայց ոչ միշտ, խուսափել մեծ թվով գործողություններից:

Օրինակ՝ $\frac(126)(189)$ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարող ենք բաժանել 63-ի և ստանալ $\frac(2)(3)$ կոտորակը, որը շատ ավելի հեշտ է հաշվարկել։ Եվս մեկ օրինակ. $\frac(155)(31)$ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարող ենք բաժանել 31-ի և ստանալ $\frac(5)(1)$ կամ 5 կոտորակը, քանի որ 5:1=5:

Այս օրինակում մենք առաջին անգամ հանդիպեցինք կոտորակ, որի հայտարարը 1 է. Նման կոտորակները կարևոր դեր են խաղում հաշվարկներում: Պետք է հիշել, որ ցանկացած թիվ կարելի է բաժանել 1-ի և դրա արժեքը չի փոխվի։ Այսինքն $\frac(273)(1)$-ը հավասար է 273-ի; $\frac(509993)(1)$ հավասար է 509993-ի և այլն: Հետևաբար, մենք պետք չէ թվերը բաժանել , քանի որ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարող է ներկայացվել որպես 1 հայտարար ունեցող կոտորակ:

Նման կոտորակներով, որոնց հայտարարը հավասար է 1-ի, կարող եք կատարել նույն թվաբանական գործողությունները, ինչ մյուս կոտորակների դեպքում՝ $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$:

Դուք կարող եք հարցնել, թե ինչ օգուտ է ներկայացնում ամբողջ թիվը որպես կոտորակ, որը կունենա միավոր տողի տակ, քանի որ ավելի հարմար է ամբողջ թվի հետ աշխատելը։ Բայց փաստն այն է, որ ամբողջ թվի ներկայացումը որպես կոտորակ մեզ հնարավորություն է տալիս ավելի արդյունավետ կատարել տարբեր գործողություններ, երբ գործ ունենք միաժամանակ և՛ ամբողջ թվերի, և՛ կոտորակային թվերի հետ։ Օրինակ՝ սովորել գումարել տարբեր հայտարարներով կոտորակներ. Ենթադրենք, մենք պետք է ավելացնենք $\frac(1)(3)$ և $\frac(1)(5)$:

Մենք գիտենք, որ կարող եք ավելացնել միայն այն կոտորակները, որոնց հայտարարները հավասար են: Այսպիսով, մենք պետք է սովորենք, թե ինչպես կոտորակները բերել նման ձևի, երբ դրանց հայտարարները հավասար են: Այս դեպքում մեզ կրկին անհրաժեշտ է այն փաստը, որ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարող եք բազմապատկել նույն թվով` առանց դրա արժեքը փոխելու:

Նախ՝ $\frac(1)(3)$ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք 5-ով։ Ստանում ենք $\frac(5)(15)$, կոտորակի արժեքը չի փոխվել։ Այնուհետև $\frac(1)(5)$ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք 3-ով։ Ստանում ենք $\frac(3)(15)$, կրկին կոտորակի արժեքը չի փոխվել։ Հետևաբար, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$:

Այժմ փորձենք կիրառել այս համակարգը և՛ ամբողջ, և՛ կոտորակային մասեր պարունակող թվերի գումարման վրա։

Մենք պետք է ավելացնենք $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$: Նախ, բոլոր տերմինները վերածում ենք կոտորակների և ստանում՝ $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$։ Այժմ մենք պետք է բոլոր կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի, դրա համար մենք առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք 12-ով, երկրորդինը՝ 4-ով, իսկ երրորդը՝ 3-ով: Արդյունքում ստանում ենք $\frac(36): )(12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, որը հավասար է $\frac(55)(12)$-ի։ Եթե ​​ցանկանում եք ազատվել ոչ պատշաճ կոտորակ, այն կարող է վերածվել ամբողջ թվից և կոտորակային մասից բաղկացած թվի՝ $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ կամ $4\frac( 7) (12) $.

Բոլոր կանոնները, որոնք թույլ են տալիս գործողություններ կոտորակների հետ, որը մենք հենց նոր ուսումնասիրեցինք, վավերական են նաև բացասական թվերի դեպքում։ Այսպիսով, -1:3-ը կարելի է գրել $\frac(-1)(3)$, իսկ 1: (-3) որպես $\frac(1)(-3)$:

Քանի որ և՛ բացասական թիվը դրական թվի վրա բաժանելը, և՛ դրական թիվը բացասական թվի բաժանելը արդյունք է բացասական թվերի, երկու դեպքում էլ պատասխանը կստանանք բացասական թվի տեսքով։ Այն է

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ կամ $1: (-3) = \frac(1)(-3)$: Այսպես գրված մինուս նշանը վերաբերում է ամբողջ կոտորակին որպես ամբողջություն, այլ ոչ թե համարիչին կամ հայտարարին առանձին:

Մյուս կողմից, (-1): (-3) կարելի է գրել $\frac(-1)(-3)$, և քանի որ բացասական թիվը բացասական թվի վրա բաժանելիս ստանում ենք. դրական թիվ, ապա $\frac(-1)(-3)$-ը կարելի է գրել որպես $+\frac(1)(3)$։

Բացասական կոտորակների գումարումն ու հանումը կատարվում է այնպես, ինչպես դրական կոտորակների գումարումն ու հանումը։ Օրինակ, ինչ է $1- 1\frac13$: Ներկայացնենք երկու թվերն էլ որպես կոտորակներ և ստացենք $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$: Կրճատենք կոտորակները ընդհանուր հայտարարի և ստացենք $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, այսինքն $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ կամ $-\frac(1)(3)$:

Գործողություններ կոտորակներով.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»:
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Այսպիսով, ինչ են կոտորակները, կոտորակների տեսակները, փոխակերպումները - հիշեցինք: Անդրադառնանք հիմնական հարցին.

Ի՞նչ կարող ես անել կոտորակների հետ:Այո, ամեն ինչ նույնն է, ինչ սովորական թվերի դեպքում։ Գումարել, հանել, բազմապատկել, բաժանել:

Այս բոլոր գործողությունները հետ տասնորդականԿոտորակների հետ գործողությունները ոչնչով չեն տարբերվում ամբողջ թվերով գործողություններից: Իրականում, սա այն է, ինչի համար նրանք լավ են, տասնորդական: Միակ բանն այն է, որ պետք է ստորակետը ճիշտ դնել։

խառը թվերԻնչպես ասացի, գործողությունների մեծ մասի համար քիչ օգտակար են: Դրանք դեռ պետք է վերածվեն սովորական կոտորակների։

Եվ ահա գործողությունները սովորական կոտորակներավելի խելացի կլինի: Եվ շատ ավելի կարևոր! Թույլ տվեք հիշեցնել ձեզ. բոլոր գործողությունները կոտորակային արտահայտություններով տառերով, սինուսներով, անհայտներով և այլն և այլն, ոչնչով չեն տարբերվում սովորական կոտորակների գործողություններից! Սովորական կոտորակներով գործողությունները բոլոր հանրահաշվի հիմքն են: Հենց այս պատճառով է, որ մենք այստեղ շատ մանրամասն կվերլուծենք այս ամբողջ թվաբանությունը։

Կոտորակների գումարում և հանում.

Բոլորը կարող են գումարել (հանել) նույն հայտարարներով կոտորակները (ես իսկապես հուսով եմ): Դե, հիշեցնեմ, որ ես լրիվ մոռացկոտ եմ՝ գումարելիս (հանելիս) հայտարարը չի փոխվում։ Համարիչները գումարվում են (հանվում), որպեսզի ստացվի արդյունքի համարիչը: Տիպ:

Մի խոսքով, ներս ընդհանուր տեսարան:

Իսկ եթե հայտարարները տարբեր են: Այնուհետև, օգտագործելով կոտորակի հիմնական հատկությունը (այստեղ այն նորից ձեռնտու եկավ), հայտարարները դարձնում ենք նույնը: Օրինակ:

Այստեղ մենք պետք է 2/5 կոտորակից դարձնեինք 4/10 կոտորակը։ Բացառապես հայտարարները նույնը դարձնելու նպատակով: Նշում եմ, ամեն դեպքում, որ 2/5 և 4/10 են նույն կոտորակը! Միայն 2/5-ն է մեզ համար անհարմար, իսկ 4/10-ը նույնիսկ ոչինչ։

Ի դեպ, սա է մաթեմատիկայի ցանկացած առաջադրանք լուծելու էությունը։ Երբ մենք դուրս ենք գալիս անհարմարարտահայտությունները անում են նույնը, բայց ավելի հարմար է լուծել.

Մեկ այլ օրինակ.

Իրավիճակը նման է. Այստեղ մենք կազմում ենք 48-ը 16-ից: Պարզ բազմապատկմամբ 3. Այս ամենը պարզ է: Բայց այստեղ մենք հանդիպում ենք նման բանի.

Ինչպե՞ս լինել: Դժվար է յոթից ինը դարձնել: Բայց մենք խելացի ենք, մենք գիտենք կանոնները: Եկեք փոխակերպվենք ամենկոտորակ այնպես, որ հայտարարները նույնն են: Սա կոչվում է «նվազեցնել ընդհանուր հայտարարի».

Ինչպես! Ինչպե՞ս իմացա 63-ի մասին: Շատ պարզ! 63-ը մի թիվ է, որը հավասարապես բաժանվում է 7-ի և 9-ի միաժամանակ։ Նման թիվ միշտ կարելի է ստանալ՝ բազմապատկելով հայտարարները։ Եթե ​​մենք, օրինակ, մի թիվ բազմապատկենք 7-ով, ապա արդյունքն անշուշտ կբաժանվի 7-ի:

Եթե ​​պետք է մի քանի կոտորակ գումարել (հանել), ապա կարիք չկա դա անել զույգերով, քայլ առ քայլ։ Պարզապես պետք է գտնել այն հայտարարը, որը ընդհանուր է բոլոր կոտորակների համար, և յուրաքանչյուր կոտորակ բերել այս նույն հայտարարին: Օրինակ:

Իսկ ո՞րն է լինելու ընդհանուր հայտարարը։ Դուք, իհարկե, կարող եք բազմապատկել 2-ը, 4-ը, 8-ը և 16-ը: Ստանում ենք 1024. Մղձավանջ: Ավելի հեշտ է գնահատել, որ 16 թիվը կատարելապես բաժանվում է 2-ի, 4-ի և 8-ի: Հետևաբար, այս թվերից հեշտ է ստանալ 16: Այս թիվը կլինի ընդհանուր հայտարարը: 1/2-ը դարձնենք 8/16, 3/4-ը՝ 12/16 և այլն։

Ի դեպ, եթե ընդհանուր հայտարար վերցնենք 1024-ը, ապա ամեն ինչ նույնպես կստացվի, ի վերջո ամեն ինչ կկրճատվի։ Միայն ոչ բոլորն են հասնելու այս նպատակին, քանի որ հաշվարկները ...

Օրինակը ինքներդ լուծեք։ Լոգարիթմ չէ... Այն պետք է լինի 29/16:

Այսպիսով, կոտորակների գումարումով (հանելով) պարզ է, հուսով եմ: Իհարկե, ավելի հեշտ է աշխատել կրճատված տարբերակով, լրացուցիչ բազմապատկիչներով։ Բայց այս հաճույքը հասանելի է նրանց, ովքեր ազնվորեն աշխատել են ցածր դասարաններում... Եվ ոչինչ չեն մոռացել:

Եվ հիմա մենք կանենք նույն գործողությունները, բայց ոչ թե կոտորակներով, այլ կոտորակներով կոտորակային արտահայտություններ. Այստեղ կգտնվեն նոր փոցխեր, այո...

Այսպիսով, մենք պետք է ավելացնենք երկու կոտորակային արտահայտություն.

Մենք պետք է նույնը դարձնենք հայտարարները: Եվ միայն օգնությամբ բազմապատկում! Այսպիսով, կոտորակի հիմնական հատկությունն ասում է. Հետևաբար, ես չեմ կարող մեկ գումարել x-ին առաջին կոտորակի մեջ հայտարարի մեջ: (Բայց դա լավ կլիներ): Բայց եթե բազմապատկեք հայտարարները, տեսեք, ամեն ինչ միասին կաճի: Այսպիսով, մենք գրում ենք կոտորակի գիծը, վերևում թողնում ենք դատարկ տարածություն, այնուհետև ավելացնում ենք այն և ներքևում գրում ենք հայտարարների արտադրյալը, որպեսզի չմոռանանք.

Եվ, իհարկե, մենք աջ կողմում ոչինչ չենք բազմապատկում, փակագծեր չենք բացում։ Եվ հիմա, նայելով աջ կողմի ընդհանուր հայտարարին, մտածում ենք՝ առաջին կոտորակի մեջ x (x + 1) հայտարարը ստանալու համար հարկավոր է այս կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել (x + 1)-ով: . Իսկ երկրորդ կոտորակում՝ x: Դուք ստանում եք սա.

Նշում! Փակագծերն այստեղ են: Սա այն փոցխն է, որի վրա շատերը քայլում են: Ոչ թե փակագծերը, իհարկե, այլ դրանց բացակայությունը։ Փակագծերը հայտնվում են, քանի որ մենք բազմապատկվում ենք ամբողջըհամարիչ և ամբողջըհայտարար! Եվ ոչ նրանց առանձին կտորները...

Աջ կողմի համարիչում գրում ենք համարիչների գումարը, ամեն ինչ այնպես է, ինչպես թվային կոտորակներում, ապա բացում ենք աջ կողմի համարիչի փակագծերը, այսինքն. բազմապատկել ամեն ինչ և տալ նման: Պետք չէ բացել փակագծերը հայտարարների մեջ, պետք չէ ինչ-որ բան բազմապատկել։ Ընդհանրապես, հայտարարներում (ցանկացած) ապրանքը միշտ ավելի հաճելի է: Մենք ստանում ենք.

Ահա և ստացանք պատասխանը. Գործընթացը երկար և դժվար է թվում, բայց դա կախված է պրակտիկայից: Օրինակներ լուծեք, վարժվեք, ամեն ինչ պարզ կդառնա։ Նրանք, ովքեր յուրացրել են կոտորակները հատկացված ժամանակում, այս բոլոր գործողությունները կատարում են մեկ ձեռքով, մեքենայի վրա:

Եվ ևս մեկ նշում. Շատերը հայտնի են կոտորակների հետ, բայց կախված են օրինակներից ամբողջթվեր։ Տեսակը՝ 2 + 1/2 + 3/4= ? Որտեղ ամրացնել դյուզը: Որևէ տեղ ամրացնել պետք չէ, դույզից պետք է կոտորակ անել։ Դա հեշտ չէ, դա շատ պարզ է: 2=2/1. Սրա նման. Ցանկացած ամբողջ թիվ կարելի է գրել որպես կոտորակ: Համարիչը ինքնին թիվն է, հայտարարը՝ մեկ։ 7-ը 7/1 է, 3-ը՝ 3/1 և այլն։ Նույնը տառերի դեպքում է։ (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 և այլն: Եվ հետո այս կոտորակների հետ աշխատում ենք բոլոր կանոններով։

Դե, կոտորակների գումարում-հանումով գիտելիքները թարմացվեցին։ Կոտորակների փոխակերպումները մի տեսակից մյուսը - կրկնվում են: Կարող եք նաև ստուգել. Մի քիչ կարգավորե՞նք։)

Հաշվարկել.

Պատասխաններ (խառնաշփոթ).

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Կոտորակների բազմապատկում / բաժանում - հաջորդ դասին: Կան նաև առաջադրանքներ կոտորակներով բոլոր գործողությունների համար:

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

§ 87. Կոտորակների գումարում.

Կոտորակների գումարումը շատ նմանություններ ունի ամբողջ թվերի գումարման հետ: Կոտորակների գումարումը գործողություն է, որը բաղկացած է նրանից, որ մի քանի տրված թվեր (տերմիններ) միավորվում են մեկ թվի մեջ (գումար), որը պարունակում է տերմինների միավորների բոլոր միավորներն ու կոտորակները։

Մենք հերթով կքննարկենք երեք դեպք.

1. Նույն հայտարարներով կոտորակների գումարում.
2. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում.
3. Խառը թվերի գումարում.

1. Նույն հայտարարներով կոտորակների գումարում.

Դիտարկենք օրինակ՝ 1/5 + 2/5:

Վերցրեք AB հատվածը (նկ. 17), վերցրեք այն որպես միավոր և բաժանեք այն 5 հավասար մասերի, ապա այս հատվածի AC մասը հավասար կլինի AB հատվածի 1/5-ին, իսկ նույն հատվածի CD մասը։ հավասար կլինի 2/5 AB-ի:

Գծագրից երևում է, որ եթե վերցնենք AD հատվածը, ապա այն հավասար կլինի 3/5 AB; բայց AD հատվածը հենց AC և CD հատվածների գումարն է: Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել.

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Հաշվի առնելով այս անդամները և ստացված գումարը, տեսնում ենք, որ գումարի համարիչը ստացվել է անդամների համարիչները գումարելով, իսկ հայտարարը մնացել է անփոփոխ։

Դրանից մենք ստանում ենք հետևյալ կանոնը. Նույն հայտարարով կոտորակները ավելացնելու համար պետք է գումարել նրանց համարիչները և թողնել նույն հայտարարը:

Դիտարկենք մի օրինակ.

2. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում.

Ավելացնենք կոտորակները՝ 3/4 + 3/8 Նախ անհրաժեշտ է դրանք կրճատել մինչև ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը.

6/8 + 3/8 միջանկյալ հղումը չէր կարող գրվել; մենք այն գրել ենք այստեղ ավելի պարզության համար:

Այսպիսով, տարբեր հայտարարներով կոտորակներ ավելացնելու համար նախ պետք է դրանք հասցնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարի, ավելացնել նրանց համարիչները և ստորագրել ընդհանուր հայտարարի վրա։

Դիտարկենք օրինակ (մենք կգրենք լրացուցիչ գործակիցներ համապատասխան կոտորակների վրա).

3. Խառը թվերի գումարում.

Ավելացնենք թվերը՝ 2 3 / 8 + 3 5 / 6:

Եկեք նախ մեր թվերի կոտորակային մասերը բերենք ընդհանուր հայտարարի և նորից գրենք.

Այժմ հաջորդականությամբ ավելացրեք ամբողջ և կոտորակային մասերը.

§ 88. Կոտորակների հանում.

Կոտորակների հանումը սահմանվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերի հանումը։ Սա գործողություն է, որով, հաշվի առնելով երկու անդամի և դրանցից մեկի գումարը, գտնվում է մեկ այլ անդամ: Հերթով դիտարկենք երեք դեպք.

1. Նույն հայտարարներով կոտորակների հանում.
2. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանում:
3. Խառը թվերի հանում.

1. Նույն հայտարարներով կոտորակների հանում.

Դիտարկենք մի օրինակ.

13 / 15 - 4 / 15

Վերցնենք AB հատվածը (նկ. 18), վերցնենք որպես միավոր և բաժանենք 15 հավասար մասերի; ապա այս հատվածի AC մասը կլինի AB-ի 1/15-ը, իսկ նույն հատվածի AD մասը կհամապատասխանի 13/15 AB-ին: Եկեք մի կողմ դնենք մեկ այլ հատված ED, որը հավասար է 4/15 AB-ի:

Մենք պետք է 13/15-ից հանենք 4/15: Գծագրում դա նշանակում է, որ ED հատվածը պետք է հանվի AD հատվածից: Արդյունքում կմնա AE հատվածը, որը կազմում է AB հատվածի 9/15-ը։ Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել.

Մեր բերած օրինակը ցույց է տալիս, որ տարբերության համարիչը ստացվել է համարիչները հանելով, իսկ հայտարարը մնացել է նույնը։

Հետևաբար, նույն հայտարարներով կոտորակները հանելու համար պետք է հանել ենթահամարը մինուենդի համարիչից և թողնել նույն հայտարարը:

2. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանում:

Օրինակ. 3/4 - 5/8

Նախ, եկեք կրճատենք այս կոտորակները մինչև ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը.

Միջանկյալ հղումը 6 / 8 - 5 / 8 գրված է այստեղ պարզության համար, բայց հետագայում այն ​​կարելի է բաց թողնել:

Այսպիսով, կոտորակը կոտորակից հանելու համար նախ պետք է դրանք հասցնել ամենափոքր ընդհանուր հայտարարի, ապա հանել ենթահամարը մինուենդի համարիչից և ստորագրել ընդհանուր հայտարարը նրանց տարբերության տակ։

Դիտարկենք մի օրինակ.

3. Խառը թվերի հանում.

Օրինակ. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Եկեք հասցնենք մինուենդի կոտորակային մասերը և ենթակետը ամենացածր ընդհանուր հայտարարին.

Ամբողջից հանեցինք ամբողջ, իսկ կոտորակից՝ կոտորակ: Բայց լինում են դեպքեր, երբ սուբտրենդի կոտորակային մասը մեծ է մինուենդի կոտորակայինից։ Նման դեպքերում պետք է կրճատվածի ամբողջ թվից վերցնել մեկ միավոր, բաժանել այն մասերի, որոնցում արտահայտված է կոտորակային մասը և ավելացնել կրճատվածի կոտորակայինին։ Եվ այնուհետև հանումը կկատարվի նույն կերպ, ինչպես նախորդ օրինակում.

§ 89. Կոտորակների բազմապատկում.

Կոտորակների բազմապատկումն ուսումնասիրելիս կքննարկենք հետևյալ հարցերը.

1. Կոտորակի բազմապատկումը ամբողջ թվով:
2. Տրված թվի կոտորակի գտնելը.
3. Ամբողջ թվի բազմապատկումը կոտորակի վրա:
4. Կոտորակի բազմապատկումը կոտորակի վրա:
5. Խառը թվերի բազմապատկում.
6. Տոկոս հասկացությունը.
7. Տրված թվի տոկոսների հայտնաբերում. Դիտարկենք դրանք հաջորդաբար։

1. Կոտորակի բազմապատկումը ամբողջ թվով:

Կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելը նույն նշանակությունն ունի, ինչ ամբողջ թիվը ամբողջ թվով բազմապատկելը: Կոտորակը (բազմապատկիչը) ամբողջ թվով (բազմապատկիչ) բազմապատկելը նշանակում է կազմել միանման անդամների գումարը, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ հավասար է բազմապատկվողին, իսկ անդամների թիվը՝ բազմապատկիչին։

Այսպիսով, եթե ձեզ անհրաժեշտ է 1/9-ը բազմապատկել 7-ով, ապա դա կարելի է անել այսպես.

Մենք հեշտությամբ ստացանք արդյունքը, քանի որ գործողությունը կրճատվել էր նույն հայտարարներով կոտորակների գումարման վրա: հետևաբար,

Այս գործողության դիտարկումը ցույց է տալիս, որ կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելը համարժեք է այս կոտորակի մեծացմանն այնքան անգամ, որքան միավորներ կան ամբողջ թվի մեջ: Եվ քանի որ կոտորակի աճը ձեռք է բերվում կա՛մ նրա համարիչը մեծացնելով

կամ նվազեցնելով դրա հայտարարը , ապա մենք կարող ենք կա՛մ համարիչը բազմապատկել ամբողջ թվով, կա՛մ բաժանել հայտարարը նրա վրա, եթե այդպիսի բաժանում հնարավոր է։

Այստեղից մենք ստանում ենք կանոնը.

Կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել այս ամբողջ թվով և թողնել նույն հայտարարը կամ, հնարավորության դեպքում, բաժանել հայտարարը այս թվի վրա՝ համարիչը թողնելով անփոփոխ։

Բազմապատկելիս հնարավոր են հապավումներ, օրինակ.

2. Տրված թվի կոտորակի գտնելը.Շատ խնդիրներ կան, որոնցում պետք է գտնել կամ հաշվարկել տրված թվի մի մասը: Այս առաջադրանքների և մյուսների միջև տարբերությունն այն է, որ դրանք տալիս են որոշ առարկաների կամ չափման միավորների թիվը, և դուք պետք է գտնեք այս թվի մի մասը, որը նույնպես նշված է այստեղ որոշակի կոտորակով: Ըմբռնումը հեշտացնելու համար նախ կբերենք նման խնդիրների օրինակներ, ապա կներկայացնենք դրանց լուծման եղանակը։

Առաջադրանք 1.Ես ունեի 60 ռուբլի; Այս գումարի 1/3-ը ես ծախսել եմ գրքեր գնելու վրա։ Որքա՞ն արժեն գրքերը:

Առաջադրանք 2.Գնացքը պետք է անցնի A և B քաղաքների միջև հեռավորությունը, որը հավասար է 300 կմ: Նա արդեն անցել է այդ տարածության 2/3-ը։ Քանի՞ կիլոմետր է սա:

Առաջադրանք 3.Գյուղում կա 400 տուն, 3/4-ը աղյուսե, մնացածը՝ փայտե։ Քանի՞ աղյուսե տուն կա:

Ահա այն բազմաթիվ խնդիրներից մի քանիսը, որոնց հետ մենք պետք է գործ ունենանք՝ տրված թվի կոտորակը գտնելու համար: Դրանք սովորաբար կոչվում են խնդիրներ՝ տրված թվի կոտորակը գտնելու համար։

Խնդրի լուծում 1. 60 ռուբլուց: Ես ծախսել եմ գրքերի 1/3-ը; Այսպիսով, գրքերի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է 60 թիվը բաժանել 3-ի.

Խնդիր 2 լուծում.Խնդրի իմաստն այն է, որ դուք պետք է գտնեք 300 կմ-ի 2/3-ը: Հաշվիր 300-ի առաջին 1/3-ը; դա ձեռք է բերվում 300 կմ 3-ի բաժանելով.

300: 3 = 100 (դա 300-ի 1/3-ն է):

300-ի երկու երրորդը գտնելու համար անհրաժեշտ է կրկնապատկել ստացված գործակիցը, այսինքն՝ բազմապատկել 2-ով.

100 x 2 = 200 (դա 300-ի 2/3-ն է):

Խնդրի լուծում 3.Այստեղ դուք պետք է որոշեք աղյուսե տների թիվը, որոնք կազմում են 400-ի 3/4-ը: Եկեք նախ գտնենք 400-ի 1/4-ը,

400: 4 = 100 (դա 400-ի 1/4-ն է):

400-ի երեք քառորդը հաշվարկելու համար ստացված գործակիցը պետք է եռապատկվի, այսինքն՝ բազմապատկվի 3-ով.

100 x 3 = 300 (դա 400-ի 3/4-ն է):

Ելնելով այս խնդիրների լուծումից՝ կարող ենք բխեցնել հետևյալ կանոնը.

Տվյալ թվից կոտորակի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է այս թիվը բաժանել կոտորակի հայտարարի վրա և ստացված գործակիցը բազմապատկել նրա համարիչով։

3. Ամբողջ թվի բազմապատկումը կոտորակի վրա:

Ավելի վաղ (§ 26) հաստատվել էր, որ ամբողջ թվերի բազմապատկումը պետք է հասկանալ որպես նույնական տերմինների ավելացում (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20): Այս պարբերությունում (1-ին պարբերություն) սահմանվեց, որ կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելը նշանակում է գտնել այս կոտորակին հավասար միանման անդամների գումարը:

Երկու դեպքում էլ բազմապատկումը բաղկացած էր միանման անդամների գումարը գտնելուց:

Այժմ մենք անցնում ենք ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելուն: Այստեղ մենք կհանդիպենք այնպիսի, օրինակ, բազմապատկման՝ 9 2 / 3: Միանգամայն ակնհայտ է, որ բազմապատկման նախկին սահմանումը չի տարածվում այս դեպքի վրա։ Սա ակնհայտ է այն փաստից, որ մենք չենք կարող փոխարինել նման բազմապատկումը՝ գումարելով հավասար թվեր։

Սրա պատճառով մենք ստիպված կլինենք տալ բազմապատկման նոր սահմանում, այսինքն՝ այլ կերպ ասած՝ պատասխանել այն հարցին, թե ինչ պետք է հասկանալ կոտորակով բազմապատկելով, ինչպես պետք է հասկանալ այս գործողությունը։

Ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելու իմաստը պարզ է դառնում հետևյալ սահմանումից. բազմապատկել ամբողջ թիվը (բազմապատկիչը) կոտորակով (բազմապատկիչ) նշանակում է գտնել բազմապատկիչի այս կոտորակը:

Մասնավորապես, 9-ը 2/3-ով բազմապատկելը նշանակում է գտնել ինը միավորի 2/3-ը: Նախորդ պարբերությունում նման խնդիրները լուծվեցին. այնպես որ հեշտ է պարզել, որ մենք վերջում ենք 6-ով:

Բայց հիմա մի հետաքրքիր և կարևոր հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ են թվաբանության մեջ նույն թվացյալ տարբեր գործողությունները, ինչպիսիք են հավասար թվերի գումարը և թվի կոտորակը գտնելը, նույն բառը «բազմապատկում» անվանում:

Դա տեղի է ունենում, քանի որ նախորդ գործողությունը (թիվը մի քանի անգամ տերմիններով կրկնելը) և նոր գործողությունը (թվի կոտորակը գտնելը) պատասխան են տալիս միատարր հարցերի։ Սա նշանակում է, որ մենք այստեղ ելնում ենք այն նկատառումներից, որ միատարր հարցերը կամ առաջադրանքները լուծվում են միևնույն գործողությամբ։

Դա հասկանալու համար հաշվի առեք հետևյալ խնդիրը՝ «1 մ կտորի արժեքը 50 ռուբլի է։ Որքա՞ն կարժենա 4 մ նման կտորը։

Այս խնդիրը լուծվում է՝ բազմապատկելով ռուբլու քանակը (50) մետրերի թվով (4), այսինքն՝ 50 x 4 = 200 (ռուբլի):

Վերցնենք նույն խնդիրը, բայց դրա մեջ կտորի քանակը կարտացոլվի կոտորակային թվով. «1 մ կտորի արժեքը 50 ռուբլի է։ Որքա՞ն կարժենա նման կտորի 3/4 մ-ը:

Այս խնդիրը նույնպես պետք է լուծվի՝ բազմապատկելով ռուբլու քանակը (50) մետրերի քանակով (3/4):

Կարող եք նաև մի քանի անգամ փոխել դրա մեջ եղած թվերը՝ չփոխելով խնդրի իմաստը, օրինակ՝ վերցնել 9/10 մ կամ 2 3/10 մ և այլն։

Քանի որ այս խնդիրներն ունեն նույն բովանդակությունը և տարբերվում են միայն թվերով, դրանց լուծման ժամանակ օգտագործվող գործողություններն անվանում ենք նույն բառը՝ բազմապատկում։

Ինչպե՞ս է ամբողջ թիվը բազմապատկվում կոտորակի վրա:

Վերցնենք վերջին խնդրի մեջ հանդիպող թվերը.

Ըստ սահմանման՝ մենք պետք է գտնենք 50-ի 3/4-ը: Նախ գտնում ենք 50-ի 1/4-ը, իսկ հետո՝ 3/4-ը:

50-ի 1/4-ը 50/4 է;

50-ի 3/4-ը կազմում է.

Հետեւաբար.

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ՝ 12 5 / 8 = ?

12-ի ​​1/8-ը 12/8 է,

12 թվի 5/8-ն է.

հետևաբար,

Այստեղից մենք ստանում ենք կանոնը.

Ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է ամբողջ թիվը բազմապատկել կոտորակի համարիչով և այս արտադրյալը դարձնել համարիչ, իսկ տվյալ կոտորակի հայտարարը ստորագրել որպես հայտարար։

Մենք գրում ենք այս կանոնը տառերով.

Այս կանոնը կատարելապես պարզ դարձնելու համար պետք է հիշել, որ կոտորակը կարելի է համարել որպես գործակից։ Հետևաբար, օգտակար է գտնված կանոնը համեմատել թիվը քանորդով բազմապատկելու կանոնի հետ, որը սահմանված է § 38-ում:

Պետք է հիշել, որ բազմապատկում կատարելուց առաջ պետք է անել (հնարավորության դեպքում) կրճատումներ, օրինակ:

4. Կոտորակի բազմապատկումը կոտորակի վրա:Կոտորակը կոտորակի վրա բազմապատկելն ունի նույն իմաստը, ինչ ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելը, այսինքն՝ կոտորակը կոտորակի վրա բազմապատկելիս պետք է առաջին կոտորակի (բազմապատկիչ) կոտորակը գտնել բազմապատկիչում։

Այսինքն՝ 3/4-ը 1/2-ով (կեսով) բազմապատկելը նշանակում է գտնել 3/4-ի կեսը։

Ինչպե՞ս բազմապատկել կոտորակը կոտորակի վրա:

Օրինակ բերենք՝ 3/4 անգամ 5/7։ Սա նշանակում է, որ դուք պետք է գտնեք 5/7-ը 3/4-ից: Գտեք սկզբում 3/4-ի 1/7-ը, իսկ հետո՝ 5/7-ը

3/4-ի 1/7-ը կարտահայտվի այսպես.

5/7 համարները 3/4-ը կարտահայտվեն հետևյալ կերպ.

Այս կերպ,

Մեկ այլ օրինակ՝ 5/8 անգամ 4/9:

5/8-ի 1/9-ը,

4/9 թվեր 5/8 են.

Այս կերպ,

Այս օրինակներից կարելի է եզրակացնել հետևյալ կանոնը.

Կոտորակը կոտորակի վրա բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը հայտարարով և առաջին արտադրյալը դարձնել համարիչ, իսկ երկրորդ արտադրյալը՝ արտադրյալի հայտարար։

Այս կանոնը ընդհանուր առմամբ կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Բազմապատկելիս անհրաժեշտ է (հնարավորության դեպքում) կրճատումներ անել։ Դիտարկենք օրինակներ.

5. Խառը թվերի բազմապատկում.Որովհետեւ խառը թվերհեշտությամբ կարելի է փոխարինել ոչ պատշաճ կոտորակներով, այս հանգամանքը սովորաբար օգտագործվում է խառը թվերը բազմապատկելիս։ Սա նշանակում է, որ այն դեպքերում, երբ բազմապատկիչը կամ բազմապատկիչը կամ երկու գործակիցները արտահայտվում են խառը թվերով, ապա դրանք փոխարինվում են ոչ պատշաճ կոտորակներով։ Բազմապատկեք, օրինակ, խառը թվերը՝ 2 1/2 և 3 1/5: Դրանցից յուրաքանչյուրը վերածում ենք ոչ պատշաճ կոտորակի, ապա ստացված կոտորակները կբազմապատկենք կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու կանոնի համաձայն.

Կանոն.Խառը թվերը բազմապատկելու համար նախ պետք է դրանք վերածել ոչ պատշաճ կոտորակների, ապա բազմապատկել կոտորակը կոտորակի վրա բազմապատկելու կանոնի համաձայն։

Նշում.Եթե ​​գործոններից մեկն ամբողջ թիվ է, ապա բազմապատկումը կարող է իրականացվել բաշխման օրենքի հիման վրա հետևյալ կերպ.

6. Տոկոս հասկացությունը.Խնդիրներ լուծելիս և տարբեր գործնական հաշվարկներ կատարելիս մենք օգտագործում ենք բոլոր տեսակի կոտորակներ։ Բայց պետք է նկատի ունենալ, որ շատ քանակություններ իրենց համար ընդունում են ոչ թե որևէ, այլ բնական ստորաբաժանումներ։ Օրինակ՝ կարելի է վերցնել ռուբլու հարյուրերորդը (1/100), դա կլինի կոպեկ, երկու հարյուրերորդը՝ 2 կոպեկ, երեք հարյուրերորդը՝ 3 կոպեկ։ Դուք կարող եք վերցնել ռուբլու 1/10-ը, դա կլինի «10 կոպեկ, կամ մի լումա։ Դուք կարող եք վերցնել ռուբլու քառորդը, այսինքն՝ 25 կոպեկ, կես ռուբլի, այսինքն՝ 50 կոպեկ (հիսուն կոպեկ)։ Բայց նրանք գործնականում չեն անում։ Վերցրեք, օրինակ, 2/7 ռուբլի, քանի որ ռուբլին բաժանված չէ յոթերորդների:

Քաշի չափման միավորը, այսինքն՝ կիլոգրամը, թույլ է տալիս առաջին հերթին տասնորդական ստորաբաժանումներ, օրինակ՝ 1/10 կգ կամ 100 գ։ Եվ կիլոգրամի այնպիսի կոտորակներ, ինչպիսիք են 1/6, 1/11, 1/։ 13-ը հազվադեպ են:

Ընդհանուր առմամբ, մեր (մետրային) չափումները տասնորդական են և թույլ են տալիս տասնորդական ստորաբաժանումներ:

Այնուամենայնիվ, պետք է նշել, որ չափազանց օգտակար և հարմար է բազմաթիվ դեպքերում օգտագործել նույն (միատեսակ) չափաքանակների բաժանման մեթոդը: Երկար տարիների փորձը ցույց է տվել, որ նման հիմնավորված բաժանումը «հարյուրավորների» բաժանումն է։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ՝ կապված մարդկային պրակտիկայի ամենատարբեր ոլորտների հետ:

1. Գրքերի գինը նախորդ գնի 12/100-ով նվազել է.

Օրինակ. Գրքի նախկին գինը 10 ռուբլի է։ Նա իջավ 1 ռուբլով։ 20 կոպ.

2. Խնայբանկերը տարվա ընթացքում ավանդատուներին վճարում են խնայողությունների մեջ դրված գումարի 2/100-ը:

Օրինակ. Դրամարկղ է դրվում 500 ռուբլի, այս գումարից տարեկան եկամուտը կազմում է 10 ռուբլի:

3. Մեկ դպրոցի շրջանավարտների թիվը կազմել է սովորողների ընդհանուր թվի 5/100-ը։

ՕՐԻՆԱԿ Դպրոցում սովորել է ընդամենը 1200 աշակերտ, որոնցից 60-ն ավարտել է դպրոցը։

Թվի հարյուրերորդը կոչվում է տոկոս:.

«Տոկոս» բառը փոխառված է լատիներենիսկ նրա «ցենտ» արմատը նշանակում է հարյուր։ Նախադրյալի հետ միասին (pro centum) այս բառը նշանակում է «հարյուրի համար»: Այս արտահայտության իմաստը բխում է նրանից, որ սկզբում ի հին Հռոմտոկոսը այն գումարն էր, որը պարտապանը վճարում էր փոխատուին «յուրաքանչյուր հարյուրի համար»։ «Ցենտ» բառը հնչում է այսպիսի ծանոթ բառերով՝ ցենտներ (հարյուր կիլոգրամ), սանտիմետր (ասում են՝ սանտիմետր):

Օրինակ, փոխանակ ասենք, որ գործարանն արտադրել է իր արտադրած ամբողջ արտադրանքի 1/100-ը անցած մեկ ամսվա ընթացքում, մենք կասենք այսպես՝ գործարանն անցյալ ամսվա ընթացքում տվել է մերժվածների մեկ տոկոսը։ Փոխանակ ասենք՝ գործարանն արտադրել է սահմանված պլանից 4/100-ով ավելի արտադրանք, մենք կասենք՝ գործարանը պլանը գերազանցել է 4 տոկոսով։

Վերոնշյալ օրինակները կարող են տարբեր կերպ արտահայտվել.

1. Գրքերի գինը նախորդ գնի համեմատ նվազել է 12 տոկոսով.

2. Խնայբանկերը ավանդատուներին վճարում են խնայողությունների մեջ ներդրված գումարի տարեկան 2 տոկոսը:

3. Մեկ դպրոցի շրջանավարտների թիվը դպրոցի բոլոր աշակերտների թվի 5 տոկոսն էր։

Տառը կրճատելու համար ընդունված է «տոկոս» բառի փոխարեն գրել % նշանը։

Այնուամենայնիվ, պետք է հիշել, որ % նշանը սովորաբար չի գրվում հաշվարկներում, այն կարելի է գրել խնդրի հայտարարության մեջ և վերջնական արդյունքում։ Հաշվարկներ կատարելիս պետք է այս պատկերակով ամբողջ թվի փոխարեն գրել 100 հայտարարով կոտորակ։

Դուք պետք է կարողանաք փոխարինել ամբողջ թիվը նշված պատկերակով 100 հայտարարով կոտորակով.

Ընդհակառակը, դուք պետք է սովորեք գրել ամբողջ թիվ նշված պատկերակով 100 հայտարար ունեցող կոտորակի փոխարեն.

7. Տրված թվի տոկոսների հայտնաբերում.

Առաջադրանք 1.Դպրոցը ստացել է 200 խմ. մ վառելափայտ, կեչու վառելափայտը կազմում է 30%: Որքա՞ն կեչու փայտ կար:

Այս խնդրի իմաստն այն է, որ կեչու վառելափայտը դպրոցին հասցված վառելափայտի միայն մի մասն էր, և այս մասը արտահայտվում է 30/100 կոտորակի տեսքով: Այսպիսով, մեր առջեւ խնդիր է դրված գտնել թվի կոտորակը։ Այն լուծելու համար մենք պետք է բազմապատկենք 200-ը 30/100-ով (թվի կոտորակը գտնելու առաջադրանքները լուծվում են թիվը բազմապատկելով կոտորակի վրա):

Այսպիսով, 200-ի 30%-ը հավասար է 60-ի:

Այս խնդրի մեջ հանդիպող 30/100 կոտորակը կարող է կրճատվել 10-ով: Այս կրճատումը հնարավոր կլիներ իրականացնել հենց սկզբից. խնդրի լուծումը չէր փոխվի.

Առաջադրանք 2.Ճամբարում տարբեր տարիքի 300 երեխա կար։ 11 տարեկան երեխաները կազմել են 21%, 12 տարեկան երեխաները՝ 61%, վերջապես 13 տարեկանները՝ 18%։ Յուրաքանչյուր տարիքի քանի՞ երեխա կար ճամբարում:

Այս խնդրի դեպքում անհրաժեշտ է կատարել երեք հաշվարկ, այսինքն՝ հաջորդաբար գտնել 11 տարեկան, ապա 12 տարեկան և վերջապես 13 տարեկան երեխաների թիվը։

Այսպիսով, այստեղ անհրաժեշտ կլինի երեք անգամ գտնել թվի կոտորակը։ Եկեք անենք դա:

1) Քանի՞ երեխա է եղել 11 տարեկան:

2) Քանի՞ երեխա է եղել 12 տարեկան:

3) Քանի՞ երեխա է եղել 13 տարեկան:

Խնդիրը լուծելուց հետո օգտակար է գումարել գտնված թվերը. դրանց գումարը պետք է լինի 300:

63 + 183 + 54 = 300

Պետք է ուշադրություն դարձնել նաև այն փաստին, որ խնդրի պայմանում տրված տոկոսների գումարը 100 է.

21% + 61% + 18% = 100%

Սա հուշում է, որ ընդհանուր թիվըճամբարում գտնվող երեխաները վերցվել են 100%-ով:

3 ա դա չա 3.Աշխատողն ամսական ստանում էր 1200 ռուբլի։ Դրանցից 65%-ը նա ծախսել է սննդի վրա, 6%-ը՝ բնակարանի ու ջեռուցման, 4%-ը՝ գազի, էլեկտրաէներգիայի և ռադիոյի վրա, 10%-ը՝ մշակութային կարիքների համար, իսկ 15%-ը՝ խնայել է։ Որքա՞ն գումար է ծախսվել առաջադրանքում նշված կարիքների համար:

Այս խնդիրը լուծելու համար պետք է 5 անգամ գտնել 1200 թվի կոտորակը, եկեք դա անենք։

1) Որքա՞ն գումար է ծախսվում սննդի վրա: Առաջադրանքում ասվում է, որ այս ծախսը կազմում է ամբողջ վաստակի 65%-ը, այսինքն՝ 1200 թվի 65/100-ը։ Եկեք հաշվարկը կատարենք.

2) Որքա՞ն գումար է վճարվել ջեռուցմամբ բնակարանի համար. Վիճելով նախորդի նման՝ հանգում ենք հետևյալ հաշվարկին.

3) Որքա՞ն գումար եք վճարել գազի, էլեկտրաէներգիայի և ռադիոյի համար:

4) Որքա՞ն գումար է ծախսվում մշակութային կարիքների համար:

5) Որքա՞ն գումար է խնայել աշխատողը:

Ստուգման համար օգտակար է ավելացնել այս 5 հարցերում հայտնաբերված թվերը: Գումարը պետք է լինի 1200 ռուբլի: Բոլոր եկամուտները վերցվում են որպես 100%, ինչը հեշտ է ստուգել՝ գումարելով խնդրի հայտարարության մեջ նշված տոկոսները:

Մենք երեք խնդիր ենք լուծել. Չնայած այն հանգամանքին, որ այդ խնդիրները տարբեր բաների մասին էին (դպրոցի համար վառելափայտի առաքում, տարբեր տարիքի երեխաների թիվը, աշխատողի ծախսերը), դրանք լուծվում էին նույն ձևով։ Դա տեղի ունեցավ, քանի որ բոլոր առաջադրանքներում անհրաժեշտ էր գտնել տրված թվերի մի քանի տոկոսը։

§ 90. Կոտորակների բաժանում.

Կոտորակների բաժանումն ուսումնասիրելիս կքննարկենք հետևյալ հարցերը.

1. Ամբողջ թիվը բաժանիր ամբողջ թվի։
2. Կոտորակի բաժանումը ամբողջ թվի վրա
3. Ամբողջ թվի բաժանումը կոտորակի վրա.
4. Կոտորակի բաժանումը կոտորակի վրա:
5. Խառը թվերի բաժանում.
6. Գտնել թիվ՝ հաշվի առնելով նրա կոտորակը:
7. Թիվ գտնելն իր տոկոսով:

Դիտարկենք դրանք հաջորդաբար։

1. Ամբողջ թիվը բաժանիր ամբողջ թվի։

Ինչպես նշվեց ամբողջ թվերի բաժնում, բաժանումը այն գործողությունն է, որը բաղկացած է նրանից, որ հաշվի առնելով երկու գործոնի (շահաբաժնի) և այս գործոններից մեկի (բաժանարարի) արտադրյալը, հայտնաբերվում է մեկ այլ գործոն:

Ամբողջ թվի բաժանումը ամբողջ թվի վրա մենք դիտարկել ենք ամբողջ թվերի բաժնում։ Այնտեղ հանդիպեցինք բաժանման երկու դեպք՝ բաժանում առանց մնացորդի, կամ «ամբողջությամբ» (150: 10 = 15) և բաժանում մնացորդով (100: 9 = 11 և 1 մնացորդում): Այսպիսով, մենք կարող ենք ասել, որ ամբողջ թվերի ոլորտում ճշգրիտ բաժանումը միշտ չէ, որ հնարավոր է, քանի որ դիվիդենտը միշտ չէ, որ բաժանարարի և ամբողջ թվի արտադրյալն է։ Կոտորակի վրա բազմապատկման ներդրումից հետո կարելի է համարել ամբողջ թվերի բաժանման ցանկացած դեպք (բացառվում է միայն զրոյի բաժանումը)։

Օրինակ, 7-ը 12-ի բաժանելը նշանակում է գտնել մի թիվ, որի արտադրյալի 12-ի բազմապատիկը կլինի 7: Այս թիվը 7/12 կոտորակն է, քանի որ 7/12 12 = 7: Մեկ այլ օրինակ՝ 14: 25 = 14/25, քանի որ 14/25 25 = 14:

Այսպիսով, ամբողջ թիվն ամբողջ թվի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է կազմել կոտորակ, որի համարիչը հավասար է դիվիդենտին, իսկ հայտարարը բաժանարարն է։

2. Կոտորակի բաժանումը ամբողջ թվի վրա.

6/7 կոտորակը բաժանեք 3-ի: Համաձայն վերևում տրված բաժանման սահմանման՝ այստեղ ունենք արտադրյալը (6/7) և գործակիցներից մեկը (3); պահանջվում է գտնել այնպիսի երկրորդ գործակից, որը 3-ով բազմապատկելուց կտա այս աշխատանքը 6/7. Ակնհայտ է, որ այն պետք է լինի երեք անգամ փոքր, քան այս ապրանքը: Սա նշանակում է, որ մեր առջեւ դրված խնդիրն էր 6/7 կոտորակը կրճատել 3 անգամ։

Մենք արդեն գիտենք, որ կոտորակի կրճատումը կարող է իրականացվել կա՛մ նրա համարիչը նվազեցնելու, կա՛մ նրա հայտարարի մեծացման միջոցով։ Հետևաբար, կարող եք գրել.

AT այս դեպքը 6 համարիչը բաժանվում է 3-ի, ուստի համարիչը պետք է կրճատվի 3 անգամ։

Բերենք ևս մեկ օրինակ՝ 5/8 բաժանված 2-ի: Այստեղ 5 համարիչը չի բաժանվում 2-ի, ինչը նշանակում է, որ հայտարարը պետք է բազմապատկվի այս թվով.

Ելնելով դրանից՝ կարող ենք սահմանել կանոնը. Կոտորակը ամբողջ թվի վրա բաժանելու համար պետք է կոտորակի համարիչը բաժանել այդ ամբողջ թվի վրա.(Եթե հնարավոր է), թողնելով նույն հայտարարը, կամ կոտորակի հայտարարը բազմապատկել այս թվով՝ թողնելով նույն համարիչը։

3. Ամբողջ թվի բաժանումը կոտորակի վրա.

Թող պահանջվի 5-ը բաժանել 1/2-ի, այսինքն՝ գտնել մի թիվ, որը 1/2-ով բազմապատկելուց հետո կտա արտադրյալը 5: Ակնհայտ է, որ այս թիվը պետք է լինի 5-ից մեծ, քանի որ 1/2-ը ճիշտ կոտորակ է, իսկ երբ թիվը բազմապատկվում է պատշաճ կոտորակի վրա, արտադրյալը պետք է փոքր լինի բազմապատկիչից: Որպեսզի ավելի պարզ լինի, եկեք գրենք մեր գործողությունները հետևյալ կերպ. 5: 1 / 2 = X , ուրեմն x 1/2 \u003d 5.

Պետք է գտնել այդպիսի թիվ X , որը 1/2-ով բազմապատկելու դեպքում կտա 5։ Քանի որ որոշակի թվի 1/2-ով բազմապատկելը նշանակում է գտնել այս թվի 1/2-ը, ուրեմն՝ անհայտ թվի 1/2-ը։ X 5 է, իսկ ամբողջ թիվը X երկու անգամ ավելի, այսինքն՝ 5 2 \u003d 10:

Այսպիսով, 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Եկեք ստուգենք.

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ. Թող պահանջվի 6-ը բաժանել 2/3-ի: Նախ փորձենք գտնել ցանկալի արդյունքը՝ օգտագործելով գծագիրը (նկ. 19):

Նկ.19

Գծի՛ր AB հատված, որը հավասար է որոշ միավորների 6-ին և յուրաքանչյուր միավոր բաժանի՛ր 3 հավասար մասերի: Յուրաքանչյուր միավորում AB ամբողջ հատվածի երեք երրորդը (3/3) 6 անգամ ավելի մեծ է, այսինքն. ե.18/3. Փոքր փակագծերի օգնությամբ միացնում ենք 2-ի ստացված 18 հատված; Կլինի ընդամենը 9 հատված։ Սա նշանակում է, որ 2/3 կոտորակը պարունակվում է b միավորներում 9 անգամ, կամ, այլ կերպ ասած, 2/3 կոտորակը 9 անգամ փոքր է 6 ամբողջ թվով միավորից։ հետևաբար,

Ինչպե՞ս ստանալ այս արդյունքը առանց գծագրի՝ օգտագործելով միայն հաշվարկները: Պահանջվում է 6-ը բաժանել 2/3-ի, այսինքն՝ պետք է պատասխանել այն հարցին, թե քանի անգամ է 2/3-ը պարունակում 6-ում։ Նախ պարզենք՝ քանի՞ անգամ է 1/3-ը։ պարունակվում է 6-ում Ամբողջ միավորում` 3 երրորդ, իսկ 6 միավորում` 6 անգամ ավելի, այսինքն` 18 երրորդ; Այս թիվը գտնելու համար մենք պետք է 6-ը բազմապատկենք 3-ով: Այսպիսով, 1/3-ը պարունակվում է b միավորներում 18 անգամ, իսկ 2/3-ը պարունակում է b միավորներում ոչ թե 18 անգամ, այլ կիսով չափ, այսինքն՝ 18:2 = 9: Հետևաբար, 6-ը 2/3-ի բաժանելիս մենք արեցինք հետևյալը.

Այստեղից ստանում ենք ամբողջ թիվը կոտորակի վրա բաժանելու կանոնը։ Ամբողջ թիվը կոտորակի վրա բաժանելու համար պետք է այս ամբողջ թիվը բազմապատկել տվյալ կոտորակի հայտարարով և այս արտադրյալը դարձնելով համարիչ՝ բաժանել այն տվյալ կոտորակի համարիչի վրա։

Մենք գրում ենք կանոնը տառերով.

Այս կանոնը կատարելապես պարզ դարձնելու համար պետք է հիշել, որ կոտորակը կարելի է համարել որպես գործակից։ Հետևաբար, օգտակար է գտնված կանոնը համեմատել թվի քանորդով բաժանելու կանոնի հետ, որը սահմանված էր § 38-ում: Նկատենք, որ այնտեղ նույն բանաձևն է ստացվել.

Բաժանելիս հնարավոր են հապավումներ, օրինակ.

4. Կոտորակի բաժանումը կոտորակի վրա:

Թող պահանջվի 3/4-ը բաժանել 3/8-ի։ Ի՞նչ կնշանակի այն թիվը, որը կստացվի բաժանման արդյունքում. Այն կպատասխանի այն հարցին, թե քանի անգամ է 3/8 կոտորակը պարունակվում 3/4 կոտորակի մեջ: Այս հարցը հասկանալու համար կատարենք գծանկար (նկ. 20):

Վերցրեք AB հատվածը, վերցրեք այն որպես միավոր, բաժանեք 4 հավասար մասերի և նշեք այդպիսի 3 մասեր։ AC հատվածը հավասար կլինի AB հատվածի 3/4-ին: Այժմ չորս սկզբնական հատվածներից յուրաքանչյուրը կիսենք կիսով չափ, այնուհետև AB հատվածը կբաժանվի 8 հավասար մասերի և յուրաքանչյուր այդպիսի մաս հավասար կլինի AB հատվածի 1/8-ին։ Նման 3 հատված միացնում ենք աղեղներով, ապա AD և DC հատվածներից յուրաքանչյուրը հավասար կլինի AB հատվածի 3/8-ին։ Գծանկարը ցույց է տալիս, որ 3/8-ին հավասար հատվածը պարունակվում է 3/4-ին հավասար հատվածում ուղիղ 2 անգամ; Այսպիսով, բաժանման արդյունքը կարելի է գրել այսպես.

3 / 4: 3 / 8 = 2

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ. Թող պահանջվի 15/16-ը բաժանել 3/32-ի.

Մենք կարող ենք այսպես հիմնավորել՝ պետք է գտնել մի թիվ, որը 3/32-ով բազմապատկելուց հետո կտա 15/16-ի հավասար արտադրյալ։ Հաշվարկները գրենք այսպես.

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 անհայտ համար X կազմել 15/16

1/32 անհայտ համար X է,

32 / 32 համարներ X դիմահարդարում .

հետևաբար,

Այսպիսով, կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկել երկրորդի հայտարարով, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը բազմապատկել երկրորդի համարիչով և առաջին արտադրյալը դարձնել համարիչ և երկրորդը հայտարարը.

Տառերով գրենք կանոնը.

Բաժանելիս հնարավոր են հապավումներ, օրինակ.

5. Խառը թվերի բաժանում.

Խառը թվերը բաժանելիս նախ պետք է դրանք վերածել ոչ պատշաճ կոտորակներ,ապա ստացված կոտորակները բաժանել ըստ բաժանման կանոնների կոտորակային թվեր. Դիտարկենք մի օրինակ.

Խառը թվերը փոխարկեք անպատշաճ կոտորակների.

Հիմա եկեք բաժանենք.

Այսպիսով, խառը թվերը բաժանելու համար անհրաժեշտ է դրանք վերածել ոչ պատշաճ կոտորակների և այնուհետև բաժանել ըստ կոտորակների բաժանման կանոնի։

6. Գտնել թիվ՝ հաշվի առնելով նրա կոտորակը:

Ի թիվս տարբեր առաջադրանքներԿոտորակների վրա երբեմն լինում են այնպիսիք, որոնցում տրվում է անհայտ թվի ինչ-որ կոտորակի արժեքը և պահանջվում է գտնել այս թիվը։ Խնդիրների այս տեսակը հակադարձ կլինի տվյալ թվի կոտորակ գտնելու խնդրին. այնտեղ տրվել է մի թիվ և պահանջվել է գտնել այս թվի ինչ-որ կոտորակ, այստեղ տրված է թվի կոտորակը և պահանջվում է գտնել այս թիվը: Այս միտքն էլ ավելի պարզ կդառնա, եթե դիմենք այս տեսակի խնդրի լուծմանը։

Առաջադրանք 1.Առաջին օրը ապակեպատները ապակեպատել են 50 պատուհան, որը կազմում է կառուցված տան բոլոր պատուհանների 1/3-ը։ Քանի՞ պատուհան կա այս տանը:

Լուծում.Խնդիրն ասում է, որ 50 ապակեպատ պատուհանները կազմում են տան բոլոր պատուհանների 1/3-ը, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր առմամբ 3 անգամ ավելի շատ պատուհաններ կան, այսինքն.

Տունն ուներ 150 պատուհան։

Առաջադրանք 2.Խանութում վաճառվել է 1500 կգ ալյուր, որը կազմում է խանութի ալյուրի ընդհանուր պաշարի 3/8-ը։ Որքա՞ն է եղել խանութի ալյուրի սկզբնական պաշարը:

Լուծում.Խնդրի վիճակից երևում է, որ վաճառված 1500 կգ ալյուրը կազմում է ընդհանուր պաշարի 3/8-ը. սա նշանակում է, որ այս պաշարի 1/8-ը կլինի 3 անգամ պակաս, այսինքն՝ այն հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է 1500-ը կրճատել 3 անգամ.

1500: 3 = 500 (դա բաժնետոմսի 1/8-ն է):

Ակնհայտ է, որ ամբողջ պաշարը 8 անգամ ավելի մեծ կլինի: հետևաբար,

500 8 \u003d 4000 (կգ):

Խանութում ալյուրի նախնական պաշարը կազմել է 4000 կգ։

Այս խնդրի դիտարկումից կարելի է եզրակացնել հետևյալ կանոնը.

Թիվն իր կոտորակի տրված արժեքով գտնելու համար բավական է այդ արժեքը բաժանել կոտորակի համարիչի վրա և արդյունքը բազմապատկել կոտորակի հայտարարով։

Մենք լուծեցինք երկու խնդիր՝ հաշվի առնելով թվի կոտորակը: Նման խնդիրները, ինչպես հատկապես լավ երևում է վերջինից, լուծվում են երկու գործողությամբ՝ բաժանում (երբ մի մասը գտնվում է) և բազմապատկում (երբ գտնվում է ամբողջ թիվը)։

Սակայն կոտորակների բաժանումն ուսումնասիրելուց հետո վերը նշված խնդիրները կարող են լուծվել մեկ գործողությամբ, այն է՝ բաժանումը կոտորակի վրա:

Օրինակ, վերջին խնդիրը կարող է լուծվել մեկ գործողությամբ այսպես.

Հետագայում մեկ գործողության՝ բաժանման մեջ թիվն իր կոտորակով գտնելու խնդիրը կլուծենք։

7. Թիվ գտնելն իր տոկոսով:

Այս առաջադրանքներում ձեզ անհրաժեշտ կլինի գտնել թիվ՝ իմանալով այս թվի մի քանի տոկոսը:

Առաջադրանք 1.Այս տարվա սկզբին խնայբանկից ստացել եմ 60 ռուբլի։ եկամուտ այն գումարից, որը ես ներդրել եմ մեկ տարի առաջ խնայողությունների մեջ: Որքա՞ն գումար եմ դրել խնայբանկում: (Դրամարկղերը ավանդատուներին տալիս են տարեկան եկամտի 2%-ը):

Խնդրի իմաստն այն է, որ որոշակի գումար իմ կողմից դրվել է խնայբանկում և մեկ տարի պառկել։ Մեկ տարի անց ես նրանից 60 ռուբլի ստացա։ եկամուտ, որը կազմում է իմ ներդրած գումարի 2/100-ը։ Որքա՞ն գումար եմ ներդրել:

Հետևաբար, իմանալով այս փողի երկու ձևով (ռուբլով և կոտորակներով) հատվածը, մենք պետք է գտնենք ամբողջ, դեռևս անհայտ գումարը։ Սա սովորական խնդիր է՝ գտնելու թիվ՝ հաշվի առնելով նրա կոտորակը: Բաժանմամբ լուծվում են հետևյալ խնդիրները.

Այսպիսով, խնայբանկում 3000 ռուբլի է դրվել։

Առաջադրանք 2.Երկու շաբաթվա ընթացքում ձկնորսները ամսական պլանը կատարել են 64%-ով՝ պատրաստելով 512 տոննա ձուկ։ Ո՞րն էր նրանց ծրագիրը:

Խնդրի վիճակից հայտնի է դառնում, որ ձկնորսներն ավարտել են հատակագծի մի մասը։ Այս մասը հավասար է 512 տոննայի, ինչը կազմում է պլանի 64%-ը։ Քանի տոննա ձուկ պետք է հավաքել ըստ պլանի, մենք չգիտենք։ Խնդրի լուծումը կայանալու է այս թիվը գտնելու մեջ։

Նման խնդիրները լուծվում են բաժանելով.

Այսպիսով, ըստ ծրագրի, պետք է պատրաստել 800 տոննա ձուկ։

Առաջադրանք 3.Գնացքը Ռիգայից գնացել է Մոսկվա։ Երբ նա անցավ 276-րդ կիլոմետրը, ուղևորներից մեկը հարցրեց անցնող ուղեկցորդին, թե որքան են նրանք անցել ճանապարհորդության ընթացքում: Դրան դիրիժորը պատասխանեց. «Մենք արդեն ծածկել ենք ամբողջ ճանապարհի 30%-ը»: Որքա՞ն է Ռիգա և Մոսկվա միջև հեռավորությունը:

Խնդրի վիճակից երեւում է, որ Ռիգա-Մոսկվա ճանապարհի 30%-ը 276 կմ է։ Մենք պետք է գտնենք այս քաղաքների միջև եղած ողջ հեռավորությունը, այսինքն՝ այս մասի համար գտնենք ամբողջը.

§ 91. Փոխադարձ թվեր. Բաժանման փոխարինում բազմապատկմամբ:

Վերցրեք 2/3 կոտորակը և համարիչը վերադասավորեք հայտարարի տեղը, ստանում ենք 3/2։ Մենք ստացանք կոտորակ, այս մեկի փոխադարձը:

Տրվածի փոխադարձ կոտորակ ստանալու համար անհրաժեշտ է նրա համարիչը դնել հայտարարի տեղում, իսկ հայտարարը` համարիչի տեղում: Այսպիսով, մենք կարող ենք ստանալ կոտորակ, որը փոխադարձ է ցանկացած կոտորակի: Օրինակ:

3/4, հակադարձ 4/3; 5/6, հակադարձ 6/5

Այն երկու կոտորակները, որոնք ունեն այն հատկությունը, որ առաջինի համարիչը երկրորդի հայտարարն է, իսկ առաջինի հայտարարը երկրորդի համարիչը, կոչվում են. փոխադարձ հակադարձ.

Հիմա եկեք մտածենք, թե որ կոտորակը կլինի 1/2-ի փոխադարձը։ Ակնհայտ է, որ դա կլինի 2/1, կամ պարզապես 2: Փնտրելով սրա փոխադարձը, մենք ստացանք ամբողջ թիվ: Եվ այս դեպքը մեկուսացված չէ. ընդհակառակը, 1 (մեկ) համարիչ ունեցող բոլոր կոտորակների համար փոխադարձները կլինեն ամբողջ թվեր, օրինակ.

1/3, հակադարձ 3; 1/5, հակադարձ 5

Քանի որ փոխադարձներ փնտրելիս հանդիպել ենք նաև ամբողջ թվերի, ապագայում չենք խոսելու փոխադարձների, այլ փոխադարձների մասին։

Եկեք պարզենք, թե ինչպես գրել ամբողջ թվի փոխադարձը: Կոտորակների համար դա լուծվում է պարզապես. անհրաժեշտ է համարիչի տեղում դնել հայտարարը: Նույն կերպ, դուք կարող եք ստանալ ամբողջ թվի փոխադարձը, քանի որ ցանկացած ամբողջ թիվ կարող է ունենալ 1 հայտարար: Այսպիսով, 7-ի փոխադարձությունը կլինի 1/7, քանի որ 7 \u003d 7/1; 10 թվի համար հակառակը 1/10 է, քանի որ 10 = 10/1

Այս միտքը կարելի է այլ կերպ արտահայտել. Տրված թվի փոխադարձությունը ստացվում է մեկը տրված թվի վրա բաժանելով. Այս պնդումը ճշմարիտ է ոչ միայն ամբողջ թվերի, այլև կոտորակների համար։ Իսկապես, եթե ուզում եք գրել մի թիվ, որը 5/9 կոտորակի փոխադարձ է, ապա մենք կարող ենք վերցնել 1-ը և այն բաժանել 5/9-ի, այսինքն.

Հիմա մատնանշենք մեկը սեփականությունփոխադարձ փոխադարձ թվեր, որոնք օգտակար կլինեն մեզ համար. փոխադարձ փոխադարձ թվերի արտադրյալը հավասար է մեկի։Իսկապես:

Օգտագործելով այս հատկությունը՝ մենք կարող ենք փոխադարձներ գտնել հետևյալ կերպ. Գտնենք 8-ի փոխադարձությունը։

Նշենք տառով X , ապա 8 X = 1, հետևաբար X = 1/8. Գտնենք մեկ այլ թիվ՝ 7/12-ի հակադարձ թիվը, նշանակենք տառով X , ապա 7/12 X = 1, հետևաբար X = 1:7 / 12 կամ X = 12 / 7 .

Մենք այստեղ ներկայացրեցինք փոխադարձ թվերի հայեցակարգը, որպեսզի մի փոքր լրացնենք կոտորակների բաժանման մասին տեղեկատվությունը:

Երբ 6 թիվը բաժանում ենք 3/5-ի, ապա անում ենք հետևյալը.

Հատուկ ուշադրություն դարձրեք արտահայտությանը և համեմատեք այն տրվածի հետ.

Եթե ​​արտահայտությունը վերցնենք առանձին-առանձին, առանց նախորդի հետ կապի, ապա հնարավոր չէ լուծել այն հարցը, թե որտեղից է այն առաջացել՝ 6-ը 3/5-ի բաժանելուց, թե՞ 6-ը 5/3-ով բազմապատկելուց։ Երկու դեպքում էլ արդյունքը նույնն է. Այսպիսով, մենք կարող ենք ասել որ մի թիվը մյուսի վրա բաժանելը կարելի է փոխարինել շահաբաժինը բաժանարարի փոխադարձով բազմապատկելով։

Ստորև բերված օրինակները լիովին հաստատում են այս եզրակացությունը։

Համարիչը, և այն, որով այն բաժանվում է, հայտարարն է:

Կոտորակը գրելու համար նախ գրեք դրա համարիչը, ապա այս թվի տակ հորիզոնական գիծ գծեք, իսկ գծի տակ գրեք հայտարարը։ Համարը և հայտարարը բաժանող հորիզոնական գիծը կոչվում է կոտորակային տող: Երբեմն այն պատկերվում է որպես թեք «/» կամ «∕»: Այս դեպքում համարիչը գրվում է տողի ձախ կողմում, իսկ հայտարարը՝ աջ: Այսպիսով, օրինակ, «երկու երրորդ» կոտորակը կգրվի 2/3: Պարզության համար համարիչը սովորաբար գրվում է տողի վերևում, իսկ հայտարարը ներքևում, այսինքն՝ 2/3-ի փոխարեն կարող եք գտնել՝ ⅔:

Կոտորակների արտադրյալը հաշվարկելու համար նախ բազմապատկեք մեկի համարիչը կոտորակներըմեկ այլ համարիչին: Արդյունքը գրի՛ր նորի համարիչին կոտորակները. Այնուհետև բազմապատկեք նաև հայտարարները։ Նշեք վերջնական արժեքը նորում կոտորակները. Օրինակ՝ 1/3. 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15):

Մի կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար նախ առաջինի համարիչը երկրորդի հայտարարով բազմապատկեք։ Նույնն արեք երկրորդ կոտորակի (բաժանարարի) հետ: Կամ, նախքան բոլոր քայլերը կատարելը, նախ «շրջեք» բաժանարարը, եթե դա ձեզ ավելի հարմար է. հայտարարը պետք է լինի համարիչի փոխարեն: Այնուհետև շահաբաժնի հայտարարը բազմապատկեք բաժանարարի նոր հայտարարով և բազմապատկեք համարիչները: Օրինակ, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3):

Աղբյուրներ:

• Հիմնական առաջադրանքներ կոտորակների համար

Կոտորակային թվերը թույլ են տալիս տարբեր կերպ արտահայտել մեծության ճշգրիտ արժեքը։ Կոտորակների միջոցով կարող եք կատարել նույն մաթեմատիկական գործողությունները, ինչ ամբողջ թվերի դեպքում՝ հանում, գումարում, բազմապատկում և բաժանում: Սովորելու համար, թե ինչպես որոշել կոտորակները, անհրաժեշտ է հիշել դրանց որոշ առանձնահատկություններ. Նրանք կախված են տեսակից կոտորակները, ամբողջ թվի մասի, ընդհանուր հայտարարի առկայությունը։ Որոշ թվաբանական գործողություններ կատարելուց հետո պահանջում են արդյունքի կոտորակային մասի կրճատում։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - հաշվիչ

Հրահանգ

Ուշադիր նայեք թվերին. Եթե ​​կոտորակների մեջ կան տասնորդականներ և անկանոններ, երբեմն ավելի հարմար է նախ տասնորդականներով գործողություններ կատարել, այնուհետև դրանք վերածել սխալ ձևի։ Կարող եք թարգմանել կոտորակներըայս ձևով սկզբում, համարիչի մեջ տասնորդական կետից հետո արժեքը գրելով և հայտարարի մեջ դնելով 10: Անհրաժեշտության դեպքում կոտորակը փոքրացրեք՝ վերևում գտնվող թվերը բաժանելով մեկ բաժանարարի: Այն կոտորակները, որոնցում ամբողջ մասն առանձնանում է, հանգեցնում են սխալ ձևի՝ այն բազմապատկելով հայտարարով և արդյունքին գումարելով համարիչը։ Այս արժեքը կդառնա նոր համարիչը կոտորակները. Ամբողջ մասը հանել սկզբնական սխալից կոտորակները, համարիչը բաժանեք հայտարարի վրա։ Գրեք ամբողջ արդյունքը կոտորակները. Իսկ բաժանման մնացորդը դառնում է նոր համարիչ՝ հայտարար կոտորակներըչփոխելով հանդերձ։ Ամբողջ թվով մաս ունեցող կոտորակների համար հնարավոր է գործողություններ կատարել առանձին՝ սկզբում ամբողջ թվի, իսկ հետո՝ կոտորակային մասերի համար։ Օրինակ, 1 2/3-ի և 2 ¾-ի գումարը կարելի է հաշվարկել.
- Կոտորակները սխալ ձևի վերածելը.
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- տերմինների ամբողջական և կոտորակային մասերի առանձին գումարում.
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Վերագրեք դրանք «:» բաժանարարի միջոցով և շարունակեք սովորական բաժանումը:

Վերջնական արդյունք ստանալու համար ստացված կոտորակը փոքրացրե՛ք՝ համարիչն ու հայտարարը բաժանելով մեկ ամբողջ թվի, այս դեպքում ամենամեծ հնարավորը։ Այս դեպքում տողի վերևում և ներքևում պետք է լինեն ամբողջ թվեր:

Նշում

Տարբեր հայտարար ունեցող կոտորակներով թվաբանություն մի արեք: Ընտրիր այնպիսի թիվ, որ երբ յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվեն դրանով, արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար լինեն։

Օգտակար խորհուրդ

Կոտորակային թվեր գրելիս դիվիդենտը գրվում է տողից վեր։ Այս մեծությունը կոչվում է կոտորակի համարիչ: Տողի տակ գրված է կոտորակի բաժանարարը կամ հայտարարը: Օրինակ, մեկ ու կես կիլոգրամ բրինձը կոտորակի տեսքով կգրվի հետևյալ կերպ՝ 1 ½ կգ բրինձ։ Եթե ​​կոտորակի հայտարարը 10 է, այն կոչվում է տասնորդական կոտորակ: Այս դեպքում ստորակետով անջատված ամբողջ մասի աջ կողմում գրվում է համարիչը (շահաբաժինը՝ 1,5 կգ բրինձ։ Հաշվարկների հարմարության համար նման կոտորակ միշտ կարելի է գրել սխալ ձևով՝ 1 2/10 կգ կարտոֆիլ։ Պարզեցնելու համար կարող եք կրճատել համարիչի և հայտարարի արժեքները՝ դրանք բաժանելով մեկ ամբողջ թվով: Այս օրինակում հնարավոր է բաժանել 2-ի, ստացվում է 1 1/5 կգ կարտոֆիլ։ Համոզվեք, որ թվերը, որոնցով պատրաստվում եք թվաբանություն անել, նույն ձևով են: