Տասնորդական կոտորակն օգտագործվում է, երբ անհրաժեշտ է գործողություններ կատարել ոչ ամբողջ թվերով: Սա կարող է իռացիոնալ թվալ: Բայց այս տեսակի թվերը մեծապես հեշտացնում են մաթեմատիկական գործողությունները, որոնք պետք է կատարվեն դրանցով։ Այս ըմբռնումը գալիս է ժամանակի հետ, երբ նրանց գրելը դառնում է ծանոթ, իսկ կարդալը դժվարություններ չի առաջացնում, և տասնորդական կոտորակների կանոնները յուրացվում են։ Ընդ որում, կրկնվում են արդեն հայտնի բոլոր գործողությունները, որոնք սովորվում են բնական թվերով։ Պարզապես պետք է հիշել որոշ առանձնահատկություններ.

Տասնորդական սահմանում

Տասնորդականը ոչ ամբողջ թվի հատուկ ներկայացումն է, որն ունի հայտարար, որը բաժանվում է 10-ի, իսկ պատասխանը մեկ է և, հնարավոր է, զրո: Այսինքն, եթե հայտարարը 10, 100, 1000 է և այլն, ավելի հարմար է թիվը վերաշարադրել ստորակետով։ Այնուհետև նրա առջև կտեղակայվի ամբողջ թիվը, իսկ հետո՝ կոտորակային մասը։ Ընդ որում, թվի երկրորդ կեսի ռեկորդը կախված կլինի հայտարարից։ Կոտորակի մասում գտնվող թվանշանների թիվը պետք է հավասար լինի հայտարարին:

Վերոնշյալը կարելի է պատկերացնել հետևյալ թվերով.

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Տասնորդական թվերի օգտագործման պատճառները

Մաթեմատիկոսներին անհրաժեշտ էին տասնորդականներ մի քանի պատճառով.

Պարզեցնել ձայնագրությունը: Նման կոտորակը գտնվում է մեկ գծի երկայնքով՝ առանց հայտարարի և համարիչի գծի, մինչդեռ պարզությունը չի տուժում:

Պարզությունը համեմատության մեջ. Բավական է միայն փոխկապակցել նույն դիրքերում գտնվող թվերը, մինչդեռ սովորական կոտորակների հետ պետք է դրանք բերել ընդհանուր հայտարարի։

Հաշվարկների պարզեցում.

Հաշվիչները նախատեսված չեն սովորական կոտորակների ներդրման համար, նրանք օգտագործում են տասնորդական նշում բոլոր գործողությունների համար:

Ինչպե՞ս ճիշտ կարդալ նման թվերը:

Պատասխանը պարզ է. ճիշտ այնպես, ինչպես սովորական խառը թիվը, որի հայտարարը 10-ի բազմապատիկ է: Բացառություն են կազմում միայն կոտորակներն առանց ամբողջ արժեքի, ապա կարդալիս պետք է ասել «զրո ամբողջ թվեր»:

Օրինակ, 45/1000-ը պետք է արտասանվի այսպես քառասունհինգ հազարերորդական, մինչդեռ 0.045-ը կհնչի զրո կետ քառասունհինգ հազարերորդական.

7-ին հավասար ամբողջ մասով և 17/100 կոտորակ ունեցող խառը թիվը, որը կգրվի 7,17, երկու դեպքում էլ կկարդա որպես. յոթ կետ տասնյոթ հարյուրերորդական.

Թվանշանների դերը կոտորակների նշման մեջ

Ճիշտ է նշել լիցքաթափումը, սա այն է, ինչ պահանջում է մաթեմատիկան: Տասնորդականներև դրանց նշանակությունը կարող է զգալիորեն փոխվել, եթե թիվը սխալ տեղում գրեք: Այնուամենայնիվ, դա նախկինում եղել է ճիշտ:

Տասնորդական կոտորակի ամբողջական մասի թվանշանները կարդալու համար հարկավոր է օգտագործել միայն հայտնի կանոնները. բնական թվեր. Իսկ աջ կողմում դրանք հայելային են և կարդում են այլ կերպ։ Եթե ​​ամբողջ մասում հնչել է «տասնյակ», ապա տասնորդական կետից հետո այն արդեն «տասանորդ» կլինի։

Սա հստակ երևում է այս աղյուսակում։

Տասնորդական վայրերի աղյուսակ

Դասարան	հազարավոր			միավորներ			,	կոտորակային մաս
արտանետում	հարյուր	դեկտ.	միավորներ	հարյուր	դեկտ.	միավորներ		տասներորդ	հարյուրերորդ	հազարերորդական	տասը հազարերորդական

Ինչպե՞ս գրել խառը թիվը որպես տասնորդական:

Եթե ​​հայտարարը պարունակում է 10-ի կամ 100-ի հավասար թիվ, և ուրիշներ, ապա հարցը, թե ինչպես փոխարկել կոտորակը տասնորդականի, պարզ է: Դա անելու համար բավական է նրա բոլոր բաղկացուցիչ մասերը այլ կերպ վերաշարադրել։ Հետևյալ կետերը կօգնեն դրան.

Կոտորակի համարիչը մի քիչ մի կողմ գրիր, այս պահին տասնորդական կետը գտնվում է աջ կողմում՝ վերջին թվանշանից հետո.

ստորակետը տեղափոխեք ձախ, այստեղ ամենակարևորը թվերը ճիշտ հաշվելն է. անհրաժեշտ է այն տեղափոխել այնքան դիրքեր, որքան զրոներ կան հայտարարում;

եթե դրանք բավարար չեն, ապա զրոները պետք է հայտնվեն դատարկ դիրքերում.

զրոները, որոնք եղել են համարիչի վերջում, այլևս անհրաժեշտ չեն, և դրանք կարող են հատվել.

ստորակետից առաջ մի ամբողջ թիվ ավելացրեք, եթե այն չկար, ապա այստեղ կհայտնվի նաև զրոն։

Ուշադրություն. Դուք չեք կարող հատել զրոները, որոնք շրջապատված են այլ թվերով:

Այն մասին, թե ինչպես լինել մի իրավիճակում, երբ հայտարարը պարունակում է թիվ ոչ միայն մեկից և զրոյից, ինչպես փոխարկել կոտորակը տասնորդականի, կարող եք կարդալ մի փոքր ավելի ցածր: Սա կարևոր տեղեկություն է, որը դուք անպայման պետք է կարդաք։

Ինչպե՞ս կոտորակը վերածել տասնորդականի, եթե հայտարարը կամայական թիվ է:

Այստեղ երկու տարբերակ կա.

Երբ հայտարարը կարող է ներկայացվել որպես թիվ, որը տասը հավասար է ցանկացած հզորության:

Եթե ​​նման գործողություն չի կարող կատարվել.

Ինչպե՞ս ստուգել այն: Պետք է ֆակտորիզացնել հայտարարը: Եթե ​​արտադրանքում առկա են միայն 2-ը և 5-ը, ապա ամեն ինչ կարգին է, և կոտորակը հեշտությամբ վերածվում է վերջնական տասնորդականի: Հակառակ դեպքում, եթե հայտնվեն 3, 7 և այլ պարզ թվեր, ապա արդյունքը կլինի անսահման։ Մաթեմատիկական գործողություններում հեշտ օգտագործման համար ընդունված է կլորացնել նման տասնորդական կոտորակը: Սա կքննարկվի մի փոքր ավելի ցածր:

Ուսումնասիրելով, թե ինչպես են ստացվում այդպիսի տասնորդական կոտորակները, 5-րդ դասարան. Օրինակները շատ օգտակար կլինեն այստեղ:

Թող հայտարարները պարունակեն թվեր՝ 40, 24 և 75։ Քայքայվել հիմնական գործոններընրանց համար դա կլինի.

• 40=2 2 2 5;
• 24=2 2 2 3;
• 75=5 5 3.

Այս օրինակներում միայն առաջին կոտորակը կարող է ներկայացվել որպես վերջնական կոտորակ:

Սովորական կոտորակը վերջնական տասնորդականի վերածելու ալգորիթմ

Ստուգեք հայտարարի գործոնավորումը պարզ գործակիցների և համոզվեք, որ այն բաղկացած կլինի 2-ից և 5-ից:

Այս թվերին ավելացրեք այնքան 2 և 5, որ նրանք դառնան հավասար թիվ։ Նրանք կտան լրացուցիչ բազմապատկիչի արժեքը։

Բազմապատկեք հայտարարն ու համարիչը այս թվով: Արդյունքը կլինի ընդհանուր կոտորակ, գծի տակ, որը որոշ չափով 10 է։

Եթե ​​առաջադրանքում այս գործողությունները կատարվում են խառը թվով, ապա այն նախ պետք է ներկայացվի որպես ոչ պատշաճ կոտորակ: Եվ միայն դրանից հետո գործեք նկարագրված սցենարով:

Ընդհանուր կոտորակի ներկայացում որպես կլորացված տասնորդական

Կոտորակը տասնորդականի փոխարկելու այս եղանակը ինչ-որ մեկին ավելի հեշտ կթվա: Որովհետև դա շատ գործողություն չունի: Պարզապես պետք է համարիչը բաժանել հայտարարի վրա:

Տասնորդական կետի աջ կողմում գտնվող տասնորդական մաս ունեցող ցանկացած թվի կարող է վերագրվել անսահման թվով զրոներ: Այս գույքը պետք է օգտագործվի:

Նախ գրեք ամբողջ մասը և դրանից հետո դրեք ստորակետ։ Եթե ​​կոտորակը ճիշտ է, գրի՛ր զրո:

Այնուհետեւ անհրաժեշտ է կատարել համարիչի բաժանումը հայտարարի վրա։ Որպեսզի նրանք ունենան նույն թվով թվանշաններ: Այսինքն՝ համարիչից աջ վերագրեք անհրաժեշտ թվով զրոներ։

Կատարեք բաժանում սյունակում, մինչև հավաքեք անհրաժեշտ թվանշանները: Օրինակ, եթե պետք է կլորացնել մինչև հարյուրերորդական, ապա պատասխանում պետք է լինի 3-ը, ընդհանուր առմամբ, պետք է լինի մեկ թվանշան ավելի, քան պետք է վերջում ստանալ:

Տասնորդական կետից հետո ձայնագրեք միջանկյալ պատասխանը և ըստ կանոնների կլորացրեք: Եթե ​​վերջին նիշը 0-ից 4-ն է, ապա պարզապես անհրաժեշտ է հրաժարվել այն: Իսկ երբ այն հավասար է 5-9-ի, ապա դիմացիը պետք է մեկով ավելացնել՝ վերջինը դեն նետելով։

Վերադարձ տասնորդականից սովորական

Մաթեմատիկայի մեջ կան խնդիրներ, երբ ավելի հարմար է տասնորդական կոտորակները ներկայացնել սովորականների տեսքով, որոնցում կա հայտարարով համարիչ։ Դուք կարող եք հանգիստ շունչ քաշել՝ այս վիրահատությունը միշտ հնարավոր է։

Այս ընթացակարգի համար անհրաժեշտ է անել հետևյալը.

գրիր ամբողջ մասը, եթե այն հավասար է զրոյի, ապա ոչինչ պետք չէ գրել.

նկարել կոտորակային գիծ;

դրա վերևում գրեք թվերը աջ կողմից, եթե առաջինը զրո է, ապա դրանք պետք է հատել.

տողի տակ գրի՛ր միավոր, որի չափը զրո է, որքան թվանշաններ կան սկզբնական կոտորակի տասնորդական կետից հետո:

Դա այն ամենն է, ինչ դուք պետք է անեք տասնորդականը սովորական կոտորակի վերածելու համար:

Ի՞նչ կարող ես անել տասնորդական թվերի հետ:

Մաթեմատիկայի մեջ սա կլինի որոշակի գործողություններ տասնորդական կոտորակներով, որոնք նախկինում կատարվել են այլ թվերի համար:

Նրանք են:

համեմատություն;

գումարում և հանում;

բազմապատկում և բաժանում.

Առաջին գործողությունը՝ համեմատությունը, նման է այն բանին, թե ինչպես է դա արվել բնական թվերի համար։ Որոշելու համար, թե որն է ավելի մեծ, պետք է համեմատել ամբողջ թվային մասի թվանշանները: Եթե ​​պարզվում է, որ դրանք հավասար են, ապա անցնում են կոտորակայինին և նույն կերպ համեմատում են թվանշաններով։ Ամենամեծ թվանշան ունեցող թիվը ամենաբարձր կարգով կլինի պատասխանը:

Տասնորդական թվերի գումարում և հանում

Սրանք թերեւս ամենապարզ քայլերն են: Քանի որ դրանք կատարվում են ըստ բնական թվերի կանոնների։



Այսպիսով, տասնորդական կոտորակներ ավելացնելու համար դրանք պետք է գրել մեկը մյուսի տակ՝ սյունակի մեջ դնելով ստորակետներ։ Նման գրառումով ստորակետերից ձախ հայտնվում են ամբողջ թվերը, իսկ աջում՝ կոտորակները։ Իսկ այժմ պետք է թվերը քիչ առ քիչ գումարել, ինչպես դա արվում է բնական թվերի դեպքում՝ ստորակետը տեղափոխելով ներքև։ Պետք է սկսել գումարել թվի կոտորակային մասի ամենափոքր թվանշանից։ Եթե ​​աջ կեսում թվերը բավարար չեն, ապա ավելացրեք զրոներ:

Հանացումն աշխատում է նույն կերպ. Եվ այստեղ գործում է կանոնը, որը նկարագրում է ամենաբարձր թվանշանից միավոր վերցնելու հնարավորությունը։ Եթե ​​կրճատված կոտորակը տասնորդական կետից հետո ունի ավելի քիչ թվանշաններ, քան ենթակետը, ապա դրան ուղղակի զրոներ են վերագրվում:

Իրավիճակը մի փոքր ավելի բարդ է այն առաջադրանքների հետ, որտեղ դուք պետք է կատարեք տասնորդական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում:

Ինչպե՞ս բազմապատկել տասնորդական տարբեր օրինակներում:

Տասնորդական կոտորակները բնական թվով բազմապատկելու կանոնը հետևյալն է.

գրեք դրանք սյունակում՝ անտեսելով ստորակետը.

բազմապատկել, կարծես դրանք բնական են;

Ստորակետով առանձնացրու այնքան թվանշան, որքան եղել է սկզբնական թվի կոտորակային մասում:

Հատուկ դեպք այն օրինակն է, որտեղ բնական թիվը հավասար է 10-ի ցանկացած հզորության: Այնուհետև պատասխան ստանալու համար պարզապես անհրաժեշտ է ստորակետը տեղափոխել աջ այնքան դիրքով, որքան զրոներ կան մեկ այլ գործոնում: Այսինքն, 10-ով բազմապատկելիս ստորակետը տեղաշարժվում է մեկ նիշով, 100-ով` երկուսը կլինեն և այլն: Եթե ​​կոտորակային մասում թվանշանները բավարար չեն, ապա դատարկ դիրքերում պետք է գրել զրոներ։

Կանոնը, որն օգտագործվում է, երբ առաջադրանքում անհրաժեշտ է տասնորդական կոտորակները բազմապատկել նույն թվով մեկ այլով.

գրեք դրանք մեկը մյուսի տակ՝ անտեսելով ստորակետերը.

բազմապատկել այնպես, կարծես դրանք բնական թվեր լինեն;

Ստորակետով առանձնացրու այնքան թվանշան, որքան երկու սկզբնական կոտորակների կոտորակային մասերում միասին։

Որպես հատուկ դեպք, առանձնանում են օրինակներ, որոնցում գործոններից մեկը հավասար է 0,1 կամ 0,01 և այլն։ Դրանցում անհրաժեշտ է ստորակետը տեղափոխել ձախ՝ ներկայացված գործոնների թվանշանների քանակով։ Այսինքն, եթե բազմապատկվում է 0,1-ով, ապա ստորակետը տեղափոխվում է մեկ դիրքով:

Ինչպե՞ս բաժանել տասնորդական կոտորակը տարբեր առաջադրանքներում:

Տասնորդական կոտորակների բաժանումը բնական թվի վրա կատարվում է հետևյալ կանոնով.

Գրեք դրանք սյունակում բաժանելու համար, կարծես դրանք բնական են.

բաժանել սովորական կանոնի համաձայն, մինչև ամբողջ մասը ավարտվի;

պատասխանում ստորակետ դնել;

շարունակեք բաժանել կոտորակային բաղադրիչը մինչև մնացորդը զրո լինի.

անհրաժեշտության դեպքում կարող եք նշանակել զրոների ցանկալի թիվը:

Եթե ​​ամբողջ թիվը հավասար է զրոյի, ապա այն նույնպես չի լինի պատասխանում։

Առանձին բաժանում են տասը, հարյուրը և այլն թվերի։ Նման խնդիրների դեպքում անհրաժեշտ է ստորակետը տեղափոխել ձախ՝ բաժանարարի զրոների քանակով։ Պատահում է, որ ամբողջ մասում թվանշանները բավարար չեն, ապա փոխարենը օգտագործվում են զրոներ։ Երևում է, որ այս գործողությունը նման է 0.1-ով և նմանատիպ թվերով բազմապատկմանը։

Տասնորդական թվերի բաժանումը կատարելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել այս կանոնը.

բաժանարարը վերածեք բնական թվի և դրա համար ստորակետը տեղափոխեք աջ մինչև վերջ.

տեղափոխել ստորակետը և բաժանվողի մեջ նույն թվով թվանշաններով.

հետևեք նախորդ սցենարին.

Կարևորվում է բաժանումը 0.1-ով. 0,01 և նմանատիպ այլ թվեր։ Նման օրինակներում ստորակետը տեղափոխվում է աջ՝ կոտորակային մասի թվանշանների քանակով։ Եթե ​​դրանք ավարտվել են, ապա դուք պետք է նշանակեք բացակայող զրոների թիվը: Հարկ է նշել, որ այս գործողությունը կրկնում է 10-ի և նմանատիպ թվերի բաժանումը։



Եզրակացություն. ամեն ինչ պրակտիկայի մասին է

Սովորելու մեջ ոչինչ հեշտ կամ առանց ջանքերի չէ: Նոր նյութը հուսալիորեն տիրապետելու համար ժամանակ և պրակտիկա է պահանջվում: Մաթեմատիկան բացառություն չէ։

Որպեսզի տասնորդական կոտորակների թեման դժվարություններ չառաջացնի, պետք է դրանցով հնարավորինս շատ օրինակներ լուծել։ Ի վերջո, կար ժամանակ, երբ բնական թվերի գումարումը շփոթեցնող էր։ Իսկ հիմա ամեն ինչ լավ է։

Ուստի, վերափոխել հայտնի արտահայտությունը՝ որոշիր, որոշիր և նորից որոշիր։ Այնուհետև նման թվերով առաջադրանքները կկատարվեն հեշտությամբ և բնականաբար, ինչպես մեկ այլ գլուխկոտրուկ:

Ի դեպ, գլուխկոտրուկները սկզբում դժվար է լուծել, իսկ հետո պետք է անել սովորական շարժումները։ Նույնը մաթեմատիկական օրինակներում է՝ նույն ճանապարհը մի քանի անգամ անցնելուց հետո այլեւս չես մտածի, թե ուր դիմել։

Արդեն ներս տարրական դպրոցուսանողները գործ ունեն կոտորակների հետ: Իսկ հետո ամեն թեմայում հայտնվում են։ Այս թվերով հնարավոր չէ մոռանալ գործողությունները։ Հետեւաբար, դուք պետք է իմանաք բոլոր տեղեկությունները սովորական և տասնորդական կոտորակների մասին: Այս հասկացությունները պարզ են, գլխավորը ամեն ինչ կարգով հասկանալն է։

Ինչու են անհրաժեշտ կոտորակները:

Մեզ շրջապատող աշխարհը բաղկացած է ամբողջական առարկաներից: Ուստի բաժնետոմսերի կարիք չկա։ Բայց առօրյան մարդկանց անընդհատ դրդում է աշխատել առարկաների ու իրերի մասերի հետ։

Օրինակ՝ շոկոլադը բաղկացած է մի քանի շերտից։ Մտածեք այն իրավիճակը, որտեղ նրա սալիկն ձևավորվում է տասներկու ուղղանկյուններով: Երկու մասի բաժանելու դեպքում ստացվում է 6 մաս։ Այն լավ կբաժանվի երեքի. Բայց հինգը չեն կարողանա շոկոլադի մի ամբողջ կտոր տալ։

Ի դեպ, այս կտորներն արդեն կոտորակներ են։ Իսկ դրանց հետագա բաժանումը հանգեցնում է ավելի բարդ թվերի ի հայտ գալուն։

Ի՞նչ է «կոտորակը»:

Սա մեկի մասերից բաղկացած թիվ է։ Արտաքնապես այն նման է երկու թվերի, որոնք իրարից բաժանված են հորիզոնական կամ շեղ: Այս հատկանիշը կոչվում է կոտորակային: Վերևում (ձախ) գրված թիվը կոչվում է համարիչ։ Ներքևի (աջից) մեկը հայտարարն է:

Փաստորեն, կոտորակային տողը բաժանման նշան է: Այսինքն՝ համարիչը կարելի է անվանել դիվիդենտ, իսկ հայտարարը՝ բաժանարար։

Որո՞նք են կոտորակները:

Մաթեմատիկայի մեջ դրանք միայն երկու տեսակի են՝ սովորական և տասնորդական կոտորակներ։ Դպրոցականներին նախ ծանոթացնում են տարրական դպրոց, դրանք անվանելով պարզապես «կոտորակներ»։ Երկրորդը սովորել 5-րդ դասարանում։ Հենց այդ ժամանակ էլ հայտնվում են այս անունները։

Ընդհանուր կոտորակներ են համարվում այն ​​բոլոր կոտորակները, որոնք գրվում են որպես երկու թվեր, որոնք բաժանված են բարով: Օրինակ՝ 4/7։ Տասնորդականը այն թիվն է, որի կոտորակային մասն ունի դիրքային նշում և ամբողջ թվից բաժանվում է ստորակետով։ Օրինակ, 4.7. Աշակերտները պետք է հստակ հասկանան, որ բերված երկու օրինակները բոլորովին տարբեր թվեր են:

Ամեն պարզ կոտորակկարելի է գրել որպես տասնորդական: Այս հայտարարությունը գրեթե միշտ ճիշտ է նաև հակառակ դեպքում: Կան կանոններ, որոնք թույլ են տալիս տասնորդական կոտորակը գրել որպես սովորական կոտորակ:

Ի՞նչ ենթատեսակներ ունեն այս տեսակի կոտորակները:

Ավելի լավ է սկսել ժամանակագրական կարգըքանի որ դրանք ուսումնասիրվում են։ Ընդհանուր կոտորակները առաջին տեղում են: Դրանցից կարելի է առանձնացնել 5 ենթատեսակ.

Ճիշտ է. Նրա համարիչը միշտ փոքր է հայտարարից։

Սխալ. Նրա համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին:

Կրճատվող / անկրճատելի. Դա կարող է լինել կամ ճիշտ կամ սխալ: Կարևոր է մեկ այլ բան, թե արդյոք համարիչն ու հայտարարը ընդհանուր գործակիցներ ունեն։ Եթե ​​կան, ապա ենթադրվում է, որ կոտորակի երկու մասերն էլ բաժանեն, այսինքն՝ փոքրացնեն։

Խառը. Ամբողջ թիվը վերագրվում է իր սովորական ճիշտ (սխալ) կոտորակային մասին։ Եվ այն միշտ կանգնած է ձախ կողմում:

Կոմպոզիտային. Կազմվում է միմյանց բաժանված երկու կոտորակներից։ Այսինքն՝ ունի միանգամից երեք կոտորակային հատկանիշ։

Տասնորդականներն ունեն ընդամենը երկու ենթատեսակ.

վերջնական, այսինքն, մեկը, որտեղ կոտորակային մասը սահմանափակ է (ունի վերջ);

անսահման - թիվ, որի թվանշանները տասնորդական կետից հետո չեն ավարտվում (դրանք կարելի է անվերջ գրել):

Ինչպե՞ս վերածել տասնորդականի սովորականի:

Եթե ​​սա վերջավոր թիվ է, ապա կիրառվում է կանոնի վրա հիմնված ասոցիացիա՝ ինչպես լսում եմ, այնպես էլ գրում եմ։ Այսինքն՝ պետք է ճիշտ կարդալ ու գրել, բայց առանց ստորակետի, բայց կոտորակային տողով։

Որպես ակնարկ պահանջվող հայտարարի մասին, հիշեք, որ այն միշտ մեկ և մի քանի զրո է: Վերջիններս անհրաժեշտ է գրել այնքան, որքան թվանշանները նշված թվի կոտորակային մասում:

Ինչպե՞ս տասնորդական կոտորակները վերածել սովորականի, եթե դրանց ամբողջ մասը բացակայում է, այսինքն՝ հավասար է զրոյի: Օրինակ, 0.9 կամ 0.05: Նշված կանոնը կիրառելուց հետո պարզվում է, որ պետք է գրել զրո ամբողջ թվեր։ Բայց դա նշված չէ։ Մնում է գրել միայն կոտորակային մասերը։ Առաջին թվի համար հայտարարը կլինի 10, երկրորդի համար՝ 100։ Այսինքն՝ նշված օրինակները որպես պատասխան կունենան թվեր՝ 9/10, 5/100։ Ընդ որում, վերջինս հնարավոր է կրճատել 5-ով։ Հետևաբար, դրա արդյունքը պետք է գրվի 1/20։

Ինչպե՞ս կատարել տասնորդականից սովորական կոտորակ, եթե դրա ամբողջ մասը տարբերվում է զրոյից: Օրինակ՝ 5.23 կամ 13.00108։ Երկու օրինակներն էլ կարդում են ամբողջ մասը և գրում դրա արժեքը: Առաջին դեպքում սա 5 է, երկրորդում՝ 13։ Այնուհետև պետք է անցնել կոտորակային մասին։ Նրանց հետ անհրաժեշտ է իրականացնել նույն գործողությունը։ Առաջին համարն ունի 23/100, երկրորդը՝ 108/100000։ Երկրորդ արժեքը կրկին պետք է կրճատվի: Պատասխանը խառը կոտորակներն են՝ 5 23/100 և 13 27/25000:

Ինչպե՞ս անսահման տասնորդականը վերածել ընդհանուր կոտորակի:

Եթե ​​դա ոչ պարբերական է, ապա նման գործողություն չի կարող իրականացվել։ Այս փաստը պայմանավորված է նրանով, որ յուրաքանչյուր տասնորդական կոտորակ միշտ փոխարկվում է վերջնական կամ պարբերականի:

Միակ բանը, որ թույլատրվում է անել նման կոտորակի հետ, դա կլորացնելն է։ Բայց հետո տասնորդականը մոտավորապես հավասար կլինի այդ անսահմանությանը։ Այն արդեն կարելի է սովորականի վերածել։ Բայց հակառակ գործընթացը՝ տասնորդականի վերածելը, երբեք նախնական արժեքը չի տա: Այսինքն՝ անվերջ ոչ պարբերական կոտորակները չեն վերածվում սովորական կոտորակների։ Սա պետք է հիշել.

Ինչպե՞ս գրել անվերջ պարբերական կոտորակը սովորականի տեսքով:

Այս թվերում տասնորդական կետից հետո միշտ հայտնվում են մեկ կամ մի քանի թվեր, որոնք կրկնվում են։ Դրանք կոչվում են ժամանակաշրջաններ: Օրինակ, 0.3 (3): Այստեղ «3» ընկած ժամանակահատվածում. Դրանք դասակարգվում են որպես ռացիոնալ, քանի որ դրանք կարող են վերածվել սովորական կոտորակների։

Նրանք, ովքեր հանդիպել են պարբերական կոտորակների, գիտեն, որ դրանք կարող են լինել մաքուր կամ խառը: Առաջին դեպքում կետը սկսվում է անմիջապես ստորակետից։ Երկրորդում կոտորակային մասը սկսվում է ցանկացած թվից, իսկ հետո սկսվում է կրկնությունը։

Կանոնը, որով պետք է սովորական կոտորակի տեսքով գրել անվերջ տասնորդական, տարբեր կլինի այս երկու տեսակի թվերի համար։ Մաքուր պարբերական կոտորակները որպես սովորական կոտորակներ գրելը բավականին հեշտ է։ Ինչպես վերջինների դեպքում, դրանք պետք է փոխարկվեն. գրեք կետը համարիչի մեջ, և 9 թիվը կլինի հայտարարը, կրկնելով այնքան անգամ, որքան թվանշաններ կան կետում:

Օրինակ՝ 0, (5): Թիվը չունի ամբողջ թիվ, ուստի պետք է անմիջապես անցնել կոտորակային մասին: Համարով գրի՛ր 5, իսկ հայտարարում՝ 9, այսինքն՝ պատասխանը կլինի 5/9 կոտորակը։

Կանոն, թե ինչպես գրել ընդհանուր տասնորդական կոտորակ, որը խառը կոտորակ է:

Նայեք ժամանակահատվածի երկարությանը: Այսքանը 9-ը կունենա հայտարար։

Դուրս գրի՛ր հայտարարը՝ սկզբում ինը, հետո զրո:

Համարիչը որոշելու համար հարկավոր է գրել երկու թվերի տարբերությունը։ Տասնորդական կետից հետո բոլոր թվանշանները կկրճատվեն՝ կետի հետ միասին: Հանեցվող - առանց կետի է:

Օրինակ՝ 0.5(8) - պարբերական տասնորդական կոտորակը գրեք որպես ընդհանուր կոտորակ: Ժամանակահատվածից առաջ կոտորակային մասը միանիշ է: Այսպիսով, զրոն կլինի մեկ: Ժամանակահատվածում կա նաև միայն մեկ թվանշան՝ 8։ Այսինքն՝ կա ընդամենը մեկ ինը։ Այսինքն՝ հայտարարի մեջ պետք է գրել 90։

58-ից համարիչը որոշելու համար պետք է հանել 5-ը, ստացվում է 53։ Օրինակ՝ որպես պատասխան պետք է գրել 53/90։

Ինչպե՞ս են սովորական կոտորակները վերածվում տասնորդականների:

Ամենապարզ տարբերակն այն թիվն է, որի հայտարարը 10-ն է, 100-ը և այլն: Այնուհետև հայտարարը պարզապես հանվում է, իսկ կոտորակային և ամբողջ մասերըդրվում է ստորակետ.

Կան իրավիճակներ, երբ հայտարարը հեշտությամբ վերածվում է 10-ի, 100-ի և այլն, օրինակ՝ 5, 20, 25 թվերը։ Բավական է դրանք բազմապատկել համապատասխանաբար 2-ով, 5-ով և 4-ով։ Միայն անհրաժեշտ է ոչ միայն հայտարարը, այլեւ համարիչը նույն թվով բազմապատկել։

Մնացած բոլոր դեպքերի համար օգտակար կլինի մի պարզ կանոն՝ համարիչը բաժանել հայտարարի վրա: Այս դեպքում կարող եք ստանալ երկու պատասխան՝ վերջնական կամ պարբերական տասնորդական կոտորակ:

Գործողություններ ընդհանուր կոտորակների հետ

Գումարում և հանում

Ուսանողները նրանց ավելի շուտ են ճանաչում, քան մյուսները: Եվ սկզբում կոտորակներն ունեն նույն հայտարարները, իսկ հետո՝ տարբեր։ Ընդհանուր կանոնները կարող են կրճատվել նման պլանի:

Գտե՛ք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Լրացուցիչ գործակիցներ գրի՛ր բոլոր սովորական կոտորակներին:

Բազմապատկեք համարիչները և հայտարարները նրանց համար սահմանված գործակիցներով:

Գումարե՛ք (հանեք) կոտորակների համարիչները և թողե՛ք ընդհանուր հայտարարը անփոփոխ։

Եթե ​​մինուենդի համարիչը փոքր է ենթակետից, ապա պետք է պարզել՝ մենք խառը թիվ ունենք, թե ճիշտ կոտորակ:

Առաջին դեպքում անհրաժեշտ է, որ ամբողջ մասը վերցնի մեկ: Կոտորակի համարիչին ավելացրեք հայտարար: Եվ հետո կատարեք հանումը:

Երկրորդում - անհրաժեշտ է կիրառել ավելի փոքր թվից ավելի մեծի հանման կանոնը: Այսինքն՝ հանել մինուենդի մոդուլը ենթաշերտի մոդուլից և ի պատասխան դնել «-» նշանը։

Ուշադիր նայեք գումարման (հանման) արդյունքին: Եթե ​​դուք ստանում եք ոչ պատշաճ կոտորակ, ապա այն պետք է ընտրի ամբողջ մասը: Այսինքն՝ համարիչը բաժանեք հայտարարի վրա։

Բազմապատկում և բաժանում

Դրանց իրականացման համար կոտորակները պետք չէ կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Սա հեշտացնում է գործողությունները: Բայց նրանք դեռ պետք է պահպանեն կանոնները:

Սովորական կոտորակները բազմապատկելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել թվերը համարիչներում և հայտարարներում։ Եթե ​​որևէ համարիչ և հայտարար ունեն ընդհանուր գործակից, ապա դրանք կարող են կրճատվել:

Բազմապատկել համարիչները:

Բազմապատկել հայտարարները:

Եթե ​​դուք ստանում եք կրճատվող կոտորակ, ապա ենթադրվում է, որ այն նորից կպարզեցվի:

Բաժանելիս նախ պետք է բաժանումը փոխարինել բազմապատկմամբ, իսկ բաժանարարը (երկրորդ կոտորակը) փոխադարձով (փոխանակել համարիչն ու հայտարարը)։

Այնուհետև շարունակեք այնպես, ինչպես բազմապատկման մեջ (սկսած 1-ին կետից):

Այն առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է բազմապատկել (բաժանել) ամբողջ թվով, վերջինս ենթադրաբար գրված է ձևով. ոչ պատշաճ կոտորակ. Այսինքն՝ 1-ի հայտարարով: Այնուհետև շարունակեք վերը նկարագրվածը:



Գործողություններ տասնորդական թվերով

Գումարում և հանում

Իհարկե, դուք միշտ կարող եք տասնորդականը վերածել ընդհանուր կոտորակի: Եվ գործեք արդեն նկարագրված պլանի համաձայն: Բայց երբեմն ավելի հարմար է գործել առանց այս թարգմանության։ Այնուհետև դրանց գումարման և հանման կանոնները կլինեն նույնը:

Հավասարեցրեք թվանշանների թիվը թվի կոտորակային մասում, այսինքն՝ տասնորդական կետից հետո։ Նշանակե՛ք դրանում բացակայող զրոների թիվը։

Կոտորակներ գրի՛ր այնպես, որ ստորակետը լինի ստորակետի տակ:

Բնական թվերի նման գումարել (հանել):

Հեռացրեք ստորակետը:

Բազմապատկում և բաժանում

Կարևոր է, որ այստեղ զրոներ ավելացնելու կարիք չկա: Ենթադրվում է, որ կոտորակները թողնվեն այնպես, ինչպես տրված են օրինակում: Եվ հետո գնացեք ըստ պլանի:

Բազմապատկելու համար պետք է կոտորակներ գրել մեկը մյուսի տակ՝ ուշադրություն չդարձնելով ստորակետներին։

Բազմապատկել բնական թվերի նման:

Պատասխանի մեջ դրե՛ք ստորակետ՝ պատասխանի աջ ծայրից հաշվելով այնքան թվանշան, որքան երկու գործոնների կոտորակային մասերում են:

Բաժանելու համար նախ պետք է փոխակերպել բաժանարարը՝ այն դարձնել բնական թիվ։ Այսինքն՝ բազմապատկեք այն 10-ով, 100-ով և այլն՝ կախված նրանից, թե քանի թվանշան կա բաժանարարի կոտորակային մասում։

Բաժնետոմսը բազմապատկեք նույն թվով:

Տասնորդական թիվը բաժանեք բնական թվի:

Պատասխանի մեջ ստորակետ դրեք այն պահին, երբ ավարտվում է ամբողջ մասի բաժանումը։



Իսկ եթե մեկ օրինակում կան երկու տեսակի կոտորակներ:

Այո, մաթեմատիկայի մեջ հաճախ կան օրինակներ, որոնցում պետք է գործողություններ կատարել սովորական և տասնորդական կոտորակների վրա: Այս խնդիրների երկու հնարավոր լուծում կա. Պետք է օբյեկտիվորեն կշռել թվերը և ընտրել լավագույնը:

Առաջին ճանապարհը. ներկայացնել սովորական տասնորդականները

Հարմար է, եթե բաժանելիս կամ փոխարկելիս վերջնական կոտորակներ են ստացվում։ Եթե ​​առնվազն մեկ համարը տալիս է պարբերական մաս, ապա այս տեխնիկան արգելված է: Հետևաբար, եթե նույնիսկ չեք սիրում աշխատել սովորական կոտորակների հետ, ստիպված կլինեք հաշվել դրանք։

Երկրորդ եղանակը՝ տասնորդական կոտորակները գրել սովորական

Այս տեխնիկան հարմար է, եթե տասնորդական կետից հետո մասում կա 1-2 նիշ։ Եթե ​​դրանք ավելի շատ լինեն, ապա կարող է ստացվել շատ մեծ սովորական կոտորակ, և տասնորդական գրառումները թույլ կտան ավելի արագ և հեշտ հաշվարկել առաջադրանքը: Ուստի միշտ անհրաժեշտ է սթափ գնահատել առաջադրանքը և ընտրել լուծման ամենապարզ մեթոդը։

Հրահանգ

Եթե ​​ներս ձեւը կոտորակներըպետք է ներկայացնի ամբողջը թիվ, ապա օգտագործեք մեկը որպես հայտարար և սկզբնական արժեքը դրեք համարիչի մեջ։ Նշման այս ձևը կոչվում է ոչ պատշաճ սովորական կոտորակ, քանի որ դրա համարիչի մոդուլն ավելի մեծ է, քան հայտարարի մոդուլը: Օրինակ, թիվ 74-ը կարելի է գրել 74/1, և թիվ-12-ը նման է -12/1-ի: Ցանկության դեպքում դուք կարող եք համարիչ և հայտարարագրել նույն թվով անգամ՝ արժեք կոտորակներըայս դեպքում դեռ կհամապատասխանի սկզբնական համարին: Օրինակ՝ 74=74/1=222/3 կամ -12=-12/1=-84/7:

Եթե ​​բնօրինակը թիվներկայացված տասնորդական ձևաչափով կոտորակները, այնուհետև թողեք դրա ամբողջ մասը անփոփոխ և բաժանող ստորակետը փոխարինեք բացատով։ Կոտորակային մասը դրե՛ք համարիչի մեջ և որպես հայտարար օգտագործե՛ք սկզբնական թվի կոտորակի թվանշանների թվին հավասար ցուցիչով բարձրացված տասը։ Ստացված կոտորակային մասը կարելի է կրճատել՝ համարիչն ու հայտարարը նույնի վրա բաժանելով թիվ. Օրինակ՝ տասնորդական կոտորակները 7,625-ը կհամապատասխանի 7 625/1000 սովորական կոտորակի, որը կրճատելուց հետո կվերցնի 7 5/8 արժեքը։ Նշման այս ձևը սովորական է կոտորակներըխառը. Անհրաժեշտության դեպքում այն ​​կարող է վերածվել սխալ սովորական ձևի՝ ամբողջ թվի մասը բազմապատկելով հայտարարով և արդյունքը ավելացնելով համարիչին՝ 7.625 \u003d 7 625/1000 \u003d 7 5/8 \u003d 61/8:

Եթե ​​սկզբնական տասնորդական կոտորակը նույնպես պարբերական է, ապա օգտագործեք, օրինակ, հավասարումների համակարգ՝ ձևաչափով դրա համարժեքը հաշվարկելու համար։ կոտորակներըսովորական. Ասենք, եթե սկզբնական կոտորակը 3.5(3) է, ապա նույնականացումը հնարավոր է՝ 100*x-10*x=100*3.5(3)-10*3.5(3): Դրանից կարող եք բխեցնել 90 * x \u003d 318 հավասարությունը, և որ ցանկալի կոտորակը հավասար կլինի 318/90-ի, որը կրճատելուց հետո կտա սովորական կոտորակ 3 24/45:

Աղբյուրներ:

• Կարո՞ղ է 450000 թիվը ներկայացնել որպես 2 թվի արտադրյալ:

Առօրյա կյանքում առավել հաճախ հանդիպում են ոչ բնական թվեր՝ 1, 2, 3, 4 և այլն։ (5 կգ. կարտոֆիլ), և կոտորակային, ոչ ամբողջ թվով (5,4 կգ սոխ): Դրանց մեծ մասը ներկայացված է ձեւըտասնորդական կոտորակներ. Բայց ներկայացրեք տասնորդական թիվը ձեւը կոտորակներըբավականաչափ պարզ:

Հրահանգ

Օրինակ՝ հաշվի առնելով «0.12» թիվը։ Եթե ​​ոչ այս կոտորակը և ներկայացնենք այնպես, ինչպես կա, ապա այն կունենա հետևյալ տեսքը՝ 12/100 («տասներկու»): Հարյուրավորներից ազատվելու համար պետք է բաժանել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը նրանց թվերը բաժանող թվի վրա: Այս թիվը 4 է։Այնուհետև, բաժանելով համարիչը և հայտարարը, ստացվում է թիվը՝ 3/25։

Եթե ​​դիտարկենք ավելի կենցաղային, ապա հաճախ գնի վրա կարելի է տեսնել, որ դրա քաշը, օրինակ, 0,478 կգ կամ ավելի է: Նման թիվ նույնպես հեշտ է պատկերացնել. ձեւը կոտորակները:
478/1000 = 239/500: Այս կոտորակը բավականին տգեղ է, և եթե հնարավորություն լիներ, ապա այս տասնորդական կոտորակը կարող էր ավելի կրճատվել: Եվ բոլորը միևնույն մեթոդով՝ ընտրելով մի թիվ, որը բաժանում է և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը: Այս թիվը ամենամեծ ընդհանուր գործոնն է: «Ամենամեծ» բազմապատկիչն այն է, որ շատ ավելի հարմար է և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը միանգամից 4-ի բաժանելը (ինչպես առաջին օրինակում), քան երկու անգամ բաժանել 2-ի։

Առնչվող տեսանյութեր

Տասնորդական մաս- բազմազանություն կոտորակները, որը հայտարարում ունի «կլոր» թիվ՝ 10, 100, 1000 և այլն, օրինակ. մաս 5/10-ն ունի 0,5 տասնորդական նշում: Ելնելով այս սկզբունքից՝ մասկարող է ներկայացվել ձեւըտասնորդական կոտորակները.

Հրահանգ

Մենք ապրում ենք թվային աշխարհում: Եթե ​​նախկինում հիմնական արժեքները ներկայացնում էին հողը, փողը կամ արտադրության միջոցները, ապա այժմ տեխնոլոգիան և տեղեկատվությունը որոշում են ամեն ինչ։ Յուրաքանչյուր մարդ, ով ցանկանում է հաջողության հասնել, պարզապես պարտավոր է հասկանալ ցանկացած թվեր, ինչ տեսքով էլ որ դրանք ներկայացվեն։ Բացի սովորական տասնորդական նշումից, կան թվեր ներկայացնելու շատ այլ հարմար եղանակներ (հատուկ առաջադրանքների առումով): Դիտարկենք դրանցից ամենատարածվածը.

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Հաշվիչ

Հրահանգ

Տասնորդական թիվը որպես սովորական կոտորակ ներկայացնելու համար նախ պետք է նայեք, թե որն է այն, թե իրական: Ամբողջական թիվընդհանրապես ստորակետ չունի, կամ ստորակետից հետո կա զրո (կամ շատ զրոներ, ինչը նույնն է): Եթե ​​տասնորդական կետից հետո կան որոշ թվեր, ապա տրվածը թիվվերաբերում է իրականին. Ամբողջական թիվշատ հեշտ է ներկայացնել որպես կոտորակ. համարիչն ինքնին գնում է թիվ, իսկ հայտարարում՝ . Տասնորդականը գրեթե նույնն է, միայն թե կոտորակի երկու մասերը կբազմապատկենք տասը, մինչև չազատվենք համարիչի ստորակետից։

Ինչպես:

± դ մ … դ 1 դ 0 , դ -1 դ -2 …

որտեղ ± կոտորակի նշանն է՝ կամ + կամ -,

, - տասնորդական կետ, որը ծառայում է որպես բաժանարար թվի ամբողջ և կոտորակային մասերի միջև,

դկ- տասնորդական թվեր:

Միևնույն ժամանակ, ստորակետից առաջ թվանշանների հերթականությունը (դրա ձախ կողմում) ունի վերջ (ինչպես min 1-նիշը), իսկ ստորակետից հետո (աջից) այն կարող է լինել կամ վերջավոր (որպես տարբերակ): , ստորակետից հետո կարող է ընդհանրապես թվանշան չլինել), և անսահման։

Տասնորդական արժեք ± դ մ … դ 1 դ 0 , դ -1 դ -2 … իրական թիվ է.

որը հավասար է վերջավոր կամ անվերջ թվով անդամների գումարին։

Տասնորդական կոտորակների օգտագործմամբ իրական թվերի ներկայացումը տասնորդական թվային համակարգում ամբողջ թվերի նշման ընդհանրացումն է։ Ամբողջ թվի տասնորդական ներկայացումը տասնորդական կետից հետո թվեր չունի, և, հետևաբար, այս ներկայացումն ունի հետևյալ տեսքը.

± դ մ … դ 1 դ 0 ,

Եվ սա համընկնում է տասնորդական թվային համակարգում մեր թվի գրանցման հետ:

Տասնորդական- սա 1-ը 10, 100, 1000 և այլն մասերի բաժանելու արդյունք է: Այս կոտորակները բավականին հարմար են հաշվարկների համար, քանի որ դրանք հիմնված են նույն դիրքային համակարգի վրա, որի վրա կառուցված են ամբողջ թվերի հաշվարկն ու նշումը: Դրա շնորհիվ տասնորդական կոտորակների նշումներն ու կանոնները գրեթե նույնն են, ինչ ամբողջ թվերի համար։

Տասնորդական կոտորակներ գրելիս պետք չէ նշել հայտարարը, այն որոշվում է համապատասխան թվի զբաղեցրած տեղով։ Նախ գրեք թվի ամբողջական մասը, ապա աջ կողմում դրեք տասնորդական կետ: Տասնորդական կետից հետո առաջին նիշը ցույց է տալիս տասներորդական թիվը, երկրորդը` հարյուրերորդականը, երրորդը` հազարերորդականը և այլն: Տասնորդական կետից հետո թվերն են տասնորդական տեղեր.

Օրինակ:

Տասնորդական կոտորակների առավելություններից մեկն այն է, որ դրանք շատ հեշտությամբ կարող են փոխարկվել սովորական կոտորակների. տասնորդական կետից հետո թիվը (մերը՝ 5047) համարիչ; հայտարարհավասար է n 10-րդ աստիճան, որտեղ n- տասնորդական տեղերի քանակը (մենք ունենք սա n=4):

Երբ տասնորդական կոտորակի մեջ ամբողջ թիվ չկա, ապա տասնորդական կետի դիմաց զրո ենք դնում.

Տասնորդական կոտորակների հատկությունները.

1. Տասնորդական թիվը չի փոխվում, երբ աջ կողմում զրոներ են ավելացվում.

13.6 =13.6000.

2. Տասնորդականը չի փոխվում, երբ հանվում են տասնորդականի վերջում գտնվող զրոները.

0.00123000 = 0.00123.

Ուշադրություն.Զրոները, որոնք ՉԵՆ գտնվում տասնորդականի վերջում, չպետք է հեռացվեն:

3. Տասնորդական կոտորակը մեծանում է 10, 100, 1000 և այլն, երբ տասնորդական կետը տեղափոխում ենք համապատասխանաբար աջ 1-հոր, 2, 2 և այլն դիրքեր.

3,675 → 367,5 (կոտորակն աճել է հարյուր անգամ):

4. Տասնորդական կոտորակը դառնում է տասից պակաս, հարյուր, հազար և այլն, երբ տասնորդական կետը տեղափոխում ենք համապատասխանաբար 1-հոր, 2, 3 և այլն դիրքեր դեպի ձախ.

1536.78 → 1.53678 (կոտորակը փոքրացել է հազար անգամ)։

Տասնորդականների տեսակները.

Տասնորդական թվերը բաժանվում են եզրափակիչ, անվերջև պարբերական տասնորդականներ.

Ավարտ տասնորդական -սա կոտորակ է, որը պարունակում է վերջավոր թվեր տասնորդական կետից հետո (կամ դրանք ընդհանրապես չկան), այսինքն. կարծես այսպես.

Իրական թիվը կարող է ներկայացվել որպես վերջավոր տասնորդական կոտորակ միայն այն դեպքում, եթե այդ թիվը ռացիոնալ է և երբ գրվում է որպես անկրճատելի կոտորակ։ p/qհայտարար քչունի պարզ բաժանարարներ, բացի 2-ից և 5-ից:

Անսահման տասնորդական.

Պարունակում է թվանշանների անվերջ կրկնվող խումբ, որը կոչվում է ժամանակաշրջան. Կետը գրված է փակագծերում։ Օրինակ՝ 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

Պարբերական տասնորդական- սա այնպիսի անսահման տասնորդական կոտորակ է, որում տասնորդական կետից հետո թվանշանների հաջորդականությունը, սկսած որոշակի տեղից, պարբերաբար կրկնվող թվանշանների խումբ է: Այլ կերպ ասած, պարբերական կոտորակտասնորդական է, որն ունի հետևյալ տեսքը.

Նման կոտորակը սովորաբար հակիրճ գրվում է այսպես.

Թվերի խումբ բ 1 … բ լ, որը կրկնվում է, է կոտորակային ժամանակաշրջան, այս խմբի թվանշանների թիվը կազմում է ժամանակահատվածի երկարությունը.

Երբ պարբերական կոտորակի մեջ կետը գալիս է տասնորդական կետից անմիջապես հետո, ապա կոտորակն է մաքուր պարբերական. Երբ ստորակետի և 1-ին կետի միջև կան թվեր, ապա կոտորակն է խառը պարբերականև մի խումբ թվանշաններ տասնորդական կետից հետո մինչև 1-ին կետի նշանը. կոտորակային նախաժամկետ.

Օրինակ, կոտորակը 1,(23) = 1,2323… մաքուր պարբերական է, իսկ 0,1(23)=0,12323… կոտորակը խառը պարբերական է:

Պարբերական կոտորակների հիմնական հատկությունը, որի շնորհիվ դրանք տարբերվում են տասնորդական կոտորակների ամբողջ բազմությունից, կայանում է նրանում, որ պարբերական կոտորակները և միայն նրանք ներկայացնում են ռացիոնալ թվեր։ Ավելի ճիշտ՝ տեղի է ունենում հետևյալը.

Ցանկացած անսահման կրկնվող տասնորդական ներկայացնում է ռացիոնալ թիվ: Եվ հակառակը, երբ ռացիոնալ թիվը տարրալուծվում է անվերջ տասնորդական կոտորակի, ապա այդ կոտորակը պարբերական է լինելու:

Այս հոդվածը վերաբերում է տասնորդականներ. Այստեղ մենք կզբաղվենք տասնորդական նշում կոտորակային թվեր, ներկայացնում ենք տասնորդական կոտորակի հասկացությունը և բերում տասնորդական կոտորակների օրինակներ։ Հաջորդիվ խոսենք տասնորդական կոտորակների թվանշանների մասին, նշենք թվանշանների անունները։ Դրանից հետո կկենտրոնանանք անվերջ տասնորդական կոտորակների վրա, ասենք պարբերական և ոչ պարբերական կոտորակների մասին։ Հաջորդը, մենք թվարկում ենք հիմնական գործողությունները տասնորդական կոտորակներով: Եզրափակելով, մենք սահմանում ենք տասնորդական կոտորակների դիրքը կոորդինատային ճառագայթի վրա:

Էջի նավարկություն.

Կոտորակի թվի տասնորդական նշում

Տասնորդական թվերի ընթերցում

Մի քանի խոսք ասենք տասնորդական կոտորակների ընթերցման կանոնների մասին։

Տասնորդական կոտորակները, որոնք համապատասխանում են ճիշտ սովորական կոտորակներին, ընթերցվում են այնպես, ինչպես այս սովորական կոտորակները, նախապես ավելացվում է միայն «զրոյական ամբողջություն»: Օրինակ՝ 0,12 տասնորդական կոտորակը համապատասխանում է սովորական 12/100 կոտորակին (այն կարդում է «տասներկու հարյուրերորդական»), հետևաբար՝ 0,12-ը կարդացվում է որպես «զրո կետ տասներկու հարյուրերորդական»։

Տասնորդական կոտորակները, որոնք համապատասխանում են խառը թվերին, կարդացվում են ճիշտ այնպես, ինչպես այս խառը թվերը։ Օրինակ՝ 56.002 տասնորդական կոտորակը համապատասխանում է խառը թվի, հետևաբար, 56.002 տասնորդական կոտորակը կարդացվում է որպես «հիսունվեց կետ երկու հազարերորդական»։

Տեղերը տասնորդական թվերով

Տասնորդական կոտորակների, ինչպես նաև բնական թվերի նշումներում յուրաքանչյուր թվանշանի արժեքը կախված է իր դիրքից։ Իսկապես, 3 թիվը տասնորդական 0,3-ում նշանակում է երեք տասներորդ, տասնորդական 0,0003-ում՝ երեք տասը հազարերորդական, իսկ տասնորդական 30,000,152-ում՝ երեք տասնյակ հազար: Այսպիսով, մենք կարող ենք խոսել թվանշանները տասնորդականներով, ինչպես նաև բնական թվերի թվանշանների մասին։

Տասնորդական կոտորակի թվանշանների անվանումները մինչև տասնորդական կետլիովին համընկնում են բնական թվերի թվանշանների անունների հետ: Իսկ տասնորդական կոտորակի թվանշանների անվանումները տասնորդական կետից հետո տեսանելի են հետևյալ աղյուսակից.

Օրինակ՝ 37.051 տասնորդական կոտորակի մեջ 3 թիվը տասնյակների տեղում է, 7-ը՝ միավորների, 0-ը՝ տասներորդ, 5-ը՝ հարյուրերորդ, 1-ը՝ հազարերորդ տեղում։

Տասնորդական կոտորակի թվանշանները տարբերվում են նաև ըստ տարիքի։ Եթե ​​տասնորդական նշումով թվանշանից թվանշան տեղափոխենք ձախից աջ, ապա կտեղափոխվենք ավագդեպի կրտսեր կոչումներ. Օրինակ՝ հարյուրավորների թվանշանն ավելի հին է, քան տասներորդականը, իսկ միլիոներորդականը ավելի երիտասարդ է, քան հարյուրերորդականը։ Այս վերջնական տասնորդական կոտորակի մեջ մենք կարող ենք խոսել ամենակարևոր և ամենաքիչ նշանակալի թվանշանների մասին: Օրինակ, տասնորդական 604.9387-ում ավագ (ամենաբարձր)թվանշանը հարյուրավոր թվանշանն է, և կրտսեր (ամենացածր)- տասնհազարերորդ տեղը.

Տասնորդական կոտորակների համար տեղի է ունենում թվերի ընդլայնում: Այն նման է բնական թվերի թվանշանների ընդլայնմանը: Օրինակ, 45.6072-ի տասնորդական ընդլայնումը հետևյալն է՝ 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002: Իսկ տասնորդական կոտորակի թվանշանների ընդարձակումից գումարման հատկությունները թույլ են տալիս անցնել այս տասնորդական կոտորակի այլ ներկայացումների, օրինակ՝ 45,6072=45+0,6072 , կամ 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , կամ 45,6072=45+0,6072 , կամ 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , կամ 45,6072= .

Ավարտել տասնորդականները

Մինչ այս մենք խոսել ենք միայն տասնորդական կոտորակների մասին, որոնց գրանցման մեջ տասնորդական կետից հետո վերջավոր թվանշաններ կան։ Նման կոտորակները կոչվում են վերջնական տասնորդական կոտորակներ:

Սահմանում.

Ավարտել տասնորդականները- Սրանք տասնորդական կոտորակներ են, որոնց գրառումները պարունակում են վերջավոր թվով նիշեր (նիշեր):

Ահա վերջնական տասնորդականների մի քանի օրինակներ՝ 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230 032.45:

Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր սովորական կոտորակները կարող են ներկայացվել որպես վերջավոր տասնորդական կոտորակ: Օրինակ, 5/13 կոտորակը չի կարող փոխարինվել հավասար կոտորակով 10, 100, ... հայտարարներից մեկով, հետևաբար, այն չի կարող վերածվել վերջնական տասնորդական կոտորակի։ Այս մասին ավելի մանրամասն կխոսենք սովորական կոտորակները տասնորդական կոտորակների վերածելու տեսության բաժնում:

Անսահման տասնորդականներ՝ պարբերական կոտորակներ և ոչ պարբերական կոտորակներ

Տասնորդական կետից հետո տասնորդական կոտորակ գրելիս կարող եք թույլ տալ անսահման թվով թվանշանների հնարավորություն: Այս դեպքում մենք կգանք այսպես կոչված անվերջ տասնորդական կոտորակների դիտարկմանը:

Սահմանում.

Անվերջ տասնորդականներ- Սրանք տասնորդական կոտորակներ են, որոնց գրանցման մեջ կան անսահման թվով թվեր։

Հասկանալի է, որ մենք չենք կարող ամբողջությամբ գրել անվերջ տասնորդական կոտորակները, հետևաբար, դրանց գրանցման ժամանակ դրանք սահմանափակվում են տասնորդական կետից հետո միայն որոշակի վերջավոր թվով թվանշաններով և դնում են էլիպսիս, որը ցույց է տալիս թվերի անվերջ շարունակական հաջորդականությունը: Ահա անվերջ տասնորդական կոտորակների մի քանի օրինակներ՝ 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152…:

Եթե ​​ուշադիր նայեք վերջին երկու անվերջ տասնորդական կոտորակներին, ապա 2.111111111 կոտորակում պարզ երևում է 1-ին անվերջ կրկնվող թիվը, իսկ 69.74152152152 ... կոտորակի մեջ՝ սկսած երրորդ տասնորդական տեղից, կրկնվող թվերի խումբը։ 1, 5 և 2-ը հստակ տեսանելի են: Նման անսահման տասնորդական կոտորակները կոչվում են պարբերական։

Սահմանում.

Պարբերական տասնորդականներ(կամ պարզապես պարբերական կոտորակներ) անվերջ տասնորդական կոտորակներ են, որոնց գրանցման մեջ որոշակի տասնորդական տեղից սկսած որոշ թվանշան կամ թվանշանների խումբ, որը կոչվում է. կոտորակային ժամանակաշրջան.

Օրինակ՝ 2.111111111… պարբերական կոտորակի պարբերությունը 1 թիվն է, իսկ 69.74152152152 կոտորակի պարբերությունը 152-ի նման թվերի խումբ է:

Անսահման պարբերական տասնորդական կոտորակների համար ընդունված է հատուկ ձևգրառումներ. Համառոտության համար պայմանավորվեցինք ժամկետը մեկ անգամ գրել՝ փակելով փակագծերում։ Օրինակ՝ 2.111111111… պարբերական կոտորակը գրվում է որպես 2,(1), իսկ 69.74152152152… պարբերական կոտորակը գրվում է որպես 69.74(152):

Հարկ է նշել, որ նույն պարբերական տասնորդական կոտորակի համար կարող եք նշել տարբեր ժամանակաշրջաններ. Օրինակ, պարբերական տասնորդական 0,73333… կարելի է համարել 0,7(3) կոտորակ՝ 3 պարբերությամբ, ինչպես նաև 0,7(33) կոտորակ՝ 33 պարբերությամբ, և այսպես շարունակ՝ 0,7(333), 0,7 (3333): ), ... Դուք կարող եք նաև դիտել 0,73333 ... պարբերական կոտորակը այսպես՝ 0,733(3), կամ այսպես՝ 0,73(333) և այլն։ Այստեղ, երկիմաստությունից և անհամապատասխանությունից խուսափելու համար, մենք համաձայնում ենք տասնորդական կոտորակի ժամանակաշրջան համարել ամենակարճը կրկնվող թվանշանների բոլոր հնարավոր հաջորդականություններից և սկսած ամենամոտ դիրքից մինչև տասնորդական կետը: Այսինքն՝ 0,73333… տասնորդական կոտորակի պարբերությունը կհամարվի 3-րդ մեկ նիշի հաջորդականություն, իսկ պարբերականությունը սկսվում է տասնորդական կետից հետո երկրորդ դիրքից, այսինքն՝ 0,73333…=0,7(3) : Մեկ այլ օրինակ՝ 4.7412121212... պարբերական կոտորակը ունի 12 կետ, պարբերականությունը սկսվում է տասնորդական կետից հետո երրորդ թվանշանից, այսինքն՝ 4.7412121212…=4.74(12) ։

Անվերջ տասնորդական պարբերական կոտորակները ստացվում են սովորական կոտորակների տասնորդական կոտորակների վերածելով, որոնց հայտարարները պարունակում են 2-ից և 5-ից տարբեր պարզ գործակիցներ:

Այստեղ արժե հիշատակել 9 պարբերությամբ պարբերական կոտորակներ։ Ահա այսպիսի կոտորակների օրինակներ՝ 6.43(9) , 27,(9) : Այս կոտորակները հերթական նշումն են 0 կետով պարբերական կոտորակների համար, և ընդունված է դրանք փոխարինել 0 կետով պարբերական կոտորակներով։ Դա անելու համար 9-րդ կետը փոխարինվում է 0-ով, իսկ հաջորդ ամենաբարձր թվանշանի արժեքը ավելանում է մեկով: Օրինակ, 7.24(9) ձևի 9-րդ կետով կոտորակը փոխարինվում է 7.25(0) ձևի 0 կետով պարբերական կոտորակով կամ 7.25-ի հավասար վերջնական տասնորդական կոտորակով: Մեկ այլ օրինակ՝ 4,(9)=5,(0)=5: 9 պարբերությամբ կոտորակի և 0 պարբերությամբ նրա համապատասխան կոտորակի հավասարությունը հեշտությամբ հաստատվում է այս տասնորդական կոտորակները իրենց հավասար սովորական կոտորակներով փոխարինելուց հետո։

Ի վերջո, եկեք ավելի սերտ նայենք անսահման տասնորդականներին, որոնք չունեն թվանշանների անվերջ կրկնվող հաջորդականություն։ Դրանք կոչվում են ոչ պարբերական։

Սահմանում.

Ոչ կրկնվող տասնորդականներ(կամ պարզապես ոչ պարբերական կոտորակներ) անվերջ տասնորդականներ են՝ առանց կետի:

Երբեմն ոչ պարբերական կոտորակները ունեն պարբերական կոտորակների ձևի նման, օրինակ՝ 8.02002000200002 ... ոչ պարբերական կոտորակ է։ Այս դեպքերում դուք պետք է հատկապես զգույշ լինեք տարբերությունը նկատելու համար:

Նկատի ունեցեք, որ ոչ պարբերական կոտորակները չեն փոխարկվում սովորական կոտորակների, անսահման ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակները ներկայացնում են իռացիոնալ թվեր։

Գործողություններ տասնորդական թվերով

Տասնորդականներով գործողություններից մեկը համեմատությունն է, սահմանվում է նաև չորս հիմնական թվաբանություն գործողություններ տասնորդականներովգումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում: Դիտարկենք տասնորդական կոտորակներով գործողություններից յուրաքանչյուրը առանձին:

Տասնորդական Համեմատությունըստ էության, հիմնված է համեմատած տասնորդական կոտորակներին համապատասխան սովորական կոտորակների համեմատության վրա: Այնուամենայնիվ, տասնորդական կոտորակները սովորականի վերածելը բավականին աշխատատար գործողություն է, և անսահման չկրկնվող կոտորակները չեն կարող ներկայացվել որպես սովորական կոտորակ, ուստի հարմար է օգտագործել տասնորդական կոտորակների բիթային համեմատությունը: Տասնորդական թվերի բիթային համեմատությունը նման է բնական թվերի համեմատությանը: Ավելի մանրամասն տեղեկությունների համար խորհուրդ ենք տալիս ուսումնասիրել հոդվածի նյութի համեմատությունը տասնորդական կոտորակների, կանոնների, օրինակների, լուծումների:

Եկեք անցնենք հաջորդ քայլին - տասնորդական թվերի բազմապատկում. Վերջնական տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը կատարվում է այնպես, ինչպես տասնորդական կոտորակների, կանոնների, օրինակների, բնական թվերի սյունակով բազմապատկման լուծումների հանումը: Պարբերական կոտորակների դեպքում բազմապատկումը կարող է կրճատվել սովորական կոտորակների բազմապատկման։ Իր հերթին, անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը դրանց կլորացումից հետո կրճատվում է մինչև վերջավոր տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը։ Առաջարկում ենք ուսումնասիրել հոդվածի նյութը տասնորդական կոտորակների բազմապատկում, կանոններ, օրինակներ, լուծումներ։

Տասնորդական թվեր կոորդինատային ճառագայթի վրա

Կետերի և տասնորդականների միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն կա:

Եկեք պարզենք, թե ինչպես են կետերը կառուցված կոորդինատային ճառագայթի վրա, որը համապատասխանում է տվյալ տասնորդական կոտորակին:

Մենք կարող ենք վերջավոր տասնորդական կոտորակները և անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակները փոխարինել դրանց հավասար սովորական կոտորակներով, իսկ հետո կոորդինատային ճառագայթի վրա կառուցել համապատասխան սովորական կոտորակները։ Օրինակ, 1.4 տասնորդական կոտորակը համապատասխանում է սովորական կոտորակի 14/10-ին, հետևաբար 1.4 կոորդինատով կետը սկզբից հեռացվում է դրական ուղղությամբ 14 հատվածով, որը հավասար է մեկ հատվածի տասներորդին:

Տասնորդական կոտորակները կարող են նշվել կոորդինատային փնջի վրա՝ սկսած այս տասնորդական կոտորակի թվանշանների ընդլայնումից։ Օրինակ, ենթադրենք, որ պետք է 16.3007 կոորդինատով կետ կառուցենք, քանի որ 16.3007=16+0.3+0.0007, այնուհետև տրված կետկարելի է հասնել սկզբնաղբյուրից 16 միավոր հատվածներ հաջորդաբար դնելով, 3 հատված, որոնց երկարությունը հավասար է միավոր հատվածի տասներորդին, և 7 հատված, որոնց երկարությունը հավասար է միավոր հատվածի տասնհազարերորդ մասի։ .

Կառուցման այս ձևը տասնորդական թվերկոորդինատային ճառագայթի վրա թույլ է տալիս հնարավորինս մոտենալ անսահման տասնորդական կոտորակին համապատասխան կետին:

Երբեմն հնարավոր է ճշգրիտ գծագրել մի կետ, որը համապատասխանում է անսահման տասնորդականին: Օրինակ, , ապա այս անսահման տասնորդական կոտորակը 1,41421... համապատասխանում է կոորդինատային ճառագայթի կետին, որը սկզբից հեռու է 1 միավոր հատված ունեցող կողմ ունեցող քառակուսու անկյունագծի երկարությամբ։

Կոորդինատային փնջի տվյալ կետին համապատասխան տասնորդական կոտորակի ստացման հակառակ գործընթացը այսպես կոչված. հատվածի տասնորդական չափում. Տեսնենք, թե ինչպես է դա արվում։

Թող մեր խնդիրը լինի սկզբնակետից հասնել կոորդինատային գծի տրված կետ (կամ անվերջ մոտենալ դրան, եթե դրան հասնելն անհնար է): Հատվածի տասնորդական չափման միջոցով մենք կարող ենք հաջորդաբար հետաձգել ցանկացած թվով միավոր հատվածներ սկզբնակետից, այնուհետև հատվածները, որոնց երկարությունը հավասար է մեկ հատվածի տասներորդին, այնուհետև հատվածները, որոնց երկարությունը հավասար է մեկ հատվածի հարյուրերորդին և այլն: . Գրելով յուրաքանչյուր երկարության գծագրված հատվածների թիվը՝ ստանում ենք կոորդինատային ճառագայթի տվյալ կետին համապատասխանող տասնորդական կոտորակը։

Օրինակ՝ վերը նշված նկարի M կետին հասնելու համար պետք է առանձնացնել 1 միավոր հատված և 4 հատված, որոնց երկարությունը հավասար է միավորի տասներորդին։ Այսպիսով, M կետը համապատասխանում է 1.4 տասնորդական կոտորակին:

Հասկանալի է, որ կոորդինատային փնջի այն կետերը, որոնց հնարավոր չէ հասնել տասնորդական չափման ժամանակ, համապատասխանում են անսահման տասնորդական կոտորակների։

Մատենագիտություն.

• Մաթեմատիկա: ուսումնասիրություններ. 5 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-րդ հրտ., ջնջված։ - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: հիվանդ. ISBN 5-346-00699-0.
• Մաթեմատիկա.Դասարան 6: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ / [Ն. Յա.Վիլենկին և ուրիշներ]: - 22-րդ հրատ., Վեր. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-00897-2 ։
• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Գուսև Վ. Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.