Ներկայացումների նախադիտումն օգտագործելու համար ստեղծեք Google հաշիվ (հաշիվ) և մուտք գործեք՝ https://accounts.google.com

Սլայդների ենթագրեր.

Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը, 10-րդ դասարան ( պրոֆիլի մակարդակ) Ա.Գ.Մորդկովիչ, Պ.Ե.Սեմենով Ուսուցիչ Վոլկովա Ս.Է.

Սահմանում 1 y = f (x), x ∈ X ֆունկցիան ասում են, որ ունի T պարբերություն, եթե ցանկացած x ∈ X-ի համար f (x - T) = f (x) = f (x + T) հավասարությունը ճիշտ է: Եթե ​​T կետով ֆունկցիան սահմանված է x կետում, ապա այն սահմանվում է նաև x + T, x - T կետերում: Ցանկացած ֆունկցիա ունի կետ, զրո T \u003d 0-ում մենք ստանում ենք f (x - 0) \u003d f (x) \u003d f (x + 0) .

Սահմանում 2 Այն ֆունկցիան, որն ունի ոչ զրոյական T պարբերություն, կոչվում է պարբերական։ Եթե ​​y = f (x), x ∈ X ֆունկցիան ունի T կետ, ապա T-ի ցանկացած բազմապատիկ (այսինքն՝ kT, k ∈ Z ձևի թիվը) նույնպես նրա ժամանակաշրջանն է։

Ապացույց Թող 2T լինի ֆունկցիայի պարբերությունը: Այնուհետև f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f (x - 2T): Նմանապես, ապացուցված է, որ f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) և այլն: Այսպիսով, f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Պարբերական ֆունկցիայի դրական ժամանակաշրջանների մեջ ամենափոքր ժամանակաշրջանը կոչվում է այս ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջան։

Պարբերական ֆունկցիայի գրաֆիկի առանձնահատկությունները Եթե T-ն y \u003d f (x) ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է, ապա բավական է՝ կառուցել գրաֆիկի ճյուղ T երկարության միջակայքներից մեկի վրա, կատարել զուգահեռ: այս ճյուղի փոխանցումը x առանցքի երկայնքով ±T, ±2T, ±3T և այլն: Սովորաբար ընտրեք բացը, որի ծայրերը կետերում են

Հատկություններ պարբերական գործառույթներ 1. Եթե f(x)-ը T պարբերաշրջանով պարբերական ֆունկցիա է, ապա g(x) = A f(kx + b) ֆունկցիան, որտեղ k > 0, նույնպես պարբերական է T 1 = T/k պարբերությամբ: 2. Թող f 1 (x) և f 2 (x) ֆունկցիան սահմանվի ամբողջ իրական առանցքի վրա և լինի պարբերական՝ T 1 > 0 և T 2 >0 պարբերություններով: Այնուհետև, T 1 /T 2 ∈ Q-ի համար f(x) = f(x) + f 2 (x) ֆունկցիան պարբերական ֆունկցիա է, որի ժամանակաշրջանը հավասար է T 1 և T 2 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին:

Օրինակներ 1. Բոլոր իրական թվերի համար սահմանված է y = f(x) պարբերական ֆունկցիան։ Նրա պարբերությունը 3 է, իսկ f(0) =4: Գտե՛ք 2f(3) - f(-3) արտահայտության արժեքը։ Լուծում. T \u003d 3, f (3) \u003d f (0 + 3) \u003d 4, f (-3) \u003d f (0–3) \u003d 4, f (0) \u003d 4. Ստացված արժեքների փոխարինում 2f (3) - f(-3) արտահայտության մեջ մենք ստանում ենք 8 - 4 =4: Պատասխան՝ 4.

Օրինակներ 2. Բոլոր իրական թվերի համար սահմանված է y = f(x) պարբերական ֆունկցիան։ Դրա ժամկետը 5 է, իսկ f(-1) = 1. Գտեք f(-12), եթե 2f(3) - 5f(9) = 9. Լուծում T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Պատասխան՝ 7:

Հղումներ Ա.Գ.Մորդկովիչ, Պ.Վ.Սեմյոնով. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ (պրոֆիլի մակարդակ), 10-րդ դասարան Ա.Գ. Մորդկովիչ, Պ.Վ. Սեմյոնով. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ (պրոֆիլի մակարդակ), 10-րդ դասարան. Գործիքակազմուսուցչի համար

Թեմայի վերաբերյալ՝ մեթոդական մշակումներ, ներկայացումներ և նշումներ

Պարբերական օրենքը և պարբերական համակարգը Դ.Ի. Մենդելեևը.

Այս թեմայով ընդհանուր դասն անցկացվում է խաղի ձևով՝ մանկավարժական սեմինարների տեխնոլոգիայի տարրերի կիրառմամբ։...

Արտադասարանական միջոցառում «Դ.Ի. Մենդելեևի պարբերական օրենքը և քիմիական տարրերի պարբերական համակարգը»

Արտադասարանական միջոցառումը բացահայտում է պարբերական օրենքի և պարբերական համակարգի ստեղծման պատմությունը Դ.Ի. Մենդելեևը. Տեղեկությունը նշված է բանաստեղծական ձև, ինչը նպաստում է արագ անգիրմ...

Դիմում «Պարբերական օրենքը և Դ.Ի. Մենդելեևի քիմիական տարրերի պարբերական համակարգը» արտադասարանական միջոցառմանը

Օրենքի բացահայտմանը նախորդել է երկար ու ինտենսիվ գիտական ​​աշխատանքԴ.Ի. Մենդելեևը 15 տարի, ևս 25 տարի տրվեց դրա հետագա խորացմանը…

Նպատակը` ընդհանրացնել և համակարգել ուսանողների գիտելիքները «Ֆունկցիաների պարբերականությունը» թեմայով; ձևավորել պարբերական ֆունկցիայի հատկությունները կիրառելու, ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը գտնելու, պարբերական ֆունկցիաների գծագրման հմտություններ. խթանել հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության նկատմամբ. զարգացնել դիտողականությունը, ճշգրտությունը.

Սարքավորումներ՝ համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, առաջադրանքների քարտեր, սլայդներ, ժամացույցներ, դեկորատիվ սեղաններ, ժողովրդական արհեստի տարրեր

«Մաթեմատիկան այն է, ինչ մարդիկ օգտագործում են բնությունը և իրենց կառավարելու համար»
Ա.Ն. Կոլմոգորովը

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական փուլ.

Ուսանողների պատրաստակամության ստուգում դասին: Դասի թեմայի և նպատակների ներկայացում.

II. Տնային առաջադրանքների ստուգում.

Մենք ստուգում ենք տնային աշխատանքը ըստ նմուշների, քննարկում ենք ամենադժվար կետերը:

III. Գիտելիքների ընդհանրացում և համակարգում:

1. Բանավոր ճակատային աշխատանք.

Տեսության հարցեր.

1) Ձևավորել ֆունկցիայի ժամանակաշրջանի սահմանումը
2) Ո՞րն է y=sin(x), y=cos(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
3). Ո՞րն է y=tg(x), y=ctg(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
4) Հարաբերությունների ճիշտությունն ապացուցելու համար օգտագործեք շրջանակը.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Ինչպե՞ս գծագրել պարբերական ֆունկցիա:

բանավոր վարժություններ.

1) Ապացուցե՛ք հետևյալ հարաբերությունները

ա) մեղք (740º) = մեղք (20º)
բ) cos(54º) = cos(-1026º)
գ) մեղք (-1000º) = մեղք (80º)

2. Ապացուցե՛ք, որ 540º անկյունը y= cos(2x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

3. Ապացուցե՛ք, որ 360º անկյունը y=tg(x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

4. Այս արտահայտությունները փոխակերպե՛ք այնպես, որ դրանցում ներառված անկյունները բացարձակ արժեքով չգերազանցեն 90º-ը:

ա) tg375º
բ) ctg530º
գ) մեղք1268º
դ) cos(-7363º)

5. Որտե՞ղ եք հանդիպել ՊԵՐԻՈԴ, ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ բառերին:

Ուսանողների պատասխանները. Երկրաբանական ժամանակաշրջանը դարաշրջանի մի մասն է և բաժանվում է դարաշրջանների՝ 35-ից 90 միլիոն տարի տևողությամբ:

Ռադիոակտիվ նյութի կես կյանքը: Պարբերական կոտորակ. Պարբերականները տպագիր հրապարակումներ են, որոնք հայտնվում են խիստ սահմանված ամսաթվերով: Պարբերական համակարգՄենդելեևը.

6. Նկարները ցույց են տալիս պարբերական ֆունկցիաների գրաֆիկների մասերը: Սահմանեք ֆունկցիայի ժամկետը: Որոշեք ֆունկցիայի ժամկետը:

Պատասխանել T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Ձեր կյանքում որտե՞ղ եք հանդիպել կրկնվող տարրերի կառուցմանը:

Աշակերտները պատասխանում են՝ Զարդանախշերի տարրեր, ժողովրդական արվեստ։

IV. Կոլեկտիվ խնդիրների լուծում.

(Խնդիրի լուծում սլայդների վրա):

Դիտարկենք ֆունկցիայի պարբերականության ուսումնասիրության եղանակներից մեկը:

Այս մեթոդը շրջանցում է այն դժվարությունները, որոնք կապված են ապացուցելու, որ այս կամ այն ​​ժամանակաշրջանը ամենափոքրն է, ինչպես նաև կարիք չկա շոշափել պարբերական ֆունկցիաների թվաբանական գործողությունների և բարդ ֆունկցիայի պարբերականության վերաբերյալ հարցեր: Պատճառաբանությունը հիմնված է միայն պարբերական ֆունկցիայի սահմանման վրա և հետևյալ փաստի վրա՝ եթե T ֆունկցիայի պարբերությունն է, ապա nT(n? 0) նրա պարբերությունն է։

Խնդիր 1. Գտե՛ք f(x)=1+3(x+q>5) ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերակը.

Լուծում. Ենթադրենք, որ այս ֆունկցիայի T պարբերությունը։ Այնուհետև f(x+T)=f(x) բոլոր x ∈ D(f) համար, այսինքն.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Թողնենք x=-0,25

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Մենք ստացել ենք, որ դիտարկվող ֆունկցիայի բոլոր ժամանակաշրջանները (եթե դրանք կան) գտնվում են ամբողջ թվերի մեջ: Այս թվերից ընտրի՛ր ամենափոքր դրական թիվը։ այն 1 . Եկեք ստուգենք, արդյոք դա իրականում շրջան է 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Քանի որ (T+1)=(T) ցանկացած T-ի համար, ապա f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), այսինքն. 1 - շրջան զ. Քանի որ 1-ը բոլոր ամբողջ թվերից ամենափոքրն է դրական թվեր, ապա T=1.

Առաջադրանք 2. Ցույց տվեք, որ f(x)=cos 2 (x) ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնական շրջանը:

Առաջադրանք 3. Գտե՛ք ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ենթադրենք ֆունկցիայի T պարբերությունը, ապա ցանկացածի համար Xհարաբերակցությունը

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Եթե ​​x=0 ապա

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Եթե ​​x=-T, ապա

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5 = - մեղք (1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Ավելացնելով, մենք ստանում ենք.

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Զ

Բոլոր «կասկածելի» թվերից ընտրենք ամենափոքր դրականը և ստուգենք՝ արդյոք այն f-ի կետ է։ Այս թիվը

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Այսպիսով, f ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է.

Առաջադրանք 4. Ստուգեք, արդյոք f(x)=sin(x) ֆունկցիան պարբերական է

Թող T լինի f ֆունկցիայի պարբերությունը։ Այնուհետև ցանկացած x-ի համար

մեղք|x+T|=մեղք|x|

Եթե ​​x=0, ապա sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Ենթադրենք. Որ որոշ n-ի համար π n թիվը կետ է

համարվում է π n>0 ֆունկցիան: Ապա sin|π n+x|=sin|x|

Սա ենթադրում է, որ n-ը միաժամանակ պետք է լինի և՛ զույգ, և՛ կենտ, ինչը անհնար է: Ահա թե ինչու տրված գործառույթըպարբերական չէ։

Առաջադրանք 5. Ստուգեք, արդյոք ֆունկցիան պարբերական է

f(x)=

Թող T լինի f կետը, ապա

, հետևաբար sinT=0, T=π n, n € Z. Ենթադրենք, որ որոշ n-ի համար π n թիվը իսկապես տվյալ ֆունկցիայի պարբերաշրջանն է։ Այդ դեպքում 2π n թիվը նույնպես կետ կլինի

Քանի որ համարիչները հավասար են, ուրեմն նրանց հայտարարներն էլ են, ուրեմն

Հետևաբար, f ֆունկցիան պարբերական չէ։

Խմբային աշխատանք.

Առաջադրանքներ 1-ին խմբի համար.

Առաջադրանքներ 2-րդ խմբի համար.

Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնական ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի):

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Առաջադրանքներ 3-րդ խմբի համար.

Աշխատանքի վերջում խմբերը ներկայացնում են իրենց լուծումները։

VI. Ամփոփելով դասը.

Արտացոլում.

Ուսուցիչը ուսանողներին տալիս է գծագրերով բացիկներ և առաջարկում է նկարել առաջին գծագրի մի մասը՝ համապատասխան, թե որքանով են, ինչպես իրենց թվում է, նրանք տիրապետում են ֆունկցիայի պարբերականության ուսումնասիրման մեթոդներին, իսկ երկրորդ գծագրի մի մասը. , դասի աշխատանքին իրենց ներդրմանը համապատասխան։

VII. Տնային աշխատանք

մեկը): Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտեք դրա հիմնական ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի)

բ). f(x)=x 2 -2x+4

գ). f(x)=2tg (3x+5)

2). y=f(x) ֆունկցիան ունի T=2 կետ և f(x)=x 2 +2x x €-ի համար [-2; 0]. Գտե՛ք -2f(-3)-4f(3,5) արտահայտության արժեքը

գրականություն/

1. Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ՝ խորը ուսումնասիրությամբ.
2. Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստում. Էդ. Լիսենկո Ֆ.Ֆ., Կուլաբուխովա Ս.Յու.
3. Շերեմետևա Տ.Գ. , Տարասովա Է.Ա.Հանրահաշիվ և սկզբնական վերլուծություն 10-11-րդ դասարանների համար.

Դիմում թիվ 7

Քաղաքային ուսումնական հաստատություն

միջին հանրակրթական դպրոց № 3

Ուսուցիչ

Կորոտկով

Ասյա Էդիկովնա

Կուրգանինսկ

2008 թ

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Ներածություն …………………………………………………… 2-3

Պարբերական ֆունկցիաները և դրանց հատկությունները ………………. 4-6

Առաջադրանքներ …………………………………………………… 7-14

Ներածություն

Նկատենք, որ ուսումնական և մեթոդական գրականության պարբերականության հետ կապված խնդիրները բարդ ճակատագիր ունեն։ Սա բացատրվում է տարօրինակ ավանդույթով` թույլ տալ այս կամ այն ​​անփութությունը պարբերական գործառույթների սահմանման հարցում, որոնք հանգեցնում են վիճելի որոշումների և քննությունների ժամանակ միջադեպեր հրահրում:

Օրինակ՝ գրքում Բառարանմաթեմատիկական տերմիններ «- M, 1965 թ., տրված է հետևյալ սահմանումը.» պարբերական ֆունկցիա՝ ֆունկցիա.

y = f(x), որի համար կա t > 0 թիվ, որը բոլոր x-ի և x + t-ի համար f(x + t) = f(x) տիրույթից:

Բերենք այս սահմանման սխալ օրինակը: Ըստ այս սահմանման ֆունկցիան պարբերական է t = 2π պարբերությամբ

с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 սահմանման սահմանափակ տիրույթով, որը հակասում է պարբերական ֆունկցիաների մասին ընդհանուր ընդունված տեսակետին։

Նմանատիպ խնդիրներ են ծագում դպրոցի համար նորագույն այլընտրանքային դասագրքերում:

Ա. Ն. Կոլմոգորովի դասագրքում տրված է հետևյալ սահմանումը. «Խոսելով f ֆունկցիայի պարբերականության մասին, ենթադրվում է, որ կա այնպիսի թիվ T ≠ 0, որ D (f) սահմանման տիրույթը յուրաքանչյուր x կետի հետ պարունակում է կետեր, որոնք ստացվում են. x-ը Ox առանցքի երկայնքով (աջ և ձախ) զուգահեռ թարգմանությամբ T հեռավորության վրա: Կանչվում է f ֆունկցիանպարբերական T ≠ 0 ժամանակահատվածով, եթե սահմանման տիրույթից որևէ մեկի համար այս ֆունկցիայի արժեքները x, x - T, x + T կետերում հավասար են, այսինքն. f (x + T) \u003d f (x) \u003d f (x - T) »: Այնուհետև դասագրքում գրված է.

Cos (x + 2π) \u003d Cos x ցանկացած x-ի համար, սինուսը և կոսինուսը 2π պարբերություն ունեցող ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն են:

Չգիտես ինչու, այս օրինակը չի ստուգում, թե ինչ է պահանջվում պայմանի սահմանման մեջ, որ

Sin (x - 2π) \u003d Sin x. Ինչ է պատահել? Բանն այն է, որ այս պայմանն ավելորդ է սահմանման մեջ։ Իսկապես, եթե T > 0 f(x) ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է, ապա T-ն նույնպես կլինի այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը։

Ես ուզում եմ ևս մեկ սահմանում տալ Մ.Ի. Բաշմակովի «Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը 10-11 բջիջներում» դասագրքից: «y \u003d f (x) ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե կա այնպիսի թիվ T ≠ 0, որ հավասարությունը

f(x + T) = f(x)-ը նույնական է x-ի բոլոր արժեքների համար:

Վերոնշյալ սահմանումը ոչինչ չի ասում ֆունկցիայի շրջանակի մասին, թեև սահմանման շրջանակից նշանակում է x, ոչ թե իրական x։ Այս սահմանման համաձայն, y \u003d Sin (√x) ֆունկցիան կարող է պարբերական լինել 2 , սահմանվում է միայն x ≥ 0-ի համար, ինչը ճիշտ չէ:

Միասնական պետական ​​քննությունում առաջադրանքներ կան պարբերականության համար. Գիտական ​​պարբերականներից մեկում, որպես USE-ի C բաժնի ուսուցում, տրվեց խնդրի լուծումը. «է y (x) \u003d Sin ֆունկցիան։ 2 (2 + x) - 2 Sin 2 Sin x Cos (2 + x) պարբերական?

Լուծումը ցույց է տալիս, որ y (x - π) \u003d y (x) պատասխանում - լրացուցիչ մուտք

«T = π» (ի վերջո, ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը գտնելու հարցը չի բարձրացվում): Արդյո՞ք այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է իրականացնել բարդ եռանկյունաչափական ձևավորում: Ի վերջո, այստեղ դուք կարող եք կենտրոնանալ պարբերականության հայեցակարգի վրա, որպես խնդրի պայմանի բանալին:

Լուծում.

f1 (x) \u003d Sin x - T \u003d 2π ժամանակահատվածով պարբերական ֆունկցիա

f2 (x) = Cos x-ը T = 2π ժամանակով պարբերական ֆունկցիա է, ապա 2π-ը ժամանակաշրջան է, իսկ f ֆունկցիաների համար 3(x) = Sin(2+x) և f 4 (x) = Cos (2 + x), (սա բխում է պարբերականության սահմանումից)

f5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, դրա ժամանակաշրջանը ցանկացած թիվ է, ներառյալ 2π:

Որովհետեւ T ընդհանուր պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիաների գումարն ու արտադրյալը նույնպես T-պարբերական է, ապա այս ֆունկցիան պարբերական է։

Հուսով եմ, որ այս աշխատանքում ներկայացված նյութը կօգնի սինգլի պատրաստմանը պետական ​​քննությունՊարբերականության համար խնդիրներ լուծելիս.

Պարբերական ֆունկցիաները և դրանց հատկությունները

Սահմանում. f(t) ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից որևէ t-ի համար:զ կա ω ≠ 0 այնպիսի թիվ, որ.

1) թվեր (t ± ω) є D f ;

2) f(t + ω) = f(t).

1. Եթե ω թիվը = f (t) ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը, ապա kω թիվը, որտեղ k = ±1, ±2, ±3, … նույնպես f(t) ֆունկցիայի պարբերակներ են:

ՕՐԻՆԱԿ f(t) = Սինտ. T = 2π թիվը այս ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանն է։ Թող Տ 1 = 4պ. Ցույց տանք, որ Տ 1 նույնպես այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։

F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.

Այսպիսով, T 1 f (t) = Sin t ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է:

2. Եթե f(t) - ω ֆունկցիան պարբերական ֆունկցիա է, ապա պարբերական են նաև f (at) ֆունկցիաները, որտեղ a є R և f (t + c), որտեղ c-ը կամայական հաստատուն է։

Գտե՛ք f(аt) ֆունկցիայի պարբերությունը։

f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), այսինքն. f (аt) = f (а(t + ω/а).

Հետևաբար f(аt) ֆունկցիայի պարբերությունը՝ ω 1 = ω/ա.

ՕՐԻՆԱԿ 1. Գտե՛ք y = Sin t/2 ֆունկցիայի պարբերությունը:

Օրինակ 2. Գտեք y \u003d Sin ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը (t + π / 3):

Թող f(t) = Sin t; y 0 \u003d Մեղք (t 0 + π / 3):

Այնուհետև f(t) = Sin t ֆունկցիան նույնպես կընդունի y արժեքը 0 համար t = t 0 + π/3:

Նրանք. Բոլոր այն արժեքները, որոնք ընդունում է y ֆունկցիան, նույնպես վերցված են f(t) ֆունկցիայով: Եթե ​​t-ը մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա y-ի յուրաքանչյուր արժեք 0 y ֆունկցիան \u003d Sin (t + π / 3) վերցվում է π / 3 միավոր ժամանակ ավելի շուտ, քան f (t) ֆունկցիան «տեղափոխվել» դեպի ձախ π / 3-ով: Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի ժամկետը սրանից չի փոխվի, այսինքն. Տ y \u003d T 1.

3. Եթե F(x)-ը ինչ-որ ֆունկցիա է, իսկ f(t)-ն այնպիսի պարբերական ֆունկցիա է, որ f(t)-ը պատկանում է F(x) – D ֆունկցիայի տիրույթին:Ֆ , ապա F(f (t)) ֆունկցիան պարբերական ֆունկցիա է։

Թող F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) ցանկացած t є D-ի համարզ.

ՕՐԻՆԱԿ Ուսումնասիրեք պարբերականության ֆունկցիան՝ F(x) = ℓմեղք x .

Այս գործառույթի շրջանակը Դզ համընկնում է իրական թվերի բազմության հետ R. f (x) = Sin x.

Այս ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [-1; մեկ]: Որովհետեւ հատված [-1; 1] պատկանում է Դզ , ապա F(x) ֆունկցիան պարբերական է։

F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x):

2 π-ն այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է:

4. Եթե f 1 (t) եւ f 2 ֆունկցիաները (t) պարբերական, համապատասխանաբար, ω հատվածներով 1 և ω 2 և ω 1 / ω 2 = r, որտեղ r-ը ռացիոնալ թիվ է, ապա ֆունկցիաները

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) և f 1 (t) f 2 (t) պարբերական են (~ 1 և C 2-ը հաստատուններ են):

Նշում. 1) Եթե r = ω 1 /ω 2 = p/q, քանի որ r-ը ռացիոնալ թիվ է, ուրեմն

ω 1 q = ω 2 p = ω, որտեղ ω-ն ω թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է 1 և ω 2 (LCM):

Դիտարկենք C ֆունկցիան 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).

Իրոք, ω = LCM (ω 1, ω 2 ) - այս գործառույթի ժամանակահատվածը

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .

2) ω-ն f ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է 1 (t) f 2 (t), քանի որ

f 1 (t + ω) f 2 (t + ω \u003d f 1 (t + ω 1 q) f 2 (t \u003d ω 2 p) \u003d f 1 (t) f 2 (t):

Սահմանում. Թող զ 1 (t) և f (t)-ը պարբերական ֆունկցիաներ են, համապատասխանաբար, ω 1 և ω 2 , ապա ասվում է, որ երկու ժամանակաշրջան համեմատելի են, եթեω 1 / ω 2 = r-ը ռացիոնալ թիվ է:

3) Եթե ω 1 և ω 2 պարբերությունները համադրելի չեն, ապա ֆունկցիաները զ 1 (t) + f 2 (t) և

f 1 (t) f 2 (t) պարբերական չեն: Այսինքն, եթե զ 1 (t) և f 2 (t) տարբերվում են հաստատունից, պարբերականից, շարունակականից, դրանց ժամանակաշրջանները համաչափ չեն, ապա զ 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) պարբերական չեն:

4) Եկեք f(t) = С, որտեղ С-ը կամայական հաստատուն է: Այս ֆունկցիան պարբերական է։ Դրա ժամանակաշրջանը ցանկացած ռացիոնալ թիվ է, ինչը նշանակում է, որ այն չունի ամենափոքր դրական շրջանը։

5) Հայտարարությունը ճիշտ է նաև ավելինգործառույթները։

Օրինակ 1. Հետազոտել ֆունկցիայի պարբերականությունը

F(x) = Sin x + Cos x:

Լուծում. Թող f 1 (x) = Sin x, ապա ω 1 = 2πk, որտեղ k є Z.

Տ 1 = 2π ամենափոքր դրական շրջանն է:

f 2 (x) \u003d Cos x, T 2 \u003d 2π.

Հարաբերակցությունը T 1 / T 2 = 2π/2π = 1-ը ռացիոնալ թիվ է, այսինքն. ֆունկցիաների ժամանակաշրջանները զ 1 (x) և f 2 (x) համարժեք են: Այսպիսով, այս գործառույթը պարբերական է: Գտնենք դրա ժամանակաշրջանը։ Պարբերական ֆունկցիայի սահմանմամբ ունենք

Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,

Sin (x + T) - Sin x \u003d Cos x - Cos (x + T),

2 Cos 2x + π / 2 Sin T / 2 \u003d 2 Sin 2x + T / 2 Sin T / 2,

Sin T / 2 (Cos T + 2x / 2 - Sin T + 2x / 2) \u003d 0,

√2 Sin T / 2 Sin (π / 4 - T + 2x / 2) \u003d 0, հետևաբար,

Sin T/2 = 0, ապա T = 2πk:

Որովհետեւ (х ± 2πk) є D f , որտեղ f(x) = Sin x + Cos x,

f(х + t) = f(х), ապա f(х) ֆունկցիան պարբերական է նվազագույն դրական պարբերությամբ 2π։

Օրինակ 2. Պարբերական ֆունկցիան f (x) \u003d Cos 2x Sin x է, որքա՞ն է դրա պարբերությունը:

Լուծում. Թող f 1 (x) \u003d Cos 2x, ապա T 1 \u003d 2π: 2 \u003d π (տես 2)

Թող f 2 (x) = Sin x, ապա T 2 = 2պ. Որովհետեւ π/2π = ½-ը ռացիոնալ թիվ է, ապա այս ֆունկցիան պարբերական է: Դրա ժամանակաշրջանը T = LCM

(π, 2π) = 2π.

Այսպիսով, այս ֆունկցիան պարբերական է 2π պարբերությամբ:

5. F(t) ֆունկցիան, որը նույնականորեն հավասար չէ հաստատունին, թող լինի շարունակական և պարբերական, ապա այն ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը ω. 0 , նրա ω-ի ցանկացած այլ ժամանակաշրջան ունի ω ձև= kω 0 , որտեղ k є Z.

Նշում. 1) Այս գույքում շատ կարևոր է երկու պայման.

f(t) շարունակական է, f(t) ≠ C, որտեղ C-ն հաստատուն է:

2) Փոխադարձ պնդումճիշտ չէ. Այսինքն, եթե բոլոր ժամանակաշրջանները համադրելի են, ապա դրանից չի բխում, որ կա ամենափոքր դրական շրջան։ Նրանք. պարբերական ֆունկցիան չի կարող ունենալ ամենափոքր դրական շրջանը:

ՕՐԻՆԱԿ 1. f(t) = C, պարբերական: Դրա ժամանակաշրջանը ցանկացած իրական թիվ է, ամենափոքր ժամանակաշրջան չկա:

Օրինակ 2. Դիրիխլե ֆունկցիա.

D (x) =

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ նրա ժամանակաշրջանն է, ամենափոքր դրական շրջան չկա։

6. Եթե f(t)-ը շարունակական պարբերական ֆունկցիա է և ω 0 նրա ամենափոքր դրական շրջանն է, ապա f(αt + β) ֆունկցիան ունի ամենափոքր դրական պարբերաշրջանը ω 0 /‌/α/. Այս հայտարարությունը բխում է 2-րդ կետից.

Օրինակ 1. Գտեք y \u003d Sin ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը (2x - 5):

Լուծում. y \u003d Մեղք (2x - 5) \u003d Մեղք (2 (x - 5/2)):

y ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է Sin x ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ սկզբում երկու անգամ «սեղմելով», ապա 2.5-ով «տեղափոխվելով» աջ։ «Տեղաշարժը չի ազդում պարբերականության վրա, T = π այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է:

Հեշտ է ստանալ այս ֆունկցիայի ժամկետը՝ օգտագործելով 6-րդ կետի հատկությունը.

T \u003d 2π / 2 \u003d π.

7. Եթե f (t) - ω-ն պարբերական ֆունկցիա է, և այն ունի f "(t) շարունակական ածանցյալ, ապա f" (t) նույնպես պարբերական ֆունկցիա է, T \u003d ω

ՕՐԻՆԱԿ 1. f(t) = Sin t, T = 2πk: Դրա ածանցյալը f "(t) = Cos t

F "(t) \u003d Cos t, T \u003d 2πk, k є Z.

ՕՐԻՆԱԿ 2. f(t) = Cos t, T = 2πk: Դրա ածանցյալը

F "(t) \u003d - Sin t, T \u003d 2πk, k є Z.

Օրինակ 3. f(t) =tg t, նրա պարբերությունը Т = πk է:

F "(t) \u003d 1 / Cos 2 t-ը նաև պարբերական է սեփականության 7-րդ կետով և ունի T = πk պարբերություն: Դրա ամենափոքր դրական շրջանը T = π է:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ.

№ 1

Արդյո՞ք f(t) = Sin t + Sin πt ֆունկցիան պարբերական է:

Լուծում. Համեմատության համար այս խնդիրը լուծում ենք երկու ճանապարհով.

Նախ՝ պարբերական ֆունկցիայի սահմանմամբ։ Ենթադրենք, որ f(t) պարբերական է, ապա ցանկացած t є Dզ ունենք՝

Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,

Sin (t + T) - Sin t \u003d Sin πt - Sin π (t + T),

2 Cos 2t + T/2 Sin T/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2:

Որովհետեւ սա ճիշտ է ցանկացած t є D-ի համարզ , ապա, մասնավորապես, տ 0 , որի դեպքում անհետանում է վերջին հավասարության ձախ կողմը։

Այնուհետև մենք ունենք՝ 1) Cos 2t 0 + T/2 Sin T/2 = 0. Լուծել T-ի նկատմամբ:

Sin Т/2 = 0 at Т = 2 πk, որտեղ k є Z.

2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πТ/2 = 0. Լուծել՝ կապված Т.

Sin πТ/2 = 0, ապա Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, որտեղ n є Z.

Որովհետեւ մենք ունենք ինքնություն, ապա 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, որը չի կարող լինել, քանի որ π իռացիոնալ թիվ է, իսկ n/k-ը ռացիոնալ է: Այսինքն՝ մեր այն ենթադրությունը, որ f(t) ֆունկցիան պարբերական է, ճիշտ չէր։

Երկրորդ, լուծումը շատ ավելի պարզ է, եթե օգտագործենք պարբերական ֆունկցիաների վերը նշված հատկությունները.

Թող f 1 (t) = Sin t, Т 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, Т 2 - 2π/π = 2. Այնուհետեւ, Т 1 /Т 2 = 2π/2 = π իռացիոնալ թիվ է, այսինքն. ժամանակաշրջաններ Թ 1, T 2 համաչափ չեն, ուստի f(t) պարբերական չէ:

Պատասխան՝ ոչ։

№ 2

Ցույց տվեք, որ եթե α-ն իռացիոնալ թիվ է, ապա ֆունկցիան

F(t) = Cos t + Cos αt

պարբերական չէ։

Լուծում. Թող f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt:

Այնուհետեւ նրանց շրջանները համապատասխանաբար Տ 1 \u003d 2π, T 2 = 2π//α/ - ամենափոքր դրական ժամանակաշրջանները: Գտնենք, Տ 1 /Տ 2 = 2π/α//2π = /α/ իռացիոնալ թիվ է: Այսպիսով, Տ 1 և T 2 անհամեմատելի են, իսկ ֆունկցիան

f(t) պարբերական չէ:

№ 3

Գտե՛ք f(t) = Sin 5t ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերակը:

Լուծում. Գույքի 2-րդ կետով մենք ունենք.

f(t) պարբերական է. T = 2π/5:

Պատասխան՝ 2π/5:

№ 4

Արդյո՞ք F(x) = arccos x + arcsin x պարբերական ֆունկցիա է:

Լուծում. Հաշվի առեք այս գործառույթը

F(x) \u003d arccos x + arcsin x \u003d π - arcsin x + arcsin x \u003d π,

դրանք. F(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է (տես հատկության կետ 5, օրինակ 1.):

Պատասխան՝ այո։

№ 5

Պարբերական ֆունկցիա է

F (x) \u003d Sin 2x + Cos 4x + 5?

լուծում. Թող f 1 (x) = Sin 2x, ապա T 1 = π;

F 2 (x) \u003d Cos 4x, ապա T 2 \u003d 2π / 4 \u003d π / 2;

F 3 (x) \u003d 5, T 3 - ցանկացած իրական թիվ, մասնավորապես՝ Տ 3 կարող ենք ենթադրել հավասար Թ 1 կամ T 2 . Այնուհետև այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը T = LCM (π, π/2) = π է: Այսինքն, f(x) պարբերականը Т = π ժամանակաշրջանով:

Պատասխան՝ այո։

№ 6

Արդյո՞ք f(x) = x ֆունկցիան պարբերական է, որտեղ E(x) ֆունկցիան է, որը x արգումենտը կապում է տրվածը չգերազանցող ամենափոքր ամբողջ թվի հետ:

Լուծում. Հաճախ f (x) ֆունկցիան նշանակվում է (x) - x թվի կոտորակային մասը, այսինքն.

F(x) \u003d (x) \u003d x - E (x):

Թող f(х) պարբերական ֆունկցիա լինի, այսինքն. գոյություն ունի T >0 այնպիսի թիվ, որ x - E(x) = x + T - E (x + T): Գրենք այս հավասարումը

(x) + E (x) - E (x) = (x + T) + E (x + T) - E (x + T),

(x) + (x + T) - ճիշտ է D տիրույթից ցանկացած x-ի համարզ, պայմանով, որ T ≠ 0 և T є Z. Դրանցից ամենափոքր դրականը T = 1 է, այսինքն. T = 1 այնպիսին, որ

X + T - E (x + T) \u003d x - E (x),

Ընդ որում, (х ± Тk) є Դ f , որտեղ k є Z.

Պատասխան՝ Այս ֆունկցիան պարբերական է։

№ 7

Արդյո՞ք f(x) = Sin x ֆունկցիան պարբերական է: 2 .

Լուծում. Ասենք f(x) = Sin x 2 պարբերական ֆունկցիա։ Այնուհետև, ըստ պարբերական ֆունկցիայի սահմանման, կա T ≠ 0 այնպիսի թիվ, որ՝ Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 ցանկացած x є D f.

Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 \u003d 0,

2 Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0, ապա

Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 = 0 կամ Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 = 0:

Դիտարկենք առաջին հավասարումը.

Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d 0,

X 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d π (1 + 2 k) / 2 (k є Z),

T \u003d √ π (1 + 2 k) - x 2 - x: (մեկ)

Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը.

Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0,

X + T \u003d √- 2πk + x 2,

T \u003d √x 2 - 2πk - x: (2)

(1) և (2) արտահայտություններից երևում է, որ T-ի հայտնաբերված արժեքները կախված են x-ից, այսինքն. չկա T>0 այնպիսին, որ

Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2

Այս ֆունկցիայի տիրույթից ցանկացած x-ի համար: f(x) պարբերական չէ:

Պատասխան՝ ոչ

№ 8

Հետազոտել f(x) = Cos ֆունկցիայի պարբերականությունը 2 x.

Լուծում. Ներկայացնենք f(x) կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևով

F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x:

Թող f 1 (x) = ½, ապա T 1 - դա կարող է լինել ցանկացած իրական թիվ; զ 2 (x) \u003d ½ Cos 2x-ը պարբերական ֆունկցիա է, քանի որ երկու պարբերական ֆունկցիաների արտադրյալ, որոնք ունեն ընդհանուր ժամանակաշրջանՏ 2 = պի. Այնուհետեւ այս ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը

T \u003d LCM (T 1, T 2) \u003d π.

Այսպիսով, f(x) = Cos ֆունկցիան 2 x – π – պարբերական է:

Պատասխան՝ π պարբերական է:

№ 9

Պարբերական ֆունկցիայի տիրույթը կարո՞ղ է լինել.

Ա) կիսագիծը [a, ∞),

Բ) կտրե՞լ:

Լուծում. Ոչ, քանի որ

Ա) պարբերական ֆունկցիայի սահմանմամբ, եթե х є D f, ապա նաև x ± ω

Պետք է պատկանի գործառույթի շրջանակին: Թող x = a, ապա

X 1 \u003d (a - ω) є [a, ∞);

Բ) թող x = 1, ապա x 1 \u003d (1 + T) є.

№ 10

Պարբերական ֆունկցիան կարո՞ղ է լինել.

Ա) խիստ միապաղաղ;

Բ) նույնիսկ;

Բ) նույնիսկ ոչ:

Լուծում. ա) Թող f(x) պարբերական ֆունկցիան լինի, այսինքն. գոյություն ունի T≠0 այնպիսին, որ D ֆունկցիաների տիրույթից ցանկացած x-ի համարզ ինչ

(x ± T) є D f և f (x ± T) \u003d f (x):

Ուղղեք ցանկացած x 0 º D զ , որովհետեւ f(x) պարբերական է, ապա (x 0 + T) є D f և f (x 0) \u003d f (x 0 + T):

Ենթադրենք, որ f(x)-ը խիստ միատոն է և D սահմանման ողջ տիրույթումզ , օրինակ, ավելանում է։ Այնուհետև ցանկացած x-ի համար աճող ֆունկցիայի սահմանմամբ 1 և x 2 Դ տիրույթիցզ x անհավասարությունից 1 2 հետևում է, որ f(x 1) 2 ) Մասնավորապես, x պայմանից 0 0 + T, հետևում է, որ

F (x 0) 0 +T), որը հակասում է պայմանին.

Սա նշանակում է, որ պարբերական ֆունկցիան չի կարող խիստ միապաղաղ լինել։

բ) Այո, պարբերական ֆունկցիան կարող է լինել զույգ: Բերենք մի քանի օրինակ։

F (x) \u003d Cos x, Cos x \u003d Cos (-x), T \u003d 2π, f (x) հավասար պարբերական ֆունկցիա է:

0, եթե x-ը ռացիոնալ թիվ է.

D (x) =

1, եթե x-ը իռացիոնալ թիվ է:

D(x) = D(-x), D(x) ֆունկցիայի տիրույթը սիմետրիկ է։

Direchlet ֆունկցիան D(x) զույգ պարբերական ֆունկցիա է։

f(x) = (x),

f (-x) \u003d -x - E (-x) \u003d (-x) ≠ (x):

Այս գործառույթը նույնիսկ չէ:

գ) Պարբերական ֆունկցիան կարող է կենտ լինել:

f (x) \u003d Sin x, f (-x) \u003d Sin (-x) \u003d - Sin \u003d - f (x)

f(x)-ը կենտ պարբերական ֆունկցիա է:

f (x) - Sin x Cos x, f (-x) \u003d Sin (-x) Cos (-x) \u003d - Sin x Cos x \u003d - f (x),

f(x)-ը կենտ է և պարբերական:

f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),

f(x)-ը տարօրինակ չէ:

f(х) = tg x-ը կենտ պարբերական ֆունկցիա է:

Պատասխան՝ ոչ; Այո; Այո՛։

№ 11

Քանի՞ զրո կարող է ունենալ պարբերական ֆունկցիան.

մեկ); 2) ամբողջ իրական առանցքի վրա, եթե ֆունկցիայի պարբերությունը հավասար է T.

Լուծում. 1. ա) [a, b] հատվածում պարբերական ֆունկցիան կարող է զրո չունենալ, օրինակ՝ f(x) = C, C≠0; f (x) \u003d Cos x + 2:

բ) [a, b] միջակայքում պարբերական ֆունկցիան կարող է ունենալ անսահման թվով զրոներ, օրինակ՝ Դիրեխլե ֆունկցիան։

0, եթե x-ը ռացիոնալ թիվ է,

D (x) =

1, եթե x-ը իռացիոնալ թիվ է:

գ) [a, b] հատվածի վրա պարբերական ֆունկցիան կարող է ունենալ վերջավոր թվով զրոներ: Գտնենք այս թիվը։

Թող T լինի ֆունկցիայի պարբերությունը։ Նշանակել

X 0 = (min x є(a,b), այնպիսին, որ f(х) = 0):

Այնուհետև [a, b] հատվածի զրոների թիվը՝ N = 1 + E (x-ով 0 / T):

Օրինակ 1. x є [-2, 7π / 2], f (x) \u003d Cos 2 х-ը պարբերական ֆունկցիա է՝ Т = π ժամանակով; X 0 = -π/2; ապա տրված միջակայքում f(x) ֆունկցիայի զրոների թիվը

N \u003d 1 + E (7π / 2 - (-π / 2) / 2) \u003d 1 + E (8π / 2π) \u003d 5.

Օրինակ 2. f (x) \u003d x - E (x), x є [-2; 8.5]: f(х) – պարբերական ֆունկցիա, Т + 1,

x 0 = -2. Ապա տրված հատվածի վրա f(x) ֆունկցիայի զրոների թիվը

N \u003d 1 + E (8,5 - (-2) / 1) \u003d 1 + E (10,5 / 1) \u003d 1 + 10 \u003d 11:

Օրինակ 3. f (x) \u003d Cos x, x є [-3π; π], Տ 0 \u003d 2π, x 0 \u003d - 5π / 2:

Այնուհետեւ այս ֆունկցիայի զրոների թիվը տվյալ հատվածի վրա

N \u003d 1 + E (π - (-5π / 2) / 2π) \u003d 1 + E (7π / 2π) \u003d 1 + 3 \u003d 4.

2. ա) Անսահման թվով զրոներ, քանի որ X 0 є D f և f (х 0 ) = 0, ապա բոլոր թվերի համար

X 0 + Tk, որտեղ k є Z, f (x 0 ± Tk) = f (x 0 ) =0, և x ձևի կետերը 0 ± Tk-ն անսահման բազմություն է;

բ) չունեն զրոներ. եթե f(х) պարբերական է և ցանկացածի համար

х є D f ֆունկցիա f(x) >0 կամ f(x)

F(x) \u003d Sin x +3.6; f(x) = C, C ≠ 0;

F(x) \u003d Sin x - 8 + Cos x;

F(x) = Sin x Cos x + 5:

№ 12

Կարո՞ղ է ոչ պարբերական ֆունկցիաների գումարը պարբերական լինել:

Լուծում. Այո գուցե։ Օրինակ:

1. f1 (х) = х-ն ոչ պարբերական է, f 2 (x) \u003d E (x) - ոչ պարբերական

F (x) \u003d f 1 (x) - f 2 (x) \u003d x - E (x) - պարբերական:

1. f1 (x) \u003d x - ոչ պարբերական, f (x) \u003d Sin x + x - ոչ պարբերական

F (x) \u003d f 2 (x) - f 1 (x) = Sin x - պարբերական:

Պատասխան՝ այո։

№ 13

F(x) և φ(x) ֆունկցիաները T պարբերակներով պարբերական են 1 և T 2 համապատասխանաբար. Արդյո՞ք նրանց արտադրանքը միշտ պարբերական ֆունկցիա է:

Լուծում. Ոչ, միայն այն դեպքում, եթե Տ 1 և T 2 - համեմատելի. Օրինակ,

F(x) \u003d Sin x Sin πx, T 1 \u003d 2π, T 2 \u003d 2; ապա T 1 / T 2 = 2π/2 = π իռացիոնալ թիվ է, ուստի f(х) պարբերական չէ:

f (x) \u003d (x) Cos x \u003d (x - E (x)) Cos x. Թող զ 1 (x) \u003d x - E (x), T 1 \u003d 1;

f 2 (x) \u003d Cos (x), T 2 \u003d 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, ուստի f(x) պարբերական չէ:

Պատասխան՝ ոչ։

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

Գործառույթներից որո՞նք են պարբերական, գտե՛ք կետը:

1. f (x) \u003d Sin 2x, 10. f (x) \u003d Sin x / 2 + tg x,

2. f (x) \u003d Cos x / 2, 11. f (x) \u003d Sin 3x + Cos 4x,

3. f (x) \u003d tg 3x, 12. f (x) \u003d Մեղք 2 x + 1,

4. f(x) = Cos (1 - 2x), 13. f(x) = tg x + ctg√2x,

5. f (x) \u003d Sin x Cos x, 14. f (x) \u003d Sin πx + Cos x,

6. f (x) \u003d ctg x / 3, 15. f (x) \u003d x 2 - E (x 2),

7. f (x) \u003d Sin (3x - π / 4), 16. f (x) \u003d (x - E (x)) 2 ,

8. f (x) \u003d Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f (x) \u003d 2 x - E (x),

9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, եթե n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

Թող f(x) - T լինի պարբերական ֆունկցիա: Գործառույթներից որո՞նք են պարբերական (գտե՛ք T):

1. φ(x) = f(x + λ) պարբերական է, քանի որ Ox առանցքի երկայնքով «տեղաշարժը» չի ազդում ω-ի վրա. դրա ժամանակաշրջանը ω = T.
2. φ(х) = а f(х + λ) + в պարբերական ֆունկցիա է ω = Т պարբերությամբ:
3. φ(x) = f(kx) պարբերական ֆունկցիա է ω = T/k պարբերությամբ:
4. φ(x) \u003d f (ax + b) - պարբերական ֆունկցիա ω \u003d T / a կետով:
5. φ(x) = f(√x) պարբերական չէ, քանի որ դրա սահմանման տիրույթը Դφ = (x/x ≥ 0), մինչդեռ պարբերական ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը չի կարող կիսաառանցք լինել։
6. φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) - 1) պարբերական ֆունկցիա է, քանի որ

φ (x + T) \u003d f (x + T) + 1 / f (x + T) - 1 \u003d φ (x), ω \u003d T.

1. φ (x) \u003d a f 2 (x) + f (x) + c.

Թող φ 1 (x) = a f 2 (x) - պարբերական, ω 1 = t/2;

φ 2 (х) = f(х)-ում – պարբերական, ω 2=T/T=T;

φ 3 (х) = с – պարբերական, ω 3 - ցանկացած թիվ;

ապա ω = LCM(Т/2; Т) = Т, φ(х) պարբերական է:

Հակառակ դեպքում, քանի որ այս ֆունկցիայի տիրույթը ամբողջ թվային գիծն է, այնուհետև f - E ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը f є D ϕ , ուրեմն ֆունկցիան

φ(х) պարբերական է և ω = Т:

1. φ(х) = √φ(х), f(х) ≥ 0:

φ(х) պարբերական է ω = Т ժամկետով, քանի որ ցանկացած x-ի համար f(x) ֆունկցիան ընդունում է f(x) ≥ 0 արժեքները, այսինքն. դրա արժեքների հավաքածուն E f є D φ , որտեղ

Dφ φ(z) = √z ֆունկցիայի սահմանման տիրույթն է:

№ 15

Արդյո՞ք f(x) = x ֆունկցիան 2 պարբերական?

Լուծում. Դիտարկենք x ≥ 0, ապա f(x)-ի համար կա հակադարձ ֆունկցիա √x, ինչը նշանակում է, որ այս միջակայքում f(x) - միատոն ֆունկցիա, ապա այն չի կարող պարբերական լինել (տե՛ս թիվ 10)։

№ 16

Տրվում է բազմանդամ P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ... a n x.

Արդյո՞ք P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է:

Լուծում. 1. Եթե նույնականությունը հաստատուն է, ապա P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է, այսինքն. Եթե i = 0, որտեղ i ≥ 1:

2. Թող P(x) ≠ c, որտեղ c-ն ինչ-որ հաստատուն է: Թող P(x)-ը լինի պարբերական ֆունկցիա, իսկ P(x)-ն ունենա իրական արմատներ, ապա քանի որ P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է, ապա դրանք պետք է լինեն անսահման թվով։ Իսկ հանրահաշվի հիմնարար թեորեմի համաձայն՝ նրանց k թիվն այնպիսին է, որ k ≤ n. Այսպիսով, P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա չէ:

3. Թող P(x) բազմանդամ լինի, որը նույնականորեն ոչ զրոյական է և չունի իրական արմատներ: Ենթադրենք, P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է: Ներկայացնում ենք q(x) = a բազմանդամը 0 , q(х) պարբերական ֆունկցիա է։ Դիտարկենք տարբերությունը P(x) - q(x) = a 1 x 2 + ... + a n x n.

Որովհետեւ հավասարության ձախ կողմում կա պարբերական ֆունկցիա, ապա աջ կողմի ֆունկցիան նույնպես պարբերական է, ընդ որում՝ այն ունի առնվազն մեկ իրական արմատ՝ x \u003d 0: Եթե ​​ֆունկցիան պարբերական է, ապա պետք է լինի անսահման թվով զրո։ Մենք հակասություն ստացանք.

P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա չէ։

№ 17

f(t) – T ֆունկցիան պարբերական է: Արդյո՞ք f ֆունկցիանդեպի (t), որտեղ

k є Z, պարբերական ֆունկցիա, ինչպե՞ս են դրանց ժամանակաշրջանները կապված:

Լուծում. Ապացուցումը կիրականացվի մաթեմատիկական ֆունկցիայի մեթոդով։ Թող

f 1 = f (t), ապա f 2 = f 2 (t) = f (t) f (t),

F 3 \u003d f 3 (t) \u003d f (t) f 2 պարբերական ֆունկցիա է՝ ըստ 4-րդ կետի հատկության։

………………………………………………………………………….

Թող f k-1 = f k-1 (t) պարբերական ֆունկցիա է և դրա ժամանակաշրջանը T k-1 T պարբերությանը համաչափ: Վերջին հավասարության երկու մասերը բազմապատկում ենք f(t)-ով, ստանում ենք f. k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),

F to = f to (t) պարբերական ֆունկցիա է ըստ սեփականության 4 կետի: ω ≤ Т.

№ 18

Թող f(x)-ը լինի կամայական ֆունկցիա, որը սահմանված է .F((x)) ֆունկցիան պարբերակա՞ն է:

A n e t: այո, որովհետև (x) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը պատկանում է f(x) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին, այնուհետև 3-րդ հատկության կետով f((x)) պարբերական ֆունկցիա է, որի ժամանակաշրջանը ω = T = 1:

№ 19

F(x)-ը կամայական ֆունկցիա է, որը սահմանված է [-1; 1], f(sinx) ֆունկցիան պարբերակա՞ն է:

Պատասխան. այո, դրա ժամկետը ω = T = 2π է (ապացույցը նման է #18-ին):

Նպատակը` ընդհանրացնել և համակարգել ուսանողների գիտելիքները «Ֆունկցիաների պարբերականությունը» թեմայով; ձևավորել պարբերական ֆունկցիայի հատկությունները կիրառելու, ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը գտնելու, պարբերական ֆունկցիաների գծագրման հմտություններ. խթանել հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության նկատմամբ. զարգացնել դիտողականությունը, ճշգրտությունը.

Սարքավորումներ՝ համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, առաջադրանքների քարտեր, սլայդներ, ժամացույցներ, դեկորատիվ սեղաններ, ժողովրդական արհեստի տարրեր

«Մաթեմատիկան այն է, ինչ մարդիկ օգտագործում են բնությունը և իրենց կառավարելու համար»
Ա.Ն. Կոլմոգորովը

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական փուլ.

Ուսանողների պատրաստակամության ստուգում դասին: Դասի թեմայի և նպատակների ներկայացում.

II. Տնային առաջադրանքների ստուգում.

Մենք ստուգում ենք տնային աշխատանքը ըստ նմուշների, քննարկում ենք ամենադժվար կետերը:

III. Գիտելիքների ընդհանրացում և համակարգում:

1. Բանավոր ճակատային աշխատանք.

Տեսության հարցեր.

1) Ձևավորել ֆունկցիայի ժամանակաշրջանի սահմանումը
2) Ո՞րն է y=sin(x), y=cos(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
3). Ո՞րն է y=tg(x), y=ctg(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
4) Հարաբերությունների ճիշտությունն ապացուցելու համար օգտագործեք շրջանակը.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Ինչպե՞ս գծագրել պարբերական ֆունկցիա:

բանավոր վարժություններ.

1) Ապացուցե՛ք հետևյալ հարաբերությունները

ա) մեղք (740º) = մեղք (20º)
բ) cos(54º) = cos(-1026º)
գ) մեղք (-1000º) = մեղք (80º)

2. Ապացուցե՛ք, որ 540º անկյունը y= cos(2x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

3. Ապացուցե՛ք, որ 360º անկյունը y=tg(x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

4. Այս արտահայտությունները փոխակերպե՛ք այնպես, որ դրանցում ներառված անկյունները բացարձակ արժեքով չգերազանցեն 90º-ը:

ա) tg375º
բ) ctg530º
գ) մեղք1268º
դ) cos(-7363º)

5. Որտե՞ղ եք հանդիպել ՊԵՐԻՈԴ, ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ բառերին:

Ուսանողների պատասխանները. Երկրաբանական ժամանակաշրջանը դարաշրջանի մի մասն է և բաժանվում է դարաշրջանների՝ 35-ից 90 միլիոն տարի տևողությամբ:

Ռադիոակտիվ նյութի կես կյանքը: Պարբերական կոտորակ. Պարբերականները տպագիր հրապարակումներ են, որոնք հայտնվում են խիստ սահմանված ամսաթվերով: Մենդելեևի պարբերական համակարգը.

6. Նկարները ցույց են տալիս պարբերական ֆունկցիաների գրաֆիկների մասերը: Սահմանեք ֆունկցիայի ժամկետը: Որոշեք ֆունկցիայի ժամկետը:

Պատասխանել T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Ձեր կյանքում որտե՞ղ եք հանդիպել կրկնվող տարրերի կառուցմանը:

Աշակերտները պատասխանում են՝ Զարդանախշերի տարրեր, ժողովրդական արվեստ։

IV. Կոլեկտիվ խնդիրների լուծում.

(Խնդիրի լուծում սլայդների վրա):

Դիտարկենք ֆունկցիայի պարբերականության ուսումնասիրության եղանակներից մեկը:

Այս մեթոդը շրջանցում է այն դժվարությունները, որոնք կապված են ապացուցելու, որ այս կամ այն ​​ժամանակաշրջանը ամենափոքրն է, ինչպես նաև կարիք չկա շոշափել պարբերական ֆունկցիաների թվաբանական գործողությունների և բարդ ֆունկցիայի պարբերականության վերաբերյալ հարցեր: Պատճառաբանությունը հիմնված է միայն պարբերական ֆունկցիայի սահմանման վրա և հետևյալ փաստի վրա՝ եթե T ֆունկցիայի պարբերությունն է, ապա nT(n? 0) նրա պարբերությունն է։

Խնդիր 1. Գտե՛ք f(x)=1+3(x+q>5) ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերակը.

Լուծում. Ենթադրենք, որ այս ֆունկցիայի T պարբերությունը։ Այնուհետև f(x+T)=f(x) բոլոր x ∈ D(f) համար, այսինքն.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Թողնենք x=-0,25

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Մենք ստացել ենք, որ դիտարկվող ֆունկցիայի բոլոր ժամանակաշրջանները (եթե դրանք կան) գտնվում են ամբողջ թվերի մեջ: Այս թվերից ընտրի՛ր ամենափոքր դրական թիվը։ այն 1 . Եկեք ստուգենք, արդյոք դա իրականում շրջան է 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Քանի որ (T+1)=(T) ցանկացած T-ի համար, ապա f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), այսինքն. 1 - շրջան զ. Քանի որ 1-ը բոլոր դրական ամբողջ թվերից ամենափոքրն է, ապա T=1:

Առաջադրանք 2. Ցույց տվեք, որ f(x)=cos 2 (x) ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնական շրջանը:

Առաջադրանք 3. Գտե՛ք ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ենթադրենք ֆունկցիայի T պարբերությունը, ապա ցանկացածի համար Xհարաբերակցությունը

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Եթե ​​x=0 ապա

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Եթե ​​x=-T, ապա

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5 = - մեղք (1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Ավելացնելով, մենք ստանում ենք.

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Զ

Բոլոր «կասկածելի» թվերից ընտրենք ամենափոքր դրականը և ստուգենք՝ արդյոք այն f-ի կետ է։ Այս թիվը

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Այսպիսով, f ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է.

Առաջադրանք 4. Ստուգեք, արդյոք f(x)=sin(x) ֆունկցիան պարբերական է

Թող T լինի f ֆունկցիայի պարբերությունը։ Այնուհետև ցանկացած x-ի համար

մեղք|x+T|=մեղք|x|

Եթե ​​x=0, ապա sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Ենթադրենք. Որ որոշ n-ի համար π n թիվը կետ է

համարվում է π n>0 ֆունկցիան: Ապա sin|π n+x|=sin|x|

Սա ենթադրում է, որ n-ը միաժամանակ պետք է լինի և՛ զույգ, և՛ կենտ, ինչը անհնար է: Հետեւաբար, այս գործառույթը պարբերական չէ:

Առաջադրանք 5. Ստուգեք, արդյոք ֆունկցիան պարբերական է

f(x)=

Թող T լինի f կետը, ապա

, հետևաբար sinT=0, T=π n, n € Z. Ենթադրենք, որ որոշ n-ի համար π n թիվը իսկապես տվյալ ֆունկցիայի պարբերաշրջանն է։ Այդ դեպքում 2π n թիվը նույնպես կետ կլինի

Քանի որ համարիչները հավասար են, ուրեմն նրանց հայտարարներն էլ են, ուրեմն

Հետևաբար, f ֆունկցիան պարբերական չէ։

Խմբային աշխատանք.

Առաջադրանքներ 1-ին խմբի համար.

Առաջադրանքներ 2-րդ խմբի համար.

Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնական ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի):

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Առաջադրանքներ 3-րդ խմբի համար.

Աշխատանքի վերջում խմբերը ներկայացնում են իրենց լուծումները։

VI. Ամփոփելով դասը.

Արտացոլում.

Ուսուցիչը ուսանողներին տալիս է գծագրերով բացիկներ և առաջարկում է նկարել առաջին գծագրի մի մասը՝ համապատասխան, թե որքանով են, ինչպես իրենց թվում է, նրանք տիրապետում են ֆունկցիայի պարբերականության ուսումնասիրման մեթոդներին, իսկ երկրորդ գծագրի մի մասը. , դասի աշխատանքին իրենց ներդրմանը համապատասխան։

VII. Տնային աշխատանք

մեկը): Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտեք դրա հիմնական ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի)

բ). f(x)=x 2 -2x+4

գ). f(x)=2tg (3x+5)

2). y=f(x) ֆունկցիան ունի T=2 կետ և f(x)=x 2 +2x x €-ի համար [-2; 0]. Գտե՛ք -2f(-3)-4f(3,5) արտահայտության արժեքը

գրականություն/

1. Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ՝ խորը ուսումնասիրությամբ.
2. Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստում. Էդ. Լիսենկո Ֆ.Ֆ., Կուլաբուխովա Ս.Յու.
3. Շերեմետևա Տ.Գ. , Տարասովա Է.Ա.Հանրահաշիվ և սկզբնական վերլուծություն 10-11-րդ դասարանների համար.

ՀԱՐՄՈՆԻԿ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ

Ներածություն.

Ժամանակակից զարգացումՏեխնոլոգիաները մեծ պահանջներ են ներկայացնում ինժեներների մաթեմատիկական վերապատրաստման համար: Մեխանիկայի և ֆիզիկայի մի շարք կոնկրետ խնդիրների ձևակերպման և ուսումնասիրության արդյունքում առաջացել է եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունը։ Տատանումների տեսության և սպեկտրային վերլուծության տեսության վրա հիմնված տեխնոլոգիայի բոլոր ոլորտներում Ֆուրիեի շարքերը խաղում են ամենակարևոր դերը։ Օրինակ, տվյալների փոխանցման համակարգերում ազդանշանները նկարագրելու համար գործնական օգտագործումՍպեկտրային ներկայացումները մշտապես հանգեցնում են Ֆուրիեի ընդլայնման փորձարարական իրականացման անհրաժեշտությանը: Եռանկյունաչափական շարքերի դերը էլեկտրատեխնիկայում հատկապես մեծ է պարբերական ոչ սինուսոիդային հոսանքների ուսումնասիրության մեջ. ֆունկցիայի ամպլիտուդային սպեկտրը հայտնաբերվում է բարդ ձևով Ֆուրիեի շարքի միջոցով: Ֆուրիեի ինտեգրալն օգտագործվում է ոչ պարբերական գործընթացները ներկայացնելու համար։

Եռանկյունաչափական շարքերը կարևոր կիրառություններ ունեն մաթեմատիկայի բազմաթիվ ճյուղերում և ապահովում են հատկապես հարմար մեթոդներ մաթեմատիկական ֆիզիկայի դժվար խնդիրների լուծման համար, ինչպիսիք են պարանի թրթռումը և ջերմության տարածումը ձողում:

Պարբերական ֆունկցիաներ.

Գիտության և տեխնիկայի բազմաթիվ խնդիրներ կապված են պարբերական ֆունկցիաների հետ, որոնք արտացոլում են ցիկլային գործընթացները։

Սահմանում 1.Պարբերական երևույթները կոչվում են այն երևույթները, որոնք կրկնվում են նույն հաջորդականությամբ և նույն ձևով փաստարկի որոշակի ընդմիջումներով։

Օրինակ. Սպեկտրային անալիզում՝ սպեկտրներ։

Սահմանում 2.Գործառույթ ժամը = զ(x) կոչվում է ժամանակաշրջանով պարբերական Տ, եթե զ(x + T) = զ(x) բոլորի համար Xև x + Tֆունկցիայի շրջանակից։

Նկարում՝ պատկերված ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը Տ = 2.

Սահմանում 3.Ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը կոչվում է հիմնական ժամանակաշրջան։

Այնտեղ, որտեղ պետք է գործ ունենալ պարբերական երևույթների հետ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաները գրեթե միշտ հանդիպում են:

Գործառույթի ժամանակահատվածը հավասար է ֆունկցիաների ժամանակաշրջանին հավասար է.

Ժամանակաշրջան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներփաստարկով ( Օ՜) հայտնաբերվում է բանաձևով.

.

Օրինակ.Գտեք գործառույթների հիմնական ժամանակաշրջանը 1) .

Լուծում. 1) . 2) .

Լեմմա.Եթե զ(x) ունի շրջան Տ, ապա այս ֆունկցիայի ինտեգրալը՝ վերցված տարբեր սահմաններում Տ, կախված չէ ինտեգրման ստորին սահմանի ընտրությունից, այսինքն. = .

Դժվարի հիմնական շրջանըպարբերական ֆունկցիա ժամը = զ(x) (կազմված է պարբերական ֆունկցիաների գումարից) բաղկացուցիչ ֆունկցիաների ժամանակաշրջանների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։

Այսինքն, եթե զ(x) = զ 1 (x) + զ 2 (x), Տ 1 - ֆունկցիոնալ ժամանակահատված զ 1 (x), Տ 2 - ֆունկցիոնալ ժամանակահատված զ 2 (x), ապա ամենափոքր դրական շրջանը Տպետք է բավարարի պայմանը.

Տ = nt 1 + կՏ 2, որտեղ(*) –