Նորմալ վեկտորները այն վեկտորները չեն, որոնք լավ են աշխատում կամ լավ են զգում: Ըստ սահմանման՝ հարթությանը նորմալ վեկտորը (նորմալ) տվյալ հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր է։

Այլ կերպ ասած՝ նորմալը տվյալ հարթության ցանկացած վեկտորի ուղղահայաց վեկտորն է։ Դուք, անշուշտ, հանդիպել եք նման սահմանման, սակայն վեկտորների փոխարեն խոսքը ուղիղ գծերի մասին էր։ Այնուամենայնիվ, հենց վերևում ցույց տրվեց, որ C2 խնդրի դեպքում կարելի է գործել ցանկացած հարմար օբյեկտի հետ՝ նույնիսկ ուղիղ գծի, նույնիսկ վեկտորի հետ:

Եվս մեկ անգամ հիշեցնեմ, որ ցանկացած հարթություն տարածության մեջ սահմանվում է Ax + By + Cz + D = 0 հավասարմամբ, որտեղ A, B, C և D որոշ գործակիցներ են։ Չնվազեցնելով լուծման ընդհանուրությունը, մենք կարող ենք ենթադրել D = 1, եթե հարթությունը չի անցնում սկզբնակետով, կամ D = 0, եթե այն անցնում է: Ամեն դեպքում, այս հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են n = (A; B; C):

Այսպիսով, ինքնաթիռը կարող է նաև հաջողությամբ փոխարինվել վեկտորով` նույն նորմալը: Ցանկացած հարթություն տարածության մեջ սահմանվում է երեք կետով: Ինչպես գտնել հարթության հավասարումը (և հետևաբար՝ նորմալ), մենք արդեն քննարկել ենք հոդվածի հենց սկզբում: Այնուամենայնիվ, այս գործընթացը շատերի համար խնդիրներ է առաջացնում, ուստի ևս մի քանի օրինակ բերեմ.

· Առաջադրանք . A 1 BC 1 հատվածը գծված է ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 խորանարդի մեջ: Գտե՛ք այս հատվածի հարթության նորմալ վեկտորը, եթե սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, և x, y և z առանցքները համընկնում են համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 եզրերի հետ։

Լուծում. Քանի որ ինքնաթիռը չի անցնում սկզբնաղբյուրով, դրա հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը՝ Ax + By + Cz + 1 = 0, այսինքն. գործակից D \u003d 1. Քանի որ այս հարթությունն անցնում է A 1, B և C 1 կետերով, այդ կետերի կոորդինատները հարթության հավասարումը վերածում են ճիշտ թվային հավասարության:

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Նմանապես, B = (1; 0; 0) և C 1 = (1; 1; 1) կետերի համար մենք ստանում ենք հավասարումներ.
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Բայց A = − 1 և C = − 1 գործակիցները մեզ արդեն հայտնի են, ուստի մնում է գտնել B գործակիցը.
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1:

Մենք ստանում ենք հարթության հավասարումը. - A + B - C + 1 = 0, հետևաբար, նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են n = (- 1; 1; - 1):

Պատասխանել n = (− 1; 1; − 1)

· Առաջադրանք . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 խորանարդում գծված է AA 1 C 1 C հատվածը: Գտե՛ք այս հատվածի հարթության նորմալ վեկտորը, եթե սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, և x, y և z առանցքները համընկնում են եզրերը համապատասխանաբար AB, AD և AA 1:

Լուծում. AT այս դեպքըինքնաթիռն անցնում է սկզբնակետով, ուստի գործակիցը D \u003d 0, իսկ հարթության հավասարումը հետևյալն է. Ax + By + Cz \u003d 0: Քանի որ ինքնաթիռն անցնում է A 1 և C կետերով, այդ կետերի կոորդինատները հարթության հավասարումը վերածել ճիշտ թվային հավասարության.

Փոխարինենք A կետի կոորդինատները x, y և z-ի փոխարեն 1 = (0; 0; 1): Մենք ունենք:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Նմանապես, C = (1; 1; 0) կետի համար մենք ստանում ենք հավասարումը.
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Թող B = 1. Այնուհետև A = − B = − 1, և ամբողջ հարթության հավասարումը հետևյալն է.

Պատասխանել n = (− 1; 1; 0)

Ընդհանուր առմամբ վերը նշված խնդիրներում անհրաժեշտ է կազմել հավասարումների համակարգ և լուծել այն։ Կլինեն երեք հավասարումներ և երեք փոփոխականներ, բայց երկրորդ դեպքում դրանցից մեկը կլինի ազատ, այսինքն. վերցնել կամայական արժեքներ. Ահա թե ինչու մենք իրավունք ունենք դնելու B = 1 - առանց հակազդելու լուծման ընդհանրությանը և պատասխանի ճիշտությանը:

Տիպիկ վեկտոր Ինքնաթիռ(կամ նորմալ Ինքնաթիռ) կոչվում է տրվածին ուղղահայաց վեկտոր Ինքնաթիռ. Հարթությունը սահմանելու մեթոդներից մեկը նրա նորմալի կոորդինատները և վրա ընկած կետը նշելն է. Ինքնաթիռ. Եթե ​​հարթությունը տրված է Ax+By+Cz+D=0 հավասարմամբ, ապա դրա համար բնորոշ է (A;B;C) կոորդինատներով վեկտորը։ Այլ դեպքերում որոշակի աշխատանք կպահանջվի բնորոշ վեկտորը հաշվարկելու համար:

Հրահանգ

1. Թող հարթությունը տրվի իրեն պատկանող K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp) երեք կետերով: Տիպիկ վեկտոր գտնելու համար մենք դրա համար կձևակերպենք հավասարում Ինքնաթիռ. Նշեք կամայական կետ, որի վրա ընկած է Ինքնաթիռ, L տառը, թող ունենա կոորդինատներ (x; y; z): Այժմ հաշվի առեք երեք վեկտորներ PK, PM և PL, դրանք նույնն են Ինքնաթիռ(համակողմանի), ուստի նրանց խառը արտադրյալը զրո է։

2. Հայտնաբերել PK, PM և PL վեկտորների կոորդինատները՝ PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)PL = (x-xp;y-yp z-zp) Այս վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար կլինի նկարում ներկայացված որոշիչին: Այս որոշիչը պետք է հաշվարկվի, որպեսզի գտնենք դրա հավասարումը Ինքնաթիռ. Կոնկրետ դեպքի համար խառը արտադրանքի հաշվարկի համար տե՛ս օրինակը:

3. Օրինակ Թող հարթությունը սահմանվի երեք K(2;1;-2), M(0;0;-1) և P(1;8;1) կետերով: Պահանջվում է գտնել բնորոշ վեկտոր ԻնքնաթիռՎերցրեք կամայական L կետը կոորդինատներով (x;y;z): Հաշվարկել PK, PM և PL վեկտորները՝ PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)PL = (x-1;y-8;z-1) Կազմե՛ք վեկտորների խառը արտադրյալի որոշիչը (նկարում է):

4. Այժմ ընդլայնեք որոշիչը առաջին տողի երկայնքով և դրանից հետո հաշվարկեք 2-ի չափի որոշիչների արժեքները 2-ով: Այսպիսով, հավասարումը Ինքնաթիռ-10x + 5y - 15z - 15 \u003d 0 կամ, որը նույնն է, -2x + y - 3z - 3 \u003d 0: Այստեղից հեշտ է որոշել նորմալ վեկտորը Ինքնաթիռ n = (-2;1;-3):

Նախքան առաջադրված հարցին պատասխանելը, անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչպիսի նորմալ պետք է փնտրել: Այս դեպքում, մոտավորապես, խնդրի մեջ դիտարկվում է որոշակի մակերես։

Հրահանգ

1. Խնդիրը լուծելիս պետք է հիշել, որ մակերեսի նորմալը սահմանվում է որպես շոշափող հարթության նորմալ: Դրա հիման վրա կընտրվի լուծման մեթոդաբանությունը։

2. 2 փոփոխականներից բաղկացած ֆունկցիայի գրաֆիկը z=f(x, y)=z(x, y) մակերես է տարածության մեջ։ Այսպիսով, այն հաճախ հարցնում են բոլորը. Առաջին հերթին պետք է գտնել Մ0(x0, y0, z0) ինչ-որ կետի մակերեսին շոշափող հարթությունը, որտեղ z0=z(x0, y0):

3. Դա անելու համար պետք է հիշել, որ մեկ արգումենտի ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական իմաստը ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի անկյունային ցուցիչն է այն կետում, որտեղ y0=f(x0): 2 արգումենտի ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները հայտնաբերվում են «ավելորդ» արգումենտը ճիշտ ամրագրելով այնպես, ինչպես սովորական ֆունկցիաների ածանցյալները։ Սա նշանակում է, որ մասնակի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը z=z(x, y) ֆունկցիայի x-ի նկատմամբ (x0,y0) կետում այն ​​է, որ նրա անկյունային ցուցիչը հավասար է խաչմերուկից գոյացած շեղին շոշափողին։ մակերեսի և հարթության y=y0 (տե՛ս նկ. 1):

4. Տվյալները արտացոլված են նկ. 1-ը թույլ է տալիս եզրակացնել, որ y=y0 հատվածում М0(xo, y0, z0) կետը պարունակող z=z(x, y) մակերեսին շոշափողի հավասարումը: m(x-x0)=(z): -z0), y =y0: Կանոնական ձևով թույլատրվում է գրել՝ (x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0։ Նշանակում է ուղղորդել վեկտորայս շոշափողը s1 (1/մ, 0, 1):

5. Այժմ, եթե y-ի նկատմամբ մասնակի ածանցյալի շոշափողի անկյունային ցուցիչը նշանակվում է n-ով, ապա միանգամայն տեսանելի է, որ, ինչպես նախորդ արտահայտությունը, դա կհանգեցնի (y-y0)/(1/n)=-ին: (z-z0), x=x0 և s2( 0, 1/n, 1):

6. Այնուհետև, լուծույթի շարժումը շոշափողի հարթության հավասարման որոնման ձևով թույլատրվում է կանգ առնել և անկաշկանդ գնալ դեպի ցանկալի նորմալ n: Դուք կարող եք ստանալ այն որպես վեկտորնոր արտադրանք n=. Հաշվարկելով այն կպարզվի, որ ին տրված կետմակերեսներ (x0, y0, z0): n=(-1/n, -1/m, 1/mn):

7. Որովհետև ամեն համամասնական վեկտորկմնա նույնպես վեկտորնորմալի օմ, ավելի հարմար է արդյունքը ներկայացնել որպես n=(-n, -m, 1) և վերջապես n(dz/dx, dz/dx, -1):

Առնչվող տեսանյութեր

Նշում!
Բաց մակերեսը երկու կողմ ունի. Այս դեպքում արդյունքը տրվում է «վերին» կողմի համար, որտեղ նորմալ ձեւավորվում է սուր անկյուն 0Z առանցքով:

Համար վեկտորներԱշխատանքի երկու ներկայացում կա. Դրանցից մեկը սկալյար է աշխատանք, մյուսը վեկտոր է։ Այս ներկայացումներից յուրաքանչյուրն ունի իր մաթեմատիկական և ֆիզիկական իմաստը և հաշվարկվում է բոլորովին այլ կերպ:

Հրահանգ

1. Դիտարկենք երկու վեկտոր եռաչափ տարածության մեջ: Վեկտոր a կոորդինատներով (xa; ya; za) և վեկտոր b կոորդինատներով (xb; yb; zb): սկալյար աշխատանք վեկտորներ a-ն և b-ը նշանակվում են (a,b)-ով: Այն հաշվարկվում է բանաձևով. աշխատանքկոորդինատներով՝ (a,b) = xa*xb + ya*yb + za*zb: Կա նաև վեկտորի սկալյար քառակուսու ներկայացում, սա սկալյարն է աշխատանքվեկտոր իր վրա. (a,a) = |a|² կամ կոորդինատներով (a,a) = xa² + ya² + za²: Սկալյար աշխատանք վեկտորներտեղանքը բնութագրող թիվ է վեկտորներմիմյանց նկատմամբ: Հաճախ այն օգտագործվում է վեկտորների միջև անկյունը հաշվարկելու համար:

2. վեկտոր աշխատանք վեկտորներնշված է. Խաչաձև արտադրանքի արդյունքում ստացվում է վեկտոր, որը ուղղահայաց է երկու գործոնային վեկտորներին, և այս վեկտորի երկարությունը հավասար է գործոնային վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի տարածքին: Ընդ որում, երեք վեկտորներ a, b և կազմում են այսպես կոչված ճիշտ եռյակը վեկտորներ.Վեկտորի երկարությունը = |a|*|b|*sinα, որտեղ α-ն անկյունն է a և b վեկտորների միջև:

Առնչվող տեսանյութեր

Գծային հանրահաշիվում և երկրաչափության մեջ՝ ներկայացումը վեկտորտարբեր կերպ է սահմանվում: Հանրահաշվում վեկտոր ohm-ը տարրի անունն է վեկտորոտքի տարածություն. Նույն երկրաչափության մեջ վեկտոր om-ը էվկլիդեսյան տարածության դասավորված զույգ միավոր է՝ ուղղորդված հատված: Վերևում վեկտորմենք սահմանել ենք գծային գործողություններ՝ գումարում վեկտոր ov և բազմապատկում վեկտորբայց որոշ թվի համար:

Հրահանգ

1. Եռանկյունի կանոն 2-ի գումարը վեկտոր ov a և o են կոչվում վեկտոր, որի առաջաբանը համընկնում է սկզբի հետ վեկտորա ա, իսկ վերջը վերջում է վեկտորա ո, մինչդեռ նախաբանը վեկտորև o համապատասխանում է ավարտին վեկտորա. Այս գումարի կառուցվածքը ներկայացված է նկարում:

2. Զուգահեռագծի կանոն Թող վեկտոր s a-ն և o-ն ունեն ընդհանուր նախաբան. Սրանք լրացնենք վեկտոր s դեպի զուգահեռագիծ: Հետո գումարը վեկտոր ovs a-ն և o-ն համընկնում են սկզբնաղբյուրից բխող զուգահեռագծի անկյունագծի հետ վեկտոր ov ա և օ.

3. Գումարը ավելին վեկտոր ov-ը կարելի է հայտնաբերել՝ դրանց նկատմամբ եռանկյունի կանոնը քայլ առ քայլ կիրառելով: Նկարը ցույց է տալիս չորսի գումարը վեկտոր ov.

4. աշխատանք վեկտորիսկ ա թվի համար? կոչվում է այնպիսի թիվ, որ |?ա| = |?| *|ա|. Ստացվում է թվով բազմապատկելով վեկտորսկզբնականին զուգահեռ վեկտոր y կամ գտնվում է դրա հետ նույն ուղիղ գծի վրա: Եթե> 0, ապա վեկտոր s a-ն և?a-ն միակողմանի են, եթե.<0, то վեկտորա և՞ ա-ն ուղղված են տարբեր ուղղություններով։

Առնչվող տեսանյութեր

Վեկտորը, որպես ուղղորդված հատված, կախված է ոչ միայն բացարձակ արժեքից (մոդուլից), որը հավասար է իր երկարությանը։ Մեկ այլ հիմնական համադրում է վեկտորի ուղղությունը: Այն կարող է սահմանվել ինչպես կոորդինատներով, այնպես էլ վեկտորի և կոորդինատային առանցքի միջև եղած անկյան տակ։ Վեկտորի հաշվարկը կատարվում է նաև վեկտորների գումարը և տարբերությունը գտնելիս։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - վեկտորի սահմանում;
• - վեկտորների հատկություններ;
• - հաշվիչ;
• - Bradis սեղան կամ համակարգիչ:

Հրահանգ

1. Հաշվիր վեկտորը, հնարավոր է իմանալ դրա կոորդինատները: Դա անելու համար որոշեք վեկտորի սկզբի և վերջի կոորդինատները: Թող դրանք հավասար լինեն (x1;y1) և (x2;y2): Վեկտորը հաշվարկելու համար գտե՛ք նրա կոորդինատները։ Դա անելու համար վեկտորի վերջի կոորդինատներից հանեք դրա սկզբի կոորդինատները։ Դրանք հավասար կլինեն (x2-x1;y2-y1): Վերցրեք x= x2- x1; y= y2-y1, ապա վեկտորի կոորդինատները հավասար կլինեն (x;y):

2. Որոշեք վեկտորի երկարությունը: Դա կարելի է հեշտությամբ անել՝ չափելով այն քանոնով։ Բայց եթե գիտեք վեկտորի կոորդինատները, հաշվարկեք երկարությունը։ Դա անելու համար գտե՛ք վեկտորի կոորդինատների քառակուսիների գումարը և ստացված թվից հանե՛ք քառակուսի արմատը։ Այդ դեպքում վեկտորի երկարությունը հավասար կլինի d=?(x?+y?):

3. Հետագայում հայտնաբերեք վեկտորի ուղղությունը: Դա անելու համար որոշեք անկյունը: դրա և x առանցքի միջև: Այս անկյան շոշափողը հավասար է վեկտորի y կոորդինատի և x կոորդինատի հարաբերությունին (tg ?= y/x): Անկյունը գտնելու համար օգտագործեք արկտանգենս ֆունկցիան հաշվիչում, Բրադիսի աղյուսակում կամ ԱՀ-ում: Իմանալով վեկտորի երկարությունը և նրա ուղղությունը առանցքի նկատմամբ՝ հնարավոր է գտնել ցանկացած վեկտորի գտնվելու վայրը։

4. Օրինակ. վեկտորի սկզբի կոորդինատներն են (-3;5), իսկ վերջի կոորդինատները (1;7): Գտե՛ք վեկտորի կոորդինատները (1-(-3);7-5)=(4;2): Այնուհետև դրա երկարությունը կլինի d=?(4?+2?)=?20?4,47 գծային միավոր։ Վեկտորի և OX առանցքի անկյան շոշափողը կլինի tg ?=2/4=0.5: Այս անկյան աղեղային շոշափողը կլորացված է մինչև 26,6?:

5. Գտեք վեկտոր, որը 2 վեկտորի գումարն է, որոնց կոորդինատները հայտնի են: Դա անելու համար ավելացրեք գումարվող վեկտորների համապատասխան կոորդինատները: Եթե ​​գումարվող վեկտորների կոորդինատները համապատասխանաբար (x1;y1) և (x2;y2) են, ապա դրանց գումարը հավասար կլինի ((x1+x2;y1+y2) կոորդինատներով վեկտորին: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել 2 վեկտորի տարբերությունը, ապա գտե՛ք գումարը՝ նախօրոք բազմապատկելով վեկտորի կոորդինատները, որը հանվում է -1-ով։

6. Հաշվի առնելով d1 և d2 վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը, գտե՛ք դրանց գումարը՝ օգտագործելով կոսինուսների թեորեմը: Դա անելու համար գտե՛ք վեկտորների երկարությունների քառակուսիների գումարը և ստացված թվից երկու անգամ հանե՛ք այս երկարությունների արտադրյալը՝ բազմապատկված նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսով։ Վերցրեք ստացված թվի քառակուսի արմատը: Սա կլինի վեկտորի երկարությունը, որը 2 տրված վեկտորների գումարն է (d=?(d1?+d2?-d1?d2?Cos(?)):

Որոնման առաջադրանք վեկտոր նորմալներՈւղիղ գիծը հարթության վրա և հարթությունը տիեզերքում չափազանց պարզունակ է: Իրականում այն ​​ավարտվում է ուղիղ գծի կամ հարթության ընդհանուր հավասարումների գրանցմամբ։ Այն փաստից, որ յուրաքանչյուրի հարթության վրա կորը տիեզերքում մակերեսի միայն հատուկ դեպք է, ապա կքննարկվեն մակերեսի նորմալները:

Հրահանգ

1. 1-ին մեթոդ Այս մեթոդը ամենապրիմիտիվն է, սակայն դրա ըմբռնումը պահանջում է սկալյար դաշտը ներկայացնելու կարողություն: Սակայն այս հարցում նույնիսկ անփորձ ընթերցողը կկարողանա կիրառել այս թողարկման արդյունքում ստացված բանաձեւերը։

2. Հայտնի է, որ f սկալյար դաշտը սահմանվում է որպես f=f(x, y, z), իսկ ցանկացած մակերես շերտի մակերեսն է f(x, y, z)=C (C=const): Բացի այդ, շերտի մակերեսի նորմալը համընկնում է տվյալ կետում սկալյար դաշտի գրադիենտի հետ։

3. Սկալյար դաշտի գրադիենտը (3 փոփոխականի ֆունկցիա) վեկտորն է g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz): Քանի որ երկարությունը նորմալներնշանակություն չունի, մնում է միայն արձանագրել արդյունքը։ Մակերեւույթ նորմալ f(x, y, z)-C=0 M0(x0, y0, z0) կետում n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df / ձ):

4. Մեթոդ 2 Թող մակերեսը տրվի F(x, y, z)=0 հավասարմամբ: Որպեսզի հետագայում թույլատրվի անալոգիաներ անել առաջին մեթոդի հետ, պետք է համարել, որ շարունակականի ածանցյալը հավասար է զրոյի, իսկ F-ն տրված է որպես f(x, y, z)-C=0 (C. =կոնստ): Եթե ​​այս մակերեսի մի հատվածը գծենք կամայական հարթությամբ, ապա ստացված տարածական կորը կարելի է համարել որոշ վեկտորային ֆունկցիայի հոդոգրաֆ r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t): Այնուհետեւ ածանցյալը վեկտոր r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t)-ը շոշափելիորեն ուղղված է մակերեսի M0(x0, y0, z0) ինչ-որ կետի (տես նկ. 1):

5. Շփոթությունից խուսափելու համար շոշափող գծի ընթացիկ կոորդինատները պետք է նշել, ասենք, շեղատառերով (x, y, z): Շոշափող ուղիղի կանոնական հավասարումը, հաշվի առնելով, որ r'(t0) ուղղության վեկտոր է, գրված է որպես (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0) )/dt )= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt):

6. Փոխարինելով վեկտորի ֆունկցիայի կոորդինատները f(x, y, z)-C=0 մակերևույթի հավասարման մեջ և տարբերելով t-ի նկատմամբ՝ ստանում ենք (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df /dz)(dz/dt)=0. Հավասարությունը ոմանց սկալյար արդյունքն է վեկտոր n(df/dx, df/dy, df/dz) և r’(x’(t), y’(t), z’(t)): Քանի որ այն զրո է, ապա n(df/dx, df/dy, df/dz) ցանկալի վեկտորն է նորմալներ. Թվում է, թե երկու մեթոդների արդյունքները նույնն են:

7. Օրինակ (տեսական արժեք ունի): Հայտնաբերել վեկտորը նորմալներ 2 փոփոխականներից կազմված ֆունկցիայի բնորոշ հավասարմամբ տրված մակերեսին z=z(x, y): Լուծում. Այս հավասարումը գրեք z-z(x, y)=F(x, y, z)=0 ձևով։ Հետևելով նախադրյալ մեթոդներից որևէ մեկին, պարզվում է, որ n(-dz/dx, -dz/dy, 1) ցանկալի վեկտորն է։ նորմալներ .

Ցանկացած վեկտորկարելի է բաժանել մի քանի գումարի վեկտորՎայ, նման տարբերակներ շատ կան։ Քայքայել առաջադրանքը վեկտորկարող է տրվել ինչպես երկրաչափական, այնպես էլ բանաձեւերի տեսքով, խնդրի լուծումը կախված կլինի սրանից։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• սկզբնական վեկտորն է;
• այն վեկտորներն են, որոնցում այն ​​պետք է քայքայվի:

Հրահանգ

1. Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է բաժանել վեկտորգծագրի վրա ընտրեք տերմինների ուղղությունը: Հաշվարկների հարմարության համար ընդլայնումը դեպի վեկտորա, կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ, բայց դուք, անշուշտ, կարող եք նախընտրել ցանկացած հարմարավետ ուղղություն:

2. Նկարի՛ր տերմիններից մեկը վեկտորօվ; միևնույն ժամանակ, այն պետք է բխի սկզբնական կետից (երկարությունը դուք ինքներդ եք ընտրում): Միավորել սկզբնական և ստացված ծայրերը վեկտորև ևս մեկը վեկտորօհմ. Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ստացվել է երկուսը վեկտորև վերջում պարտավոր են քեզ հասցնել սկզբնական կետին (եթե շարժվում ես սլաքների երկայնքով)։

3. Փոխանցումը ստացվել է վեկտորև այն վայրում, որտեղ հարմար կլինի օգտագործել դրանք՝ խնայելով ուղղությունը և երկարությունը։ Անկախ որտեղից վեկտորև կլինեն, գումարով դրանք հավասար կլինեն սկզբնականին։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ եթե տեղադրեք ստացվածը վեկտորև այնպես, որ նրանք գան նույն կետից, ինչ սկզբնականը, և դրանց ծայրերը միացնեն կետագծով, ստացվում է զուգահեռագիծ, իսկ սկզբնականը. վեկտորհամընկնում է անկյունագծերից մեկի հետ։

4. Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է բաժանել վեկտոր(x1,x2,x3) ըստ հիմքի, այսինքն՝ ըստ տրվածի վեկտոր am (p1, p2, p3), (q1, q2, q3), (r1, r2, r3), շարունակեք հետևյալ կերպ. Փոխարինեք կոորդինատների արժեքները x=?p+?q+?r բանաձևով:

5. Արդյունքում կստանաք p1?+q1?+r1?=x1, p2?+q2?+r2?=x2, p3?+q3?+r3?=x3 3 հավասարումների համակարգ: Լուծե՛ք այս համակարգը լրացումների կամ մատրիցների մեթոդով, գտե՛ք ?, ?, ? ցուցիչները։ Եթե ​​խնդիրը տրվի հարթության մեջ, լուծումն ավելի պարզ կլինի, քանի որ 3 փոփոխականների և հավասարումների փոխարեն կստանաք միայն երկուսը (դրանք նման կլինեն p1?+q1?=x1, p2?+q2?=x2): Արդյունքը գրի՛ր x=?p+?q+?r:

6. Եթե ​​ի վերջո հայտնվում եք անսահման թվով լուծումներ, ապա ամփոփեք դա վեկտոր s p, q, r պառկած են նույն հարթության վրա վեկտոր om x-ը, և միանշանակ անհնար է այն քայքայել տրված ձևով:

7. Եթե ​​համակարգը լուծումներ չունի, համարձակորեն գրեք խնդրի արդյունքը. վեկտոր p, q, r ընկած են նույն հարթության վրա և վեկտոր x - մյուսում, հետևաբար այն չի կարող տրված ձևով քայքայվել:

Հնարավոր է, որ կա հատուկ ներկայացուցչություն Ինքնաթիռ բուրգեր, բայց հեղինակին անծանոթ է։ Այն փաստից, որ բուրգը վերաբերում է տարածական բազմանիստին, Ինքնաթիռկարող է միայն եզրեր ձևավորել բուրգեր. Սրանք են, որոնք կքննարկվեն:

Հրահանգ

1. Ամենապրիմիտիվ առաջադրանքը բուրգերնրա ներկայացումն է գագաթային կետերի կոորդինատներով: Թույլատրվում է օգտագործել այլ ներկայացումներ, որոնք հեշտությամբ թարգմանվում են ինչպես միմյանց, այնպես էլ առաջարկվողի մեջ։ Պարզության համար հաշվի առեք եռանկյունաձև բուրգը: Այնուհետեւ, տարածական դեպքում «բազայի» ներկայացումը դառնում է ծայրահեղ պայմանական։ Հետեւաբար, այն չպետք է տարբերվի կողային երեսներից։ Կամայական բուրգի դեպքում նրա կողային երեսները դեռևս եռանկյուններ են, և գրեք հավասարումը Ինքնաթիռբազան դեռ բավարար է 3 միավորի համար։

2. Եռանկյունի ցանկացած դեմք բուրգերամբողջությամբ որոշվում է համապատասխան եռանկյան գագաթների երեք կետերով: Թող լինի М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3): Հավասարումը գտնելու համար Ինքնաթիռպարունակող այս դեմքը, օգտագործեք ընդհանուր հավասարումը Ինքնաթիռ A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 ձեւով: Այստեղ (x0,y0,z0) կամայական կետ է Ինքնաթիռ, որի համար օգտագործեք տվյալ պահին տրված 3-ից մեկը, ասենք M1(x1,y1,z1): A, B, C աստիճանները կազմում են նորմալ վեկտորի կոորդինատները Ինքնաթիռ n=(A, B, C): Նորմալը գտնելու համար թույլատրվում է օգտագործել [M1,M2] վեկտորի արտադրյալին հավասար վեկտորի կոորդինատները (տե՛ս նկ. 1)։ Վերցրեք դրանք համապատասխանաբար A, B C-ի հավասար: Մնում է գտնել վեկտորների սկալյար արտադրյալը (n, M1M) կոորդինատային տեսքով և հավասարեցնել այն զրոյի։ Այստեղ M(x, y, z) կամայական (ընթացիկ) կետ է Ինքնաթիռ .

3. Ստացված ալգորիթմը հավասարման կառուցման համար Ինքնաթիռդրա երեք կետերի վրա հնարավոր է օգտագործել ավելի հարմարավետ: Նկատի ունեցեք, որ հայտնաբերված մեթոդաբանությունը ենթադրում է խաչաձև արտադրյալի հաշվարկ, իսկ դրանից հետո՝ կետային արդյունքի հաշվարկ։ Դա ոչ այլ ինչ է, քան վեկտորների խառը արտադրյալ։ Գերկոմպակտ ձևով այն հավասար է որոշիչին, որի գծերը կազմված են М1М=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1, վեկտորների կոորդինատներից, z2-z1), M1М3=(x3- x1, y3-y1, z3-z1): Հավասարեցրեք այն զրոյի և ստացեք հավասարումը Ինքնաթիռորոշիչի տեսքով (տես նկ. 2): Դրա բացահայտումից հետո դուք կգաք ընդհանուր հավասարմանը Ինքնաթիռ .

Առնչվող տեսանյութեր

Ինչն է նորմալ: Պարզ բառերով, նորմալը ուղղահայաց է: Այսինքն՝ ուղիղի նորմալ վեկտորը ուղղահայաց է տվյալ ուղղին։ Ակնհայտ է, որ ցանկացած ուղիղ գիծ ունի դրանց անսահման թիվը (ինչպես նաև ուղղորդող վեկտորները), իսկ ուղիղ գծի բոլոր նորմալ վեկտորները կլինեն միաձույլ (համաուղղված, թե ոչ, դա նշանակություն չունի):

Նրանց հետ գործ ունենալը նույնիսկ ավելի հեշտ կլինի, քան ուղղության վեկտորների հետ.

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ընդհանուր հավասարմամբ տրված է ուղիղ գիծ, ​​ապա վեկտորը այս ուղիղ գծի նորմալ վեկտորն է։

Եթե ​​ուղղության վեկտորի կոորդինատները պետք է զգուշորեն «հանել» հավասարումից, ապա նորմալ վեկտորի կոորդինատները պարզապես «հանվում են»:

Նորմալ վեկտորը միշտ ուղղահայաց է ուղղի ուղղության վեկտորին: Եկեք համոզվենք, որ այս վեկտորները ուղղանկյուն են՝ օգտագործելով սկալյար արտադրյալը.

Ես օրինակներ կտամ նույն հավասարումներով, ինչ ուղղության վեկտորի համար.

Հնարավո՞ր է գրել ուղիղ գծի հավասարում` իմանալով մեկ կետ և նորմալ վեկտոր: Եթե ​​նորմալ վեկտորը հայտնի է, ապա ամենաուղիղ գծի ուղղությունը նույնպես եզակիորեն որոշվում է. սա «կոշտ կառուցվածք» է՝ 90 աստիճանի անկյան տակ:

Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում` տրված կետով և նորմալ վեկտորով:

Եթե ​​ուղիղին պատկանող ինչ-որ կետ և այս ուղիղի նորմալ վեկտորը հայտնի է, ապա այս ուղիղի հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.

Կազմե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը, որը տրված է կետով և նորմալ վեկտորով: Գտե՛ք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը:

Լուծում. Օգտագործեք բանաձևը.

Ստացված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, ստուգենք.

1) «Հանել» նորմալ վեկտորի կոորդինատները հավասարումից. - այո, իսկապես, սկզբնական վեկտորը ստացվում է պայմանից (կամ վեկտորը պետք է համակողմանի լինի սկզբնական վեկտորի հետ):

2) Ստուգեք, արդյոք կետը բավարարում է հավասարմանը.

Իրական հավասարություն.

Այն բանից հետո, երբ համոզվենք, որ հավասարումը ճիշտ է, մենք կկատարենք առաջադրանքի երկրորդ՝ ավելի հեշտ մասը։ Մենք դուրս ենք քաշում ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը.

Պատասխան.

Վիճակահանության մեջ իրավիճակը հետևյալն է.

Վերապատրաստման նպատակների համար նման խնդիր անկախ լուծման համար.

Կազմե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը, որը տրված է կետով և նորմալ վեկտորով: Գտե՛ք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը:

Դասի վերջին բաժինը նվիրված կլինի հարթության մեջ ուղիղ գծի հավասարումների ավելի քիչ տարածված, բայց նաև կարևոր տիպերին.

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.
Ուղիղ գծի հավասարումը պարամետրային ձևով

Հատվածներում ուղիղ գծի հավասարումը ունի ձև, որտեղ ոչ զրոյական հաստատուններ են: Հավասարումների որոշ տեսակներ չեն կարող ներկայացված լինել այս ձևով, օրինակ՝ ուղիղ համեմատականություն (քանի որ ազատ անդամը զրոյական է, և աջ կողմում մեկը ստանալու հնարավորություն չկա):

Սա, պատկերավոր ասած, «տեխնիկական» տիպի հավասարում է։ Սովորական խնդիրն է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը ներկայացնել որպես ուղիղ գծի հավասարում հատվածներում: Ինչու է դա հարմար: Հատվածներում ուղիղ գծի հավասարումը թույլ է տալիս արագ գտնել ուղիղ գծի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով, ինչը շատ կարևոր է բարձրագույն մաթեմատիկայի որոշ խնդիրներում:

Գտե՛ք գծի առանցքի հետ հատման կետը: Մենք վերակայում ենք «y»-ը, և հավասարումը ստանում է ձևը: Ցանկալի միավորը ստացվում է ավտոմատ կերպով.

Նույնը առանցքի հետ այն կետն է, որտեղ ուղիղը հատում է y առանցքը:

Գործողությունները, որոնք ես հենց նոր մանրամասնորեն բացատրեցի, կատարվում են բանավոր:

Տրվում է ուղիղ գիծ: Կազմե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով և որոշե՛ք գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով:

Լուծում. Եկեք հավասարումը բերենք ձևի: Նախ, մենք ազատ տերմինը տեղափոխում ենք աջ կողմ.

Աջ կողմում միավոր ստանալու համար մենք հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բաժանում ենք -11-ի.

Մենք եռահարկ կոտորակներ ենք կազմում.

Ուղիղ գծի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ երևում են.

Պատասխան.

Մնում է մի քանոն ամրացնել և ուղիղ գիծ քաշել։

Հեշտ է տեսնել, որ այս ուղիղ գիծը եզակիորեն որոշվում է կարմիր և կանաչ հատվածներով, այստեղից էլ կոչվում է «ուղիղ գծի հավասարում հատվածներում»:

Իհարկե, հավասարումից կետերը գտնելն այնքան էլ դժվար չէ, բայց խնդիրը դեռ օգտակար է։ Դիտարկված ալգորիթմից կպահանջվի գտնել հարթության հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ, երկրորդ կարգի գծային հավասարումը բերել կանոնական ձևի և որոշ այլ խնդիրներում։ Հետևաբար, մի քանի ուղիղ գծեր անկախ լուծման համար.

Կազմե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով և որոշե՛ք դրա հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ:

Լուծումներ և պատասխաններ վերջում։ Մի մոռացեք, որ ցանկության դեպքում կարող եք նկարել ամեն ինչ։

Ինչպե՞ս գրել պարամետրային հավասարումներ ուղիղ գծի համար:

Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներն ավելի արդիական են տարածության ուղիղ գծերի համար, բայց առանց դրանց մեր աբստրակտը որբ կմնա։

Եթե ​​ուղիղին պատկանող ինչ-որ կետ և այս ուղիղի ուղղության վեկտորը հայտնի է, ապա այս ուղիղի պարամետրային հավասարումները տրվում են համակարգով.

Կազմի՛ր ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ՝ ըստ կետի և ուղղության վեկտորի

Լուծումն ավարտվեց նախքան այն կսկսեր.

«te» պարամետրը կարող է վերցնել ցանկացած արժեք «մինուս անսահմանությունից» մինչև «գումարած անսահմանություն», և յուրաքանչյուր պարամետրի արժեքը համապատասխանում է հարթության որոշակի կետին: Օրինակ, եթե , ապա մենք ստանում ենք միավոր .

Հակադարձ խնդիր. ինչպե՞ս ստուգել, ​​արդյոք պայմանական կետը պատկանում է տվյալ գծին:

Կետի կոորդինատները փոխարինենք ստացված պարամետրային հավասարումներով.

Երկու հավասարումներից էլ հետևում է, որ , այսինքն՝ համակարգը հետևողական է և ունի յուրահատուկ լուծում։

Դիտարկենք ավելի իմաստալից առաջադրանքներ.

Կազմի՛ր ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ

Լուծում. Ըստ պայմանի ուղիղ գիծը տրված է ընդհանուր տեսքով։ Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ կազմելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա ուղղորդող վեկտորը և այս ուղիղ գծին պատկանող ինչ-որ կետ:

Գտնենք ուղղության վեկտորը.

Այժմ դուք պետք է գտնեք գծին պատկանող ինչ-որ կետ (որևէ մեկը կանի), դրա համար հարմար է վերաշարադրել ընդհանուր հավասարումը թեքությամբ հավասարման տեսքով.

Դա պահանջում է, իհարկե, կետը

Մենք կազմում ենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները.

Եվ վերջապես, փոքրիկ ստեղծագործական առաջադրանք ինքնուրույն լուծման համար։

Կազմի՛ր ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ, եթե հայտնի են դրան պատկանող կետը և նորմալ վեկտորը

Առաջադրանքը կարող է կատարվել մեկից ավելի եղանակներով. Լուծման տարբերակներից մեկն ու պատասխանը վերջում.

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2. Լուծում. Գտեք թեքությունը.

Մենք կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը կետով և թեքությամբ.

Պատասխան.

Օրինակ 4. Լուծում. Մենք կկազմենք ուղիղ գծի հավասարումը ըստ բանաձևի.

Պատասխան.

Օրինակ 6. Լուծում. Օգտագործեք բանաձևը.

Պատասխանել: (y առանցք)

Օրինակ 8: ԼուծումԿազմենք ուղիղ գծի հավասարումը երկու կետի վրա.

Երկու կողմերը բազմապատկեք -4-ով.

Եվ բաժանեք 5-ի.

Պատասխանել:

Օրինակ 10: ԼուծումՕգտագործեք բանաձևը.

Մենք կրճատում ենք -2-ով.

Ուղղության վեկտորը ուղիղ:
Պատասխանել:

Օրինակ 12:
ա) ԼուծումՓոխակերպենք հավասարումը.

Այս կերպ:

Պատասխանել:

բ) ԼուծումՓոխակերպենք հավասարումը.

Այս կերպ:

Պատասխանել:

Օրինակ 15: ԼուծումՍկզբում մենք գրում ենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, տրված կետով և նորմալ վեկտորը :

Բազմապատկել 12-ով.

Բազմացնում ենք ևս 2-ով, որպեսզի երկրորդ փակագիծը բացելուց հետո ազատվենք կոտորակից.

Ուղղության վեկտորը ուղիղ:
Կետով կազմում ենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները և ուղղության վեկտորը :
Պատասխանել:

Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները.
Գծերի փոխադարձ դասավորություն. Անկյուն գծերի միջև

Մենք շարունակում ենք դիտարկել այս անվերջ-անսահման տողերը:

Ինչպե՞ս գտնել կետից ուղիղ հեռավորությունը:
Ինչպե՞ս գտնել երկու զուգահեռ գծերի միջև հեռավորությունը:
Ինչպե՞ս գտնել անկյունը երկու գծերի միջև:

Երկու ուղիղ գծերի փոխադարձ դասավորություն

Դիտարկենք երկու ուղիղներ, որոնք տրված են ընդհանուր ձևով հավասարումներով.

Այն դեպքը, երբ դահլիճը երգում է երգչախմբով։ Երկու տող կարող է.

1) համընկնում;

2) լինել զուգահեռ.

3) կամ հատվում են մեկ կետում.

Խնդրում եմ հիշեք խաչմերուկի մաթեմատիկական նշանը, այն շատ հաճախ տեղի կունենա: Մուտքը նշանակում է, որ ուղիղը հատվում է կետի գծի հետ:

Ինչպե՞ս որոշել երկու տողերի հարաբերական դիրքը:

Սկսենք առաջին դեպքից.

Երկու տող համընկնում են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանց համապատասխան գործակիցները համաչափ են, այսինքն՝ կա այնպիսի թվով «լամբդա», որ հավասարությունները պահպանվում են։

Դիտարկենք ուղիղ գծեր և համապատասխան գործակիցներից կազմենք երեք հավասարումներ. Յուրաքանչյուր հավասարումից հետևում է, որ, հետևաբար, այս տողերը համընկնում են:

Իսկապես, եթե հավասարման բոլոր գործակիցները բազմապատկել -1-ով (փոփոխության նշաններ), և հավասարման բոլոր գործակիցները նվազեցնելով 2-ով, կստանաք նույն հավասարումը.

Երկրորդ դեպքը, երբ ուղիղները զուգահեռ են.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ դրանց գործակիցները փոփոխականներում համաչափ են. , բայց .

Որպես օրինակ, դիտարկենք երկու ուղիղ գիծ: Մենք ստուգում ենք համապատասխան գործակիցների համաչափությունը փոփոխականների համար.

Այնուամենայնիվ, պարզ է, որ.

Եվ երրորդ դեպքը, երբ գծերը հատվում են.

Երկու ուղիղ հատվում են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փոփոխականների մոտ դրանց գործակիցները ՉԻ համամասնական, այսինքն՝ ՉԿԱ «լամբդա»-ի այնպիսի արժեք, որ հավասարությունները կատարվեն։

Այսպիսով, ուղիղ գծերի համար մենք կկազմենք համակարգ.

Առաջին հավասարումից հետևում է, որ , իսկ երկրորդ հավասարումից՝ , ինչը նշանակում է, որ համակարգը անհամապատասխան է (լուծումներ չկան): Այսպիսով, փոփոխականների գործակիցները համաչափ չեն:

Եզրակացություն՝ գծերը հատվում են

Գործնական խնդիրներում կարող է օգտագործվել հենց նոր դիտարկված լուծման սխեման: Ի դեպ, այն շատ նման է վեկտորների համակողմանիության ստուգման ալգորիթմին։ Բայց կա ավելի քաղաքակիրթ փաթեթ.

Պարզեք տողերի հարաբերական դիրքը.

Լուծումը հիմնված է ուղիղ գծերի ուղղորդող վեկտորների ուսումնասիրության վրա.

ա) Հավասարումներից գտնում ենք ուղիղների ուղղության վեկտորները. .

, ուստի վեկտորները համագիծ չեն, և ուղիղները հատվում են։

բ) Գտե՛ք ուղիղների ուղղության վեկտորները.

Գծերն ունեն նույն ուղղության վեկտորը, ինչը նշանակում է, որ դրանք կամ զուգահեռ են, կամ նույնը: Այստեղ որոշիչն անհրաժեշտ չէ։

Ակնհայտ է, որ անհայտների գործակիցները համաչափ են, մինչդեռ .

Եկեք պարզենք, թե արդյոք հավասարությունը ճշմարիտ է.

Այս կերպ,

գ) Գտե՛ք ուղիղների ուղղության վեկտորները.

Եկեք հաշվարկենք որոշիչը՝ կազմված այս վեկտորների կոորդինատներից.
, հետևաբար, ուղղության վեկտորները համակողմանի են: Գծերը կամ զուգահեռ են, կամ համընկնում են:

Համամասնականության գործակիցը «լամբդա» կարելի է գտնել ուղղակիորեն համագիծ ուղղության վեկտորների հարաբերակցությամբ: Այնուամենայնիվ, դա հնարավոր է նաև հենց հավասարումների գործակիցների միջոցով.

Հիմա եկեք պարզենք, թե արդյոք հավասարությունը ճշմարիտ է: Երկու անվճար տերմիններն էլ զրո են, ուստի.

Ստացված արժեքը բավարարում է այս հավասարումը (ցանկացած թիվ ընդհանուր առմամբ բավարարում է դրան):

Այսպիսով, տողերը համընկնում են:

Ինչպե՞ս գծել տրվածին զուգահեռ ուղիղ:

Ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ. Գրի՛ր կետի միջով անցնող զուգահեռ ուղիղի հավասարումը:

Լուծում. Անհայտ ուղիղը նշե՛ք տառով: Ի՞նչ է ասում պայմանը դրա մասին: Գիծն անցնում է կետով։ Իսկ եթե ուղիղները զուգահեռ են, ապա ակնհայտ է, որ «ce» ուղղի ուղղորդող վեկտորը նույնպես հարմար է «te» ուղիղը կառուցելու համար։

Մենք հավասարումից հանում ենք ուղղության վեկտորը.

Օրինակի երկրաչափությունը պարզ է թվում.

Վերլուծական ստուգումը բաղկացած է հետևյալ քայլերից.

1) Ստուգում ենք, որ գծերն ունեն նույն ուղղության վեկտորը (եթե գծի հավասարումը պատշաճ կերպով պարզեցված չէ, ապա վեկտորները կլինեն համագիծ):

2) Ստուգեք, արդյոք կետը բավարարում է ստացված հավասարմանը:

Վերլուծական ստուգումը շատ դեպքերում հեշտ է իրականացնել բանավոր: Նայեք երկու հավասարումներին և ձեզնից շատերը արագ կհասկանան, թե ինչպես են ուղիղները զուգահեռ առանց որևէ գծագրի:

Այսօր ինքնալուծվելու օրինակները ստեղծագործական կլինեն։

Հավասարում գրե՛ք այն ուղիղի համար, որն անցնում է ուղիղին զուգահեռ կետով, եթե

Ամենակարճ ճանապարհը վերջում է։

Ինչպե՞ս գտնել երկու ուղիղների հատման կետը:

Եթե ​​ուղիղ հատվում են կետում, ապա դրա կոորդինատները գծային հավասարումների համակարգի լուծումն են

Ինչպե՞ս գտնել գծերի հատման կետը: Լուծել համակարգը.

Այսքանը երկու անհայտներով երկու գծային հավասարումների համակարգի երկրաչափական իմաստի մասին. սրանք երկու հատվող (առավել հաճախ) ուղիղ գծեր են հարթության վրա:

Գտեք ուղիղների հատման կետը

Լուծում. Լուծման երկու եղանակ կա՝ գրաֆիկական և վերլուծական:

Գրաֆիկական եղանակը պարզապես տրված գծերը գծելն է և ուղղակիորեն գծագրից պարզել հատման կետը.

Ահա մեր միտքը. Ստուգելու համար դուք պետք է փոխարինեք դրա կոորդինատները ուղիղ գծի յուրաքանչյուր հավասարման մեջ, դրանք պետք է տեղավորվեն և՛ այնտեղ, և՛ այնտեղ: Այլ կերպ ասած, կետի կոորդինատները համակարգի լուծումն են: Փաստորեն, մենք դիտարկել ենք գծային հավասարումների համակարգի լուծման գրաֆիկական մեթոդ երկու հավասարումներով, երկու անհայտներով։

Գրաֆիկական մեթոդը, իհարկե, վատ չէ, բայց նկատելի թերություններ կան։ Ո՛չ, բանն այն չէ, որ յոթերորդ դասարանցիներն այսպես են որոշում, բանն այն է, որ ժամանակ է պետք ճիշտ և ՃԻՇՏ նկարչություն անելու համար։ Բացի այդ, որոշ գծեր այնքան էլ հեշտ չէ կառուցել, և հատման կետն ինքնին կարող է լինել ինչ-որ տեղ երեսուներորդ թագավորությունում՝ նոթատետրից դուրս:

Ուստի ավելի նպատակահարմար է հատման կետը փնտրել վերլուծական մեթոդով։ Եկեք լուծենք համակարգը.

Համակարգը լուծելու համար օգտագործվել է հավասարումների ժամկետային գումարման մեթոդը։

Ստուգումը չնչին է. հատման կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը:

Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը, եթե դրանք հատվում են։

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Առաջադրանքը կարելի է հարմարավետորեն բաժանել մի քանի փուլերի. Վիճակի վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ անհրաժեշտ է.
1) Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը.
2) Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը.
3) Պարզեք գծերի հարաբերական դիրքը.
4) Եթե ուղիղները հատվում են, ապա գտե՛ք հատման կետը:

Գործողությունների ալգորիթմի մշակումը բնորոշ է բազմաթիվ երկրաչափական խնդիրների համար, և ես բազմիցս կկենտրոնանամ դրա վրա:

Ամբողջական լուծում և պատասխան՝ վերջում.

Ուղղահայաց գծեր. Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:
Անկյուն գծերի միջև

Ինչպե՞ս գծել տրվածին ուղղահայաց գիծ:

Ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ. Գրի՛ր կետի միջով անցնող ուղղահայաց ուղղի հավասարումը:

Լուծում. Ենթադրությամբ հայտնի է, որ . Լավ կլիներ գտնել ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը։ Քանի որ գծերն ուղղահայաց են, հնարքը պարզ է.

Հավասարումից «հեռացնում ենք» նորմալ վեկտորը՝ , որը կլինի ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը։

Մենք կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը կետով և ուղղորդող վեկտորով.

Պատասխան.

Եկեք բացենք երկրաչափական ուրվագիծը.

Լուծման վերլուծական ստուգում.

1) Հավասարումներից հանի՛ր ուղղության վեկտորները և օգտագործելով վեկտորների սկալյար արտադրյալը, մենք եզրակացնում ենք, որ ուղիղներն իսկապես ուղղահայաց են.

Ի դեպ, դուք կարող եք օգտագործել նորմալ վեկտորներ, դա նույնիսկ ավելի հեշտ է:

2) Ստուգեք, արդյոք կետը բավարարում է ստացված հավասարմանը .

Ստուգումը, կրկին, հեշտ է բանավոր կատարել:

Գտե՛ք ուղղահայաց ուղիղների հատման կետը, եթե հավասարումը հայտնի է և կետ.

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Առաջադրանքում կան մի քանի գործողություններ, ուստի հարմար է լուծումը դասավորել կետ առ կետ։

Հեռավորությունը կետից տող

Երկրաչափության մեջ հեռավորությունը ավանդաբար նշվում է հունարեն «p» տառով, օրինակ՝ «m» կետից մինչև «d» ուղիղ գիծը հեռավորությունը։

Հեռավորությունը կետից տող արտահայտվում է բանաձևով

Գտեք կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը

Լուծում. Ձեզ անհրաժեշտ է միայն թվերը զգուշորեն միացնել բանաձևին և կատարել հաշվարկները.

Պատասխան.

Եկեք կատարենք գծագիրը.

Կետից մինչև ուղիղ հայտնաբերված հեռավորությունը ճիշտ կարմիր հատվածի երկարությունն է: Եթե ​​վանդակավոր թղթի վրա նկար եք անում 1 միավորի սանդղակով. \u003d 1 սմ (2 բջիջ), ապա հեռավորությունը կարելի է չափել սովորական քանոնով:

Դիտարկենք մեկ այլ առաջադրանք ըստ նույն գծագրի.

Ինչպե՞ս կառուցել ուղիղ գծի նկատմամբ սիմետրիկ կետ:

Խնդիրն այն է, որ գտնենք այն կետի կոորդինատները, որոնք սիմետրիկ են ուղիղի նկատմամբ: . Ես առաջարկում եմ գործողությունները կատարել ինքնուրույն, այնուամենայնիվ, ես ուրվագծելու եմ լուծման ալգորիթմը միջանկյալ արդյունքներով.

1) Գտի՛ր ուղիղը, որն ուղղահայաց է:

2) Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը. .

Երկրաչափության մեջ երկու ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունն ընդունվում է որպես ԱՎԵԼԻ ՓՈՔՐ անկյուն, որից ինքնաբերաբար հետևում է, որ այն չի կարող բութ լինել։ Նկարում կարմիր աղեղով նշված անկյունը չի համարվում հատվող գծերի միջև ընկած անկյունը: Եվ այդպիսին է համարվում նրա «կանաչ» հարեւանը կամ հակառակ կողմնորոշված ​​«ազնվամորու» անկյունը։

Եթե ​​գծերը ուղղահայաց են, ապա 4 անկյուններից որևէ մեկը կարելի է ընդունել որպես նրանց միջև եղած անկյուն։

Ինչպե՞ս են տարբեր անկյունները: Կողմնորոշում. Նախ, անկյունը «ոլորելու» ուղղությունը սկզբունքորեն կարևոր է: Երկրորդ, բացասական կողմնորոշված ​​անկյունը գրվում է մինուս նշանով, օրինակ, եթե .

Ինչու ես սա ասացի: Թվում է, թե դուք կարող եք յոլա գնալ անկյունի սովորական հայեցակարգով: Փաստն այն է, որ այն բանաձեւերում, որոնցով մենք կգտնենք անկյունները, հեշտությամբ կարելի է բացասական արդյունք ստանալ, և դա չպետք է ձեզ զարմացնի։ Մինուս նշանով անկյունն ավելի վատ չէ և ունի շատ կոնկրետ երկրաչափական նշանակություն: Բացասական անկյան գծագրում պարտադիր է սլաքով նշել դրա կողմնորոշումը (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ):

Ելնելով վերը նշվածից՝ լուծումը հարմար ձևակերպվում է երկու քայլով.

1) Հաշվել ուղիղ գծերի ուղղորդող վեկտորների սկալյար արտադրյալը.
այնպես որ գծերն ուղղահայաց չեն:

2) Գծերի միջև անկյունը գտնում ենք բանաձևով.

Օգտագործելով հակադարձ ֆունկցիան, հեշտ է գտնել անկյունն ինքնին: Այս դեպքում մենք օգտագործում ենք աղեղի շոշափողի տարօրինակությունը.

Պատասխան.

Պատասխանում մենք նշում ենք ճշգրիտ արժեքը, ինչպես նաև մոտավոր արժեքը (ցանկալի է և՛ աստիճաններով, և՛ ռադիաններով), որը հաշվարկվում է հաշվիչի միջոցով։

Դե, մինուս, ուրեմն մինուս, լավ է: Ահա մի երկրաչափական նկարազարդում.

Զարմանալի չէ, որ անկյունը բացասական կողմնորոշման է դուրս եկել, քանի որ խնդրի պայմաններում առաջին թիվը ուղիղ գիծ է, և անկյան «ոլորումը» սկսվել է հենց դրանից։

Կա նաև երրորդ լուծում. Գաղափարը գծերի ուղղության վեկտորների միջև անկյունը հաշվարկելն է.

Այստեղ խոսքը ոչ թե կողմնորոշված ​​անկյան մասին է, այլ «ուղղակի անկյան մասին», այսինքն՝ արդյունքն անշուշտ դրական կլինի։ Բռնելն այն է, որ դուք կարող եք ստանալ բութ անկյուն (ոչ այն, ինչ ձեզ հարկավոր է): Այս դեպքում դուք պետք է վերապահում կատարեք, որ գծերի միջև անկյունն ավելի փոքր անկյուն է, և ստացված աղեղային կոսինուսը հանեք «pi» ռադիաններից (180 աստիճան):

Գտեք գծերի միջև եղած անկյունը:

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Փորձեք լուծել այն երկու ճանապարհով.

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 3. Լուծում. Գտե՛ք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը.

Մենք կկազմենք ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը` օգտագործելով կետը և ուղղության վեկտորը

Նշում. այստեղ համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկվում է 5-ով, այնուհետև 2-րդը 1-ին հավասարումից հանվում է անդամ առ անդամ:
Պատասխան.

Հարթության հավասարում. Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում:
Ինքնաթիռների փոխադարձ դասավորություն. Առաջադրանքներ

Տարածական երկրաչափությունը շատ ավելի բարդ չէ, քան «հարթ» երկրաչափությունը, և մեր թռիչքները տիեզերքում սկսվում են այս հոդվածից: Թեման հասկանալու համար պետք է լավ հասկանալ վեկտորներ, բացի այդ, ցանկալի է ծանոթ լինել ինքնաթիռի երկրաչափությանը` կլինեն շատ նմանություններ, շատ նմանություններ, ուստի տեղեկատվությունը շատ ավելի լավ կմարսվի։ Իմ դասերի շարքում 2D աշխարհը բացվում է հոդվածով Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա. Բայց հիմա Բեթմենը դուրս է եկել հարթ էկրանով հեռուստացույցից և մեկնարկում է Բայկոնուր տիեզերակայանից:

Սկսենք գծագրերից և նշաններից: Սխեմատիկորեն հարթությունը կարելի է գծել որպես զուգահեռագիծ, որը տարածության տպավորություն է թողնում.

Ինքնաթիռը անսահման է, բայց մենք հնարավորություն ունենք պատկերելու դրա միայն մի հատվածը։ Գործնականում զուգահեռագիծից բացի գծվում է նաև օվալ կամ նույնիսկ ամպ։ Տեխնիկական նկատառումներից ելնելով, ինձ համար ավելի հարմար է ինքնաթիռն այս կերպ և այս դիրքով պատկերել։ Իրական ինքնաթիռները, որոնք մենք կդիտարկենք գործնական օրինակներով, կարելի է դասավորել ցանկացած կերպ՝ մտովի վերցրեք նկարը ձեր ձեռքերում և ոլորեք այն տարածության մեջ՝ տալով ինքնաթիռին ցանկացած թեքություն, ցանկացած անկյուն:

ՆշումԸնդունված է ինքնաթիռները փոքր հունարեն տառերով նշել, ըստ երևույթին, որպեսզի չշփոթեն դրանք ուղիղ ինքնաթիռումկամ հետ ուղիղ տարածության մեջ. Ես սովոր եմ օգտագործել տառը: Գծանկարում դա «սիգմա» տառն է, և ամենևին էլ ծակ չէ։ Չնայած, ծակ ինքնաթիռ, դա, իհարկե, շատ ծիծաղելի է:

Որոշ դեպքերում հարմար է օգտագործել նույն հունարեն տառերը նիշերով ինքնաթիռներ նշանակելու համար, օրինակ՝ .

Ակնհայտ է, որ ինքնաթիռը եզակիորեն որոշվում է երեք տարբեր կետերով, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա։ Հետևաբար, ինքնաթիռների եռատառ նշանակումները բավականին տարածված են՝ ըստ դրանց պատկանող կետերի, օրինակ և այլն։ Հաճախ տառերը փակցվում են փակագծերում, որպեսզի չշփոթեն հարթությունը մեկ այլ երկրաչափական պատկերի հետ:

Փորձառու ընթերցողների համար կտամ դյուրանցման ընտրացանկ:

• Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և երկու վեկտոր:
• Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և նորմալ վեկտոր:

և մենք երկար սպասումներով չենք թուլանա:

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը ունի ձև, որտեղ գործակիցները միաժամանակ զրոյական չեն:

Մի շարք տեսական հաշվարկներ և գործնական խնդիրներ վավեր են ինչպես սովորական օրթոնորմալ հիմքի, այնպես էլ տարածության աֆինական հիմքի համար (եթե նավթը նավթ է, վերադարձեք դասին Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորային հիմք) Պարզության համար մենք կենթադրենք, որ բոլոր իրադարձությունները տեղի են ունենում օրթոնորմալ հիմունքներով և դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով:

Եվ հիմա եկեք մարզենք մի փոքր տարածական երևակայություն: Ոչինչ, եթե այն վատ է, հիմա մենք այն մի փոքր կզարգացնենք: Նույնիսկ նյարդերի վրա խաղալը պրակտիկա է պահանջում։

Ամենաընդհանուր դեպքում, երբ թվերը հավասար չեն զրոյի, հարթությունը հատում է բոլոր երեք կոորդինատային առանցքները։ Օրինակ, այսպես.

Եվս մեկ անգամ կրկնում եմ, որ ինքնաթիռը անվերջ շարունակվում է բոլոր ուղղություններով, և մենք հնարավորություն ունենք պատկերելու դրա միայն մի մասը։

Դիտարկենք հարթությունների ամենապարզ հավասարումները.

Ինչպե՞ս հասկանալ այս հավասարումը: Մտածեք դրա մասին. «Z» ՄԻՇՏ, քանի որ «X» և «Y» ցանկացած արժեք հավասար է զրոյի: Սա «հայրենի» կոորդինատային հարթության հավասարումն է։ Իրոք, պաշտոնապես հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ. , որտեղից պարզ երևում է, որ մեզ չի հետաքրքրում, թե ինչ արժեքներ են վերցնում «x» և «y», կարևոր է, որ «z»-ը հավասար է զրոյի։

Նմանապես.
կոորդինատային հարթության հավասարումն է.
կոորդինատային հարթության հավասարումն է։

Մի փոքր բարդացնենք խնդիրը, դիտարկենք հարթություն (այստեղ և պարբերության հետագա հատվածում ենթադրում ենք, որ թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի)։ Վերաշարադրենք հավասարումը ձևով՝ . Ինչպե՞ս հասկանալ դա: «X»-ը ՄԻՇՏ է, քանի որ «y»-ի և «z»-ի ցանկացած արժեք հավասար է որոշակի թվի: Այս հարթությունը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը։ Օրինակ, ինքնաթիռը զուգահեռ է հարթությանը և անցնում է կետով:

Նմանապես.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը:

Ավելացնել անդամներ. Հավասարումը կարելի է վերաշարադրել այսպես. , այսինքն՝ «Z»-ը կարող է լինել ցանկացած բան։ Ինչ է դա նշանակում? «X»-ը և «Y»-ը միացված են հարաբերակցությամբ, որը հարթության մեջ գծում է որոշակի ուղիղ գիծ (դուք կճանաչեք. հարթության ուղիղ գծի հավասարումը?): Քանի որ Z-ը կարող է լինել ցանկացած բան, այս գիծը «կրկնօրինակվում է» ցանկացած բարձրության վրա: Այսպիսով, հավասարումը սահմանում է կոորդինատային առանցքին զուգահեռ հարթություն

Նմանապես.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքին.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքին.

Եթե ​​ազատ անդամները զրոյական են, ապա ինքնաթիռներն ուղղակիորեն կանցնեն համապատասխան առանցքներով։ Օրինակ, դասական «ուղիղ համամասնությունը»: Հարթության մեջ ուղիղ գիծ քաշեք և մտովի բազմապատկեք այն վեր ու վար (քանի որ «z»-ը ցանկացած է): Եզրակացություն՝ հավասարմամբ տրված հարթությունն անցնում է կոորդինատային առանցքով։

Մենք ավարտում ենք վերանայումը. ինքնաթիռի հավասարումը անցնում է ծագման միջով. Դե, այստեղ միանգամայն ակնհայտ է, որ կետը բավարարում է տրված հավասարումը։

Եվ, վերջապես, դեպքը, որը ցույց է տրված գծագրում. - ինքնաթիռը բարեկամ է բոլոր կոորդինատային առանցքների հետ, մինչդեռ այն միշտ «կտրում է» եռանկյունին, որը կարող է տեղակայվել ութ օկտանտներից որևէ մեկում:

Գծային անհավասարություններ տարածության մեջ

Տեղեկատվությունը հասկանալու համար անհրաժեշտ է լավ ուսումնասիրել գծային անհավասարություններ հարթության մեջքանի որ շատ բաներ նման կլինեն: Պարբերությունը կլինի համառոտ ակնարկ մի քանի օրինակներով, քանի որ նյութը գործնականում բավականին հազվադեպ է:

Եթե ​​հավասարումը սահմանում է հարթություն, ապա անհավասարությունները
հարցնել կիսատ տարածություններ. Եթե ​​անհավասարությունը խիստ չէ (ցուցակի վերջին երկուսը), ապա անհավասարության լուծումը, բացի կիսատատությունից, ներառում է հենց հարթությունը։

Օրինակ 5

Գտե՛ք հարթության միավորի նորմալ վեկտորը .

ԼուծումՄիավոր վեկտորը այն վեկտորն է, որի երկարությունը մեկ է: Նշենք այս վեկտորը . Միանգամայն պարզ է, որ վեկտորները համակողմանի են.

Նախ՝ հարթության հավասարումից հանում ենք նորմալ վեկտորը՝ .

Ինչպե՞ս գտնել միավորի վեկտորը: Միավոր վեկտորը գտնելու համար անհրաժեշտ է ամենվեկտորի կոորդինատը բաժանված է վեկտորի երկարությամբ.

Եկեք վերագրենք նորմալ վեկտորը ձևով և գտնենք դրա երկարությունը.

Ըստ վերը նշվածի.

Պատասխանել:

Ստուգում՝ , որը պահանջվում էր ստուգել:

Ընթերցողները, ովքեր ուշադիր ուսումնասիրել են դասի վերջին պարբերությունը, հավանաբար նկատել են դա միավորի վեկտորի կոորդինատները հենց վեկտորի ուղղության կոսինուսներն են:

Եկեք շեղվենք ապամոնտաժված խնդրից. երբ ձեզ տրվում է կամայական ոչ զրոյական վեկտոր, և պայմանով, որ պահանջվում է գտնել դրա ուղղության կոսինուսները (տե՛ս դասի վերջին առաջադրանքները Վեկտորների կետային արտադրյալ), այնուհետև դուք, փաստորեն, գտնում եք նաև տրվածին համակողմանի միավոր վեկտոր։ Իրականում երկու առաջադրանք մեկ շիշում։

Միավոր նորմալ վեկտոր գտնելու անհրաժեշտությունը առաջանում է մաթեմատիկական անալիզի որոշ խնդիրներում։

Մենք պարզեցինք նորմալ վեկտորի ձկնորսությունը, այժմ մենք կպատասխանենք հակառակ հարցին.

Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և նորմալ վեկտոր:

Նորմալ վեկտորի և կետի այս կոշտ կառուցվածքը լավ հայտնի է տեգերի թիրախով: Խնդրում ենք ձեռքը առաջ ձգել և մտովի ընտրել տարածության կամայական կետ, օրինակ՝ փոքրիկ կատու՝ բուֆետում: Ակնհայտ է, որ այս կետով դուք կարող եք նկարել ձեր ձեռքին ուղղահայաց մեկ հարթություն:

Վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող հարթության հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.

Նորմալ վեկտոր

Հարթ մակերես երկու նորմալներով

Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ, նորմալուղիղ գիծ է՝ ուղղանկյուն (ուղղահայաց) ինչ-որ կորի շոշափող գծին կամ ինչ-որ մակերևույթի շոշափող հարթությանը։ Խոսում են նաև նորմալ ուղղություն.

Նորմալ վեկտորմակերեսին տվյալ կետում միավոր վեկտորն է, որը կիրառվում է տվյալ կետի վրա և զուգահեռ է նորմալի ուղղությանը: Հարթ մակերեսի յուրաքանչյուր կետի համար կարող եք նշել երկու նորմալ վեկտոր, որոնք տարբերվում են ուղղությունից: Եթե ​​նորմալ վեկտորների շարունակական դաշտը կարող է սահմանվել մակերեսի վրա, ապա ասում են, որ այս դաշտը սահմանում է կողմնորոշումմակերեսը (այսինքն, ընտրում է կողմերից մեկը): Եթե ​​դա հնարավոր չէ անել, մակերեսը կոչվում է ոչ կողմնորոշվող.

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ .

Տեսեք, թե ինչ է «Նորմալ վեկտորը» այլ բառարաններում.

նորմալ վեկտոր- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys՝ angl. նորմալ վեկտոր vok. Normalenvector, m rus. նորմալ վեկտոր, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Այս հոդվածը կամ բաժինը վերանայման կարիք ունի: Խնդրում ենք բարելավել հոդվածը հոդվածներ գրելու կանոններին համապատասխան։ Դարբուի վեկտորը պտտման ակնթարթային առանցքի ուղղորդող վեկտորն է, որի շուրջ պտտվում է L կորի ուղեկցող եռանկյունը, երբ ... ... Վիքիպեդիա

Շարունակությունների էլեկտրոդինամիկա Շարունակությունների էլեկտրոդինամիկա ... Վիքիպեդիա

Դարբուի վեկտորը պտտման ակնթարթային առանցքի ուղղորդող վեկտորն է, որի շուրջ L կորի ուղեկցող եռանկյունը պտտվում է, երբ M կետը հավասարաչափ շարժվում է L կորի երկայնքով: Դարբուի վեկտորը գտնվում է L կորի ուղղիչ հարթությունում և արտահայտված է. միավորի պայմանները ... ... Վիքիպեդիա

Գրադիենտ (լատիներեն gradiens, genus gradientis walking), վեկտոր, որը ցույց է տալիս որոշակի մեծության ամենաարագ փոփոխության ուղղությունը, որի արժեքը փոխվում է տարածության մի կետից մյուսը (տես Դաշտի տեսություն)։ Եթե ​​արժեքը արտահայտված է ... ...

Պտտման ակնթարթային առանցքի d ուղղորդող վեկտորը, որի շուրջ պտտվում է L կորի եռանկյունին ուղեկցող պարանը, երբ M կետը հավասարաչափ շարժվում է L. D. c կորի երկայնքով։ գտնվում է L կորի ուղղիչ հարթությունում և արտահայտվում է հիմնական նորմալի միավոր վեկտորներով ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Այս հոդվածը կամ բաժինը վերանայման կարիք ունի: Խնդրում ենք բարելավել հոդվածը հոդվածներ գրելու կանոններին համապատասխան։ Hypersurface ... Վիքիպեդիա

Գրաֆիկական խողովակաշարի ապարատային-ծրագրային համալիր եռաչափ գրաֆիկայի վիզուալիզացիայի համար: Բովանդակություն 1 Եռաչափ տեսարանի տարրեր 1.1 Սարքավորումներ 1.2 Ծրագրային միջերեսներ ... Վիքիպեդիա

Մաթեմատիկական դիսցիպլին, որն ուսումնասիրում է Էվկլիդյան տարածության վեկտորների վրա կատարվող գործողությունների հատկությունները։ Միևնույն ժամանակ, վեկտորի հասկացությունը մեծությունների մաթեմատիկական աբստրակցիա է, որը բնութագրվում է ոչ միայն թվային արժեքով, այլև ... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Այս տերմինն այլ իմաստներ ունի, տես Ինքնաթիռ։ «Flatness» հարցումը վերահղված է այստեղ։ Առանձին հոդված է պետք այս թեմայով ... Վիքիպեդիա