Բերված է բազմանդամների գործոնացման 8 օրինակ։ Դրանք ներառում են քառակուսի և երկքառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ, կրկնվող բազմանդամների օրինակներ և երրորդ և չորրորդ աստիճանի բազմանդամների ամբողջական արմատներ գտնելու օրինակներ։

Բովանդակություն

Տես նաեւ: Բազմանդամների ֆակտորինգի մեթոդներ
Քառակուսային հավասարման արմատները
Խորանարդային հավասարումների լուծում

1. Քառակուսային հավասարման լուծման օրինակներ

Օրինակ 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Հանեք x 2 փակագծերի համար.
.
2 + x - 6 = 0:
.
Հավասարումների արմատները.
, .

.

Օրինակ 1.2

Երրորդ աստիճանի բազմանդամի գործոնավորում.
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Փակագծերից հանում ենք x-ը.
.
Լուծում ենք x քառակուսային հավասարումը 2 + 6 x + 9 = 0:
Դրա տարբերակիչն է.
Քանի որ խտրական զրո, ապա հավասարման արմատները բազմապատիկ են՝ ;
.

Այստեղից մենք ստանում ենք բազմանդամի տարրալուծումը գործոնների.
.

Օրինակ 1.3

Հինգերորդ աստիճանի բազմանդամի գործակցում.
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Հանեք x 3 փակագծերի համար.
.
Լուծում ենք x քառակուսային հավասարումը 2 - 2 x + 10 = 0.
Դրա տարբերակիչն է.
Քանի որ դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, հավասարման արմատները բարդ են.
, .

Բազմանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.

Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է իրական գործակիցներով ֆակտորինգը, ապա.
.

Բանաձևերի միջոցով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ

Երկ քառակուսի բազմանդամների օրինակներ

Օրինակ 2.1

Գործոնացնել երկքառակուսի բազմանդամը.
x 4 + x 2 - 20.

Կիրառեք բանաձևերը.
ա 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ա 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Օրինակ 2.2

Բազմանդամի ֆակտորինգ, որը վերածվում է երկքառակորդի.
x 8 + x 4 + 1.

Կիրառեք բանաձևերը.
ա 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ա 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Օրինակ 2.3 ռեկուրսիվ բազմանդամով

Ռեկուրսիվ բազմանդամի գործոնավորում.
.

Ռեկուրսիվ բազմանդամն ունի կենտ աստիճան։ Հետևաբար այն ունի արմատ x = - 1 . Բազմանդամը բաժանում ենք x-ի (-1) = x + 1. Արդյունքում մենք ստանում ենք.
.
Մենք կատարում ենք փոխարինում.
, ;
;


;
.

Ամբողջ թվային արմատներով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ

Օրինակ 3.1

Բազմանանդամի գործակցում.
.

Ենթադրենք հավասարումը

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Այսպիսով, մենք գտանք երեք արմատ.
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Քանի որ սկզբնական բազմանդամը երրորդ աստիճանի է, այն չունի ավելի քան երեք արմատ։ Քանի որ մենք գտել ենք երեք արմատ, դրանք պարզ են: Հետո
.

Օրինակ 3.2

Բազմանանդամի գործակցում.
.

Ենթադրենք հավասարումը

ունի առնվազն մեկ ամբողջական արմատ: Ապա դա թվի բաժանարարն է 2 (անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը.
-2, -1, 1, 2 .
Փոխարինեք այս արժեքները մեկ առ մեկ.
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ արմատ.
x 1 = -1 .
Բազմանդամը բաժանում ենք x - x-ի 1 = x - (-1) = x + 1:


Հետո,
.

Այժմ մենք պետք է լուծենք երրորդ աստիճանի հավասարումը.
.
Եթե ​​ենթադրենք, որ այս հավասարումն ունի ամբողջ թվային արմատ, ապա այն թվի բաժանարար է 2 (անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը.
1, 2, -1, -2 .
Փոխարինող x = -1 :
.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ այլ արմատ x 2 = -1 . Հնարավոր կլիներ, ինչպես նախորդ դեպքում, բազմանդամը բաժանել , բայց մենք կխմբավորենք տերմինները.
.

Քառակուսի եռանկյունը կարող է գործոնավորվել հետևյալ կերպ.

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

որտեղ a թիվը, գործակիցը ամենաբարձր գործակիցից առաջ,

x-ը փոփոխական է (այսինքն՝ տառ),

x 1 և x 2 - թվեր, արմատներ քառակուսի հավասարում a x 2 + b x + c = 0, որոնք հայտնաբերվում են տարբերակիչի միջոցով:

Եթե ​​քառակուսի հավասարումը ունի միայն մեկ արմատ, ապա տարրալուծումն ունի հետևյալ տեսքը.

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

Քառակուսի եռանկյունի ֆակտորինգի օրինակներ.

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,   x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0; ⇒ x0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

Եթե ​​քառակուսի եռանկյունը թերի է (b = 0 կամ c = 0), ապա այն կարող է գործոնավորվել հետևյալ կերպ.

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ կիրառել կրճատված բազմապատկման բանաձևը քառակուսիների տարբերության համար:

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

Թիվ 1. Քառակուսի եռանկյունը գործոնացված է՝ x 2 + 6 x - 27 = (x + 9) (x - a) . Գտեք մի.

Լուծում:

Նախ պետք է քառակուսի եռանկյունը հավասարեցնել զրոյի՝ x 1 և x 2 գտնելու համար:

x 2 + 6 x − 27 = 0

a = 1, b = 6, c = − 27

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144

D > 0 նշանակում է, որ կլինեն երկու տարբեր արմատներ:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9

Իմանալով արմատները՝ մենք գործոնացնում ենք քառակուսի եռանկյունը.

x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)

Թիվ 2. x 2 + p x + q \u003d 0 հավասարումը ունի արմատներ - 5; 7. Գտիր ք.

Լուծում:

1 ճանապարհ:(դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես է գործակցվում քառակուսի եռանկյունը)

Եթե ​​x 1-ը և x 2-ը a x 2 + b x + c քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա այն կարելի է գործոնավորել հետևյալ կերպ՝ a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .

Քանի որ տրված քառակուսի եռանդամում առաջատար գործակիցը (x 2-ի դիմաց գործակիցը) հավասար է մեկի, ապա տարրալուծումը կլինի հետևյալը.

x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x - 35 = x 2 - 2 x - 35

x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35

2 ճանապարհ: (դուք պետք է իմանաք Վիետայի թեորեմը)

Վիետայի թեորեմա.

Կրճատված քառակուսի x 2 + p x + q եռանդամի արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով նրա երկրորդ գործակցի p գործակցին, իսկ արտադրյալը հավասար է q ազատ անդամին։

( x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q

q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35:

Նախ մատնանշենք մի քանի հաճախ օգտագործվող անուններ. Դիտարկենք բազմանդամները, որոնք ներառում են միայն մեկ տառ, օրինակ՝ x տառը։ Այնուհետև ամենապարզը բազմանդամն է, որի մեջ կա երկու անդամ, և դրանցից մեկը պարունակում է x տառը մինչև առաջին աստիճանը, իսկ մյուսը ընդհանրապես չունի x տառը, օրինակ՝ 3x - 5 կամ 15 - 7x կամ 8z: + 7 (այստեղ x տառի փոխարեն վերցված է z տառը) և այլն։ Նման բազմանդամները կոչվում են գծային երկանդամներ .

3x² - 5x + 7 կամ x² + 2x - 1
կամ 5y² + 7y + 8 կամ z² - 5z - 2 և այլն:

Նման բազմանդամները կոչվում են քառակուսի եռանկյուններ.

Այնուհետև մենք կարող ենք կազմել խորանարդ քառապատիկ, օրինակ.

x³ + 2x² - x + 1 կամ 3x³ - 5x² - 2x - 3 և այլն,

չորրորդ աստիճանի բազմանդամ, օրինակ.

x 4 - 2x³ - 3x² + 4x - 5 և այլն:

Կարելի է գործակիցները նշանակել x, x², x³ և այլն, նաև տառերով, օրինակ՝ a, b, c և այլն տառերով: Այնուհետև մենք ստանում ենք.

1) ընդհանուր ձևերկանդամ գծային x ax + b-ում,

2) քառակուսի եռանդամի ընդհանուր ձևը (x-ի նկատմամբ)՝ ax² + bx + c,

3) խորանարդ եռանդամի ընդհանուր ձևը (x-ի նկատմամբ)՝ ax³ + bx² + cx + d և այլն:

Այս բանաձևերում a, b, c, d տառերը փոխարինելով տարբեր թվերով՝ ստանում ենք բոլոր տեսակի գծային երկանդամներ, քառակուսի եռանդամներ և այլն։ Օրինակ՝ ax² + bx + c բանաձևում, որն արտահայտում է ընդհանուր ձևը։ Քառակուսի եռանդամի a տառը փոխարինում ենք + 3 թվով, b տառը՝ -2, իսկ c տառը՝ -1 թվով, ստանում ենք քառակուսի եռանկյունը՝ 3x² - 2x - 1: Կոնկրետ դեպքում. հնարավոր է նաև ստանալ երկանդամ՝ տառերից մեկը փոխարինելով զրոյով, օրինակ՝ եթե a = +1, b = 0 և c \u003d -3, ապա մենք ստանում ենք քառակուսի երկանդամ x² - 3:

Կարելի է սովորել որոշ քառակուսի եռանկյուններ բավականին արագ վերածել գծային գործոնների: Այնուամենայնիվ, մենք սահմանափակվում ենք դիտարկելով միայն այնպիսի քառակուսի եռանկյուններ, որոնք բավարարում են հետևյալ պայմանները.

1) գործակիցը ամենաբարձր անդամում (x²-ում) +1 է,

2) կարելի է գտնել երկու ամբողջ թվեր (նշաններով կամ երկու հարաբերական ամբողջ թվերով), որոնց գումարը հավասար է x-ի գործակցի առաջին աստիճանին, և դրանց արտադրյալը հավասար է x-ից ազատ տերմինին (որտեղ x տառ չկա. բոլորը):

Օրինակներ. 1. x² + 5x + 6; Մտքում հեշտ է գտնել երկու թիվ (նշաններով), որպեսզի դրանց գումարը հավասար լինի +5-ի (գործակից x-ում) և այնպես, որ դրանց արտադրյալը = +6 (x-ից զերծ տերմին), - այս թվերն են. 2 և +3 [իրականում +2 + 3 = +5 և (+2) ∙ (+3) = +6]: Օգտագործելով այս երկու թվերը, մենք +5x տերմինը փոխարինում ենք երկու տերմինով, այն է՝ +2x + 3x (իհարկե, +2x + 3x = +5x); այնուհետև մեր տեխնիկական տերմինը արհեստականորեն կվերածվի քառակուսի x² + 2x + 3x + 6: Այժմ կիրառենք խմբավորման տեխնիկան դրա վրա՝ տեղադրելով առաջին երկու անդամները մի խմբում, իսկ վերջին երկուսը մեկ այլ խմբում.

x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3):

Առաջին խմբում մենք փակցրեցինք x, իսկ երկրորդում +3 ստացանք երկու անդամ, որոնք պարզվեց, որ ունեն ընդհանուր գործակից (x + 2), որը նույնպես փակագծված էր, և մեր եռանդամը x² + 5x + 6 քայքայվեց 2 գծի: գործոններ՝ x + 2 և x + 3:

2. x² - x - 12. Այստեղ պետք է գտնել երկու թիվ (հարաբերական), որպեսզի դրանց գումարը լինի -1, իսկ արտադրյալը լինի -12: Այդպիսի թվերն են՝ -4 և +3։

Ստուգեք՝ -4 + 3 = -1; (-4) (+3) = -12. Օգտագործելով այս թվերը՝ մենք -x տերմինը փոխարինում ենք երկու տերմինով՝ -x \u003d -4x + 3x, - ստանում ենք.

x² - x - 12 \u003d x² - 4x + 3x - 12 \u003d x (x - 4) + 3 (x - 4) \u003d (x - 4) (x + 3):

3. x² - 7x + 6; այստեղ պահանջվող թվերն են՝ -6 և -1: [Ստուգեք՝ -6 + (-1) = -7; (–6) (–1) = +6]:

x² - 7x + 6 = x² - 6x - x + 6 = x (x - 6) - (x - 6) = (x - 6) (x - 1):

Այստեղ երկրորդ խմբի անդամները՝ -x + 6, պետք է փակվեին փակագծերի մեջ՝ դիմացը մինուս նշանով։

4. x² + 8x - 48. Այստեղ դուք պետք է գտնեք երկու թիվ, որպեսզի դրանց գումարը լինի +8, իսկ արտադրյալը՝ -48: Քանի որ արտադրյալը պետք է ունենա մինուս նշան, ապա ցանկալի թվերը պետք է լինեն տարբեր նշաններով, քանի որ մեր թվերի գումարն ունի + նշան, ուրեմն դրական թվի բացարձակ արժեքը պետք է ավելի մեծ լինի։ բացվող թվաբանական թիվ 48 երկու գործոնով (և դա կարելի է անել տարբեր ձևերով), մենք ստանում ենք՝ : 48 = 4 ∙ 12։ Այնուհետև մեր թվերն են՝ +12 և -4։ Հետևյալը պարզ է.

x² + 8x - 48 = x² + 12x - 4x - 48 = x (x + 12) - 4 (x + 12) = (x + 12) (x - 4):

5. x² + 7x - 12. Այստեղ դուք պետք է գտնեք 2 թիվ, որպեսզի դրանց գումարը լինի +7, իսկ արտադրյալը = -12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4: Ըստ երևույթին, 3-ը և 4-ը հարմար թվեր կլինեն, բայց դրանք պետք է տարբեր նշաններով վերցվեն, որպեսզի դրանց արտադրյալը հավասար լինի -12-ի, իսկ հետո դրանց գումարը ոչ մի կերպ չլինի: կարող է լինել +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]: Մյուս ֆակտորիզացիաները նույնպես չեն տալիս անհրաժեշտ թվերը. հետևաբար, մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ մենք դեռ չենք կարողանում այս քառակուսի եռանկյունները վերածել գծային գործակիցների, քանի որ մեր մեթոդը կիրառելի չէ դրա համար (այն չի բավարարում սկզբում հաստատված պայմաններից երկրորդին):

Նա ունի քառակուսի, և այն բաղկացած է երեք անդամից (): Այսպիսով, ստացվում է` քառակուսի եռանկյուն:

Օրինակներ ոչքառակուսի եռանկյուններ.

\(x^3-3x^2-5x+6\) - խորանարդ չորրորդական
\(2x+1\) - գծային երկանդամ

Քառակուսի եռանդամի արմատը.

Օրինակ:
\(x^2-2x+1\) եռանդամն ունի \(1\) արմատ, քանի որ \(1^2-2 1+1=0\)
\(x^2+2x-3\) եռանդամն ունի \(1\) և \(-3\) արմատներ, քանի որ \(1^2+2-3=0\) և \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

Օրինակ:եթե անհրաժեշտ է գտնել \(x^2-2x+1\) քառակուսի եռանդամի արմատները, ապա այն հավասարեցնում ենք զրոյի և լուծում ենք \(x^2-2x+1=0\) հավասարումը:

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Պատրաստ. Արմատը \(1\) է:

Քառակուսի եռանդամի տարրալուծումը հետևյալի.

Քառակուսի եռանկյունը \(ax^2+bx+c\) կարող է ընդլայնվել որպես \(a(x-x_1)(x-x_2)\), եթե \(ax^2+bx+c=0\) հավասարումները. զրոյից մեծ \ (x_1\) և \(x_2\) նույն հավասարման արմատներն են:

Օրինակ, դիտարկենք \(3x^2+13x-10\) եռանդամը։
Քառակուսային հավասարումը \(3x^2+13x-10=0\) ունի 289-ի (զրոյից մեծ) դիսկրիմինանտ, իսկ արմատները հավասար են \(-5\) և \(\frac(2)(3): )\). Այսպիսով, \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\): Հեշտ է ստուգել այս հայտարարության ճիշտությունը. եթե մենք , ապա մենք ստանում ենք սկզբնական եռանկյունը:

\(ax^2+bx+c\) քառակուսի եռանկյունը կարող է ներկայացվել որպես \(a(x-x_1)^2\), եթե \(ax^2+bx+c=0\) հավասարման դիսկրիմինանտը հավասար է. հավասար է զրոյի:

Օրինակ, դիտարկենք \(x^2+6x+9\) եռանդամը։
Քառակուսի հավասարումը \(x^2+6x+9=0\) ունի դիսկրիմինանտ, որը հավասար է \(0\-ին), իսկ միակ արմատը հավասար է \(-3\-ին): Այսպիսով, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (այստեղ \(a=1\ գործակիցն է), ուստի փակագծից առաջ գրելու կարիք չկա։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նույն փոխակերպումը կարող է կատարվել .

\(ax^2+bx+c\) քառակուսի եռանկյունը չի ֆակտորիզացվում, եթե \(ax^2+bx+c=0\) հավասարման դիսկրիմինանտը փոքր է զրոյից։

Օրինակ, \(x^2+x+4\) և \(-5x^2+2x-1\) եռանկյուններն ունեն զրոյից փոքր դիսկրիմինանտ։ Հետեւաբար, անհնար է դրանք քայքայել գործոնների։

Օրինակ . Գործոն \(2x^2-11x+12\):
Լուծում :
Գտե՛ք \(2x^2-11x+12=0\) քառակուսի հավասարման արմատները

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Այսպիսով, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Պատասխանել : \(2(x-1.5)(x-4)\)

Ստացված պատասխանը կարող է գրվել այլ կերպ՝ \((2x-3)(x-4)\):

Օրինակ . (Հանձնարարություն OGE-ից)Քառակուսի եռանկյունը գործակցվում է \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\): Գտեք \(a\):
Լուծում:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Պատասխանել : \(-1,6\)