Մոդուլներ պարունակող ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցումը սովորաբար զգալի դժվարություններ է առաջացնում դպրոցականների համար։ Այնուամենայնիվ, ամեն ինչ այնքան էլ վատ չէ։ Բավական է հիշել մի քանի ալգորիթմ նման խնդիրների լուծման համար, և դուք հեշտությամբ կարող եք գծագրել նույնիսկ ամենաբարդ թվացող ֆունկցիան։ Տեսնենք, թե որոնք են այս ալգորիթմները:
1. y = |f(x)| ֆունկցիայի գծագրում
Նկատի ունեցեք, որ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը y = |f(x)| y ≥ 0. Այսպիսով, նման ֆունկցիաների գրաֆիկները միշտ գտնվում են ամբողջությամբ վերին կիսահարթության մեջ:
y = |f(x)| ֆունկցիայի գծագրում բաղկացած է հետևյալ պարզ չորս քայլերից.
1) Ուշադիր և ուշադիր կառուցեք y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:
2) Անփոփոխ թողեք գրաֆիկի բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են 0x առանցքի վերևում կամ վրա:
3) Գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է 0x առանցքի տակ, ցուցադրվում է սիմետրիկ 0x առանցքի նկատմամբ:
Օրինակ 1. Գծե՛ք y = |x 2 - 4x + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկը:
1) Մենք կառուցում ենք y \u003d x 2 - 4x + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկը: Ակնհայտ է, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է: Գտնենք պարաբոլայի հատման բոլոր կետերի կոորդինատները կոորդինատային առանցքների հետ և պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները։
x 2 - 4x + 3 = 0:
x 1 = 3, x 2 = 1:
Հետևաբար պարաբոլան հատում է 0x առանցքը (3, 0) և (1, 0) կետերում։
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Հետևաբար պարաբոլան հատում է 0y առանցքը (0, 3) կետում։
Parabola vertex կոորդինատները:
x in \u003d - (-4/2) \u003d 2, y in \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1:
Հետևաբար, կետը (2, -1) այս պարաբոլայի գագաթն է:
Ստացված տվյալների օգնությամբ նկարիր պարաբոլա (նկ. 1)
2) Գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է 0x առանցքի տակ, ցուցադրվում է սիմետրիկ 0x առանցքի նկատմամբ:
3) Մենք ստանում ենք բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկը ( բրինձ. 2, ցույց է տրված կետագծով):
2. y = f(|x|) ֆունկցիայի գծագրում
Նկատի ունեցեք, որ y = f(|x|) ձևի ֆունկցիաները զույգ են.
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x): Սա նշանակում է, որ նման ֆունկցիաների գրաֆիկները սիմետրիկ են 0y առանցքի նկատմամբ։
y = f(|x|) ֆունկցիայի գծագրումը բաղկացած է հետևյալ պարզ գործողությունների շղթայից.
1) Գրեք y = f(x) ֆունկցիան:
2) Թողնել գրաֆիկի այն հատվածը, որի համար x ≥ 0, այսինքն՝ գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է աջ կիսահարթությունում։
3) Ցուցադրել գրաֆիկի (2) պարբերությունում նշված հատվածը սիմետրիկորեն 0y առանցքի նկատմամբ:
4) Որպես վերջնական գրաֆիկ ընտրել 2-րդ և 3-րդ պարբերություններում ստացված կորերի միավորումը:
Օրինակ 2. Գծե՛ք y = x 2 – 4 ֆունկցիայի գրաֆիկը · |x| + 3
Քանի որ x 2 = |x| 2, ապա սկզբնական ֆունկցիան կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ. y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Իսկ այժմ մենք կարող ենք կիրառել վերը առաջարկված ալգորիթմը։
1) Մենք ուշադիր և ուշադիր կառուցում ենք y \u003d x 2 - 4 x + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկը (տես նաև բրինձ. մեկ).
2) Թողնում ենք գրաֆիկի այն հատվածը, որի համար x ≥ 0, այսինքն՝ գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է աջ կիսահարթությունում։
3) Ցուցադրում աջ կողմ 0y առանցքի սիմետրիկ գրաֆիկա:
(նկ. 3).
Օրինակ 3. Գծե՛ք y = log 2 |x| ֆունկցիայի գրաֆիկը
Մենք կիրառում ենք վերը նշված սխեման:
1) Մենք գծագրում ենք y = log 2 x ֆունկցիան (նկ. 4).
3. y = |f(|x|)| ֆունկցիայի գծագրում
Նշենք, որ y = |f(|x|)| ձևի ֆունկցիաները նույնպես հավասար են. Իրոք, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), և, հետևաբար, նրանց գրաֆիկները սիմետրիկ են 0y առանցքի նկատմամբ: Նման ֆունկցիաների արժեքների հավաքածուն՝ y ≥ 0. Այսպիսով, նման ֆունկցիաների գրաֆիկները գտնվում են ամբողջությամբ վերին կիսահարթության մեջ:
y = |f(|x|)| ֆունկցիան գծագրելու համար անհրաժեշտ է.
1) Կառուցեք y = f(|x|) ֆունկցիայի հստակ գրաֆիկ:
2) Անփոփոխ թողեք գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է 0x առանցքի վերևում կամ վրա:
3) Գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է 0x առանցքի տակ, պետք է սիմետրիկ կերպով ցուցադրվի 0x առանցքի նկատմամբ:
4) Որպես վերջնական գրաֆիկ ընտրել 2-րդ և 3-րդ պարբերություններում ստացված կորերի միավորումը:
Օրինակ 4. Գծե՛ք y = |-x 2 + 2|x| ֆունկցիայի գրաֆիկը: – 1|.
1) Նկատի ունեցեք, որ x 2 = |x| 2. Այսպիսով, սկզբնական ֆունկցիայի փոխարեն y = -x 2 + 2|x| - մեկ
կարող եք օգտագործել y = -|x| ֆունկցիան 2 + 2|x| – 1, քանի որ նրանց գրաֆիկները նույնն են:
Կառուցում ենք գրաֆիկ y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Դրա համար մենք օգտագործում ենք ալգորիթմ 2:
ա) Մենք պատկերում ենք y \u003d -x 2 + 2x - 1 ֆունկցիան (նկ. 6).
բ) Թողնում ենք գրաֆիկի այն հատվածը, որը գտնվում է աջ կիսահարթության մեջ։
գ) Ցուցադրել գրաֆիկի ստացված մասը սիմետրիկորեն 0y առանցքի նկատմամբ:
դ) Ստացված գրաֆիկը պատկերված է կետագծով (նկ. 7).
2) 0x առանցքից բարձր կետեր չկան, 0x առանցքի կետերը թողնում ենք անփոփոխ։
3) Գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է 0x առանցքի տակ, ցուցադրվում է սիմետրիկ 0x-ի նկատմամբ:
4) Ստացված գրաֆիկը նկարում ներկայացված է կետագծով (նկ. 8).
Օրինակ 5. Գրեք y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Նախ անհրաժեշտ է գծել y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) ֆունկցիան: Դա անելու համար մենք վերադառնում ենք ալգորիթմ 2-ին:
ա) Զգուշորեն գծեք y ֆունկցիան (2x – 4) / (x + 3) (նկ. 9).
նկատել, որ տրված գործառույթըգծային-կոտորակային է, և դրա գրաֆիկը հիպերբոլա է: Կոր կառուցելու համար նախ պետք է գտնել գրաֆիկի ասիմպտոտները: Հորիզոնական - y \u003d 2/1 (գործակիցների հարաբերակցությունը x-ին կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեջ), ուղղահայաց - x \u003d -3:
2) Գծապատկերի այն մասը, որը գտնվում է 0x առանցքի վերևում, կմնա անփոփոխ:
3) Գծապատկերի այն մասը, որը գտնվում է 0x առանցքի տակ, կցուցադրվի սիմետրիկ 0x-ի նկատմամբ:
4) Վերջնական գրաֆիկը ներկայացված է նկարում (նկ. 11).
կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:
Դաս «$y=x^3$ ֆունկցիայի գրաֆիկը և հատկությունները. գծապատկերի օրինակներ» թեմայով դաս.
Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով:
Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 7-րդ դասարանի համար
Էլեկտրոնային դասագիրք 7-րդ դասարանի համար «Հանրահաշիվը 10 րոպեում».
1C կրթահամալիր «Հանրահաշիվ, 7-9 դասարաններ»
$y=x^3$ ֆունկցիայի հատկությունները
Եկեք նկարագրենք այս ֆունկցիայի հատկությունները.
1. x-ը անկախ փոփոխականն է, y-ը` կախված փոփոխականը:
2. Սահմանման տիրույթ՝ ակնհայտ է, որ (x) փաստարկի ցանկացած արժեքի համար հնարավոր է հաշվարկել (y) ֆունկցիայի արժեքը։ Համապատասխանաբար, այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։
3. Արժեքների միջակայք. y-ն կարող է լինել ցանկացած բան: Համապատասխանաբար, միջակայքը նաև ամբողջ թվային գիծն է։
4. Եթե x= 0, ապա y= 0:
$y=x^3$ ֆունկցիայի գրաֆիկ
1. Կազմենք արժեքների աղյուսակ.
2. x-ի դրական արժեքների համար $y=x^3$ ֆունկցիայի գրաֆիկը շատ նման է պարաբոլային, որի ճյուղերն ավելի «սեղմված» են OY առանցքի վրա։
3. Քանի որ $y=x^3$ ֆունկցիան ունի հակառակ արժեքներ x-ի բացասական արժեքների համար, ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։
Հիմա եկեք նշենք կետերը կոորդինատային հարթությունև կառուցիր գրաֆիկ (տես նկ. 1):
Այս կորը կոչվում է խորանարդ պարաբոլա:
Օրինակներ
I. Լիովին ավարտված փոքրիկ նավի վրա քաղցրահամ ջուր. Քաղաքից անհրաժեշտ է բավականաչափ ջուր բերել։ Ջուրը պատվիրվում է նախօրոք և վճարվում է լրիվ խորանարդի համար, նույնիսկ եթե այն մի փոքր պակաս լցնեք։ Քանի՞ խորանարդ պետք է պատվիրել, որպեսզի ավելորդ խորանարդի համար չվճարենք և ամբողջությամբ լցնենք բաքը: Հայտնի է, որ բաքն ունի նույն երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը, որոնք հավասար են 1,5 մ, լուծենք այս խնդիրը առանց հաշվարկներ կատարելու։
Լուծում:
1. Եկեք գծենք $y=x^3$ ֆունկցիան։
2. Գտի՛ր A կետը, x կոորդինատը, որը հավասար է 1,5-ի: Մենք տեսնում ենք, որ ֆունկցիայի կոորդինատը գտնվում է 3 և 4 արժեքների միջև (տես Նկար 2): Այսպիսով, դուք պետք է պատվիրեք 4 խորանարդ:
Դեպի ոսկե դար տեղեկատվական տեխնոլոգիաներՔիչ մարդիկ կգնեն գրաֆիկական թուղթ և ժամեր կծախսեն ֆունկցիա կամ տվյալների կամայական հավաքածու նկարելու վրա, և ինչու՞ նման աշխատանք անել, երբ կարող եք ֆունկցիան առցանց գծագրել: Բացի այդ, գրեթե անհնար է և դժվար է հաշվարկել արտահայտման միլիոնավոր արժեքներ ճիշտ ցուցադրման համար, և չնայած բոլոր ջանքերին, դուք կստանաք կոտրված գիծ, ոչ թե կոր: Քանի որ համակարգիչը այս դեպքում. անփոխարինելի օգնական.
Ինչ է ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիան կանոն է, ըստ որի մի բազմության յուրաքանչյուր տարր կապված է մեկ այլ բազմության որոշ տարրի հետ, օրինակ՝ y = 2x + 1 արտահայտությունը կապ է հաստատում բոլոր x արժեքների բազմությունների և բոլոր y արժեքների միջև, հետևաբար. , սա ֆունկցիա է։ Ըստ այդմ՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը կկոչվի այն կետերի բազմություն, որոնց կոորդինատները բավարարում են տրված արտահայտությունը։
Նկարում տեսնում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x. Սա ուղիղ գիծ է, և դրա յուրաքանչյուր կետ ունի իր սեփական կոորդինատները առանցքի վրա Xև առանցքի վրա Յ. Սահմանման հիման վրա, եթե փոխարինենք կոորդինատը Xինչ-որ կետ այս հավասարման մեջ, ապա մենք ստանում ենք այս կետի կոորդինատը առանցքի վրա Յ.
Գործառույթների գրաֆիկների գծագրման ծառայություններ առցանց
Դիտարկենք մի քանի հայտնի և լավագույն ծառայություններ, որոնք թույլ են տալիս արագ նկարել ֆունկցիայի գրաֆիկը:
Բացում է ամենատարածված ծառայության ցանկը, որը թույլ է տալիս գծել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ օգտագործելով առցանց հավասարումը: Umath-ը պարունակում է միայն անհրաժեշտ գործիքներ, ինչպիսիք են խոշորացումը, շարժվել կոորդինատային հարթության երկայնքով և դիտել այն կետի կոորդինատը, որտեղ մկնիկը ցույց է տալիս:
Հրահանգ:
- Մուտքագրեք ձեր հավասարումը «=" նշանից հետո վանդակում:
- Սեղմեք կոճակը «Կառուցել գրաֆիկ».
Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ չափազանց պարզ է և հասանելի, բարդ մաթեմատիկական ֆունկցիաներ գրելու շարահյուսությունը՝ մոդուլով, եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալով, տրված է հենց գրաֆիկի տակ: Նաև, անհրաժեշտության դեպքում, կարող եք սահմանել հավասարումը պարամետրային մեթոդով կամ կառուցել գծապատկերներ բևեռային կոորդինատային համակարգում:
Yotx-ն ունի նախորդ ծառայության բոլոր գործառույթները, բայց միևնույն ժամանակ այն պարունակում է այնպիսի հետաքրքիր նորամուծություններ, ինչպիսիք են գործառույթի ցուցադրման միջակայքի ստեղծումը, աղյուսակային տվյալների միջոցով գրաֆիկ ստեղծելու հնարավորությունը, ինչպես նաև ամբողջական լուծումներով աղյուսակ ցուցադրելը:
Հրահանգ:
- Ընտրեք ցանկալի ժամանակացույցի մեթոդը:
- Մուտքագրեք հավասարում:
- Սահմանեք միջակայքը:
- Սեղմեք կոճակը «Կառուցել».
Նրանց համար, ովքեր չափազանց ծույլ են պարզել, թե ինչպես գրել որոշակի գործառույթներ, այս դիրքը ներկայացնում է ծառայություն մկնիկի մեկ սեղմումով ցանկից ձեզ անհրաժեշտը ընտրելու ունակությամբ:
Հրահանգ:
- Ցանկից գտեք ձեզ անհրաժեշտ գործառույթը:
- Սեղմեք դրա վրա մկնիկի ձախ կոճակով
- Անհրաժեշտության դեպքում դաշտում մուտքագրեք գործակիցները «Ֆունկցիա..
- Սեղմեք կոճակը «Կառուցել».
Վիզուալիզացիայի առումով հնարավոր է փոխել գրաֆիկի գույնը, ինչպես նաև թաքցնել կամ ընդհանրապես ջնջել։
Desmos-ը առցանց հավասարումներ կառուցելու ամենաբարդ ծառայությունն է: Գրաֆիկի վրա սեղմած մկնիկի ձախ կոճակով կուրսորը շարժելով՝ կարող եք մանրամասնորեն տեսնել 0,001 ճշգրտությամբ հավասարման բոլոր լուծումները։ Ներկառուցված ստեղնաշարը թույլ է տալիս արագ գրել աստիճաններ և կոտորակներ: Ամենակարևոր գումարածը հավասարումը ցանկացած վիճակում գրելու ունակությունն է՝ առանց տանելու դեպի y = f(x):
Հրահանգ:
- Ձախ սյունակում աջ սեղմեք ազատ տողի վրա:
- Ներքևի ձախ անկյունում կտտացրեք ստեղնաշարի պատկերակին:
- Հայտնվող վահանակում մուտքագրեք ցանկալի հավասարումը (ֆունկցիաների անունները գրելու համար անցեք «A B C» բաժինը):
- Գրաֆիկը կառուցված է իրական ժամանակում:
Վիզուալիզացիան պարզապես կատարյալ է, հարմարվողական, պարզ է, որ դիզայներներն աշխատել են հավելվածի վրա։ Պլյուսներից կարելի է նշել հնարավորությունների հսկայական առատություն, որոնց զարգացման համար օրինակներ կարող եք տեսնել վերին ձախ անկյունում գտնվող մենյուում:
Ֆունկցիաների գծագրման համար շատ կայքեր կան, բայց յուրաքանչյուրն ազատ է ընտրել իր համար՝ ելնելով պահանջվող ֆունկցիոնալությունից և անձնական նախասիրություններից: Լավագույնների ցանկը կազմվել է ցանկացած մաթեմատիկոսի՝ երիտասարդ թե մեծ, պահանջներին համապատասխանելու համար։ Հաջողություն ձեզ հասկանալու «գիտությունների թագուհուն»:
