ԿԵՆՍԱԲԱՆԱԿԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐԻ ԿԻՆԵՏԻԿԱ

Ինչպե՞ս կարելի է նկարագրել կենսաբանական համակարգերի դինամիկան: Ժամանակի յուրաքանչյուր պահի կենսաբանական համակարգն ունի որոշակի բնութագրերի մի շարք: Օրինակ՝ դիտարկելով տեսակի պոպուլյացիան՝ կարող եք գրանցել դրա չափը, տարածքի զբաղեցրած տարածքը, հասանելի սննդի քանակը, ջերմաստիճանը։ միջավայրըև այլն արտահոսք քիմիական ռեակցիակարող է բնութագրվել մասնակից նյութերի կոնցենտրացիաներով, ճնշումով, ջերմաստիճանով և միջավայրի թթվայնության մակարդակով։ Բոլոր բնութագրերի արժեքների հավաքածուն, որը հետազոտողը ընտրել է համակարգը նկարագրելու համար, դա համակարգի վիճակն է յուրաքանչյուր պահի: Մոդել ստեղծելիս փոփոխականները և պարամետրերը ընտրվում են նշված հավաքածուում: Փոփոխականներն այն մեծություններն են, որոնց փոփոխություններն առաջին հերթին հետաքրքրում են հետազոտողին, պարամետրերը՝ «արտաքին միջավայրի» պայմանները։ Հենց ընտրված փոփոխականների համար են կազմվում հավասարումներ, որոնք արտացոլում են ժամանակի ընթացքում համակարգի փոփոխության օրինաչափությունները: Օրինակ, միկրոօրգանիզմների մշակույթի աճի մոդել ստեղծելիս դրա թիվը սովորաբար գործում է որպես փոփոխական, իսկ վերարտադրության արագությունը՝ որպես պարամետր։ Հնարավոր է, որ ջերմաստիճանը, որի դեպքում աճ է տեղի ունենում, զգալի լինի, ապա այս ցուցանիշը նույնպես ներառված է մոդելում որպես պարամետր: Իսկ եթե, օրինակ, օդափոխության մակարդակը միշտ բավարար է և որևէ ազդեցություն չի ունենում աճի գործընթացների վրա, ապա այն ընդհանրապես ներառված չէ մոդելի մեջ։ Որպես կանոն, փորձարկման ընթացքում պարամետրերը մնում են անփոփոխ, սակայն հարկ է նշել, որ դա միշտ չէ, որ այդպես է։

Հնարավոր է նկարագրել կենսաբանական համակարգի դինամիկան (այսինքն՝ ժամանակի ընթացքում նրա վիճակի փոփոխությունը) օգտագործելով ինչպես դիսկրետ, այնպես էլ շարունակական մոդելներ։ Դիսկրետ մոդելները ենթադրում են, որ ժամանակն է դիսկրետ քանակություն. Սա համապատասխանում է փոփոխականների արժեքների գրանցմանը որոշակի ֆիքսված պարբերականությամբ (օրինակ, ժամը մեկ կամ տարին մեկ անգամ): Շարունակական մոդելներում կենսաբանական փոփոխականը ժամանակի շարունակական ֆունկցիա է, որը նշվում է, օրինակ. x(տ).

Հաճախակի մեծ նշանակությունունեն նախնական պայմաններըմոդելներ - ուսումնասիրվող հատկանիշի վիճակը ժամանակի սկզբնական պահին, այսինքն. ժամը տ = 0.

Որոշ բնութագրիչի շարունակական փոփոխությունն ուսումնասիրելիս x(տ) մենք կարող ենք տեղեկություններ իմանալ դրա փոփոխության արագության մասին: Այս տեղեկատվությունը սովորաբար կարող է գրվել որպես դիֆերենցիալ հավասարում.

Նման ֆորմալ նշումը նշանակում է, որ ուսումնասիրվող որոշ հատկանիշի փոփոխության արագությունը կախված է ժամանակից և այս հատկանիշի մեծությունից:

Եթե ​​ձևի դիֆերենցիալ հավասարման աջ կողմը բացահայտորեն կախված չէ ժամանակից, այսինքն. արդար:

ապա այս հավասարումը կոչվում է ինքնավար(այդպիսի հավասարմամբ նկարագրված համակարգը կոչվում է ինքնավար) Ինքնավար համակարգերի վիճակը ժամանակի յուրաքանչյուր պահին բնութագրվում է մեկ միասնական արժեքով՝ փոփոխականի արժեքով xայս պահին տ.

Եկեք ինքներս մեզ հարց տանք. թող տրվի դիֆերենցիալ հավասարում x(տ), հնարավո՞ր է գտնել բոլոր գործառույթները x(տ) բավարարո՞ւմ է այս հավասարումը: Կամ՝ եթե հայտնի է որոշակի փոփոխականի սկզբնական արժեքը (օրինակ՝ պոպուլյացիայի սկզբնական չափը, նյութի կոնցենտրացիան, միջավայրի էլեկտրական հաղորդունակությունը և այլն), և կա տեղեկություն փոփոխության բնույթի մասին։ Այս փոփոխականը հնարավո՞ր է կանխատեսել, թե որն է դրա արժեքը ժամանակի բոլոր հաջորդ կետերում: Տրված հարցի պատասխանը հետևյալն է. եթե հավասարման համար տրված են նախնական պայմանները և բավարարված են Քոշիի թեորեմի պայմանները (որոշ տարածաշրջանում տրված ֆունկցիան և դրա մասնակի ածանցյալը շարունակական են այս շրջանում), ապա կա. տրված սկզբնական պայմաններին բավարարող հավասարման եզակի լուծումն է։ (Հիշենք, որ ցանկացած շարունակական ֆունկցիա, որը բավարարում է դիֆերենցիալ հավասարումը, կոչվում է այդ հավասարման լուծում:) Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք եզակիորեն կանխատեսել կենսաբանական համակարգի վարքագիծը, եթե հայտնի են նրա սկզբնական վիճակի բնութագրերը, և մոդելի հավասարումը բավարարում է պայմանները: Քոշիի թեորեմ.

Ստացիոնար վիճակ. Կայունություն

Դիտարկենք ինքնավար դիֆերենցիալ հավասարումը

Ստացիոնար վիճակում համակարգում փոփոխականների արժեքները ժամանակի հետ չեն փոխվում, այսինքն՝ փոփոխականների արժեքների փոփոխության արագությունը 0: Եթե ​​(1.2) հավասարման ձախ կողմը հավասար է զրոյի, ապա աջը նույնպես հավասար է զրոյի. Այս հանրահաշվական հավասարման արմատներն են անշարժ վիճակներդիֆերենցիալ հավասարում (1.2).

Օրինակ 1.1:Գտե՛ք հավասարման անշարժ վիճակները:

ԼուծումԱծանցյալ չպարունակող տերմինը տեղափոխենք հավասարության աջ կողմ՝ . Ըստ սահմանման, անշարժ վիճակում գործում է հետևյալ հավասարությունը. Այսպիսով, հավասարությունը պետք է պահպանվի . Մենք լուծում ենք հավասարումը.

,

Այսպիսով, հավասարումն ունի 3 անշարժ վիճակ՝ , .

Կենսաբանական համակարգերը մշտապես ունենում են տարբեր արտաքին ազդեցություններ և բազմաթիվ տատանումներ։ Միևնույն ժամանակ, նրանք (կենսաբանական համակարգերը) ունեն հոմեոստազ, այսինքն. դիմացկուն. Մաթեմատիկական լեզվով սա նշանակում է, որ փոփոխականները փոքր շեղումներով վերադառնում են իրենց անշարժ արժեքներին։ Կենսաբանական համակարգի այս վարքագիծը կարտացոլվի՞ նրա մաթեմատիկական մոդելում: Արդյո՞ք մոդելի անշարժ վիճակները կայուն են:

Կայուն վիճակն է կայուն, եթե հավասարակշռության դիրքից բավական փոքր շեղման դեպքում համակարգը երբեք հեռու չի գնա եզակի կետից: Կայուն վիճակը համապատասխանում է համակարգի գործունեության կայուն ռեժիմին:

Հավասարման հավասարակշռության վիճակը Լյապունովը կայուն է, եթե որևէ մեկի համար միշտ կարելի է գտնել այնպիսին, որ եթե, ապա բոլորի համար:

Կա կայունության ուսումնասիրության վերլուծական մեթոդ կայուն վիճակ– Լյապունովի մեթոդ. Դա հիմնավորելու համար հիշում ենք Թեյլորի բանաձեւը.

Թեյլորի բանաձևը ցույց է տալիս ֆունկցիայի վարքագիծը որոշակի կետի մոտակայքում: Թող ֆունկցիան ունենա ածանցյալներ մինչև բոլոր կարգերի մի կետում n-ներառյալ։ Այնուհետև Թեյլորի բանաձևը վավեր է հետևյալի համար.

Հեռացնելով մնացած անդամը, որն իրեն ներկայացնում է ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր, մենք ստանում ենք Թեյլորի մոտավոր բանաձևը.

Մոտավոր բանաձեւի աջ կողմը կոչվում է Թեյլորի բազմանդամգործառույթներ, այն նշվում է որպես .

Օրինակ 1.2:Ընդլայնել ֆունկցիան Թեյլորի շարքում կետի հարևանությամբ մինչև 4-րդ կարգի:

Լուծում:Մենք գրում ենք Թեյլորի շարքը մինչև 4-րդ կարգը ընդհանուր ձևով.

Գտնենք ածանցյալներ տրված գործառույթըկետում:

,

Ստացված արժեքները փոխարինեք սկզբնական բանաձևով.

Ստացիոնար վիճակի կայունությունն ուսումնասիրելու վերլուծական մեթոդ ( Լյապունովի մեթոդ) հետևյալն է. Թող լինի հավասարման անշարժ վիճակը: Սահմանենք փոփոխականի մի փոքր շեղում xիր անշարժ արժեքից՝ , որտեղ . Արտահայտությունը փոխարինի՛ր կետով xսկզբնական հավասարման մեջ. . Հավասարման ձախ կողմը կունենա հետևյալ ձևը. , քանի որ անշարժ վիճակում փոփոխականի արժեքի փոփոխության արագությունը հավասար է զրոյի. Մենք ընդլայնում ենք աջ կողմը դեպի Թեյլորի շարք անշարժ վիճակի մոտակայքում, հաշվի առնելով, որ մենք թողնում ենք միայն գծային անդամը հավասարման աջ կողմում.

Ստացել է գծային հավասարումկամ առաջին մոտավոր հավասարումը. Որոշ արժեք կա մշտական, նշենք ա: Գծային հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև՝ . Այս արտահայտությունը նկարագրում է այն օրենքը, ըստ որի մեր կողմից տրված անշարժ վիճակից շեղումը ժամանակի ընթացքում կփոխվի։ Շեղումը ժամանակի ընթացքում կփչանա, այսինքն. ժամը , եթե ցուցիչում ցուցիչը բացասական է, այսինքն. . Ըստ սահմանման, կայուն վիճակը կլինի կայուն. Եթե ​​, ապա ժամանակի ավելացման հետ շեղումը միայն կաճի, անշարժ վիճակն է անկայուն. Այն դեպքում, երբ առաջին մոտարկման հավասարումը չի կարող պատասխան տալ անշարժ վիճակի կայունության հարցին։ Թեյլորի շարքի ընդլայնման մեջ անհրաժեշտ է դիտարկել ավելի բարձր կարգի պայմաններ:

Ստացիոնար վիճակի կայունության ուսումնասիրման վերլուծական մեթոդից բացի կա նաև գրաֆիկական։

Օրինակ 1.3.Թող . Գտե՛ք հավասարման անշարժ վիճակները և որոշե՛ք դրանց կայունության տեսակը՝ օգտագործելով ֆունկցիայի գրաֆիկը .

Լուծում:Գտնենք հատուկ կետեր.

,

,

Կառուցում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկը (նկ. 1.1):

Բրինձ. 1.1. Ֆունկցիայի գրաֆիկ (օրինակ 1.3):

Եկեք որոշենք գրաֆիկից, թե արդյոք գտնված անշարժ վիճակներից յուրաքանչյուրը կայուն է: Սահմանենք ներկայացուցչական կետի փոքր շեղումը եզակի կետից դեպի ձախ. Կոորդինատ ունեցող կետում ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեք՝ կամ . Վերջին անհավասարությունը նշանակում է, որ ժամանակի ընթացքում կոորդինատը պետք է մեծանա, այսինքն՝ ներկայացուցչական կետը պետք է վերադառնա կետին: Այժմ դնենք ներկայացուցչական կետի փոքր շեղումը եզակի կետից դեպի աջ. Այս տարածաշրջանում ֆունկցիան պահպանում է դրական արժեք, հետևաբար ժամանակի ընթացքում կոորդինատը xնույնպես մեծանում է, այսինքն՝ ներկայացուցչական կետը կհեռանա կետից։ Այսպիսով, փոքր շեղումը համակարգը դուրս է բերում անշարժ վիճակից, հետևաբար, ըստ սահմանման, եզակի կետն անկայուն է։ Նմանատիպ դատողությունը հանգեցնում է նրան, որ եզակի կետից ցանկացած շեղում ժամանակի հետ քայքայվում է, անշարժ վիճակը կայուն է: Ներկայացնող կետի շեղումը ցանկացած ուղղությամբ անշարժ վիճակից հանգեցնում է դրա հեռացմանը կետից, սա անկայուն անշարժ վիճակ է:

Գծային համակարգի լուծում դիֆերենցիալ հավասարումներ

Անդրադառնանք առաջին գծային հավասարումների համակարգերի ուսումնասիրությանը: Ընդհանուր առմամբ, գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Հավասարումների համակարգի վերլուծությունը սկսվում է անշարժ վիճակների հայտնաբերմամբ: (1.3) ձևի համակարգերի համար եզակի կետը եզակի է, նրա կոորդինատներն են (0,0): Բացառություն է դեգեներատ դեպքը, երբ հավասարումները կարող են ներկայացվել հետևյալ կերպ.

(1.3*)

Այս դեպքում կապը բավարարող բոլոր զույգերը համակարգի անշարժ կետերն են (1.3*): Մասնավորապես, (0,0) կետը նույնպես անշարժ է (1.3*) համակարգի համար։ Ֆազային հարթության վրա, այս դեպքում, մենք ունենք սկզբնաղբյուրով անցնող թեքության գործակից ունեցող ուղիղ գիծ, ​​որի յուրաքանչյուր կետ համակարգի եզակի կետն է (1.3 *) (տես Աղյուսակ 1.1, կետ 6):

Հիմնական հարցը, որին պետք է պատասխանի հավասարումների համակարգի ուսումնասիրության արդյունքը, այն է, թե արդյոք համակարգի անշարժ վիճակը կայուն է, և ի՞նչ բնույթ ունի այս լուծումը (միապաղաղ, թե ոչ միապաղաղ):

Ընդհանուր որոշումԵրկու գծային հավասարումների համակարգը ունի ձև.

բնորոշ թվերկարող է արտահայտվել գծային հավասարումների գործակիցներով հետևյալ կերպ.

Բնութագրական թվերը կարող են լինել 1) տարբեր նշանների իրական, 2) նույն նշանի իրական, 3) բարդ խոնարհված, ինչպես նաև այլասերված դեպքերում, 4) զուտ երևակայական, 5) իրական համընկնող, 6) իրական, որոնցից մեկը (կամ երկուսն էլ) զրո. Այս դեպքերը որոշում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծման վարքագծի տեսակը: Համապատասխան փուլային դիմանկարները ներկայացված են Աղյուսակ 1.1-ում:

Աղյուսակ 1.1. Երկու գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի և համապատասխան փուլային դիմանկարների անշարժ վիճակների տեսակները: Սլաքները ցույց են տալիս ներկայացուցչական կետի շարժման ուղղությունը

Երկու գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի ֆազային և կինետիկ դիմանկարների կառուցում

փուլային հարթությունկոչվում է կոորդինատային առանցքներով հարթություն, որի վրա գծագրվում են փոփոխականների արժեքները xև y, հարթության յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է համակարգի որոշակի վիճակին։ Ֆազային հարթության այն կետերը, որոնց դիրքը համապատասխանում է ժամանակի փոփոխականների փոփոխման գործընթացում համակարգի վիճակներին, ըստ ուսումնասիրվող համակարգի տվյալ հավասարումների, կոչվում է. փուլային հետագիծ. Փոփոխականների տարբեր սկզբնական արժեքների համար փուլային հետագծերի հավաքածուն տալիս է համակարգի դիմանկարը: Շինություն փուլային դիմանկարթույլ է տալիս եզրակացություններ անել փոփոխականների փոփոխությունների բնույթի մասին xև yառանց իմանալու սկզբնական հավասարումների համակարգի վերլուծական լուծումները։

Դիտարկենք գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը.

Ֆազային դիմանկարի կառուցումը սկսվում է շինարարությունից հիմնական իզոկլինները(իզոկլինը գիծ է, որի ողջ ընթացքում հավասարմամբ որոշված ​​փուլային կորի (հետագիծ) թեքությունը մնում է հաստատուն): Երկու գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար դրանք միշտ ուղիղ գծեր են, որոնք անցնում են սկզբնաղբյուրով: Հավասարումը Հորիզոնական տանգենսների իզոկլիններ: . Ուղղահայաց տանգենսների իզոկլինի հավասարումը: . Ֆազային դիմանկարի հետագա կառուցման համար օգտակար է կառուցել անկյան տակ անցնող շոշափողների իզոկլինը: Համապատասխան իզոկլինային հավասարումը գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը . Դուք կարող եք գտնել նաև այլ անկյունների շոշափողների իզոկլինները՝ օգտագործելով անկյունների շոշափողների մոտավոր արժեքները: Հարցի պատասխանը, թե փուլային հետագծերը ինչ անկյան տակ պետք է հատեն կոորդինատային առանցքները, կարող է նաև օգնել ֆազային դիմանկարի կառուցմանը: Դա անելու համար իզոկլինային հավասարման մեջ մենք փոխարինում ենք համապատասխան հավասարությունները (OY առանցքի հետ հատման անկյունը որոշելու համար) և (OX առանցքի հետ հատման անկյունը որոշելու համար):

Օրինակ 1.4.Որոշե՛ք գծային հավասարումների համակարգի եզակի կետի տեսակը.

Կառուցեք համակարգի փուլային և կինետիկ դիմանկարը:

Լուծում:Եզակի կետի կոորդինատներն են (0,0): Գծային հավասարումների գործակիցներն են՝ , , , . Եկեք սահմանենք անշարժ վիճակի տեսակը (տես բնութագրիչ թվերի բաժինը).

Այսպիսով, բնորոշ արմատները երևակայական են. հետևաբար, դիտարկվող գծային համակարգի եզակի կետն ունի կենտրոնի տեսակը (նկ. 1.2ա):

Հորիզոնական տանգենսների իզոկլինի հավասարումը. 45° անկյան տակ համակարգի հետագծերը հատում են ուղիղ գիծ .

Ֆազային դիմանկարը կառուցելուց հետո անհրաժեշտ է որոշել շարժման ուղղությունը հայտնաբերված հետագծերի երկայնքով: Դա կարելի է անել հետևյալ կերպ. Վերցրեք կամայական կետ ցանկացած հետագծի վրա: Օրինակ՝ հորիզոնական տանգենսների իզոկլինի վրա (1,1)։ Եկեք այս կետի կոորդինատները փոխարինենք հավասարումների համակարգով: Մենք ստանում ենք արտահայտություններ փոփոխականների փոփոխության տեմպերի համար x,yայս պահին.

Ստացված արժեքները ցույց են տալիս, որ փոփոխականի փոփոխության արագությունը x- բացասական, այսինքն, դրա արժեքը պետք է նվազի, իսկ փոփոխականը yչի փոխվում. Ստացված ուղղությունը նշում ենք սլաքով։ Այսպիսով, դիտարկվող օրինակում փուլային հետագծերի երկայնքով շարժումն ուղղված է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ: Համակարգում փոխարինելով տարբեր կետերի կոորդինատները՝ կարող եք ստանալ արագությունների ուղղությունների «քարտեզ», այսպես կոչված. վեկտորային դաշտ.

Նկար 1.2. Համակարգի փուլ (ա) և կինետիկ (բ) դիմանկար, օրինակ 1.4

Նկատի ունեցեք, որ հորիզոնական շոշափողների իզոկլինի վրա փոփոխականը yհասնում է իր առավելագույն կամ նվազագույն արժեքին տվյալ հետագծի վրա: Ընդհակառակը, ուղղահայաց շոշափողների իզոկլինի վրա փոփոխականը x.

Համակարգի կինետիկ դիմանկար կառուցելը նշանակում է գծագրել փոփոխականների արժեքների կախվածությունը x,yժամանակից. Ֆազային դիմանկարը կարող է օգտագործվել կինետիկը կառուցելու համար և հակառակը: Մեկ փուլային հետագիծը համապատասխանում է մեկ զույգ կինետիկ կորերի: Եկեք ընտրենք կամայական կետ փուլային դիմանկարի վրա կամայական փուլային հետագծի վրա: Սա ժամանակին համապատասխան ելակետ է։ Կախված դիտարկվող համակարգում շարժման ուղղությունից՝ փոփոխականների արժեքները x,yկա՛մ նվազում, կա՛մ ավելանում։ Ելակետի կոորդինատները թող լինեն (1,1): Ըստ կառուցված փուլային դիմանկարի, այս կետից սկսած, մենք պետք է շարժվենք ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ՝ կոորդինատները. xև yմինչդեռ դրանք կնվազեն։ Ժամանակի ընթացքում կոորդինատը xանցնում է 0-ով, արժեք yմիաժամանակ մնալով դրական: Հետագա կոորդինատներ xև yշարունակում է նվազել, կոորդինատը yանցնում է 0-ով (արժեք xմինչդեռ դա բացասական է): Արժեք xհասնում է իր նվազագույն արժեքին ուղղահայաց տանգենտների իզոկլինի վրա, այնուհետև սկսում է աճել: Արժեք yհասնում է իր նվազագույն արժեքին հորիզոնական տանգենսների իզոկլինի վրա (արժեք xժամանակի այս պահին բացասական է): Հաջորդը և արժեքը x, և արժեքը yաճ՝ վերադառնալով սկզբնական արժեքներին (նկ. 1.2բ):

Երկրորդ կարգի ոչ գծային համակարգերի ստացիոնար վիճակների կայունության ուսումնասիրություն

Թող կենսաբանական համակարգը նկարագրվի երկրորդ կարգի երկու ինքնավար դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգով ընդհանուր տեսարան:

Համակարգի փոփոխականների անշարժ արժեքները որոշվում են հանրահաշվական հավասարումներից.

Յուրաքանչյուր ստացիոնար վիճակի հարեւանությամբ կարելի է դիտարկել առաջին մոտարկման համակարգ(գծային համակարգ), որի ուսումնասիրությունը կարող է թույլ տալ պատասխանել եզակի կետի կայունության և նրա փոքր հարևանությամբ փուլերի հետագծերի բնույթի հարցին։

դրսում

Մենք ունենք , , եզակի կետը կոպիտ է։ Առաջին մոտարկման համակարգի բնորոշ արմատները հավասար են , երկուսն էլ իրական են և բացասական, հետևաբար, զրոյական եզակի կետի մոտակայքում համակարգի փուլային հետագծերի վարքագիծը կհամապատասխանի կայուն հանգույցի տեսակին:

Ներածություն

Քանի որ ոչ գծային դինամիկ համակարգի հայեցակարգը բավականաչափ հարուստ է՝ ընդգրկելու գործընթացների չափազանց լայն շրջանակ, որոնցում համակարգի ապագա վարքագիծը որոշվում է անցյալով, այս ոլորտում մշակված վերլուծության մեթոդները օգտակար են բազմաթիվ համատեքստերում:

Ոչ գծային դինամիկան գրականություն է մտնում առնվազն երեք ճանապարհով. Նախ, կան դեպքեր, երբ մեկ կամ մի քանի մեծությունների ժամանակի փոփոխության վերաբերյալ փորձնական տվյալները հավաքվում և վերլուծվում են ոչ գծային դինամիկ տեսության վրա հիմնված տեխնիկայի միջոցով՝ նվազագույն ենթադրություններով հիմքում ընկած հավասարումների վերաբերյալ, որոնք ղեկավարում են տվյալներ արտադրող գործընթացը: Այսինքն, դա այն դեպքն է, երբ մարդը ձգտում է գտնել հարաբերակցություններ տվյալների մեջ, որոնք կարող են ուղղորդել մաթեմատիկական մոդելի մշակումը, այլ ոչ թե նախ գուշակել մոդելը, ապա համեմատել այն տվյալների հետ:

Երկրորդ, կան դեպքեր, երբ ոչ գծային դինամիկ տեսությունը կարող է օգտագործվել՝ նշելու, որ որոշ պարզեցված մոդել պետք է դրսևորվի. կարևոր հատկանիշներայս համակարգի, որից հետևում է, որ նկարագրող մոդելը կարելի է կառուցել և ուսումնասիրել պարամետրերի լայն շրջանակում։ Սա հաճախ հանգեցնում է մոդելների, որոնք որակապես տարբեր կերպ են վարվում տարբեր պարամետրերի ներքո և ցույց են տալիս, որ մեկ տարածաշրջանում ցուցադրվում է վարքագիծ, որը շատ նման է իրական համակարգում նկատվածին: Շատ դեպքերում մոդելի վարքագիծը բավականին զգայուն է պարամետրերի փոփոխությունների նկատմամբ, հետևաբար, եթե մոդելի պարամետրերը կարող են չափվել իրական համակարգում, մոդելը ցույց է տալիս իրատեսական վարքագիծ այս արժեքներում, և կարելի է վստահ լինել, որ մոդելը գրավում է. համակարգի հիմնական հատկանիշները.

Երրորդ, կան դեպքեր, երբ մոդելային հավասարումները կառուցվում են հիման վրա մանրամասն նկարագրություններհայտնի ֆիզիկա. Այնուհետև թվային փորձերը կարող են տեղեկատվություն տրամադրել այն փոփոխականների մասին, որոնք հասանելի չեն ֆիզիկական փորձերին:

Երկրորդ ճանապարհի հիման վրա այս աշխատանքը իմ նախորդ աշխատանքի «Փոխկապակցված արդյունաբերության ոչ գծային դինամիկ մոդելի» ընդլայնումն է, ինչպես նաև մեկ այլ աշխատանքի (Դմիտրիև, 2015 թ.)

Բոլոր անհրաժեշտ սահմանումները և աշխատության մեջ անհրաժեշտ այլ տեսական տեղեկությունները կհայտնվեն առաջին գլխում, ըստ անհրաժեշտության: Այստեղ տրվելու են երկու սահմանումներ, որոնք անհրաժեշտ են հենց հետազոտական ​​թեմայի բացահայտման համար։

Նախ, եկեք սահմանենք համակարգի դինամիկան: Համաձայն սահմանումներից մեկի՝ համակարգի դինամիկան մոդելավորման մոդելավորման մոտեցում է, որն իր մեթոդների և գործիքների միջոցով օգնում է գնահատել կառուցվածքը։ բարդ համակարգերև դրանց դինամիկան (Շտերման): Արժե ավելացնել, որ համակարգի դինամիկան նաև մոդելավորման տեխնիկա է, որն օգտագործվում է բարդ համակարգերի համար ճիշտ (ճշգրտության առումով) համակարգչային մոդելների վերստեղծման համար՝ դրանց հետագա օգտագործման համար՝ ավելի արդյունավետ ընկերություն/կազմակերպություն ստեղծելու, ինչպես նաև բարելավելու մեթոդները։ փոխազդեցություն այս համակարգի հետ: Համակարգի դինամիկայի անհրաժեշտության մեծ մասն առաջանում է երկարաժամկետ, ռազմավարական մոդելների հետ առերեսվելիս, և հարկ է նաև նշել, որ այն բավականին վերացական է:

Խոսելով ոչ գծային դիֆերենցիալ դինամիկայի մասին՝ մենք կդիտարկենք ոչ գծային համակարգը, որն ըստ սահմանման համակարգ է, որի արդյունքի փոփոխությունը համաչափ չէ մուտքային պարամետրերի փոփոխությանը, և որում ֆունկցիան նկարագրում է. ժամանակի փոփոխության կախվածությունը և տարածության մեջ կետի դիրքը (Boeing, 2016):

Ելնելով վերը նշված սահմանումներից՝ պարզ է դառնում, որ այս աշխատանքըկդիտարկեն տարբեր ոչ գծային դիֆերենցիալ համակարգեր, որոնք նկարագրում են ընկերությունների փոխազդեցությունը, ինչպես նաև դրանց հիման վրա կառուցված մոդելավորման մոդելներ: Դրա հիման վրա կորոշվի աշխատանքի նպատակը։

Այսպիսով, այս աշխատանքի նպատակն է իրականացնել դինամիկ համակարգերի որակական վերլուծություն, որոնք նկարագրում են ընկերությունների փոխազդեցությունը առաջին մոտավորմամբ և դրանց հիման վրա մոդելավորման մոդել կառուցել:

Այս նպատակին հասնելու համար սահմանվել են հետևյալ խնդիրները.

Համակարգի կայունության որոշում.

Ֆազային դիմանկարների կառուցում.

Համակարգերի ինտեգրալ հետագծերի հայտնաբերում:

Մոդելավորման մոդելների կառուցում.

Այս առաջադրանքներից յուրաքանչյուրը նվիրված կլինի աշխատանքի յուրաքանչյուր գլխի բաժիններից մեկին:

Հիմնվելով պրակտիկայի վրա՝ հիմնարար մաթեմատիկական կառույցների կառուցումը, որոնք արդյունավետ կերպով մոդելավորում են դինամիկան տարբեր ֆիզիկական համակարգերում և գործընթացներում, ցույց է տալիս, որ համապատասխան մաթեմատիկական մոդելը որոշ չափով արտացոլում է ուսումնասիրվող բնօրինակին մոտ լինելը, երբ դրա բնութագրերըկարող է ստացվել շարժման տեսակի հատկություններից և կառուցվածքից, որը ձևավորում է համակարգի դինամիկան: Մինչ օրս տնտեսագիտությունը գտնվում է իր զարգացման փուլում, որում հատկապես արդյունավետորեն կիրառվում են ֆիզիկամաթեմատիկական մոդելավորման նոր, իսկ շատ դեպքերում՝ ոչ ստանդարտ մեթոդներն ու մեթոդները։ տնտեսական գործընթացներ. Այստեղից հետևում է եզրակացությունը տնտեսական իրավիճակը ինչ-որ կերպ նկարագրող մոդելներ ստեղծելու, ուսումնասիրելու և կառուցելու անհրաժեշտության մասին։

Ինչ վերաբերում է որակական, այլ ոչ թե քանակական վերլուծության ընտրության պատճառներին, ապա հարկ է նշել, որ դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում դինամիկ համակարգերի որակական վերլուծության արդյունքներն ու եզրակացությունները ավելի նշանակալի են, քան դրանց քանակական վերլուծության արդյունքները: Նման իրավիճակում տեղին է մատնանշել Վ.Պ.-ի հայտարարությունները. Միլովանովը, որտեղ նա նշում է, որ իրենք ավանդաբար կարծում են, որ իրական օբյեկտների վերլուծության մաթեմատիկական մեթոդները կիրառելիս ակնկալվող արդյունքները պետք է կրճատվեն թվային արդյունքի։ Այս առումով որակական մեթոդները մի փոքր այլ խնդիր ունեն։ Այն կենտրոնանում է համակարգի որակը նկարագրող արդյունքի հասնելու, ընդհանուր առմամբ բոլոր երևույթների բնորոշ հատկանիշների որոնման վրա, կանխատեսման վրա: Իհարկե, կարևոր է հասկանալ, թե ինչպես կփոխվի պահանջարկը, երբ որոշակի տեսակի ապրանքների գները փոխվեն, բայց մի մոռացեք, որ շատ ավելի կարևոր է հասկանալ, թե արդյոք նման պայմաններում այդ ապրանքների պակասություն կամ ավելցուկ կլինի (Դմիտրիև. , 2016):

Այս ուսումնասիրության առարկան ոչ գծային դիֆերենցիալ և համակարգի դինամիկան է:

Տվյալ դեպքում հետազոտության առարկան ընկերությունների միջև փոխգործակցության գործընթացի նկարագրությունն է ոչ գծային դիֆերենցիալ և համակարգային դինամիկայի միջոցով։

Խոսելով ուսումնասիրության գործնական կիրառման մասին՝ արժե այն անմիջապես բաժանել երկու մասի. Մասնավորապես՝ տեսական, այսինքն՝ համակարգերի որակական վերլուծություն և գործնական, որում դիտարկվելու է սիմուլյացիոն մոդելների կառուցումը։

Այս ուսումնասիրության տեսական մասը տալիս է հիմնական հասկացություններն ու երևույթները: Այն դիտարկում է պարզ դիֆերենցիալ համակարգեր, ինչպես շատ այլ հեղինակների աշխատություններում (Teschl, 2012; Nolte, 2015), բայց միևնույն ժամանակ թույլ է տալիս նկարագրել ընկերությունների միջև փոխգործակցությունը: Ելնելով դրանից՝ ապագայում հնարավոր կլինի ավելի խորը ուսումնասիրություններ կատարել, այլապես սկսել ձեր ծանոթությունը համակարգերի որակական վերլուծության հետ:

Աշխատանքի գործնական մասը կարող է օգտագործվել որոշումների աջակցման համակարգ ստեղծելու համար: Որոշումների աջակցման համակարգ - ավտոմատացված Տեղեկատվական համակարգ, որը նպատակաուղղված է աջակցելու բիզնեսին կամ կազմակերպությունում որոշումներ կայացնելուն, ինչը թույլ է տալիս ընտրել բազմաթիվ տարբեր այլընտրանքների միջև (Keen, 1980): Նույնիսկ եթե մոդելներն այս պահին այնքան էլ ճշգրիտ չեն, բայց դրանք փոխելով կոնկրետ ընկերության համար, կարող եք ավելի ճշգրիտ արդյունքների հասնել։ Այսպիսով, դրանցում փոխելով տարբեր պարամետրեր և պայմաններ, որոնք կարող են առաջանալ շուկայում, կարող եք ապագայի կանխատեսում ստանալ և նախապես ավելի շահավետ որոշում կայացնել:

1. Ընկերությունների փոխգործակցությունը փոխադարձության պայմաններում

Աշխատանքում կներկայացվեն երկչափ համակարգեր, որոնք բավականին պարզ են՝ համեմատած ավելի բարձր կարգի համակարգերի հետ, բայց միևնույն ժամանակ թույլ են տալիս ցույց տալ մեզ անհրաժեշտ կազմակերպությունների միջև հարաբերությունները:

Արժե սկսել աշխատանքը փոխազդեցության տեսակի ընտրության հետ, որը նկարագրվելու է ապագայում, քանի որ տեսակներից յուրաքանչյուրի համար դրանք նկարագրող համակարգերը, թեև մի փոքր, տարբեր են: Նկար 1.1-ը ցույց է տալիս Eujima Odum-ի դասակարգումը բնակչության փոխազդեցության համար՝ փոփոխված տնտեսական փոխազդեցության համար (Odum, 1968), որի հիման վրա մենք հետագայում կքննարկենք ընկերությունների փոխազդեցությունը:

Նկար 1.1. Ձեռնարկությունների միջև փոխգործակցության տեսակները

Նկար 1.1-ի հիման վրա մենք առանձնացնում ենք փոխազդեցության 4 տեսակ և նրանցից յուրաքանչյուրի համար ներկայացնում ենք դրանք նկարագրող հավասարումների համակարգ՝ հիմնված Մալթուսի մոդելի վրա (Malthus, 1798): Ըստ այդմ՝ աճի տեմպերը համաչափ են տեսակների ներկայիս առատությանը, այլ կերպ ասած՝ այն կարելի է բնութագրել հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարմամբ.

որտեղ a-ն պարամետր է, որը կախված է բնակչության բնական աճից: Հարկ է նաև ավելացնել, որ ստորև դիտարկվող համակարգերում բոլոր պարամետրերը, ինչպես նաև փոփոխականները ընդունում են ոչ բացասական արժեքներ։

Հումքի արտադրությունը արտադրանքի արտադրությունն է, որը նման է գիշատիչ-գիշատիչ մոդելին։ Գիշատիչ-որս մոդելը, որը նաև հայտնի է որպես Լոտկա-Վոլտերա մոդել, ոչ գծային առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների զույգ է, որը նկարագրում է կենսաբանական համակարգի դինամիկան երկու տեսակներով, որոնցից մեկը գիշատիչ է, իսկ մյուսը՝ կեր (Llibre): , 2007): Այս տեսակների առատության փոփոխությունը նկարագրվում է հետևյալ հավասարումների համակարգով.

(1.2)

որտեղ - բնութագրում է առաջին ձեռնարկության արտադրության աճը առանց երկրորդի ազդեցության (գիշատիչ-որս մոդելի դեպքում՝ գիշատիչների պոպուլյացիայի աճը),

Այն բնութագրում է երկրորդ ձեռնարկության արտադրության աճն առանց առաջինի ազդեցության (գիշատիչների պոպուլյացիայի աճ՝ առանց որսի),

Այն բնութագրում է առաջին ձեռնարկության արտադրության աճը՝ հաշվի առնելով դրա վրա երկրորդ ձեռնարկության ազդեցությունը (գիշատիչների հետ շփվելիս որսի քանակի ավելացում),

Այն բնութագրում է երկրորդ ձեռնարկության արտադրության աճը՝ հաշվի առնելով դրա վրա առաջին ձեռնարկության ազդեցությունը (գիշատիչների թվի աճը զոհերի հետ փոխգործակցության ընթացքում)։

Մեկի համար, գիշատիչը, ինչպես երևում է համակարգից, ինչպես նաև Օդումի դասակարգումից, նրանց փոխազդեցությունը բարենպաստ ազդեցություն է թողնում: Մյուս կողմից՝ անբարենպաստ։ Եթե ​​դիտարկենք տնտեսական իրողություններում, ապա, ինչպես երևում է նկարում, ամենապարզ անալոգը արտադրողն է և նրա ռեսուրսների մատակարարը, որոնք համապատասխանաբար համապատասխանում են գիշատչին և որսին: Այսպիսով, հումքի բացակայության դեպքում արտադրանքի ծավալը նվազում է էքսպոնենցիալ:

Մրցակցությունը մրցակցություն է երկու կամ ավելի (մեր դեպքում, մենք դիտարկում ենք երկչափ համակարգեր, ուստի մենք վերցնում ենք հենց երկու տեսակի մրցակցություն) տեսակների, տարածքների տնտեսական խմբերի, սահմանափակ ռեսուրսների կամ այլ արժեքների միջև (Elton, 1968): Տեսակների թվի կամ մեր դեպքում ապրանքների քանակի փոփոխությունները նկարագրված են ստորև ներկայացված համակարգով.

(1.3)

Այս դեպքում տեսակները կամ ընկերությունները, որոնք արտադրում են մեկ ապրանք, բացասաբար են ազդում միմյանց վրա: Այսինքն՝ մրցակցի բացակայության դեպքում արտադրանքի աճը կաճի էքսպոնենցիալ:

Այժմ անցնենք սիմբիոտիկ փոխազդեցությանը, որտեղ երկու ձեռնարկություններն էլ դրական ազդեցություն ունեն միմյանց վրա։ Սկսենք փոխադարձությունից։ Մուտուալիզմը տարբեր տեսակների միջև հարաբերությունների տեսակ է, որտեղ նրանցից յուրաքանչյուրը շահում է մյուսի գործողություններից, և հարկ է նշել, որ զուգընկերոջ առկայությունը գոյության համար անհրաժեշտ պայման է (Thompson, 2005): Այս տեսակի հարաբերությունները նկարագրվում են համակարգի կողմից.

(1.4)

Քանի որ ընկերությունների միջև փոխգործակցությունը անհրաժեշտ է նրանց գոյության համար, մի ընկերության արտադրանքի բացակայության դեպքում մյուսի ապրանքների թողարկումը երկրաչափորեն նվազում է: Դա հնարավոր է, երբ ընկերությունները պարզապես գնումների այլ այլընտրանք չունեն:

Դիտարկենք սիմբիոտիկ փոխազդեցության մեկ այլ տեսակ՝ պրոտոկոոպերացիան: Պրոտո-համագործակցությունը նման է փոխադարձությանը, միայն բացառությամբ, որ գործընկերոջ գոյության կարիքը չկա, քանի որ, օրինակ, կան այլ այլընտրանքներ։ Քանի որ դրանք նման են, նրանց համակարգերը գրեթե նույնական են թվում միմյանց.

(1.5)

Այսպիսով, մի ընկերության արտադրանքի բացակայությունը չի խանգարում մեկ այլ ընկերության արտադրանքի աճին։

Իհարկե, բացի 3-րդ և 4-րդ պարբերություններում թվարկվածներից, կարելի է նշել սիմբիոտիկ հարաբերությունների այլ տեսակներ՝ կոմենսալիզմ և ամենսալիզմ (Hanski, 1999): Բայց դրանք այլևս չեն նշվի, քանի որ կոմենսալիզմում գործընկերներից մեկն անտարբեր է մյուսի հետ իր փոխգործակցության նկատմամբ, բայց մենք դեռ դիտարկում ենք դեպքեր, երբ կա ազդեցություն: Իսկ ամենսալիզմը չի դիտարկվում, քանի որ տնտեսական տեսակետից նման հարաբերություններ, երբ դրանց փոխազդեցությունը վնասում է մեկին, իսկ մյուսին անտարբեր է, ուղղակի չեն կարող լինել։

Հիմնվելով ընկերությունների միմյանց վրա ունեցած ազդեցության վրա, մասնավորապես այն փաստի վրա, որ սիմբիոտիկ հարաբերությունները հանգեցնում են ընկերությունների կայուն համակեցության, այս աշխատության մեջ մենք կդիտարկենք միայն փոխադարձության և պրոտոհամագործակցության դեպքերը, քանի որ երկու դեպքում էլ փոխազդեցությունը ձեռնտու է բոլորին:

Այս գլուխը նվիրված է ընկերությունների փոխգործակցությանը փոխադարձության պայմաններում։ Այն կքննարկի երկու համակարգեր, որոնք հանդիսանում են Մալթուսի մոդելի վրա հիմնված համակարգերի հետագա զարգացում, մասնավորապես արտադրության ավելացման սահմանափակումներով համակարգեր:

Փոխադարձ հարաբերություններով կապված զույգի դինամիկան, ինչպես նշվեց վերևում, կարելի է նկարագրել համակարգի կողմից առաջին մոտավորմամբ.

(1.6)

Երևում է, որ արտադրության սկզբնական մեծ քանակի դեպքում համակարգը անվերջ աճում է, իսկ փոքր քանակությամբ արտադրությունն ընկնում է։ Հենց այստեղ է կայանում փոխադարձությունից բխող էֆեկտի երկգծային նկարագրության սխալ լինելը։ Որպեսզի փորձենք շտկել պատկերը, ներմուծում ենք գիշատիչի հագեցվածություն հիշեցնող գործոն, այսինքն՝ գործոն, որը կնվազեցնի արտադրության աճի տեմպերը, եթե այն գերազանցի։ Այս դեպքում մենք հասնում ենք հետևյալ համակարգին.

(1.7)

որտեղ է առաջին ընկերության արտադրանքի արտադրության աճը երկրորդի հետ փոխազդեցության մեջ՝ հաշվի առնելով հագեցվածությունը,

Երկրորդ ընկերության արտադրանքի արտադրության աճը առաջինի հետ փոխազդեցության մեջ՝ հաշվի առնելով հագեցվածությունը,

Հագեցվածության գործակիցները.

Այսպիսով, մենք ստացանք երկու համակարգ՝ մալթուսական աճի մոդելը հագեցվածությամբ և առանց հագեցվածության:

1.1 Համակարգերի կայունությունը առաջին մոտարկումով

Համակարգերի կայունությունն առաջին մոտավորմամբ դիտարկվում է բազմաթիվ արտասահմանյան (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 և այլն) և ռուսալեզու աշխատություններում (Akhromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich; Կրասովսկի, 1959 և ուրիշներ), և դրա սահմանումը համակարգում տեղի ունեցող գործընթացների վերլուծության հիմնական քայլն է: Դա անելու համար կատարեք հետևյալ անհրաժեշտ քայլերը.

Եկեք գտնենք հավասարակշռության կետերը.

Եկեք գտնենք համակարգի Յակոբյան մատրիցը:

Գտեք Յակոբյան մատրիցայի սեփական արժեքները:

Հավասարակշռության կետերը դասակարգում ենք ըստ Լյապունովի թեորեմի։

Քայլերը դիտարկելով՝ արժե ավելի մանրամասն անդրադառնալ դրանց բացատրությանը, ուստի ես կտամ սահմանումներ և նկարագրեմ այն ​​մեթոդները, որոնք մենք կօգտագործենք այս քայլերից յուրաքանչյուրում:

Առաջին քայլը՝ հավասարակշռության կետերի որոնում։ Դրանք գտնելու համար յուրաքանչյուր ֆունկցիա հավասարեցնում ենք զրոյի: Այսինքն, մենք լուծում ենք համակարգը.

որտեղ a և b նշանակում են հավասարման բոլոր պարամետրերը:

Հաջորդ քայլը Յակոբյան մատրիցը գտնելն է: Մեր դեպքում սա կլինի 2-ից 2 մատրիցա առաջին ածանցյալներով ինչ-որ պահի, ինչպես ցույց է տրված ստորև.

Առաջին երկու քայլերն ավարտելուց հետո մենք անցնում ենք հետևյալ բնորոշ հավասարման արմատները գտնելուն.

Որտեղ կետը համապատասխանում է առաջին քայլում հայտնաբերված հավասարակշռության կետերին:

Գտած և , մենք անցնում ենք չորրորդ քայլին և օգտագործում ենք հետևյալ Լյապունովի թեորեմները (Parks, 1992).

Թեորեմ 1. Եթե բնորոշ հավասարման բոլոր արմատներն ունեն բացասական իրական մաս, ապա սկզբնական և գծային համակարգերին համապատասխան հավասարակշռության կետը ասիմպտոտիկ կայուն է:

Թեորեմ 2. Եթե բնութագրական հավասարման արմատներից գոնե մեկն ունի դրական իրական մաս, ապա սկզբնական և գծային համակարգերին համապատասխանող հավասարակշռության կետը ասիմպտոտիկորեն անկայուն է:

Նաև, նայելով և հնարավոր է ավելի ճշգրիտ որոշել կայունության տեսակը՝ հիմնվելով Նկար 1.2-ում ներկայացված բաժանման վրա (Լամարի համալսարան):

Նկար 1.2. Հավասարակշռության կետերի կայունության տեսակները

Հաշվի առնելով անհրաժեշտ տեսական տեղեկատվությունը, մենք դիմում ենք համակարգերի վերլուծությանը:

Դիտարկենք առանց հագեցվածության համակարգ.

Այն շատ պարզ է և հարմար չէ գործնական օգտագործման համար, քանի որ չունի սահմանափակումներ։ Բայց որպես համակարգի վերլուծության առաջին օրինակ, հարմար է դիտարկման համար:

Նախ՝ եկեք գտնենք հավասարակշռության կետերը՝ հավասարեցնելով հավասարումների աջ կողմերը զրոյի: Այսպիսով, մենք գտնում ենք երկու հավասարակշռության կետեր, եկեք դրանք անվանենք A և B. .

Քայլը համատեղենք Յակոբյան մատրիցայի որոնման, բնորոշ հավասարման արմատների և կայունության տեսակի որոշման հետ։ Քանի որ դրանք տարրական են, մենք անմիջապես ստանում ենք պատասխանը.

1. , , կետում կա կայուն հանգույց։

Կետում՝ ... թամբ.

Ինչպես արդեն գրել եմ, այս համակարգը չափազանց տրիվիալ է, ուստի բացատրություն չի պահանջվում:

Հիմա եկեք վերլուծենք համակարգը հագեցվածությունից.

(1.9)

Ձեռնարկությունների կողմից ապրանքների փոխադարձ հագեցվածության սահմանափակման հայտնվելը մեզ ավելի է մոտեցնում տեղի ունեցողի իրական պատկերին, ինչպես նաև փոքր-ինչ բարդացնում է համակարգը:

Ինչպես նախկինում, մենք զրոյի ենք հավասարեցնում համակարգի ճիշտ մասերը և լուծում ենք ստացված համակարգը։ Կետը մնաց անփոփոխ, բայց մյուս կետն այս դեպքում ավելի շատ պարամետրեր է պարունակում, քան նախկինում. .

Այս դեպքում Jacobi մատրիցը ստանում է հետևյալ ձևը.

Դրանից հանեք նույնական մատրիցը բազմապատկած , և ստացված մատրիցայի որոշիչը A և B կետերում հավասարեցրեք զրոյի:

Նմանատիպ վաղ պատկերի կետում.

կայուն հանգույց.

Բայց կետում ամեն ինչ որոշ չափով ավելի բարդ է, և չնայած մաթեմատիկան դեռ բավականին պարզ է, բարդությունը պատճառ է դառնում երկար բառացի արտահայտությունների հետ աշխատելու անհարմարության: Քանի որ արժեքները բավականին երկար են և անհարմար գրված, դրանք չեն տրվում, բավական է ասել, որ այս դեպքում, ինչպես նախորդ համակարգի դեպքում, ստացված կայունության տեսակը թամբ է:

Համակարգերի 2 փուլային դիմանկարներ

Ոչ գծային դինամիկ մոդելների ճնշող մեծամասնությունը բարդ դիֆերենցիալ հավասարումներ են, որոնք կամ չեն կարող լուծվել, կամ սա ինչ-որ բարդություն է: Օրինակ է նախորդ բաժնի համակարգը: Չնայած թվացյալ պարզությանը, երկրորդ հավասարակշռության կետում կայունության տեսակը գտնելը հեշտ գործ չէր (թեև ոչ մաթեմատիկական տեսանկյունից), և պարամետրերի, սահմանափակումների և հավասարումների աճով փոխազդող ձեռնարկությունների թիվը մեծացնելու դեպքում. բարդությունը միայն կավելանա: Իհարկե, եթե պարամետրերը թվային արտահայտություններ են, ապա ամեն ինչ կդառնա աներևակայելի պարզ, բայց հետո վերլուծությունը ինչ-որ կերպ կկորցնի իր իմաստը, քանի որ ի վերջո մենք կկարողանանք գտնել հավասարակշռության կետեր և պարզել դրանց կայունության տեսակները միայն որոշակի կոնկրետության համար: գործ, և ոչ ընդհանուր։

Նման դեպքերում արժե հիշել փուլային հարթությունը և փուլային դիմանկարները: Կիրառական մաթեմատիկայի, մասնավորապես ոչ գծային համակարգերի վերլուծության համատեքստում, փուլային հարթությունը դիֆերենցիալ հավասարումների որոշակի տեսակների որոշակի բնութագրերի տեսողական ներկայացում է (Նոլտե, 2015): Կոորդինատային ինքնաթիռհամակարգի վիճակը բնութագրող ցանկացած զույգ փոփոխականների արժեքների առանցքներով՝ ընդհանուր n-չափ ֆազային տարածության երկչափ դեպք:

Ֆազային հարթության շնորհիվ հնարավոր է գրաֆիկորեն որոշել դիֆերենցիալ հավասարման լուծումներում սահմանային ցիկլերի առկայությունը։

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումները ֆունկցիաների ընտանիք են։ Գրաֆիկորեն սա կարող է գծագրվել փուլային հարթության մեջ որպես երկչափ վեկտորային դաշտ: Հարթության վրա գծված են վեկտորներ, որոնք ներկայացնում են ածանցյալներ բնորոշ կետերում՝ ինչ-որ պարամետրի նկատմամբ, մեր դեպքում՝ ժամանակի նկատմամբ, այսինքն՝ (): Այս սլաքների բավարար քանակով մեկ տարածքում, համակարգի վարքագիծը կարելի է պատկերացնել և սահմանային ցիկլերը հեշտությամբ նույնականացնել (Boeing, 2016):

Վեկտորային դաշտը փուլային դիմանկար է, հոսքի գծի երկայնքով որոշակի ճանապարհ (այսինքն՝ վեկտորներին միշտ շոշափող ուղի) փուլային ուղի է: Վեկտորային դաշտում հոսքերը ցույց են տալիս ժամանակի ընթացքում համակարգի փոփոխությունը, որը նկարագրված է դիֆերենցիալ հավասարմամբ (Jordan, 2007):

Հարկ է նշել, որ փուլային դիմանկարը կարելի է կառուցել նույնիսկ առանց դիֆերենցիալ հավասարումը լուծելու, և միևնույն ժամանակ լավ վիզուալիզացիան կարող է շատ բան ապահովել օգտակար տեղեկատվություն. Բացի այդ, ներկայումս կան բազմաթիվ ծրագրեր, որոնք կարող են օգնել փուլային դիագրամների կառուցմանը:

Այսպիսով, փուլային հարթությունները օգտակար են ֆիզիկական համակարգերի վարքագիծը պատկերացնելու համար: Մասնավորապես, տատանողական համակարգերը, ինչպիսին է վերը նշված գիշատիչ-որս մոդելը: Այս մոդելներում փուլային հետագծերը կարող են «ոլորվել» դեպի զրո, «դուրս գալ պարույրից» մինչև անսահմանություն կամ հասնել չեզոք կայուն իրավիճակի, որը կոչվում է կենտրոններ: Սա օգտակար է որոշելու՝ դինամիկան կայուն է, թե ոչ (Jordan, 2007):

Այս բաժնում ներկայացված փուլային դիմանկարները կկառուցվեն WolframAlpha գործիքների միջոցով կամ տրամադրվեն այլ աղբյուրներից: Մալթուսյան աճի մոդել առանց հագեցվածության.

Եկեք կառուցենք առաջին համակարգի փուլային դիմանկարը՝ երեք պարամետրերով, որպեսզի համեմատենք դրանց վարքը: Կոմպլեկտ A ((1,1), (1,1)), որը կկոչվի որպես մեկ հավաքածու, B հավաքածու ((10,0.1), (2,2)), երբ ընտրվում է, համակարգը զգում է կտրուկ արտադրության անկում և C ((1,10), (1,10)) բազմությունը, որի համար, ընդհակառակը, տեղի է ունենում կտրուկ և անսահմանափակ աճ։ Հարկ է նշել, որ առանցքների երկայնքով արժեքները բոլոր դեպքերում կլինեն նույն ընդմիջումներով՝ -10-ից 10-ը՝ փուլային դիագրամները միմյանց հետ համեմատելու հարմարության համար: Իհարկե, դա չի վերաբերում համակարգի որակական դիմանկարին, որի առանցքները չափազուրկ են։

Նկար 1.3 Փուլային դիմանկար Ա պարամետրերով

փոխադարձության դիֆերենցիալ սահմանային հավասարում

Նկար 1.3-ը վերևում ցույց է տալիս համակարգի փուլային դիմանկարները պարամետրերի երեք նշված խմբերի համար, ինչպես նաև համակարգի որակական վարքագիծը նկարագրող փուլային դիմանկարը: Մի մոռացեք, որ գործնական տեսանկյունից ամենակարևորը առաջին եռամսյակն է, քանի որ արտադրության ծավալը, որը կարող է միայն ոչ բացասական լինել, մեր առանցքն է։

Նկարներից յուրաքանչյուրում հստակ տեսանելի է կայունությունը հավասարակշռության կետում (0,0): Եվ առաջին նկարում «թամբի կետը» նկատելի է նաև (1,1) կետում, այլ կերպ ասած, եթե պարամետրերի հավաքածուի արժեքները փոխարինենք համակարգում, ապա հավասարակշռության կետում B. Երբ մոդելի կառուցման սահմանները փոխվում են, թամբի կետը հայտնաբերվում է նաև այլ փուլային դիմանկարների վրա:

Հագեցվածությունից աճի Մալթուսյան մոդելը.

Եկեք կառուցենք փուլային դիագրամներ երկրորդ համակարգի համար, որտեղ կա հագեցվածություն, պարամետրերի արժեքների երեք նոր հավաքածուներով: Բազմաթիվ A, ((0.1,15,100), (0.1,15,100)), բազմություն B ((1,1,0.5), (1, 1,0.5)) և հավաքածու C ((20,1,100), (20,1,100) )):

Նկար 1.4. Ա պարամետրերով փուլային դիմանկար

Ինչպես տեսնում եք, պարամետրերի ցանկացած հավաքածուի համար (0,0) կետը հավասարակշռված է և նաև կայուն: Նաև որոշ թվերում դուք կարող եք տեսնել թամբի կետ:

Տվյալ դեպքում դիտարկվել են տարբեր սանդղակներ՝ ավելի հստակ ցույց տալու համար, որ նույնիսկ երբ համակարգին ավելացվում է հագեցվածության գործոն, որակական պատկերը չի փոխվում, այսինքն՝ միայն հագեցվածությունը բավարար չէ։ Պետք է հաշվի առնել, որ գործնականում ընկերություններին կայունություն է պետք, այսինքն՝ եթե դիտարկենք ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ, ապա մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են կայուն հավասարակշռության կետերը, և այդ համակարգերում միայն զրոյական կետերն են այդպիսի կետերը, ինչը նշանակում է. որ նման մաթեմատիկական մոդելներն ակնհայտորեն հարմար չեն ձեռնարկությունների համար: Ի վերջո, սա նշանակում է, որ միայն զրոյական արտադրության դեպքում ընկերությունները գտնվում են կայունության մեջ, որն ակնհայտորեն տարբերվում է աշխարհի իրական պատկերից։

Մաթեմատիկայի մեջ ինտեգրալ կորը պարամետրային կոր է, որը ներկայացնում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարման կամ հավասարումների համակարգի կոնկրետ լուծում (Lang, 1972): Եթե ​​դիֆերենցիալ հավասարումը ներկայացված է որպես վեկտորային դաշտ, ապա համապատասխան ինտեգրալ կորերը յուրաքանչյուր կետում շոշափում են դաշտին:

Ինտեգրալ կորերը հայտնի են նաև այլ անվանումներով՝ կախված դիֆերենցիալ հավասարման կամ վեկտորային դաշտի բնույթից և մեկնաբանությունից։ Ֆիզիկայի մեջ ինտեգրալ կորեր էլեկտրական դաշտի համար կամ մագնիսական դաշտըհայտնի են որպես դաշտային գծեր, իսկ հեղուկի արագության դաշտի ինտեգրալ կորերը հայտնի են որպես հոսքագծեր: Դինամիկ համակարգերում դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրալ կորերը կոչվում են հետագծեր:

Նկար 1.5. Ինտեգրալ կորեր

Համակարգերից որևէ մեկի լուծումները կարելի է համարել նաև որպես ինտեգրալ կորերի հավասարումներ։ Ակնհայտ է, որ յուրաքանչյուր փուլային հետագիծ իրենից ներկայացնում է որոշակի ինտեգրալ կորի պրոյեկցիա բացատ x,y,tդեպի փուլային հարթություն:

Անբաժանելի կորեր կառուցելու մի քանի եղանակ կա:

Դրանցից մեկը իզոկլինային մեթոդն է։ Իզոկլինը այն կետերով անցնող կորն է, որտեղ դիտարկվող ֆունկցիայի թեքությունը միշտ նույնն է լինելու՝ անկախ սկզբնական պայմաններից (Հանսկի, 1999):

Այն հաճախ օգտագործվում է որպես սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման գրաֆիկական մեթոդ։ Օրինակ, y "= f (x, y) ձևի հավասարման մեջ իզոկլինները (x, y) հարթության ուղիղներ են, որոնք ստացվում են f (x, y) հաստատունին հավասարեցնելով: Սա տալիս է մի շարք ուղիղներ ( տարբեր հաստատունների համար), որոնց երկայնքով կորերի լուծումներն ունեն նույն գրադիենտը: Յուրաքանչյուր իզոկլինի համար այս գրադիենտը հաշվարկելով՝ թեքության դաշտը կարելի է պատկերացնել՝ համեմատաբար հեշտացնելով լուծման մոտավոր կորերը: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս իզոկլինային մեթոդի կիրառման օրինակ: .

Նկար 1.6. Իզոկլինի մեթոդ

Այս մեթոդը չի պահանջում համակարգչային հաշվարկներ, և նախկինում շատ տարածված էր: Այժմ կան ծրագրային լուծումներ, որոնք չափազանց ճշգրիտ և արագ կկառուցեն ինտեգրալ կորեր համակարգիչների վրա: Այնուամենայնիվ, չնայած դրան, իզոկլինային մեթոդը իրեն լավ է դրսևորել որպես լուծումների վարքագիծն ուսումնասիրելու գործիք, քանի որ այն թույլ է տալիս ցույց տալ ինտեգրալ կորերի բնորոշ վարքի տարածքները:

Մալթուսյան աճի մոդել առանց հագեցվածության.

Սկսենք նրանից, որ չնայած տարբեր շինարարական մեթոդների առկայությանը, այնքան էլ հեշտ չէ ցույց տալ հավասարումների համակարգի ինտեգրալ կորերը։ Նախկինում նշված isocline մեթոդը հարմար չէ, քանի որ այն աշխատում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների համար: Իսկ ծրագրային գործիքները, որոնք ունեն նման կորեր գծելու հնարավորություն, հանրային տիրույթում չեն: Օրինակ՝ Wolfram Mathematica-ն, որն ունակ է դրան, վճարովի է։ Ուստի մենք կփորձենք հնարավորինս օգտագործել Wolfram Alpha-ի հնարավորությունները, որի հետ աշխատանքը նկարագրված է տարբեր հոդվածներում և աշխատություններում (Orca, 2009): Նույնիսկ չնայած այն հանգամանքին, որ նկարն ակնհայտորեն լիովին հուսալի չէ, բայց գոնե այն թույլ կտա ձեզ ցույց տալ կախվածությունը հարթություններում (x, t), (y, t): Նախ, լուծենք t-ի հավասարումները. Այսինքն՝ մենք բխում ենք փոփոխականներից յուրաքանչյուրի կախվածությունը ժամանակի նկատմամբ։ Այս համակարգի համար մենք ստանում ենք.

(1.10)

(1.11)

Հավասարումները սիմետրիկ են, ուստի մենք դիտարկում ենք դրանցից միայն մեկը՝ x(t): Թող հաստատունը հավասար լինի 1-ի: Այս դեպքում մենք կօգտագործենք գծագրման ֆունկցիան:

Նկար 1.7. Եռաչափ մոդել հավասարման համար (1.10)

Հագեցվածությունից աճի Մալթուսյան մոդելը.

Եկեք նույնն անենք մյուս մոդելի համար: Ի վերջո, մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ, որոնք ցույց են տալիս փոփոխականների կախվածությունը ժամանակից:

(1.12)

(1.13)

Եկեք նորից կառուցենք եռաչափ մոդել և մակարդակի գծեր:

Նկար 1.8. Եռաչափ մոդել հավասարման համար (1.12)

Քանի որ փոփոխականների արժեքները ոչ բացասական են, ապա ցուցիչով կոտորակի մեջ մենք ստանում ենք. բացասական թիվ. Այսպիսով, ինտեգրալ կորը նվազում է ժամանակի ընթացքում:

Նախկինում տրվել էր համակարգի դինամիկայի սահմանում՝ աշխատանքի էությունը հասկանալու համար, բայց հիմա անդրադառնանք դրան ավելի մանրամասն։

Համակարգի դինամիկա - մեթոդիկա և մեթոդ մաթեմատիկական մոդելավորումԲարդ խնդիրների ձևավորման, ըմբռնման և քննարկման համար, որոնք ի սկզբանե մշակվել են 1950-ականներին Ջեյ Ֆորեստերի կողմից և նկարագրված են նրա աշխատանքում (Forrester, 1961):

Համակարգի դինամիկան համակարգերի տեսության մի կողմն է՝ որպես բարդ համակարգերի դինամիկ վարքագիծը հասկանալու մեթոդ: Մեթոդի հիմքում ընկած է այն գիտակցումը, որ ցանկացած համակարգի կառուցվածքը բաղկացած է բազմաթիվ հարաբերություններից նրա բաղադրիչների միջև, որոնք հաճախ նույնքան կարևոր են նրա վարքագիծը որոշելու համար, որքան առանձին բաղադրիչները: Օրինակներ են քաոսի տեսությունը և սոցիալական դինամիկան, որոնք նկարագրված են տարբեր հեղինակների աշխատություններում (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001): Նաև պնդում են, որ քանի որ ամբողջ-հատկությունները հաճախ հնարավոր չէ գտնել տարրի հատկություններում, որոշ դեպքերում ամբողջի վարքը չի կարող բացատրվել մասերի վարքագծի տեսանկյունից:

Սիմուլյացիան իսկապես կարող է ցույց տալ ամբողջը գործնական նշանակությունդինամիկ համակարգ. Թեև դա հնարավոր է աղյուսակներում, կան բազմաթիվ ծրագրային փաթեթներ, որոնք օպտիմիզացվել են հատուկ այդ նպատակով:

Մոդելավորումն ինքնին ֆիզիկական մոդելի նախատիպի ստեղծման և վերլուծության գործընթաց է՝ իրական աշխարհում դրա կատարումը կանխատեսելու համար: Սիմուլյացիոն մոդելավորումն օգտագործվում է դիզայներներին և ինժեներներին օգնելու համար հասկանալ, թե ինչ պայմաններում և ինչ դեպքերում կարող է գործընթացը ձախողվել և ինչ բեռների կարող է դիմակայել (Khemdy, 2007): Մոդելավորումը կարող է նաև օգնել կանխատեսել հեղուկի հոսքերի վարքագիծը և այլն ֆիզիկական երևույթներ. Մոդելը վերլուծում է մոտավոր աշխատանքային պայմանները՝ շնորհիվ կիրառական սիմուլյացիոն ծրագրաշարի (Ստրոգալև, 2008):

Սիմուլյացիոն մոդելավորման հնարավորությունների սահմանափակումները ընդհանուր պատճառ ունեն. Ճշգրիտ մոդելի կառուցումը և թվային հաշվարկը երաշխավորում են հաջողություն միայն այն ոլորտներում, որտեղ կա ճշգրիտ քանակական տեսություն, այսինքն, երբ հայտնի են որոշակի երևույթներ նկարագրող հավասարումները, և խնդիրն է միայն լուծել այդ հավասարումները պահանջվող ճշգրտությամբ: Այն ոլորտներում, որտեղ չկա քանակական տեսություն, ճշգրիտ մոդելի կառուցումը սահմանափակ արժեք ունի (Bazykin, 2003):

Այնուամենայնիվ, մոդելավորման հնարավորություններն անսահմանափակ չեն։ Առաջին հերթին դա պայմանավորված է նրանով, որ դժվար է գնահատել սիմուլյացիոն մոդելի կիրառելիության շրջանակը, մասնավորապես, այն ժամանակահատվածը, որի համար կանխատեսումը կարող է կառուցվել պահանջվող ճշգրտությամբ (Օրենք, 2006 թ.): Բացի այդ, իր բնույթով սիմուլյացիոն մոդելը կապված է կոնկրետ օբյեկտի հետ, և երբ փորձում է այն կիրառել մեկ այլ, նույնիսկ նմանատիպ օբյեկտի վրա, այն պահանջում է արմատական ​​ճշգրտում կամ, առնվազն, էական փոփոխություն:

Մոդելավորման սահմանափակումների առկայության ընդհանուր պատճառ կա. «Ճշգրիտ» մոդելի կառուցումը և թվային հաշվարկը հաջողվում է միայն այն դեպքում, եթե առկա է քանակական տեսություն, այսինքն՝ միայն այն դեպքում, եթե հայտնի են բոլոր հավասարումները, և խնդիրը կրճատվում է միայն այդ հավասարումները որոշակի ճշգրտությամբ լուծելու համար (Bazykin, 2003):

Բայց նույնիսկ չնայած դրան, սիմուլյացիոն մոդելավորումը հիանալի գործիք է դինամիկ գործընթացները պատկերացնելու համար, որը թույլ է տալիս քիչ թե շատ ճիշտ մոդելով որոշումներ կայացնել՝ հիմնվելով դրա արդյունքների վրա:

Այս աշխատանքում համակարգի մոդելները կկառուցվեն՝ օգտագործելով AnyLogic ծրագրի կողմից առաջարկվող համակարգի դինամիկայի գործիքները:

Մալթուսյան աճի մոդել առանց հագեցվածության/

Նախքան մոդել կառուցելը, անհրաժեշտ է դիտարկել համակարգի դինամիկայի տարրերը, որոնք մենք կօգտագործենք և դրանք կապենք մեր համակարգի հետ: Հետևյալ սահմանումները վերցվել են AnyLogic ծրագրի օգնության տեղեկատվությունից:

Սկավառակը համակարգի դինամիկայի դիագրամների հիմնական տարրն է: Դրանք օգտագործվում են իրական աշխարհի օբյեկտները ներկայացնելու համար, որոնցում կուտակվում են որոշակի ռեսուրսներ՝ փող, նյութեր, մարդկանց խմբերի քանակ, որոշ նյութական առարկաներ և այլն։ Կուտակիչները արտացոլում են սիմուլյացված համակարգի ստատիկ վիճակը, և դրանց արժեքները ժամանակի ընթացքում փոխվում են համակարգում առկա հոսքերին համապատասխան: Դրանից բխում է, որ համակարգի դինամիկան որոշվում է հոսքերով։ Կուտակիչ մտնող և դուրս եկող հոսքերը մեծացնում կամ նվազեցնում են կուտակիչի արժեքները:

Հոսքը, ինչպես նաև վերոհիշյալ դրայվը, համակարգ-դինամիկ դիագրամների հիմնական տարրն է:

Մինչ աղբարկղերը սահմանում են համակարգի ստատիկ մասը, հոսքերը որոշում են աղբամանների փոփոխության արագությունը, այսինքն՝ ինչպես են փոխվում պաշարները ժամանակի ընթացքում և այդպիսով որոշում են համակարգի դինամիկան:

Գործակալը կարող է պարունակել փոփոխականներ: Փոփոխականները սովորաբար օգտագործվում են գործակալի փոփոխվող բնութագրերը մոդելավորելու կամ մոդելի արդյունքները պահելու համար: Սովորաբար, դինամիկ փոփոխականները բաղկացած են կուտակիչի ֆունկցիաներից:

Գործակալը կարող է ունենալ պարամետրեր: Պարամետրերը հաճախ օգտագործվում են մոդելավորված օբյեկտի որոշ բնութագրեր ներկայացնելու համար: Դրանք օգտակար են, երբ օբյեկտների օրինակները ունեն նույն վարքագիծը, ինչ նկարագրված է դասում, բայց տարբերվում են որոշ պարամետրերի արժեքներով: Հստակ տարբերություն կա փոփոխականների և պարամետրերի միջև: Փոփոխականը ներկայացնում է մոդելի վիճակը և կարող է փոխվել մոդելավորման ընթացքում: Պարամետրը սովորաբար օգտագործվում է օբյեկտները ստատիկ կերպով նկարագրելու համար: Մոդելի մեկ «գործարկման» ժամանակ պարամետրը սովորաբար հաստատուն է և փոխվում է միայն այն դեպքում, երբ մոդելի վարքագիծը պետք է վերակարգավորվի:

Հղումը համակարգի դինամիկայի տարր է, որն օգտագործվում է հոսքի դիագրամի և կուտակիչների միջև կապը որոշելու համար: Այն ավտոմատ կերպով չի ստեղծում հղումներ, այլ ստիպում է օգտագործողին հստակորեն նկարել դրանք գրաֆիկական խմբագրում (սակայն, հարկ է նշել. որ AnyLogic-ը նաև աջակցում է բացակայող հղումները արագ կարգավորելու մեխանիզմին): Որպես օրինակ, եթե A-ի որևէ տարր նշված է հավասարման մեջ կամ B տարրի սկզբնական արժեքում, ապա նախ պետք է այդ տարրերը միացնել A-ից B-ն անցնող կապով և միայն այնուհետև մուտքագրել արտահայտությունը B-ի հատկությունների մեջ: .

Համակարգի դինամիկայի որոշ այլ տարրեր կան, բայց դրանք չեն ներգրավվի աշխատանքի ընթացքում, ուստի մենք դրանք բաց կթողնենք:

Սկզբից դիտարկենք, թե ինչից է բաղկացած լինելու համակարգի մոդելը (1.4):

Նախ, մենք անմիջապես նշում ենք երկու սկավառակ, որոնք կպարունակեն ձեռնարկություններից յուրաքանչյուրի արտադրության քանակի արժեքները:

Երկրորդ, քանի որ մենք ունենք երկու անդամ յուրաքանչյուր հավասարման մեջ, մենք ստանում ենք երկու հոսք դեպի յուրաքանչյուր կրիչ, մեկը մուտքային, մյուսը ելքային:

Երրորդ, մենք անցնում ենք փոփոխականներին և պարամետրերին: Միայն երկու փոփոխական կա. X և Y, որոնք պատասխանատու են արտադրության աճի համար: Մենք ունենք նաև չորս տարբերակ.

Չորրորդ, ինչ վերաբերում է միացումներին, ապա հոսքերից յուրաքանչյուրը պետք է կապված լինի հոսքի հավասարման մեջ ներառված փոփոխականների և պարամետրերի հետ, և երկու փոփոխականները պետք է կապված լինեն կուտակիչների հետ՝ ժամանակի ընթացքում արժեքը փոխելու համար:

Մենք կթողնենք մոդելի կառուցման մանրամասն նկարագրությունը՝ որպես AnyLogic մոդելավորման միջավայրում աշխատելու օրինակ, հաջորդ համակարգի համար, քանի որ այն փոքր-ինչ ավելի բարդ է և օգտագործում է ավելի շատ պարամետրեր, և մենք անմիջապես կանցնենք դիտարկելու ծրագրի պատրաստի տարբերակը: համակարգ.

Ստորև բերված Նկար 1.9-ը ցույց է տալիս կառուցված մոդելը.

Նկար 1.9. Համակարգի դինամիկայի մոդելը համակարգի համար (1.4)

Համակարգի դինամիկայի բոլոր տարրերը համապատասխանում են վերը նկարագրվածներին, այսինքն. երկու սկավառակ, չորս հոսք (երկու մուտքային, երկու ելքային), չորս պարամետր, երկու դինամիկ փոփոխական և անհրաժեշտ միացումներ:

Նկարը ցույց է տալիս, որ որքան շատ ապրանքներ, այնքան ավելի ուժեղ է դրա աճը, ինչը հանգեցնում է ապրանքների քանակի կտրուկ աճի, որը համապատասխանում է մեր համակարգին։ Բայց ինչպես նշվեց ավելի վաղ, այս աճի սահմանափակումների բացակայությունը թույլ չի տալիս կիրառել այս մոդելը գործնականում։

Մալթուսյան աճի մոդելը հագեցվածությունից/

Հաշվի առնելով այս համակարգը, եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք մոդելի կառուցմանը:

Առաջին քայլը երկու դրայվ ավելացնելն է, եկեք դրանք անվանենք X_stock և Y_stock: Նրանցից յուրաքանչյուրին վերագրում ենք 1 սկզբնական արժեք։Նշենք, որ դասականում հոսքերի բացակայության դեպքում տրված հավասարումըպահեստում ոչինչ չկա.

Նկար 1.10. Համակարգի մոդելի կառուցում (1.9)

Հաջորդ քայլը թելերի ավելացումն է: Եկեք կառուցենք մուտքային և ելքային հոսք յուրաքանչյուր սկավառակի համար՝ օգտագործելով գրաֆիկական խմբագրիչ: Չպետք է մոռանալ, որ հոսքի եզրերից մեկը պետք է լինի դրայվում, հակառակ դեպքում դրանք չեն միանա։

Դուք կարող եք տեսնել, որ սկավառակի համար հավասարումը տեղադրվել է ավտոմատ կերպով, իհարկե, օգտվողը կարող է այն գրել ինքն իրեն՝ ընտրելով «կամայական» հավասարման ռեժիմը, բայց ամենահեշտ ձևը այս գործողությունը ծրագրին թողնելն է:

Մեր երրորդ քայլը վեց պարամետր և երկու դինամիկ փոփոխական ավելացնելն է: Եկեք յուրաքանչյուր տարրի անունը տանք համակարգում իր բառացի արտահայտությանը համապատասխան, ինչպես նաև սահմանենք պարամետրերի սկզբնական արժեքները հետևյալ կերպ՝ e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2:

Հավասարումների բոլոր տարրերն առկա են, մնում է միայն գրել հոսքերի հավասարումները, բայց դրա համար նախ անհրաժեշտ է տարրերի միջև կապեր ավելացնել: Օրինակ, տերմինի համար պատասխանատու ելքային հոսքը պետք է կապված լինի e1-ի և x-ի հետ: Եվ յուրաքանչյուր դինամիկ փոփոխական պետք է կապված լինի իր համապատասխան բաժնետոմսի հետ (X_stock x, Y_stock y): Հղումներ ստեղծելը նման է թելեր ավելացնելուն:

Անհրաժեշտ կապեր ստեղծելուց հետո կարող եք անցնել հոսքերի համար հավասարումներ գրելուն, որը ցույց է տրված ճիշտ նկարում: Իհարկե, դուք կարող եք գնալ հակառակ հերթականությամբ, բայց եթե կան կապեր, ապա հավասարումներ գրելիս ակնարկներ են հայտնվում անհրաժեշտ պարամետրերը / փոփոխականները փոխարինելու համար, ինչը հեշտացնում է առաջադրանքը բարդ մոդելներում:

Բոլոր քայլերն ավարտելուց հետո կարող եք գործարկել սիմուլյացիոն մոդելը և դիտել դրա արդյունքը:

Հաշվի առնելով փոխադարձության պայմաններում ընկերությունների փոխազդեցության ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերը, կարող ենք մի քանի եզրակացություն անել։

Համակարգի երկու վիճակ կա՝ կտրուկ անսահմանափակ աճ, կամ արտադրության քանակի զրոյական միտում։ Երկու վիճակներից որը կընդունի համակարգը կախված է պարամետրերից:

Առաջարկվող մոդելներից և ոչ մեկը, ներառյալ հագեցվածությունը հաշվի առնելով մոդելը, հարմար չէ գործնական օգտագործման համար՝ ոչ զրոյական կայուն դիրքի բացակայության, ինչպես նաև 1-ին պարբերությունում նկարագրված պատճառների պատճառով:

Գործնականում ընկերությունների կողմից կիրառելի մոդել ստեղծելու համար այս տեսակի սիմբիոտիկ փոխազդեցության հետագա ուսումնասիրության փորձի դեպքում անհրաժեշտ է ավելի բարդացնել համակարգը և ներմուծել նոր պարամետրեր: Օրինակ, Բազիկինը իր գրքում օրինակ է բերում երկու փոխադարձ պոպուլյացիաների դինամիկայի՝ ներտեսակային մրցակցության լրացուցիչ գործոնի ներդրմամբ։ Ինչի շնորհիվ համակարգը ստանում է ձև.

(1.15)

Եվ այս դեպքում ի հայտ է գալիս համակարգի ոչ զրոյական կայուն դիրք՝ զրոյից առանձնացված «թամբով», որն ավելի է մոտեցնում տեղի ունեցողի իրական պատկերին։

2. Ընկերությունների փոխգործակցությունը պրոհամագործակցության պայմաններում

Ամբողջ հիմնական տեսական տեղեկատվությունը ներկայացված էր նախորդ գլխում, ուստի այս գլխում դիտարկված մոդելների վերլուծության ժամանակ տեսությունը մեծ մասամբ բաց կթողվի, բացառությամբ մի քանի կետերի, որոնք մենք չհանդիպեցինք նախորդում: գլուխ, և կարող է լինել նաև հաշվարկների կրճատում: Կազմակերպությունների միջև փոխգործակցության մոդելը, որը դիտարկված է այս գլխում, պրոտոհամագործակցության պայմաններում, որը բաղկացած է երկու հավասարումների համակարգերից, որոնք հիմնված են Մալթուսյան մոդելի վրա, նման է համակարգին (1.5): Նախորդ գլխում վերլուծված համակարգերը ցույց տվեցին, որ առկա մոդելներին դրանց առավելագույն մոտարկման համար անհրաժեշտ է բարդացնել համակարգերը: Այս բացահայտումների հիման վրա մենք անմիջապես կավելացնենք աճի սահմանափակում մոդելին: Ի տարբերություն փոխգործակցության նախորդ տեսակի, երբ աճը, որը կախված չէ այլ ընկերությունից, բացասական է, այս դեպքում բոլոր նշանները դրական են, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք մշտական ​​աճ։ Խուսափելով նախկինում նկարագրված թերություններից՝ մենք կփորձենք սահմանափակել այն լոգիստիկ հավասարմամբ, որը նաև հայտնի է որպես Վերհուլստի հավասարում (Gershenfeld, 1999), որն ունի հետևյալ ձևը.

, (2.1)

որտեղ P-ն բնակչության մեծությունն է, r-ն աճի տեմպը ցույց տվող պարամետրն է, K-ն այն պարամետրն է, որը պատասխանատու է բնակչության հնարավոր առավելագույն չափի համար: Այսինքն՝ ժամանակի ընթացքում բնակչության թվաքանակը (մեր դեպքում՝ արտադրությունը) կձգտի որոշակի պարամետրի Կ.

Այս հավասարումը կօգնի զսպել արտադրանքի անխռով աճը, որը մենք տեսել ենք մինչ այժմ: Այսպիսով, համակարգը ստանում է հետևյալ ձևը.

(2.2)

Մի մոռացեք, որ յուրաքանչյուր ընկերության համար պահեստում պահվող ապրանքների ծավալը տարբեր է, ուստի աճը սահմանափակող պարամետրերը տարբեր են: Եկեք այս համակարգը անվանենք «», և ապագայում մենք կօգտագործենք այս անունը, երբ այն դիտարկենք:

Երկրորդ համակարգը, որը մենք կքննարկենք, սա է հետագա զարգացումմոդելներ Verhulst սահմանափակումով: Ինչպես նախորդ գլխում, մենք ներկայացնում ենք հագեցվածության սահմանափակում, այնուհետև համակարգը կունենա հետևյալ ձևը.

(2.3)

Այժմ տերմիններից յուրաքանչյուրն ունի իր սահմանը, ուստի առանց հետագա վերլուծության կարելի է տեսնել, որ չի լինի անսահմանափակ աճ, ինչպես նախորդ գլխի մոդելներում: Եվ քանի որ տերմիններից յուրաքանչյուրը դրական աճ է ցույց տալիս, ուրեմն արտադրանքի քանակը չի զրոյի։ Եկեք այս մոդելն անվանենք «երկու սահմանափակված նախաօպերացիոն մոդել»:

Այս երկու մոդելները քննարկվում են կենսաբանական պոպուլյացիաների վերաբերյալ տարբեր աղբյուրներում: Այժմ մենք կփորձենք որոշակիորեն ընդլայնել համակարգերը։ Դա անելու համար հաշվի առեք հետևյալ նկարը.

Նկարում ներկայացված է երկու ընկերությունների՝ պողպատի և ածխի արդյունաբերության գործընթացների օրինակ: Երկու ձեռնարկություններում էլ նկատվում է արտադրության աճ, որը մյուսից անկախ է, ինչպես նաև կա արտադրության աճ, որը ստացվում է նրանց փոխազդեցության շնորհիվ։ Մենք դա արդեն հաշվի ենք առել ավելի վաղ մոդելներում: Այժմ արժե ուշադրություն դարձնել այն փաստին, որ ընկերությունները ոչ միայն արտադրում են ապրանքներ, այլև դրանք վաճառում են, օրինակ, շուկային կամ դրա հետ շփվող ընկերությանը։ Նրանք. տրամաբանական եզրակացությունների հիման վրա ընկերությունների բացասական աճի անհրաժեշտություն կա ապրանքների վաճառքի պատճառով (նկարում դրա համար պատասխանատու են β1 և β2 պարամետրերը), ինչպես նաև արտադրության մի մասի այլ ձեռնարկություն փոխանցելու պատճառով։ . Նախկինում մենք դա հաշվի էինք առնում միայն մեկ այլ ընկերության համար դրական նշանով, սակայն ապրանքներ տեղափոխելիս հաշվի չէինք առնում այն ​​փաստը, որ ապրանքների քանակը նվազում է առաջին ձեռնարկության համար։ Այս դեպքում մենք ստանում ենք համակարգը.

(2.4)

Իսկ եթե տերմինի մասին կարելի է ասել, որ եթե նախորդ մոդելներում նշված էր, որ բնութագրում է բնական աճը, իսկ պարամետրը կարող է բացասական լինել, ապա գործնականում տարբերություն չկա, ապա տերմինի մասին. սա չի կարելի ասել: Բացի այդ, ապագայում, երբ դիտարկվում է նման համակարգը իր վրա դրված սահմանափակումով, ավելի ճիշտ է օգտագործել դրական և բացասական աճի պայմանները, քանի որ այս դեպքում նրանց վրա կարող են դրվել տարբեր սահմանափակումներ, ինչը բնականի համար անհնար է. աճը։ Եկեք այն անվանենք «ընդլայնված պրոտոհամագործակցության մոդել»։

Վերջապես, դիտարկվող չորրորդ մոդելը ընդլայնված պրոհամագործակցության մոդելն է՝ նախկինում նշված լոգիստիկ աճի սահմանափակումով: Եվ այս մոդելի համակարգը հետևյալն է.

, (2.5)

որտեղ է առաջին ձեռնարկության արտադրության աճը, անկախ երկրորդից, հաշվի առնելով լոգիստիկ սահմանափակումը, - առաջին ընկերության արտադրության աճը, կախված երկրորդից, հաշվի առնելով լոգիստիկ սահմանափակումը, - երկրորդ ձեռնարկության արտադրության աճը, անկախ առաջինից, հաշվի առնելով լոգիստիկ սահմանափակումը, - երկրորդ ընկերության արտադրության ավելացում՝ կախված առաջինից՝ հաշվի առնելով լոգիստիկ սահմանափակումը, - առաջին ընկերության ապրանքների սպառումը, որը կապված չէ մյուսի հետ, - երկրորդ ընկերության ապրանքների սպառումը, որը կապված չէ մյուսի հետ , - առաջին արդյունաբերության ապրանքների սպառումը երկրորդ արդյունաբերության կողմից, - երկրորդ արդյունաբերության առաջին արդյունաբերության ապրանքների սպառումը.

Ապագայում այս մոդելը կկոչվի «ընդլայնված նախաօպերացիոն մոդել՝ լոգիստիկ սահմանափակումով»։

1 Համակարգերի կայունությունը առաջին մոտարկումով

Proto-operation մոդելը Verhulst սահմանափակումով

Համակարգի կայունության վերլուծության մեթոդները նշված են նախորդ գլխի նմանատիպ բաժնում: Առաջին հերթին մենք գտնում ենք հավասարակշռության կետեր: Դրանցից մեկը, ինչպես միշտ, զրո է։ Մյուսը կոորդինատներով կետ է:

λ1 = , λ2 = զրոյական կետի համար, քանի որ երկու պարամետրերն էլ ոչ բացասական են, մենք ստանում ենք անկայուն հանգույց։

Քանի որ երկրորդ կետի հետ աշխատելն այնքան էլ հարմար չէ, արտահայտությունը կրճատելու ունակության բացակայության պատճառով, մենք կայունության տեսակի սահմանումը կթողնենք փուլային դիագրամներին, քանի որ դրանք հստակ ցույց են տալիս, թե արդյոք հավասարակշռության կետը կայուն է: կամ ոչ.

Այս համակարգի վերլուծությունն ավելի բարդ է, քան նախորդը, քանի որ ավելացվում է հագեցվածության գործակիցը, այդպիսով հայտնվում են նոր պարամետրեր, և հավասարակշռության կետերը գտնելիս անհրաժեշտ կլինի լուծել ոչ թե գծային, այլ երկգծային հավասարում. փոփոխականը հայտարարի մեջ. Հետեւաբար, ինչպես նախորդ դեպքում, մենք թողնում ենք կայունության տեսակի սահմանումը փուլային դիագրամներին:

Չնայած նոր պարամետրերի ի հայտ գալուն, Յակոբյանը զրոյական կետում, ինչպես նաև բնորոշ հավասարման արմատները, նման են նախորդ մոդելին: Այսպիսով, զրոյական կետում, անկայուն հանգույց:

Եկեք անցնենք առաջադեմ մոդելներին: Դրանցից առաջինը որևէ սահմանափակում չի պարունակում և ունի համակարգի ձև (2.4)

Եկեք փոփոխականների փոփոխություն կատարենք, , և . Նոր համակարգ.

(2.6)

Այս դեպքում ստանում ենք երկու հավասարակշռության կետ՝ A(0,0), B() կետ։ B կետը գտնվում է առաջին եռամսյակում, քանի որ փոփոխականներն ունեն ոչ բացասական արժեք:

A հավասարակշռության կետի համար մենք ստանում ենք.

. - անկայուն հանգույց

. - թամբ,

. - թամբ,

. - կայուն հանգույց

B կետում բնորոշ հավասարման արմատները բարդ թվեր են՝ λ1 = , λ2 = : Մենք չենք կարող որոշել կայունության տեսակը՝ հենվելով Լյապունովի թեորեմների վրա, ուստի կիրականացնենք թվային սիմուլյացիաներ, որոնք ցույց չեն տա բոլոր հնարավոր վիճակները, բայց թույլ կտան պարզել դրանցից գոնե մի քանիսը։

Նկար 2.2. Կայունության տեսակի որոնման թվային մոդելավորում

Հաշվի առնելով այս մոդելը, պետք է բախվել հաշվողական դժվարություններին, քանի որ այն ունի մեծ թվով տարբեր պարամետրեր, ինչպես նաև երկու սահմանափակում:

Առանց հաշվարկների մանրամասների մեջ մտնելու՝ մենք հասնում ենք հետևյալ հավասարակշռության կետերին. A(0,0) կետը և B կետը հետևյալ կոորդինատներով.

(), որտեղ a =

Ա կետի համար կայունության տեսակը որոշելը չնչին խնդիր է: Բնութագրական հավասարման արմատներն են λ1 = , λ2 = : Այսպիսով, մենք ստանում ենք չորս տարբերակ.

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - անկայուն հանգույց:

2.λ1< 0, λ2 >0 - թամբ:

3. λ1 ​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Խոսելով B կետի մասին, արժե համաձայնել, որ հապավումների փոխարինումը արտահայտության մեջ կբարդացնի աշխատանքը Հակոբյանի հետ և գտնել բնորոշ հավասարման արմատները: Օրինակ՝ WolframAlpha հաշվողական գործիքների միջոցով դրանք գտնելուց հետո արմատների ելքը վերցրեց մոտ հինգ տող, ինչը թույլ չի տալիս նրանց հետ բառացիորեն աշխատել։ Իհարկե, եթե արդեն գոյություն ունեցող պարամետրեր կան, թվում է, որ հնարավոր է արագ գտնել հավասարակշռության կետ, բայց սա հատուկ դեպք է, քանի որ մենք կգտնենք հավասարակշռության վիճակը, եթե այդպիսիք կան, միայն այս պարամետրերի համար, որը հարմար չէ որոշման համար: աջակցության համակարգ, որի համար նախատեսվում է ստեղծել մոդելը:

Հատկանշական հավասարման արմատների հետ աշխատելու բարդության պատճառով մենք կառուցում ենք զրոյական իզոկլինների փոխադարձ դասավորությունը Բազիկինի աշխատանքում վերլուծված համակարգի հետ անալոգիայով (Bazykin, 2003): Սա մեզ թույլ կտա դիտարկել համակարգի հնարավոր վիճակները, իսկ ապագայում, փուլային դիմանկարներ կառուցելիս, գտնել հավասարակշռության կետերը և դրանց կայունության տեսակները։

Որոշ հաշվարկներից հետո զրոյական իզոկլինիկական հավասարումները ստանում են հետևյալ ձևը.

(2.7)

Այսպիսով, իզոկլինները ունեն պարաբոլների ձև:

Նկար 2.3. Հնարավոր զրոյական իզոկլինիկական տեղակայում

Ընդհանուր առմամբ դրանց փոխադարձ դասավորության չորս հնարավոր դեպք կա՝ ըստ պարաբոլների միջև ընդհանուր կետերի։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր պարամետրերի հավաքածուն, և հետևաբար համակարգի փուլային դիմանկարները:

Համակարգերի 2 փուլային դիմանկարներ

Եկեք կառուցենք համակարգի փուլային դիմանկարը, պայմանով, որ դա իսկ մնացած պարամետրերը հավասար են 1-ի: Այս դեպքում փոփոխականների մեկ փաթեթը բավարար է, քանի որ որակը չի փոխվի:

Ինչպես երևում է ստորև բերված նկարներից, զրոյական կետը անկայուն հանգույց է, իսկ երկրորդ կետը, եթե փոխարինենք պարամետրերի թվային արժեքները, կստանանք (-1,5, -1,5)՝ թամբ:

Նկար 2.4. Համակարգի փուլային դիմանկար (2.2)

Այսպիսով, քանի որ փոփոխություններ չպետք է տեղի ունենան, ապա այս համակարգի համար կան միայն անկայուն վիճակներ, ինչը, ամենայն հավանականությամբ, պայմանավորված է անսահմանափակ աճի հնարավորությամբ։

Նախաօպերացիոն մոդել՝ երկու սահմանափակումներով:

Այս համակարգում կա լրացուցիչ սահմանափակող գործոն, ուստի փուլային դիագրամները պետք է տարբերվեն նախորդ դեպքից, ինչպես երևում է նկարում: Զրոյական կետը նույնպես անկայուն հանգույց է, սակայն այս համակարգում հայտնվում է կայուն դիրք, այն է՝ կայուն հանգույց։ Այս պարամետրերով, նրա կոորդինատներով (5.5,5.5), այն ներկայացված է նկարում:

Նկար 2.5. Համակարգի փուլային դիմանկար (2.3)

Այսպիսով, յուրաքանչյուր տերմինի սահմանափակումը հնարավորություն տվեց ձեռք բերել համակարգի կայուն դիրք։

Ընդլայնված նախաօպերացիոն մոդել:

Եկեք կառուցենք փուլային դիմանկարներ ընդլայնված մոդելի համար, բայց անմիջապես օգտագործելով դրա փոփոխված ձևը.

Եկեք դիտարկենք պարամետրերի չորս խմբեր, ինչպիսիք են բոլոր դեպքերը դիտարկել զրոյական հավասարակշռության կետով, ինչպես նաև ցույց տալ ոչ զրոյական հավասարակշռության կետի համար օգտագործվող թվային մոդելավորման փուլային դիագրամները. համապատասխանում է պետությանը , բազմությունը B(1,0.5,-0.5) համապատասխանում է սահմանել C(-1.0.5,0.5) և սահմանել D(-1.0.5,-0.5) , այսինքն՝ զրոյական կետում կայուն հանգույց։ Առաջին երկու հավաքածուները ցույց կտան փուլային դիմանկարները այն պարամետրերի համար, որոնք մենք դիտարկել ենք թվային սիմուլյացիայի ժամանակ:

Նկար 2.6. Ֆազային դիմանկար համակարգի համար (2.4) А-D պարամետրերով:

Նկարներում անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել համապատասխանաբար (-1,2) և (1,-2) կետերին, դրանցում հայտնվում է «թամբ»: Ավելի մանրամասն ներկայացման համար նկարը ցույց է տալիս պատկերի այլ մասշտաբը թամբի կետով (1,-2): Նկարում (1,2) և (-1,-2) կետերում տեսանելի է կայուն կենտրոն։ Ինչ վերաբերում է զրոյական կետին, ապա ֆազային դիագրամների վրա նկարից մինչև պատկեր, մենք կարող ենք հստակ տարբերակել անկայուն հանգույցը, թամբը, թամբը և կայուն հանգույցը:

Ընդլայնված պրոհամագործակցության մոդել՝ լոգիստիկ սահմանափակումներով:

Ինչպես նախորդ մոդելում, մենք կցուցադրենք փուլային դիմանկարներ զրոյական կետի չորս դեպքերի համար, ինչպես նաև կփորձենք նշել ոչ զրոյական լուծումներ այս դիագրամներում: Դա անելու համար վերցրեք պարամետրերի հետևյալ հավաքածուները հետևյալ հաջորդականությամբ () նշված պարամետրերով. A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2): ,1) և D (1,2,1,2): Մնացած պարամետրերը բոլոր հավաքածուների համար կլինեն հետևյալը. .

Ստորև ներկայացված նկարներում կարելի է դիտարկել այս դինամիկ համակարգի նախորդ բաժնում նկարագրված զրոյական կետի չորս հավասարակշռության վիճակները: Եվ նաև թվերում՝ մեկ ոչ զրոյական կոորդինատով կետի կայուն դիրքը։

Նկար 2.7. Ֆազային դիմանկար համակարգի համար (2.5) A-B պարամետրերով

3 Համակարգերի ինտեգրալ հետագծեր

Proto-operation մոդելը Verhulst սահմանափակումով

Ինչպես նախորդ գլխում, մենք դիֆերենցիալ հավասարումներից յուրաքանչյուրը լուծում ենք առանձին և բացահայտորեն արտահայտում ենք փոփոխականների կախվածությունը ժամանակի պարամետրից:

(2.8)

(2.9)

Ստացված հավասարումներից երևում է, որ փոփոխականներից յուրաքանչյուրի արժեքը մեծանում է, ինչը ցույց է տրված ստորև ներկայացված եռաչափ մոդելում։

Նկար 2.8. Եռաչափ մոդել հավասարման համար (2.8)

Այս տեսակի սյուժեն ի սկզբանե նման է Գլուխ 1-ում քննարկված չհագեցած 3D Մալթուսյան մոդելին, քանի որ այն ունի նմանատիպ արագ աճ, բայց հետագայում դուք կարող եք տեսնել աճի տեմպի նվազում, երբ ելքային սահմանը հասնում է: Այսպիսով, ինտեգրալ կորերի վերջնական տեսքը նման է լոգիստիկ հավասարման գծապատկերին, որն օգտագործվել է տերմիններից մեկը սահմանափակելու համար:

Նախաօպերացիոն մոդել՝ երկու սահմանափակումներով:

Մենք լուծում ենք յուրաքանչյուր հավասարում` օգտագործելով Wolfram Alpha գործիքները: Այսպիսով, x(t) ֆունկցիայի կախվածությունը կրճատվում է հետևյալ ձևով.

(2.10)

Երկրորդ գործառույթի դեպքում իրավիճակը նման է, ուստի մենք բաց ենք թողնում դրա լուծումը: Թվային արժեքները հայտնվել են որոշ համապատասխան արժեքներով պարամետրերի փոխարինման պատճառով, ինչը չի ազդում ինտեգրալ կորերի որակական վարքագծի վրա: Ստորև բերված գծապատկերները ցույց են տալիս աճի սահմանափակումների օգտագործումը, քանի որ էքսպոնենցիալ աճը ժամանակի ընթացքում դառնում է լոգարիթմական:

Նկար 2.9. Եռաչափ մոդել հավասարման համար (2.10)

Ընդլայնված նախաօպերացիոն մոդել

Գրեթե նման է փոխադարձություն ունեցող մոդելներին։ Միակ տարբերությունն այդ մոդելների համեմատ ավելի արագ աճի մեջ է, որը երևում է ստորև բերված հավասարումներից (եթե նայեք ցուցիչի աստիճանին) և գրաֆիկներից: Ինտեգրալ կորը պետք է ընդունի ցուցիչի ձև:

(2.11)

(2.12)

Ընդլայնված պրոհամագործակցության մոդել՝ լոգիստիկ սահմանափակումներով

Կախվածությունը x(t) ունի հետևյալ տեսքը.

Առանց գրաֆիկի դժվար է գնահատել ֆունկցիայի վարքագիծը, ուստի, օգտագործելով մեզ արդեն հայտնի գործիքները, մենք այն կկառուցենք։

Նկար 2.10 3D մոդել հավասարման համար

Ֆունկցիայի արժեքը նվազում է մեկ այլ փոփոխականի ոչ փոքր արժեքների համար, ինչը պայմանավորված է բացասական երկգծային տերմինի սահմանափակումների բացակայությամբ և ակնհայտ արդյունք է:

4 Փոխազդող ընկերությունների համակարգի դինամիկան

Proto-operation մոդելը Verhulst սահմանափակումով:

Եկեք կառուցենք համակարգը (2.2): Օգտագործելով մեզ արդեն հայտնի գործիքները՝ մենք կառուցում ենք սիմուլյացիոն մոդել։ Այս անգամ, ի տարբերություն փոխադարձ մոդելների, մոդելը կունենա լոգիստիկ սահմանափակում։

Նկար 2.11. Համակարգի դինամիկայի մոդելը համակարգի համար (2.2)

Եկեք գործարկենք մոդելը: Այս մոդելում հարկ է նշել այն փաստը, որ հարաբերություններից աճը ոչնչով չի սահմանափակվում, և արտադրանքի աճն առանց մյուսի ազդեցության ունի որոշակի սահմանափակում։ Եթե ​​նայեք բուն լոգիստիկ ֆունկցիայի արտահայտությանը, կարող եք տեսնել, որ այն դեպքում, երբ փոփոխականը (ապրանքների քանակը) գերազանցում է առավելագույն հնարավոր պահեստավորման ծավալը, տերմինը դառնում է բացասական։ Այն դեպքում, երբ կա միայն լոգիստիկ գործառույթ, դա անհնար է, բայց հավելյալ միշտ դրական աճի գործոնով դա հնարավոր է։ Եվ հիմա կարևոր է հասկանալ, որ լոգիստիկ գործառույթը հաղթահարելու է ապրանքների քանակի ոչ շատ արագ աճի իրավիճակը, օրինակ՝ գծային: Եկեք նայենք ստորև ներկայացված նկարներին:

Նկար 2.12. Համակարգի համար համակարգի դինամիկայի մոդելի գործողության օրինակ (2.2)

Ձախ նկարում ներկայացված է առաջարկվող մոդելին համապատասխան ծրագրի 5-րդ քայլը։ Բայց այս պահին արժե ուշադրություն դարձնել ճիշտ գործչի վրա:

Նախ, Y_stock-ի մուտքային հոսքերից մեկի համար x-ի հղումը, որն արտահայտված է ,-ով հեռացվել է: Դա արվում է գծային միշտ դրական հոսքով մոդելի կատարողականի տարբերությունը և երկգծային աճը ցույց տալու համար, որը ներկայացված է X_stock-ի համար: Գծային անսահմանափակ հոսքերով, K պարամետրը գերազանցելուց հետո, համակարգը ինչ-որ պահի գալիս է հավասարակշռության (այս մոդելում հավասարակշռության վիճակը կազմում է 200 հազար միավոր ապրանք): Բայց շատ ավելի վաղ երկգծային աճը բերում է ապրանքների քանակի կտրուկ աճի՝ անցնելով անսահմանության։ Եթե ​​և՛ աջ, և՛ ձախ անընդհատ դրական հոսքերը թողնենք երկգծային, ապա արդեն մոտ 20-30 քայլում կուտակիչի արժեքը հասնում է երկու անսահմանության տարբերության։

Ելնելով վերը նշվածից՝ կարելի է վստահորեն ասել, որ նման մոդելների հետագա կիրառման դեպքում անհրաժեշտ է սահմանափակել ցանկացած դրական աճ։

Նախաօպերացիոն մոդել՝ երկու սահմանափակումներով:

Պարզելով նախորդ մոդելի թերությունները և սահմանելով երկրորդ տերմինի վրա հագեցվածության գործոնով սահմանափակում՝ մենք կկառուցենք և գործարկենք նոր մոդել։

Նկար 2.13. Համակարգի դինամիկայի մոդելը և դրա գործողության օրինակը համակարգի համար (2.3)

Այս մոդելը, ի վերջո, բերում է երկար սպասված արդյունքները։ Պարզվեց, որ սահմանափակեց կուտակիչի արժեքների աճը։ Ինչպես երևում է ճիշտ նկարից, երկու ձեռնարկությունների համար էլ հավասարակշռությունը ձեռք է բերվում պահեստավորման ծավալի մի փոքր ավելցուկով:

Ընդլայնված նախաօպերացիոն մոդել:

Այս մոդելի համակարգի դինամիկան դիտարկելիս կցուցադրվեն AnyLogic ծրագրային միջավայրի հնարավորությունները մոդելների գունավոր վիզուալիզացիայի համար: Բոլոր նախորդ մոդելները կառուցվել են՝ օգտագործելով միայն համակարգի դինամիկայի տարրերը: Հետևաբար, մոդելներն իրենք աննկատ երևում էին, նրանք թույլ չէին տալիս հետևել արտադրության քանակի փոփոխության դինամիկային ժամանակի ընթացքում և փոխել պարամետրերը ծրագրի գործարկման ընթացքում: Այս և հաջորդ մոդելների հետ աշխատելիս մենք կփորձենք օգտագործել ծրագրային հնարավորությունների ավելի լայն շրջանակ՝ վերը նշված երեք թերությունները փոխելու համար:

Նախ, բացի «համակարգի դինամիկա» բաժնից, ծրագիրը պարունակում է նաև «նկարներ», «3D օբյեկտներ» բաժինները, որոնք հնարավորություն են տալիս դիվերսիֆիկացնել մոդելը, ինչը օգտակար է դրա հետագա ներկայացման համար, քանի որ այն դարձնում է մոդելի տեսք։ «Ավելի հաճելի».

Երկրորդ, մոդելի արժեքների փոփոխությունների դինամիկան հետևելու համար կա «վիճակագրություն» բաժին, որը թույլ է տալիս ավելացնել գծապատկերներ և տվյալների հավաքագրման տարբեր գործիքներ՝ դրանք կապելով մոդելի հետ:

Երրորդ, մոդելի կատարման ընթացքում պարամետրերը և այլ օբյեկտները փոխելու համար կա «վերահսկում» բաժինը: Այս բաժնի օբյեկտները թույլ են տալիս փոխել պարամետրերը, երբ մոդելն աշխատում է (օրինակ՝ «սահիկ»), ընտրել օբյեկտի տարբեր վիճակներ (օրինակ՝ «անջատիչ») և կատարել այլ գործողություններ, որոնք փոխում են ի սկզբանե նշված տվյալները աշխատանքի ընթացքում։ .

Մոդելը հարմար է ձեռնարկությունների արտադրության փոփոխությունների դինամիկայի հետ ծանոթություն սովորեցնելու համար, սակայն աճի սահմանափակումների բացակայությունը թույլ չի տալիս այն օգտագործել գործնականում:

Ընդլայնված պրոհամագործակցության մոդել՝ լոգիստիկ սահմանափակումներով:

Օգտագործելով արդեն պատրաստված նախորդ մոդելը, մենք կավելացնենք պարամետրեր լոգիստիկ հավասարումից՝ աճը սահմանափակելու համար:

Մենք բաց ենք թողնում մոդելի կառուցումը, քանի որ աշխատանքում ներկայացված նախորդ հինգ մոդելներն արդեն ցուցադրել են դրանց հետ աշխատելու բոլոր անհրաժեշտ գործիքներն ու սկզբունքները: Հարկ է միայն նշել, որ նրա վարքագիծը նման է Verhulst-ի սահմանափակումով նախահամագործակցության մոդելին: Նրանք. հագեցվածության բացակայությունը խոչընդոտում է դրա գործնական կիրառմանը:

Մոդելները պրոտոհամագործակցության տեսանկյունից վերլուծելուց հետո մենք սահմանում ենք մի քանի հիմնական կետեր.

Այս գլխում դիտարկված մոդելները գործնականում ավելի հարմար են, քան փոխադարձ մոդելները, քանի որ դրանք ունեն ոչ զրոյական կայուն հավասարակշռության դիրքեր նույնիսկ երկու անդամով: Հիշեցնեմ, որ փոխադարձության մոդելներում մենք կարողացանք դրան հասնել միայն երրորդ ժամկետ ավելացնելով։

Հարմար մոդելները պետք է սահմանափակումներ ունենան տերմիններից յուրաքանչյուրի վրա, քանի որ հակառակ դեպքում, երկգծային գործոնների կտրուկ աճը «ոչնչացնում է» ամբողջ սիմուլյացիոն մոդելը։

Ելնելով 2-րդ պարբերությունից, ընդլայնված մոդելին հագեցվածության գործակցի Վերհուլստի սահմանափակմամբ նախաօպերացիա ավելացնելիս, ինչպես նաև արտադրության ավելի ցածր կրիտիկական քանակություն ավելացնելիս, մոդելը պետք է հնարավորինս մոտենա իրերի իրական վիճակին: Բայց մի մոռացեք, որ համակարգի նման մանիպուլյացիաները կբարդացնեն դրա վերլուծությունը:

Եզրակացություն

Ուսումնասիրության արդյունքում կատարվել է վեց համակարգերի վերլուծություն, որոնք նկարագրում են արտադրության դինամիկան այն ձեռնարկությունների կողմից, որոնք փոխադարձաբար ազդում են միմյանց վրա: Արդյունքում, հավասարակշռության կետերը և դրանց կայունության տեսակները որոշվել են հետևյալ եղանակներից մեկով. Համակարգերից յուրաքանչյուրի համար կառուցվել են ֆազային դիագրամներ, ինչպես նաև կառուցվել են եռաչափ մոդելներ, որոնց վրա նախագծելիս հնարավոր է հարթություններում ստանալ ինտեգրալ կորեր (x, t), (y, t)։ Դրանից հետո, օգտագործելով AnyLogic մոդելավորման միջավայրը, կառուցվեցին բոլոր մոդելները և որոշ պարամետրերով դիտարկվեցին դրանց վարքագծի տարբերակները:

Համակարգերը վերլուծելուց և դրանց սիմուլյացիոն մոդելները կառուցելուց հետո ակնհայտ է դառնում, որ այս մոդելները կարող են դիտվել միայն որպես ուսուցում կամ մակրոսկոպիկ համակարգեր նկարագրելու համար, բայց ոչ որպես առանձին ընկերությունների որոշումների աջակցման համակարգ՝ ցածր ճշգրտության և որոշ տեղերում։ ընթացող գործընթացների ոչ այնքան հուսալի ներկայացում: Բայց նաև մի մոռացեք, որ որքան էլ ճիշտ է մոդելը նկարագրող դինամիկ համակարգը, յուրաքանչյուր ընկերություն/կազմակերպություն/արդյունաբերություն ունի իր գործընթացներն ու սահմանափակումները, ուստի հնարավոր չէ ստեղծել և նկարագրել ընդհանուր մոդել: Յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում այն ​​կձևափոխվի՝ ավելի բարդանալ կամ, ընդհակառակը, պարզեցնել հետագա աշխատանքի համար։

Եզրակացություններ անելով յուրաքանչյուր գլխի համար, արժե կենտրոնանալ բացահայտված փաստի վրա, որ հավասարման յուրաքանչյուր տերմինի վրա սահմանափակումների ներդրումը, թեև բարդացնում է համակարգը, բայց նաև թույլ է տալիս հայտնաբերել համակարգի կայուն դիրքերը, ինչպես նաև այն մոտեցնել իրականում տեղի ունեցողին: Եվ հարկ է նշել, որ պրոտոկոոպերացիոն մոդելներն առավել հարմար են ուսումնասիրության համար, քանի որ դրանք ունեն ոչ զրոյական կայուն դիրքեր՝ ի տարբերություն մեր դիտարկած երկու փոխադարձ մոդելների։

Այսպիսով, այս ուսումնասիրության նպատակը իրականացավ, և առաջադրանքները կատարվեցին: Հետագայում, որպես այս աշխատանքի շարունակություն, կդիտարկվի պրոտոգործողության տեսակի փոխազդեցության ընդլայնված մոդելը դրա վրա ներդրված երեք սահմանափակումներով՝ լոգիստիկ, հագեցվածության գործակից, ավելի ցածր կրիտիկական թիվ, որը պետք է թույլ տա ստեղծել ավելի ճշգրիտ: որոշումների աջակցման համակարգի մոդել, ինչպես նաև մոդել երեք ընկերությունների հետ: Որպես աշխատանքի ընդլայնում, բացի սիմբիոզից, կարող ենք դիտարկել նաև երկու այլ տեսակի փոխազդեցություն, որոնք նշվել են աշխատության մեջ։

գրականություն

1. Բհաթիա Նամ Փարշադ; Szegh Giorgio P. (2002). Դինամիկ համակարգերի կայունության տեսություն. Springer.

2. Բլանշարդ Պ. Դևանի, Ռ.Լ. Hall, G. R. (2006): Դիֆերենցիալ հավասարումներ. Լոնդոն: Թոմփսոն. pp. 96-111 թթ.

Boeing, G. (2016). Ոչ գծային դինամիկ համակարգերի վիզուալ վերլուծություն. քաոս, ֆրակտալներ, ինքնանմանություն և կանխատեսման սահմաններ համակարգեր։ 4 (4): 37.

4. Campbell, David K. (2004): Ոչ գծային ֆիզիկա. թարմ շնչառություն: Բնություն. 432 (7016): 455-456.

Էլթոն Ք.Ս. (1968) վերատպ. կենդանիների էկոլոգիա. Մեծ Բրիտանիա՝ William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961): Արդյունաբերական դինամիկա. MIT Press.

8. Գանդոլֆո, Ջանկառլո (1996 թ.): Տնտեսական դինամիկան (երրորդ խմբ.): Բեռլին: Springer. pp. 407-428 թթ.

9. Gershenfeld Neil A. (1999): Մաթեմատիկական մոդելավորման բնույթը. Քեմբրիջ, Մեծ Բրիտանիա: Cambridge University Press.

10 Goodman M. (1989): Ուսումնական նշումներ Համակարգի դինամիկայում: Պեգասուս.

Grebogi C, Ott E, and Yorke J. (1987): Քաոս, տարօրինակ գրավիչներ և ֆրակտալ ավազանի սահմաններ ոչ գծային դինամիկայի մեջ: Գիտություն 238 (4827), էջ 632-638։

12 Վարսավիր Էռնստ; Նորսեթ Սիվերտ Փոլ; Wanner, Gerhard (1993), Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում I. Ոչ կոշտ խնդիրներ, Բեռլին, Նյու Յորք

Hanski I. (1999) Metapopulation Էկոլոգիա. Oxford University Press, Oxford, pp. 43-46 թթ.

Հյուզ-Հալեթ Դեբորա; ՄակՔալում, Ուիլյամ Գ. Gleason, Andrew M. (2013). Հաշվարկ՝ միայնակ և բազմաչափ (6 խմբ.): Ջոն Ուայլի.

15. Llibre J., Valls C. (2007): Գլոբալ վերլուծական առաջին ինտեգրալները իրական հարթավայրային Lotka-Volterra համակարգի համար, J. Math. Ֆիզ.

16. Ջորդան Դ.Վ. Smith P. (2007): Ոչ գծային սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ. ներածություն գիտնականների և ճարտարագետների համար (4-րդ խմբ.): Օքսֆորդի համալսարանի հրատարակչություն.

Խալիլ Հասան Կ. (2001). ոչ գծային համակարգեր. Պրենտիս Հոլ.

Լամարի համալսարան, առցանց մաթեմատիկական նշումներ - փուլային հարթություն, P. Dawkins:

Lamar University, Online Math Notes - Systems of Differential Equations, P. Dawkins.

Լանգ Սերժ (1972). Դիֆերենցիալ բազմազանություն. Ռեդինգ, Մասս.-Լոնդոն-Դոն Միլս, Օնտ.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Law Averill M. (2006): Սիմուլյացիոն մոդելավորում և վերլուծություն Expertfit Software-ի միջոցով: McGraw-Hill Science.

Lazard D. (2009). Երեսուն տարի բազմանդամ համակարգի լուծում, իսկ հիմա՞: Խորհրդանշական հաշվարկի ամսագիր. 44 (3): 222-231:

24 Լյուիս Մարկ Դ. (2000): The Promise of Dynamic Systems Approaces for a Integrated Account of Human Development. երեխայի զարգացում. 71 (1): 36-43.

25. Մալթուս Թ.Ռ. (1798)։ Էսսե բնակչության սկզբունքի մասին, Oxford World's Classics-ի վերահրատարակման մեջ, էջ 61, VII գլխի վերջ

26. Մորկրոֆտ Ջոն (2007): Ռազմավարական մոդելավորում և բիզնեսի դինամիկան. Հետադարձ համակարգերի մոտեցում. Ջոն Ուայլի և որդիներ.

27. Նոլտե Դ.Դ. (2015), Ներածություն ժամանակակից դինամիկայի. քաոս, ցանցեր, տարածություն և ժամանակ, Օքսֆորդի համալսարանի հրատարակչություն:

Ավտոմատիկա և հեռամեխանիկա, L-1, 2007 թ

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Յու.Ս. ՊՈՊԿՈՎ, տեխ. գիտ. (Համակարգային վերլուծության ինստիտուտ, ՌԱՍ, Մոսկվա)

ԴԻՆԱՄԻԿ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ՈՐԱԿԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ Vd-ENTROPY ՕՊԵՐԱՏՈՐՈՎ.

Առաջարկվում է մեթոդ DSEE-ի դիտարկվող դասի եզակի կետերի գոյության, եզակիության և տեղայնացման ուսումնասիրության համար: Ստացվում են «փոքրում» և «մեծում» կայունության պայմաններ։ Տրված են ստացված պայմանների կիրառման օրինակներ։

1. Ներածություն

Դինամիկ պրոցեսների մաթեմատիկական մոդելավորման բազմաթիվ խնդիրներ կարող են լուծվել էնտրոպիայի օպերատորով (DEOS) դինամիկ համակարգերի հայեցակարգի հիման վրա։ DSEE-ն դինամիկ համակարգ է, որում ոչ գծայինությունը նկարագրվում է էնտրոպիայի մաքսիմալացման պարամետրային խնդրով։ Feio-moyologically DSEO-ն մակրոհամակարգի մոդել է՝ «դանդաղ» ինքնավերարտադրմամբ և «արագ» ռեսուրսների բաշխմամբ։ DSEO-ի որոշ հատկություններ ուսումնասիրվել են. Այս աշխատանքը շարունակում է DSEO-ների որակական հատկությունների ուսումնասիրությունների ցիկլը:

Մենք դիտարկում ենք դինամիկ համակարգ Vd-էնտրոպիայի օպերատորով.

^ = £ (x, y (x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0:

Այս արտահայտություններում.

C(x, y), u(x) շարունակաբար տարբերվող վեկտորային ֆունկցիաներ են.

Էնտրոպիա

(1.2) Hv (y) = uz 1n որպես > 0, s = T~m;

T - (r x w) - ^ 0 տարրերով մատրիցա ունի ընդհանուր վարկանիշը հավասար r;

Վեկտորային ֆունկցիան u(x) ենթադրվում է անընդհատ տարբերվող, բազմություն

(1.3) Q = (ք: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

որտեղ a--ը և a +-ը E+-ից վեկտորներ են, որտեղ a--ն փոքր բաղադրիչներով վեկտոր է:

Օգտագործելով էնտրոպիայի օպերատորի հայտնի ներկայացումը Լագրանժի բազմապատկիչների առումով: մենք (1.1) համակարգը վերափոխում ենք հետևյալ ձևի.

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

որտեղ rk = exp(-Ak) > 0 են էքսպոնենցիալ Լագրանժի բազմապատկիչները:

Ընդհանուր ձևի (1.1) DSEE-ի հետ միասին մենք կքննարկենք՝ հետևելով դասակարգմանը, որը տրված է .

DSEE բաժանելի հոսքով.

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

որտեղ B (n x m) - մատրիցա;

DSEO բազմապատկիչ հոսքով.

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), աբ

որտեղ W-ն (n x m)-մատրից է ոչ բացասական տարրերով, a-ն դրական բաղադրիչներով վեկտոր է, ® կոորդինատային բազմապատկման նշանն է։

Այս աշխատության նպատակն է ուսումնասիրել DSEE-ի եզակի կետերի գոյությունը, եզակիությունը և տեղայնացումը և դրանց կայունությունը:

2. Եզակի միավորներ

2.1. Գոյություն

Դիտարկենք համակարգը (1.4): Այս դինամիկ համակարգի եզակի կետերը որոշվում են հետևյալ հավասարումներով.

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.

Նախ դիտարկենք հավասարումների օժանդակ համակարգը.

(2.4) C(q, z) = r, q e R,

որտեղ R բազմությունը սահմանվում է հավասարությամբ (1.3), իսկ C(q, r) վեկտորային ֆունկցիա է բաղադրիչներով.

(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

Հավասարումը (2.4) ունի եզակի լուծում r* յուրաքանչյուր ֆիքսված վեկտորի q համար, որը բխում է Vg-էնտրոպիայի օպերատորի հատկություններից (տես):

С(g, z) վեկտորային ֆունկցիայի բաղադրիչների սահմանումից տեղի է ունենում ակնհայտ գնահատական.

(2.6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Առաջին հավասարման լուծումը նշանակենք r+-ով, իսկ երկրորդը՝ r-ով։ Եկեք սահմանենք

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

և r-չափային վեկտորներ

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin , zmin).

Լեմմա 2.1. Բոլոր q G Q (1 . 3) (2.4) հավասարման z*(q) լուծումները պատկանում են հատվածի 1 վեկտորին.

զմին< z*(q) < zmax,

որտեղ zmin և zmax վեկտորները սահմանվում են (2.7)-(2.9) արտահայտություններով:

Թեորեմի ապացույցը տրված է հավելվածում։ Քք

qk(x) (1.3) x G Rn-ի համար, ապա մենք ունենք

Եզրակացություն 2.1. Թող Lemma 2.1-ի պայմանները բավարարվեն, իսկ qk(x) ֆունկցիաները բավարարեն պայմանները (1.3) բոլոր ex x G Rn-ի համար: Ապա բոլոր x G Rm-ի համար (2.3) հավասարման z* լուծումները պատկանում են վեկտորային հատվածին

զմին< z* < zmax

Այժմ վերադառնանք հավասարումներին (2.2): որոնք որոշում են y(z) վեկտորային ֆունկցիայի բաղադրիչները։ Նրա յակոբյան տարրերն ունեն ձև

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

բոլոր z G R+-ի համար, բացառությամբ 0-ի և g-ի: Ուստի y(z) վեկտորային ֆունկցիան խիստ միապաղաղ աճում է։ Համաձայն Լեմմայի 2.1-ի, այն սահմանափակված է ներքևից և վերևից, այսինքն. բոլոր z G Rr-ի համար (հետևաբար բոլոր x G Rn-ի համար) դրա արժեքները պատկանում են բազմությանը

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

որտեղ yk, y+ վեկտորների բաղադրիչները որոշվում են արտահայտություններով.

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™:

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Դիտարկենք (2.1) առաջին հավասարումը և վերաշարադրենք այն այսպես.

(2.14) L(x, y) = 0 բոլորի համար y e Y ⊂ E^:

Այս հավասարումը որոշում է x փոփոխականի կախվածությունը Y-ին պատկանող y փոփոխականից

we (1.4) նվազեցնում է մինչև (2.14) հավասարմամբ սահմանված x(y) իմպլիցիտ ֆունկցիայի առկայությունը:

Լեմմա 2.2. Թող բավարարվեն հետևյալ պայմանները.

ա) L(x, y) վեկտոր ֆունկցիան շարունակական է փոփոխականների բազմության մեջ.

բ) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

գ) det J (x, y) = 0 բոլոր ex x e En-ի համար ցանկացած ֆիքսված y e Y-ի համար:

Այնուհետև Y-ի վրա սահմանվում է x*(y) եզակի իմպլիցիտ ֆունկցիա: Այս լեմմայում J(x, y)-ը տարրերով յակոբյան է:

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Ապացույցը տրված է Հավելվածում: Վերոնշյալ լեմաներից հետևում է

Թեորեմ 2.1. Թող բավարարվեն Լեմմա 2.1 և 2.2-ի պայմանները։ Այնուհետև կա DSEE-ի եզակի եզակի կետ (1.4) և, համապատասխանաբար, (1.1):

2.2. Տեղայնացում

Եզակի կետի տեղայնացման ուսումնասիրությունը հասկացվում է որպես այն միջակայքը սահմանելու հնարավորություն, որում այն ​​գտնվում է: Այս առաջադրանքը շատ պարզ չէ, բայց DSEE-ի որոշ դասի համար կարող է սահմանվել նման ընդմիջում:

Եկեք դիմենք (2.1) հավասարումների առաջին խմբին և ներկայացնենք դրանք ձևով

(2.16) L(x,y)=0, y-y y y+,

որտեղ y- և y+ սահմանվում են հավասարումներով (2.12), (2.13):

Թեորեմ 2.2. Թող վեկտորային ֆունկցիան L(x,y) լինի անընդհատ տարբերվող և միապաղաղ աճող երկու փոփոխականներում, այսինքն.

--> 0, --> 0; i, l = 1, n; j = 1, մ. dxi dyj

Այնուհետև (2.16) համակարգի լուծումը x փոփոխականի նկատմամբ պատկանում է (2.17) xmin x x x xmax միջակայքին,

ա) xmin, xmax վեկտորներն ունեն ձև

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■, xmax - ^QaX ^;

6) x- և x+ - հետևյալ հավասարումների լուծման բաղադրիչները

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

oo m-ի հետ իհարկե:

Թեորեմի ապացույցը տրված է հավելվածում։

3. DSEA-ի կայունությունը «փոքրում»

3.1. DSEE բաժանելի հոսքով Անդրադառնանք բաժանելի հոսքով DSEE հավասարումներին՝ դրանք ներկայացնելով ձևով.

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Այստեղ վեկտորային ֆունկցիայի բաղադրիչների արժեքները q(x) պատկանում են Q (1.3) բազմությանը, B (n × w) մատրիցը ունի n (n) հավասար դասակարգ:< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Թող դիտարկվող համակարգը ունենա x եզակի կետ: Այս եզակի կետի կայունությունը «փոքրում» ուսումնասիրելու համար մենք կառուցում ենք գծային համակարգ

որտեղ A-ն (n x n)-մատրիցան է, որի տարրերը հաշվարկվում են x կետում, իսկ վեկտորը t = x - x: Համաձայն (3.1) առաջին հավասարման՝ գծային համակարգի մատրիցն ունի

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, I \u003d 1, p

(3.1)-ից որոշվում են Yr:dy մատրիցայի տարրերը:

«bkz P» 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

Zx մատրիցի տարրերը որոշելու համար մենք դիմում ենք (3.1) հավասարումների վերջին խմբին: B-ն ցույց է տալիս, որ այս հավասարումները սահմանում են անուղղակի վեկտորային ֆունկցիա r(x), որը շարունակաբար տարբերվում է, եթե g(x) վեկտորային ֆունկցիան անընդհատ տարբերվող է: z(x) վեկտորային ֆունկցիայի Յակոբյան Zx-ը սահմանվում է հավասարմամբ

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

Այս հավասարումից ունենք (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x):

Այս արդյունքը փոխարինելով հավասարությամբ (3.3): մենք ստանում ենք.

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x):

Այսպիսով, գծային համակարգի հավասարումը ստանում է ձև

(c.i) | = (j+p)e

Այստեղ J, P մատրիցների տարրերը հաշվարկվում են եզակի կետում։ Կայունության բավարար պայմանները «փոքր» DSEE-ում (3.1) որոշվում են հետևյալով

Թեորեմ 3.1. DSEE-ն (3.1) ունի x եզակի կետ, որը կայուն է «փոքրում», եթե բավարարված են հետևյալ պայմանները.

ա) գծայինացված համակարգի J, P (3.10) մատրիցները (3.11) ունեն իրական և տարբեր սեփական արժեքներ, իսկ J մատրիցն ունի առավելագույն սեփական արժեք.

Pmax = max Pg > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umax + Ptah<

Այս թեորեմից և հավասարությունից (3.10) հետևում է, որ եզակի կետերի համար, որոնց համար Qx(x) = 0 և (կամ) X-ի համար, = 0 և tkj ^ 1 բոլոր ex k,j-ի համար, թեորեմի բավարար պայմանները չեն. գոհ.

3.2. DSEE բազմապատկվող հոսքով Դիտարկենք հավասարումները (1.6): ներկայացնելով դրանք հետևյալ ձևով.

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++:

համակարգեր։ Կունենա:

(3.13)

Այս արտահայտության մեջ դիագ C]-ը շեղանկյուն մատրից է դրական տարրերով a1,..., an, Yr, Zx (3.4)-(3.7) հավասարություններով սահմանված մատրիցներ են:

Մենք ներկայացնում ենք A մատրիցը ձևով

(3.14) A = դիագ + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x):

Նշեք maxi ai = nmax, իսկ wmax-ը P(x) մատրիցի առավելագույն սեփական արժեքն է (3.15): Այնուհետև թեորեմ 3.1-ը նույնպես վավեր է DSEE-ի համար (1.6): (3.12).

4. DSEA-ի կայունությունը «մեծում».

Եկեք դիմենք DESO հավասարումներին (1.4), որոնցում վեկտորային ֆունկցիայի բաղադրիչների արժեքները q(x) պատկանում են Q բազմությանը (1.3): Քննարկվող համակարգում կա Z եզակի կետ, որի վեկտորները z(x) = z ^ z-> 0 և.

y(x) = y(z) = y > y- > 0:

Ներկայացնենք £, C, П շեղման վեկտորները եզակի կետից՝ (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z:

ԺԵԺԵՐՈՒՆ Ա.Ա., ՊՈԿՐՈՎՍԿԻ Ա.Վ. - 2009 թ

1

Ուսումնասիրության նպատակն է զարգացնել սուպերհամակարգչային կողմնորոշված ​​տրամաբանական մեթոդ (Բուլյան սահմանափակման մեթոդ) և սպասարկման վրա հիմնված տեխնոլոգիա՝ համակարգչային համակարգի ստեղծման և օգտագործման համար՝ ինքնավար երկուական դինամիկ համակարգերի հետագծերի վարքագծի դինամիկայի որակական ուսումնասիրության համար։ սահմանափակ ժամանակային ընդմիջում: Թեմայի արդիականությունը հաստատվում է գիտական ​​և կիրառական հետազոտություններում երկուական մոդելների կիրառման անընդհատ աճող շրջանակով, ինչպես նաև մեծ պետական ​​վեկտորային չափում ունեցող նման մոդելների որակական վերլուծության անհրաժեշտությամբ: Ներկայացված է վերջավոր ժամանակային ընդմիջումով ինքնավար երկուական համակարգի մաթեմատիկական մոդելը և այս համակարգին համարժեք Բուլյան հավասարումը: Դինամիկ հատկության հստակեցումն առաջարկվում է գրվել պրեդիկատային տրամաբանության լեզվով՝ օգտագործելով սահմանափակ էքզիստենցիալ և ունիվերսալ քանակականներ։ Ստացվում են երկուական համակարգի հավասարակշռության վիճակների և ցիկլերի որոնման բուլյան հավասարումներ և դրանց մեկուսացման պայմաններ: Հստակեցված են հասանելիության տիպի հիմնական հատկությունները (հասանելիություն, անվտանգություն, միաժամանակյա հասանելիություն, հասանելիություն փուլային սահմանափակումների ներքո, գրավչություն, միացում, ընդհանուր հասանելիություն): Յուրաքանչյուր հատկության համար դրա մոդելը կառուցված է բուլյան սահմանափակման տեսքով (բուլյան հավասարում կամ քանակական բուլյան բանաձև), որը բավարարում է հատկության տրամաբանական ճշգրտումը և համակարգի դինամիկայի հավասարումները։ Այսպիսով, ինքնավար երկուական դինամիկ համակարգերի վարքագծի տարբեր հատկությունների իրագործելիության ստուգումը վերջավոր ժամանակային ընդմիջումով կրճատվում է ժամանակակից SAT և TQBF լուծիչների օգտագործմամբ Բուլյան սահմանափակումների իրագործելիության խնդրին: Տրված է այս տեխնոլոգիայի օգտագործման ցուցադրական օրինակ՝ նախկինում տրված որոշ հատկությունների իրագործելիությունը ստուգելու համար: Եզրափակելով, թվարկված են Բուլյան սահմանափակման մեթոդի հիմնական առավելությունները, սպասարկման վրա հիմնված մոտեցման շրջանակներում դրա ծրագրային ներդրման առանձնահատկությունները և երկուական դինամիկ համակարգերի այլ դասերի մեթոդի հետագա զարգացման ուղղությունները:

երկուական դինամիկ համակարգ

դինամիկ հատկություն

որակական վերլուծություն

բուլյան սահմանափակումներ

բուլյան բավարարվածության խնդիր

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. SAT լուծման տեսություն և պրակտիկա: Դագստուլը հաղորդում է. 2015.հատ. 5. ոչ. 4. R. 98–122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. QBF գնահատումների տասներկու տարի. QSAT-ը PSPACE-դժվար է և ցույց է տալիս: հիմնադրամ. տեղեկացնել. 2016.հատ. 149. R. 133–58.

3. Bohman D., Posthof H. Երկուական դինամիկ համակարգեր. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 p.

4. Մասլով Ս.Յու. Դեդուկտիվ համակարգերի տեսությունը և դրա կիրառումը: Մոսկվա: Ռադիո և հաղորդակցություն, 1986 թ. 133 էջ.

5. Jhala R., Majumdar R. Ծրագրային մոդելի ստուգում: ACM Computing Surveys. 2009.հատ. 41 թիվ 4 Ռ 21։1–21։54։

6. Վասիլև Ս.Ն. Դինամիկ համակարգերի կրճատման մեթոդ և որակական վերլուծություն: I–II // Իզվեստիա ՌԱՆ. Տեսություն և կառավարման համակարգեր. 2006. No 1. S. 21–29. No 2, էջ 5–17։

7. DIMACS ձևաչափ [Էլեկտրոնային ռեսուրս]: Մուտքի ռեժիմ՝ http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (մուտք՝ 24.07.2018):

8. QDIMACS ստանդարտ [Էլեկտրոնային ռեսուրս]: Մուտքի ռեժիմ՝ http://qbflib.org/qdimacs.html (մուտք՝ 24.07.2018):

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Դիսկրետ ժամանակային համակարգեր իրադարձությունների վրա հիմնված դինամիկայով. վերլուծության և սինթեզի մեթոդների վերջին զարգացումները: Մարիո Ալբերտո Ջորդան (Խմբ.). Դիսկրետ ժամանակային համակարգեր. intech. 2011. R. 447–476.

10. Վասիլև Ս.Ն. Հասանելիություն և կապակցում ավտոմատ ցանցում ընդհանուր միացման կանոնով // Դիֆերենցիալ հավասարումներ. 2002. V. 38. No 11. S. 1533–1539 թթ.

11. Բիչկով Ի.Վ., Օպարին Գ.Ա., Բոգդանովա Վ.Գ., Գորսկի Ս.Ա., Փաշինին Ա.Ա. Բաշխված հաշվողական միջավայրում Բուլյան հավասարումների զուգահեռ լուծման ավտոմատացման բազմագործակալ տեխնոլոգիա // Հաշվարկային տեխնոլոգիաներ. 2016. V. 21. No 3. S. 5–17.

12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. Կախվածության տեղյակ QBF լուծիչ: Ամսագիր բավարարության մասին: Բուլյան մոդելավորում և հաշվարկ. 2010. հատ. 9. Ռ 71–76.

13. Օպարին Գ.Ա., Բոգդանովա Վ.Գ., Փաշինին Ա.Ա., Գորսկի Ս.Ա. Կիրառական խնդիրների բաշխված լուծումներ՝ հիմնված միկրոծառայությունների և գործակալների ցանցերի վրա: Պրոց. 41-րդ պրակտիկանտից. Տեղեկատվական և հաղորդակցական տեխնոլոգիաների, էլեկտրոնիկայի և միկրոէլեկտրոնիկայի մասին կոնվենցիա (MIPRO-2018): R. 1643–1648 թթ.

14. Բոգդանովա Վ.Գ., Գորսկի Ս.Ա. Բուլյան բավարարվածության խնդիրների մասշտաբային զուգահեռ լուծիչ: Պրոց. 41-րդ պրակտիկանտից. Տեղեկատվական և հաղորդակցական տեխնոլոգիաների կոնվենցիա. Էլեկտրոնիկա և միկրոէլեկտրոնիկա (MIPRO-2018). R. 244–249.

15. Բիչկով Ի.Վ., Օպարին Գ.Ա., Բոգդանովա Վ.Գ., Փաշինին Ա.Ա. Կիրառական խնդիրների լուծման տեխնոլոգիան՝ հիմնված բաշխված հաշվարկային առարկայի տիրույթի մոդելի վրա. Չելյաբինսկ: SUSU-ի հրատարակչական կենտրոն, 2018: P. 34–48.

Երկուական դինամիկ մոդելների կիրառման շրջանակը չափազանց լայն է, և ամեն տարի այն օբյեկտների և առաջադրանքների թիվը, որտեղ դրանց օգտագործումը պահանջվում է, միայն ավելանում է: Դասական օրինակ է երկուական համաժամանակյա ավտոմատը, որը բազմաթիվ դիսկրետ սարքերի մոդել է կառավարման համակարգերում, համակարգչային տեխնիկայում, հեռամեխանիկայում: Երկուական դինամիկ մոդելների ժամանակակից կիրառությունները ներառում են կենսաինֆորմատիկայի, տնտեսագիտության, սոցիոլոգիայի և մի շարք այլ ոլորտներ, որոնք հեռու են երկարժեք փոփոխականների օգտագործումից: Այս առումով զգալիորեն մեծանում է երկուական դինամիկ համակարգերի (DDS) հետագծերի վարքագծի որակական վերլուծության նոր մեթոդների մշակման և կատարելագործման արդիականությունը:

Ինչպես հայտնի է, դինամիկ (ոչ միայն երկուական) համակարգի որակական վերլուծության նպատակն է ստանալ դրական կամ բացասական պատասխան այն հարցին. Արդյո՞ք պահանջվող դինամիկ հատկությունը պահպանվում է տվյալ համակարգում: Եկեք այս հարցը վերափոխենք հետևյալ կերպ. Արդյո՞ք դինամիկ համակարգի հետագծերի վարքագիծը բավարարում է գույքը բնութագրող սահմանափակումների որոշակի շարք: Այնուհետև մենք կօգտագործենք համակարգի դինամիկ հատկությունների որակական վերլուծության նպատակի այս մեկնաբանությունը:

DDS-ի համար, որի գործողությունը դիտարկվում է վերջավոր ժամանակային միջակայքում, նման սահմանափակումները բուլյան են և գրված են բուլյան հավասարումների լեզվով կամ քանակականներով բուլյան բանաձևերով։ Առաջին տեսակի սահմանափակումները հանգեցնում են SAT խնդրի լուծման անհրաժեշտությանը (բուլյան բավարարման խնդիր); Սահմանափակումների երկրորդ տեսակը կապված է TQBF խնդրի լուծման հետ (Քանակականացված Բուլյան բանաձևերի ճշմարտացիության ստուգում): Առաջին խնդիրը NP բարդության դասի տիպիկ ներկայացուցիչն է, իսկ երկրորդ խնդիրը՝ PSPACE բարդության դասը։ Ինչպես հայտնի է, դիսկրետ խնդրի PSPACE ամբողջականությունն ավելի ուժեղ վկայում է դրա անլուծելիության մասին, քան NP- ամբողջականությունը: Դրա պատճառով DDS-ի որակական վերլուծության խնդրի կրճատումը SAT խնդրին ավելի նախընտրելի է, քան կրճատումը TQBF խնդրին: Ընդհանուր դեպքում, DDS-ի ոչ բոլոր հատկության ուսումնասիրությունը կարող է ներկայացվել բուլյան հավասարումների լեզվով:

Բուլյան սահմանափակումների (մասնավորապես՝ Բուլյան հավասարումների) օգտագործման տեսական հնարավորությունը DDS-ի որակական վերլուծության մեջ առաջին անգամ ցուցադրվել է 2012թ. Այնուամենայնիվ, պետք է նշել, որ այդ մոտեցման կիրառումը գործնականում այն ​​ժամանակ սահմանափակված էր բուլյան հավասարումների լուծման արդյունավետ ալգորիթմների և ծրագրերի բացակայությամբ (հատկապես մեծ թվով անհայտ փոփոխականներով), ինչը զգալիորեն կնվազեցնի որոնման տարածքը: Վերջին տասնամյակում այս ոլորտում ինտենսիվ հետազոտությունների արդյունքում հայտնվել են բավականաչափ տարբեր արդյունավետ Բուլյան հավասարումների լուծիչներ (SAT լուծիչներ), որոնք լուծում են ժամանակակից ձեռքբերումները (նոր էվրիստիկա, արագ տվյալների կառուցվածքներ, զուգահեռ հաշվարկ և այլն): Բուլյան բավարարվածության խնդիրը: Նմանատիպ գործընթացներ (բայց որոշ ուշացումով) նկատվում են նաև TQBF խնդրի լուծման ավելի ու ավելի արդյունավետ ալգորիթմների և ծրագրերի ստեղծման ոլորտում։ Այսպիսով, մինչ օրս առկա են բոլոր անհրաժեշտ նախադրյալները DDS-ի որակական վերլուծության մեջ Բուլյան սահմանափակումների մեթոդի համակարգված մշակման, դրա ծրագրային ներդրման և գիտական ​​և կիրառական խնդիրների լուծման գործում:

Բուլյան սահմանափակման մեթոդից բացի, DDS-ի համար կիրառելի են նաև որակական վերլուծության այլ մեթոդներ, որոնք ներառում են դեդուկտիվ վերլուծություն, մոդելի ստուգում և կրճատման մեթոդ: Այս մեթոդներից յուրաքանչյուրը (ներառյալ բուլյան սահմանափակման մեթոդը) ունի իր սահմանափակումները, առավելություններն ու թերությունները: Ընդհանուր թերությունն այն է, որ բոլոր մեթոդները թվային բնույթ են կրում, և թվարկումների կրճատման խնդիրը հիմնարար է այդ մեթոդների համար:

Դեդուկտիվ վերլուծության կարևորությունը, որը ներառում է աքսիոմների և եզրակացության կանոնների կիրառում համակարգի ճիշտ գործունեությունը ապացուցելու համար, ճանաչված է մասնագետների լայն շրջանակի կողմից, բայց սա աշխատատար և, հետևաբար, հազվադեպ օգտագործվող մեթոդ է: Մոդելի ստուգման մեթոդում գույքի պահանջվող հստակեցման լեզուն օգտագործում է ժամանակային տրամաբանության լեզուն, որն անսովոր է ավտոմատների դինամիկայի մասնագետների համար: Կրճատման մեթոդը կապված է սկզբնական համակարգի պարզեցված (որոշակի իմաստով) մոդելի կառուցման, դրա հատկությունների ուսումնասիրության և այդ հատկությունները սկզբնական բարդ համակարգին փոխանցելու պայմանների հետ: Հատկությունների փոխանցելիության պայմանները բավարար են միայն այս դեպքում։ DDS-ի որակական վերլուծության մեջ նվազեցման մեթոդի գաղափարի պարզությունը բախվում է մեթոդի բոլոր պայմաններին բավարարող պարզեցված համակարգի ընտրության խնդրին:

Բուլյան սահմանափակման մեթոդի գործնական օգտագործումը ներառում է հետևյալ գործընթացների ալգորիթմացումը և ավտոմատացումը.

1) համակարգային դինամիկայի մասնագետի վրա կենտրոնացած դինամիկ հատկությունների հստակեցման համար տրամաբանական լեզվի մշակում.

2) դինամիկ հատկության մոդելի կառուցում այս կամ այն ​​տեսակի բուլյան սահմանափակման տեսքով, որը բավարարում է հատկության տրամաբանական բնութագրերը և երկուական համակարգի դինամիկայի հավասարումները.

3) ստացված մոդելի ներկայացում միջազգային ձևաչափով DIMACS կամ QDIMACS.

4) Բուլյան սահմանափակումների (SAT կամ TQBF լուծիչ) բավարարության խնդրի արդյունավետ զուգահեռ (բաշխված) լուծիչի ընտրություն (մշակում).

5) ծրագրային ծառայությունների ստեղծման գործիքների մշակում.

6) DDS-ի տարբեր դինամիկ հատկությունների որակական հետազոտության ծառայությունների մշակում.

նպատակՍույն ուսումնասիրության միայն առաջին երկու խնդիրների լուծումն է՝ կապված ինքնավար (առանց հսկողության մուտքերի) համաժամանակյա DDS-ի որակական ուսումնասիրությունների ալգորիթմացման հետ: Անգլալեզու հրատարակություններում նման համակարգերը կոչվում են համաժամանակյա բուլյան ցանցեր (Բուլյան ցանց): Բուլյան սահմանափակման մեթոդի կիրառման այլ ասպեկտներ (ներառյալ հսկիչ մուտքերով DDS-ի համար) հետևյալ հրապարակումների թեման են:

Ինքնավար DDS-ի մաթեմատիկական մոդել

Թող X = Bn (B = (0, 1) լինի n չափման երկուական վեկտորների բազմությունը (DDS վիճակի տարածություն) Թող t∈T = (1,…,k) նշանակի դիսկրետ ժամանակը (ցիկլի թիվը):

Յուրաքանչյուր x0∈X վիճակի համար, որը կոչվում է սկզբնական վիճակ, մենք սահմանում ենք x(t, x0) հետագիծը որպես x0, x1,…, xk վիճակների վերջավոր հաջորդականություն X բազմությունից: Այնուհետև մենք կդիտարկենք DDS, որտեղ յուրաքանչյուր զույգ հարակից վիճակների xt, x(t - 1) (t∈T) հետագծերը կապված են կապով.

xt = F (xt - 1): (մեկ)

Այստեղ F:X>X-ը տրամաբանական հանրահաշիվ վեկտորային ֆունկցիա է, որը կոչվում է անցումային ֆունկցիա: Այսպիսով, ցանկացած x0∈X-ի համար Բուլյան հավասարումների համակարգը (1) ներկայացնում է X վիճակի տարածքում DDS հետագծերի վարքագծի դինամիկայի մոդել T = (1, 2,…,k) վերջավոր ժամանակային միջակայքում: Այստեղ և ներքևում T բազմության սահմանման մեջ k արժեքը ենթադրվում է որպես կանխորոշված ​​հաստատուն։ Այս սահմանափակումը միանգամայն բնական է։ Բանն այն է, որ DDS-ի հետագծերի վարքագծի որակական վերլուծության մեջ գործնական հետաքրքրություն է ներկայացնում այն ​​հարցը, թե ինչ կարելի է ասել ֆիքսված, ոչ շատ մեծ k-ի համար ինչ-որ դինամիկ հատկության իրագործելիության մասին: Յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում k-ի արժեքի ընտրությունը հիմնված է մոդելավորված դիսկրետ համակարգում գործընթացների տևողության մասին a priori տեղեկատվության վրա:

Հայտնի է, որ T = (1, 2,…,k) x0∈X սկզբնական վիճակով բուլյան հավասարումների համակարգը (1) համարժեք է ձևի մեկ բուլյան հավասարման.

k = 1-ի համար (դիտարկվում են միայն մեկ քայլ անցումներ), հավասարումը (2) ընդունում է ձևը

(3)

Այս հավասարման լուծումները սահմանում են ուղղորդված գրաֆիկ, որը բաղկացած է 2n գագաթներից, որոնք նշվում են X բազմության 2n վիճակներից մեկով: Գրաֆիկի x0 և x1 գագաթները միացված են x0 վիճակից x1 վիճակին ուղղված աղեղով: Նման գրաֆիկը երկուական ավտոմատների տեսության մեջ կոչվում է անցումային դիագրամ։ DDS-ի վարքագծի ներկայացումը անցումային դիագրամի տեսքով շատ պարզ է և՛ հետագծեր կառուցելիս, և՛ դրանց հատկությունները ուսումնասիրելիս, բայց գործնականում հնարավոր է միայն x∈X վիճակի վեկտորի n փոքր չափերի համար:

Լեզուն նշանակում է դինամիկ հատկություններ նշելու համար

Առավել հարմար է ձևական տրամաբանության լեզվով նշել դինամիկ գույքի ճշգրտումը: Հետևելով թղթին X0∈X, X1∈X, X*∈X-ով նշում ենք սկզբնական, թույլատրելի և թիրախային վիճակների բազմությունները:

Դինամիկ հատկության տրամաբանական բանաձևի հիմնական շարահյուսական տարրերն են. 2) գոյության և համընդհանուրության սահմանափակ չափորոշիչներ. 3) տրամաբանական միացումներ v, &; վերջնական բանաձեւեր. Վերջնական բանաձեւը ներկայացնում է այն պնդումը, որ x(t, x0) (x0∈X0) հետագծերի բազմության որոշ վիճակներ պատկանում են X* և X1 գնահատման բազմություններին:

Հարկ է նշել, որ սահմանափակ էքզիստենցիալ և ունիվերսալ քանակականների օգտագործումը հնարավորություն է տալիս գրել դինամիկ հատկություն, որը ծանոթ է դինամիկայի մասնագետին: Բուլյան մոդելի կառուցման գործընթացում (1) համակարգի հատկությունները փոխարինվում են սահմանափակ քանակականներով սովորականներով՝ համաձայն հետևյալ սահմանումների.

որտեղ A(y)-ը պրեդիկատ է, որը սահմանափակում է y փոփոխականի արժեքը:

t փոփոխականի տիրույթի վերջավորության պատճառով գոյության և համընդհանուրության սահմանափակ չափորոշիչները այս փոփոխականի նկատմամբ փոխարինվում են համարժեք բանաձևերով, որոնք քանակականներ չեն պարունակում։

Հետևյալում մենք կենթադրենք, որ X0, X1, X* բազմությունների տարրերը որոշվում են համապատասխանաբար հետևյալ բուլյան հավասարումների զրոներով.

կամ այս բազմությունների բնորոշ գործառույթները, .

Հաշվի առնելով G0(x) = 0 սկզբնական վիճակների սահմանափակումը, (2, 3) հավասարումների հետ միասին, նշումը կրճատելու համար կօգտագործենք հետևյալ բուլյան հավասարումները.

(4)

Ինքնավար DDS-ի նախնական որակական վերլուծություն

Նախնական վերլուծության փուլում կարելի է բացահայտել պետության ճյուղավորումը (նրա անմիջական նախորդների բազմությունը), հավասարակշռության վիճակների և փակ հետագծերի (ցիկլերի) առկայությունը (անհրաժեշտության դեպքում):

x1 վիճակը (3) կկոչվի x0 վիճակի իրավահաջորդ, իսկ x0՝ x1 վիճակի նախորդ: Ինքնավար DDS-ում յուրաքանչյուր պետություն ունի միայն մեկ իրավահաջորդ, և տվյալ վիճակի նախորդների թիվը կարող է տատանվել զրոյից մինչև 2n - 1: s∈X վիճակի բոլոր անմիջական նախորդները x0 բուլյան հավասարման զրոներ են:

Եթե ​​(6) հավասարումը լուծումներ չունի, ապա վիճակի նախորդներ չկան:

Հավասարակշռության վիճակները (եթե դրանք կան) բուլյան հավասարման լուծումներ են

x0, x1,…, xk հետագիծը կոչվում է k երկարության ցիկլ, եթե x0, x1,…, xk-1 վիճակները զույգ-զույգ տարբեր են միմյանցից և xk = x0: K երկարության ցիկլային հաջորդականությունը (եթե այն գոյություն ունի) Բուլյան հավասարման լուծումն է

որտեղ = 0 ( ) - k երկարությամբ ցիկլի C վիճակների բազմության զույգ տարբերության պայմաններ: Եթե ​​ցիկլի վիճակներից ոչ մեկը չունի նախորդներ, որոնք չեն պատկանում C բազմությանը, ապա այդպիսի ցիկլը կոչվում է մեկուսացված։ Թող C բազմության s տարրերը որոշվեն Gc(s) = 0 բուլյան հավասարման լուծմամբ: Այնուհետև հեշտ է ցույց տալ, որ ցիկլի մեկուսացման պայմանը համարժեք է զրոյի բացակայությանը հետևյալ բուլյան հավասարման մեջ.

(7) հավասարման լուծումները (եթե դրանք կան) որոշում են ցիկլի վիճակները, որոնք ունեն նախորդներ, որոնք չեն պատկանում C բազմությանը:

Քանի որ հավասարակշռության վիճակը k = 1 երկարությամբ ցիկլ է, դրա մեկուսացման պայմանը նման է k ≥ 2 մեկուսացման պայմանին, այն տարբերությամբ, որ Gc(s)-ն ունի ամբողջական դիսյունկցիայի ձև, որը որոշում է այս հավասարակշռության վիճակը:

Հետևյալում ոչ մեկուսացված հավասարակշռության վիճակները և ցիկլերը կկոչվեն գրավիչ:

Հասանելիության տեսակի դինամիկ հատկությունների ճշգրտում

DDS-ի հիմնական հատկությունը, ստուգելու անհրաժեշտությունը, որն առավել հաճախ առաջանում է պրակտիկայում, հասանելիության հատկությունն է, որն ավանդաբար ուսումնասիրվում է գրաֆիկների տեսության մեջ (մեր դեպքում, այդպիսի գրաֆիկը անցումային դիագրամ է) և դրա տարբեր տատանումները: Հասանելիությունը սահմանվում է որպես DDS հետագծերի վարքագծի վերլուծության դասական խնդիր:

Այս հատկության սահմանումը կապված է նախկինում ներկայացված X0, X*, X1 բազմությունների նշանակման հետ (համապատասխանում են Բուլյան հավասարումների այս բազմություններին)։ Ենթադրվում է, որ X0, X*, X1 բազմությունները բավարարում են սահմանափակումը

Քանի որ T բազմությունը վերջավոր է, հասանելիության հատկությունը և դրա տատանումները հետագայում կհասկանան որպես գործնական հասանելիության հատկություն (հասանելիությունը վերջավոր թվով ցիկլերում): Դիտարկվում են հասանելիության տիպի հետևյալ հատկությունները.

1. X* բազմության հիմնական հասանելիության հատկությունը X0 բազմությունից ձևակերպված է հետևյալ կերպ՝ X0 սկզբնական վիճակների բազմությունից մեկնարկած ցանկացած հետագիծ հասնում է X* թիրախային բազմությանը: Օգտագործելով սահմանափակ էքզիստենցիալ և ունիվերսալ քանակականները՝ այս հատկության բանաձևը հետևյալն է.

2. Անվտանգության հատկությունը երաշխավորում է, որ X0-ից մեկնարկած ցանկացած հետագիծ X*-ն անհասանելի է.

3. Միաժամանակյա հասանելիության հատկություն. Որոշ դեպքերում կարող է սահմանվել ավելի «խիստ պահանջ», որը բաղկացած է նրանից, որ յուրաքանչյուր հետագիծ հասնում է սահմանված թիրախին հենց k ցիկլերում (k∈T):

4. Հասանելիության հատկություն փուլային սահմանափակումների ներքո.

Այս հատկությունը երաշխավորում է, որ X0 հավաքածուից արտանետվող բոլոր հետագծերը, քանի դեռ չեն հարվածել X* թիրախին, գտնվում են X1 հավաքածուում:

5. Ատրակցիոն հատկություն. Թող X*-ը գրավիչ լինի։ Այնուհետև ներգրավման հատկության տրամաբանական բանաձևը համընկնում է հիմնական հասանելիության հատկության բանաձևի հետ.

դրանք. X0 բազմությունից ազատված յուրաքանչյուր հետագծի համար կա t∈T ժամանակ, որից սկսած հետագիծը չի անցնում X* բազմությունից: X0 հավաքածուն այս դեպքում պատկանում է X* (X0∈Xa) բազմության գրավչության տարածքի մի մասին, որտեղ Xа-ն գրավիչի ամբողջ գրավչության տարածքն է (ավազանը):

Նկատի ունեցեք, որ վերը նշված հատկությունների բանաձևերում բոլոր փոփոխականներն իրականում կապված են, քանի որ x0, x1,…, xk հետագիծն ամբողջությամբ որոշվում է սկզբնական վիճակով: Քանի որ t փոփոխականի նկատմամբ քանակականները փոխարինվում են բազմատեղ դիսյունցիայի կամ համապատասխան պրեդիկատների միացման գործողություններով, բանաձևերից յուրաքանչյուրում մնում է մեկ սահմանափակ համընդհանուր քանակիչ (), որը թույլ է տալիս գրել դրանց իրագործելիության պայմանները։ հատկությունները Բուլյան հավասարումների լեզվով (SAT խնդրի տեսքով):

Ներկայացնում ենք երկու հատկություն, որոնց ստուգումը հանգեցնում է TQBF խնդրի լուծման անհրաժեշտությանը։

6. Թիրախային հավաքածուի միացման հատկությունը.

դրանք. կա x0∈X0 սկզբնական վիճակ, այնպես որ յուրաքանչյուր թիրախային վիճակ x*⊆X* հասանելի է t∈T որոշ ժամանակ, ինչը նշանակում է, որ կա այս վիճակին համապատասխան հետագիծ, այնպիսին, որ բոլոր թիրախային վիճակները x*∈X* պատկանում են: դեպի այս հետագիծը:

7. X* հավաքածուի ընդհանուր հասանելիության հատկությունը X0-ից.

դրանք. յուրաքանչյուր թիրախային վիճակ հասանելի է X0-ից:

Դինամիկ հատկությունների իրագործելիության ստուգում

Հատկությունների համար (1-5) դրանց իրագործելիությունը ստուգելը կրճատվում է մինչև Բուլյան հավասարման զրոների որոնում, որի ձևավորման տեխնոլոգիան ստանդարտացված բնույթ ունի և մանրամասն դիտարկվում է միայն հիմնական իրագործելիության հատկության համար: Հատկությունները (6, 7) հանգեցնում են քանակական բուլյան բանաձևի ճշմարտացիությունը ստուգելու խնդրին:

1. Հասանելիության հիմնական հատկությունը. Դրա տրամաբանական բանաձեւն է

Հաշվի առնելով (4) բանաձևը (8) գրում ենք որպես

որտեղ է սկզբնական x0∈X0 վիճակից ազատված հետագծի վիճակների բազմության բնորոշ ֆունկցիան: Եկեք ձերբազատվենք (9) էքզիստենցիալ քանակականից: Հետո կունենանք

որտեղ է X* բազմության բնորոշ ֆունկցիան: Սահմանափակ ունիվերսալ քանակականները փոխարինում ենք սովորական քանակականներով: Արդյունքում մենք ստանում ենք

Բանաձևը (10) ճշմարիտ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե ենթաքանակիչ արտահայտությունը նույնականորեն ճշմարիտ է, այսինքն.

Իմպլիկացիայի նույնական ճշմարտությունը նշանակում է, որ Բուլյան ֆունկցիան ֆունկցիայի տրամաբանական հետևանքն է, այսինքն. x0∈X0 սկզբնական վիճակով ցանկացած հետագիծ հասնում է X* նպատակակետին:

Ինքնության բավարարումը (11) համարժեք է Բուլյան հավասարման մեջ զրոների բացակայությանը

(12) բխեցնելիս մենք ազատվեցինք ենթատեքստից և փոխարինեցինք ϕ*(x0, x1,..., xk)-ով. . Եթե ​​հավասարումը (12) ունի առնվազն մեկ լուծում, ապա հասանելիության հատկությունը չի գործում: Նման լուծումը ներկայացնում է (որոշակի իմաստով) ստուգվող գույքի հակաօրինակը և կարող է օգնել հետազոտողին բացահայտել սխալի պատճառը:

Ավելին, հակիրճության համար յուրաքանչյուր հատկության համար (2-4) մենք գրում ենք միայն (12) տիպի հավասարումը, առաջարկելով ընթերցողին ինքնուրույն վերարտադրել անհրաժեշտ փաստարկները, որոնք մոտ են հիմնական հասանելիության հատկությանը տրվածներին:

2. Անվտանգության գույք

3. Միաժամանակյա հասանելիության հատկություն

4. Հասանելիության հատկություն փուլային սահմանափակումների ներքո

5. Ատրակցիոն հատկություն. Այս գույքի իրագործելիությունը ստուգվում է երկու փուլով. Առաջին փուլում պարզվում է, թե արդյոք X* բազմությունը գրավիչ է։ Եթե ​​պատասխանը դրական է, ապա երկրորդ փուլում ստուգվում է հիմնական հասանելիության հատկությունը: Եթե ​​X*-ը հասանելի է X0-ից, ապա ատրակցիոնի գույքի բոլոր պայմանները բավարարված են:

6. Միացման հատկություն

7. Ընդհանուր հասանելիության գույք».

Հատկությունների համար (6, 7) երկու բուլյան վեկտորների հավասարության սկալյար ձևը xt = x* ունի ձև.

Եկեք ցույց տանք ինքնավար DDS-ի որակական վերլուծության վերը նշված տեխնոլոգիան՝ օգտագործելով Բուլյան սահմանափակման մեթոդը, աշխատանքից 3.2 մոդելի համար վերը թվարկված որոշ հատկությունների իրագործելիությունը ստուգելիս.

Նշեք x0∈X = B3 մոդելի սկզբնական վիճակը (13): Թող T = (1, 2): Եկեք գրենք հատկությունների ճշգրտման համար պահանջվող մոդելի (13) մեկ քայլ և երկքայլ անցումների գործառույթները.

(14)

որտեղ նշանն է «»: նշանակում է կապի գործողություն:

Յուրաքանչյուր հատկության բավարարելիությունը ստուգելու համար նշվում են սկզբնական (X0) և թիրախային (X*) բազմությունները, որոնք որոշվում են G0(x) = 0, G*(x) = 0 հավասարումների զրոներով կամ բնութագրիչով. այս հավաքածուների գործառույթները (տես բաժին 2): Որպես SAT լուծիչ՝ օգտագործվում է REBUS գործիքային համալիր (IC) լուծիչը, իսկ TQBF լուծիչը՝ DepQBF: Այս լուծիչների համար ստորև դիտարկվող հատկությունների բուլյան մոդելներում փոփոխականների կոդավորումը տրված է Աղյուսակում: 1, DIMACS և QDIMACS ձևաչափերով այս հատկությունների բուլյան մոդելները գտնվում են Աղյուսակում: 2.

Աղյուսակ 1

Փոփոխական կոդավորում

Փոփոխական թիվը Բուլյան մոդելում

Գույք 1

Գույք 2

Գույք 3

Գույք 4

Գույք 5

աղյուսակ 2

Բուլյան սեփականության մոդելներ

Գույք 1	Գույք 2	Գույք 3	Գույք 4 (A)	Գույք 4 (B)	Գույք 5
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Հիմնական հասանելիության հատկությունը (k = 2): Թող X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1): Սկզբնական և թիրախային բազմությունները սահմանվում են համապատասխանաբար G0(x) = x1 = 0 և . Բուլյան հավասարումը (12) այս դեպքում ընդունում է ձևը

որտեղ ϕ(x0, x1, x2) ֆունկցիան սահմանված է (14): IR REBUS լուծիչը տալիս է «unsat» պատասխանը (հավասարումը չունի զրոներ), ուստի X*-ի հասանելիության հատկությունը X0-ից բավարարված է, ինչը հստակ երևում է նկարում ներկայացված հաջորդ անցումային դիագրամից։

2. K = 2 երկարության ցիկլեր. 2 երկարությամբ ցիկլային հաջորդականությունը (եթե այն գոյություն ունի) Բուլյան հավասարման լուծումն է.

Գործառույթը նման է

R(x0, x1) արտահայտությունը չի ներառվել հավասարման մեջ, երբ ցիկլը գտնվել է, քանի որ (13) մոդելում չկա k = 1 երկարության ցիկլեր (հավասարակշռության վիճակներ): Օգտագործելով IR REBUS լուծիչը, ստացվեց երկու պատասխան (DIMACS ելքային ձևաչափով)՝ 1 2 3 4 5 -6 0 և 1 2 -3 4 5 6 0, որոնք համապատասխանում են ցիկլային հաջորդականությանը (նկար). ((1 1 1) , (1 1 0)) և ((1 1 0), (1 1 1)): Երկու ցիկլերի վիճակների բազմությունները համընկնում են, ինչը նշանակում է, որ մոդելը (13) ունի k = 2 երկարությամբ մեկ ցիկլ:

Համակարգի անցման դիագրամ (13)

3. Ցիկլի մեկուսացման հատկությունը. Եթե ​​k = 2 երկարությամբ ցիկլի C վիճակների բազմության տարրերը որոշվում են Gc(s) = 0 բուլյան հավասարման լուծմամբ, ապա ցիկլի մեկուսացման պայմանը համարժեք է հետևյալ բուլյան զրոյի բացակայությանը. հավասարում:

Քանի որ C = ((1 1 1), (1 1 0)), մենք ունենք

Այս հավասարման համար IR REBUS լուծիչը գտնում է երկու լուծում. վիճակների (0 1 1), (1 1 0) և ((0 1 0), (1 1 0)) Այսպիսով, ցիկլի վիճակը (1 1 0) ունի երկու նախորդ՝ (0 1 1) և (0 1) 0), որոնք չեն պատկանում վիճակի բազմության ցիկլին Սա նշանակում է, որ ցիկլի մեկուսացման հատկությունը բավարարված չէ, այսինքն՝ այս ցիկլը գրավիչ է։

4. գրավչության հատկություն. Թող X* = C լինի գրավիչ: Ներգրավման հատկության տրամաբանական բանաձեւը նույնն է, ինչ հիմնական հասանելիության հատկության բանաձեւը

և մեր դեպքի համար համապատասխան Բուլյան հավասարումն ունի ձևը

Դուրս գրենք G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) և . ϕ(x0, x1, x2) ֆունկցիան տրված է (14): X* = C-ի համար արտահայտությունն է. Դիտարկենք X0 սկզբնական վիճակների բազմությունը սահմանելու երկու տարբերակ՝ ձգողական հատկության (A) և (B) չկատարման դեպքերի համար k = 2 ցիկլերի համար։

A. Թող . Հետո

Այս դեպքում Բուլյան հավասարման համար (15) պատասխանը «չհագեցած» է։ Տրված X0 հավաքածուի համար գրավչության հատկությունը բավարարված է:

B. Թող . Հետո

Այս դեպքում IR REBUS (15) հավասարման համար լուծում է գտնում՝ 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, որը համապատասխանում է հետագծին ((1 0 1),(1 0 0),(0): 1 1)) . x0 = (1 0 1) սկզբնական վիճակով այս հետագիծը երկու ցիկլով չի հասնում X* = C բազմությանը, ինչը նշանակում է, որ ներգրավման հատկությունը չի կարող բավարարվել տվյալ X0-ի համար։

5. Միացման հատկություն: Միացման հատկության տրամաբանական բանաձևն ունի հետևյալ դրույթի ձևը.

k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), որտեղ ϕ(x0, x1, x2) ֆունկցիան տրված է (14): Որպես սկզբնական ընտրենք վիճակը (1 0 1): Հետո . Թող թիրախը սահմանվի X* = ((0 1 1), (1 0 0)): Այս դեպքում G*(x*) ֆունկցիան ունի ձև

CNF ձևաչափով գրենք G*(x*).

Օգտագործելով Դե-Մորգանի օրենքը՝ մենք գտնում ենք ϕ*(x0, x1, x2) ֆունկցիայի ժխտումը: Ստացված բոլոր ֆունկցիաները փոխարինելով (16)-ով և հաշվի առնելով բուլյան փոփոխականների կոդավորումը (Աղյուսակ 1), մենք ստանում ենք բուլյան մոդել QDIMACS ձևաչափով (Աղյուսակ 2): DepQBF լուծիչը տալիս է «sat» պատասխանը, որը նշանակում է պնդման ճշմարտացիությունը (16): Տրված X0, X*, T = (1, 2) կապակցման հատկությունը բավարարված է:

Եզրակացություն

Բուլյան սահմանափակման մեթոդի հիմնական առավելությունները DDS-ի որակական ուսումնասիրության մեջ ներառում են.

1. Ավտոմատների դինամիկայի մասնագետին ծանոթ դինամիկ հատկության հստակեցման տրամաբանական լեզուն՝ գոյության և համընդհանուրության սահմանափակ քանակական ցուցիչների օգտագործման շնորհիվ:

2. Հատկությունների բանաձևի և դինամիկ հավասարումների հիման վրա ավտոմատ կերպով կատարվում է համապատասխան բուլյան հավասարման կամ քանակականացված բուլյան բանաձևի կառուցումը։

3. Բավականին պարզ է ավտոմատացնել ստացված բուլյան արտահայտությունները փոխկապակցված նորմալ ձևի փոխարկելու գործընթացը DIMAX և QDIMAX ձևաչափերով ֆայլերի հետագա ստեղծմամբ, որոնք մուտքագրվում են SAT լուծիչների և QBF լուծիչների համար:

4. Թվարկման կրճատման խնդիրը որոշ չափով լուծվում է այս լուծիչների մշակողների կողմից և պաշտպանված է DDS-ի որակական վերլուծության մասնագետներից:

5. Տրամադրվում է DDS-ի որակական վերլուծության խնդիրը n վիճակի վեկտորի մեծ չափերի համար բավական երկար ժամանակային T միջակայքում լուծելու հնարավորությունը: Վիճակների քանակի առումով Բուլյան սահմանափակման մեթոդը քանակապես համարժեք է մոդելի ստուգմանը: մեթոդ. Շնորհիվ այն բանի, որ վերջին տարիներին SAT և TQBF խնդիրների լուծման մասնագիտացված ալգորիթմների կատարողականի զգալի աճ է նկատվել, ժամանակակից լուծիչների համար Բուլյան սեփականության մոդելում փոփոխականների ընդհանուր թիվը կարող է չափվել հազարներով:

Բուլյան սահմանափակման մեթոդի հիման վրա DDS-ի որակական վերլուծության ծրագրային ապահովումն իրականացվում է սպասարկման վրա հիմնված մոտեցման շրջանակներում՝ օգտագործելով մասնագիտացված Բուլյան հավասարումների լուծիչներ: Աշխատանքը ներկայացնում է Բուլյան սահմանափակման մեթոդի ներդրման օրինակ, որը հիմնված է գեների կարգավորիչ ցանցերում ցիկլերի և հավասարակշռության վիճակների որոնման վրա հիմնված ծառայության վրա հիմնված մոտեցման վրա:

Պետք է նշել, որ Բուլյան սահմանափակման մեթոդը բավականին ընդհանուր մեթոդ է DDS-ի որակական վերլուծության համար սահմանափակ ժամանակային ընդմիջումով: Այն կիրառելի է ոչ միայն ինքնավար համակարգերի, այլև կառավարման մուտքերով համակարգերի համար, մեկից ավելի հիշողության խորություն ունեցող համակարգերի համար, ընդհանուր DDS-ի դեպքում, երբ անցումային ֆունկցիան անլուծելի է xt վիճակի նկատմամբ և ունի F(xt ձևը: , xt-1) = 0. Մուտքերով DDS-ի համար վերահսկելիության հատկությունը և դրա տարբեր տատանումները առանձնահատուկ նշանակություն ունեն: Բացի DDS վերլուծության խնդիրներից, Բուլյան սահմանափակման մեթոդը կիրառելի է հետադարձ կապի սինթեզի (ստատիկ կամ դինամիկ, ըստ վիճակի կամ մուտքագրման) խնդիրների վրա, որոնք ապահովում են սինթեզված համակարգում պահանջվող դինամիկ հատկության կատարումը:

Ուսումնասիրությունն իրականացվել է Հիմնական հետազոտությունների ռուսական հիմնադրամի աջակցությամբ, թիվ 18-07-00596/18 նախագիծ:

Մատենագիտական ​​հղում

Օպարին Գ.Ա., Բոգդանովա Վ.Գ., Փաշինին Ա.Ա. ԲՈՒԼԻ ՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿՈՒՄՆԵՐԸ ԵՐԿԱԿԱՆ ԴԻՆԱՄԻԿԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ՈՐԱԿԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒՄՈՒՄ // Կիրառական և հիմնարար հետազոտությունների միջազգային հանդես. - 2018. - No 9. - P. 19-29;
URL՝ https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (մուտքի ամսաթիվ՝ 03/18/2020): Ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացնում «Բնական պատմության ակադեմիա» հրատարակչության կողմից հրատարակված ամսագրերը.