Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը զույգ ուղղահայաց կոորդինատային գծեր է, որոնք կոչվում են կոորդինատային առանցքներ, որոնք տեղադրվում են այնպես, որ հատվում են իրենց սկզբում:
Կոորդինատների առանցքների նշանակումը x և y տառերով ընդհանուր առմամբ ընդունված է, բայց տառերը կարող են լինել ցանկացած: Եթե օգտագործվում են x և y տառերը, ապա ինքնաթիռը կոչվում է xy-հարթություն. Տարբեր հավելվածներ կարող են օգտագործել այլ տառեր, բացի x-ից և y-ից, և ինչպես ցույց է տրված ստորև բերված նկարներում, կան ուլտրամանուշակագույն ինքնաթիռներև ց-ինքնաթիռ.
Պատվիրված զույգ
Իրական թվերի դասավորված զույգ ասելով մենք հասկանում ենք երկու իրական թվեր որոշակի կարգով: Յուրաքանչյուր կետ P in կոորդինատային հարթությունկարող է կապված լինել իրական թվերի եզակի դասավորված զույգի հետ՝ P կետի միջով երկու ուղիղ գծելով՝ մեկը x առանցքին ուղղահայաց, իսկ մյուսը՝ y առանցքին:
Օրինակ, եթե վերցնենք (a,b)=(4,3), ապա կոորդինատային շերտի վրա
P(a,b) կետ կառուցել նշանակում է կոորդինատային հարթության վրա (a,b) կոորդինատներով կետ սահմանել: Օրինակ, տարբեր կետերկառուցված ստորև բերված նկարում:
Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կոորդինատային առանցքները հարթությունը բաժանում են չորս շրջանների, որոնք կոչվում են քառորդներ: Դրանք համարակալված են հռոմեական թվերով ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ինչպես ցույց է տրված նկարում:
Գրաֆիկի սահմանում
ժամանակացույցը x և y երկու փոփոխականներով հավասարումը xy հարթության վրա գտնվող կետերի բազմությունն է, որոնց կոորդինատները այս հավասարման լուծումների բազմության անդամներն են։
Օրինակ՝ նկարիր գրաֆիկ y = x 2
Քանի որ 1/x-ը որոշված չէ, երբ x=0, մենք կարող ենք գծագրել միայն այն կետերը, որոնց համար x ≠ 0
Օրինակ՝ Գտեք առանցքներով բոլոր խաչմերուկները
ա) 3x + 2y = 6
(բ) x = y 2 -2y
(գ) y = 1/x
Թող y = 0, ապա 3x = 6 կամ x = 2
x առանցքի հատման անհրաժեշտ կետն է:
Սահմանելով, որ x=0, մենք գտնում ենք, որ y առանցքի հատման կետը y=3 կետն է։
Այս կերպ դուք կարող եք լուծել (b) հավասարումը, իսկ (գ)-ի լուծումները տրված են ստորև
x-հատում
Թող y = 0
1/x = 0 => x-ը չի կարող որոշվել, այսինքն՝ y առանցքի հետ խաչմերուկ չկա
Թող x = 0
y = 1/0 => y-ը նույնպես որոշված չէ, => y առանցքի հետ խաչմերուկ չկա
Ստորև բերված նկարում (x,y), (-x,y),(x,-y) և (-x,-y) կետերը ներկայացնում են ուղղանկյան անկյունները:
Գրաֆիկը սիմետրիկ է x առանցքի նկատմամբ, եթե գրաֆիկի յուրաքանչյուր կետի (x,y) կետը (x,-y) նույնպես կետ է գրաֆիկի վրա:
Գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ, եթե յուրաքանչյուր գրաֆիկական կետի համար (x,y) կետը (-x,y) նույնպես պատկանում է գրաֆիկին։
Գրաֆիկը սիմետրիկ է կոորդինատների կենտրոնի նկատմամբ, եթե գրաֆիկի յուրաքանչյուր կետի (x,y) կետը (-x,-y) նույնպես պատկանում է այս գրաֆիկին։
Սահմանում:
Ժամանակացույց գործառույթներըկոորդինատային հարթության վրա սահմանվում է որպես y = f(x) հավասարման գրաֆիկ:
Հատված f(x) = x + 2
Օրինակ 2. Գծանկար f(x) = |x|
Գրաֆիկը համընկնում է y = x տողի հետ x-ի համար > 0 և y = -x տողով
x-ի համար< 0 .
f(x) = -x-ի գրաֆիկը
Այս երկու գրաֆիկները համադրելով՝ ստանում ենք
գրաֆիկ f(x) = |x|
Օրինակ 3 Հողամաս
t(x) \u003d (x 2 - 4) / (x - 2) \u003d
= ((x - 2) (x + 2) / (x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Հետևաբար այս ֆունկցիան կարելի է գրել այսպես
y = x + 2 x ≠ 2
Գրաֆիկ h(x)= x 2 - 4 Կամ x - 2
հողամաս y = x + 2 x ≠ 2
Օրինակ 4 Հողամաս
Տեղաշարժով ֆունկցիաների գրաֆիկները
Ենթադրենք, որ f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը հայտնի է
Այնուհետև մենք կարող ենք գտնել գրաֆիկներ
y = f(x) + c - f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, տեղափոխվել է
UP ըստ c արժեքների
y = f(x) - c - f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, տեղափոխվել է
DOWN ըստ c արժեքների
y = f(x + c) - f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, տեղափոխվել է
LEFT ըստ c արժեքների
y = f(x - c) - f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, տեղափոխվել է
Անմիջապես c արժեքներով
Օրինակ 5. Կառուցել
գրաֆիկ y = f(x) = |x - 3| + 2
Տեղափոխեք գրաֆիկը y = |x| 3 արժեք դեպի աջ՝ գրաֆիկը ստանալու համար
Տեղափոխեք գրաֆիկը y = |x - 3| UP 2 արժեքներ y = |x - 3| + 2
Հողամաս
y = x 2 - 4x + 5
Եկեք փոխակերպվենք տրված հավասարումըերկու մասերին ավելացնելով հետևյալ կերպ.
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Այստեղ մենք տեսնում ենք, որ այս գրաֆիկը կարելի է ստանալ՝ y = x 2 գրաֆիկը տեղափոխելով աջ 2 արժեք, քանի որ x-ը 2 է և ավելի բարձր՝ 1 արժեք, քանի որ +1:
y = x 2 - 4x + 5
Մտորումներ
(-x, y) (x, y)-ի արտացոլումն է y առանցքի շուրջ
(x, -y) (x, y)-ի արտացոլումն է x առանցքի շուրջ
y = f(x) և y = f(-x) սյուները միմյանց արտացոլումն են y առանցքի շուրջ
y = f(x) և y = -f(x) սյուները միմյանց արտացոլումն են x առանցքի շուրջ
Գրաֆիկը կարելի է ձեռք բերել արտացոլման և թարգմանության միջոցով.
նկարել գրաֆիկ
Գտնենք դրա արտացոլումը y առանցքի նկատմամբ և ստացենք գրաֆիկ
Տեղափոխեք այս գրաֆիկը ճիշտ 2 արժեքով և ստացիր գրաֆիկ
Ահա ցանկալի գրաֆիկը
Եթե f(x)-ը բազմապատկվում է c դրական հաստատունով, ապա
f(x) գրաֆիկը ուղղահայաց փոքրանում է, եթե 0< c < 1
f(x) գրաֆիկը ձգվում է ուղղահայաց, եթե c > 1
Կորը գրաֆիկ չէ y = f(x) ցանկացած f ֆունկցիայի համար
Մաթեմատիկան բավականին բարդ գիտություն է։ Ուսումնասիրելով այն՝ պետք է ոչ միայն օրինակներ ու խնդիրներ լուծել, այլև աշխատել տարբեր գործիչների և նույնիսկ ինքնաթիռների հետ։ Մաթեմատիկայի մեջ ամենաօգտագործվողներից մեկը ինքնաթիռի կոորդինատային համակարգն է։ Երեխաներին սովորեցնում են, թե ինչպես ճիշտ աշխատել դրա հետ մեկ տարուց ավելի: Հետեւաբար, կարեւոր է իմանալ, թե ինչ է դա եւ ինչպես ճիշտ աշխատել դրա հետ:
Եկեք պարզենք, թե որն է այս համակարգը, ինչ գործողություններ կարող եք կատարել դրա հետ, ինչպես նաև պարզել դրա հիմնական բնութագրերն ու առանձնահատկությունները:
Հայեցակարգի սահմանում
Կոորդինատային հարթությունը այն հարթությունն է, որի վրա սահմանվում է որոշակի կոորդինատային համակարգ: Նման հարթությունը սահմանվում է երկու ուղիղ գծերով, որոնք հատվում են ուղիղ անկյան տակ։ Այս ուղիղների հատման կետը կոորդինատների սկզբնակետն է։ Կոորդինատային հարթության յուրաքանչյուր կետ տրվում է զույգ թվերով, որոնք կոչվում են կոորդինատներ։
Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում սովորողները պետք է բավականին սերտորեն աշխատեն կոորդինատային համակարգի հետ՝ դրա վրա կառուցեն թվեր և կետեր, որոշեն, թե որ հարթությանն է պատկանում այս կամ այն կոորդինատը, ինչպես նաև որոշել կետի կոորդինատները և գրել կամ անվանել դրանք: Հետեւաբար, եկեք ավելի մանրամասն խոսենք կոորդինատների բոլոր հատկանիշների մասին: Բայց նախ անդրադառնանք ստեղծման պատմությանը, իսկ հետո կխոսենք, թե ինչպես աշխատել կոորդինատային հարթության վրա:
Պատմության տեղեկանք
Կոորդինատային համակարգ ստեղծելու մասին գաղափարները եղել են Պտղոմեոսի օրոք: Նույնիսկ այն ժամանակ աստղագետներն ու մաթեմատիկոսները մտածում էին, թե ինչպես սովորել, թե ինչպես սահմանել կետի դիրքը հարթության վրա։ Ցավոք, այն ժամանակ մեզ հայտնի կոորդինատային համակարգ չկար, և գիտնականները ստիպված էին օգտագործել այլ համակարգեր։
Սկզբում նրանք միավորներ էին սահմանում՝ նշելով լայնությունը և երկայնությունը։ Երկար ժամանակ դա այս կամ այն տեղեկատվության քարտեզագրման ամենաօգտագործվող եղանակներից մեկն էր։ Բայց 1637 թվականին Ռենե Դեկարտը ստեղծեց իր սեփական կոորդինատային համակարգը, որը հետագայում կոչվեց «Դեկարտյան» անունով։
Արդեն ներս վերջ XVIIմեջ «կոորդինատային հարթություն» հասկացությունը լայն տարածում է գտել մաթեմատիկայի աշխարհում։ Չնայած այն հանգամանքին, որ այս համակարգի ստեղծումից անցել է մի քանի դար, այն դեռ լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկայի և նույնիսկ կյանքում:
Կոորդինացիոն հարթության օրինակներ
Մինչ տեսության մասին խոսելը, մենք կբերենք կոորդինատային հարթության մի քանի պատկերավոր օրինակներ, որպեսզի պատկերացնեք այն: Կոորդինատային համակարգը հիմնականում օգտագործվում է շախմատում։ Գրատախտակի վրա յուրաքանչյուր քառակուսի ունի իր կոորդինատները՝ մեկ տառի կոորդինատ, երկրորդը՝ թվային: Նրա օգնությամբ դուք կարող եք որոշել որոշակի կտորի դիրքը տախտակի վրա:
Երկրորդ ամենավառ օրինակը սիրելի «Battleship» խաղն է։ Հիշեք, թե ինչպես խաղալիս կոորդինատ եք անվանում, օրինակ՝ B3՝ այդպիսով նշելով, թե կոնկրետ որտեղ եք նպատակադրում: Միևնույն ժամանակ նավերը տեղադրելիս կոորդինատային հարթության վրա կետեր եք սահմանում։
Այս կոորդինատային համակարգը լայնորեն կիրառվում է ոչ միայն մաթեմատիկայում, տրամաբանական խաղեր, այլ նաև ռազմական գործերում, աստղագիտության, ֆիզիկայի և շատ այլ գիտությունների մեջ։
Կոորդինատային առանցքներ
Ինչպես արդեն նշվեց, կոորդինատային համակարգում առանձնանում են երկու առանցք. Մի փոքր խոսենք դրանց մասին, քանի որ դրանք զգալի նշանակություն ունեն։
Առաջին առանցքը՝ աբսցիսա, հորիզոնական է։ Այն նշվում է որպես ( Եզ) Երկրորդ առանցքը օրդինատն է, որը ուղղահայաց անցնում է հղման կետով և նշվում է որպես ( Օյ) Հենց այս երկու առանցքներն են կազմում կոորդինատային համակարգը՝ ինքնաթիռը բաժանելով չորս քառորդի։ Ծագումը գտնվում է այս երկու առանցքների հատման կետում և ընդունում է արժեքը 0 . Միայն եթե հարթությունը կազմված է երկու առանցքներով, որոնք հատվում են ուղղահայաց և ունեն հղման կետ, դա կոորդինատային հարթություն է:
Նկատի ունեցեք նաև, որ առանցքներից յուրաքանչյուրն ունի իր ուղղությունը: Սովորաբար կոորդինատային համակարգ կառուցելիս ընդունված է առանցքի ուղղությունը նշել սլաքի տեսքով։ Բացի այդ, կոորդինատային հարթությունը կառուցելիս առանցքներից յուրաքանչյուրը ստորագրված է:
քառորդներ
Հիմա մի քանի խոսք ասենք այնպիսի հասկացության մասին, ինչպիսին է կոորդինատային հարթության քառորդները։ Ինքնաթիռը երկու առանցքով բաժանված է չորս քառորդների։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր համարը, մինչդեռ ինքնաթիռների համարակալումը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ է։
Եռամսյակներից յուրաքանչյուրն ունի իր առանձնահատկությունները: Այսպիսով, առաջին եռամսյակում աբսցիսն ու օրդինատը դրական են, երկրորդ եռամսյակում աբսցիսսը բացասական է, օրդինատը դրական է, երրորդում՝ և՛ աբսցիսսը, և՛ օրդինատը բացասական են, չորրորդում՝ աբսցիսան. դրական, իսկ օրդինատը՝ բացասական։
Հիշելով այս հատկանիշները՝ դուք հեշտությամբ կարող եք որոշել, թե կոնկրետ կետը որ եռամսյակին է պատկանում: Բացի այդ, այս տեղեկատվությունը կարող է օգտակար լինել ձեզ համար, եթե դուք պետք է հաշվարկներ կատարեք Cartesian համակարգի միջոցով:
Աշխատեք կոորդինատային հարթության հետ
Երբ մենք պարզեցինք ինքնաթիռի հայեցակարգը և խոսեցինք դրա քառորդների մասին, մենք կարող ենք անցնել այնպիսի խնդրի, ինչպիսին է աշխատել այս համակարգի հետ, ինչպես նաև խոսել այն մասին, թե ինչպես կարելի է դրա վրա դնել կետերը, թվերի կոորդինատները: Կոորդինատային հարթության վրա դա այնքան էլ դժվար չէ, որքան կարող է թվալ առաջին հայացքից:
Առաջին հերթին, համակարգը ինքնին կառուցված է, դրա վրա կիրառվում են բոլոր կարևոր նշանակումները: Այնուհետև աշխատանք կա անմիջապես կետերի կամ թվերի հետ: Այս դեպքում նույնիսկ ֆիգուրներ կառուցելիս կետերը սկզբում կիրառվում են հարթության վրա, իսկ հետո արդեն գծագրվում են թվերը։
Ինքնաթիռ կառուցելու կանոններ
Եթե որոշեք սկսել թղթի վրա նշել ձևերն ու կետերը, ապա ձեզ անհրաժեշտ կլինի կոորդինատային հարթություն: Դրա վրա գծագրված են կետերի կոորդինատները։ Կոորդինատային հարթություն կառուցելու համար անհրաժեշտ է միայն քանոն և գրիչ կամ մատիտ։ Նախ գծվում է հորիզոնական աբսցիսան, ապա ուղղահայացը՝ օրդինատը։ Կարևոր է հիշել, որ առանցքները հատվում են ուղիղ անկյան տակ:
Հաջորդ պարտադիր կետը մակնշումն է։ Երկու ուղղություններով առանցքներից յուրաքանչյուրի վրա նշվում և ստորագրվում են միավոր-հատվածներ: Դա արվում է այնպես, որ հետո կարողանաք աշխատել ինքնաթիռի հետ առավելագույն հարմարավետությամբ:
Կետի նշում
Այժմ խոսենք այն մասին, թե ինչպես կարելի է գծագրել կետերի կոորդինատները կոորդինատային հարթության վրա: Սա այն հիմունքներն են, որոնք դուք պետք է իմանաք՝ հարթության վրա տարբեր ձևեր հաջողությամբ տեղադրելու և նույնիսկ հավասարումներ նշելու համար:
Կետեր կառուցելիս պետք է հիշել, թե ինչպես են դրանց կոորդինատները ճիշտ գրանցվում։ Այսպիսով, սովորաբար կետ դնելով, փակագծերում գրվում է երկու թիվ։ Առաջին նիշը ցույց է տալիս կետի կոորդինատը աբսցիսայի առանցքի երկայնքով, երկրորդը՝ օրդինատների առանցքի երկայնքով:
Կետը պետք է կառուցվի այսպես. Նախ նշեք առանցքի վրա Եզտրված կետը, այնուհետև նշիր առանցքի վրա մի կետ Օյ. Հաջորդը, գծեք երևակայական գծեր այս նշանակումներից և գտեք դրանց հատման վայրը. սա կլինի տրված կետը:
Ընդամենը պետք է նշել այն և ստորագրել այն: Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ բավականին պարզ է և հատուկ հմտություններ չի պահանջում:
Ձևի տեղադրում
Այժմ անցնենք այնպիսի հարցին, ինչպիսին է կոորդինատային հարթության վրա ֆիգուրների կառուցումը։ Կոորդինատային հարթության վրա ցանկացած գործիչ կառուցելու համար դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես տեղադրել դրա վրա կետերը: Եթե դուք գիտեք, թե ինչպես դա անել, ապա ինքնաթիռի վրա գործիչ տեղադրելն այնքան էլ դժվար չէ։
Նախ և առաջ ձեզ անհրաժեշտ կլինեն նկարի կետերի կոորդինատները: Հենց դրանց վրա մենք կկիրառենք ձեր ընտրածները մեր կոորդինատային համակարգում: Եկեք դիտարկենք ուղղանկյուն, եռանկյուն և շրջան գծել:
Սկսենք ուղղանկյունից: Այն կիրառելը բավականին հեշտ է: Նախ, ինքնաթիռի վրա կիրառվում են չորս կետեր, որոնք ցույց են տալիս ուղղանկյունի անկյունները: Այնուհետև բոլոր կետերը հաջորդաբար կապված են միմյանց հետ:
Եռանկյունի նկարելը տարբեր չէ: Միակ բանն այն է, որ այն ունի երեք անկյուն, ինչը նշանակում է, որ հարթության վրա կիրառվում են երեք կետեր՝ նշելով նրա գագաթները։
Ինչ վերաբերում է շրջանագծին, ապա այստեղ դուք պետք է իմանաք երկու կետերի կոորդինատները: Առաջին կետը շրջանագծի կենտրոնն է, երկրորդը՝ նրա շառավիղը նշանակող կետը։ Այս երկու կետերը գծագրված են հարթության վրա: Այնուհետև վերցվում է կողմնացույց, չափվում է երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը։ Կողմնացույցի կետը դրված է կենտրոնը նշանակող կետում, նկարագրվում է շրջան։
Ինչպես տեսնում եք, այստեղ նույնպես բարդ բան չկա, գլխավորն այն է, որ միշտ ձեռքի տակ լինի քանոն և կողմնացույց։
Այժմ դուք գիտեք, թե ինչպես գծագրել ձևի կոորդինատները: Կոորդինատային հարթության վրա դա այնքան էլ դժվար չէ անել, ինչպես կարող է թվալ առաջին հայացքից:
եզրակացություններ
Այսպիսով, մենք ձեզ հետ քննարկել ենք մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր և հիմնական հասկացություններից մեկը, որի հետ պետք է առնչվի յուրաքանչյուր ուսանող:
Մենք պարզեցինք, որ կոորդինատային հարթությունը երկու առանցքների հատումից առաջացած հարթությունն է։ Նրա օգնությամբ դուք կարող եք սահմանել կետերի կոորդինատները, վրան դնել ձևեր։ Ինքնաթիռը բաժանված է քառորդների, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր առանձնահատկությունները։
Հիմնական հմտությունը, որը պետք է զարգացնել կոորդինատային հարթության հետ աշխատելիս, ճիշտ կիրառելու կարողությունն է տրված միավորներ. Դա անելու համար դուք պետք է իմանաք առանցքների ճիշտ գտնվելու վայրը, քառորդների առանձնահատկությունները, ինչպես նաև այն կանոնները, որոնցով սահմանվում են կետերի կոորդինատները:
Հուսով ենք, որ մեր տրամադրած տեղեկատվությունը մատչելի և հասկանալի էր, ինչպես նաև օգտակար էր ձեզ համար և օգնեց ավելի լավ հասկանալ այս թեման:
Կետերը «գրանցված» են՝ «բնակիչներ», յուրաքանչյուր կետ ունի իր «տան համարը»՝ իր կոորդինատը: Եթե կետը վերցված է ինքնաթիռում, ապա դրա «գրանցման» համար անհրաժեշտ է նշել ոչ միայն «տան համարը», այլև «բնակարանի համարը»։ Հիշեք, թե ինչպես է դա արվում:
Եկեք գծենք երկու փոխադարձաբար ուղղահայաց կոորդինատային ուղիղներ և դիտարկենք դրանց հատման կետը՝ O կետը, որպես ելակետ երկու ուղիղների վրա: Այսպիսով, հարթության վրա դրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ (նկ. 20), որը փոխակերպում է սովորականը: Ինքնաթիռհամակարգել. O կետը կոչվում է կոորդինատների սկզբնակետ, կոորդինատային գծերը (x առանցք և y առանցք)՝ կոորդինատային առանցքներ, իսկ կոորդինատային առանցքներով կազմված ուղիղ անկյունները՝ կոորդինատային անկյուններ։ Համակարգել ուղղանկյուն անկյուններհամարակալված, ինչպես ցույց է տրված Նկար 20-ում:
Իսկ այժմ անդրադառնանք Նկար 21-ին, որը ցույց է տալիս ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ և նշում M կետը։ Եկեք դրա միջով ուղիղ գիծ անցկացնենք y առանցքին զուգահեռ։ Ուղղը հատում է x առանցքը ինչ-որ կետում, այս կետն ունի կոորդինատ՝ x առանցքի վրա: Նկար 21-ում ներկայացված կետի համար այս կոորդինատը -1.5 է, այն կոչվում է M կետի աբսցիսսա: Այնուհետև մենք ուղիղ գիծ ենք գծում M կետի միջով x առանցքին զուգահեռ: Ուղիղը հատում է y առանցքը ինչ-որ կետում, այս կետն ունի կոորդինատ՝ y առանցքի վրա:
Նկար 21-ում ներկայացված M կետի համար այս կոորդինատը 2 է, այն կոչվում է M կետի օրդինատ: Համառոտ գրված է այսպես. M (-1.5; 2): Առաջին տեղում գրվում է աբսցիսը, երկրորդում՝ օրդինատը։ Նրանք, անհրաժեշտության դեպքում, օգտագործում են նշման մեկ այլ ձև՝ x = -1,5; y = 2.
Դիտողություն 1 . Գործնականում M կետի կոորդինատները գտնելու համար սովորաբար կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ և M կետով անցնող ուղիղ գծերի փոխարեն կառուցվում են այդ ուղիղների հատվածներ M կետից մինչև կոորդինատային առանցքները (նկ. 22):
Դիտողություն 2. Նախորդ բաժնում մենք ներկայացրել ենք տարբեր նշումներ թվային բացեր. Մասնավորապես, ինչպես պայմանավորվել էինք, նշումը (3, 5) նշանակում է, որ կոորդինատային գծի վրա դիտարկվում է 3 և 5 կետերում ծայրերով ինտերվալ։Այս բաժնում մենք համարում ենք զույգ թվեր որպես կետի կոորդինատներ։ օրինակ, (3; 5) մի կետ է կոորդինատային հարթությունաբսցիսա 3-ով և 5-րդ օրդինատով: Ինչպե՞ս է ճիշտ խորհրդանշական նշումից որոշել, թե ինչն է վտանգված՝ միջակայքի, թե՞ կետի կոորդինատների մասին: Շատ ժամանակ դա պարզ է տեքստից: Իսկ եթե պարզ չլինի՞: Ուշադրություն դարձրեք մեկ մանրուքի՝ մենք օգտագործել ենք ստորակետ՝ ինտերվալի նշանակման մեջ, իսկ ստորակետը՝ կոորդինատների նշանակման մեջ: Սա, իհարկե, այնքան էլ էական չէ, բայց այնուամենայնիվ տարբերությունը. մենք դա կկիրառենք։
Հաշվի առնելով ներկայացված տերմիններն ու նշումները՝ հորիզոնական կոորդինատային ուղիղը կոչվում է աբսցիսա կամ x առանցք, իսկ ուղղահայաց կոորդինատային գիծը՝ y առանցք կամ y առանցք։ x, y նշանակումները սովորաբար օգտագործվում են հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ նշելիս (տես Նկար 20) և հաճախ ասում են այսպես. xOy կոորդինատային համակարգը տրված է: Այնուամենայնիվ, կան այլ նշանակումներ. օրինակ, Նկար 23-ում տրված է կոորդինատային համակարգը tos:
Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված M կետի կոորդինատները գտնելու ալգորիթմ хОу.
Հենց այդպես էլ վարվեցինք՝ գտնելով M կետի կոորդինատները Նկար 21-ում: Եթե M 1 կետը (x; y) պատկանում է առաջին կոորդինատային անկյունին, ապա x\u003e 0, y\u003e 0; եթե M 2 (x; y) կետը պատկանում է երկրորդ կոորդինատային անկյունին, ապա x< 0, у >0; եթե M 3 (x; y) կետը պատկանում է երրորդ կոորդինատային անկյունին, ապա x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).
Բայց ի՞նչ կլինի, եթե այն կետը, որի կոորդինատները պետք է գտնել, ընկած է կոորդինատային առանցքներից մեկի վրա: Թող A կետը ընկած լինի x առանցքի վրա, իսկ B կետը՝ y առանցքի վրա (նկ. 25): Անիմաստ է y-ի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ գծել A կետի միջով և գտնել այս ուղիղի հատման կետը x առանցքի հետ, քանի որ արդեն կա այդպիսի հատման կետ. սա A կետն է, դրա կոորդինատը ( abscissa) 3-ն է: Նույն կերպ, ձեզ հարկավոր չէ գծել կետի միջով Եվ x-առանցքին զուգահեռ ուղիղը. այս ուղիղը հենց x առանցքն է, որը հատում է y առանցքը O կետում կոորդինատով ( օրդինատ) 0. Արդյունքում A կետի համար ստանում ենք A (3; 0): Նմանապես, B կետի համար մենք ստանում ենք B(0; - 1.5): Իսկ O կետի համար ունենք O(0; 0):
Ընդհանուր առմամբ, x առանցքի ցանկացած կետ ունի կոորդինատներ (x; 0), իսկ y առանցքի ցանկացած կետ ունի կոորդինատներ (0; y)
Այսպիսով, մենք քննարկեցինք, թե ինչպես գտնել կոորդինատային հարթության կետի կոորդինատները: Բայց ինչպե՞ս լուծել հակադարձ խնդիրը, այսինքն՝ ինչպե՞ս, կոորդինատները տալով, կառուցել համապատասխան կետը։ Ալգորիթմ մշակելու համար մենք կիրականացնենք երկու օժանդակ, բայց միևնույն ժամանակ կարևոր փաստարկներ։
Առաջին քննարկում. Թող ես նկարվեմ xOy կոորդինատային համակարգում, y առանցքին զուգահեռ և հատելով x առանցքը մի կետում կոորդինատով (աբսցիսա) 4:
(նկ. 26): Այս ուղղի վրա ընկած ցանկացած կետ ունի աբսցիսսա 4: Այսպիսով, M 1, M 2, M 3 կետերի համար մենք ունենք M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2): Այլ կերպ ասած, ուղիղ գծի ցանկացած M կետի աբսցիսան բավարարում է x \u003d 4 պայմանը: Նրանք ասում են, որ x \u003d 4 - հավասարումը l տողը կամ I տողը բավարարում է x = 4 հավասարումը:
Նկար 27-ը ցույց է տալիս գծեր, որոնք բավարարում են x = - 4 (տող I 1), x = - 1 հավասարումները:
(ուղիղ I 2) x = 3.5 (ուղիղ I 3): Իսկ ո՞ր ուղիղն է բավարարում x = 0 հավասարումը: Գուշակե՞լ եք: y առանցք
Երկրորդ քննարկում. Թող xOy կոորդինատային համակարգում I գծվի ուղիղ գիծ, որը զուգահեռ x առանցքին և հատում է y առանցքը 3 կոորդինատով (օրդինատով) կետում (նկ. 28): Այս ուղղի վրա ընկած ցանկացած կետ ունի 3 օրդինատ: Այսպիսով, M 1, M 2, M 3 կետերի համար մենք ունենք M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3): ) . Այլ կերպ ասած, I ուղիղի ցանկացած M կետի օրդինատը բավարարում է y \u003d 3 պայմանը: Նրանք ասում են, որ y \u003d 3-ը I ուղիղի հավասարումն է կամ այդ I ուղիղը բավարարում է y \u003d 3 հավասարումը:
Նկար 29-ը ցույց է տալիս տողերը, որոնք բավարարում են y \u003d - 4 (տող l 1), y \u003d - 1 (տող I 2), y \u003d 3.5 (տող I 3) - A որ տողը բավարարում է y \u003d 01 հավասարումը: Գուշակե՞լ: x առանցք.
Ուշադրություն դարձրեք, որ մաթեմատիկոսները, ձգտելով խոսքի հակիրճության, ասում են «ուղիղ x = 4», այլ ոչ թե «ուղիղ, որը բավարարում է x = 4 հավասարումը»։ Նմանապես, նրանք ասում են «y = 3 տող», ոչ թե «y = 3 բավարարող տող»: Մենք ճիշտ նույնն ենք անելու։ Այժմ վերադառնանք Նկար 21-ին: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ M կետը (- 1.5; 2), որը ցույց է տրված այնտեղ, x = -1.5 ուղիղի և y = 2 ուղիղի հատման կետն է: Այժմ, ըստ երևույթին, ալգորիթմը կետի կառուցման համար պարզ կլինի ըստ տրված կոորդինատների:
Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում M (a; b) կետ կառուցելու ալգորիթմ хОу
ՕՐԻՆԱԿ xOy կոորդինատային համակարգում կառուցեք կետերը՝ A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3):
Լուծում. A կետը x = 1 և y = 3 ուղիղների հատման կետն է (տե՛ս նկ. 30):
B կետը x = - 2 և y = 1 ուղիղների հատման կետն է (նկ. 30): C կետը պատկանում է x-առանցքին, իսկ D կետը պատկանում է y-առանցքին (տե՛ս նկ. 30):
Եզրափակելով հատվածը, մենք նշում ենք, որ առաջին անգամ հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը սկսեց ակտիվորեն օգտագործվել հանրահաշվին փոխարինելու համար: մոդելներերկրաչափական ֆրանսիացի փիլիսոփա Ռենե Դեկարտը (1596-1650): Ուստի երբեմն ասում են «Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ», «Դեկարտյան կոորդինատներ»։
Թեմաների ամբողջական ցանկը ըստ դասարանների, օրացուցային պլանհամաձայն դպրոցական ծրագիրմաթեմատիկա առցանց, Տեսանյութումմաթեմատիկա 7-րդ դասարանի համար ներբեռնում
A. V. Pogorelov, Երկրաչափություն 7-11-րդ դասարանների համար, Դասագիրք ուսումնական հաստատություններ
Դասի բովանդակությունը դասի ամփոփումաջակցություն շրջանակային դասի ներկայացման արագացուցիչ մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաքննման սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, քվեստներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցերուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ գրաֆիկա, աղյուսակներ, սխեմաներ հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածներ չիպսեր հետաքրքրասեր խաբեբա թերթիկների համար դասագրքեր հիմնական և լրացուցիչ տերմինների բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի նորարարության տարրերի թարմացում դասագրքում՝ հնացած գիտելիքները նորերով փոխարինելով Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասերտարվա օրացուցային պլան ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասերՀարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը ձևավորվում է երկու միմյանց ուղղահայաց կոորդինատային առանցքներով X'X և Y'Y: Կոորդինատների առանցքները հատվում են O կետում, որը կոչվում է կոորդինատների սկզբնակետ, յուրաքանչյուր առանցքի վրա ընտրվում է դրական ուղղություն, առանցքների դրական ուղղությունը (աջակողմյան կոորդինատների համակարգում) ընտրվում է այնպես, որ երբ X'X առանցքը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ 90 °-ով, դրա դրական ուղղությունը համընկնում է Y'Y առանցքի դրական ուղղության հետ: X'X և Y'Y կոորդինատային առանցքներով ձևավորված չորս անկյունները (I, II, III, IV) կոչվում են կոորդինատային անկյուններ (տես նկ. 1):
A կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է x և y երկու կոորդինատներով: X-կոորդինատը հավասար է OB հատվածի երկարությանը, y կոորդինատը ընտրված միավորներում OC հատվածի երկարությունն է: OB և OC հատվածները սահմանվում են A կետից գծված գծերով, համապատասխանաբար Y'Y և X'X առանցքներին զուգահեռ: x կոորդինատը կոչվում է A կետի աբսցիսա, y կոորդինատը կոչվում է A կետի օրդինատ, գրում են այսպես՝ A (x, y):
Եթե A կետը գտնվում է I կոորդինատային անկյունում, ապա A կետը ունի դրական աբսցիսա և օրդինատ: Եթե A կետը գտնվում է II կոորդինատային անկյունում, ապա A կետն ունի բացասական աբսցիսսա և դրական օրդինատ: Եթե A կետը գտնվում է III կոորդինատային անկյունում, ապա A կետն ունի բացասական աբսցիսա և օրդինատ: Եթե A կետը գտնվում է IV կոորդինատային անկյունում, ապա A կետն ունի դրական աբսցիսսա և բացասական օրդինատ:
Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ տիեզերքումկազմված է երեք փոխադարձաբար ուղղահայաց կոորդինատային առանցքներով OX, OY և OZ: Կոորդինատների առանցքները հատվում են O կետում, որը կոչվում է կոորդինատների սկզբնաղբյուր, յուրաքանչյուր առանցքի վրա ընտրվում է սլաքներով նշված դրական ուղղությունը և առանցքների հատվածների չափման միավորը։ Բոլոր առանցքների համար չափման միավորները նույնն են: OX - abscissa առանցք, OY - ordinate առանցք, OZ - կիրառական առանցք: Առանցքների դրական ուղղությունն ընտրված է այնպես, որ երբ OX առանցքը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ 90°-ով, նրա դրական ուղղությունը համընկնում է OY առանցքի դրական ուղղության հետ, եթե այդ պտույտը դիտվում է OZ առանցքի դրական ուղղությունից։ Նման կոորդինատային համակարգը կոչվում է ճիշտ: Եթե բթամատը աջ ձեռքվերցնել X ուղղությունը, ինդեքսը՝ Y ուղղության, իսկ միջինը՝ Z ուղղության համար, այնուհետև ձևավորվում է աջակողմյան կոորդինատային համակարգ։ Ձախ ձեռքի նման մատները կազմում են ձախ կոորդինատային համակարգը: Աջ և ձախ կոորդինատային համակարգերը չեն կարող համակցվել այնպես, որ համապատասխան առանցքները համընկնեն (տե՛ս նկ. 2):
A կետի դիրքը տարածության մեջ որոշվում է x, y և z երեք կոորդինատներով։ x կոորդինատը հավասար է OB հատվածի երկարությանը, y կոորդինատը OC հատվածի երկարությունն է, z կոորդինատը OD հատվածի երկարությունն է ընտրված միավորներում։ OB, OC և OD հատվածները սահմանվում են A կետից գծված հարթություններով, համապատասխանաբար YOZ, XOZ և XOY հարթություններին զուգահեռ: x կոորդինատը կոչվում է A կետի աբսցիսա, y կոորդինատը՝ A կետի օրդինատ, z կոորդինատը՝ A կետի կիրառական, գրում են այսպես՝ A (a, b, c):
Հորթս
Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը (ցանկացած հարթության) նկարագրվում է նաև կոորդինատային առանցքների հետ համատեղ ուղղորդված օրթների մի շարքով: Օրթների թիվը հավասար է կոորդինատային համակարգի չափմանը, և դրանք բոլորը միմյանց ուղղահայաց են:
Եռաչափ դեպքում նման վեկտորները սովորաբար նշվում են ես ժ կկամ ե x ե y եզ . Մինչդեռ գործով ճիշտ համակարգկոորդինատները, վեկտորների խաչաձև արտադրյալով հետևյալ բանաձևերը վավեր են.
- [ես ժ]=կ ;
- [ժ կ]=ես ;
- [կ ես]=ժ .
Պատմություն
Ռենե Դեկարտը առաջինն էր, ով 1637 թվականին իր «Դիսկուրս մեթոդի մասին» գրքում ներկայացրեց ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ։ Հետևաբար, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը կոչվում է նաև. Դեկարտյան համակարգկոորդինատները. Երկրաչափական օբյեկտների նկարագրության կոորդինատային մեթոդը հիմք դրեց վերլուծական երկրաչափությանը։ Պիեռ Ֆերմատը նույնպես նպաստել է կոորդինատային մեթոդի զարգացմանը, սակայն նրա աշխատությունը առաջին անգամ հրատարակվել է նրա մահից հետո։ Դեկարտը և Ֆերմատը կոորդինատային մեթոդը կիրառել են միայն ինքնաթիռում։
Եռաչափ տարածության կոորդինատային մեթոդն առաջին անգամ կիրառվել է Լեոնհարդ Էյլերի կողմից արդեն 18-րդ դարում։
տես նաեւ
Հղումներ
Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ .
Տեսեք, թե ինչ է «Կորդինատների ինքնաթիռը» այլ բառարաններում.
կտրող ինքնաթիռ- (Pn) Կորդինացնել հարթությունը, որը շոշափում է կտրող եզրին դիտարկվող կետում և ուղղահայաց բազային հարթությանը: […
Տեղագրության մեջ երեւակայական գծերի ցանց, որը շրջապատում է Երկիրլայնական և միջօրեական ուղղություններով, որոնցով կարող եք ճշգրիտ որոշել ցանկացած կետի դիրքը երկրի մակերեսը. Լայնությունները չափվում են հասարակածից՝ մեծ շրջան, ... ... Աշխարհագրական հանրագիտարան
Տոպոգրաֆիայում՝ երկրագնդը լայնական և միջօրեական ուղղություններով պտտվող երևակայական գծերի ցանց, որով կարող եք ճշգրիտ որոշել երկրի մակերևույթի ցանկացած կետի դիրքը։ Լայնությունները չափվում են մեծ շրջանագծի հասարակածից, ... ... Collier հանրագիտարան
Այս տերմինն ունի այլ իմաստներ, տես Փուլային դիագրամ: Ֆազային հարթությունը կոորդինատային հարթությունն է, որում ցանկացած երկու փոփոխական (փուլային կոորդինատներ) գծագրված են կոորդինատային առանցքների երկայնքով, որոնք եզակիորեն որոշում են համակարգի վիճակը ... ... Վիքիպեդիա
հիմնական կտրող ինքնաթիռ- (Pτ) Հիմնական հարթության և կտրող հարթության հատման գծին ուղղահայաց կոորդինատային հարթություն: [ԳՕՍՏ 25762 83] Կտրման թեմաներ Կոորդինատային հարթությունների և կոորդինատային հարթությունների համակարգերի ընդհանրացման տերմիններ… Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ
գործիքային հիմնական կտրող ինքնաթիռ- (Pτi) Գործիքային հիմնական հարթության և կտրող հարթության հատման գծին ուղղահայաց կոորդինատային հարթություն: [ԳՕՍՏ 25762 83] Կտրման թեմաներ Կոորդինատային հարթությունների և կոորդինատային հարթությունների համակարգերի ընդհանրացման տերմիններ… Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ
գործիք կտրող ինքնաթիռ- (Pni) Կոորդինացնել հարթությունը, որը շոշափում է կտրող եզրին խնդրո առարկա կետում և ուղղահայաց գործիքի հիմքի հարթությանը: [ԳՕՍՏ 25762 83] Կտրման թեմաներ Ընդհանրացնող տերմիններ կոորդինատային հարթությունների համակարգերի և ... ... Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ
Կինեմատիկական հիմնական կտրող հարթություն- (Pτк) Կինեմատիկական հիմնական հարթության և կտրող հարթության հատման գծին ուղղահայաց կոորդինատային հարթություն ... Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ
կինեմատիկ կտրող ինքնաթիռ- (Pnk) Կոորդինատիվ հարթություն, որը շոշափում է կտրող եզրին դիտարկվող կետում և ուղղահայաց կինեմատիկական հիմքի հարթությանը ... Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ
հիմնական ինքնաթիռը- (Pv) Կոորդինատային հարթություն, որը գծված է կտրող եզրի դիտարկված կետով, որն ուղղահայաց է այդ կետում հիմնական կամ ցանցային կտրող շարժման արագության ուղղությանը: Նշում Գործիքային կոորդինատային համակարգում ուղղությունը ... ... Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ
Ուսումնասիրվող որոշ օբյեկտների հարաբերական դիրքը նշելու համար օգտագործվում են հետևյալը.
- կոորդինատային ճառագայթ, երբ դրանց տեղադրումը կամ շարժումը տեղի է ունենում ուղիղ գծով տվյալ օբյեկտի մի կողմում՝ որպես սկզբնաղբյուր.
- կոորդինատային գիծ, երբ դրանց տեղադրումը կամ շարժումը տեղի է ունենում ուղիղ գծի երկայնքով տվյալ օբյեկտի հակառակ կողմերում՝ որպես հղման կետ.
- կոորդինատային հարթություն, երբ դրանց տեղադրումը կամ շարժումը տեղի է ունենում կամայական ոչ ուղիղ գծի երկայնքով:
Կոորդինատային հարթության տարրեր
Կոորդինատային հարթությունը սովորական հարթությունից տարբերվում է նրանով, որ դրա վրա կիրառվում է կոորդինատային համակարգ։ Օրինակ՝ ցանկացած մայրցամաքի պատկերը՝ դրա վրա գծագրված զուգահեռներով և միջօրեականներով, որոնք սահմանում են համակարգը։ աշխարհագրական կոորդինատները, որը թույլ է տալիս գտնել կամ սահմանել ցանկացած օբյեկտի դիրքը քարտեզի վրա:
Կոորդինատային համակարգը բաղկացած է երկու կոորդինատային գծերից, որոնք փոխադարձաբար հատվում են ուղղանկյուն կետերում: Հորիզոնական կոորդինատային ուղիղն ընդունված է անվանել աբսցիսայի առանցք (աբսցիսան լատիներեն հատված է)։ Ուղղահայաց գիծը օրդինատների առանցքն է (օրդինատ՝ լատիներենից՝ դասավորություն ըստ հերթականության):
Նմանապես, կոորդինատային գիծը տարբերվում է սովորական գծից նրանով, որ դրա վրա ինչ-որ կետ է ընտրված սկզբնավորման համար. ընտրել մեկ հատվածի մասշտաբը՝ կախված նրանից, թե ինչ հեռավորություններ են պետք պատկերել. դրական հղման ուղղությունը, որը նշված է կոորդինատային ուղիղ սլաքի վրա:
Նման հարթության վրա առարկայի դիրքը նշվում է երկու թվերով կետով՝ կոորդինատներով՝ աբսցիսա և օրդինատ։
Օգտագործելով կոորդինատային հարթություններ
Կոորդինատային հարթությունները լայնորեն կիրառվում են երկրաչափական և ֆիզիկական խնդիրների լուծման համար։ Ավելին, ֆիզիկայում աբսցիսան հաճախ ընդունվում է որպես ժամանակի առանցք։ Այնուհետև y առանցքը մարմնի կոորդինատը դնում է մարմնի ուղղագիծ հետագծի երկայնքով տեղակայված կոորդինատային գծի վրա։
