Budući da su naznačene površine redom jednake

S∆OAC=0,5∙OC∙OA grijeh α= 0,5sinα, S sekta. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC= 0,5 tga.

Posljedično,

grijehα< α < tg α.

Sve članove nejednadžbe podijelimo sa sin α > 0: .

ali . Stoga, na temelju teorema 4 o granicama, zaključujemo da se izvedena formula naziva prva značajna granica.

Dakle, prva značajna granica služi za otkrivanje neizvjesnosti. Imajte na umu da se dobivena formula ne smije brkati s granicama Primjeri.

11.Ograničenje i povezana ograničenja.

DRUGA ZNAČAJNA GRANICA

Druga izvanredna granica služi za otkrivanje nesigurnosti 1 ∞ i izgleda ovako

Obratimo pozornost na činjenicu da u formuli za drugu izvanrednu granicu eksponent mora sadržavati izraz koji je suprotan od onoga koji se dodaje jedinici u bazi (budući da je u ovom slučaju moguće uvesti promjenu varijabli i smanjiti željenu granicu na drugu značajnu granicu)

Primjeri.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 je beskonačno malen za x→1, jer (vidi sliku).

2. Funkcija f(x)=tg x je beskonačno malen pri x→0.

3. f(x)= log(1+ x) je beskonačno malen pri x→0.

4. f(x) = 1/x je beskonačno malen pri x→∞.

Uspostavimo sljedeću važnu relaciju:

Teorema. Ako funkcija y=f(x) zastupan na x→a kao zbroj konstantnog broja b i beskrajno malen α(x): f(x)=b+ α(x) zatim .

Obrnuto, ako je , tada f(x)=b+α(x), gdje sjekira) je beskonačno malen pri x→a.

Dokaz.

1. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Iz ravnopravnosti f(x)=b+α(x) trebao bi |f(x) – b|=| α|. Ali budući da sjekira) je infinitezimalna, tada za proizvoljan ε postoji δ, okolina točke a, za sve x iz kojih, vrijednosti sjekira) zadovoljiti odnos |α(x)|< ε. Zatim |f(x) – b|< ε. A ovo znači da.

2. Ako je , tada za bilo koji ε >0 za sve x iz nekog δ je okolina točke a bit će |f(x) – b|< ε. Ali ako označimo f(x) – b= α, onda |α(x)|< ε, što znači da a- beskrajno malen.

Razmotrimo glavna svojstva infinitezimalnih funkcija.

Teorem 1. Algebarski zbroj dva, tri i općenito bilo kojeg konačnog broja infinitezimala je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Dajmo dokaz za dva pojma. Neka f(x)=α(x)+β(x), gdje i . Moramo dokazati da za proizvoljno proizvoljno mali ε > 0 tamo δ> 0, tako da za x zadovoljavajući nejednakost |x- a|<δ , izvedena |f(x)|< ε.

Dakle, fiksiramo proizvoljan broj ε > 0. Budući da je, prema hipotezi teoreme, α(x) je infinitezimalna funkcija, tada postoji δ 1 > 0, koji na |x – a|< δ 1 imamo |α(x)|< ε / 2. Isto tako, budući da β(x) je infinitezimalno, onda postoji takav δ 2 > 0, koji na |x – a|< δ 2 imamo | β(x)|< ε / 2.

Idemo uzeti δ=min(δ1 , δ2 } .Onda u susjedstvu točke a radius δ svaka od nejednakosti će biti zadovoljena |α(x)|< ε / 2 i | β(x)|< ε / 2. Stoga će u ovom susjedstvu biti

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

oni. |f(x)|< ε, što je trebalo dokazati.

Teorem 2. Umnožak infinitezimalne funkcije sjekira) za ograničenu funkciju f(x) na x→a(ili kada x→∞) je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Budući da funkcija f(x) je ograničen, onda postoji broj M takav da za sve vrijednosti x iz nekog susjedstva točke a|f(x)|≤M. Osim toga, budući da sjekira) je infinitezimalna funkcija za x→a, tada za proizvoljan ε > 0 postoji okolina točke a, u kojoj je nejednakost |α(x)|< ε /M. Zatim u manjim od ovih četvrti koje imamo | αf|< ε /M= ε. A ovo znači to af- beskrajno malen. Za slučaj x→∞ dokaz se provodi na sličan način.

Iz dokazanog teoreme slijedi:

Posljedica 1. Ako i tada

Posljedica 2. Ako i c= const, tada .

Teorem 3. Omjer infinitezimalne funkcije α(x) po funkciji f(x), čija granica nije nula, je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Neka . Zatim 1 /f(x) postoji ograničena funkcija. Dakle, razlomak je umnožak infinitezimalne funkcije i ograničene funkcije, tj. funkcija je infinitezimalna.

Primjeri.

1. Jasno je da za x→+∞ funkcija y=x 2 + 1 je beskonačan. Ali onda, prema gore formuliranom teoremu, funkcija je infinitezimalna na x→+∞, tj. .

Može se dokazati i obrnuti teorem.

Teorem 2. Ako funkcija f(x)- beskrajno mali at x→a(ili x→∞) i onda ne nestaje y= 1/f(x) je beskonačna funkcija.

Dokažite sami teorem.

Primjeri.

3. , budući da su funkcije i infinitezimalne za x→+∞, tada je zbroj infinitezimalnih funkcija infinitezimalna funkcija. Funkcija je zbroj konstantnog broja i beskonačno male funkcije. Stoga, prema teoremu 1, za infinitezimalne funkcije dobivamo traženu jednakost.

Dakle, najjednostavnija svojstva beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija mogu se napisati pomoću sljedećih uvjetnih odnosa: A≠ 0

13. Beskonačno male funkcije istog reda, ekvivalentne beskonačno malim.

Beskonačno male funkcije i nazivaju se infinitezimalnim istog reda malenosti ako , označavaju . I, konačno, ako ne postoji, onda su infinitezimalne funkcije i neusporedive.

PRIMJER 2. Usporedba infinitezimalnih funkcija

Ekvivalentne infinitezimalne funkcije.

Ako , tada se pozivaju infinitezimalne funkcije i ekvivalent, označavaju ~ .

Lokalno ekvivalentne funkcije:

Kada ako

Neke ekvivalencije(u ):

Jednostrana ograničenja.

Do sada smo razmatrali definiciju limita funkcije kada x→a proizvoljno, tj. granica funkcije nije ovisila o tome kako je x prema a, lijevo ili desno od a. Međutim, prilično je uobičajeno pronaći funkcije koje nemaju ograničenje pod ovim uvjetom, ali imaju ograničenje ako x→a, ostajući s jedne strane a, lijevo ili desno (vidi sliku). Stoga se uvodi koncept jednostranih granica.

Ako a f(x) teži do granice b na x težnja za nekim brojem a tako x uzima samo vrijednosti manje od a, pa pišite i zovite granica funkcije f(x) u točki a na lijevoj strani.

Dakle, broj b naziva se limit funkcije y=f(x) na x→a s lijeve strane, ako postoji neki pozitivan broj ε, postoji broj δ (manji od a

Slično tome, ako x→a i poprima velike vrijednosti a, pa pišite i zovite b granica funkcije u točki a desno. Oni. broj b nazvao limit funkcije y=f(x) na x→a s desne strane, ako postoji neki pozitivan broj ε, postoji takav broj δ (veći od a) da nejednakost vrijedi za sve .

Imajte na umu da ako su granice lijevo i desno u točki a za funkciju f(x) ne podudaraju, tada funkcija nema (dvostrano) ograničenje u točki a.

Primjeri.

1. Razmotrimo funkciju y=f(x), definiran na segmentu kako slijedi

Nađimo limite funkcije f(x) na x→ 3. Očito, a

Drugim riječima, za bilo koji proizvoljno mali broj epsilona, ​​postoji takva delta, ovisno o epsilonima, da iz činjenice da za bilo koji x koji zadovoljava nejednakost slijedi da će razlika u vrijednostima funkcije u tim točkama biti proizvoljno mali.

Kriterij neprekidnosti funkcije u točki:

Funkcija bit će stalan u točki A ako i samo ako je kontinuirana u točki A i s desne i s lijeve strane, tj. da bi u točki A postojale dvije jednostrane granice one su međusobno jednake i jednake vrijednosti funkcija u točki A.

Definicija 2: Funkcija je kontinuirana na skupu ako je neprekidan u svim točkama tog skupa.

Derivacija funkcije u točki

Neka dati biti definiran u susjedstvu od . Smatrati

Ako ta granica postoji, onda se zove derivacija funkcije f u točki .

Derivacija funkcije- granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada se argument povećava.

Operacija računanja ili nalaženja izvodnice u točki naziva se diferencijacija .

Pravila razlikovanja.

izvedenica funkcije f(x) u točki x=x 0 je omjer prirasta funkcije u ovoj točki i prirasta argumenta, budući da potonji teži nuli. Pronalaženje derivacije naziva se diferencijacija. Derivacija funkcije izračunava se prema općem pravilu diferenciranja: Označimo f(x) = u, g(x) = v- funkcije diferencijabilne u točki x. Osnovna pravila razlikovanja 1) (derivacija zbroja jednaka je zbroju derivacija) 2) (odakle, posebice, slijedi da je derivacija umnoška funkcije i konstante jednaka umnošku derivacije te funkcije po konstanti) 3) Derivacija kvocijenta: ako je g  0 4) Derivacija složene funkcije: 5) Ako je funkcija postavljena parametarski: , tada

Primjeri.

1. g = x a - funkcija snage s proizvoljnim indeksom.

Implicitna funkcija

Ako je funkcija dana jednadžbom y=ƒ(x) razriješenom u odnosu na y, tada je funkcija dana eksplicitno (eksplicitna funkcija).

Pod, ispod implicitna dodjela funkcije razumiju dodjeljivanje funkcije u obliku jednadžbe F(x;y)=0, nedopušteno s obzirom na y.

Svaka eksplicitno zadana funkcija y=ƒ(x) može se napisati kao implicitna zadan jednadžbomƒ(x)-y=0, ali ne obrnuto.

Nije uvijek lako, a ponekad i nemoguće, riješiti jednadžbu za y (na primjer, y+2x+cozy-1=0 ili 2y-x+y=0).

Ako je implicitna funkcija dana jednadžbom F(x; y)=0, tada za pronalaženje derivacije y u odnosu na x nema potrebe rješavati jednadžbu u odnosu na y: dovoljno je diferencirati ovu jednadžbu u odnosu na x, dok se y smatra funkcijom od x, a zatim riješite dobivenu jednadžbu s obzirom na y".

Derivacija implicitne funkcije izražava se kroz argument x i funkciju y.

Primjer:

Pronađite derivaciju funkcije y dane jednadžbom x 3 +y 3 -3xy=0.

Rješenje: Funkcija y je implicitno definirana. Diferencirajte s obzirom na x jednakost x 3 +y 3 -3xy=0. Iz dobivenog omjera

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

slijedi da je y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, tj. y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Derivati ​​viših redova

Jasno je da izvedenica

funkcije y=f(x) postoji i funkcija iz x:

y"=f" (x)

Ako funkcija f"(x) je diferencijabilan, tada se njegov izvod označava simbolom y""=f""(x) x dvaput.
Izvodnica druge derivacije, tj. funkcije y""=f""(x), Zove se treća derivacija funkcije y=f(x) ili izvod funkcije f(x) trećeg reda i simbolizira se

općenito n-i izvedenica ili izvedenica n funkcija -tog reda y=f(x) označeni simbolima

F-la Leibniz:

Pretpostavimo da su funkcije i diferencijabilne zajedno sa svojim izvodnicama do uključivo n-tog reda. Primjenom pravila diferenciranja umnoška dviju funkcija dobivamo

Usporedimo ove izraze s potencijama binoma:

Pravilo korespondencije je zapanjujuće: da biste dobili formulu za derivaciju 1., 2. ili 3. reda iz produkta funkcija i , trebate zamijeniti stupnjeve i u izrazu za (gdje n= 1,2,3) izvodnice odgovarajućih redova. Osim toga, nulte potencije i treba zamijeniti izvedenicama nulti red, misleći pod njima na funkcije i :

Generaliziranje ovog pravila na slučaj derivata proizvoljnog reda n, dobivamo Leibnizova formula,

gdje su binomni koeficijenti:

Rolleov teorem.

Ovaj teorem omogućuje pronalaženje kritičnih točaka i zatim, uz pomoć dovoljnih uvjeta, istraživanje f-th za ekstreme.

Neka je 1) f-ti f(x) definiran i kontinuiran na nekom zatvorenom intervalu; 2) postoji konačna derivacija, barem u otvorenom intervalu (a;b); 3) na krajevima interval f-i uzima jednake vrijednosti f(a) = f(b). Tada između točaka a i b postoji takva točka c da će derivacija u toj točki biti = 0.

Prema teoremu o svojstvu f-ti koje su kontinuirane na segmentu, f-ti f(x) poprima na ovom segmentu svoje max i min vrijednosti.

f (x 1) \u003d M - max, f (x 2) \u003d m - min; x 1 ;x 2 O

1) Neka je M = m, tj. m £ f(x) £ M

Þ f-ti f(x) će poprimiti interval od a do b konstantne vrijednosti, a Þ njegova derivacija će biti jednaka nuli. f'(x)=0

2) Neka je M>m

Jer prema uvjetima teorema, f(a) = f(b) z je njegov najmanji ili najveći f-ta vrijednost neće uzeti na krajevima segmenta, već Þ će uzeti M ili m u unutarnjoj točki ovog segmenta. Tada je po Fermatovom teoremu f'(c)=0.

Lagrangeov teorem.

Formula konačnog povećanja ili Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti navodi da ako funkcija f kontinuirano na segmentu [ a;b] i diferencijabilan u intervalu ( a;b), onda postoji točka takva da

Cauchyjev teorem.

Ako su funkcije f(x) i g(x) neprekidne na intervalu i diferencijabilne na intervalu (a, b) i g¢(x) ¹ 0 na intervalu (a, b), tada postoji barem jedna točka e, a< e < b, такая, что

Oni. omjer priraštaja funkcija na određenom segmentu jednak je omjeru derivacija u točki e. Primjeri rješavanja zadataka tijek predavanja Izračunavanje obujma tijela po poznati trgovi njegov paralelne sekcije Integralni račun

Primjeri kolegija Elektrotehnika

Za dokaz ovog teorema, na prvi pogled, vrlo je zgodno koristiti se Lagrangeovim teoremom. Zapišite formulu konačne razlike za svaku funkciju, a zatim ih podijelite jednu s drugom. Međutim, ovo gledište je pogrešno, jer točka e za svaku od funkcija općenito je različita. Naravno, u nekim posebnim slučajevima ta točka intervala može biti ista za obje funkcije, ali to je vrlo rijetka slučajnost, a ne pravilo, i stoga se ne može koristiti za dokazivanje teorema.

Dokaz. Razmotrite pomoćnu funkciju

Kada je x→x 0, vrijednost c također teži x 0; prijeđimo u prethodnu jednakost do granice:

Jer , zatim .

Zato

(granica omjera dviju infinitezimalnih jednaka je granici omjera njihovih derivacija, ako potonja postoji)

L'Hopitalovo pravilo, na ∞ / ∞.

Imajte na umu da sve definicije uključuju numerički skup X, koji je dio domene funkcije: X s D(f). U praksi najčešće postoje slučajevi kada X - jaz između brojeva(odsječak, interval, zraka itd.).

Definicija 1.

Funkcija y \u003d f (x) naziva se rastućom na skupu X s D (f) ako za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 skupa X takve da je x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definicija 2.

Funkcija y \u003d f (x) naziva se opadajućom na skupu X s D (f), ako za bilo koju monotonost dviju točaka x 1 i x 2 skupa X, tako da x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

U praksi je prikladnije koristiti sljedeće formulacije: funkcija raste ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije; funkcija je opadajuća ako manjoj vrijednosti funkcije odgovara veća vrijednost argumenta.

U 7. i 8. razredu koristili smo sljedeću geometrijsku interpretaciju pojmova rastuće ili padajuće funkcije: krećući se po grafu rastuće funkcije slijeva nadesno, nekako se penjemo uzbrdo (slika 55); krećući se po grafu padajuće funkcije slijeva nadesno, kao da se spuštamo nizbrdo (slika 56).
Obično su pojmovi “rastuća funkcija”, “opadajuća funkcija” objedinjeni zajedničkim nazivom monotona funkcija, a proučavanje funkcije za povećanje ili opadanje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Napominjemo još jednu okolnost: ako je funkcija rastuća (ili opadajuća) u svojoj prirodnoj domeni definicije, tada se obično kaže da je funkcija rastuća (ili opadajuća) - bez navođenja numeričkog skupa X.

Primjer 1

Ispitajte funkciju na monotonost:

a) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Riješenje:

a) Uzmite proizvoljne vrijednosti argumenta x 1 i x 2 i neka je x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Zadnja nejednakost znači da je f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Dakle, od x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), što znači da je zadana funkcija padajuća (na cijelom brojevnom pravcu).

Definicija 3.

Funkcija y - f(x) naziva se ograničenom odozdo na skup X s D (f) ako su sve vrijednosti funkcije na skupu X veće od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj m takav da za bilo koju vrijednost x ê X vrijedi nejednakost f( x) >m).

Definicija 4.

Funkcija y \u003d f (x) naziva se ograničenom odozgo na skup X s D (f) ako su sve vrijednosti funkcije manje od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj M takav da za bilo koju vrijednost x ê X nejednakost f (x)< М).

Ako skup X nije naveden, tada se pretpostavlja da je funkcija ograničena odozdo ili odozgo u cijeloj domeni definicije.

Ako je funkcija ograničena i odozdo i odozgo, naziva se ograničena.

Ograničenost funkcije lako se očitava iz njezina grafikona: ako je funkcija ograničena odozdo, tada se njezin grafikon u cijelosti nalazi iznad neke vodoravne crte y \u003d m (slika 57); ako je funkcija ograničena odozgo, tada se njezin grafikon u cijelosti nalazi ispod neke vodoravne linije y \u003d M (slika 58).

Primjer 2 Istražite ograničenost funkcije
Riješenje. S jedne strane, nejednakost je sasvim očita (po definiciji korijen To znači da je funkcija ograničena odozdo. S druge strane, imamo i stoga
To znači da je funkcija ograničena odozgo. Sada pogledajte graf zadane funkcije (slika 52 iz prethodnog odlomka). Ograničenost funkcije i odozgo i odozdo lako se očitava iz grafa.

Definicija 5.

Broj m naziva se najmanja vrijednost funkcije y \u003d f (x) na skupu X C D (f), ako je:

1) u X postoji takva točka x 0 da je f(x 0) = m;

2) za sve x iz X ispunjena je nejednakost m>f(h 0).

Definicija 6.

Broj M naziva se najveća vrijednost funkcije y \u003d f (x) na skupu X C D (f), ako:
1) u X postoji takva točka x 0 da je f(x 0) = M;
2) za sve x iz X, nejednakost
Najmanju vrijednost funkcije smo iu 7. i 8. razredu označavali simbolom y, a najveću vrijednost simbolom y.

Ako skup X nije naveden, tada se pretpostavlja da je riječ o pronalaženju najmanjeg odn najveća vrijednost funkcije u cijeloj domeni definicije.

Sljedeće korisne izjave su sasvim očite:

1) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena odozdo.
2) Ako funkcija ima Y, onda je omeđena odozgo.
3) Ako funkcija nije ograničena odozdo, tada Y ne postoji.
4) Ako funkcija nije omeđena odozgo, tada Y ne postoji.

Primjer 3

Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije
Riješenje.

Sasvim je očito, pogotovo ako pribjegnete grafu funkcije (Sl. 52), da \u003d 0 (funkcija doseže ovu vrijednost u točkama x \u003d -3 i x \u003d 3), a \u003d 3 (funkcija funkcija postiže ovu vrijednost u točki x \u003d 0.
U 7. i 8. razredu spomenuli smo još dva svojstva funkcija. Prvo se naziva svojstvo konveksnosti funkcije. Smatra se da je funkcija konveksna prema dolje na intervalu X ako spajanjem bilo koje dvije točke njezina grafa (s apscisama iz X) ravnim odsječkom utvrdimo da se odgovarajući dio grafa nalazi ispod nacrtanog odsječka ( Slika 59). kontinuitet Funkcija je konveksna prema gore na intervalu X ako spajanjem bilo koje dvije točke njezina grafa (s apscisama iz X) ravnim odsječkom utvrdimo da se odgovarajući dio grafa nalazi iznad nacrtanog odsječka (sl. 60. ).

Drugo svojstvo - neprekidnost funkcije na intervalu X - znači da je graf funkcije na intervalu X kontinuiran, tj. nema uboda i skokova.

Komentar.

Zapravo, u matematici je sve, kako kažu, "upravo suprotno": graf funkcije prikazan je kao puna linija (bez uboda i skokova) samo kada se dokaže kontinuitet funkcije. Ali formalna definicija kontinuiteta funkcije, koja je prilično složena i suptilna, još je izvan naših moći. Isto se može reći i za konveksnost funkcije. Raspravljajući o ova dva svojstva funkcija, nastavit ćemo se oslanjati na vizualno-intuitivne prikaze.

Sada provjerimo svoje znanje. Prisjećajući se funkcija koje smo učili u 7. i 8. razredu, pojasnit ćemo kako izgledaju njihovi grafovi i navesti svojstva funkcije, pridržavajući se određenog redoslijeda, npr.: domena definicije; monotonija; ograničenje; , ; kontinuitet; raspon vrijednosti; konveksan.

Nakon toga će se pojaviti nova svojstva funkcija, a popis svojstava će se promijeniti u skladu s tim.

1. Funkcija konstante y \u003d C

Grafikon funkcije y \u003d C prikazan je na sl. 61 - ravna linija, paralelna s osi x. To je toliko nezanimljiva funkcija da nema smisla navoditi njena svojstva.

Graf funkcije y \u003d kx + m je ravna linija (sl. 62, 63).

Svojstva funkcije y \u003d kx + m:

1)
2) raste ako je k > 0 (slika 62), smanjuje se ako je k< 0 (рис. 63);

4) ne postoji ni najveći ni najmanjih vrijednosti;
5) funkcija je neprekidna;
6)
7) nema smisla govoriti o konveksnosti.

Graf funkcije y \u003d kx 2 je parabola s vrhom u ishodištu i s granama usmjerenim prema gore ako je k\u003e O (slika 64), i prema dolje ako je k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Svojstva funkcije y - kx 2:

Za slučaj k > 0 (slika 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = ne postoji;
5) kontinuirani;
6) E(f) = funkcija opada, a na intervalu , opada na zraku;
7) konveksno prema gore.

Grafikon funkcije y \u003d f (x) izgrađen je točku po točku; što više točaka oblika (x; f (x)) uzmemo, dobivamo točniju predodžbu o grafu. Ako uzmemo mnogo ovih točaka, tada će ideja grafikona biti potpunija. Upravo u ovom slučaju intuicija nam govori da bi grafikon trebao biti nacrtan kao puna linija (u ovom slučaju kao parabola). I onda, čitajući graf, zaključujemo o neprekidnosti funkcije, o njenoj konveksnosti prema dolje ili prema gore, o opsegu funkcije. Morate razumjeti da su od navedenih sedam svojstava samo svojstva 1), 2), 3), 4) "legalna" u smislu da ih možemo potkrijepiti pozivanjem na precizne definicije. Imamo samo vizualno-intuitivne prikaze o preostalim svojstvima. Usput, nema ništa loše u tome. Iz povijesti razvoja matematike poznato je da je čovječanstvo često i dugo koristilo različita svojstva pojedinih objekata, ne znajući točne definicije. Onda, kada su se takve definicije mogle formulirati, sve je sjelo na svoje mjesto.

Graf funkcije je hiperbola, koordinatne osi služe kao asimptote hiperbole (sl. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ako je k > 0, tada funkcija opada na otvorenoj zraci (-oo, 0) i na otvorenoj zraci (0, +oo) (sl. 66); ako se< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nije ograničen ni odozdo ni odozgo;
4) ne postoji ni najmanja ni najveća vrijednost;
5) funkcija je neprekidna na otvorenoj zraci (-oo, 0) i na otvorenoj zraci (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) ako je k > 0, tada je funkcija konveksna prema gore u x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, tj. na otvorenoj gredi (0, +oo) (slika 66). Ako se< 0, то функция выпукла вверх при х >o i konveksno dolje na x< О (рис. 67).
Graf funkcije je grana parabole (slika 68). Svojstva funkcije:
1) D(f) = , raste na zraku. Na ovom segmentu $16-x^2≤16$ ili $\sqrt(16-x^2)≤4$, ali to znači ograničenost odozgo.
Odgovor: naša je funkcija ograničena s dva pravca $y=0$ i $y=4$.

Najveća i najniža vrijednost

Najmanja vrijednost funkcije y= f(x) na skupu H⊂D(f) je neki broj m, takav da vrijedi:

b) Za svaki xϵX vrijedi $f(x)≥f(x0)$.

Najveća vrijednost funkcije y=f(x) na skupu H⊂D(f) je neki broj m, takav da je:
a) Postoji neki x0 takav da je $f(x0)=m$.
b) Za bilo koji xϵX, $f(x)≤f(x0)$ je zadovoljeno.

Najveća i najmanja vrijednost obično se označavaju s y max. i y ime. .

Pojmovi ograničenosti i najveće s najmanjom vrijednošću funkcije usko su povezani. Sljedeće izjave su istinite:
a) Ako postoji najmanja vrijednost funkcije, onda je ona ograničena odozdo.
b) Ako postoji maksimalna vrijednost za funkciju, onda je ona ograničena odozgo.
c) Ako funkcija nije omeđena odozgo, tada nema maksimalne vrijednosti.
d) Ako funkcija nije ograničena odozdo, tada najmanja vrijednost ne postoji.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rješenje: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Za $x=4$ $f(4)=5$, za sve ostale vrijednosti funkcija ima manje vrijednosti ili ne postoji, odnosno ovo je najveća vrijednost funkcije.
Prema definiciji: $9-4x^2+16x≥0$. Pronađimo korijene kvadratni trinom$(2x+1)(2x-9)≥0$. Na $x=-0,5$ i $x=4,5$ funkcija nestaje, u svim ostalim točkama je veća od nule. Tada je po definiciji najmanja vrijednost funkcije nula.
Odgovor: y max. =5 i y min. =0.

Dečki, također smo proučavali koncepte konveksnosti funkcije. Prilikom rješavanja nekih problema, možda će nam trebati ovo svojstvo. Ovo se svojstvo također lako utvrđuje pomoću grafikona.

Funkcija je konveksna prema dolje ako su bilo koje dvije točke grafa izvorne funkcije spojene, a graf funkcije je ispod crte koja spaja točke.

Funkcija je konveksna prema gore ako su bilo koje dvije točke grafa izvorne funkcije spojene, a graf funkcije je iznad crte koja spaja točke.

Funkcija je kontinuirana ako graf naše funkcije nema diskontinuiteta, kao što je gornji graf funkcije.

Ako želite pronaći svojstva funkcije, tada je redoslijed traženja svojstava sljedeći:
a) Domena definicije.
b) Monotonija.
c) ograničenje.
d) Najveća i najmanja vrijednost.
e) Kontinuitet.
f) Raspon vrijednosti.

Pronađite svojstva funkcije $y=-2x+5$.
Riješenje.
a) Domena definicije D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Provjerimo bilo koje vrijednosti x1 i x2 i pustimo x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Jer x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) ograničenje. Očito, funkcija nije ograničena.
d) Najveća i najmanja vrijednost. Budući da funkcija nije ograničena, ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost.
e) Kontinuitet. Graf naše funkcije nema praznina, tada je funkcija kontinuirana.
f) Raspon vrijednosti. E(y)=(-∞;+∞).

Zadaci o svojstvima funkcije za samostalno rješavanje

Limitni teorem monotona funkcija. Dokaz teorema dan je pomoću dvije metode. Dane su i definicije strogo rastućih, neopadajućih, strogo padajućih i nerastućih funkcija. Definicija monotone funkcije.

Definicije

Definicije rastućih i opadajućih funkcija
Neka funkcija f (x) definiran je na nekom skupu realnih brojeva X .
Funkcija se zove strogo rastući (strogo opadajući), ako za sve x′, x′′ ∈ X takav da je x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x')< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Funkcija se zove neopadajući (nepovećavajući), ako za sve x′, x′′ ∈ X takav da je x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

To implicira da je strogo rastuća funkcija također neopadajuća. Strogo padajuća funkcija također je nerastuća.

Definicija monotone funkcije
Funkcija se zove monoton ako je neopadajuća ili nerastuća.

Da biste proučavali monotonost funkcije na nekom skupu X, morate pronaći razliku njegovih vrijednosti u dvije proizvoljne točke koje pripadaju ovom skupu. Ako je , tada je funkcija strogo rastuća; ako je , tada funkcija ne opada; ako , tada strogo opada; ako , tada se ne povećava.

Ako je na nekom skupu funkcija pozitivna: , tada se za određivanje monotonosti može ispitati kvocijent dijeljenja njezinih vrijednosti na dvije proizvoljne točke tog skupa. Ako je , tada je funkcija strogo rastuća; ako je , tada funkcija ne opada; ako , tada strogo opada; ako , tada se ne povećava.

Teorema
Neka funkcija f (x) ne smanjuje se tijekom intervala (a,b), gdje .
Ako je odozgo omeđen brojem M : , tada postoji konačna lijeva granica u točki b : . Ako je f (x) nije ograničeno iznad, tada .
Ako je f (x) je odozdo omeđen brojem m : , tada postoji konačna desna granica u točki a : . Ako je f (x) nije ograničeno ispod, tada .

Ako su točke a i b u beskonačnosti, onda u izrazima granični znakovi znače da .
Ovaj se teorem može formulirati i kompaktnije.

Neka funkcija f (x) ne smanjuje se tijekom intervala (a,b), gdje . Zatim postoje jednostrane granice u točkama a i b:
;
.

Sličan teorem za nerastuću funkciju.

Neka funkcija ne raste na intervalu , gdje je . Zatim postoje jednostrana ograničenja:
;
.

Posljedica
Neka je funkcija monotona na intervalu . Tada u bilo kojoj točki iz tog intervala postoje jednostrani konačni limiti funkcije:
i .

Dokaz teorema

Funkcija se ne smanjuje

b - konačni broj

Funkcija ograničena odozgo

1.1.1. Neka je funkcija odozgo omeđena brojem M : za .

.
;
.

Kako funkcija ne opada, tada za . Zatim
u .
Transformirajmo posljednju nejednakost:
;
;
.
Jer dakle . Zatim
u .

u .
"Definicije jednostranih limesa funkcije u konačnoj točki").

Funkcija nije ograničena odozgo

1. Neka funkcija ne opada na intervalu .
1.1. Neka je broj b konačan: .
1.1.2. Neka je funkcija neomeđena odozgo.
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

.

u .

Označimo . Tada za bilo koji postoji , tako da
u .
To znači da je granica s lijeve strane u točki b (vidi "Definicije jednostranih beskonačnih granica funkcije u krajnjoj točki").

b rano plus beskonačno

Funkcija ograničena odozgo

1. Neka funkcija ne opada na intervalu .
1.2.1. Neka je funkcija odozgo omeđena brojem M : za .
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

Budući da je funkcija ograničena odozgo, postoji konačna gornja granica
.
Prema definiciji najmanje gornje granice, zadovoljeni su sljedeći uvjeti:
;
za svaki pozitivan postoji argument za koji
.

Kako funkcija ne opada, tada za . Zatim u . Ili
u .

Tako smo pronašli da za bilo koji postoji broj , tako da
u .
"Definicije jednostranih granica u beskonačnosti").

Funkcija nije ograničena odozgo

1. Neka funkcija ne opada na intervalu .
1.2. Neka je broj b plus beskonačno: .
1.2.2. Neka je funkcija neomeđena odozgo.
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

Budući da funkcija nije ograničena odozgo, tada za svaki broj M postoji argument , za koji
.

Kako funkcija ne opada, tada za . Zatim u .

Dakle, za bilo koji postoji broj , tako da
u .
To znači da je granica na (pogledajte "Definicije jednostranih beskonačnih granica na beskonačnosti").

Funkcija se ne povećava

Sada razmotrite slučaj kada funkcija ne raste. Možete, kao i gore, razmotriti svaku opciju zasebno. Ali odmah ćemo ih obraditi. Za ovo koristimo. Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

Razmotrimo konačnu donju granicu skupa vrijednosti funkcije:
.
Ovdje B može biti ili konačan broj ili točka u beskonačnosti. Prema definiciji točnog infimuma, zadovoljeni su sljedeći uvjeti:
;
za bilo koju okolinu točke B postoji argument za koji
.
Prema uvjetu teorema, . Zato .

Kako funkcija ne raste, tada za . Jer, dakle
u .
Ili
u .
Nadalje, napominjemo da nejednakost definira lijevu punktiranu okolicu točke b .

Dakle, pronašli smo da za bilo koju okolinu točke , postoji takva probušena lijeva okolina točke b da
u .
To znači da je granica s lijeve strane u točki b:

(vidi univerzalnu definiciju limita funkcije po Cauchyju).

Granica u točki a

Pokažimo sada da postoji limit u točki a i pronađimo njegovu vrijednost.

Razmotrimo funkciju. Prema uvjetu teorema, funkcija je monotona za . Zamijenimo varijablu x s ​​- x (ili napravimo zamjenu i zatim zamijenimo varijablu t s x ). Tada je funkcija monotona za . Množenjem nejednakosti sa -1 i mijenjajući njihov redoslijed, zaključujemo da je funkcija monotona za .

Na sličan način, lako je pokazati da ako se ne smanjuje, onda se ne povećava. Zatim, prema onome što je gore dokazano, postoji granica
.
Ako se ne povećava, onda se ne smanjuje. U ovom slučaju postoji ograničenje
.

Sada ostaje pokazati da ako postoji limit funkcije na , onda postoji limit funkcije na , a te granice su jednake:
.

Uvedimo oznaku:
(1) .
Izrazimo f kroz g:
.
Uzmi proizvoljan pozitivan broj. Neka postoji epsilon okolina točke A . Epsilon susjedstvo definirano je i za konačne i za beskonačne vrijednosti A (vidi "Susjedstvo točke"). Budući da postoji limit (1), onda, prema definiciji limita, za bilo koji postoji takav da
u .

Neka je a konačan broj. Izrazimo lijevu punktiranu okolicu točke -a pomoću nejednakosti:
u .
Zamijenimo x sa -x i uzmimo u obzir da:
u .
Posljednje dvije nejednakosti definiraju punktiranu desnu okolinu točke a . Zatim
u .

Neka je a beskonačan broj, . Ponavljamo raspravu.
u ;
u ;
u ;
u .

Dakle, otkrili smo da za bilo koji postoji takav da
u .
To znači da
.

Teorem je dokazan.

Funkciju y=f(x) ćemo nazvati GORE OGRANIČENOM (DOLJE) na skupu A iz domene D(f), ako postoji takav broj M , da za bilo koji x iz ovog postavimo uvjet

Koristeći logičke simbole, definicija se može napisati kao:

f(x) – omeđen odozgo na setu

(f(x) – omeđen odozdo na setu

Također se uvode u razmatranje funkcije ograničene u apsolutnoj vrijednosti ili jednostavno ograničene.

Nazvati ćemo funkciju OGRANIČENOM na skupu A iz domene definicije ako postoji pozitivan broj M takav da

Jezikom logičkih simbola

f(x) – ograničen na setu

Funkcija koja nije ograničena naziva se neograničena. Znamo da definicije dane negacijom imaju malo sadržaja. Da bismo ovu tvrdnju formulirali kao definiciju, koristimo se svojstvima kvantifikatorskih operacija (3.6) i (3.7). Tada će poricanje ograničenosti funkcije u jeziku logičkih simbola dati:

f(x) – ograničen na setu

Dobiveni rezultat omogućuje nam da formuliramo sljedeću definiciju.

Funkcija se naziva NEOGRANIČENOM na skupu A, koji pripada domeni funkcije, ako na tom skupu za bilo koji pozitivan broj M postoji takva vrijednost argumenta x , da će vrijednost i dalje premašivati ​​vrijednost M, odnosno .

Kao primjer, razmotrite funkciju

Definirana je na cijeloj realnoj osi. Ako uzmemo segment [–2;1] (skup A), tada će na njemu biti omeđen i odozgo i odozdo.

Doista, da bismo pokazali da je ograničen odozgo, moramo razmotriti predikat

i pokažite da postoji (postoji) M takav da će za sve x uzeto na segmentu [–2;1] to vrijediti

Takvog M nije teško naći. Možemo pretpostaviti da je M = 7, kvantifikator postojanja podrazumijeva pronalaženje barem jedne vrijednosti M. Prisutnost takvog M potvrđuje činjenicu da je funkcija na segmentu [–2;1] ograničena odozgo.

Da bismo dokazali njegovu ograničenost odozdo, moramo razmotriti predikat

Vrijednost M, koja osigurava istinitost ovog predikata, je, na primjer, M = -100.

Može se dokazati da će funkcija biti ograničena i modulo: za sve x iz segmenta [–2;1], vrijednosti funkcije se podudaraju s vrijednostima , stoga kao M možemo uzeti , na primjer, prethodna vrijednost M = 7.

Pokažimo da će ista funkcija, ali na intervalu , biti neograničena, tj.

Da bismo pokazali da takav x postoji, razmotrimo izjavu

Tražeći tražene vrijednosti x među pozitivnim vrijednostima argumenta, dobivamo

To znači da bez obzira koliko pozitivno M uzmemo, vrijednosti x osiguravaju ispunjenje nejednakosti

dobivaju se iz omjera.

Promatrajući funkciju na cijeloj realnoj osi, može se pokazati da je neograničena u apsolutnoj vrijednosti.

Doista, iz nejednakosti

To jest, bez obzira koliko je velik pozitivan M, ili će osigurati ispunjenje nejednakosti.

EKSTREMNA FUNKCIONALNOST.

Funkcija ima u točki S lokalni maksimum (minimum) ako postoji takva okolina ove točke da za x¹ S ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost

posebno da točka ekstrema može biti samo unutarnja točka raskoraka, a f(x) mora biti definirana u njoj. Mogući slučajevi nepostojanja ekstremuma prikazani su na sl. 8.8.

Ako funkcija raste (opada) na nekom intervalu i opada (raste) na nekom intervalu, tada je točka S je lokalna maksimalna (minimalna) točka.

Nepostojanje maksimuma funkcije f(x) u točki S može se formulirati ovako:

_______________________

f(x) ima maksimum u c

To znači da ako točka c nije lokalna maksimalna točka, tada bez obzira na okolinu koja uključuje točku c kao unutarnju, postoji barem jedna vrijednost x koja nije jednaka c, za koju . Dakle, ako nema maksimuma u točki c, tada možda uopće ne postoji ekstrem u ovoj točki ili to može biti točka minimuma (slika 8.9).

Koncept ekstrema daje usporednu procjenu vrijednosti funkcije u bilo kojoj točki u odnosu na obližnje. Slična usporedba vrijednosti funkcije može se napraviti za sve točke nekog intervala.

NAJVEĆA (MINIMALNA) vrijednost funkcije na skupu je njezina vrijednost u točki iz tog skupa takva da je – za . Najveću vrijednost funkcija postiže u unutarnjoj točki segmenta , a najmanju – na njegovom lijevom kraju.

Za određivanje najveće (najmanje) vrijednosti funkcije zadane na segmentu, potrebno je odabrati najveći (najmanji) broj između svih vrijednosti njezinih maksimuma (minimuma), kao i vrijednosti uzetih na krajevi intervala. To će biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije. Ovo pravilo će biti specificirano kasnije.

Problem pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na otvorenom intervalu nije uvijek lako riješiti. Na primjer, funkcija

u intervalu (sl. 8.11) ih nema.

Uvjerimo se, na primjer, da ova funkcija nema najveću vrijednost. Doista, s obzirom na monotonost funkcije , može se tvrditi da bez obzira koliko blizu vrijednosti x postavili lijevo od jedinice, postojat će drugi x u kojima će vrijednosti funkcije biti veće od njegove vrijednosti u zadanim fiksnim točkama, ali ipak manje od jedinice.