Definicija. Ako se svakom prirodnom broju n pridruži broj xn, tada kažemo da je zadan niz

x1, x2, …, xn = (xn)

Zajednički element niza je funkcija od n.

Stoga se niz može promatrati kao funkcija.

Niz možete odrediti na razne načine - glavno je da je naznačena metoda za dobivanje bilo kojeg člana niza.

Primjer. (xn) = ((-1)n) ili (xn) = -1; jedan; -jedan; jedan; …

(xn) = (sinn/2) ili (xn) = 1; 0; jedan; 0; …

Možete definirati sljedeće operacije za nizove:

Množenje niza brojem m: m(xn) = (mxn), tj. mx1, mx2, …

Zbrajanje (oduzimanje) nizova: (xn) (yn) = (xn yn).

Umnožak nizova: (xn)(yn) = (xnyn).

Kvocijent nizova: at (yn) 0.

Omeđeni i neomeđeni nizovi.

Definicija. Niz (xn) se naziva ograničenim ako postoji broj M>0 takav da za bilo koji n vrijedi nejednakost:

oni. svi članovi niza pripadaju intervalu (-M; M).

Definicija. Za niz (xn) se kaže da je ograničen odozgo ako za bilo koji n postoji broj M takav da je xn M.

Definicija. Za niz (xn) se kaže da je ograničen odozdo ako za bilo koji n postoji broj M takav da je xn M

Primjer. (xn) = n - ograničeno odozdo (1, 2, 3, …).

Definicija. Broj a naziva se limesom niza (xn) ako za bilo koji pozitivni >0 postoji takav broj N da je za sve n > N zadovoljen uvjet: Ovo piše: lim xn = a.

U ovom slučaju se kaže da niz (xn) konvergira u a za n.

Svojstvo: Ako odbacimo bilo koji broj članova niza, dobivaju se novi nizovi, a ako jedan od njih konvergira, onda i drugi konvergira.

Primjer. Dokažite da je limit niza lim .

Neka vrijedi za n > N, tj. . Ovo vrijedi za , pa ako se N uzme kao cijeli broj od , tada je gornja izjava točna.

Primjer. Pokažite da je za n niz 3, ima granicu 2.

Ukupno: (xn)= 2 + 1/n; 1/n = xn - 2

Očigledno postoji broj n takav da, tj. lim (xn) = 2.

Teorema. Niz ne može imati više od jednog ograničenja.

Dokaz. Pretpostavimo da niz (xn) ima dva limita a i b koji nisu međusobno jednaki.

xn a; xnb; a b.

Tada po definiciji postoji broj >0 takav da je

Ako je neka funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva N, tada se takva funkcija naziva beskonačni brojčani niz. Obično se numerički niz označava kao (Xn), gdje n pripada skupu prirodnih brojeva N.

Numerički niz može se dati formulom. Na primjer, Xn=1/(2*n). Dakle, svakom prirodnom broju n pridružujemo neki određeni element niza (Xn).

Ako sada uzastopno uzmemo n jednako 1,2,3, …., dobit ćemo niz (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Vrste sekvenci

Niz može biti ograničen ili neograničen, rastući ili opadajući.

Niz (Xn) poziva ograničeno ako postoje dva broja m i M takva da za svaki n koji pripada skupu prirodnih brojeva vrijedi jednakost m<=Xn

Sekvenca (Xn), nije ograničeno, naziva se neograničen niz.

povećavajući se ako za sve prirodne brojeve n vrijedi jednakost: X(n+1) > Xn. Drugim riječima, svaki član niza, počevši od drugog, mora biti veći od prethodnog člana.

Niz (Xn) se zove opadanje, ako za sve pozitivne cijele brojeve n vrijedi sljedeća jednakost X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Primjer niza

Provjerimo jesu li nizovi 1/n i (n-1)/n opadajući.

Ako je niz opadajući, tada je X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Dakle, niz (n-1)/n je povećavajući se.

3. Ograničenje niza brojeva

3.1. Pojam numeričkog niza i funkcija prirodnog argumenta

Definicija 3.1. Numerički niz (u daljnjem tekstu samo niz) je uređen prebrojiv skup brojeva

{x1, x2, x3, ... }.

Obratite pozornost na dvije točke.

1. U nizu ima beskonačno mnogo brojeva. Ako postoji konačan broj brojeva, to nije niz!

2. Svi brojevi su posloženi, odnosno poredani određenim redoslijedom.

U nastavku ćemo često koristiti kraticu za niz ( xn}.

Na sekvencama se mogu izvoditi određene operacije. Razmotrimo neke od njih.

1. Množenje niza brojem.

Naknadna slijed c×{ xn) je niz s elementima ( c× xn), to je

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Zbrajanje i oduzimanje nizova.

{xn}±{ god}={xn± god},

ili detaljnije,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Množenje nizova.

{xn}×{ god}={xn× god}.

4. Podjela nizova.

{xn}/{god}={xn/yn}.

Naravno, pretpostavlja se da su u ovom slučaju svi god¹ 0.

Definicija 3.2. Podslijed ( xn) naziva se ograničenim odozgo ako https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Niz (xn) se naziva ograničenim ako je ograničen i gore i ispod.

3.2. Ograničenje niza. Beskonačno veliki niz

Definicija 3.3. Broj a naziva se granica niza ( xn) na n teži beskonačnosti, ako

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> ako .

Kažu da ako .

Definicija 3.4. Podslijed ( xn) naziva se beskonačno velikim if (tj. ako ).

3.3. Infinitezimalni niz.

Definicija 3.5. Niz (xn) nazivamo infinitezimalnim ako , odnosno ako .

Infinitezimalni nizovi imaju sljedeća svojstva.

1. Zbroj i razlika infinitezimalnih nizova također je infinitezimalni niz.

2. Infinitezimalni niz je ograničen.

3. Umnožak infinitezimalnog niza i ograničenog niza je infinitezimalni niz.

4. Ako ( xn) je beskonačno velik niz, tada počevši od neke N, niz (1/ xn), a to je infinitezimalni niz. Nasuprot tome, ako ( xn) je infinitezimalni niz i sve xn različiti od nule, tada (1/ xn) je beskonačno velik niz.

3.4. konvergentni nizovi.

Definicija 3.6. Ako postoji krajnje ograničenje https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Ako , onda .

3.5. Limesni prijelaz u nejednadžbama.

Teorem 3.1. Ako, polazeći od nekih N, svi xn ³ b, zatim .

Posljedica. Ako, polazeći od nekih N, svi xn ³ god, onda .

Komentar. Imajte na umu da ako, počevši od nekih N, svi xn > b, tada , odnosno pri limesnom prijelazu stroga nejednadžba može postati nestroga.

Teorem 3.2.("Teorem dva policajca") Ako se polazeći od nekih N vrijede sljedeća svojstva

1..gif" width="163" height="33 src=">,

tada postoji.

3.6. Granica monotonog niza.

Definicija 3.7. Podslijed ( xn) nazivamo monotono rastućim ako za bilo koji n xn+1 ³ xn.

Podslijed ( xn) naziva se strogo monotono rastući ako za bilo koji n xn+1> xn.

xn­.

Definicija 3.8. Podslijed ( xn) nazivamo monotono opadajućom ako za bilo koji n xn+1 £ xn.

Podslijed ( xn) naziva se strogo monotono opadajućom ako za bilo koji n xn+1< xn.

Oba ova slučaja kombiniraju se sa simbolom xn¯.

Teorem o postojanju limesa monotonog niza.

1. Ako niz ( xn) je monotono rastuća (opadajuća) i ograničena odozgo (odozdo), tada ima konačnu granicu jednaku sup( xn) (inf( xn}).

2 Ako niz ( xn) monotono raste (opada), ali nije ograničen odozgo (odozdo), tada ima granicu jednaku +¥ (-¥).

Na temelju ovog teorema dokazuje se da postoji tzv. izvanredna granica

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. To se zove podslijed niza ( xn}.

Teorem 3.3. Ako niz ( xn) konvergira i njegova granica je a, tada bilo koji od njegovih podnizova također konvergira i ima isti limit.

Ako ( xn) beskonačno velik niz, tada je svaki njegov podniz također beskonačno velik.

Bolzano-Weierstrassova lema.

1. Iz bilo kojeg ograničenog niza može se izdvojiti podniz koji konvergira do konačnog limita.

2. Iz svakog neograničenog niza može se izdvojiti beskonačno velik podniz.

Na temelju ove leme dokazuje se jedan od glavnih rezultata teorije limita - Bolzano-Cauchyjev kriterij konvergencije.

Da bi slijed ( xn) postojala konačna granica, potrebno je i dovoljno da

Niz koji zadovoljava ovo svojstvo naziva se fundamentalni niz ili niz koji konvergira u sebi.

Uvod……………………………………………………………………………………3

1.Teorijski dio…………………………………………………………………….4

Osnovni pojmovi i termini………………………………………………………..4

1.1 Vrste sekvenci……………………………………………………...6

1.1.1. Ograničeni i neograničeni nizovi brojeva…..6

1.1.2. Monotonost sekvenci………………………………………6

1.1.3.Infinitezimalni i infinitezimalni nizovi…….7

1.1.4 Svojstva infinitezimalnih nizova…………………8

1.1.5 Konvergentni i divergentni nizovi i njihova svojstva..…9

1.2 Ograničenje niza…………………………………………………….11

1.2.1.Teoremi o granicama nizova…………………………………………………………………15

1.3. Aritmetička progresija……………………………………………………………17

1.3.1. Svojstva aritmetičke progresije……………………………………..17

1.4 Geometrijska progresija………………………………………………………..19

1.4.1. Svojstva geometrijske progresije……………………………………….19

1.5. Fibonaccijevi brojevi…………………………………………………………………..21

1.5.1 Povezanost Fibonaccijevih brojeva s drugim područjima znanja…………………….22

1.5.2. Korištenje niza Fibonaccijevih brojeva za opisivanje žive i nežive prirode………………………………………………………………………………….23

2. Vlastita istraživanja…………………………………………………….28

Zaključak…………………………………………………………………………….30

Popis korištene literature……………………………………………....31

Uvod.

Brojčani nizovi vrlo su zanimljiva i informativna tema. Ova tema se nalazi u zadacima povećana složenost studentima nude autori didaktičkim materijalima, u zadacima matematičke olimpijade, prijemni ispiti do Višeg Obrazovne ustanove i na ispitu. Zanima me povezanost matematičkih nizova s ​​drugim područjima znanja.

Cilj istraživački rad: Proširiti znanje o nizu brojeva.

1. Razmotrite slijed;

2. Razmotrite njegova svojstva;

3. Razmotriti analitički zadatak niza;

4. Pokazati njegovu ulogu u razvoju drugih područja znanja.

5. Demonstrirati korištenje niza Fibonaccijevih brojeva za opisivanje žive i nežive prirode.

1. Teorijski dio.

Osnovni pojmovi i pojmovi.

Definicija. Numerički niz je funkcija oblika y = f(x), x O N, gdje je N skup prirodnih brojeva (ili funkcija prirodnog argumenta), označena y = f(n) ili y1, y2, …, da,…. Vrijednosti y1, y2, y3,… nazivaju se redom prvi, drugi, treći, … članovi niza.

Broj a naziva se granica niza x \u003d ( x n ), ako je za proizvoljno unaprijed određeno proizvoljno malo pozitivan brojε prirodni broj N takav da za sve n>N vrijedi nejednakost |x n - a|< ε.

Ako je broj a granica niza x \u003d (x n), onda kažu da x n teži a, i pišu

.

Niz (yn) se naziva rastućim ako je svaki njegov član (osim prvog) veći od prethodnog:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Niz (yn) se naziva padajućim ako je svaki njegov član (osim prvog) manji od prethodnog:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Rastući i padajući nizovi objedinjeni su zajedničkim pojmom - monotoni nizovi.

Niz se naziva periodičnim ako postoji prirodan broj T takav da, polazeći od nekog n, vrijedi jednakost yn = yn+T. Broj T nazivamo duljinom perioda.

Aritmetička progresija je niz (an) u kojem svaki član, počevši od drugog, jednak je zbroju prethodnog člana i istog broja d naziva se aritmetička progresija, a broj d razlika aritmetičke progresije.

Na ovaj način, aritmetička progresija je numerički niz (an) zadan rekurzivno relacijama

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Geometrijska progresija je niz u kojem su svi članovi različiti od nule i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobiva iz prethodnog člana množenjem s istim brojem q.

Dakle, geometrijska progresija je numerički niz (bn) zadan rekurzivno relacijama

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Vrste sekvenci.

1.1.1 Omeđeni i neomeđeni nizovi.

Za niz (bn) se kaže da je ograničen odozgo ako postoji broj M takav da je za bilo koji broj n zadovoljena nejednakost bn≤ M;

Za niz (bn) se kaže da je ograničen odozdo ako postoji broj M takav da je za bilo koji broj n zadovoljena nejednakost bn≥ M;

Na primjer:

1.1.2 Monotonost nizova.

Niz (bn) nazivamo nerastućim (neopadajućim) ako za bilo koji broj n vrijedi nejednakost bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Niz (bn) nazivamo opadajućim (rastućim) ako za bilo koji broj n vrijedi nejednakost bn > bn+1 (bn

Opadajući i rastući nizovi nazivaju se strogo monotoni, nerastući - monotoni u širem smislu.

Nizovi omeđeni i gore i dole nazivaju se ograničeni.

Niz svih ovih tipova naziva se monoton.

1.1.3 Beskonačno veliki i mali nizovi.

Infinitezimalni niz je numerička funkcija ili niz koji teži nuli.

Niz an naziva se infinitezimalnim if

Funkcija se naziva infinitezimalnom u okolini točke x0 ako je ℓimx→x0 f(x)=0.

Funkcija se naziva infinitezimalnom u beskonačnosti ako je ℓimx→.+∞ f(x)=0 ili ℓimx→-∞ f(x)=0

Također infinitezimalna je funkcija koja je razlika između funkcije i njezine granice, to jest, ako je ℓimx→.+∞ f(x)=a, tada je f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

Beskonačno veliki niz je numerička funkcija ili niz koji teži beskonačnosti.

Niz an nazivamo beskonačno velikim if

ℓimn→0 an=∞.

Funkcija se naziva beskonačnom u okolini točke x0 ako je ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Za funkciju se kaže da je beskonačno velika u beskonačnosti ako

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ili ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Svojstva infinitezimalnih nizova.

Zbroj dva infinitezimalna niza sam je također infinitezimalni niz.

Razlika dva infinitezimalna niza sama je također infinitezimalni niz.

Algebarski zbroj bilo kojeg konačnog broja infinitezimalnih nizova sam je također infinitezimalni niz.

Umnožak ograničenog niza i infinitezimalnog niza je infinitezimalni niz.

Umnožak bilo kojeg konačnog broja infinitezimalnih nizova je infinitezimalni niz.

Svaki infinitezimalni niz je ograničen.

Ako je stacionarni niz beskonačno malen, tada su svi njegovi elementi, počevši od nekih, jednaki nuli.

Ako se cijeli infinitezimalni niz sastoji od istih elemenata, onda su ti elementi nule.

Ako je (xn) beskonačno velik niz koji ne sadrži nulte članove, tada postoji niz (1/xn) koji je infinitezimalan. Međutim, ako (xn) sadrži nula elemenata, tada se niz (1/xn) još uvijek može definirati počevši od nekog broja n, i još uvijek će biti infinitezimalan.

Ako je (an) infinitezimalni niz koji ne sadrži nulte članove, tada postoji niz (1/an) koji je beskonačno velik. Međutim, ako (an) sadrži nula elemenata, tada se niz (1/an) još uvijek može definirati počevši od nekog broja n, i još uvijek će biti beskonačno velik.

1.1.5 Konvergentni i divergentni nizovi i njihova svojstva.

Konvergentni niz je niz elemenata skupa X koji ima limit u tom skupu.

Divergentni niz je niz koji nije konvergentan.

Svaki infinitezimalni niz je konvergentan. Njegova granica je nula.

Uklanjanje bilo kojeg konačnog broja elemenata iz beskonačnog niza ne utječe niti na konvergenciju niti na limit tog niza.

Svaki konvergentni niz je ograničen. Međutim, ne konvergira svaki ograničeni niz.

Ako niz (xn) konvergira, ali nije beskonačno malen, tada se, polazeći od nekog broja, definira niz (1/xn), koji je ograničen.

Zbroj konvergentnih nizova također je konvergentan niz.

Razlika konvergentnih nizova također je konvergentan niz.

Produkt konvergentnih nizova također je konvergentan niz.

Kvocijent dvaju konvergentnih nizova definira se počevši od nekog elementa, osim ako je drugi niz infinitezimalan. Ako je definiran kvocijent dvaju konvergentnih nizova, onda je to konvergentan niz.

Ako je konvergentni niz ograničen ispod, tada nijedna njegova donja granica ne prelazi njegovu granicu.

Ako je konvergentni niz ograničen odozgo, tada njegova granica ne prelazi nijednu od njegovih gornjih granica.

Ako za bilo koji broj članovi jednog konvergentnog niza ne prelaze članove drugog konvergentnog niza, tada limit prvog niza također ne prelazi limit drugog.