Osnovni brojevi praznina. Brojevne odsječke, intervale, poluintervale i zrake nazivamo brojevnim intervalima. Otvorena i zatvorena greda

B) Brojevna crta

Razmotrimo brojevnu liniju (slika 6):

Razmotrimo skup racionalnih brojeva

Svaki racionalni broj predstavljen je nekom točkom na brojevnom pravcu. Dakle, brojevi su označeni na slici.

Dokažimo to.

Dokaz. Neka je razlomak : . Imamo pravo ovaj razlomak smatrati nesvodivim. Budući da je , tada je - broj paran: - neparan. Zamjenom izraza umjesto njega nalazimo: , odakle slijedi da je paran broj. Dobili smo kontradikciju, koja dokazuje tvrdnju.

Dakle, ne predstavljaju sve točke brojevne osi racionalne brojeve. One točke koje ne predstavljaju racionalne brojeve predstavljaju pozivne brojeve iracionalan.

Bilo koji broj oblika , , je ili cijeli ili iracionalan.

Numerički rasponi

Brojevne odsječke, intervale, poluintervale i zrake nazivamo brojevnim intervalima.

Nejednakost koja definira numerički jaz Notacija praznine brojeva Naziv raspona brojeva Ona glasi ovako:
a ≤ x ≤ b [a; b] Numerički segment Segment od a do b
a< x < b (a; b) Interval Interval od a do b
a ≤ x< b [a; b) Pola intervala Pola intervala od a prije b, uključujući a.
a< x ≤ b (a; b] Pola intervala Pola intervala od a prije b, uključujući b.
x ≥ a [a; +∞) brojna greda Broj zraka od a do plus beskonačno
x > a (a; +∞) Otvoreni snop brojeva Otvorite snop brojeva od a do plus beskonačno
x ≤ a (-∞; a] brojna greda Brojevna zraka od minus beskonačnosti do a
x< a (-∞; a) Otvoreni snop brojeva Otvorena brojčana zraka od minus beskonačnosti do a

Predstavimo brojeve na koordinatnoj liniji a i b, kao i broj x između njih.

Skup svih brojeva koji ispunjavaju uvjet a ≤ x ≤ b, Zove se numerički segment ili samo rez. Označava se ovako: a; b]-Ovako glasi: segment od a do b.

Skup brojeva koji zadovoljavaju uvjet a< x < b , Zove se interval. Označava se ovako: a; b)

Ona glasi ovako: interval od a do b.



Skupovi brojeva koji zadovoljavaju uvjete a ≤ x< b или a<x ≤ b, se zovu poluintervalima. Oznake:

Postavite a ≤ x< b обозначается так:[a; b), čita se ovako: polurazmak od a prije b, uključujući a.

Mnogo a<x ≤ b označeno ovako: a; b], glasi ovako: polurazmak od a prije b, uključujući b.

Sada zamislite Zraka s točkom a, s desne i lijeve strane nalazi se niz brojeva.

a, zadovoljavajući uvjet x ≥ a, Zove se brojna greda.

Označava se ovako: a; +∞) - Čita se ovako: brojčana greda od a do plus beskonačno.

Mnogo brojeva desno od točke a koji odgovara nejednakosti x > a, Zove se otvorena brojna greda.

Označava se ovako: a; +∞) - Čita se ovako: otvorena brojčana greda od a do plus beskonačno.

a, zadovoljavajući uvjet x ≤ a, Zove se brojevni pravac od minus beskonačnosti doa .

Označeno je ovako: -∞; a]-Ovako glasi: brojčana zraka od minus beskonačnosti do a.

Skup brojeva lijevo od točke a koji odgovara nejednakosti x< a , Zove se otvoreni numerički snop od minus beskonačnosti doa .

Označava se ovako: -∞; a) - Čita se ovako: otvorena brojčana zraka od minus beskonačnosti do a.

Skup realnih brojeva prikazuje se cijelom koordinatnom crtom. On je pozvan brojevni pravac. Označeno je ovako: - ∞; + ∞ )

3) Linearne jednadžbe i nejednadžbe s jednom varijablom, njihova rješenja:

Jednadžba koja sadrži varijablu naziva se jednadžba s jednom varijablom ili jednadžba s jednom nepoznanicom. Na primjer, jednadžba s jednom varijablom je 3(2x+7)=4x-1.

Korijen ili rješenje jednadžbe je vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava numerička jednakost. Na primjer, broj 1 je rješenje jednadžbe 2x+5=8x-1. Jednadžba x2+1=0 nema rješenja, jer lijeva strana jednadžbe uvijek je veća od nule. Jednadžba (x+3)(x-4)=0 ima dva korijena: x1= -3, x2=4.

Rješavanje jednadžbe znači pronaći sve njezine korijene ili dokazati da korijena nema.

Jednadžbe se nazivaju ekvivalentnim ako su svi korijeni prve jednadžbe korijeni druge jednadžbe i obrnuto, svi korijeni druge jednadžbe su korijeni prve jednadžbe ili ako obje jednadžbe nemaju korijena. Na primjer, jednadžbe x-8=2 i x+10=20 su ekvivalentne, jer korijen prve jednadžbe x=10 je također korijen druge jednadžbe, a obje jednadžbe imaju isti korijen.

Pri rješavanju jednadžbi koriste se sljedeća svojstva:

Ako u jednadžbi prenesemo član iz jednog dijela u drugi mijenjajući mu predznak, tada ćemo dobiti jednadžbu ekvivalentnu zadanoj.

Ako se obje strane jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, tada se dobije jednadžba koja je ekvivalentna danoj.

Jednadžba ax=b, gdje je x varijabla, a a i b neki brojevi, naziva se linearna jednadžba s jednom varijablom.

Ako je a¹0, tada jednadžba ima jedinstveno rješenje.

Ako je a=0, b=0, tada svaka vrijednost x zadovoljava jednadžbu.

Ako je a=0, b¹0, onda jednadžba nema rješenja, jer 0x=b se ne izvršava ni za jednu vrijednost varijable.
Primjer 1. Riješite jednadžbu: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Otvorimo zagrade u oba dijela jednadžbe, premjestimo sve članove s x na lijevu stranu jednadžbe, a članove koji ne sadrže x na desnu stranu, dobivamo:

16x-15x=88-40-12

Primjer 2. Riješite jednadžbe:

x3-2x2-98x+18=0;

Ove jednadžbe nisu linearne, ali ćemo pokazati kako se takve jednadžbe mogu riješiti.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Umnožak je jednak nuli, ako je jedan od faktora jednak nuli, dobivamo x1=0; x2= .

Odgovor: 0; .

Rastavljanje lijeve strane jednadžbe na faktore:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), tj. (x-2)(x-3)(x+3)=0. To pokazuje da su rješenja ove jednadžbe brojevi x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Predstavimo 7x kao 3x+4x, tada imamo: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4) = 0, dakle x1=-3, x2=-4.

Odgovor: -3; - četiri.
Primjer 3. Riješite jednadžbu: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Prisjetimo se definicije modula broja:

Na primjer: ½3½=3, ½0½=0, ½-4½= 4.

U ovoj jednadžbi ispod znaka modula stoje brojevi x-1 i x + 1. Ako je x manji od -1, tada je x+1 negativan, tada je ½x+1½=-x-1. A ako je x>-1, tada je ½x+1½=x+1. Za x=-1 ½x+1½=0.

Na ovaj način,

Na sličan način

a) Razmotrite ovu jednadžbu½x+1½+½x-1½=3 za x£-1, ona je ekvivalentna jednadžbi -x-1-x+1=3, -2x=3, x= , ovaj broj pripada skupu x£-1.

b) Neka je -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Razmotrimo slučaj x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Ovaj broj pripada skupu x>1.

Odgovor: x1=-1,5; x2=1,5.
Primjer 4. Riješite jednadžbu:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Pokažimo kratki zapis rješenja jednadžbe, proširujući predznak modula "po intervalima".

x £-2, -(x + 2) -3x \u003d -2 (x-1), - 4x \u003d 4, x \u003d -2O (-¥; -2)

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2W(1; +¥)

Odgovor: [-2; 0]
Primjer 5. Riješite jednadžbu: (a-1) (a + 1) x \u003d (a-1) (a + 2), za sve vrijednosti parametra a.

Ova jednadžba zapravo ima dvije varijable, ali smatra da je x nepoznanica, a a parametar. Za bilo koju vrijednost parametra a potrebno je riješiti jednadžbu s obzirom na varijablu x.

Ako je a=1, onda jednadžba ima oblik 0×x=0, bilo koji broj zadovoljava ovu jednadžbu.

Ako je a \u003d -1, tada jednadžba ima oblik 0 × x \u003d -2, ova jednadžba ne zadovoljava niti jedan broj.

Ako je a¹1, a¹-1, tada jednadžba ima jedinstveno rješenje.

Odgovor: ako je a=1, onda je x bilo koji broj;

ako je a=-1, onda nema rješenja;

ako je a¹±1, tada .

B) Linearne nejednadžbe s jednom varijablom.

Ako varijabli x damo neku numeričku vrijednost, tada dobivamo numeričku nejednakost koja izražava ili točnu ili netočnu tvrdnju. Neka je, na primjer, dana nejednakost 5x-1>3x+2. Uz x=2 dobivamo 5 2-1> 3 2+2 - istinita tvrdnja (istinita numerička tvrdnja); za x=0 dobivamo 5·0-1>3·0+2 – pogrešna tvrdnja. Svaka vrijednost varijable za koju se zadana nejednadžba s varijablom pretvara u pravu numeričku nejednadžbu naziva se rješenjem nejednadžbe. Rješavanje nejednadžbe s varijablom znači pronalaženje skupa svih njezinih rješenja.

Dvije nejednadžbe s jednom varijablom x nazivaju se ekvivalentnima ako su skupovi rješenja tih nejednadžbi isti.

Glavna ideja rješavanja nejednadžbe je sljedeća: zadanu nejednadžbu zamijenimo drugom, jednostavnijom, ali ekvivalentnom zadanoj; nastala nejednadžba ponovno se zamjenjuje jednostavnijom ekvivalentnom nejednadžbom i tako dalje.

Takve se zamjene provode na temelju sljedećih tvrdnji.

Teorem 1. Ako se bilo koji član nejednadžbe s jednom varijablom prenese iz jednog dijela nejednadžbe u drugi sa suprotnim predznakom, a da se predznak nejednadžbe ne promijeni, tada će se dobiti nejednadžba ekvivalentna zadanoj.

Teorem 2. Ako se oba dijela nejednadžbe s jednom varijablom pomnože ili podijele istim pozitivnim brojem, a da se predznak nejednadžbe ne promijeni, dobit će se nejednadžba ekvivalentna zadanoj.

Teorem 3. Ako se oba dijela nejednadžbe s jednom varijablom pomnože ili podijele istom negativan broj, mijenjajući predznak nejednakosti u suprotan, tada dobivamo nejednadžbu ekvivalentnu zadanoj.

Nejednadžba oblika ax+b>0 (odnosno ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Primjer 1. Riješite nejednadžbu: 2(x-3) + 5(1-x)³3(2x-5).

Otvaranjem zagrada dobivamo 2x-6 + 5-5x³6x-15,


Među skupovima brojeva, tj postavlja, čiji su objekti brojevi, razlikuju tzv brojčane praznine. Njihova vrijednost je u tome što je vrlo lako zamisliti skup koji odgovara određenom numeričkom rasponu, i obrnuto. Stoga je uz njihovu pomoć zgodno zapisati skup rješenja nejednadžbe.

U ovom ćemo članku analizirati sve vrste numeričkih intervala. Ovdje dajemo njihova imena, uvodimo oznake, crtamo numeričke intervale na koordinatnoj liniji, a također pokazujemo koje im najjednostavnije nejednadžbe odgovaraju. U zaključku ćemo vizualno prikazati sve informacije u obliku tablice numeričkih intervala.

Navigacija po stranici.

Vrste numeričkih intervala

Svaki numerički interval ima četiri neraskidivo povezane stvari:

  • naziv raspona brojeva,
  • odgovarajuća nejednakost ili dvostruka nejednakost,
  • oznaka,
  • a njegova geometrijska slika u obliku slike na koordinatnoj liniji.

Bilo koji numerički interval može se odrediti na bilo koji od posljednja tri načina u popisu: ili nejednakošću, ili oznakom, ili svojom slikom na koordinatnoj liniji. Štoviše, prema ovoj metodi dodjele, na primjer, nejednakošću, drugi se lako obnavljaju (u našem slučaju, oznaka i geometrijska slika).

Prijeđimo na detalje. Opišimo sve numeričke intervale na četiri gore navedene strane.

Tablica numeričkih intervala

Dakle, u prethodnom paragrafu definirali smo i opisali sljedeće numeričke intervale:

  • otvorena brojna greda;
  • greda broja;
  • interval;
  • poluinterval.

Radi praktičnosti, sažimamo sve podatke o numeričkim intervalima u tablici. Stavimo u njega naziv numeričkog intervala, nejednakost koja mu odgovara, oznaku i sliku na koordinatnoj liniji. Dobivamo sljedeće tablica raspona:


Bibliografija.

  • Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14 sati 1. dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd. Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Među skupovima brojeva postoje skupovi u kojima su objekti numerički intervali. Kod navođenja skupa lakše je odrediti interval. Stoga skupove rješenja zapisujemo pomoću numeričkih intervala.

Ovaj članak daje odgovore na pitanja o numeričkim prazninama, nazivima, zapisima, slikama praznina na koordinatnoj liniji, korespondenciji nejednakosti. Zaključno će se razmotriti tablica praznina.

Definicija 1

Svaki raspon brojeva karakterizira:

  • Ime;
  • prisutnost obične ili dvostruke nejednakosti;
  • oznaka;
  • geometrijska slika na koordinatnoj liniji.

Numerički raspon postavlja se pomoću bilo koje 3 metode s gornjeg popisa. To jest, kada se koristi nejednakost, zapis, slike na koordinatnoj liniji. Ova metoda je najprimjenjivija.

Napravimo opis numeričkih intervala s gore navedenim stranama:

Definicija 2

  • Otvoreni snop brojeva. Ime je zbog činjenice da je izostavljeno, ostavljajući ga otvorenim.

Ovaj interval ima odgovarajuće nejednakosti x< a или x >a , gdje je a neki realni broj. Odnosno, na takvoj zraci postoje svi realni brojevi koji su manji od a - (x< a) или больше a - (x >a) .

Skup brojeva koji će zadovoljiti nejednakost oblika x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a , poput (a , + ∞) .

Geometrijsko značenje otvorene grede uzima u obzir prisutnost numeričkog razmaka. Između točaka koordinatne crte i njezinih brojeva postoji podudarnost, zbog čega se pravac naziva koordinatna crta. Ako je potrebno usporediti brojeve, tada je na koordinatnoj liniji veći broj s desne strane. Tada je nejednadžba oblika x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a - točke koje su udesno. Sam broj nije pogodan za rješavanje, stoga je na crtežu označen izbušenom točkom. Potreban razmak istaknut je šrafiranjem. Razmotrite sliku u nastavku.

Iz gornje slike vidljivo je da brojčane praznine odgovaraju dijelu pravca, odnosno zrakama koje počinju na a. Drugim riječima, zovu se zrake bez početka. Stoga je nazvana otvorena brojčana zraka.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1

Za zadanu strogu nejednadžbu x > − 3 zadana je otvorena zraka. Ovaj unos se može predstaviti kao koordinate (− 3 , ∞) . To jest, sve su to točke koje leže desno od - 3 .

Primjer 2

Ako imamo nejednadžbu oblika x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Definicija 3

  • brojna greda. Geometrijsko značenje je da se početak ne odbacuje, drugim riječima, zraka ostavlja za sobom svoju korisnost.

Njegovo dodjeljivanje ide uz pomoć nestriktnih nejednakosti oblika x ≤ a ili x ≥ a . Za ovaj tip je prihvaćen poseban zapis oblika (− ∞ , a ] i [ a , + ∞), a prisutnost uglate zagrade znači da je točka uključena u rješenje ili u skup. Razmotrite sliku u nastavku.

Za ilustrativni primjer, postavimo numeričku zraku.

Primjer 3

Nejednadžba oblika x ≥ 5 odgovara zapisu [ 5 , + ∞) , tada dobivamo zraku ovog oblika:

Definicija 4

  • Interval. Postavljanje pomoću intervala zapisano je korištenjem dvostrukih nejednakosti a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Razmotrite sliku u nastavku.

Primjer 4

Primjer intervala - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Definicija 5

  • Numerička linija. Taj se interval razlikuje po tome što uključuje rubne točke, tada ima oblik a ≤ x ≤ b . Takva nestroga nejednakost kaže da se pri pisanju numeričkog segmenta koriste uglate zagrade [ a , b ], što znači da su točke uključene u skup i prikazane su popunjene.

Primjer 5

Razmotrivši segment, dobivamo da je njegovu specifikaciju moguće pomoću dvostruke nejednakosti 2 ≤ x ≤ 3 , koja je predstavljena kao 2 , 3 . Na koordinatnoj liniji dana točka bit će uključeni u rješenje i osjenčani.

Definicija 6 Primjer 6

Ako postoji poluinterval (1 , 3 ] , tada njegova oznaka može biti u obliku dvostruke nejednakosti 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Definicija 7

Praznine se mogu prikazati kao:

  • otvorena brojna greda;
  • greda broja;
  • interval;
  • numerički segment;
  • poluinterval.

Da biste pojednostavili postupak izračuna, potrebno je koristiti posebnu tablicu u kojoj postoje oznake za sve vrste numeričkih intervala ravne linije.

Ime nejednakost Oznaka Slika
Otvoreni snop brojeva x< a - ∞ , a
x > a a , +∞
brojna greda x ≤ a (-∞, a]
x ≥ a [ a , +∞)
Interval a< x < b a , b
Numerički segment a ≤ x ≤ b a , b

Pola intervala

Odgovor - Skup (-∞;+∞) naziva se brojevni pravac, a bilo koji broj točka tog pravca. Neka je a proizvoljna točka na realnom pravcu i δ

Pozitivan broj. Interval (a-δ; a+δ) naziva se δ-okolina točke a.

Skup X je ograničen odozgo (odozdo) ako postoji broj c takav da je za bilo koji x ∈ X zadovoljena nejednakost x≤s (x≥c). Broj c se u ovom slučaju naziva gornja (donja) granica skupa X. Skup omeđen i odozgo i odozdo naziva se omeđen. Najmanje (najveće) od gornjih (donjih) ploha skupa naziva se točna gornja (donja) granica tog skupa.

Numerički interval je povezan skup realnih brojeva, odnosno takav da ako 2 broja pripadaju tom skupu, tada svi brojevi između njih također pripadaju tom skupu. Postoji nekoliko, u određenom smislu, različitih tipova nepraznih numeričkih intervala: pravac, otvorena zraka, zatvorena zraka, isječak, poluinterval, interval

Brojevna crta

Skup svih realnih brojeva naziva se i brojevni pravac. Pišu.

U praksi ne treba razlikovati pojam koordinatne ili brojevne crte u geometrijskom smislu od pojma brojevne crte koji uvodi ova definicija. Stoga ovi različite koncepte označavaju istim pojmom.

otvorena greda

Skup brojeva takav da ili naziva se otvorena brojčana zraka. Pisati odnosno: .

zatvorena greda

Skup brojeva takav da ili naziva se zatvorena brojčana zraka. Pisati odnosno:

Skup brojeva takav da se naziva segment brojeva.

Komentar. Definicija ne navodi da . Pretpostavlja se da je slučaj moguć. Tada se numerički interval pretvara u točku.

Interval

Skup brojeva kao što je naziva se numerički interval.

Komentar. Podudarnost oznaka otvorene grede, ravne linije i intervala nije slučajna. Otvorena zraka može se shvatiti kao interval, čiji je jedan od krajeva uklonjen u beskonačnost, a brojevna linija - kao interval, čija su oba kraja uklonjena u beskonačnost.

Pola intervala

Skup brojeva takav da ili naziva se numerički poluinterval.

Napišite, odnosno,

3.Funkcija.Graf funkcije. Načini postavljanja funkcije.

Odgovor - Ako su dane dvije varijable x i y, onda se kaže da je varijabla y funkcija varijable x, ako je dan takav odnos između ovih varijabli koji dopušta da svaka vrijednost jedinstveno odredi vrijednost y.

Oznaka F = y(x) znači da razmatramo funkciju koja dopušta bilo koju vrijednost nezavisne varijable x (od onih koje argument x uopće može uzeti) za pronalaženje odgovarajuće vrijednosti zavisne varijable y.

Načini postavljanja funkcije.

Funkcija se može definirati formulom, na primjer:

y \u003d 3x2 - 2.

Funkcija se može dati grafom. Pomoću grafikona možete odrediti koja vrijednost funkcije odgovara navedenoj vrijednosti argumenta. Obično je to približna vrijednost funkcije.

4. Glavne karakteristike funkcije: monotonost, parnost, periodičnost.

odgovor - Definicija periodičnosti. Funkcija f se naziva periodičkom ako postoji takav broj
, da je f(x+
)=f(x), za sve x D(f). Naravno, postoji beskonačan broj takvih brojeva. Najmanji pozitivni broj ^ T nazivamo periodom funkcije. Primjeri. A. y \u003d cos x, T \u003d 2 . B. y \u003d tg x, T \u003d . S. y = (x), T = 1. D. y = , ova funkcija nije periodična. Definicija pariteta. Funkcija f je pozvana čak i ako je za sve x iz D(f) zadovoljeno svojstvo f(-x) = f(x). Ako je f (-x) = -f (x), tada se funkcija naziva neparnom. Ako nijedna od ovih relacija nije zadovoljena, tada se funkcija naziva funkcijom općeg oblika. Primjeri. A. y \u003d cos (x) - parno; B. y \u003d tg (x) - neparan; S. y \u003d (x); y=sin(x+1) – opće funkcije. Monotonija Definicija. Funkcija f: X -> R naziva se rastućom (opadajućom) ako za bilo koju
uvjet je ispunjen:
Definicija. Kaže se da je funkcija X -> R monotona na X ako je rastuća ili opadajuća na X. Ako je f monoton na nekim podskupovima od X, tada se naziva podjelno monoton. Primjer. y \u003d cos x je po komadu monotona funkcija.

Pročitajte također