Glavna karakteristika bilo koji geometrijski lik u prostoru je njegov volumen. U ovom ćemo članku razmotriti što je piramida s trokutom na bazi, a također ćemo pokazati kako pronaći volumen trokutasta piramida- ispravno puno i skraćeno.

Što je trokutasta piramida?

Svatko je čuo za drevne egipatske piramide, ali one su pravilne četverokutne, a ne trokutaste. Objasnimo kako dobiti trokutastu piramidu.

Uzmimo proizvoljni trokut i spojimo sve njegove vrhove s jednom točkom koja se nalazi izvan ravnine tog trokuta. obrazovan lik nazvat će se trokutasta piramida. To je prikazano na slici ispod.

Kao što vidite, lik koji se razmatra sastoji se od četiri trokuta, koji su u općem slučaju različiti. Svaki trokut su stranice piramide ili njezino lice. Ova se piramida često naziva tetraedar, odnosno četverostrana trodimenzionalna figura.

Piramida osim stranica ima i bridove (ima ih 6) i vrhove (ima ih 4).

s trokutastom bazom

Lik koji se dobije pomoću proizvoljnog trokuta i točke u prostoru bit će u općem slučaju nepravilna nagnuta piramida. Sada zamislimo da izvorni trokut ima iste stranice, a točka u prostoru se nalazi točno iznad njegovog geometrijskog središta na udaljenosti h od ravnine trokuta. Piramida izgrađena pomoću ovih početnih podataka bit će točna.

Očito je da će broj bridova, stranica i vrhova pravilne trokutaste piramide biti isti kao i kod piramide izgrađene od proizvoljnog trokuta.

Međutim, točna brojka ima nešto obilježja:

• njegova visina, povučena od vrha, točno će presijecati bazu u geometrijskom središtu (točka presjeka medijana);
• bočnu plohu takve piramide tvore tri jednaka trokuta koji su jednakokračni ili jednakostranični.

Pravilna trokutasta piramida nije samo čisto teoretski geometrijski objekt. Neke strukture u prirodi imaju njegov oblik, npr kristalna ćelija dijamant, gdje je ugljikov atom povezan s četiri ista atoma kovalentne veze, ili molekula metana, gdje vrhove piramide tvore atomi vodika.

trokutasta piramida

Možete odrediti volumen apsolutno bilo koje piramide s proizvoljnim n-kutom na bazi koristeći sljedeći izraz:

Ovdje simbol S o označava površinu baze, h je visina figure nacrtane na označenu bazu od vrha piramide.

Budući da je površina proizvoljnog trokuta jednaka polovici umnoška duljine njegove stranice a i apoteme h a spuštene na ovu stranu, formula za volumen trokutaste piramide može se napisati na sljedeći način:

V = 1/6 × a × h a × h

Za opći tip Određivanje visine nije lak zadatak. Da biste ga riješili, najlakši je način koristiti formulu za udaljenost između točke (vrha) i ravnine (trokutaste baze), predstavljenu jednadžbom opći pogled.

Za onaj ispravan, ima specifičan izgled. Površina baze (jednakostraničnog trokuta) za njega je jednaka:

Zamijenite ga opći izraz za V, dobivamo:

V = √3/12 × a 2 × h

Poseban slučaj je situacija kada se sve strane tetraedra pokažu kao identični jednakostranični trokuti. U tom slučaju njegov se volumen može odrediti samo na temelju poznavanja parametra njegova ruba a. Odgovarajući izraz izgleda ovako:

Krnja piramida

Ako se gornji dio koji sadrži vrh odsječe od pravilne trokutaste piramide, tada će se dobiti skraćena figura. Za razliku od izvornog, sastojat će se od dvije jednakostranične trokutaste baze i tri jednakokračna trapeza.

Fotografija ispod pokazuje kako izgleda pravilna krnja trokutasta piramida napravljena od papira.

Za određivanje volumena krnje trokutaste piramide potrebno je poznavati tri njezine linearne karakteristike: svaku od stranica baza i visinu figure, jednaku udaljenosti između gornje i donje baze. Odgovarajuća formula za volumen napisana je na sljedeći način:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Ovdje je h visina figure, A i a su duljine stranica velikog (donjeg) odnosno malog (gornjeg) jednakostraničnog trokuta.

Rješenje problema

Kako bi informacije u članku bile jasnije čitatelju, pokazat ćemo na preglednom primjeru kako koristiti neke od napisanih formula.

Neka je volumen trokutaste piramide 15 cm3. Poznato je da je brojka točna. Treba pronaći apotemu a b bočnog ruba ako se zna da je visina piramide 4 cm.

Budući da su volumen i visina figure poznati, pomoću odgovarajuće formule možete izračunati duljinu stranice njezine baze. Imamo:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 cm

Pokazalo se da je izračunata duljina apoteme figure veća od njezine visine, što vrijedi za bilo koju vrstu piramide.

Piramida je poliedar s poligonom u osnovi. Sva lica, pak, tvore trokute koji se skupljaju u jednom vrhu. Piramide su trokutaste, četverokutne i tako dalje. Kako biste odredili koja je piramida pred vama, dovoljno je prebrojati uglove u njenoj osnovi. Definicija "visine piramide" vrlo se često nalazi u geometrijskim problemima u školski plan i program. U članku ćemo pokušati razmotriti različite načine kako ga pronaći.

Dijelovi piramide

Svaka piramida sastoji se od sljedećih elemenata:

• bočna lica koja imaju tri ugla i konvergiraju se na vrhu;
• apotem predstavlja visinu koja se spušta s njegovog vrha;
• vrh piramide je točka koja povezuje bočne bridove, ali ne leži u ravnini baze;
• baza je mnogokut koji ne sadrži vrh;
• visina piramide je isječak koji siječe vrh piramide i s njezinom bazom čini pravi kut.

Kako pronaći visinu piramide ako je poznat njezin volumen

Kroz formulu V \u003d (S * h) / 3 (u formuli V je volumen, S je osnovna površina, h je visina piramide), nalazimo da je h \u003d (3 * V) / S . Da konsolidiramo gradivo, odmah riješimo problem. Trokutasta baza ima 50 cm 2 dok je njegov obujam 125 cm 3 . Nepoznata je visina trokutaste piramide, koju moramo pronaći. Ovdje je sve jednostavno: unosimo podatke u našu formulu. Dobivamo h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Kako pronaći visinu piramide ako su poznati duljina dijagonale i njezin brid

Kao što se sjećamo, visina piramide čini pravi kut s bazom. A to znači da visina, rub i polovica dijagonale zajedno tvore Mnogi se, naravno, sjećaju Pitagorinog teorema. Poznavajući dvije dimenzije, neće biti teško pronaći treću vrijednost. Prisjetimo se dobro poznatog teorema a² = b² + c², gdje je a hipotenuza, au našem slučaju rub piramide; b - prvi krak ili polovica dijagonale i c - drugi krak, odnosno visina piramide. Iz ove formule, c² = a² - b².

Sada problem: u pravilnoj piramidi dijagonala je 20 cm, a duljina brida 30 cm, potrebno je pronaći visinu. Rješavamo: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Stoga c \u003d √ 500 \u003d oko 22,4.

Kako pronaći visinu krnje piramide

To je poligon koji ima presjek paralelan sa svojom bazom. Visina krnje piramide je segment koji spaja njezine dvije baze. Visina pravilne piramide se može pronaći ako su poznate duljine dijagonala obiju baza, kao i brid piramide. Neka je dijagonala veće baze d1, a dijagonala manje baze d2, a brid ima duljinu l. Da biste pronašli visinu, možete spustiti visine od dvije gornje suprotne točke dijagrama do njegove baze. Vidimo da smo dobili dva pravokutna trokuta, ostaje nam pronaći duljine njihovih kateta. Da biste to učinili, oduzmite manju dijagonalu od veće dijagonale i podijelite s 2. Tako ćemo pronaći jednu nogu: a \u003d (d1-d2) / 2. Nakon toga, prema Pitagorinom teoremu, ostaje nam samo pronaći drugi krak, a to je visina piramide.

Sada pogledajmo cijelu stvar u praksi. Pred nama je zadatak. Krnja piramida ima kvadrat na bazi, duljina dijagonale veće baze je 10 cm, dok je manja 6 cm, a brida 4 cm.Traži se pronaći visinu. Za početak, nalazimo jednu nogu: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Jedna noga je 2 cm, a hipotenuza je 4 cm. Ispada da će druga noga ili visina biti 16- 4 \u003d 12, odnosno h \u003d √12 = oko 3,5 cm.

Teorema. volumen piramide jednak je proizvodu površina njegove baze za trećinu njegove visine.

Najprije dokazujemo ovaj teorem za trokutastu piramidu, a zatim za poligonalnu.

1) Na temelju trokutaste piramide SABC (sl. 102) konstruiramo prizmu SABCDE čija je visina jednaka visini piramide, a jedan bočni brid se poklapa s bridom SB. Dokažimo da je volumen piramide trećina volumena ove prizme. Odvojite ovu piramidu od prizme. Time ostaje četverokutna piramida SADEC (koja je prikazana zasebno radi jasnoće). Nacrtajmo u njemu presječnu ravninu kroz vrh S i dijagonalu osnovke DC. Dobivene dvije trokutaste piramide imaju zajednički vrh S i jednake baze DEC i DAC koje leže u istoj ravnini; dakle, prema gore dokazanoj lemi, ove su piramide jednake. Usporedimo jednu od njih, naime SDEC, s ovom piramidom. Za bazu SDEC piramide možete uzeti \(\Delta\)SDE; tada će njen vrh biti u točki C i visina je jednaka visini ove piramide. Kako je \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, onda su, prema istoj lemi, piramide SDEC i SABC jednake.

Prizmu ABCDES podijelili smo na tri piramide jednake veličine: SABC, SDEC i SDAC. (Očito, svaka trokutasta prizma može biti podvrgnuta takvoj podjeli. Ovo je jedno od važnih svojstava trokutaste prizme.) Dakle, zbroj volumena triju piramida koje su po veličini jednake danoj piramidi je volumen prizma; Posljedično,

$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$

gdje je H visina piramide.

2) Kroz neki vrh E (slika 103) baze poligonalne piramide SABCDE povucimo dijagonale EB i EC.

Zatim kroz rub SE i svaku od tih dijagonala nacrtamo presječne ravnine. Tada će se poligonalna piramida podijeliti na nekoliko trokutastih koji imaju zajedničku visinu sa zadanom piramidom. Označavanje površina baza trokutastih piramida kroz b 1 ,b 2 ,b 3 i visine kroz H, imat ćemo:

volumen SABCDE = 1/3 b 1H+1/3 b 2H+1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H / 3 =

= (površina ABCDE) H / 3 .

Posljedica. Ako V, B i H znače brojeve koji u odgovarajućim jedinicama izražavaju obujam, površinu baze i visinu bilo koje piramide, tada

Teorema. Volumen krnja piramida jednak je zbroju volumeni triju piramida koje imaju visinu jednaku visini krnje piramide i baze: jedna je donja baza ove piramide, druga je gornja baza, a površina baze treće piramide jednaka je geometrijskoj sredini površina gornje i donje baze.

Neka su površine baza krnje piramide (sl. 104) B i b, visine H i volumena V (krnja piramida može biti trokutasta i poligonalna – svejedno je).

To je potrebno dokazati

V = 1/3 BH + 1/3 b H + 1 / 3 H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),

gdje je √B b je geometrijska sredina između B i b.

Da bismo dokazali na manjoj bazi, postavljamo malu piramidu koja nadopunjuje ovu krnju piramidu u potpunu. Tada volumen krnje piramide V možemo smatrati razlikom dva volumena - kompletna piramida i gornji dodatni.

Označavanje visine dodatne piramide slovom x, naći ćemo to

V = 1/3 B (H+ x) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1 / 3 [VH + (V - b)x].

Da pronađem visinu x koristimo se teoremom iz , prema kojem možemo napisati jednadžbu:

$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$

Kako bismo pojednostavili ovu jednadžbu, izvlačimo iz oba dijela njene aritmetike Korijen:

$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$

Iz ove jednadžbe (koja se može smatrati proporcijom) dobivamo:

$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$

$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$

i zbog toga

$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$

Zamjenom ovog izraza u formulu koju smo izveli za volumen V, nalazimo:

$$ V = \frac(1)(3)\lijevo $$

Od V- b= (√B + √ b) (√B - √ b), zatim smanjenjem razlomka za razliku √B - √ b dobivamo:

$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$

tj. dobivamo formulu koju je trebalo dokazati.

Ostali materijali

Piramida zove se poliedar čija je baza proizvoljan mnogokut, a sva lica su trokuti sa zajedničkim vrhom, koji je vrh piramide.

Piramida je trodimenzionalna figura. Zbog toga je često potrebno pronaći ne samo njegovu površinu, već i volumen. Formula za volumen piramide je vrlo jednostavna:

gdje je S površina baze, a h visina piramide.

Visina piramida se naziva ravna linija, spuštena od vrha do baze pod pravim kutom. Prema tome, da bi se odredio volumen piramide, potrebno je odrediti koji mnogokut leži u osnovi, izračunati njegovu površinu, saznati visinu piramide i pronaći njen volumen. Razmotrimo primjer izračunavanja volumena piramide.

Zadatak: dana je pravilna četverokutna piramida.

Osnovne stranice a = 3 cm, svi bočni bridovi b = 4 cm.Odredi obujam piramide.
Prvo zapamtite da vam je za izračunavanje volumena potrebna visina piramide. Možemo ga pronaći pomoću Pitagorinog teorema. Da bismo to učinili, potrebna nam je duljina dijagonale, odnosno polovica. Zatim poznavanje dvije strane pravokutni trokut, možemo pronaći visinu. Prvo pronađite dijagonalu:

Zamijenite vrijednosti u formuli:


Visinu h nalazimo pomoću d i ruba b:


Hajdemo sada pronaći

Teorema.

Volumen piramide jednak je jednoj trećini umnoška površine baze i visine..

Dokaz:

Najprije dokazujemo teorem za trokutastu piramidu, zatim za proizvoljnu.

1. Razmotrimo trokutastu piramiduOABCs volumenom V, povS i visine h. Nacrtajte os o (OM2- visina), razmotrite odjeljakA1 B1 C1piramide s ravninom okomitom na osOhi, dakle, paralelna s ravninom baze. Označimo sax točka apscise M1 sjecište ove ravnine s x-osi, i krozS(x)- poprečni presjek područja. Izraziti S(x) preko S, h i x. Imajte na umu da trokuti A1 NA1 S1 i ABC su slični. Doista A1 NA1 II AB, dakle trokut OA 1 NA 1 sličan trokutu OAB. S posljedično, I1 NA1 : IB= OA 1: OA .

pravokutni trokuti OA 1 NA 1 i OAB također su slični (imaju zajedničko oštar kut vrh O). Stoga, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Tako I 1 NA 1 : A B = x: h.Slično tome, dokazano je daB1 C1:Sunce = X: h i A1 C1:AC = X: h.Dakle, trokutA1 B1 C1 i ABCsličan s koeficijentom sličnosti X: h.Prema tome, S(x) : S = (x: h)², ili S(x) = S x²/ h².

Primijenimo sada osnovnu formulu za izračunavanje volumena tijela naa= 0, b=h dobivamo

2. Dokažimo sada teorem za proizvoljnu piramidu s visinom h i osnovno područje S. Takvu piramidu možemo podijeliti na trokutaste piramide ukupne visine h. Volumen svake trokutaste piramide izražavamo prema formuli koju smo dokazali i zbrajamo te volumene. Iznoseći zajednički faktor 1/3h iz zagrade, dobivamo u zagradi zbroj baza trokutastih piramida, tj. površina S baza izvorne piramide.

Dakle, volumen originalne piramide je 1/3Sh. Teorem je dokazan.

Posljedica:

Volumen V krnje piramide visine h i osnovica S i S1 , izračunavaju se formulom

h - visina piramide

S vrh - područje gornje baze

S niže - područje donje baze