Definicija. Bočno lice- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a njegova suprotna strana poklapa se sa stranom baze (poligon).
Definicija. Bočna rebra su zajedničke stranice bočnih stranica. Piramida ima onoliko bridova koliko uglova ima mnogokut.
Definicija. visina piramide je okomica spuštena s vrha na bazu piramide.
Definicija. Apotema- ovo je okomica bočne strane piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida- Ovo je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.
Volumen i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:
svojstva piramide
Ako su svi bočni bridovi jednaki, tada se oko baze piramide može opisati kružnica, a središte baze se poklapa sa središtem kružnice. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).
Ako su sva bočna rebra jednaka, tada su nagnuta prema ravnini baze pod istim kutom.
Bočna rebra su jednaka kada se tvore s ravninom baze jednaki kutovi ili ako se oko baze piramide može opisati krug.
Ako su bočne strane nagnute prema ravnini baze pod jednim kutom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide projicira se u njezino središte.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod jednim kutom, tada su apoteme bočnih ploha jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.
2. Svi bočni rubovi su jednaki.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod istim kutom u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.
5. Površine svih bočnih ploha su jednake.
6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.
7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane kugle bit će sjecište okomica koje prolaze sredinom bridova.
8. U piramidu se može upisati kugla. Središte upisane kugle bit će sjecište simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.
9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravnih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π / n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.
Veza piramide s kuglom
Oko piramide se može opisati sfera kada u osnovi piramide leži poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će točka presjeka ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.
Oko svake trokutaste ili pravilne piramide uvijek se može opisati sfera.
U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.
Veza piramide sa stošcem
Stožac se naziva upisanim u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.
Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide jednake.
Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.
Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.
Spoj piramide s valjkom
Za piramidu se kaže da je upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.
Valjak se može opisati oko piramide ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, gdje bilo koja dva brida nemaju zajedničkih vrhova, ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutni kut.
Segment koji spaja vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).
Bimedijan naziva se isječak koji spaja središta suprotnih bridova koji se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju, bimedijani su podijeljeni na pola, a medijani u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Oštrokutna piramida je piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.
Definicija. tupa piramida je piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.
Definicija. pravilni tetraedar Tetraedar čija su četiri lica jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. Sve u pravilnom tetraedru diedralni kutovi(između ploha) i trostrani kutovi (na vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravokutni tetraedar tetraedar se naziva koji ima pravi kut između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti). Formiraju se tri lica pravokutni trokutni kut a plohe su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljan trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar zove se tetraedar čije su bočne strane međusobno jednake, a baza je pravokutni trokut. Lica takvog tetraedra su jednakokračni trokuti.
Definicija. Ortocentrični tetraedar tetraedar se naziva kod kojeg se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.
Definicija. zvjezdana piramida Poliedar čija je baza zvijezda naziva se.
trokutasta piramida Poliedrom se naziva poliedar čija je osnovica pravilan trokut.
U takvoj su piramidi lica baze i rubovi stranica međusobno jednaki. Prema tome, površina bočnih stranica nalazi se iz zbroja površina tri identična trokuta. Pomoću formule možete pronaći površinu bočne površine pravilne piramide. I možete napraviti izračun nekoliko puta brže. Da biste to učinili, primijenite formulu za bočnu površinu trokutasta piramida:
gdje je p opseg baze, čije su sve strane jednake b, a je apotem spušten od vrha do ove baze. Razmotrite primjer izračuna površine trokutaste piramide.
Zadatak: Neka je dana ispravna piramida. Stranica trokuta koja leži na bazi je b = 4 cm. Apotem piramide je a = 7 cm. Pronađite površinu bočne površine piramide.
Budući da, prema uvjetima problema, znamo duljine svih potrebni elementi, pronađite opseg. Zapamtite da su u pravilnom trokutu sve strane jednake, pa se stoga opseg izračunava formulom:
Zamijenite podatke i pronađite vrijednost:
Sada, znajući opseg, možemo izračunati bočnu površinu: 
Da biste primijenili formulu za površinu trokutaste piramide za izračun pune vrijednosti, trebate pronaći površinu baze poliedra. Za to se koristi formula: 
Formula za područje baze trokutaste piramide može biti drugačija. Dopušteno je koristiti bilo koji izračun parametara za dana brojka, ali najčešće to nije potrebno. Razmotrite primjer izračuna površine baze trokutaste piramide.
Zadatak: U pravilnoj piramidi stranica trokuta koji leži na bazi je a = 6 cm. Izračunaj oplošje baze.
Za izračun potrebna nam je samo duljina stranice pravilnog trokuta koja se nalazi u podnožju piramide. Zamijenite podatke u formuli: 
Vrlo često je potrebno pronaći ukupnu površinu poliedra. Da biste to učinili, morate dodati površinu bočne površine i baze. 
Razmotrite primjer izračuna površine trokutaste piramide.
Problem: Neka je dana pravilna trokutasta piramida. Stranica baze je b = 4 cm, apotem je a = 6 cm. Nađite ukupnu površinu piramide.
Prvo, pronađimo površinu bočne površine dobro poznata formula. Izračunajte opseg:
Zamjenjujemo podatke u formuli: 
Sada pronađite područje baze: 
Znajući površinu baze i bočne površine, nalazimo ukupnu površinu piramide: 
Pri izračunavanju površine pravilne piramide ne treba zaboraviti da je baza pravilan trokut i da su mnogi elementi ovog poliedra međusobno jednaki.
Piramida u čijoj osnovi leži pravilan šesterokut, a stranice tvore pravilni trokuti, naziva se šesterokutan.
Ovaj poliedar ima mnoga svojstva:
- Sve stranice i kutovi baze su međusobno jednaki;
- Svi bridovi i diedarske ugljene piramide također su međusobno jednaki;
- Trokuti koji tvore stranice su isti, odnosno imaju istu površinu, stranice i visine.
Da biste izračunali točnu površinu šesterokutna piramida primjenjuje se standardna formula za površinu bočne površine šesterokutne piramide:
gdje je P opseg baze, a je duljina apoteme piramide. U većini slučajeva možete izračunati bočnu površinu pomoću ove formule, ali ponekad možete koristiti drugu metodu. Budući da su bočne strane piramide oblikovane jednaki trokuti, možete pronaći površinu jednog trokuta, a zatim je pomnožiti s brojem stranica. U šesterokutnoj piramidi ima ih 6. Ali ova se metoda također može koristiti u izračunu. Razmotrimo primjer izračuna bočne površine šesterokutne piramide.
Neka je dana pravilna šesterokutna piramida kojoj je apotem a = 7 cm, stranica baze b = 3 cm. Izračunajte površinu bočne plohe poliedra.
Prvo pronađite opseg baze. Budući da je piramida pravilna, u osnovi ima pravilan šesterokut. Dakle, sve njegove strane su jednake, a opseg se izračunava po formuli:
Zamjenjujemo podatke u formuli:
Sada možemo lako pronaći površinu bočne površine zamjenom pronađene vrijednosti u glavnu formulu: 
Također je važna točka potraga za područjem baze. Formula za površinu baze šesterokutne piramide izvedena je iz svojstava pravilnog šesterokuta: 
Razmotrimo primjer izračuna površine baze šesterokutne piramide, uzimajući uvjete iz prethodnog primjera kao osnovu. Iz njih znamo da je stranica baze b = 3 cm. Zamijenimo podatke u formula: 
Formula za površinu šesterokutne piramide je zbroj površine baze i bočnog snimka: 
Razmotrite primjer izračuna površine šesterokutne piramide.
Neka je dana piramida u čijoj osnovi leži pravilan šesterokut stranice b = 4 cm. Apotem zadanog poliedra je a = 6 cm. Odredite ukupnu površinu.
Znamo da se ukupna površina sastoji od površine baze i bočne površine. Dakle, prvo ih pronađimo. Izračunajte opseg:
Sada pronađite bočnu površinu: 
Zatim izračunavamo površinu baze u kojoj leži pravilan šesterokut: 
Sada možemo zbrojiti rezultate:
Prilikom priprema za ispit iz matematike učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih strana do cijele površine. Ako je situacija jasna s bočnim stranama, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.
Što učiniti kada se pronađe područje baze piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. I ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili netočan. U USE zadacima od interesa za školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
pravokutni trokut
To je jednakostraničan. Onaj u kojem su sve strane jednake i označen slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kvadrat
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni pravilni n-kut
Istu oznaku ima stranica poligona. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Kako postupiti pri izračunu bočne i ukupne površine?
Budući da je baza pravilan lik, sva su lica piramide jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, potrebna vam je formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu izgleda ovako:
S \u003d ½ P * A, gdje je P opseg baze piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njenom vrhu (α). Tada bi trebalo koristiti takvu formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak #1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako joj baza leži sa stranicom od 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.
Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Budući da je apotem poznat, možete odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.
Za trokut na bazi dobit će se sljedeća vrijednost površine: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovor. 10√3 cm2.
Zadatak #2
Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina stranice baze je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Morate znati njegovu površinu.
Riješenje. Kako je poliedar četverokutan i pravilan, onda mu je baza kvadrat. Naučivši područja baze i bočnih strana, bit će moguće izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A na bočnim stranama poznate su sve stranice trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.
Prvi izračuni su jednostavni i dovode do ovog broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.
Ispada: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.
Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Zadatak #3
Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. U njemu je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugo je malo teže.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Željeni apotem (hipotenuza pravokutni trokut) jednako je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati željenu vrijednost: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Odgovor. 96 cm2.
Zadatak #4
Stanje. Ispravna stranica njegove baze je 22 mm, bočna rebra su 61 mm. Kolika je površina bočne površine ovog poliedra?
Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao što je opisano u problemu br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.
Prije svega, površina baze izračunava se pomoću gornje formule: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Ostaje izračunati površinu svakog takvog trokuta koristeći Heronovu formulu, a zatim je pomnožiti sa šest i dodati onom koji je ispao za baza.
Izračuni pomoću Heronove formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovor. Baza - 726√3 cm 2, bočna površina - 3960 cm 2, cjelokupna površina - 5217 cm 2.
