इस पाठ में, हम परिभाषाएँ सीखेंगे त्रिकोणमितीय फलनऔर उनके मुख्य गुण, सीखें कि कैसे काम करना है त्रिकोणमितीय वृत्त, पता लगाओ क्या है कार्य अवधिऔर विभिन्न याद रखें कोणों को मापने के तरीके. इसके अलावा, आइए उपयोग करते हुए देखें कमी सूत्र.

यह पाठ आपको एक प्रकार के सत्रीय कार्य की तैयारी में मदद करेगा। 7 बजे.

गणित में परीक्षा की तैयारी

प्रयोग

पाठ 7त्रिकोणमिति का परिचय।

लिखित

पाठ सारांश

आज हम एक खंड शुरू कर रहे हैं जिसमें कई लोगों के लिए एक भयावह नाम है, "त्रिकोणमिति"। आइए तुरंत पता लगाएं कि यह एक अलग वस्तु नहीं है, ज्यामिति के नाम के समान, जैसा कि कुछ लोग सोचते हैं। हालांकि . से अनुवादित ग्रीक शब्द"त्रिकोणमिति" का अर्थ है "त्रिभुजों का माप" और यह सीधे ज्यामिति से संबंधित है। इसके अलावा, भौतिकी और प्रौद्योगिकी में त्रिकोणमितीय गणनाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लेकिन हम आपके साथ ठीक इस बात पर विचार करके शुरू करेंगे कि एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करके ज्यामिति में मूल त्रिकोणमितीय फलन कैसे पेश किए जाते हैं।

हमने अभी "त्रिकोणमितीय फलन" शब्द का प्रयोग किया है - इसका अर्थ है कि हम परिचय देंगे पूरी कक्षाएक से पत्राचार के कुछ कानून चरदूसरे से।

इसके लिए विचार करें सही त्रिकोण, जो सुविधा के लिए पक्षों और कोनों के मानक पदनामों का उपयोग करता है, जिसे आप चित्र में देख सकते हैं:

उदाहरण के लिए, कोण . पर विचार करेंऔर इसके लिए निम्नलिखित क्रियाएं दर्ज करें:

कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात को ज्या कहा जाता है, अर्थात।

आसन्न पैर और कर्ण के अनुपात को कोसाइन कहा जाता है, अर्थात। ;

विपरीत पैर का आसन्न पैर के अनुपात को स्पर्शरेखा कहा जाता है, अर्थात। ;

आसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात को कोटैंजेंट कहा जाएगा, यानी। .

कोण के साथ इन सभी क्रियाओं को कहा जाता है त्रिकोणमितीय फलन. कोण को, उसी समय, आमतौर पर कहा जाता है त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्कऔर इसे निरूपित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, x द्वारा, जैसा कि बीजगणित में प्रथागत है।

तुरंत यह समझना महत्वपूर्ण है कि त्रिकोणमितीय फलन समकोण त्रिभुज में कोण पर निर्भर करते हैं, न कि इसकी भुजाओं पर। यह साबित करना आसान है यदि हम इसके समान एक त्रिभुज पर विचार करें, जिसमें भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होगी, और भुजाओं के सभी कोण और अनुपात नहीं बदलेंगे, अर्थात। कोणों के त्रिकोणमितीय फलन भी अपरिवर्तित रहेंगे।

त्रिकोणमितीय कार्यों की ऐसी परिभाषा के बाद, प्रश्न उठ सकता है: "क्या वहाँ है, उदाहरण के लिए,? आखिर कोनेएक समकोण त्रिभुज में नहीं हो सकता» . अजीब तरह से, इस प्रश्न का उत्तर हाँ है, और इस अभिव्यक्ति का मूल्य है, जो और भी आश्चर्यजनक है, क्योंकि सभी त्रिकोणमितीय कार्य एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात हैं, और भुजाओं की लंबाई सकारात्मक संख्याएँ हैं।

लेकिन इसमें कोई विरोधाभास नहीं है। तथ्य यह है कि, उदाहरण के लिए, भौतिकी में, कुछ प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय, कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग न केवल बड़े, बल्कि बड़े और यहां तक ​​​​कि करना भी आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, तथाकथित . का उपयोग करके त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना के लिए एक अधिक सामान्यीकृत नियम पेश करना आवश्यक है "इकाई त्रिकोणमितीय वृत्त".

यह एक वृत्त है जिसकी इकाई त्रिज्या खींची गई है ताकि इसका केंद्र कार्तीय तल के मूल में हो।

इस वृत्त में कोणों को चित्रित करने के लिए, इस बात पर सहमत होना आवश्यक है कि उन्हें कहाँ रखा जाए। कोण संदर्भ बीम के लिए एब्सिस्सा अक्ष की सकारात्मक दिशा लेना स्वीकार किया जाता है, अर्थात। X- अक्ष. कोनों के निक्षेपण की दिशा वामावर्त दिशा मानी जाती है।इन समझौतों के आधार पर, हम पहले एक न्यून कोण को अलग रखते हैं। यह ऐसे न्यून कोणों के लिए है कि हम पहले से ही जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की गणना कैसे की जाती है। यह पता चला है कि चित्रित सर्कल की मदद से त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करना भी संभव है, केवल अधिक आसानी से।

साइन और कोसाइन मान न्यून कोणइकाई वृत्त के साथ इस कोण की भुजा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हैं:

इसे इस रूप में लिखा जा सकता है:

:

इस तथ्य के आधार पर कि भुज पर निर्देशांक कोसाइन का मान दिखाते हैं, और निर्देशांक पर निर्देशांक कोण की ज्या का मान दिखाते हैंजैसा कि आप चित्र में देख सकते हैं, एक इकाई वृत्त के साथ समन्वय प्रणाली में कुल्हाड़ियों के नामों का नाम बदलना सुविधाजनक है:

एब्सिस्सा अक्ष को कोसाइन अक्ष में बदल दिया जाता है, और समन्वय अक्ष को साइन अक्ष में बदल दिया जाता है।

साइन और कोसाइन के निर्धारण के लिए संकेतित नियम को अधिक कोणों और कोणों से लेकर कोणों तक सामान्यीकृत किया जाता है। इस मामले में, साइन और कोसाइन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकते हैं। विविध इन त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के संकेतविचाराधीन कोण किस तिमाही में आता है, इसके आधार पर इसे निम्नानुसार चित्रित करने की प्रथा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत उनके संबंधित अक्षों की सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं से निर्धारित होते हैं।

इसके अलावा, यह इस तथ्य पर ध्यान देने योग्य है कि चूंकि एक इकाई सर्कल पर और एब्सिस्सा के साथ और ऑर्डिनेट अक्ष के साथ एक बिंदु का सबसे बड़ा समन्वय एक के बराबर है, और सबसे छोटा माइनस एक है, तो ज्या और कोज्या मानइन नंबरों तक सीमित:

ये रिकॉर्ड आमतौर पर इस रूप में लिखे जाते हैं:

त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटांगेंट के कार्यों को पेश करने के लिए, अतिरिक्त तत्वों को चित्रित करना आवश्यक है: बिंदु A पर वृत्त की स्पर्शरेखा - कोण की स्पर्शरेखा का मान इससे निर्धारित होता है, और स्पर्शरेखा पर बिंदु बी - कोण के कोटेंजेंट का मान इससे निर्धारित होता है।

हालांकि, हम त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा में नहीं जाएंगे, क्योंकि। किसी दिए गए कोण के साइन और कोसाइन के मूल्यों को जानकर, उनकी गणना आसानी से की जा सकती है, जिसे हम पहले से ही जानते हैं कि कैसे करना है। यदि आप त्रिकोणमितीय वृत्त में स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की गणना करना सीखने में रुचि रखते हैं, तो 10वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम के कार्यक्रम को दोहराएं।

मंडली पर केवल छवि निर्दिष्ट करें स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के संकेतकोण के आधार पर:

ध्यान दें कि साइन और कोसाइन मानों की श्रेणियों के समान, आप स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मानों की श्रेणियां निर्दिष्ट कर सकते हैं। त्रिकोणमितीय वृत्त पर उनकी परिभाषा के आधार पर, इन कार्यों के मूल्य सीमित नहीं हैं:

इस तरह और क्या लिखा जा सकता है:

से सीमा में कोणों के अलावा, त्रिकोणमितीय सर्कल आपको बड़े कोणों के साथ और यहां तक ​​​​कि नकारात्मक कोणों के साथ काम करने की अनुमति देता है। ऐसे कोण मान, हालांकि वे ज्यामिति के लिए अर्थहीन लगते हैं, कुछ भौतिक प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, आप इस प्रश्न का उत्तर कैसे देंगे: घड़ी की सुई एक दिन में किस कोण पर घूमेगी?इस समय के दौरान, यह दो पूर्ण क्रांतियों को पूरा करेगा, और एक क्रांति में यह गुजर जाएगा, अर्थात। एक दिन में बदल जाएगा। जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे मूल्यों का काफी व्यावहारिक अर्थ है। कोण संकेतों का उपयोग रोटेशन की दिशा को इंगित करने के लिए किया जाता है - दिशाओं में से एक को सकारात्मक कोणों द्वारा मापा जाता है, और दूसरे को नकारात्मक द्वारा। इसे त्रिकोणमितीय वृत्त में किस प्रकार ध्यान में रखा जा सकता है?

ऐसे कोणों वाले वृत्त पर, वे निम्नानुसार कार्य करते हैं:

1) से अधिक कोणों को संदर्भ बिंदु के पारित होने के साथ जितनी बार आवश्यक हो, वामावर्त प्लॉट किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक कोण बनाने के लिए, आपको दो पूर्ण मोड़ और अधिक से गुजरना होगा। अंतिम स्थिति के लिए और सभी त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना की जाती है। यह देखना आसान है कि for और for सभी त्रिकोणमितीय फलनों का मान समान होगा।

2) ऋणात्मक कोणों को ठीक उसी सिद्धांत के अनुसार प्लॉट किया जाता है, जिस पर सकारात्मक कोण होते हैं, केवल दक्षिणावर्त।

पहले से ही बड़े कोणों के निर्माण की विधि से, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि अलग-अलग कोणों की साइन और कोसाइन के मान समान हैं। यदि हम स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के मूल्यों का विश्लेषण करते हैं, तो वे कोणों के लिए समान होंगे जो भिन्न होते हैं।

ऐसी न्यूनतम गैर-शून्य संख्याएं, जब तर्क में जोड़े जाते हैं, तो फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है, कहा जाता है अवधियह समारोह।

इस तरह, अवधिज्या और कोज्या is, और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट. और इसका मतलब यह है कि आप इन अवधियों को विचाराधीन कोणों से कितना भी जोड़ या घटा लें, त्रिकोणमितीय कार्यों के मान नहीं बदलेंगे।

उदाहरण के लिए, , और आदि।

बाद में हम त्रिकोणमितीय फलनों के इस गुण के अधिक विस्तृत विवरण और अनुप्रयोग पर लौटेंगे।

एक ही तर्क के त्रिकोणमितीय फलनों के बीच कुछ संबंध होते हैं, जो बहुत बार प्रयोग किए जाते हैं और कहलाते हैं बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान।

वे इस तरह दिखते हैं:

1) तथाकथित "त्रिकोणमितीय इकाई"

3)

4)

5)

ध्यान दें कि, उदाहरण के लिए, संकेतन का अर्थ है कि संपूर्ण त्रिकोणमितीय फलन चुकता है। वे। इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है: . यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह इस तरह के अंकन के बराबर नहीं है, इस मामले में केवल तर्क चुकता है, और संपूर्ण कार्य नहीं है, इसके अलावा, इस तरह के भाव अत्यंत दुर्लभ हैं।

पहली पहचान के लिए दो बहुत ही उपयोगी परिणाम हैं जो कई प्रकार की समस्याओं को हल करने में उपयोगी हो सकते हैं। सरल परिवर्तनों के बाद, आप उसी कोण की कोज्या के माध्यम से ज्या व्यक्त कर सकते हैं और इसके विपरीत:

व्यंजकों के दो संभावित चिन्ह प्रकट होते हैं क्योंकि अंकगणित निकालना वर्गमूलकेवल गैर-ऋणात्मक मान देता है, और ज्या और कोज्या, जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, ऋणात्मक मान हो सकते हैं। इसके अलावा, इन कार्यों के संकेत त्रिकोणमितीय सर्कल की मदद से सबसे आसानी से निर्धारित किए जाते हैं, जिसके आधार पर उनमें कौन से कोण मौजूद हैं।

अब आइए याद रखें कि कोणों की माप दो तरह से की जा सकती है: डिग्री में और रेडियन में। आइए हम एक डिग्री और एक रेडियन की परिभाषाओं को इंगित करें।

एक डिग्री- यह दो त्रिज्याओं द्वारा निर्मित कोण है जो एक चाप को एक वृत्त के बराबर अंतरित करता है।

एक रेडियन- यह दो त्रिज्याओं द्वारा निर्मित कोण है, जो त्रिज्या की लंबाई के बराबर एक चाप द्वारा संकुचित होते हैं।

वे। वे कोणों को मापने के लिए केवल दो अलग-अलग तरीके हैं जो बिल्कुल बराबर हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों की विशेषता वाली भौतिक प्रक्रियाओं के विवरण में, कोणों के रेडियन माप का उपयोग करने की प्रथा है, इसलिए हमें भी इसकी आदत डालनी होगी।

उदाहरण के लिए, "pi" संख्या के अंशों में रेडियन में कोणों को मापने की प्रथा है, या। इस मामले में, संख्या "pi" का मान, जो कि 3.14 है, प्रतिस्थापित किया जा सकता है, लेकिन ऐसा शायद ही कभी किया जाता है।

कोणों की डिग्री माप को रेडियन में बदलने के लिएइस तथ्य का लाभ उठाएं कि जिस कोण से कोण प्राप्त करना आसान है सामान्य सूत्रअनुवाद:

उदाहरण के लिए, आइए रेडियंस में कनवर्ट करें: .

एक विपरीत भी है सूत्ररेडियन से डिग्री में रूपांतरण:

उदाहरण के लिए, आइए डिग्री में कनवर्ट करें: .

हम इस विषय में अक्सर कोण के रेडियन माप का उपयोग करेंगे।

अब यह याद रखने का समय है कि विभिन्न कोणों के त्रिकोणमितीय कार्य क्या विशिष्ट मान दे सकते हैं। कुछ कोणों के लिए जो , के गुणज हैं, है त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका. सुविधा के लिए, कोणों को डिग्री और रेडियन माप में दिया गया है।

इन कोणों को अक्सर कई समस्याओं का सामना करना पड़ता है, और इस तालिका में आत्मविश्वास से नेविगेट करने में सक्षम होना वांछनीय है। कुछ कोणों की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों का कोई मतलब नहीं होता है, जिसे तालिका में डैश के रूप में दर्शाया गया है। अपने लिए सोचें कि ऐसा क्यों है, या पाठ की प्रविष्टि में इसे और अधिक विस्तार से पढ़ें।

हमारे पहले त्रिकोणमिति पाठ में आखिरी चीज जो हमें जाननी चाहिए वह है तथाकथित कमी सूत्रों के अनुसार त्रिकोणमितीय कार्यों का परिवर्तन।

यह पता चला है कि त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए एक निश्चित प्रकार की अभिव्यक्ति है, जो काफी सामान्य और आसानी से सरल है। उदाहरण के लिए, ये ऐसे भाव हैं: आदि।

वे। हम उन कार्यों के बारे में बात करेंगे जिनमें एक तर्क के रूप में एक मनमाना कोण है, जो पूरे या आधे हिस्से में बदल गया है। इस तरह के कार्यों को एक तर्क के लिए सरलीकृत किया जाता है जो भागों को जोड़ने या घटाने के एक मनमाना कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, , एक . जैसा कि हम देख सकते हैं, विपरीत कार्य परिणाम बन सकता है, और फ़ंक्शन संकेत बदल सकता है।

इसलिए, ऐसे कार्यों को बदलने के नियमों को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है। सबसे पहले, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि परिवर्तन के बाद कौन सा कार्य प्राप्त होगा:

1) यदि एक मनमाना तर्क एक पूर्णांक में बदल दिया जाता है, तो फ़ंक्शन नहीं बदलता है। यह प्रकार के कार्यों के लिए सही है जहां कोई पूर्णांक;

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1 परिचय।

स्कूल के पास, मुझे जिम से लड़कों की आवाज़ें सुनाई देती हैं, मैं और आगे जाता हूँ - वे गाते हैं, आकर्षित करते हैं ... भावनाएँ, भावनाएँ हर जगह हैं। मेरा कार्यालय, बीजगणित पाठ, दसवीं कक्षा के छात्र। यहां हमारी पाठ्यपुस्तक है, जिसमें त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम इसकी मात्रा का आधा है, और इसमें दो बुकमार्क हैं - ये वे स्थान हैं जहां मुझे ऐसे शब्द मिले जो त्रिकोणमिति के सिद्धांत से संबंधित नहीं हैं।

कुछ ऐसे छात्र हैं जो गणित से प्यार करते हैं, इसकी सुंदरता को महसूस करते हैं और यह नहीं पूछते हैं कि त्रिकोणमिति का अध्ययन करना क्यों आवश्यक है, अध्ययन की गई सामग्री का उपयोग कहां किया जाता है? बहुसंख्यक वे हैं जो केवल कार्यों को पूरा करते हैं ताकि खराब ग्रेड न मिले। और हम दृढ़ता से आश्वस्त हैं कि गणित का व्यावहारिक मूल्य सफल होने के लिए पर्याप्त ज्ञान प्राप्त करना है परीक्षा उत्तीर्ण करनाऔर विश्वविद्यालय में प्रवेश (प्रवेश करने और भूलने के लिए)।

प्रस्तुत पाठ का मुख्य उद्देश्य त्रिकोणमिति के लागू मूल्य को प्रदर्शित करना है विभिन्न क्षेत्रमानवीय गतिविधियाँ। दिए गए उदाहरण छात्रों को गणित के इस खंड का स्कूल में अध्ययन किए गए अन्य विषयों के साथ संबंध देखने में मदद करेंगे। इस पाठ की सामग्री छात्र प्रशिक्षण का एक तत्व है।

एक लंबे समय से ज्ञात तथ्य के बारे में कुछ नया बताएं। जो हम पहले से जानते हैं और जो अध्ययन किया जाना बाकी है, के बीच एक तार्किक संबंध दिखाएं। थोड़ा दरवाजा खोलो और आगे देखो स्कूल के पाठ्यक्रम. असामान्य कार्य, आज की घटनाओं से संबंध - ये वे तकनीकें हैं जिनका उपयोग मैं अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए करता हूं। आखिरकार, एक विषय के रूप में स्कूली गणित सीखने में उतना योगदान नहीं देता जितना कि व्यक्ति के विकास, उसकी सोच, संस्कृति में।

2. बीजगणित पर पाठ का सारांश और विश्लेषण की शुरुआत (ग्रेड 10)।

आयोजन का समय:अर्धवृत्त (चाचा मॉडल) में छह टेबल व्यवस्थित करें, टेबल पर छात्रों के लिए वर्कशीट (अनुलग्नक 1).

पाठ के विषय की घोषणा: "त्रिकोणमिति सरल और स्पष्ट है।"

बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत के दौरान, हम त्रिकोणमिति का अध्ययन करना शुरू करते हैं, मैं गणित की इस शाखा के लागू महत्व के बारे में बात करना चाहता हूं।

पाठ की थीसिस:

“महान किताबप्रकृति को केवल वही पढ़ सकता है जो उस भाषा को जानता है जिसमें वह लिखा गया है, और वह भाषा है गणित।
(जी गैलीलियो)।

पाठ के अंत में, हम एक साथ विचार करेंगे कि क्या हम इस पुस्तक को देखने और उस भाषा को समझने में सक्षम थे जिसमें यह लिखी गई है।

एक न्यून कोण की त्रिकोणमिति।

त्रिकोणमिति एक ग्रीक शब्द है और इसका अर्थ है "त्रिकोण का मापन"। त्रिकोणमिति का उद्भव जमीन, निर्माण और खगोल विज्ञान पर माप से जुड़ा है। और उसके साथ पहला परिचय तब हुआ जब आपने एक चांदा उठाया। क्या आपने ध्यान दिया कि टेबल कैसे खड़े होते हैं? अपने दिमाग में अनुमान लगाएं: यदि आप एक जीवा के लिए एक मेज लेते हैं, तो चाप की डिग्री माप क्या है जिसे वह एक साथ खींचता है?

कोणों के माप को याद करें: 1 ° = 1/360सर्कल का हिस्सा ("डिग्री" - लैटिन ग्रेड से - चरण)। क्या आप जानते हैं कि वृत्त को 360 भागों में क्यों विभाजित किया गया था, 10, 100 या 1000 भागों में विभाजित क्यों नहीं किया गया, उदाहरण के लिए, लंबाई मापते समय? मैं आपको संस्करणों में से एक बताऊंगा।

पहले, लोगों का मानना ​​​​था कि पृथ्वी ब्रह्मांड का केंद्र है और यह गतिहीन है, और सूर्य प्रति दिन पृथ्वी के चारों ओर एक चक्कर लगाता है, दुनिया की भू-केन्द्रित प्रणाली, "भू" - पृथ्वी ( ड्राइंग नंबर 1) खगोलीय अवलोकन करने वाले बेबीलोन के पुजारियों ने पाया कि विषुव के दिन, सूर्योदय से सूर्यास्त तक, सूर्य आकाश में एक अर्धवृत्त का वर्णन करता है, जिसमें सूर्य का स्पष्ट व्यास (व्यास) ठीक 180 गुना फिट बैठता है, 1 ° - सूरज का निशान। ( चित्र संख्या 2).

लंबे समय तक, त्रिकोणमिति प्रकृति में विशुद्ध रूप से ज्यामितीय थी। आप में समकोण त्रिभुजों को हल करके त्रिकोणमिति से अपना परिचय जारी रखें। आप सीखते हैं कि समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है, कोज्या आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है, स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न पैर का अनुपात है , और कोटैंजेंट आसन्न पैर का विपरीत भाग का अनुपात है। और याद रखें कि किसी दिए गए कोण वाले समकोण त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात त्रिभुज के आकार पर निर्भर नहीं करता है। स्वेच्छ त्रिभुजों को हल करने के लिए ज्या और कोज्या प्रमेय से परिचित हों।

2010 में, मास्को मेट्रो ने अपनी 75 वीं वर्षगांठ मनाई। हर दिन हम मेट्रो में जाते हैं और ध्यान नहीं देते कि ...

टास्क नंबर 1.मॉस्को मेट्रो में सभी एस्केलेटर के झुकाव का कोण 30 डिग्री है। यह जानकर, एस्केलेटर पर लैंप की संख्या और लैंप के बीच की अनुमानित दूरी, आप स्टेशन की अनुमानित गहराई की गणना कर सकते हैं। Tsvetnoy Bulvar स्टेशन के एस्केलेटर पर 15 लैंप हैं, और Prazhskaya स्टेशन पर 2 लैंप हैं। इन स्टेशनों की गहराई की गणना करें यदि लैम्प के बीच की दूरी, एस्केलेटर के प्रवेश द्वार से पहले लैंप तक और अंतिम लैंप से एस्केलेटर से बाहर निकलने तक की दूरी 6 मीटर है ( ड्राइंग नंबर 3) उत्तर: 48 मी और 9 मी

गृहकार्य. मॉस्को मेट्रो का सबसे गहरा स्टेशन पार्क पोबेडी है। इसकी गहराई क्या है? मेरा सुझाव है कि आप अपने गृहकार्य की समस्या को हल करने के लिए स्वतंत्र रूप से लापता डेटा का पता लगाएं।

मेरे हाथ में एक लेज़र पॉइंटर है, यह एक रेंजफाइंडर भी है। आइए मापें, उदाहरण के लिए, बोर्ड की दूरी।

चीनी डिजाइनर हुआन किआओकोंग ने दो लेजर रेंजफाइंडर, एक प्रोट्रैक्टर को एक उपकरण में संयोजित करने का अनुमान लगाया और एक उपकरण प्राप्त किया जो आपको एक विमान पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है ( ड्राइंग नंबर 4) आपको क्या लगता है, किस प्रमेय की सहायता से यह समस्या हल हो जाती है? कोसाइन प्रमेय के सूत्रीकरण को याद करें। क्या आप मेरी इस बात से सहमत हैं कि ऐसा आविष्कार करने के लिए आपका ज्ञान पहले से ही पर्याप्त है? ज्यामिति की समस्याओं को हल करें और प्रतिदिन छोटी-छोटी खोजें करें!

गोलाकार त्रिकोणमिति।

यूक्लिड (प्लानिमेट्री) की समतल ज्यामिति के अलावा, अन्य ज्यामिति भी हो सकती हैं जिनमें आकृतियों के गुणों को समतल पर नहीं, बल्कि अन्य सतहों पर माना जाता है, उदाहरण के लिए, एक गेंद की सतह पर ( ड्राइंग नंबर 5) गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के विकास की नींव रखने वाले पहले गणितज्ञ एन.आई. लोबचेव्स्की - "ज्यामिति का कॉपरनिकस"। 1827 से, 19 वर्षों तक, वह कज़ान विश्वविद्यालय के रेक्टर थे।

गोलाकार त्रिकोणमिति, जो गोलाकार ज्यामिति का हिस्सा है, एक गोले पर त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों पर विचार करता है, जो एक गोले पर बड़े वृत्तों के चापों द्वारा बनता है ( ड्राइंग नंबर 6).

ऐतिहासिक रूप से, गोलाकार त्रिकोणमिति और ज्यामिति खगोल विज्ञान, भूगणित, नेविगेशन और कार्टोग्राफी की जरूरतों से उत्पन्न हुई। इनमें से कौन सी दिशा पर विचार करें पिछले साल काइतना तेजी से विकास प्राप्त हुआ है कि इसका परिणाम आधुनिक संचारकों में पहले से ही उपयोग किया जा रहा है। ... नेविगेशन का एक आधुनिक अनुप्रयोग एक उपग्रह नेविगेशन सिस्टम है जो आपको किसी वस्तु के स्थान और गति को उसके रिसीवर के सिग्नल से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

ग्लोबल नेविगेशन सिस्टम (जीपीएस)। रिसीवर के अक्षांश और देशांतर को निर्धारित करने के लिए, कम से कम तीन उपग्रहों से संकेत प्राप्त करना आवश्यक है। चौथे उपग्रह से एक संकेत प्राप्त करने से सतह के ऊपर वस्तु की ऊंचाई निर्धारित करना भी संभव हो जाता है ( ड्राइंग नंबर 7).

रिसीवर कंप्यूटर चार अज्ञात में चार समीकरणों को हल करता है जब तक कि एक समाधान नहीं मिल जाता है जो एक बिंदु के माध्यम से सभी सर्कल खींचता है ( ड्राइंग नंबर 8).

अधिक जटिल व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए एक न्यून कोण के त्रिकोणमिति से ज्ञान अपर्याप्त निकला। घूर्णी और वृत्ताकार गतियों का अध्ययन करते समय, कोण और वृत्ताकार चाप का मान सीमित नहीं होता है। सामान्यीकृत तर्क के त्रिकोणमिति में संक्रमण की आवश्यकता थी।

सामान्यीकृत तर्क की त्रिकोणमिति।

वृत्त ( ड्राइंग नंबर 9) सकारात्मक कोणों को वामावर्त प्लॉट किया जाता है, नकारात्मक कोणों को दक्षिणावर्त प्लॉट किया जाता है। क्या आप इस तरह के समझौते के इतिहास से परिचित हैं?

जैसा कि आप जानते हैं, यांत्रिक और धूपघड़ी को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि उनके हाथ "सूर्य के अनुसार" घूमते हैं, अर्थात। उसी दिशा में जिसमें हम पृथ्वी के चारों ओर सूर्य की स्पष्ट गति देखते हैं। (पाठ की शुरुआत याद रखें - दुनिया की भू-केन्द्रित प्रणाली)। लेकिन कोपरनिकस द्वारा सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की वास्तविक (सकारात्मक) गति की खोज के साथ, पृथ्वी के चारों ओर सूर्य की स्पष्ट (अर्थात स्पष्ट) गति काल्पनिक (नकारात्मक) है। विश्व की सूर्य केन्द्रित प्रणाली (हेलिओ-सूर्य) ( ड्राइंग नंबर 10).

जोश में आना.

1. बाहर खींचें दांया हाथआपके सामने, टेबल की सतह के समानांतर और 720 डिग्री का एक गोलाकार घुमाव करें।
2. बाहर खींचें बायां हाथआपके सामने, टेबल की सतह के समानांतर और (-1080) डिग्री से एक गोलाकार मोड़ करें।
3. अपने हाथों को अपने कंधों पर रखें और 4 गोलाकार गतियां आगे-पीछे करें। घूर्णन कोणों का योग कितना होता है?

2010 में सर्दी ओलिंपिक खेलोंवैंकूवर में, हम समस्या को हल करके एक स्केटर के व्यायाम की ग्रेडिंग के लिए मानदंड का पता लगाएंगे।

टास्क नंबर 2.यदि कोई स्केटर 12 सेकंड में स्क्रू एक्सरसाइज करते हुए 10,800 डिग्री का मोड़ लेता है, तो उसे "उत्कृष्ट" मार्क मिलता है। निर्धारित करें कि इस समय के दौरान स्केटर कितने चक्कर लगाएगा और उसके घूमने की गति (प्रति सेकंड क्रांति) होगी। उत्तर: 2.5 चक्कर/सेकंड।

गृहकार्य. एक स्केटर किस कोण पर घूमता है, जिसे "असंतोषजनक" रेटिंग मिली है, यदि उसी रोटेशन समय के साथ, उसकी गति प्रति सेकंड 2 क्रांति थी।

घूर्णन गति से जुड़े चापों और कोणों का सबसे सुविधाजनक माप रेडियन (त्रिज्या) माप निकला, कोण या चाप के मापन की एक बड़ी इकाई के रूप में ( ड्राइंग नंबर 11) कोण माप के इस माप ने लियोनहार्ड यूलर के उल्लेखनीय कार्यों के माध्यम से विज्ञान में प्रवेश किया। जन्म से स्विस, वह 30 साल तक रूस में रहे, सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य थे। यह उनके लिए है कि हम सभी त्रिकोणमिति की "विश्लेषणात्मक" व्याख्या का श्रेय देते हैं, उन्होंने उन सूत्रों को प्राप्त किया जो अब आप पढ़ रहे हैं, एक समान संकेत पेश किए:। पाप एक्स, कोस एक्स, टीजी एक्ससीटीजी एक्स.

यदि 17वीं शताब्दी तक त्रिकोणमितीय कार्यों के सिद्धांत का विकास ज्यामितीय आधार पर किया गया था, तो, 17वीं शताब्दी से, त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग यांत्रिकी, प्रकाशिकी, बिजली में समस्याओं को हल करने के लिए, दोलन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाने लगा। प्रसार। जहां भी किसी को आवधिक प्रक्रियाओं और दोलनों से निपटना होता है, त्रिकोणमितीय कार्यों ने आवेदन पाया है। आवधिक प्रक्रियाओं के नियमों को व्यक्त करने वाले कार्यों में केवल उनके लिए निहित एक विशेष गुण होता है: वे तर्क के परिवर्तन के समान अंतराल के माध्यम से अपने मूल्यों को दोहराते हैं। किसी भी फ़ंक्शन के परिवर्तन उसके ग्राफ पर सबसे स्पष्ट रूप से प्रसारित होते हैं ( ड्राइंग नंबर 12).

रोटेशन की समस्याओं को हल करने में मदद के लिए हम पहले ही अपने शरीर की ओर रुख कर चुके हैं। आइए सुनते हैं हमारे दिल की धड़कन। हृदय एक स्वतंत्र अंग है। मस्तिष्क हमारे शरीर में हृदय को छोड़कर सभी मांसपेशियों को नियंत्रित करता है। उसका अपना नियंत्रण केंद्र है - साइनस नोड। हृदय के प्रत्येक संकुचन के साथ पूरे शरीर में - साइनस नोड (बाजरे के दाने के आकार) से शुरू होकर - फैलता है बिजली. इसे इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफ़ का उपयोग करके रिकॉर्ड किया जा सकता है। यह एक इलेक्ट्रोकार्डियोग्राम (साइनसॉइड) खींचता है ( ड्राइंग नंबर 13).

अब बात करते हैं संगीत की। गणित संगीत है, यह मन और सौंदर्य का मिलन है।
संगीत गणना से गणित है, बीजगणित अमूर्तन द्वारा, त्रिकोणमिति सौंदर्य से। हार्मोनिक दोलन(हार्मोनिक) एक साइन वेव है। ग्राफ़ दिखाता है कि श्रोता के ईयरड्रम पर हवा का दबाव कैसे बदलता है: समय-समय पर एक चाप में ऊपर और नीचे। हवा जोर से धक्का देती है, फिर कमजोर। प्रभाव बल काफी छोटा है और दोलन बहुत जल्दी होते हैं: हर सेकंड सैकड़ों और हजारों झटके। हम ऐसे आवधिक कंपनों को ध्वनि के रूप में देखते हैं। दो अलग-अलग हार्मोनिक्स जोड़ने से एक अधिक जटिल तरंग उत्पन्न होती है। तीन हार्मोनिक्स का योग और भी जटिल है, और प्राकृतिक ध्वनियाँ और संगीत वाद्ययंत्रों की आवाज़ें बड़ी संख्या में हार्मोनिक्स से बनी होती हैं। ( ड्राइंग नंबर 14.)

प्रत्येक हार्मोनिक को तीन मापदंडों की विशेषता है: आयाम, आवृत्ति और चरण। दोलन आवृत्ति इंगित करती है कि एक सेकंड में वायुदाब के कितने झटके आते हैं। बड़ी आवृत्तियों को "उच्च", "पतली" ध्वनियों के रूप में माना जाता है। 10 किलोहर्ट्ज़ से ऊपर - चीख़, सीटी। छोटी आवृत्तियों को "कम", "बास" ध्वनियों, गड़गड़ाहट के रूप में माना जाता है। आयाम दोलन की सीमा है। स्पैन जितना बड़ा होगा, ईयरड्रम पर प्रभाव उतना ही मजबूत होगा, और तेज आवाजजो हम सुनते हैं ड्राइंग नंबर 15) चरण समय में दोलनों का विस्थापन है। चरण को डिग्री या रेडियन में मापा जा सकता है। चरण के आधार पर, शून्य गणना को ग्राफ़ पर स्थानांतरित कर दिया जाता है। हार्मोनिक को निर्दिष्ट करने के लिए, चरण को -180 से +180 डिग्री तक निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि दोलन बड़े मूल्यों पर दोहराता है। एक ही आयाम और आवृत्ति के साथ दो साइनसोइडल सिग्नल लेकिन अलग-अलग चरणों को बीजगणितीय रूप से जोड़ा जाता है ( ड्राइंग नंबर 16).

पाठ का सारांश।क्या आपको लगता है कि हम प्रकृति की महान पुस्तक के कुछ पन्ने पढ़ पाए? त्रिकोणमिति के लागू अर्थ के बारे में जानने के बाद, क्या आपने मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में इसकी भूमिका को और अधिक स्पष्ट रूप से समझा, क्या आपने प्रस्तुत सामग्री को समझा? फिर त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग के क्षेत्रों को याद रखें और सूचीबद्ध करें जिन्हें आप आज मिले थे या पहले जानते थे। मुझे आशा है कि आप में से प्रत्येक ने आज के पाठ में अपने लिए कुछ नया और दिलचस्प पाया। शायद यह नया आपको चुनने का तरीका दिखाएगा भविष्य का पेशा, लेकिन कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन बन जाते हैं, आपकी गणितीय शिक्षा आपको अपने क्षेत्र में एक पेशेवर और बौद्धिक रूप से विकसित व्यक्ति बनने में मदद करेगी।

गृहकार्य. पाठ की रूपरेखा पढ़ें

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आमतौर पर, जब वे किसी को TERRIBLE MATH से डराना चाहते हैं, तो सभी प्रकार के साइन और कोसाइन को एक उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जाता है, जैसे कि कुछ बहुत ही जटिल और बुरा। लेकिन वास्तव में, यह एक सुंदर और दिलचस्प खंड है जिसे समझा और हल किया जा सकता है।
विषय 9वीं कक्षा में शुरू होता है और पहली बार में सब कुछ हमेशा स्पष्ट नहीं होता है, कई सूक्ष्मताएं और तरकीबें हैं। मैंने इस विषय पर कुछ कहने की कोशिश की।

त्रिकोणमिति की दुनिया का परिचय:
सूत्रों में सिर के बल फेंकने से पहले, आपको ज्यामिति से यह समझने की जरूरत है कि साइन, कोसाइन आदि क्या हैं।
कोण की ज्या- कर्ण के विपरीत (कोण) पक्ष का अनुपात।
कोज्याकर्ण के आसन्न का अनुपात है।
स्पर्शरेखा- आसन्न पक्ष में विपरीत पक्ष
कोटैंजेंट- विपरीत के निकट।

अब इकाई त्रिज्या के एक वृत्त पर विचार करें कार्तिकये निर्देशांकऔर उस पर कुछ अल्फा कोण चिह्नित करें: (चित्र क्लिक करने योग्य हैं, उनमें से कम से कम कुछ)
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पतली लाल रेखाएँ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु से लंबवत् और x और y अक्षों पर समकोण होती हैं। लाल x और y कुल्हाड़ियों पर x और y निर्देशांक के मान हैं (ग्रे x और y केवल यह इंगित करने के लिए हैं कि ये निर्देशांक अक्ष हैं न कि केवल रेखाएँ)।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कोणों की गणना x-अक्ष की धनात्मक दिशा से वामावर्त की जाती है।
हम इसके लिए साइन, कोसाइन, इत्यादि ढूंढते हैं।
sin a: विपरीत भुजा y है, कर्ण 1 है।
पाप ए = वाई / 1 = वाई
यह पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए कि मुझे y और 1 कहाँ से मिलता है, स्पष्टता के लिए, आइए अक्षरों को व्यवस्थित करें और त्रिभुजों पर विचार करें।
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AF = AE = 1 - वृत्त की त्रिज्या।
अत: AB = 1, त्रिज्या के रूप में। AB कर्ण है।
BD = CA = y - ओह के मान के रूप में।
AD \u003d CB \u003d x - ओह के मान के रूप में।
पाप ए = बीडी / एबी = वाई / 1 = वाई
आगे कोसाइन:
cos a: आसन्न भुजा - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

हम भी घटाते हैं स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट.
टीजी ए = वाई / एक्स = पाप ए / कॉस ए
सीटीजी ए = एक्स / वाई = कॉस ए / पाप ए
पहले से ही अचानक हमने स्पर्शरेखा और कोटंगेंट का सूत्र प्राप्त कर लिया है।

खैर, आइए देखें कि इसे विशिष्ट कोणों से कैसे हल किया जाता है।
उदाहरण के लिए, ए = 45 डिग्री।
हमें 45 डिग्री के एक कोण के साथ एक समकोण त्रिभुज मिलता है। किसी के लिए यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि यह अलग-अलग भुजाओं वाला एक त्रिभुज है, लेकिन मैं वैसे भी इस पर हस्ताक्षर करूंगा।
त्रिभुज का तीसरा कोना ज्ञात कीजिए (पहला 90, दूसरा 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
यदि दो कोण समान हैं, तो भुजाएँ समान हैं, जैसा कि यह लग रहा था।
तो, यह पता चला है कि, यदि हम एक दूसरे के ऊपर दो ऐसे त्रिकोण जोड़ते हैं, तो हमें त्रिज्या के बराबर विकर्ण वाला एक वर्ग मिलता है। पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा, हम जानते हैं कि एक वर्ग के विकर्ण के साथ एक दो की जड़ों के बराबर है।
अब हम सोचते हैं। यदि 1 (कर्ण उर्फ ​​विकर्ण) दो के मूल से गुणा किए गए वर्ग की भुजा के बराबर है, तो वर्ग की भुजा 1/sqrt(2) के बराबर होनी चाहिए, और यदि हम इस भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं दो के मूल से, हमें sqrt(2)/2 मिलता है। और चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, तो AD = AC => x = y
हमारे त्रिकोणमितीय कार्यों को ढूँढना:
पाप 45 = sqrt(2)/2/1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2/1 = sqrt(2)/2
टीजी 45 = वर्ग (2)/2 / वर्ग (2)/2 = 1
सीटीजी 45 = वर्ग (2)/2 / वर्ग (2)/2 = 1
बाकी कोणों के साथ, आपको उसी तरह काम करने की ज़रूरत है। केवल त्रिभुज समद्विबाहु नहीं होंगे, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजाओं को खोजना उतना ही आसान है।
इस तरह, हमें विभिन्न कोणों से त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की एक तालिका मिलती है:
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इसके अलावा, यह तालिका धोखा देने वाली और बहुत सुविधाजनक है।
बिना किसी परेशानी के इसे स्वयं कैसे बनाएं:आप ऐसी एक तालिका बनाएं और कक्षों में संख्याएं 1 2 3 लिखें।
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अब इन 1 2 3 से आप जड़ निकालते हैं और 2 से भाग करते हैं। यह इस प्रकार निकलता है:
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अब हम ज्या को पार करते हैं और कोज्या लिखते हैं। इसके मान प्रतिबिंबित ज्या हैं:
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स्पर्शरेखा प्राप्त करना उतना ही आसान है - आपको साइन लाइन के मान को कोसाइन लाइन के मान से विभाजित करने की आवश्यकता है:
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कोटैंजेंट का मान स्पर्शरेखा का उल्टा मान होता है। नतीजतन, हमें कुछ ऐसा मिलता है:
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टिप्पणीउदाहरण के लिए, P/2 में स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। सोचो क्यों। (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।)

यहाँ क्या याद रखना है:साइन y मान है, कोसाइन x मान है। स्पर्शरेखा y से x का अनुपात है, और कोटैंजेंट इसके विपरीत है। इसलिए, साइन / कोसाइन के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, यह एक प्लेट खींचने के लिए पर्याप्त है, जिसे मैंने ऊपर वर्णित किया है और समन्वय अक्षों के साथ एक चक्र (यह मूल्यों को देखने के लिए सुविधाजनक है) कोण 0, 90, 180, 360)।
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अच्छा, मुझे आशा है कि आप बता सकते हैं तिमाहियों:
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इसकी ज्या, कोज्या आदि का चिन्ह इस बात पर निर्भर करता है कि कोण किस तिमाही में है। हालाँकि, बिल्कुल आदिम तार्किक सोच आपको सही उत्तर की ओर ले जाएगी, यदि आप इस बात को ध्यान में रखते हैं कि दूसरी और तीसरी तिमाही में x नकारात्मक है, और y तीसरे और चौथे में नकारात्मक है। भयानक या भयावह कुछ भी नहीं।

मुझे लगता है कि इसका उल्लेख करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कमी सूत्रअला भूत, जैसा कि हर कोई सुनता है, जिसमें सच्चाई का एक दाना होता है। व्यर्थता के लिए ऐसे कोई सूत्र नहीं हैं। इस सभी क्रिया का अर्थ: हम केवल पहली तिमाही (30 डिग्री, 45, 60) के कोणों के मूल्यों को आसानी से ढूंढते हैं। त्रिकोणमितीय फलन आवधिक होते हैं, इसलिए हम किसी भी बड़े कोण को पहले चतुर्थांश तक खींच सकते हैं। तब हम तुरंत इसका अर्थ खोज लेंगे। लेकिन सिर्फ खींचना ही काफी नहीं है - आपको संकेत के बारे में याद रखने की जरूरत है। यही कास्टिंग फ़ार्मुलों के लिए है।
तो, हमारे पास एक बड़ा कोण है, या 90 डिग्री से अधिक है: a \u003d 120. और आपको इसकी साइन और कोसाइन खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम 120 को ऐसे कोणों में विघटित करते हैं जिनके साथ हम काम कर सकते हैं:
पाप ए = पाप 120 = पाप (90 + 30)
हम देखते हैं कि यह कोण दूसरी तिमाही में स्थित है, वहां साइन सकारात्मक है, इसलिए साइन के सामने + चिन्ह संरक्षित है।
90 डिग्री से छुटकारा पाने के लिए, हम साइन को कोसाइन में बदलते हैं। खैर, यहाँ याद रखने का एक नियम है:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
और आप इसे दूसरे तरीके से कल्पना कर सकते हैं:
पाप 120 = पाप (180 - 60)
180 डिग्री से छुटकारा पाने के लिए, हम फ़ंक्शन नहीं बदलते हैं।
पाप (180 - 60) = पाप 60 = वर्ग(3) / 2
हमें वही मूल्य मिला है, इसलिए सब कुछ सही है। अब कोसाइन:
cos 120 = cos (90 + 30)
दूसरी तिमाही में कोसाइन ऋणात्मक है, इसलिए हम ऋण चिह्न लगाते हैं। और हम फ़ंक्शन को विपरीत में बदलते हैं, क्योंकि हमें 90 डिग्री निकालने की आवश्यकता होती है।
cos (90 + 30) = - पाप 30 = - 1 / 2
या:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

पहली तिमाही में कोनों का अनुवाद करने के लिए आपको क्या जानने की जरूरत है:
- कोण को सुपाच्य शब्दों में विघटित करें;
- ध्यान रखें कि कोण किस तिमाही में स्थित है, और यदि इस तिमाही में कार्य नकारात्मक या सकारात्मक है, तो उपयुक्त चिह्न लगाएं;
-अतिरिक्त से छुटकारा
*यदि आपको 90, 270, 450 और शेष 90+180n से छुटकारा पाने की आवश्यकता है, जहां n कोई पूर्णांक है, तो फ़ंक्शन उलट जाता है (साइन से कोसाइन, स्पर्शरेखा से कोटैंजेंट और इसके विपरीत);
*यदि आपको 180 और शेष 180+180n से छुटकारा पाने की आवश्यकता है, जहां n कोई पूर्णांक है, तो फ़ंक्शन नहीं बदलता है। (यहां एक विशेषता है, लेकिन इसे शब्दों में समझाना मुश्किल है, ठीक है, ठीक है)।
बस इतना ही। जब आप कुछ नियमों को याद कर सकते हैं और उनका आसानी से उपयोग कर सकते हैं, तो मैं स्वयं सूत्रों को याद करना आवश्यक नहीं समझता। वैसे, इन सूत्रों को सिद्ध करना बहुत आसान है:
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और वे भारी टेबल बनाते हैं, तो हम जानते हैं:
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मूल त्रिकोणमिति समीकरण:उन्हें दिल से बहुत, बहुत अच्छी तरह से जानने की जरूरत है।
मूल त्रिकोणमितीय पहचान(समानता):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
अगर आपको मेरी बात पर यकीन नहीं है तो खुद देख लीजिए और खुद देख लीजिए। विभिन्न कोणों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।
यह सूत्र बहुत, बहुत उपयोगी है, इसे हमेशा याद रखना। इसके साथ, आप कोसाइन के माध्यम से साइन को व्यक्त कर सकते हैं और इसके विपरीत, जो कभी-कभी बहुत उपयोगी होता है। लेकिन, किसी भी अन्य फॉर्मूले की तरह, आपको इसे संभालने में सक्षम होने की आवश्यकता है। हमेशा याद रखें कि त्रिकोणमितीय फलन का चिन्ह उस तिमाही पर निर्भर करता है जिसमें कोण स्थित है। इसीलिए जड़ निकालते समय, आपको एक चौथाई जानने की जरूरत है.

स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा:हम इन सूत्रों को शुरुआत में ही प्राप्त कर चुके हैं।
टीजी ए = पाप ए / कॉस ए
सीटीजी ए = कॉस ए / पाप ए

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का उत्पाद:
टीजी ए * सीटीजी ए = 1
इसलिये:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - भिन्न कैंसिल।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी सूत्र एक खेल और एक संयोजन हैं।
पहले सूत्र के कोज्या वर्ग और ज्या वर्ग से विभाजित करके प्राप्त किए गए दो और हैं:
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कृपया ध्यान दें कि अंतिम दो सूत्रों का उपयोग कोण के मान पर प्रतिबंध के साथ किया जा सकता है, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

अतिरिक्त सूत्र:वेक्टर बीजगणित का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है।
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उनका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, लेकिन उपयुक्त रूप से। स्कैन पर सूत्र हैं, लेकिन यह अस्पष्ट हो सकता है या डिजिटल रूप को समझना आसान है:
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डबल कोण सूत्र:
वे योग सूत्रों के आधार पर प्राप्त किए जाते हैं, उदाहरण के लिए: एक दोहरे कोण की कोज्या cos 2a = cos (a + a) है - क्या यह आपको कुछ याद दिलाता है? उन्होंने बीटा को अल्फा से बदल दिया।
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निम्नलिखित दो सूत्र पहले प्रतिस्थापन sin^2(a) = 1 - cos^2(a) और cos^2(a) = 1 - sin^2(a) से प्राप्त हुए हैं।
दोहरे कोण की ज्या के साथ, यह सरल है और इसका अधिक बार उपयोग किया जाता है:
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और विशेष विकृतियां एक दोहरे कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट को प्राप्त कर सकती हैं, यह देखते हुए कि tg a \u003d sin a / cos a, और इसी तरह।
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उपरोक्त व्यक्तियों के लिए ट्रिपल कोण सूत्र:वे कोण 2a और a को जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं, क्योंकि हम पहले से ही दोहरे कोण के सूत्रों को जानते हैं।
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आधा कोण सूत्र:
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मुझे नहीं पता कि वे कैसे व्युत्पन्न होते हैं, या इसे कैसे समझा जाए ... यदि आप इन सूत्रों को लिखते हैं, तो मूल त्रिकोणमितीय पहचान को एक / 2 के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, तो उत्तर अभिसरण होगा।

त्रिकोणमितीय कार्यों को जोड़ने और घटाने के सूत्र:
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वे अतिरिक्त सूत्रों से प्राप्त होते हैं, लेकिन किसी को परवाह नहीं है। अक्सर नहीं मिलते।

जैसा कि आप समझते हैं, अभी भी बहुत सारे सूत्र हैं, जिनकी गणना बस अर्थहीन है, क्योंकि मैं उनके बारे में पर्याप्त कुछ नहीं लिख पाऊंगा, और सूखे सूत्र कहीं भी मिल सकते हैं, और वे पिछले के साथ एक खेल हैं मौजूदा सूत्र। सब कुछ बहुत तार्किक और सटीक है। मैं आपको आखिरी बार बताऊंगा सहायक कोण विधि के बारे में:
व्यंजक a cosx + b sinx को Acos(x+) या Asin(x+) के रूप में बदलने को सहायक कोण (या अतिरिक्त तर्क) के परिचय की विधि कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में, कार्यों के मूल्यों का अनुमान लगाने में, चरम समस्याओं में किया जाता है, और जो ध्यान देना महत्वपूर्ण है, कुछ समस्याओं को एक सहायक कोण को पेश किए बिना हल नहीं किया जा सकता है।
आप के रूप में, मैंने इस विधि को समझाने की कोशिश नहीं की, इसका कुछ भी नहीं आया, इसलिए आपको इसे स्वयं करना होगा:
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यह डरावना है, लेकिन उपयोगी है। यदि आप समस्याओं का समाधान करते हैं, तो यह काम करना चाहिए।
उदाहरण के लिए यहाँ से: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

पाठ्यक्रम में अगला त्रिकोणमितीय फलनों के रेखांकन हैं। लेकिन एक सबक काफी है। यह देखते हुए कि छह महीने तक स्कूल में यह पढ़ाया जाता है।

अपने प्रश्न लिखें, समस्याओं को हल करें, कुछ कार्यों के स्कैन के लिए पूछें, इसका पता लगाएं, कोशिश करें।
हमेशा तुम्हारा, डैन फैराडे।

त्रिकोणमितीय परिवर्तन करते समय, इन युक्तियों का पालन करें:

1. एक उदाहरण को शुरू से अंत तक हल करने के लिए तुरंत एक योजना के साथ आने की कोशिश न करें।
2. पूरे उदाहरण को एक साथ बदलने की कोशिश न करें। छोटे-छोटे कदमों में आगे बढ़ें।
3. याद रखें कि त्रिकोणमिति में त्रिकोणमितीय सूत्रों के अलावा, आप अभी भी सभी निष्पक्ष बीजीय परिवर्तनों (ब्रैकेटिंग, अंशों को कम करने, संक्षिप्त गुणन सूत्र, और इसी तरह) को लागू कर सकते हैं।
4. यकीन मानिए सब ठीक हो जाएगा।

मूल त्रिकोणमितीय सूत्र

त्रिकोणमिति में अधिकांश सूत्र अक्सर दाएं से बाएं और बाएं से दाएं दोनों तरफ लागू होते हैं, इसलिए आपको इन सूत्रों को इतनी अच्छी तरह से सीखने की जरूरत है कि आप दोनों दिशाओं में आसानी से कुछ सूत्र लागू कर सकें। सबसे पहले, हम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ लिखते हैं। मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज है:

फिर, साइन की परिभाषा है:

कोसाइन की परिभाषा:

स्पर्शरेखा की परिभाषा:

कोटैंजेंट की परिभाषा:

मूल त्रिकोणमितीय पहचान:

मूल त्रिकोणमितीय पहचान से सरलतम परिणाम:

डबल कोण सूत्र।दोहरे कोण की ज्या:

दोहरे कोण की कोज्या:

डबल कोण स्पर्शरेखा:

डबल कोण कोटेंजेंट:

अतिरिक्त त्रिकोणमितीय सूत्र

त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्र।राशि की ज्या:

अंतर की साइन:

योग की कोज्या:

अंतर की कोज्या:

योग की स्पर्शरेखा:

अंतर स्पर्शरेखा:

योग का कोटैंजेंट:

अंतर कोटैंजेंट:

किसी योग को उत्पाद में बदलने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र।राशियों का योग:

साइन अंतर:

कोज्या का योग:

कोसाइन अंतर:

स्पर्शरेखाओं का योग:

स्पर्शरेखा अंतर:

स्पर्शरेखाओं का योग:

कोटैंजेंट अंतर:

किसी उत्पाद को योग में बदलने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र।साइन का उत्पाद:

साइन और कोसाइन का उत्पाद:

कोसाइन का उत्पाद:

डिग्री में कमी के सूत्र।

आधा कोण सूत्र।

त्रिकोणमितीय कमी सूत्र

कोसाइन फ़ंक्शन को कहा जाता है सह-कार्य:साइन फ़ंक्शन और इसके विपरीत। इसी तरह, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट कार्य सह-कार्य हैं। कमी सूत्र निम्नलिखित नियम के रूप में तैयार किए जा सकते हैं:

• यदि कमी सूत्र में कोण को 90 डिग्री या 270 डिग्री से घटाया (जोड़ा) जाता है, तो रिड्यूसिबल फ़ंक्शन एक सह-फ़ंक्शन में बदल जाता है;
• यदि कमी सूत्र में कोण को 180 डिग्री या 360 डिग्री से घटाया (जोड़ा) जाता है, तो कम किए गए फ़ंक्शन का नाम संरक्षित रहता है;
• इस मामले में, घटा हुआ फ़ंक्शन उस संकेत से पहले होता है, जो कम (यानी, मूल) फ़ंक्शन का संबंधित तिमाही में होता है, अगर हम घटाए गए (जोड़ा) कोण को न्यून मानते हैं।

कास्ट सूत्रतालिका के रूप में दिए गए हैं:

द्वारा त्रिकोणमितीय वृत्तत्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मूल्यों को निर्धारित करना आसान है:

त्रिकोणमितीय समीकरण

एक निश्चित त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में से एक में घटाया जाना चाहिए, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। इसके लिए:

• लागु कर सकते हे त्रिकोणमितीय सूत्रके ऊपर। इस मामले में, आपको पूरे उदाहरण को एक बार में बदलने की कोशिश करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन आपको छोटे चरणों में आगे बढ़ने की आवश्यकता है।
• हमें बीजीय विधियों की सहायता से किसी व्यंजक को रूपांतरित करने की संभावना के बारे में नहीं भूलना चाहिए, अर्थात्। उदाहरण के लिए, कोष्ठक में से कुछ डालें या, इसके विपरीत, कोष्ठक खोलें, भिन्न को कम करें, संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करें, और इसी तरह।
• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय, आप आवेदन कर सकते हैं समूहन विधि. यह याद रखना चाहिए कि कई कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होने के लिए, यह पर्याप्त है कि उनमें से कोई भी शून्य के बराबर हो, और बाकी मौजूद थे.
• को लागू करने परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि, हमेशा की तरह, प्रतिस्थापन की शुरूआत के बाद का समीकरण सरल हो जाना चाहिए और इसमें मूल चर नहीं होना चाहिए। आपको रिवर्स प्रतिस्थापन करना भी याद रखना होगा।
• याद रखें कि समरूप समीकरण अक्सर त्रिकोणमिति में भी होते हैं।
• मॉड्यूल खोलते समय या त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ तर्कहीन समीकरणों को हल करते समय, किसी को सामान्य कार्यों के साथ संबंधित समीकरणों को हल करने की सभी सूक्ष्मताओं को याद रखना चाहिए और ध्यान में रखना चाहिए।
• ODZ के बारे में याद रखें (त्रिकोणमितीय समीकरणों में, ODZ पर प्रतिबंध मूल रूप से इस तथ्य पर उबालते हैं कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन अन्य प्रतिबंधों के बारे में मत भूलना, विशेष रूप से तर्कसंगत शक्तियों में और सम डिग्री की जड़ों के नीचे अभिव्यक्ति की सकारात्मकता के बारे में) ) यह भी याद रखें कि साइन और कोसाइन का मान केवल माइनस वन और प्लस वन के बीच हो सकता है, जिसमें शामिल हैं।

मुख्य बात यह है कि यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो कम से कम कुछ करें, जबकि मुख्य बात त्रिकोणमितीय सूत्रों का सही ढंग से उपयोग करना है। यदि आपको जो मिलता है वह बेहतर और बेहतर हो रहा है, तो समाधान के साथ जारी रखें, और यदि यह खराब हो जाता है, तो शुरुआत में वापस जाएं और अन्य सूत्रों को लागू करने का प्रयास करें, इसलिए जब तक आप सही समाधान पर ठोकर नहीं खाते।

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के सूत्र।साइन के लिए, समाधान लिखने के दो समान रूप हैं:

अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, अंकन अद्वितीय है। कोसाइन के लिए:

स्पर्शरेखा के लिए:

कोटैंजेंट के लिए:

कुछ विशेष स्थितियों में त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल:

भौतिकी में सभी सूत्र और नियम और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, ऐसा करना भी बहुत सरल है, भौतिकी में लगभग 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में भी थोड़ा कम। इनमें से प्रत्येक विषय में बुनियादी स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना कठिनाई के, अधिकांश डिजिटल परिवर्तन को सही समय पर हल किया जा सकता है। उसके बाद, आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में सोचना होगा।

भौतिकी और गणित में पूर्वाभ्यास परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों को हल करने के लिए प्रत्येक आरटी को दो बार देखा जा सकता है। फिर, डीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में सक्षम होना भी आवश्यक है, उत्तरों और समस्याओं की संख्या, या अपने स्वयं के नाम को भ्रमित किए बिना। साथ ही, RT के दौरान, कार्यों में प्रश्न प्रस्तुत करने की शैली के अभ्यस्त होना महत्वपूर्ण है, जो DT पर एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत ही असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन आपको सीटी पर एक उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो आप करने में सक्षम हैं।

त्रुटि मिली?

अगर आपको लगता है कि आपको इसमें कोई त्रुटि मिली है प्रशिक्षण सामग्री, तो लिखें, कृपया, इसके बारे में मेल द्वारा। आप बग की रिपोर्ट भी कर सकते हैं सामाजिक जाल()। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, कार्य की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि कथित त्रुटि क्या है। आपका पत्र किसी का ध्यान नहीं जाएगा, त्रुटि को या तो ठीक कर दिया जाएगा, या आपको समझाया जाएगा कि यह गलती क्यों नहीं है।

1905 की शुरुआत में, रूसी पाठक विलियम जेम्स के मनोविज्ञान में पढ़ सकते थे, उनका तर्क "सीखने का इतना बुरा तरीका क्यों है?"

"केवल रटना के माध्यम से प्राप्त ज्ञान लगभग अनिवार्य रूप से बिना किसी निशान के पूरी तरह से भुला दिया जाता है। इसके विपरीत, स्मृति द्वारा संचित मानसिक सामग्री, धीरे-धीरे, दिन-ब-दिन, विभिन्न संदर्भों के संबंध में, अन्य बाहरी घटनाओं से संबद्ध और बार-बार चर्चा के अधीन, ऐसी प्रणाली बनाती है, हमारी बुद्धि के अन्य पहलुओं के साथ इस तरह के संबंध में प्रवेश करती है , बाहरी कारणों से स्मृति में आसानी से नवीनीकृत हो जाता है जो दीर्घकालिक ठोस अधिग्रहण बने रहते हैं।

तब से 100 से अधिक वर्ष बीत चुके हैं, और ये शब्द आश्चर्यजनक रूप से सामयिक बने हुए हैं। आप इसे हर दिन देखते हैं जब आप स्कूली बच्चों के साथ काम करते हैं। ज्ञान में बड़े पैमाने पर अंतराल इतना बड़ा है कि यह तर्क दिया जा सकता है कि स्कूली गणित पाठ्यक्रम शिक्षाप्रद और मनोवैज्ञानिक शब्दों में एक प्रणाली नहीं है, बल्कि एक तरह का उपकरण है जो प्रोत्साहित करता है अल्पावधि स्मृतिऔर दीर्घकालिक स्मृति की बिल्कुल भी परवाह नहीं करते हैं।

गणित के स्कूल पाठ्यक्रम को जानने का अर्थ है गणित के प्रत्येक क्षेत्र की सामग्री में महारत हासिल करना, उनमें से किसी को भी किसी भी समय अद्यतन करने में सक्षम होना। इसे प्राप्त करने के लिए, आपको उनमें से प्रत्येक को व्यवस्थित रूप से संबोधित करने की आवश्यकता है, जो कभी-कभी पाठ में भारी कार्यभार के कारण हमेशा संभव नहीं होता है।

तथ्यों और सूत्रों को लंबे समय तक याद रखने का एक और तरीका है - ये संदर्भ संकेत हैं।

त्रिकोणमिति, कक्षा 8, 9 में ज्यामिति के पाठ्यक्रम में और ग्रेड 9 में बीजगणित के पाठ्यक्रम में, बीजगणित और कक्षा 10 में विश्लेषण की शुरुआत में अध्ययन किए गए स्कूली गणित के बड़े वर्गों में से एक है।

त्रिकोणमिति में अध्ययन की जाने वाली सामग्री की सबसे बड़ी मात्रा कक्षा 10 पर आती है। इस त्रिकोणमिति सामग्री में से अधिकांश को सीखा और याद किया जा सकता है त्रिकोणमितीय वृत्त(मूल पर केन्द्रित इकाई त्रिज्या का वृत्त आयताकार प्रणालीनिर्देशांक)। आवेदन1.पीपीटी

ये त्रिकोणमिति की निम्नलिखित अवधारणाएँ हैं:

• एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा;
• कोणों का रेडियन माप;
• परिभाषा का क्षेत्र और त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमा
• संख्यात्मक और कोणीय तर्क के कुछ मूल्यों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य;
• त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता;
• सम और विषम त्रिकोणमितीय फलन;
• त्रिकोणमितीय कार्यों में वृद्धि और कमी;
• कमी सूत्र;
• उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य;
• सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल;
• सरलतम असमानताओं का समाधान;
• त्रिकोणमिति के मूल सूत्र।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर इन अवधारणाओं के अध्ययन पर विचार करें।

1) ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा।

एक त्रिकोणमितीय वृत्त (मूल पर केंद्रित इकाई त्रिज्या का एक वृत्त), एक प्रारंभिक त्रिज्या (ऑक्स अक्ष की दिशा में एक वृत्त की त्रिज्या), रोटेशन के कोण की अवधारणा को पेश करने के बाद, छात्र स्वतंत्र रूप से साइन, कोसाइन की परिभाषा प्राप्त करते हैं , त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट, पाठ्यक्रम ज्यामिति से परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, अर्थात, 1 के बराबर कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज पर विचार करना।

एक कोण की कोज्या एक वृत्त पर एक बिंदु का भुज होता है जब प्रारंभिक त्रिज्या किसी दिए गए कोण से घूमती है।

किसी कोण की ज्या किसी वृत्त पर एक बिंदु की कोटि होती है जब प्रारंभिक त्रिज्या किसी दिए गए कोण से घुमाई जाती है।

2) त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों का रेडियन माप।

एक कोण के रेडियन माप को शुरू करने के बाद (1 रेडियन केंद्रीय कोण है, जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर चाप की लंबाई से मेल खाता है), छात्रों ने निष्कर्ष निकाला है कि रेडियन कोण माप सर्कल पर रोटेशन के कोण का संख्यात्मक मान है। , संगत चाप की लंबाई के बराबर जब प्रारंभिक त्रिज्या को दिए गए कोण से घुमाया जाता है। .

त्रिकोणमितीय वृत्त को वृत्त के व्यास द्वारा 12 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। यह जानते हुए कि एक कोण एक रेडियन है, कोई भी कोणों के लिए रेडियन माप निर्धारित कर सकता है जो कि के गुणज हैं।

और कोणों के रेडियन माप जो गुणक हैं, समान रूप से प्राप्त किए जाते हैं:

3) परिभाषा का क्षेत्र और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों का डोमेन।

क्या वृत्त पर किसी बिंदु के घूर्णन कोणों और निर्देशांक मानों का पत्राचार एक फलन होगा?

रोटेशन का प्रत्येक कोण सर्कल पर एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए यह पत्राचार एक फ़ंक्शन है।

कार्य प्राप्त करना

त्रिकोणमितीय वृत्त पर यह देखा जा सकता है कि फलन की परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, और मानों का क्षेत्र .

आइए हम एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्श रेखाओं और स्पर्श रेखाओं की अवधारणाओं का परिचय दें।

1) चलो हम ओए अक्ष के समानांतर एक सहायक सीधी रेखा का परिचय देते हैं, जिस पर किसी भी संख्यात्मक तर्क के लिए स्पर्शरेखा निर्धारित की जाती है।

2) इसी प्रकार, हमें कोटैन्जेन्ट की एक रेखा प्राप्त होती है। मान लीजिए y=1, तब । इसका मतलब यह है कि कोटैंजेंट के मान ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा पर निर्धारित होते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्कल पर, कोई आसानी से परिभाषा के क्षेत्र और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की सीमा निर्धारित कर सकता है:

स्पर्शरेखा के लिए -

स्पर्शज्या के लिए -

4) त्रिकोणमितीय वृत्त पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान।

आधा कर्ण पर कोण के विपरीत पैर, यानी पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार दूसरा पैर:

तो साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट की परिभाषा से, आप उन कोणों के लिए मान निर्धारित कर सकते हैं जो गुणक या रेडियन हैं। साइन मान ओए अक्ष के साथ निर्धारित किए जाते हैं, ऑक्स अक्ष के साथ कोसाइन मान, और स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट मान क्रमशः ओए और ऑक्स अक्ष के समानांतर अतिरिक्त अक्षों से निर्धारित किए जा सकते हैं।

साइन और कोसाइन के सारणीबद्ध मान संबंधित अक्षों पर निम्नानुसार स्थित हैं:

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के सारणीबद्ध मान -

5) त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर, यह देखा जा सकता है कि साइन, कोसाइन के मान प्रत्येक रेडियन, और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट - प्रत्येक रेडियन दोहराए जाते हैं।

6) सम और विषम त्रिकोणमितीय फलन।

त्रिकोणमितीय कार्यों के सकारात्मक और विपरीत रोटेशन कोणों के मूल्यों की तुलना करके यह संपत्ति प्राप्त की जा सकती है। हमें वह मिलता है

तो कोसाइन है यहां तक ​​कि समारोह, अन्य सभी कार्य विषम हैं।

7) त्रिकोणमितीय कार्यों को बढ़ाना और घटाना।

त्रिकोणमितीय वृत्त दर्शाता है कि ज्या फलन बढ़ता है और घट रहा है

इसी तरह तर्क देते हुए, हम कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्यों के बढ़ने और घटने के अंतराल प्राप्त करते हैं।

8) कमी सूत्र।

कोण के लिए हम त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोण का छोटा मान लेते हैं। सभी सूत्र चयनित समकोण त्रिभुजों के पादों पर त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की तुलना करके प्राप्त किए जाते हैं।

कमी सूत्रों को लागू करने के लिए एल्गोरिदम:

1) किसी दिए गए कोण से घूमते समय फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करें।

एक कोना मोड़ते समय फ़ंक्शन को संरक्षित किया जाता है, जब कोण से मुड़ता है - एक पूर्णांक, एक विषम संख्या, एक सह-कार्य प्राप्त होता है (

9) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मान।

हम एक फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए व्युत्क्रम कार्यों का परिचय देते हैं।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट का प्रत्येक मान रोटेशन के कोण के केवल एक मान से मेल खाता है। तो, किसी फ़ंक्शन के लिए, परिभाषा का डोमेन है, मानों का डोमेन है - फ़ंक्शन के लिए, परिभाषा का डोमेन है, मानों का डोमेन है। इसी तरह, हम परिभाषा का क्षेत्र और मूल्यों की सीमा प्राप्त करते हैं उलटा कार्यकोसाइन और कोटैंजेंट के लिए।

उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) संबंधित अक्ष पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के तर्क का मान ज्ञात करना;

2) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के मानों की सीमा को ध्यान में रखते हुए, प्रारंभिक त्रिज्या के रोटेशन के कोण का पता लगाना।

उदाहरण के लिए:

10) त्रिकोणमितीय वृत्त पर सरलतम समीकरणों का हल।

फॉर्म के समीकरण को हल करने के लिए, हम एक सर्कल पर ऐसे बिंदु ढूंढते हैं जिनके निर्देशांक बराबर होते हैं और फ़ंक्शन की अवधि को ध्यान में रखते हुए संबंधित कोणों को लिखते हैं।

समीकरण के लिए, हम वृत्त पर ऐसे बिंदु पाते हैं जिनके भुज बराबर होते हैं और फलन की अवधि को ध्यान में रखते हुए संगत कोणों को लिखते हैं।

इसी प्रकार फॉर्म के समीकरणों के लिए मान स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की तर्ज पर निर्धारित किए जाते हैं और रोटेशन के संबंधित कोणों को दर्ज किया जाता है।

त्रिकोणमिति की सभी अवधारणाएँ और सूत्र एक त्रिकोणमितीय वृत्त की सहायता से शिक्षक के स्पष्ट मार्गदर्शन में स्वयं छात्रों द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। भविष्य में, यह "सर्कल" उनके लिए एक संदर्भ संकेत या त्रिकोणमिति की अवधारणाओं और सूत्रों को स्मृति में पुन: प्रस्तुत करने के लिए एक बाहरी कारक के रूप में काम करेगा।

एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर त्रिकोणमिति का अध्ययन इसमें योगदान देता है:

• संचार की शैली चुनना जो इस पाठ के लिए इष्टतम है, शैक्षिक सहयोग का आयोजन;
• पाठ लक्ष्य प्रत्येक छात्र के लिए व्यक्तिगत रूप से महत्वपूर्ण हो जाते हैं;
• नई सामग्रीपर आधारित निजी अनुभवछात्र की क्रियाएं, सोच, भावनाएं;
• पाठ में शामिल हैं विभिन्न रूपज्ञान प्राप्त करने और आत्मसात करने के कार्य और तरीके; पारस्परिक और स्व-शिक्षा के तत्व हैं; आत्म और आपसी नियंत्रण;
• घटित होना तेज प्रतिक्रियागलतफहमी और त्रुटि पर (संयुक्त चर्चा, समर्थन-संकेत, आपसी परामर्श)।