एक आयताकार समन्वय प्रणाली लंबवत समन्वय रेखाओं की एक जोड़ी है, जिन्हें समन्वय अक्ष कहा जाता है, जिन्हें इस तरह रखा जाता है कि वे अपने मूल पर प्रतिच्छेद करते हैं।

एक्स और वाई अक्षरों के साथ समन्वय अक्षों का पदनाम आम तौर पर स्वीकार किया जाता है, लेकिन अक्षर कोई भी हो सकते हैं। यदि अक्षरों x और y का उपयोग किया जाता है, तो विमान को कहा जाता है xy विमान. विभिन्न अनुप्रयोग x और y के अलावा अन्य अक्षरों का उपयोग कर सकते हैं, और जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है, वहां हैं यूवी विमानतथा टीएस-प्लेन.

क्रमित युग्म

वास्तविक संख्याओं के एक क्रमित युग्म से हमारा तात्पर्य एक विशेष क्रम में दो वास्तविक संख्याओं से है। प्रत्येक बिंदु P in कार्तिकये निर्देशांकबिंदु P के माध्यम से दो रेखाएँ खींचकर वास्तविक संख्याओं के एक अद्वितीय क्रमित जोड़े से संबंधित हो सकते हैं, एक x-अक्ष पर लंबवत और दूसरा y-अक्ष पर लंबवत।

उदाहरण के लिए, यदि हम (a,b)=(4,3) लेते हैं, तो निर्देशांक पट्टी पर

एक बिंदु बनाने के लिए पी (ए, बी) का अर्थ है समन्वय विमान पर निर्देशांक (ए, बी) के साथ एक बिंदु को परिभाषित करना। उदाहरण के लिए, विभिन्न बिंदुनीचे दिए गए चित्र में बनाया गया है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, निर्देशांक अक्ष समतल को चार क्षेत्रों में विभाजित करते हैं जिन्हें चतुर्भुज कहा जाता है। उन्हें रोमन अंकों के साथ वामावर्त क्रमांकित किया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

ग्राफ परिभाषा

अनुसूचीदो चर x और y के साथ समीकरण, xy-तल पर बिंदुओं का समुच्चय है, जिसके निर्देशांक इस समीकरण के समाधान के समुच्चय के सदस्य हैं

उदाहरण: y = x 2 . का आलेख खींचिए

क्योंकि 1/x अपरिभाषित है जब x=0, हम केवल उन बिंदुओं को प्लॉट कर सकते हैं जिनके लिए x ≠ 0

उदाहरण: कुल्हाड़ियों के साथ सभी चौराहे खोजें
(ए) 3x + 2y = 6
(बी) एक्स = वाई 2 -2y
(सी) वाई = 1/x

मान लीजिए y = 0, फिर 3x = 6 या x = 2

x-अक्ष का वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु है।

उस x = 0 को स्थापित करने के बाद, हम पाते हैं कि y-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु बिंदु y=3 है।

इस तरह आप समीकरण (बी) को हल कर सकते हैं, और (सी) के समाधान नीचे दिए गए हैं

एक्स-क्रॉसिंग

माना y = 0

1/x = 0 => x निर्धारित नहीं किया जा सकता है, अर्थात y-अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन नहीं है

मान लीजिए x = 0

y = 1/0 => y भी अपरिभाषित है, => y-अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन नहीं

नीचे दिए गए चित्र में, बिंदु (x,y), (-x,y),(x,-y), और (-x,-y) आयत के कोनों को निरूपित करते हैं।

एक ग्राफ एक्स-अक्ष के बारे में सममित है यदि ग्राफ के प्रत्येक बिंदु (एक्स, वाई) के लिए, बिंदु (एक्स, -वाई) भी ग्राफ पर एक बिंदु है।

एक ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है यदि प्रत्येक ग्राफ बिंदु (x,y) के लिए बिंदु (-x,y) भी ग्राफ से संबंधित है।

एक ग्राफ निर्देशांक के केंद्र के बारे में सममित है यदि ग्राफ के प्रत्येक बिंदु (x,y) के लिए, बिंदु (-x,-y) भी इसी ग्राफ से संबंधित है।

परिभाषा:

अनुसूची कार्योंनिर्देशांक तल पर समीकरण y = f(x) के ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है

प्लॉट f(x) = x + 2

उदाहरण 2. प्लॉट f(x) = |x|

ग्राफ x . के लिए रेखा y = x के साथ मेल खाता है > 0 और रेखा y = -x . के साथ

x . के लिए< 0 .

f(x) = -x . का ग्राफ

इन दोनों ग्राफों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं

ग्राफ f(x) = |x|

उदाहरण 3 प्लॉट

टी(एक्स) \u003d (एक्स 2 - 4) / (एक्स - 2) \u003d

= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =

= (एक्स + 2) एक्स 2

इसलिए, इस फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

वाई = एक्स + 2 एक्स ≠ 2

ग्राफ h(x)= x 2 - 4 या x - 2

प्लॉट y = x + 2 x ≠ 2

उदाहरण 4 प्लॉट

विस्थापन के साथ फलनों के रेखांकन

मान लें कि फलन f(x) का आलेख ज्ञात है

तब हम रेखांकन पा सकते हैं

y = f(x) + c - फलन f(x) का ग्राफ, स्थानांतरित हो गया

सी मूल्यों द्वारा यूपी

y = f(x) - c - फ़ंक्शन f(x) का ग्राफ, स्थानांतरित हो गया

सी मूल्यों से नीचे

y = f(x + c) - फ़ंक्शन f(x) का ग्राफ, स्थानांतरित

c मानों से बायाँ

y = f(x - c) - फ़ंक्शन f(x) का ग्राफ, स्थानांतरित हो गया

c मानों द्वारा सही

उदाहरण 5. बिल्ड

प्लॉट y = f(x) = |x - 3| + 2

ग्राफ को खिसकाएं y = |x| ग्राफ़ प्राप्त करने के लिए दाईं ओर 3 मान

ग्राफ को खिसकाएं y = |x - 3| y = |x - 3| . प्लॉट करने के लिए UP 2 मान + 2

भूखंड

वाई = एक्स 2 - 4x + 5

आइए रूपांतरित करें दिया गया समीकरणइस प्रकार, दोनों भागों में 4 जोड़ना:

y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4

वाई = (एक्स - 2) 2 + 1

यहाँ हम देखते हैं कि ग्राफ y = x 2 को दाएँ 2 मानों पर ले जाकर यह ग्राफ प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि x 2 है और 1 मान ऊपर है क्योंकि +1।

वाई = एक्स 2 - 4x + 5

कुछ विचार

(-x, y) y-अक्ष के बारे में (x, y) का प्रतिबिंब है

(x, -y) x-अक्ष के परितः (x, y) का प्रतिबिम्ब है

प्लॉट y = f(x) और y = f(-x) y-अक्ष के बारे में एक दूसरे के प्रतिबिंब हैं

प्लॉट y = f(x) और y = -f(x) x-अक्ष के बारे में एक दूसरे के प्रतिबिंब हैं

ग्राफ प्रतिबिंब और अनुवाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

एक ग्राफ बनाएं

आइए y-अक्ष के सापेक्ष इसका परावर्तन ज्ञात करें, और एक आलेख प्राप्त करें

इस ग्राफ को स्थानांतरित करें सही 2 मानों से और एक ग्राफ प्राप्त करें

यहाँ वांछित ग्राफ है

यदि f(x) को धनात्मक स्थिरांक c से गुणा किया जाता है, तो

ग्राफ f(x) लंबवत रूप से सिकुड़ता है यदि 0< c < 1

ग्राफ f(x) लंबवत रूप से फैला है यदि c > 1

वक्र किसी फलन f . के लिए y = f(x) ग्राफ नहीं है

गणित एक जटिल विज्ञान है। इसका अध्ययन करते हुए, किसी को न केवल उदाहरणों और समस्याओं को हल करना है, बल्कि विभिन्न आकृतियों और यहां तक ​​​​कि विमानों के साथ भी काम करना है। गणित में सबसे अधिक उपयोग में से एक विमान पर समन्वय प्रणाली है। बच्चों को सिखाया गया है कि एक वर्ष से अधिक समय तक इसके साथ सही तरीके से कैसे काम किया जाए। इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह क्या है और इसके साथ सही तरीके से कैसे काम करना है।

आइए जानें कि यह प्रणाली क्या है, आप इसके साथ क्या कार्य कर सकते हैं, और इसकी मुख्य विशेषताओं और विशेषताओं का भी पता लगा सकते हैं।

अवधारणा परिभाषा

एक समन्वय विमान एक ऐसा विमान है जिस पर एक विशेष समन्वय प्रणाली परिभाषित की जाती है। इस तरह के एक विमान को दो सीधी रेखाओं द्वारा एक समकोण पर प्रतिच्छेद करने से परिभाषित किया जाता है। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निर्देशांकों का उद्गम है। निर्देशांक तल पर प्रत्येक बिंदु संख्याओं के एक युग्म द्वारा दिया जाता है, जिन्हें निर्देशांक कहते हैं।

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, छात्रों को समन्वय प्रणाली के साथ काफी निकटता से काम करना होता है - इस पर आंकड़े और बिंदु बनाना, यह निर्धारित करना कि यह या वह समन्वय किस विमान से संबंधित है, और बिंदु के निर्देशांक भी निर्धारित करें और उन्हें लिखें या नाम दें। इसलिए, आइए निर्देशांक की सभी विशेषताओं के बारे में अधिक विस्तार से बात करें। लेकिन पहले, आइए सृष्टि के इतिहास को स्पर्श करें, और फिर हम इस बारे में बात करेंगे कि समन्वय के स्तर पर कैसे काम किया जाए।

इतिहास संदर्भ

समन्वय प्रणाली बनाने के विचार टॉलेमी के दिनों में थे। तब भी, खगोलविद और गणितज्ञ इस बारे में सोच रहे थे कि कैसे एक विमान पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करना सीखें। दुर्भाग्य से, उस समय हमारे लिए कोई समन्वय प्रणाली ज्ञात नहीं थी, और वैज्ञानिकों को अन्य प्रणालियों का उपयोग करना पड़ता था।

प्रारंभ में, वे अक्षांश और देशांतर निर्दिष्ट करके अंक निर्धारित करते हैं। लंबे समय तक यह इस या उस जानकारी को मैप करने के सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले तरीकों में से एक था। लेकिन 1637 में, रेने डेसकार्टेस ने अपनी समन्वय प्रणाली बनाई, जिसे बाद में "कार्टेशियन" के नाम पर रखा गया।

पहले से मौजूद देर से XVIIमें। "समन्वय तल" की अवधारणा का गणित की दुनिया में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि इस प्रणाली के निर्माण के बाद से कई शताब्दियां बीत चुकी हैं, यह अभी भी गणित और यहां तक ​​​​कि जीवन में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

निर्देशांक समतल उदाहरण

सिद्धांत के बारे में बात करने से पहले, हम निर्देशांक तल के कुछ उदाहरण देंगे ताकि आप इसकी कल्पना कर सकें। निर्देशांक प्रणाली मुख्य रूप से शतरंज में प्रयोग की जाती है। बोर्ड पर, प्रत्येक वर्ग के अपने निर्देशांक होते हैं - एक अक्षर निर्देशांक, दूसरा - डिजिटल। इसकी सहायता से आप बोर्ड पर किसी विशेष टुकड़े की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।

दूसरा सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण प्रिय खेल "युद्धपोत" है। याद रखें कि कैसे, खेलते समय, आप एक निर्देशांक का नाम देते हैं, उदाहरण के लिए, बी 3, इस प्रकार यह दर्शाता है कि आप कहाँ लक्ष्य कर रहे हैं। उसी समय, जहाजों को रखते समय, आप समन्वय विमान पर बिंदु निर्धारित करते हैं।

यह समन्वय प्रणाली व्यापक रूप से न केवल गणित में उपयोग की जाती है, तर्क खेल, लेकिन सैन्य मामलों, खगोल विज्ञान, भौतिकी और कई अन्य विज्ञानों में भी।

समायोजन ध्रुव

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, समन्वय प्रणाली में दो अक्षों को प्रतिष्ठित किया जाता है। आइए उनके बारे में थोड़ी बात करते हैं, क्योंकि वे काफी महत्व रखते हैं।

पहली धुरी - भुज - क्षैतिज है। इसे के रूप में दर्शाया गया है ( बैल) दूसरी धुरी कोटि है, जो संदर्भ बिंदु से लंबवत गुजरती है और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है ( ओए) यह दो अक्ष हैं जो विमान को चार तिमाहियों में विभाजित करते हुए समन्वय प्रणाली बनाते हैं। मूल इन दो अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है और मान लेता है 0 . केवल अगर विमान दो अक्षों द्वारा बनता है जो लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और एक संदर्भ बिंदु है, तो क्या यह एक समन्वय विमान है।

यह भी ध्यान दें कि प्रत्येक कुल्हाड़ी की अपनी दिशा होती है। आमतौर पर, एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करते समय, यह एक तीर के रूप में अक्ष की दिशा को इंगित करने के लिए प्रथागत है। इसके अलावा, समन्वय विमान का निर्माण करते समय, प्रत्येक अक्ष पर हस्ताक्षर किए जाते हैं।

तिमाहियों

अब आइए इस तरह की अवधारणा के बारे में कुछ शब्द कहें जो समन्वय विमान के क्वार्टर हैं। विमान को दो अक्षों द्वारा चार तिमाहियों में विभाजित किया गया है। उनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है, जबकि विमानों की संख्या वामावर्त होती है।

प्रत्येक क्वार्टर की अपनी विशेषताएं हैं। तो, पहली तिमाही में, भुज और कोटि सकारात्मक हैं, दूसरी तिमाही में, भुज ऋणात्मक है, कोटि धनात्मक है, तीसरे में, भुज और कोटि दोनों ऋणात्मक हैं, चौथे में, भुज है सकारात्मक है, और कोटि नकारात्मक है।

इन विशेषताओं को याद करके, आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई विशेष बिंदु किस तिमाही का है। इसके अलावा, यह जानकारी आपके लिए उपयोगी हो सकती है यदि आपको कार्टेशियन प्रणाली का उपयोग करके गणना करनी है।

समन्वय विमान के साथ कार्य करना

जब हमने एक विमान की अवधारणा का पता लगाया और उसके क्वार्टरों के बारे में बात की, तो हम इस प्रणाली के साथ काम करने जैसी समस्या पर आगे बढ़ सकते हैं, और यह भी बात कर सकते हैं कि इस पर अंक, निर्देशांक कैसे लगाए जाएं। समन्वय तल पर, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है।

सबसे पहले, सिस्टम स्वयं बनाया गया है, सभी महत्वपूर्ण पदनाम उस पर लागू होते हैं। फिर अंक या अंकों के साथ सीधे काम होता है। इस मामले में, आंकड़े बनाते समय भी, पहले विमान पर अंक लगाए जाते हैं, और फिर आंकड़े पहले ही खींचे जाते हैं।

विमान बनाने के नियम

यदि आप कागज पर आकृतियों और बिंदुओं को चिह्नित करना शुरू करने का निर्णय लेते हैं, तो आपको एक समन्वय विमान की आवश्यकता होगी। इस पर बिंदुओं के निर्देशांक प्लॉट किए गए हैं। एक समन्वय विमान बनाने के लिए, आपको केवल एक शासक और एक कलम या पेंसिल की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, क्षैतिज भुज खींचा जाता है, फिर ऊर्ध्वाधर - कोर्डिनेट किया जाता है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि कुल्हाड़ियाँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

अगला अनिवार्य आइटम अंकन है। दोनों दिशाओं में प्रत्येक अक्ष पर इकाइयों-खंडों को चिह्नित और हस्ताक्षरित किया जाता है। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि आप विमान के साथ अधिकतम सुविधा के साथ काम कर सकें।

एक बिंदु चिह्नित करना

अब बात करते हैं कि निर्देशांक तल पर बिंदुओं के निर्देशांकों को कैसे प्लॉट किया जाए। समतल पर विभिन्न आकृतियों को सफलतापूर्वक स्थापित करने और यहां तक ​​कि समीकरणों को चिह्नित करने के लिए आपको यह मूलभूत बातें जानने की आवश्यकता है।

बिंदुओं का निर्माण करते समय, किसी को यह याद रखना चाहिए कि उनके निर्देशांक कैसे सही ढंग से दर्ज किए गए हैं। इसलिए, आमतौर पर एक बिंदु निर्धारित करते हुए, दो संख्याएं कोष्ठक में लिखी जाती हैं। पहला अंक एब्सिस्सा अक्ष के साथ बिंदु के समन्वय को इंगित करता है, दूसरा - कोर्डिनेट अक्ष के साथ।

बिंदु इस तरह बनाया जाना चाहिए। पहले अक्ष पर निशान लगाएं बैलदिए गए बिंदु, फिर अक्ष पर एक बिंदु चिह्नित करें ओए. इसके बाद, इन पदनामों से काल्पनिक रेखाएँ खींचिए और उनके प्रतिच्छेदन का स्थान ज्ञात कीजिए - यह दिया गया बिंदु होगा।

आपको बस इतना करना है कि इसे चिह्नित करें और हस्ताक्षर करें। जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है और इसके लिए विशेष कौशल की आवश्यकता नहीं है।

एक आकार रखना

अब आइए ऐसे प्रश्न पर चलते हैं जैसे निर्देशांक तल पर आकृतियों का निर्माण। निर्देशांक तल पर किसी भी आकृति का निर्माण करने के लिए, आपको यह पता होना चाहिए कि उस पर बिंदुओं को कैसे रखा जाए। यदि आप जानते हैं कि यह कैसे करना है, तो एक विमान पर एक आकृति रखना इतना मुश्किल नहीं है।

सबसे पहले, आपको आकृति के बिंदुओं के निर्देशांक की आवश्यकता होगी। यह उन पर है कि हम उन लोगों को लागू करेंगे जिन्हें आपने हमारे समन्वय प्रणाली में चुना है। आइए एक आयत, त्रिभुज और वृत्त खींचने पर विचार करें।

आइए एक आयत से शुरू करते हैं। इसे अप्लाई करना काफी आसान है। सबसे पहले, आयत के कोनों को इंगित करते हुए, समतल पर चार बिंदु लगाए जाते हैं। फिर सभी बिंदु क्रमिक रूप से एक दूसरे से जुड़े होते हैं।

त्रिभुज बनाना अलग नहीं है। केवल एक चीज यह है कि इसके तीन कोने हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु विमान पर लागू होते हैं, जो इसके शीर्षों को दर्शाते हैं।

वृत्त के संबंध में, यहाँ आपको दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात होने चाहिए। पहला बिंदु वृत्त का केंद्र है, दूसरा बिंदु इसकी त्रिज्या को दर्शाता है। इन दो बिंदुओं को एक समतल पर प्लॉट किया गया है। फिर एक कंपास लिया जाता है, दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मापा जाता है। कम्पास के बिंदु को केंद्र को दर्शाने वाले बिंदु पर रखा जाता है, और एक वृत्त का वर्णन किया जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि हमेशा एक शासक और एक कंपास हाथ में होता है।

अब आप जानते हैं कि आकृति निर्देशांक कैसे प्लॉट करें। समन्वय विमान पर, ऐसा करना इतना मुश्किल नहीं है, क्योंकि यह पहली नज़र में लग सकता है।

निष्कर्ष

इसलिए, हमने आपके साथ गणित के लिए सबसे दिलचस्प और बुनियादी अवधारणाओं में से एक पर विचार किया है जिससे प्रत्येक छात्र को निपटना होगा।

हमने पाया है कि निर्देशांक तल दो अक्षों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित तल है। इसकी मदद से आप बिंदुओं के निर्देशांक सेट कर सकते हैं, उस पर आकृतियाँ डाल सकते हैं। विमान को क्वार्टरों में बांटा गया है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएं हैं।

समन्वय विमान के साथ काम करते समय विकसित किया जाने वाला मुख्य कौशल सही ढंग से लागू करने की क्षमता है दिए गए अंक. ऐसा करने के लिए, आपको कुल्हाड़ियों के सही स्थान, क्वार्टर की विशेषताओं के साथ-साथ उन नियमों को जानना चाहिए जिनके द्वारा बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित किए जाते हैं।

हम आशा करते हैं कि हमारे द्वारा प्रदान की गई जानकारी सुलभ और समझने योग्य थी, और आपके लिए भी उपयोगी थी और इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद की।

अंक "पंजीकृत" हैं - "निवासी", प्रत्येक बिंदु का अपना "घर का नंबर" होता है - इसका समन्वय। यदि बिंदु एक विमान में लिया जाता है, तो इसके "पंजीकरण" के लिए न केवल "घर का नंबर", बल्कि "अपार्टमेंट नंबर" भी इंगित करना आवश्यक है। याद करें कि यह कैसे किया जाता है।

आइए हम दो परस्पर लंबवत समन्वय रेखाएँ खींचते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु, बिंदु O को दोनों रेखाओं पर प्रारंभिक बिंदु मानते हैं। इस प्रकार, एक आयताकार समन्वय प्रणाली समतल पर स्थापित की जाती है (चित्र 20), जो सामान्य को बदल देती है विमानसमायोजन करना। बिंदु O को निर्देशांक का मूल कहा जाता है, निर्देशांक रेखाएँ (x-अक्ष और y-अक्ष) को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है, और निर्देशांक अक्षों द्वारा बनाए गए समकोण को निर्देशांक कोण कहा जाता है। कोआर्डिनेट आयताकार कोनेक्रमांकित जैसा कि चित्र 20 में दिखाया गया है।

और अब आइए चित्र 21 की ओर मुड़ें, जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली दिखाता है और बिंदु M को चिह्नित करता है। आइए इसके माध्यम से y अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। रेखा किसी बिंदु पर x-अक्ष को काटती है, इस बिंदु का एक निर्देशांक है - x-अक्ष पर। चित्र 21 में दिखाए गए बिंदु के लिए, यह निर्देशांक -1.5 है, इसे बिंदु M का भुज कहा जाता है। इसके बाद, हम बिंदु M से x अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। रेखा y-अक्ष को किसी बिंदु पर काटती है, इस बिंदु का एक निर्देशांक है - y-अक्ष पर।

बिंदु M के लिए, चित्र 21 में दिखाया गया है, यह निर्देशांक 2 है, इसे बिंदु M की कोटि कहा जाता है। संक्षेप में इस तरह लिखा गया है: M (-1.5; 2)। एब्सिस्सा को पहले स्थान पर लिखा जाता है, कोटि - दूसरे में। वे, यदि आवश्यक हो, संकेतन के दूसरे रूप का उपयोग करते हैं: x = -1.5; वाई = 2.

टिप्पणी 1 . व्यवहार में, बिंदु M के निर्देशांक खोजने के लिए, आमतौर पर निर्देशांक अक्षों के समानांतर और बिंदु M से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के बजाय, बिंदु M से निर्देशांक अक्षों तक इन सीधी रेखाओं के खंड बनाए जाते हैं (चित्र 22)।

टिप्पणी 2. पिछले भाग में, हमने के लिए अलग-अलग संकेतन प्रस्तुत किए थे संख्या अंतराल. विशेष रूप से, जैसा कि हम सहमत थे, अंकन (3, 5) का अर्थ है कि बिंदु 3 और 5 पर समाप्त होने वाले अंतराल को समन्वय रेखा पर माना जाता है। इस खंड में, हम संख्याओं के एक जोड़े को एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में मानते हैं; उदाहरण के लिए, (3; 5) एक बिंदु है कार्तिकये निर्देशांकएब्सिस्सा 3 और ऑर्डिनेट 5 के साथ। प्रतीकात्मक संकेतन से यह निर्धारित करना कैसे सही है कि दांव पर क्या है: अंतराल के बारे में या बिंदु के निर्देशांक के बारे में? अधिकांश समय यह पाठ से स्पष्ट होता है। क्या होगा अगर यह स्पष्ट नहीं है? एक विवरण पर ध्यान दें: हमने अंतराल पदनाम में अल्पविराम और समन्वय पदनाम में अर्धविराम का उपयोग किया है। यह, निश्चित रूप से, बहुत महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन फिर भी अंतर है; हम इसे लागू करेंगे।

शुरू की गई शर्तों और संकेतन को देखते हुए, क्षैतिज समन्वय रेखा को भुज, या x-अक्ष कहा जाता है, और ऊर्ध्वाधर समन्वय रेखा को y-अक्ष या y-अक्ष कहा जाता है। पदनाम x, y आमतौर पर विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली को निर्दिष्ट करते समय उपयोग किया जाता है (चित्र 20 देखें) और वे अक्सर यह कहते हैं: xOy समन्वय प्रणाली दी गई है। हालाँकि, अन्य पदनाम भी हैं: उदाहरण के लिए, चित्र 23 में, समन्वय प्रणाली tOs दी गई है।
आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दिए गए बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम у

ठीक इसी तरह से हमने चित्र 21 में बिंदु M के निर्देशांक को ढूंढते हुए काम किया। यदि बिंदु M 1 (x; y) पहले समन्वय कोण से संबंधित है, तो x\u003e 0, y\u003e 0; यदि बिंदु M 2 (x; y) दूसरे निर्देशांक कोण से संबंधित है, तो x< 0, у >0; यदि बिंदु M 3 (x; y) तीसरे निर्देशांक कोण से संबंधित है, तो x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >कहां< 0 (рис. 24).

लेकिन क्या होगा यदि वह बिंदु जिसके निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है, समन्वय अक्षों में से एक पर स्थित है? मान लीजिए कि बिंदु A x-अक्ष पर स्थित है, और बिंदु B, y-अक्ष पर स्थित है (चित्र 25)। बिंदु A के माध्यम से y- अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचने और x-अक्ष के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि पहले से ही ऐसा प्रतिच्छेदन बिंदु है - यह बिंदु A है, इसका समन्वय ( एब्सिस्सा) 3 है। इसी तरह, आपको बिंदु और x-अक्ष के समानांतर रेखा खींचने की आवश्यकता नहीं है - यह रेखा स्वयं x-अक्ष है, जो निर्देशांक के साथ y-अक्ष को बिंदु O पर काटती है ( कोर्डिनेट) 0. परिणामस्वरूप, बिंदु A के लिए हमें A (3; 0) मिलता है। इसी तरह, बिंदु बी के लिए हमें बी (0; - 1.5) मिलता है। और बिंदु O के लिए हमारे पास O(0; 0) है।

सामान्य तौर पर, x-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (x; 0) होते हैं, और y-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (0; y) होते हैं।

इसलिए, हमने चर्चा की कि निर्देशांक तल में किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें। लेकिन व्युत्क्रम समस्या को कैसे हल किया जाए, अर्थात, निर्देशांक दिए जाने पर, संबंधित बिंदु का निर्माण कैसे किया जाए? एक एल्गोरिथ्म विकसित करने के लिए, हम दो सहायक, लेकिन एक ही समय में महत्वपूर्ण तर्क देंगे।

पहली चर्चा। मान लीजिए कि मैं xOy निर्देशांक प्रणाली में y अक्ष के समानांतर और x अक्ष को निर्देशांक (abscissa) 4 के साथ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता हूं।

(चित्र 26)। इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु पर एक भुज होता है। तो, बिंदु M 1, M 2, M 3 के लिए हमारे पास M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2) है। दूसरे शब्दों में, सीधी रेखा के किसी भी बिंदु M का भुज x \u003d 4 की स्थिति को संतुष्ट करता है। वे कहते हैं कि x \u003d 4 - समीकरणरेखा l या वह रेखा I समीकरण x = 4 को संतुष्ट करती है।

चित्र 27 समीकरणों को संतुष्ट करने वाली रेखाएँ दिखाता है x = - 4 (पंक्ति I 1), x = - 1
(सीधी रेखा I 2) x = 3.5 (सीधी रेखा I 3)। और कौन सी रेखा समीकरण x = 0 को संतुष्ट करती है? अनुमान लगाया? वाई अक्ष

दूसरी चर्चा। मान लीजिए कि xOy निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा I खींची गई है, जो x-अक्ष के समानांतर है और y-अक्ष को निर्देशांक (कोटि) 3 (चित्र 28) के साथ एक बिंदु पर काटती है। इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु की कोटि 3 होती है। इसलिए, बिंदु M 1, M 2, M 3 के लिए हमारे पास है: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3 ) . दूसरे शब्दों में, रेखा I के किसी भी बिंदु M की कोटि y \u003d 3 को संतुष्ट करती है। वे कहते हैं कि y \u003d 3 रेखा I का समीकरण है या वह रेखा I समीकरण y \u003d 3 को संतुष्ट करती है।

चित्र 29 उन रेखाओं को दिखाता है जो समीकरणों को संतुष्ट करती हैं y \u003d - 4 (पंक्ति l 1), y \u003d - 1 (पंक्ति I 2), y \u003d 3.5 (पंक्ति I 3) - A कौन सी रेखा समीकरण y \u003d 01 को संतुष्ट करती है अनुमान लगाना? एक्स अक्ष।

ध्यान दें कि गणितज्ञ, भाषण की संक्षिप्तता के लिए प्रयास कर रहे हैं, "एक सीधी रेखा x = 4" कहते हैं, न कि "एक सीधी रेखा जो समीकरण x = 4 को संतुष्ट करती है"। इसी तरह, वे "लाइन y = 3" कहते हैं, न कि "लाइन संतोषजनक y = 3"। हम ठीक वैसा ही करेंगे। आइए अब हम चित्र 21 पर लौटते हैं। कृपया ध्यान दें कि बिंदु M (- 1.5; 2), जो वहां दिखाया गया है, रेखा x = -1.5 और रेखा y = 2 का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अब, जाहिरा तौर पर, एल्गोरिथ्म दिए गए निर्देशांक के अनुसार बिंदु के निर्माण के लिए स्पष्ट होगा।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बिंदु एम (ए; बी) के निर्माण के लिए एल्गोरिदम у

उदाहरण xOy निर्देशांक प्रणाली में, बिंदुओं का निर्माण करें: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3)।

समाधान। बिंदु A, रेखाओं x = 1 और y = 3 का प्रतिच्छेदन बिंदु है (देखिए आकृति 30)।

बिंदु B, रेखाओं x = - 2 और y = 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु है (चित्र 30)। बिंदु C, x-अक्ष से संबंधित है, और बिंदु D, y-अक्ष से संबंधित है (चित्र 30 देखें)।

खंड के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि पहली बार विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली को बीजीय को बदलने के लिए सक्रिय रूप से उपयोग किया जाने लगा मॉडलज्यामितीय फ्रांसीसी दार्शनिक रेने डेसकार्टेस (1596-1650)। इसलिए, कभी-कभी वे "कार्टेशियन समन्वय प्रणाली", "कार्टेशियन निर्देशांक" कहते हैं।

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ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, के लिए पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों

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एक समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली दो परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों X'X और Y'Y द्वारा बनाई गई है। निर्देशांक अक्ष बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे निर्देशांक का मूल कहा जाता है, प्रत्येक अक्ष पर एक सकारात्मक दिशा चुनी जाती है। कुल्हाड़ियों की सकारात्मक दिशा (दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली में) को चुना जाता है ताकि जब X'X अक्ष हो 90 ° से वामावर्त घुमाया जाता है, इसकी सकारात्मक दिशा Y'Y अक्ष की सकारात्मक दिशा से मेल खाती है। X'X और Y'Y निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित चार कोणों (I, II, III, IV) को निर्देशांक कोण कहा जाता है (चित्र 1 देखें)।

समतल पर बिंदु A की स्थिति दो निर्देशांक x और y द्वारा निर्धारित की जाती है। x-निर्देशांक OB खंड की लंबाई के बराबर है, y-निर्देशांक चयनित इकाइयों में OC खंड की लंबाई है। खंड OB और OC क्रमशः Y'Y और X'X अक्षों के समानांतर बिंदु A से खींची गई रेखाओं द्वारा परिभाषित होते हैं। x निर्देशांक को बिंदु A का भुज कहा जाता है, y निर्देशांक को बिंदु A की कोटि कहा जाता है। वे इसे इस प्रकार लिखते हैं: A (x, y)।

यदि बिंदु A निर्देशांक कोण I में स्थित है, तो बिंदु A में धनात्मक भुज और कोटि है। यदि बिंदु A निर्देशांक कोण II में स्थित है, तो बिंदु A का एक ऋणात्मक भुज और एक धनात्मक कोटि है। यदि बिंदु A निर्देशांक कोण III में स्थित है, तो बिंदु A में ऋणात्मक भुज और कोटि है। यदि बिंदु A निर्देशांक कोण IV में स्थित है, तो बिंदु A में एक धनात्मक भुज और एक ऋणात्मक कोटि है।

अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणालीतीन परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों OX, OY और OZ द्वारा बनता है। निर्देशांक अक्ष बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे निर्देशांक का मूल कहा जाता है, प्रत्येक अक्ष पर तीरों द्वारा इंगित सकारात्मक दिशा को चुना जाता है, और अक्षों पर खंडों के मापन की इकाई का चयन किया जाता है। माप की इकाइयाँ सभी अक्षों के लिए समान होती हैं। OX - भुज अक्ष, OY - निर्देशांक अक्ष, OZ - अनुप्रयुक्त अक्ष। कुल्हाड़ियों की सकारात्मक दिशा को चुना जाता है ताकि जब ओएक्स अक्ष को 90 डिग्री से वामावर्त घुमाया जाए, तो इसकी सकारात्मक दिशा ओए अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाती है, यदि यह रोटेशन ओजेड अक्ष की सकारात्मक दिशा से देखा जाता है। ऐसी समन्वय प्रणाली को सही कहा जाता है। अगर अंगूठा दांया हाथएक्स दिशा के लिए, वाई दिशा के लिए सूचकांक, और जेड दिशा के लिए मध्य एक, फिर दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली बनाई जाती है। बाएं हाथ की समान उंगलियां बाएं समन्वय प्रणाली बनाती हैं। दाएं और बाएं समन्वय प्रणालियों को जोड़ा नहीं जा सकता है ताकि संबंधित कुल्हाड़ियों का संयोग हो (चित्र 2 देखें)।

अंतरिक्ष में बिंदु A की स्थिति तीन निर्देशांक x, y और z द्वारा निर्धारित की जाती है। x निर्देशांक खंड OB की लंबाई के बराबर है, y निर्देशांक खंड OC की लंबाई के बराबर है, z निर्देशांक चयनित इकाइयों में खंड OD की लंबाई है। खंड OB, OC और OD को क्रमशः YOZ, XOZ और XOY के समांतर बिंदु A से खींचे गए विमानों द्वारा परिभाषित किया गया है। x निर्देशांक को बिंदु A का भुज कहा जाता है, y निर्देशांक को बिंदु A की कोटि कहा जाता है, z निर्देशांक को बिंदु A का अनुप्रस्थ कहा जाता है। वे इसे इस प्रकार लिखते हैं: A (a, b, c)।

हॉर्ट्स

एक आयताकार समन्वय प्रणाली (किसी भी आयाम की) को ऑर्ट्स के एक सेट द्वारा भी वर्णित किया जाता है, जो समन्वय अक्षों के साथ सह-निर्देशित होता है। ऑर्ट्स की संख्या समन्वय प्रणाली के आयाम के बराबर है, और वे सभी एक दूसरे के लंबवत हैं।

त्रि-आयामी मामले में, ऐसे वैक्टर आमतौर पर निरूपित होते हैं मैं जे कया इएक्स इआप इजेड. इसी बीच मामले में सही प्रणालीनिर्देशांक, वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के साथ निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

• [मैं जे]=क ;
• [जे क]=मैं ;
• [क मैं]=जे .

कहानी

रेने डेसकार्टेस ने 1637 में विधि पर अपने प्रवचन में एक आयताकार समन्वय प्रणाली की शुरुआत की थी। इसलिए, आयताकार निर्देशांक प्रणाली को भी कहा जाता है - कार्तीय प्रणाली COORDINATES. ज्यामितीय वस्तुओं का वर्णन करने के लिए समन्वय विधि ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की नींव रखी। पियरे फ़र्मेट ने भी समन्वय पद्धति के विकास में योगदान दिया, लेकिन उनका काम उनकी मृत्यु के बाद पहली बार प्रकाशित हुआ था। डेसकार्टेस और फ़र्मेट ने केवल समतल पर समन्वय विधि का उपयोग किया।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए समन्वय विधि पहली बार 18 वीं शताब्दी में पहले से ही लियोनहार्ड यूलर द्वारा लागू की गई थी।

यह सभी देखें

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

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अध्ययन के तहत कुछ वस्तुओं की सापेक्ष स्थिति को इंगित करने के लिए, निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है:

1. समन्वय बीम, जब उनका स्थान या गति किसी दी गई वस्तु के एक तरफ एक सीधी रेखा के साथ होती है, जिसे मूल के रूप में लिया जाता है;
2. समन्वय रेखा, जब उनका स्थान या गति किसी दी गई वस्तु के विपरीत पक्षों पर एक सीधी रेखा के साथ होती है, जिसे संदर्भ बिंदु के रूप में लिया जाता है;
3. समतल का समन्वय करें जब उनका स्थान या गति एक मनमानी गैर-सीधी रेखा के साथ होती है।

निर्देशांक तल के तत्व

एक समन्वय विमान एक साधारण विमान से भिन्न होता है जिसमें एक समन्वय प्रणाली लागू होती है। एक उदाहरण किसी भी महाद्वीप की छवि है जिस पर समानांतर और मेरिडियन प्लॉट किए गए हैं, जो सिस्टम को परिभाषित करते हैं भौगोलिक निर्देशांक, आपको मानचित्र पर किसी भी वस्तु की स्थिति खोजने या सेट करने की अनुमति देता है।

समन्वय प्रणाली में दो समन्वय रेखाएं होती हैं जो परस्पर संदर्भ के बिंदुओं पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। क्षैतिज समन्वय रेखा को एब्सिस्सा अक्ष (लैटिन में एब्सिसा एक खंड है) को कॉल करने के लिए प्रथागत है। लंबवत रेखा - समन्वय अक्ष (लैटिन से समन्वय - क्रम में संरेखण)।

इसी प्रकार, निर्देशांक रेखा सामान्य रेखा से इस मायने में भिन्न होती है कि उस पर मूल बिंदु के लिए कुछ बिंदु चुना जाता है; एक खंड का पैमाना चुनें, जो इस बात पर निर्भर करता है कि किस दूरी को दर्शाया जाना है; निर्देशांक सीधे तीर पर इंगित सकारात्मक संदर्भ दिशा।

इस तरह के विमान पर किसी वस्तु की स्थिति को दो संख्याओं के साथ एक बिंदु द्वारा इंगित किया जाता है - निर्देशांक: एब्सिस्सा और कोर्डिनेट।

समन्वय विमानों का उपयोग करना

ज्यामितीय और भौतिक समस्याओं को हल करने के लिए निर्देशांक विमानों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, भौतिकी में, एब्सिस्सा को अक्सर समय अक्ष के रूप में लिया जाता है। फिर y-अक्ष शरीर के रेक्टिलाइनियर प्रक्षेपवक्र के साथ स्थित समन्वय रेखा पर शरीर के समन्वय को सेट करता है।