, पृष्ठ 6

11 एक जटिल चर के मूल कार्य

सम्मिश्र घातांक की परिभाषा याद कीजिए - . फिर

मैकलॉरिन श्रृंखला का विस्तार। इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या +∞ है, जिसका अर्थ है कि जटिल घातांक पूरे जटिल तल पर विश्लेषणात्मक है और

(expक्स्प z)"=expक्स्प z; क्स्प 0=1. (2)

यहां पहली समानता इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, एक शक्ति श्रृंखला के शब्द-दर-अवधि विभेदन पर प्रमेय से।

11.1 त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक फलन

एक जटिल चर की ज्याएक समारोह कहा जाता है

एक जटिल चर की कोज्याएक समारोह है

जटिल चर की अतिपरवलयिक ज्याइस तरह परिभाषित किया गया है:

एक जटिल चर के अतिपरवलयिक कोज्या-- एक समारोह है

हम नए पेश किए गए कार्यों के कुछ गुणों पर ध्यान देते हैं।

ए।यदि x∈ , तो cos x, sin x, ch x, sh x∈ ।

बी।त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक कार्यों के बीच निम्नलिखित संबंध है:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; शिज़ = इसिन्ज़।

B. मूल त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक सर्वसमिकाएँ:

cos 2 z+sin 2 z=1; सी 2 जेड-श 2 जेड = 1।

मूल अतिशयोक्तिपूर्ण पहचान का प्रमाण।

मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानजब त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के बीच संबंध को ध्यान में रखा जाता है तो ओनोनियन अतिशयोक्तिपूर्ण पहचान से अनुसरण होता है (संपत्ति बी देखें)

जी जोड़ सूत्र:

विशेष रूप से,

डी।त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक फलनों के अवकलजों की गणना करने के लिए, किसी घात श्रेणी के पद-दर-अवधि विभेदन पर प्रमेय को लागू करना चाहिए। हम पाते हैं:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

इ।फलन cos z, ch z सम हैं, जबकि फलन sin z, sh z विषम हैं।

जी. (आवधिकता)फलन e z आवर्त है जिसका आवर्त 2π i है। फलन cos z, sin z 2π की अवधि के साथ आवर्ती हैं, और फलन ch z, sh z 2πi की अवधि के साथ आवर्ती हैं। आगे,

योग सूत्रों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

जेड. वास्तविक और काल्पनिक भागों में अपघटन:

यदि एक एकल-मूल्यवान विश्लेषणात्मक फलन f(z) किसी डोमेन D को डोमेन G पर विशेष रूप से मैप करता है, तो D को एकरूपता का डोमेन कहा जाता है।

तथा।डोमेन डी k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

सबूत। संबंध (5) का तात्पर्य है कि मानचित्रण क्स्प:D k → इंजेक्शन है। मान लीजिए w कोई शून्येतर सम्मिश्र संख्या है। फिर, समीकरणों को हल करना e x =|w| और ई iy =w/|w| वास्तविक चर x और y के साथ (हम आधे अंतराल से y चुनते हैं); कभी-कभी ध्यान में लाया जाता है ...... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रोकहॉस और आई.ए. एफ्रोन

अतिपरवलयिक फलनों के विपरीत फलन (हाइपरबोलिक फलन देखें) sh x, ch x, th x; वे सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं (पढ़ें: हाइपरबॉलिक एरेसीन, हाइपरबॉलिक एरिया कोसाइन, एटेंगेंट ... ... महान सोवियत विश्वकोश

हाइपरबोलिक के विपरीत कार्य। कार्य; सूत्रों में व्यक्त... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

प्रतिलोम अतिपरवलयिक कार्यों को अतिपरवलयिक कार्यों के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। ये फ़ंक्शन इकाई हाइपरबोला सेक्टर x2 - y2 = 1 के क्षेत्र को उसी तरह निर्धारित करते हैं जैसे कि उलटा त्रिकोणमितीय कार्य लंबाई निर्धारित करते हैं ... ... विकिपीडिया

पुस्तकें

• हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस, यानपोल्स्की ए.आर. पुस्तक हाइपरबोलिक और व्युत्क्रम हाइपरबोलिक कार्यों के गुणों का वर्णन करती है और उनके और अन्य प्राथमिक कार्यों के बीच संबंध देती है। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के अनुप्रयोग…

इसे हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस का उपयोग करके पैरामीट्रिक रूप में लिखा जा सकता है (यह उनके नाम की व्याख्या करता है)।

निरूपित करें y= b·sht , फिर x2 / a2=1+sh2t =ch2t । जहाँ से x=± a·cht ।

इस प्रकार, हम अतिपरवलय के निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरणों पर पहुंचते हैं:

वाई = शट में, -< t < . (6)

चावल। एक।

ऊपरी सूत्र (6) में "+" चिह्न हाइपरबोला की दाहिनी शाखा से मेल खाता है, और ""- "" चिह्न बाईं शाखा से मेल खाता है (चित्र 1 देखें)। अतिपरवलय A(-a; 0) और B(a; 0) के शीर्ष पैरामीटर t=0 के मान के अनुरूप हैं।

तुलना के लिए, हम त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके एक दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण दे सकते हैं:

एक्स = एक लागत,

वाई = सिंट में, 0 टी 2 पी। (7)

3. स्पष्ट रूप से, फलन y=chx सम है और केवल धनात्मक मान लेता है। फलन y=shx विषम है, क्योंकि :

फलन y=thx और y=cthx सम और विषम फलन के भागफल के रूप में विषम हैं। ध्यान दें कि त्रिकोणमितीय फलनों के विपरीत अतिपरवलयिक फलन आवर्त नहीं होते हैं।

4. आइए हम विच्छेदन बिंदु x=0 के पड़ोस में y= cthx फलन के व्यवहार का अध्ययन करें:

इस प्रकार y-अक्ष फलन y=cthx के ग्राफ का उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है। आइए हम तिरछे (क्षैतिज) स्पर्शोन्मुख को परिभाषित करें:

इसलिए, रेखा y=1 फ़ंक्शन y=cthx के ग्राफ का दायां क्षैतिज अनंतस्पर्शी है। इस फलन की विषमता के कारण इसका बायां क्षैतिज अनंतस्पर्शी सरल रेखा y=-1 है। यह दिखाना आसान है कि ये रेखाएँ फ़ंक्शन y=thx के लिए एक साथ स्पर्शोन्मुख हैं। फ़ंक्शन shx और chx में कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है।

2) (chx)"=shx (इसी तरह प्रदर्शित)।

4)

त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ एक निश्चित सादृश्य भी है। सभी अतिपरवलयिक फलनों के अवकलजों की एक पूरी तालिका खंड IV में दी गई है।

स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की परिभाषा, परिभाषाओं और मूल्यों के उनके क्षेत्र

श x- अतिपरवलयिक ज्या
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
सीएच एक्स- अतिपरवलयिक कोज्या
, -∞ < x < +∞; 1 y< +∞ .
धन्यवाद- अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
सीटीएच एक्स- अतिपरवलयिक कोटैंजेंट
, एक्स 0; आप< -1 или y > +1 .

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के रेखांकन

अतिपरवलयिक ज्या y = . का आलेख श x

अतिपरवलयिक कोज्या y = . का आलेख सीएच एक्स

अतिपरवलयिक स्पर्शज्या का आलेख y= धन्यवाद

अतिपरवलयिक कोटैंजेंट y = . का प्लॉट सीटीएच एक्स

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ संबंध

पाप इज़ = मैं श जेड; cos iz = ch z
श इज़ = मैं पाप जेड; ch iz = cos z
टीजीआईएस = आई वें जेड; सीटीजी इज़ = - मैं सीटीएच z
वें iz = मैं टीजी जेड; cth iz = - मैं ctg z
यहाँ i एक काल्पनिक इकाई है, i 2 = - 1 .

इन सूत्रों को त्रिकोणमितीय फलनों में लागू करने पर, हम अतिपरवलयिक फलनों से संबंधित सूत्र प्राप्त करते हैं।

समानता

श (-x) = - श x; सीएच(-एक्स) = सीएच एक्स.
वें (-एक्स) = -वें एक्स; सीटीएच (-एक्स) = - सीटीएच एक्स.

समारोह सीएच(एक्स)- यहाँ तक की। कार्यों श (एक्स), धन्यवाद), सीटीएच (एक्स)- अजीब।

वर्गों का अंतर

सीएच 2 एक्स - श 2 एक्स = 1.

योग और तर्कों के अंतर के लिए सूत्र

श (x y) = श x ch y ch x श y,
ch(x y) = ch x ch y श x श y,
,
,

श 2 एक्स = 2 श एक्स सीएच एक्स,
सीएच 2 एक्स = सी 2 एक्स + श 2 एक्स = 2 सीएच 2 एक्स - 1 = 1 + 2 श 2 एक्स,
.

अतिपरवलयिक ज्या और कोज्या के उत्पादों के लिए सूत्र

,
,
,

,
,
.

अतिपरवलयिक फलनों के योग और अंतर के लिए सूत्र

,
,
,
,
.

हाइपरबोलिक साइन और कोसाइन का स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ संबंध

, ,
, .

संजात

,

sh x, ch x, th x, cth x . के समाकलन

,
,
.

श्रृंखला में विस्तार

उलटा कार्य

एरियासीन

पर -< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

एरियाकोसाइन

पर 1 एक्स< ∞ तथा 0 y< ∞ सूत्र हैं:
,
.

क्षेत्रकोसाइन की दूसरी शाखा स्थित है 1 एक्स< ∞ और -< y ≤ 0 :
.

क्षेत्र स्पर्शरेखा

पर - 1 < x < 1 और -< y < ∞ имеют место формулы:
,

त्रिकोणमितीय और घातीय कार्यों के बीच संबंध के साथ-साथ हमने जटिल डोमेन (यूलर सूत्र) में खोजा

जटिल डोमेन में त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के बीच एक बहुत ही सरल संबंध है।

याद रखें कि, परिभाषा के अनुसार:

यदि सर्वसमिका (3) में हम प्रतिस्थापित करते हैं तो दायीं ओर हमें वही व्यंजक मिलता है जो सर्वसमिका के दायीं ओर होता है, जिससे बायीं ओर की समानता का अनुसरण होता है। वही पहचान (4) और (2) के लिए है।

पहचान के दोनों हिस्सों (6) को पहचान के संबंधित भागों (5) और इसके विपरीत (5) को (6) से विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं:

पहचान (1) और (2) में एक समान प्रतिस्थापन और पहचान (3) और (4) के साथ तुलना देता है:

अंत में, सर्वसमिकाओं (9) और (10) से हम पाते हैं:

यदि हम सर्वसमिकाएँ (5)-(12) में रखते हैं जहाँ x एक वास्तविक संख्या है, अर्थात्, तर्क को विशुद्ध रूप से काल्पनिक मानें, तो हमें विशुद्ध रूप से काल्पनिक तर्क के त्रिकोणमितीय फलनों और वास्तविक के संगत अतिपरवलयिक फलनों के बीच आठ और सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं। तर्क, साथ ही एक विशुद्ध रूप से काल्पनिक काल्पनिक तर्क के अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों और वास्तविक तर्क के संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच:

प्राप्त संबंध त्रिकोणमितीय कार्यों से हाइपरबोलिक वाले और से पारित करना संभव बनाते हैं

वास्तविक तर्क द्वारा काल्पनिक तर्क के प्रतिस्थापन के साथ त्रिकोणमितीय लोगों के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य। उन्हें निम्नलिखित नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है:

एक काल्पनिक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों से अतिपरवलयिक लोगों तक जाने के लिए या, इसके विपरीत, एक काल्पनिक तर्क के अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों से त्रिकोणमितीय लोगों तक, किसी को साइन और स्पर्शरेखा के लिए काल्पनिक इकाई को फ़ंक्शन के संकेत से बाहर निकालना चाहिए, और इसे पूरी तरह से त्यागना चाहिए कोसाइन के लिए।

स्थापित कनेक्शन उल्लेखनीय है, विशेष रूप से, यह हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस के बीच सभी संबंधों को हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस द्वारा बाद वाले को बदलकर त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच ज्ञात संबंधों से प्राप्त करना संभव बनाता है।

आइए दिखाते हैं कि यह कैसा है। किया जा रहा है।

उदाहरण के लिए मूल त्रिकोणमितीय पहचान लें

और उसमें डालें जहां x एक वास्तविक संख्या है; हम पाते हैं:

यदि इस सर्वसमिका में हम ज्या और कोज्या को सूत्रों के अनुसार अतिपरवलयिक ज्या और कोज्या द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं या और यह पहले से व्युत्पन्न एक अलग तरीके से मूल पहचान है।

इसी तरह, आप योग के अतिपरवलयिक कार्यों के लिए सूत्र और तर्कों के अंतर, दोहरे और आधे तर्क आदि सहित अन्य सभी सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, इस प्रकार, सामान्य त्रिकोणमिति से, "हाइपरबोलिक त्रिकोणमिति" प्राप्त करें।