डमी के लिए त्रिकोणमितीय कार्य। त्रिकोणमिति सरल और स्पष्ट है। त्रिकोणमितीय कमी सूत्र

1905 की शुरुआत में, रूसी पाठक विलियम जेम्स के मनोविज्ञान में पढ़ सकते थे, उनका तर्क "सीखने का इतना बुरा तरीका क्यों है?"

"केवल रटना के माध्यम से प्राप्त ज्ञान लगभग अनिवार्य रूप से बिना किसी निशान के पूरी तरह से भुला दिया जाता है। इसके विपरीत, स्मृति द्वारा संचित मानसिक सामग्री, धीरे-धीरे, दिन-ब-दिन, विभिन्न संदर्भों के संबंध में, अन्य बाहरी घटनाओं से संबद्ध और बार-बार चर्चा के अधीन, ऐसी प्रणाली बनाती है, हमारी बुद्धि के अन्य पहलुओं के साथ इस तरह के संबंध में प्रवेश करती है , बाहरी कारणों से स्मृति में आसानी से नवीनीकृत हो जाता है जो दीर्घकालिक ठोस अधिग्रहण बने रहते हैं।

तब से 100 से अधिक वर्ष बीत चुके हैं, और ये शब्द आश्चर्यजनक रूप से सामयिक बने हुए हैं। आप इसे हर दिन देखते हैं जब आप स्कूली बच्चों के साथ काम करते हैं। ज्ञान में बड़े पैमाने पर अंतराल इतना बड़ा है कि यह तर्क दिया जा सकता है कि शैक्षिक और मनोवैज्ञानिक शब्दों में स्कूली गणित पाठ्यक्रम एक प्रणाली नहीं है, बल्कि एक तरह का उपकरण है जो प्रोत्साहित करता है अल्पावधि स्मृतिऔर दीर्घकालिक स्मृति की बिल्कुल भी परवाह नहीं करते हैं।

गणित के स्कूल पाठ्यक्रम को जानने का अर्थ है गणित के प्रत्येक क्षेत्र की सामग्री में महारत हासिल करना, उनमें से किसी को भी किसी भी समय अद्यतन करने में सक्षम होना। इसे प्राप्त करने के लिए, आपको उनमें से प्रत्येक को व्यवस्थित रूप से संबोधित करने की आवश्यकता है, जो कभी-कभी पाठ में भारी कार्यभार के कारण हमेशा संभव नहीं होता है।

तथ्यों और सूत्रों को लंबे समय तक याद रखने का एक और तरीका है - ये संदर्भ संकेत हैं।

त्रिकोणमिति स्कूली गणित के बड़े वर्गों में से एक है जिसका अध्ययन कक्षा 8, 9 में ज्यामिति के पाठ्यक्रम में और कक्षा 9 में बीजगणित के पाठ्यक्रम में, बीजगणित और कक्षा 10 में विश्लेषण की शुरुआत में किया जाता है।

त्रिकोणमिति में अध्ययन की जाने वाली सामग्री की सबसे बड़ी मात्रा कक्षा 10 पर आती है। इस त्रिकोणमिति सामग्री में से अधिकांश को सीखा और याद किया जा सकता है त्रिकोणमितीय वृत्त(मूल पर केन्द्रित इकाई त्रिज्या का वृत्त आयताकार प्रणालीनिर्देशांक)। आवेदन1.पीपीटी

ये त्रिकोणमिति की निम्नलिखित अवधारणाएँ हैं:

एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा;
कोणों का रेडियन माप;
परिभाषा का क्षेत्र और त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमा
संख्यात्मक और कोणीय तर्क के कुछ मूल्यों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य;
त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता;
सम और विषम त्रिकोणमितीय फलन;
त्रिकोणमितीय कार्यों में वृद्धि और कमी;
कमी सूत्र;
उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य;
सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल;
सरलतम असमानताओं का समाधान;
त्रिकोणमिति के मूल सूत्र।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर इन अवधारणाओं के अध्ययन पर विचार करें।

1) ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा।

एक त्रिकोणमितीय वृत्त (मूल पर केंद्रित इकाई त्रिज्या का एक वृत्त), एक प्रारंभिक त्रिज्या (ऑक्स अक्ष की दिशा में एक वृत्त की त्रिज्या), रोटेशन के कोण की अवधारणा को पेश करने के बाद, छात्र स्वतंत्र रूप से साइन, कोसाइन की परिभाषा प्राप्त करते हैं , त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट, पाठ्यक्रम ज्यामिति से परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, अर्थात, 1 के बराबर कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज पर विचार करना।

एक कोण की कोज्या एक वृत्त पर एक बिंदु का भुज होता है जब प्रारंभिक त्रिज्या किसी दिए गए कोण से घूमती है।

किसी कोण की ज्या किसी वृत्त पर एक बिंदु की कोटि होती है जब प्रारंभिक त्रिज्या किसी दिए गए कोण से घुमाई जाती है।

2) त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों का रेडियन माप।

एक कोण के रेडियन माप को शुरू करने के बाद (1 रेडियन केंद्रीय कोण है, जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर चाप की लंबाई से मेल खाता है), छात्रों ने निष्कर्ष निकाला है कि रेडियन कोण माप सर्कल पर रोटेशन के कोण का संख्यात्मक मान है। , संगत चाप की लंबाई के बराबर जब प्रारंभिक त्रिज्या को दिए गए कोण से घुमाया जाता है। .

त्रिकोणमितीय वृत्त को वृत्त के व्यास द्वारा 12 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। यह जानते हुए कि एक कोण एक रेडियन है, कोई भी कोणों के लिए रेडियन माप निर्धारित कर सकता है जो कि के गुणज हैं।

और कोणों के रेडियन माप जो गुणक हैं, समान रूप से प्राप्त किए जाते हैं:

3) परिभाषा का क्षेत्र और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों का डोमेन।

क्या वृत्त पर किसी बिंदु के घूर्णन कोणों और निर्देशांक मानों का पत्राचार एक फलन होगा?

रोटेशन का प्रत्येक कोण सर्कल पर एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए यह पत्राचार एक फ़ंक्शन है।

कार्य प्राप्त करना

त्रिकोणमितीय वृत्त पर यह देखा जा सकता है कि फलन की परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, और मानों का क्षेत्र .

आइए हम एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्श रेखाओं और स्पर्श रेखाओं की अवधारणाओं का परिचय दें।

1) चलो हम ओए अक्ष के समानांतर एक सहायक सीधी रेखा का परिचय देते हैं, जिस पर किसी भी संख्यात्मक तर्क के लिए स्पर्शरेखा निर्धारित की जाती है।

2) इसी प्रकार, हमें कोटैन्जेन्ट की एक रेखा प्राप्त होती है। मान लीजिए y=1, तब । इसका मतलब यह है कि कोटैंजेंट के मान ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा पर निर्धारित होते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्कल पर, कोई आसानी से परिभाषा के क्षेत्र और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की सीमा निर्धारित कर सकता है:

स्पर्शरेखा के लिए -

स्पर्शज्या के लिए -

4) त्रिकोणमितीय वृत्त पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान।

आधा कर्ण पर कोण के विपरीत पैर, यानी पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार दूसरा पैर:

तो साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट की परिभाषा से, आप उन कोणों के लिए मान निर्धारित कर सकते हैं जो गुणक या रेडियन हैं। साइन मान ओए अक्ष के साथ निर्धारित किए जाते हैं, ऑक्स अक्ष के साथ कोसाइन मान, और स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट मान क्रमशः ओए और ऑक्स अक्ष के समानांतर अतिरिक्त अक्षों से निर्धारित किए जा सकते हैं।

साइन और कोसाइन के सारणीबद्ध मान संबंधित अक्षों पर निम्नानुसार स्थित हैं:

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के सारणीबद्ध मान -

5) त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर, यह देखा जा सकता है कि साइन, कोसाइन के मान प्रत्येक रेडियन, और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट - प्रत्येक रेडियन को दोहराया जाता है।

6) सम और विषम त्रिकोणमितीय फलन।

त्रिकोणमितीय कार्यों के सकारात्मक और विपरीत रोटेशन कोणों के मूल्यों की तुलना करके यह संपत्ति प्राप्त की जा सकती है। हमें वह मिलता है

तो कोसाइन है यहां तक कि समारोह, अन्य सभी कार्य विषम हैं।

7) त्रिकोणमितीय कार्यों को बढ़ाना और घटाना।

त्रिकोणमितीय वृत्त दर्शाता है कि ज्या फलन बढ़ता है और घटता है

इसी प्रकार तर्क करते हुए, हम कोज्या, स्पर्शरेखा और सहसंयोजक फलनों के बढ़ने और घटने के अंतराल प्राप्त करते हैं।

8) कमी सूत्र।

कोण के लिए हम त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोण का छोटा मान लेते हैं। सभी सूत्र चयनित समकोण त्रिभुजों के पादों पर त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की तुलना करके प्राप्त किए जाते हैं।

कमी सूत्रों को लागू करने के लिए एल्गोरिदम:

1) किसी दिए गए कोण से घूमते समय फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करें।

एक कोना मोड़ते समय फ़ंक्शन को संरक्षित किया जाता है, जब कोण से मुड़ते हैं - एक पूर्णांक, एक विषम संख्या, एक सह-कार्य प्राप्त होता है (

9) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मान।

हम एक फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए व्युत्क्रम कार्यों का परिचय देते हैं।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट का प्रत्येक मान रोटेशन के कोण के केवल एक मान से मेल खाता है। तो, एक फ़ंक्शन के लिए, परिभाषा का डोमेन है, मानों का डोमेन है - फ़ंक्शन के लिए, परिभाषा का डोमेन है, मानों का डोमेन है। इसी तरह, हम कोसाइन और कोटैंजेंट के लिए परिभाषा का क्षेत्र और व्युत्क्रम कार्यों की सीमा प्राप्त करते हैं।

उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) संबंधित अक्ष पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के तर्क का मान ज्ञात करना;

2) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के मूल्यों की सीमा को ध्यान में रखते हुए, प्रारंभिक त्रिज्या के रोटेशन के कोण का पता लगाना।

उदाहरण के लिए:

10) त्रिकोणमितीय वृत्त पर सरलतम समीकरणों का हल।

फॉर्म के समीकरण को हल करने के लिए, हम एक सर्कल पर अंक ढूंढते हैं जिनके निर्देशांक बराबर होते हैं और फ़ंक्शन की अवधि को ध्यान में रखते हुए संबंधित कोणों को लिखते हैं।

समीकरण के लिए, हम वृत्त पर ऐसे बिंदु पाते हैं जिनके भुज बराबर होते हैं और फलन की अवधि को ध्यान में रखते हुए संगत कोणों को लिखते हैं।

इसी प्रकार फॉर्म के समीकरणों के लिए मान स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की तर्ज पर निर्धारित किए जाते हैं और रोटेशन के संबंधित कोण दर्ज किए जाते हैं।

त्रिकोणमिति की सभी अवधारणाएँ और सूत्र एक त्रिकोणमितीय वृत्त की सहायता से शिक्षक के स्पष्ट मार्गदर्शन में स्वयं छात्रों द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। भविष्य में, यह "सर्कल" उनके लिए एक संदर्भ संकेत या त्रिकोणमिति की अवधारणाओं और सूत्रों को स्मृति में पुन: प्रस्तुत करने के लिए एक बाहरी कारक के रूप में काम करेगा।

एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर त्रिकोणमिति का अध्ययन इसमें योगदान देता है:

संचार की शैली चुनना जो इस पाठ के लिए इष्टतम है, शैक्षिक सहयोग का आयोजन;
पाठ लक्ष्य प्रत्येक छात्र के लिए व्यक्तिगत रूप से महत्वपूर्ण हो जाते हैं;
नई सामग्रीपर आधारित निजी अनुभवछात्र की क्रियाएं, सोच, भावनाएं;
पाठ में शामिल हैं विभिन्न रूपज्ञान प्राप्त करने और आत्मसात करने के कार्य और तरीके; पारस्परिक और स्व-शिक्षा के तत्व हैं; आत्म और आपसी नियंत्रण;
घटित होना तेज प्रतिक्रियागलतफहमी और त्रुटि पर (संयुक्त चर्चा, समर्थन-संकेत, आपसी परामर्श)।

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1 परिचय।

स्कूल के पास, मुझे जिम से लड़कों की आवाज़ें सुनाई देती हैं, मैं और आगे जाता हूँ - वे गाते हैं, आकर्षित करते हैं ... भावनाएँ, भावनाएँ हर जगह हैं। मेरा कार्यालय, बीजगणित पाठ, दसवीं कक्षा के छात्र। यहां हमारी पाठ्यपुस्तक है, जिसमें त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम इसकी मात्रा का आधा है, और इसमें दो बुकमार्क हैं - ये वे स्थान हैं जहां मुझे ऐसे शब्द मिले जो त्रिकोणमिति के सिद्धांत से संबंधित नहीं हैं।

कुछ ऐसे छात्र हैं जो गणित से प्यार करते हैं, इसकी सुंदरता को महसूस करते हैं और यह नहीं पूछते हैं कि त्रिकोणमिति का अध्ययन करना क्यों आवश्यक है, अध्ययन की गई सामग्री का उपयोग कहां किया जाता है? बहुसंख्यक वे हैं जो केवल कार्यों को पूरा करते हैं ताकि खराब ग्रेड न मिले। और हम दृढ़ता से आश्वस्त हैं कि गणित का व्यावहारिक मूल्य सफल होने के लिए पर्याप्त ज्ञान प्राप्त करना है परीक्षा उत्तीर्ण करनाऔर विश्वविद्यालय में प्रवेश (प्रवेश करने और भूलने के लिए)।

प्रस्तुत पाठ का मुख्य उद्देश्य त्रिकोणमिति के लागू मूल्य को प्रदर्शित करना है विभिन्न क्षेत्रमानव गतिविधि। दिए गए उदाहरण छात्रों को गणित के इस खंड का स्कूल में अध्ययन किए गए अन्य विषयों के साथ संबंध देखने में मदद करेंगे। इस पाठ की सामग्री छात्र प्रशिक्षण का एक तत्व है।

एक लंबे समय से ज्ञात तथ्य के बारे में कुछ नया बताएं। जो हम पहले से जानते हैं और जो अध्ययन किया जाना बाकी है, के बीच एक तार्किक संबंध दिखाएं। थोड़ा दरवाजा खोलो और आगे देखो स्कूल के पाठ्यक्रम. असामान्य कार्य, आज की घटनाओं से संबंध - ये वे तकनीकें हैं जिनका उपयोग मैं अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए करता हूं। आखिरकार, एक विषय के रूप में स्कूली गणित सीखने में उतना योगदान नहीं देता जितना कि व्यक्ति के विकास, उसकी सोच, संस्कृति में।

2. बीजगणित पर पाठ का सारांश और विश्लेषण की शुरुआत (ग्रेड 10)।

आयोजन का समय:अर्धवृत्त (चाचा मॉडल) में छह टेबल व्यवस्थित करें, टेबल पर छात्रों के लिए वर्कशीट (अनुलग्नक 1).

पाठ के विषय की घोषणा: "त्रिकोणमिति सरल और स्पष्ट है।"

बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत के दौरान, हम त्रिकोणमिति का अध्ययन करना शुरू करते हैं, मैं गणित की इस शाखा के लागू महत्व के बारे में बात करना चाहता हूं।

पाठ की थीसिस:

“महान किताबप्रकृति को केवल वही पढ़ सकता है जो उस भाषा को जानता है जिसमें वह लिखा गया है, और वह भाषा है गणित।
(जी गैलीलियो)।

पाठ के अंत में, हम एक साथ विचार करेंगे कि क्या हम इस पुस्तक को देखने और उस भाषा को समझने में सक्षम थे जिसमें यह लिखी गई है।

एक न्यून कोण की त्रिकोणमिति।

त्रिकोणमिति एक ग्रीक शब्द है और इसका अर्थ है "त्रिकोण का मापन"। त्रिकोणमिति का उद्भव जमीन, निर्माण और खगोल विज्ञान पर माप से जुड़ा है। और उसके साथ पहला परिचय तब हुआ जब आपने एक चांदा उठाया। क्या आपने ध्यान दिया कि टेबल कैसे खड़े होते हैं? अपने दिमाग में अनुमान लगाएं: यदि आप एक जीवा के लिए एक मेज लेते हैं, तो चाप की डिग्री माप क्या है जिसे वह एक साथ खींचता है?

कोणों के माप को याद करें: 1 ° = 1/360सर्कल का हिस्सा ("डिग्री" - लैटिन ग्रेड से - चरण)। क्या आप जानते हैं कि वृत्त को 360 भागों में क्यों विभाजित किया गया था, 10, 100 या 1000 भागों में विभाजित क्यों नहीं किया गया, उदाहरण के लिए, लंबाई मापते समय? मैं आपको संस्करणों में से एक बताऊंगा।

पहले, लोगों का मानना था कि पृथ्वी ब्रह्मांड का केंद्र है और यह गतिहीन है, और सूर्य प्रति दिन पृथ्वी के चारों ओर एक चक्कर लगाता है, दुनिया की भू-केन्द्रित प्रणाली, "भू" - पृथ्वी ( ड्राइंग नंबर 1) खगोलीय अवलोकन करने वाले बेबीलोन के पुजारियों ने पाया कि विषुव के दिन, सूर्योदय से सूर्यास्त तक, सूर्य आकाश में एक अर्धवृत्त का वर्णन करता है, जिसमें सूर्य का स्पष्ट व्यास (व्यास) ठीक 180 गुना फिट बैठता है, 1 ° - सूरज का निशान। ( चित्र संख्या 2).

लंबे समय तक, त्रिकोणमिति प्रकृति में विशुद्ध रूप से ज्यामितीय थी। आप में समकोण त्रिभुजों को हल करके त्रिकोणमिति से अपना परिचय जारी रखें। आप सीखते हैं कि समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है, कोज्या आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है, स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न पैर का अनुपात है , और कोटैंजेंट आसन्न पैर का विपरीत भाग का अनुपात है। और याद रखें कि सही त्रिकोण, जिसमें एक कोण दिया गया है, भुजाओं का अनुपात त्रिभुज के आकार पर निर्भर नहीं करता है। स्वेच्छ त्रिभुजों को हल करने के लिए ज्या और कोज्या प्रमेय से परिचित हों।

2010 में, मास्को मेट्रो ने अपनी 75 वीं वर्षगांठ मनाई। हर दिन हम मेट्रो में जाते हैं और ध्यान नहीं देते कि ...

टास्क नंबर 1.मॉस्को मेट्रो में सभी एस्केलेटर के झुकाव का कोण 30 डिग्री है। यह जानकर, एस्केलेटर पर लैंप की संख्या और लैंप के बीच की अनुमानित दूरी, आप स्टेशन की अनुमानित गहराई की गणना कर सकते हैं। Tsvetnoy Bulvar स्टेशन के एस्केलेटर पर 15 लैंप हैं, और Prazhskaya स्टेशन पर 2 लैंप हैं। इन स्टेशनों की गहराई की गणना करें यदि लैम्पों के बीच की दूरी, एस्केलेटर के प्रवेश द्वार से पहले लैम्प तक और अंतिम लैम्प से एस्केलेटर से बाहर निकलने तक की दूरी 6 मीटर है ( ड्राइंग नंबर 3) उत्तर: 48 मी और 9 मी

गृहकार्य. मॉस्को मेट्रो का सबसे गहरा स्टेशन पार्क पोबेडी है। इसकी गहराई क्या है? मेरा सुझाव है कि आप अपने गृहकार्य की समस्या को हल करने के लिए स्वतंत्र रूप से लापता डेटा का पता लगाएं।

मेरे हाथ में एक लेज़र पॉइंटर है, यह एक रेंजफाइंडर भी है। आइए मापें, उदाहरण के लिए, बोर्ड की दूरी।

चीनी डिजाइनर हुआन किआओकोंग ने दो लेजर रेंजफाइंडर, एक प्रोट्रैक्टर को एक उपकरण में संयोजित करने का अनुमान लगाया और एक उपकरण प्राप्त किया जो आपको एक विमान पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है ( ड्राइंग नंबर 4) आप क्या सोचते हैं, किस प्रमेय की सहायता से यह समस्या हल हो जाती है? कोसाइन प्रमेय के सूत्रीकरण को याद करें। क्या आप मेरी इस बात से सहमत हैं कि ऐसा आविष्कार करने के लिए आपका ज्ञान पहले से ही पर्याप्त है? ज्यामिति की समस्याओं को हल करें और प्रतिदिन छोटी-छोटी खोजें करें!

गोलाकार त्रिकोणमिति।

यूक्लिड (प्लानिमेट्री) की समतल ज्यामिति के अलावा, अन्य ज्यामिति भी हो सकती हैं जिनमें आकृतियों के गुणों को समतल पर नहीं, बल्कि अन्य सतहों पर माना जाता है, उदाहरण के लिए, एक गेंद की सतह पर ( ड्राइंग नंबर 5) गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के विकास की नींव रखने वाले पहले गणितज्ञ एन.आई. लोबचेव्स्की - "ज्यामिति का कॉपरनिकस"। 1827 से, 19 वर्षों तक, वह कज़ान विश्वविद्यालय के रेक्टर थे।

गोलाकार त्रिकोणमिति, जो गोलाकार ज्यामिति का हिस्सा है, एक गोले पर त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों पर विचार करता है, जो एक गोले पर बड़े वृत्तों के चापों द्वारा बनता है ( ड्राइंग नंबर 6).

ऐतिहासिक रूप से, गोलाकार त्रिकोणमिति और ज्यामिति खगोल विज्ञान, भूगणित, नेविगेशन और कार्टोग्राफी की जरूरतों से उत्पन्न हुई। इनमें से कौन सी दिशा पर विचार करें पिछले साल काइतना तीव्र विकास प्राप्त किया है कि इसका परिणाम आधुनिक संचारकों में पहले से ही उपयोग किया जा रहा है। ... नेविगेशन का एक आधुनिक अनुप्रयोग एक उपग्रह नेविगेशन सिस्टम है जो आपको किसी वस्तु के स्थान और गति को उसके रिसीवर के सिग्नल से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

ग्लोबल नेविगेशन सिस्टम (जीपीएस)। रिसीवर के अक्षांश और देशांतर को निर्धारित करने के लिए, कम से कम तीन उपग्रहों से संकेत प्राप्त करना आवश्यक है। चौथे उपग्रह से एक संकेत प्राप्त करने से सतह के ऊपर वस्तु की ऊंचाई निर्धारित करना भी संभव हो जाता है ( ड्राइंग नंबर 7).

रिसीवर कंप्यूटर चार अज्ञात में चार समीकरणों को हल करता है जब तक कि एक समाधान नहीं मिल जाता है जो एक बिंदु के माध्यम से सभी सर्कल खींचता है ( ड्राइंग नंबर 8).

अधिक जटिल व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए एक न्यून कोण के त्रिकोणमिति से ज्ञान अपर्याप्त निकला। घूर्णी और वृत्ताकार गतियों का अध्ययन करते समय, कोण और वृत्ताकार चाप का मान सीमित नहीं होता है। सामान्यीकृत तर्क के त्रिकोणमिति में संक्रमण की आवश्यकता थी।

सामान्यीकृत तर्क की त्रिकोणमिति।

वृत्त ( ड्राइंग नंबर 9) सकारात्मक कोणों को वामावर्त प्लॉट किया जाता है, नकारात्मक कोणों को दक्षिणावर्त प्लॉट किया जाता है। क्या आप इस तरह के समझौते के इतिहास से परिचित हैं?

जैसा कि आप जानते हैं, यांत्रिक और धूपघड़ी को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि उनके हाथ "सूर्य के अनुसार" घूमते हैं, अर्थात। उसी दिशा में जिसमें हम पृथ्वी के चारों ओर सूर्य की स्पष्ट गति देखते हैं। (पाठ की शुरुआत याद रखें - दुनिया की भू-केन्द्रित प्रणाली)। लेकिन कोपर्निकस द्वारा सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की वास्तविक (सकारात्मक) गति की खोज के साथ, पृथ्वी के चारों ओर सूर्य की स्पष्ट (अर्थात स्पष्ट) गति काल्पनिक (नकारात्मक) है। विश्व की सूर्य केन्द्रित प्रणाली (हेलिओ-सूर्य) ( ड्राइंग नंबर 10).

जोश में आना.

बाहर खींचें दांया हाथआपके सामने, टेबल की सतह के समानांतर और 720 डिग्री का एक गोलाकार घुमाव करें।
बाहर खींचें बायां हाथआपके सामने, टेबल की सतह के समानांतर और (-1080) डिग्री से एक गोलाकार मोड़ करें।
अपने हाथों को अपने कंधों पर रखें और 4 गोलाकार गतियां आगे-पीछे करें। घूर्णन कोणों का योग कितना होता है?

2010 में सर्दी ओलिंपिक खेलोंवैंकूवर में, हम समस्या को हल करके एक स्केटर के व्यायाम की ग्रेडिंग के लिए मानदंड का पता लगाएंगे।

टास्क नंबर 2.यदि कोई स्केटर 12 सेकंड में स्क्रू एक्सरसाइज करते हुए 10,800 डिग्री का मोड़ लेता है, तो उसे "उत्कृष्ट" मार्क मिलता है। निर्धारित करें कि इस समय के दौरान स्केटर कितने चक्कर लगाएगा और उसके घूमने की गति (प्रति सेकंड क्रांति) होगी। उत्तर: 2.5 चक्कर/सेकंड।

गृहकार्य. एक स्केटर किस कोण पर मुड़ता है, जिसे "असंतोषजनक" रेटिंग मिली है, यदि उसी रोटेशन समय के साथ, उसकी गति प्रति सेकंड 2 क्रांति थी।

घूर्णन गति से जुड़े चापों और कोणों का सबसे सुविधाजनक माप रेडियन (त्रिज्या) माप निकला, कोण या चाप के मापन की एक बड़ी इकाई के रूप में ( ड्राइंग नंबर 11) कोण माप के इस माप ने लियोनहार्ड यूलर के उल्लेखनीय कार्यों के माध्यम से विज्ञान में प्रवेश किया। जन्म से स्विस, वह 30 साल तक रूस में रहे, सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य थे। यह उनके लिए है कि हम सभी त्रिकोणमिति की "विश्लेषणात्मक" व्याख्या का श्रेय देते हैं, उन्होंने उन सूत्रों को प्राप्त किया जो अब आप पढ़ रहे हैं, एक समान संकेत पेश किए:। पाप एक्स, कोस एक्स, टीजी एक्ससीटीजी एक्स.

यदि 17वीं शताब्दी तक त्रिकोणमितीय कार्यों के सिद्धांत का विकास ज्यामितीय आधार पर किया गया था, तो 17वीं शताब्दी से, त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग यांत्रिकी, प्रकाशिकी, बिजली में समस्याओं को हल करने के लिए, ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए, तरंग के लिए किया जाने लगा। प्रसार। जहां भी किसी को आवधिक प्रक्रियाओं और दोलनों से निपटना होता है, त्रिकोणमितीय कार्यों ने आवेदन पाया है। आवधिक प्रक्रियाओं के नियमों को व्यक्त करने वाले कार्यों में केवल उनके लिए निहित एक विशेष गुण होता है: वे तर्क के परिवर्तन के समान अंतराल के माध्यम से अपने मूल्यों को दोहराते हैं। किसी भी फ़ंक्शन के परिवर्तन उसके ग्राफ पर सबसे स्पष्ट रूप से प्रसारित होते हैं ( ड्राइंग नंबर 12).

रोटेशन की समस्याओं को हल करने में मदद के लिए हम पहले ही अपने शरीर की ओर रुख कर चुके हैं। आइए सुनते हैं हमारे दिल की धड़कन। हृदय एक स्वतंत्र अंग है। मस्तिष्क हमारे शरीर में हृदय को छोड़कर सभी मांसपेशियों को नियंत्रित करता है। उसका अपना नियंत्रण केंद्र है - साइनस नोड। हृदय के प्रत्येक संकुचन के साथ पूरे शरीर में - साइनस नोड (बाजरे के दाने के आकार) से शुरू होकर - फैलता है बिजली. इसे इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफ़ का उपयोग करके रिकॉर्ड किया जा सकता है। यह एक इलेक्ट्रोकार्डियोग्राम (साइनसॉइड) खींचता है ( ड्राइंग नंबर 13).

अब बात करते हैं संगीत की। गणित संगीत है, यह मन और सौंदर्य का मिलन है।
संगीत गणना से गणित है, बीजगणित अमूर्तन द्वारा, त्रिकोणमिति सौंदर्य से। हार्मोनिक दोलन(हार्मोनिक) एक साइन वेव है। ग्राफ़ दिखाता है कि श्रोता के ईयरड्रम पर हवा का दबाव कैसे बदलता है: समय-समय पर एक चाप में ऊपर और नीचे। हवा जोर से धक्का देती है, फिर कमजोर। प्रभाव बल काफी छोटा है और दोलन बहुत जल्दी होते हैं: हर सेकंड सैकड़ों और हजारों झटके। हम ऐसे आवधिक कंपनों को ध्वनि के रूप में देखते हैं। दो अलग-अलग हार्मोनिक्स जोड़ने से एक अधिक जटिल तरंग उत्पन्न होती है। तीन हार्मोनिक्स का योग और भी जटिल है, और प्राकृतिक ध्वनियाँ और संगीत वाद्ययंत्र की आवाज़ बड़ी संख्या में हार्मोनिक्स से बनी होती है। ( ड्राइंग नंबर 14.)

प्रत्येक हार्मोनिक को तीन मापदंडों की विशेषता है: आयाम, आवृत्ति और चरण। दोलन आवृत्ति इंगित करती है कि एक सेकंड में वायुदाब के कितने झटके आते हैं। बड़ी आवृत्तियों को "उच्च", "पतली" ध्वनियों के रूप में माना जाता है। 10 किलोहर्ट्ज़ से ऊपर - चीख़, सीटी। छोटी आवृत्तियों को "कम", "बास" ध्वनियों, गड़गड़ाहट के रूप में माना जाता है। आयाम दोलन की सीमा है। स्पैन जितना बड़ा होगा, ईयरड्रम पर प्रभाव उतना ही मजबूत होगा, और तेज आवाजजो हम सुनते हैं ड्राइंग नंबर 15) चरण समय में दोलनों का विस्थापन है। चरण को डिग्री या रेडियन में मापा जा सकता है। चरण के आधार पर, शून्य गणना को ग्राफ़ पर स्थानांतरित कर दिया जाता है। हार्मोनिक को निर्दिष्ट करने के लिए, चरण को -180 से +180 डिग्री तक निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि दोलन बड़े मूल्यों पर दोहराता है। एक ही आयाम और आवृत्ति के साथ दो साइनसोइडल सिग्नल लेकिन अलग-अलग चरणों को बीजगणितीय रूप से जोड़ा जाता है ( ड्राइंग नंबर 16).

पाठ का सारांश।क्या आपको लगता है कि हम प्रकृति की महान पुस्तक के कुछ पन्ने पढ़ पाए? त्रिकोणमिति के लागू अर्थ के बारे में जानने के बाद, क्या आपने मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में इसकी भूमिका को समझा, क्या आपने प्रस्तुत सामग्री को समझा? फिर त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग के क्षेत्रों को याद रखें और सूचीबद्ध करें जिन्हें आप आज मिले थे या पहले जानते थे। मुझे आशा है कि आप में से प्रत्येक ने आज के पाठ में अपने लिए कुछ नया और दिलचस्प पाया। शायद यह नया आपको चुनने का तरीका दिखाएगा भविष्य का पेशा, लेकिन कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन बन जाते हैं, आपकी गणितीय शिक्षा आपको अपने क्षेत्र में एक पेशेवर और बौद्धिक रूप से विकसित व्यक्ति बनने में मदद करेगी।

गृहकार्य. पाठ की रूपरेखा पढ़ें

एक बार स्कूल में, त्रिकोणमिति के अध्ययन के लिए एक अलग पाठ्यक्रम आवंटित किया गया था। प्रमाण पत्र को तीन गणितीय विषयों में ग्रेड दिया गया था: बीजगणित, ज्यामिति और त्रिकोणमिति।

फिर, सुधार के हिस्से के रूप में विद्यालय शिक्षाएक अलग विषय के रूप में त्रिकोणमिति का अस्तित्व समाप्त हो गया। पर आधुनिक स्कूलत्रिकोणमिति का पहला परिचय 8वीं कक्षा के ज्यामिति पाठ्यक्रम में होता है। 10वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में विषय का गहन अध्ययन जारी है।

ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएँ सबसे पहले ज्यामिति में समकोण त्रिभुज की भुजाओं के संबंध के माध्यम से दी जाती हैं।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

कोज्यासमकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है।

कोटैंजेंटएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण को आसन्न टांग का विपरीत दिशा में अनुपात कहा जाता है।

ये परिभाषाएँ केवल न्यून कोणों (0º से 90° तक) पर लागू होती हैं।

उदाहरण के लिए,

त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠C=90°, BC कोण A के विपरीत पैर है, AC कोण A से सटा पैर है, AB कर्ण है।

10 वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में, किसी भी कोण (ऋणात्मक सहित) के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाएं पेश की जाती हैं।

मूल बिंदु O(0;0) पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक वृत्त पर विचार करें। x-अक्ष की धनात्मक दिशा वाले वृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु P 0 द्वारा दर्शाया जाएगा।

ज्यामिति में, कोण को दो किरणों से घिरे हुए समतल का एक भाग माना जाता है। इस परिभाषा के साथ, कोण का मान 0° से 180° तक भिन्न होता है।

त्रिकोणमिति में, कोण को प्रारंभिक बिंदु O के चारों ओर किरण OP 0 के घूमने का परिणाम माना जाता है।

साथ ही, वे बायपास की सकारात्मक दिशा के रूप में बीम वामावर्त के घूर्णन पर विचार करने के लिए सहमत हुए, और घड़ी की दिशा में नकारात्मक के रूप में (यह समझौता पृथ्वी के चारों ओर सूर्य के वास्तविक आंदोलन से जुड़ा हुआ है)।

उदाहरण के लिए, जब बीम OP 0 बिंदु O के चारों ओर α वामावर्त कोण पर घूमता है, तो बिंदु P 0 बिंदु P α पर जाएगा,

कोण के माध्यम से मोड़ते समय α दक्षिणावर्त - बिंदु F पर।

इस परिभाषा के साथ, कोण कोई भी मान ले सकता है।

यदि हम α°+360°, α°+360° 2,…,α°+360° n, जहां n एक पूर्णांक (n∈Ζ) है, से मुड़ते समय बीम OP 0 को वामावर्त घुमाना जारी रखते हैं, तो फिर से हम बिंदु P α पर पहुँचते हैं:

कोणों को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

1° एक सीधे कोण के डिग्री माप के 1/180 के बराबर कोण है।

1 रेडियन एक केंद्रीय कोण है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है:

AOB=1 रेड।

रेडियन संकेतन आमतौर पर नहीं लिखा जाता है। रिकॉर्ड में डिग्री के पदनाम को छोड़ा नहीं जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए,

बिंदु P α, बिंदु P 0 से बीम OP 0 को बिंदु O के चारों ओर α वामावर्त कोण पर घुमाकर प्राप्त किया जाता है, जिसमें निर्देशांक P α (x; y) होता है।

आइए हम लंब P α A को बिंदु P α से x-अक्ष पर छोड़ते हैं।

एक समकोण त्रिभुज में OP α A:

P α A कोण α के विपरीत पैर है,

OA कोण α से सटा पैर है,

OP α कर्ण है।

पी α ए = वाई, ओए = एक्स, ओपी α = आर।

एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

अत: स्वेच्छ त्रिज्या के मूल बिंदु पर केन्द्रित वृत्त के मामले में साइनसकोण α, बिंदु P α की कोटि और त्रिज्या की लंबाई का अनुपात है।

कोज्याकोण α, बिंदु P α के भुज और त्रिज्या की लंबाई का अनुपात है।

स्पर्शरेखाकोण α, बिंदु P α की कोटि और उसके भुज का अनुपात है।

कोटैंजेंटकोण α, बिंदु P α के भुज और उसकी कोटि का अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के मान केवल α के मान पर निर्भर करते हैं और त्रिज्या R की लंबाई पर निर्भर नहीं करते हैं (यह सर्कल की समानता से निम्नानुसार है)।

इसलिए, आर = 1 चुनना सुविधाजनक है।

मूल वृत्त और त्रिज्या R=1 पर केन्द्रित एक वृत्त एक इकाई वृत्त कहलाता है।

परिभाषाएं

1) साइनसकोण α इकाई वृत्त के बिंदु P α (x; y) की कोटि है:

2) कोज्याकोण α को इकाई वृत्त के बिंदु P α (x; y) का भुज कहा जाता है:

3) स्पर्शरेखाकोण α, बिंदु P α (x; y) की कोटि का उसके भुज से अनुपात है, अर्थात sin α का cos α (जहाँ cos α≠ 0) का अनुपात है:

4) कोटैंजेंटकोण α, बिंदु P α (x; y) के भुज का उसके कोटि से अनुपात है, जो कि cosα से sinα (जहाँ sinα≠0) का अनुपात है:

इस तरह से पेश की गई परिभाषाएं हमें न केवल कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों पर विचार करने की अनुमति देती हैं, बल्कि संख्यात्मक तर्कों के त्रिकोणमितीय कार्यों पर भी विचार करती हैं (यदि हम sinα, cosα, tgα और ctgα को α रेडियन में कोण के संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में मानते हैं, तो है, संख्या α की ज्या α रेडियन में कोण की ज्या है, α की कोज्या α रेडियन में कोण की कोज्या है, आदि)।

10वीं या 11वीं कक्षा में बीजगणित के पाठ्यक्रम में त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का अध्ययन एक अलग विषय के रूप में किया जाता है। त्रिकोणमितीय फलनभौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

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इस पाठ में, हम बात करेंगे कि त्रिकोणमितीय कार्यों की शुरूआत की आवश्यकता कैसे उत्पन्न होती है और उनका अध्ययन क्यों किया जाता है, इस विषय में आपको क्या समझने की आवश्यकता है, और आपको बस अपना हाथ कहाँ भरना है (जो एक तकनीक है)। ध्यान दें कि तकनीक और समझ दो अलग-अलग चीजें हैं। सहमत हूं, एक अंतर है: बाइक चलाना सीखना, यानी यह समझना कि इसे कैसे करना है, या एक पेशेवर साइकिल चालक बनना है। हम समझने के बारे में बात करेंगे कि हमें त्रिकोणमितीय कार्यों की आवश्यकता क्यों है।

चार त्रिकोणमितीय फलन हैं, लेकिन उन सभी को सर्वसमिकाओं (उन्हें जोड़ने वाली समानताएं) का उपयोग करके एक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

समकोण त्रिभुजों में न्यून कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों की औपचारिक परिभाषाएँ (चित्र 1)।

साइनसएक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण को विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात कहा जाता है।

कोज्याएक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण को आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात कहा जाता है।

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण को विपरीत टांग का आसन्न पैर से अनुपात कहा जाता है।

कोटैंजेंटएक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण को आसन्न टांग का विपरीत पैर से अनुपात कहा जाता है।

चावल। 1. एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण के त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा

ये परिभाषाएँ औपचारिक हैं। यह कहना अधिक सही है कि केवल एक ही कार्य है, उदाहरण के लिए, साइन। यदि प्रौद्योगिकी में उनकी इतनी आवश्यकता नहीं होती (इतनी बार उपयोग नहीं की जाती), तो कई अलग-अलग त्रिकोणमितीय कार्यों को पेश नहीं किया जाएगा।

उदाहरण के लिए, एक कोण की कोज्या () के योग के साथ उसी कोण की ज्या के बराबर होती है। इसके अलावा, एक कोण की कोज्या को हमेशा एक ही कोण की ज्या के पदों में, एक चिन्ह तक, मूल आधार का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। त्रिकोणमितीय पहचान()। किसी कोण की स्पर्शरेखा ज्या का कोज्या या उल्टे कोटेंजेंट का अनुपात है (चित्र 2)। कुछ कोटैंजेंट का उपयोग बिल्कुल नहीं करते हैं, इसे के साथ बदलते हैं। इसलिए, एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को समझना और काम करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है।

चावल। 2. विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों का कनेक्शन

लेकिन आपको ऐसे कार्यों की बिल्कुल आवश्यकता क्यों है? उनका उपयोग किन व्यावहारिक समस्याओं के लिए किया जाता है? आइए कुछ उदाहरण देखें।

दो लोग ( लेकिनतथा पर) कार को पोखर से बाहर धकेलें (चित्र 3)। मानवीय परकार को बग़ल में धक्का दे सकता है, जबकि यह मदद करने की संभावना नहीं है लेकिन. दूसरी ओर, उसके प्रयासों की दिशा धीरे-धीरे बदल सकती है (चित्र 4)।

चावल। 3. परकार को साइड में धकेलता है

चावल। चार। परदिशा बदलने लगती है

यह स्पष्ट है कि उनके प्रयास सबसे प्रभावी होंगे जब वे कार को एक दिशा में धकेलेंगे (चित्र 5)।

चावल। 5. प्रयासों की सबसे प्रभावी संयुक्त दिशा

कितना परमशीन को धक्का देने में मदद करता है, जहाँ तक उसके बल की दिशा उस बल की दिशा के करीब होती है जिसके साथ वह कार्य करता है लेकिन, कोण का एक फलन है और इसकी कोज्या (चित्र 6) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

चावल। 6. कोसाइन प्रयासों की प्रभावशीलता की विशेषता के रूप में पर

यदि हम उस बल के परिमाण को गुणा करें जिससे पर, कोण की कोज्या पर, हमें इसके बल का प्रक्षेपण उस बल की दिशा में प्राप्त होता है जिसके साथ वह कार्य करता है लेकिन. बलों की दिशाओं के बीच का कोण जितना करीब होगा, परिणाम उतना ही अधिक प्रभावी होगा। संयुक्त कार्रवाई लेकिनतथा पर(चित्र 7)। यदि वे समान बल से कार को विपरीत दिशाओं में धकेलते हैं, तो कार यथावत रहेगी (चित्र 8)।

चावल। 7. संयुक्त प्रयासों की प्रभावशीलता लेकिनतथा पर

चावल। 8. बलों की विपरीत दिशा लेकिनतथा पर

यह समझना महत्वपूर्ण है कि हम कोण (अंतिम परिणाम में इसके योगदान) को कोसाइन (या कोण के अन्य त्रिकोणमितीय फलन) से क्यों बदल सकते हैं। वास्तव में, यह समरूप त्रिभुजों के ऐसे गुण का अनुसरण करता है। चूंकि वास्तव में हम निम्नलिखित कह रहे हैं: कोण को दो संख्याओं (लेग-कर्ण या लेग-लेग) के अनुपात से बदला जा सकता है। यह असंभव होगा, उदाहरण के लिए, विभिन्न समकोण त्रिभुजों के एक ही कोण के लिए, ये अनुपात भिन्न होंगे (चित्र 9)।

चावल। 9. समरूप त्रिभुजों में भुजाओं का समान अनुपात

उदाहरण के लिए, यदि अनुपात और अनुपात भिन्न होते, तो हम स्पर्शरेखा फलन का परिचय नहीं दे पाते, क्योंकि अलग-अलग समकोण त्रिभुजों में समान कोण के लिए स्पर्शरेखा भिन्न होगी। लेकिन इस तथ्य के कारण कि समान समकोण त्रिभुजों के पैरों की लंबाई का अनुपात समान है, फ़ंक्शन का मान त्रिभुज पर निर्भर नहीं करेगा, जिसका अर्थ है कि न्यून कोण और इसके त्रिकोणमितीय के मान कार्य एक-से-एक हैं।

मान लीजिए हम एक निश्चित पेड़ की ऊंचाई जानते हैं (चित्र 10)। आस-पास की इमारत की ऊंचाई कैसे मापें?

चावल। 10. उदाहरण 2 . की स्थिति का चित्रण

हम एक ऐसा बिंदु पाते हैं कि इस बिंदु और घर के शीर्ष के माध्यम से खींची गई रेखा पेड़ के शीर्ष से होकर गुजरती है (चित्र 11)।

चावल। 11. उदाहरण 2 . की समस्या के समाधान का चित्रण

हम इस बिंदु से पेड़ की दूरी, उससे घर की दूरी को माप सकते हैं, और हम पेड़ की ऊंचाई जानते हैं। अनुपात से आप घर की ऊंचाई पा सकते हैं:।

अनुपातदो संख्याओं का अनुपात है। पर ये मामलासमान समकोण त्रिभुजों के पैरों की लंबाई के अनुपात की समानता। इसके अलावा, ये अनुपात कोण के कुछ माप के बराबर होते हैं, जिसे त्रिकोणमितीय फलन के रूप में व्यक्त किया जाता है (परिभाषा के अनुसार, यह एक स्पर्शरेखा है)। हम पाते हैं कि प्रत्येक न्यून कोण के लिए इसके त्रिकोणमितीय फलन का मान अद्वितीय होता है। अर्थात्, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट वास्तव में कार्य हैं, क्योंकि प्रत्येक न्यून कोण उनमें से प्रत्येक के ठीक एक मान से मेल खाता है। इसलिए, उन्हें और अधिक खोजा जा सकता है और उनके गुणों का उपयोग किया जा सकता है। सभी कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना पहले ही की जा चुकी है, उनका उपयोग किया जा सकता है (वे ब्रैडिस टेबल से या किसी का उपयोग करके पाया जा सकता है इंजीनियरिंग कैलकुलेटर) लेकिन व्युत्क्रम समस्या को हल करने के लिए (उदाहरण के लिए, साइन के मान से कोण के माप को पुनर्स्थापित करने के लिए), हम हमेशा नहीं कर सकते।

मान लीजिए कि किसी कोण की ज्या बराबर या लगभग है (चित्र 12)। ज्या के इस मान के अनुरूप कौन सा कोण होगा? बेशक, हम फिर से ब्रैडिस तालिका का उपयोग कर सकते हैं और कुछ मूल्य पा सकते हैं, लेकिन यह पता चला है कि यह केवल एक ही नहीं होगा (चित्र 13)।

चावल। 12. उसकी ज्या के मान से कोण ज्ञात करना

चावल। 13. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की बहुसंयोजीता

इसलिए, कोण के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के मान को पुनर्स्थापित करते समय, उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों का एक पॉलीसेमी होता है। यह जटिल लग सकता है, लेकिन वास्तव में हम हर दिन इसी तरह की स्थितियों का सामना करते हैं।

यदि आप खिड़कियों पर पर्दा डालते हैं और यह नहीं जानते कि बाहर प्रकाश है या अंधेरा है, या यदि आप अपने आप को एक गुफा में पाते हैं, तो जागने पर, यह कहना मुश्किल है कि यह अब दिन का समय है या रात का, या अगले दिन (चित्र 14)। वास्तव में, यदि आप हमसे पूछते हैं "यह कितना समय है?", तो हमें ईमानदारी से उत्तर देना चाहिए: "घंटे प्लस कहां से गुणा करें"

चावल। 14. घड़ी के उदाहरण पर पॉलीसेमी का चित्रण

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि - यह वह अवधि है (वह अंतराल जिसके बाद घड़ी वही समय दिखाएगी जैसा अभी है)। त्रिकोणमितीय कार्यों में भी अवधि होती है: साइन, कोसाइन, आदि। यानी तर्क में कुछ बदलाव के बाद उनके मूल्यों को दोहराया जाता है।

यदि ग्रह में दिन और रात का परिवर्तन या ऋतुओं का परिवर्तन नहीं होता, तो हम आवधिक समय का उपयोग नहीं कर सकते थे। आखिरकार, हम केवल वर्षों को आरोही क्रम में गिनते हैं, और दिन में घंटे होते हैं, और हर नए दिन की गिनती नए सिरे से शुरू होती है। महीनों के साथ भी यही स्थिति है: अगर अभी जनवरी है, तो महीनों में जनवरी फिर आएगी, और इसी तरह। बाहरी संदर्भ बिंदु हमें समय की आवधिक गणना (घंटों, महीनों) का उपयोग करने में मदद करते हैं, उदाहरण के लिए, अपनी धुरी के चारों ओर पृथ्वी का घूमना और आकाश में सूर्य और चंद्रमा की स्थिति में परिवर्तन। यदि सूर्य हमेशा एक ही स्थिति में लटका रहता है, तो समय की गणना करने के लिए हम इस गणना की घटना के बाद से सेकंड (मिनट) की संख्या की गणना करेंगे। तब दिनांक और समय इस तरह लग सकता था: एक अरब सेकंड।

निष्कर्ष: व्युत्क्रम कार्यों की अस्पष्टता के संदर्भ में कोई कठिनाई नहीं है। दरअसल, ऐसे विकल्प हो सकते हैं जब एक ही साइन के लिए अलग-अलग कोण मान हों (चित्र 15)।

चावल। 15. किसी कोण का उसके ज्या के मान से पुनर्स्थापन

आमतौर पर, व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, हम हमेशा मानक श्रेणी से लेकर . इस श्रेणी में, त्रिकोणमितीय फलन के प्रत्येक मान के लिए, कोण के माप के केवल दो संगत मान होते हैं।

एक चलती हुई बेल्ट और एक बाल्टी के रूप में एक पेंडुलम पर विचार करें जिसमें एक छेद होता है जिसमें से रेत निकलती है। लोलक झूलता है, टेप हिलता है (चित्र 16)। नतीजतन, रेत साइन (या कोसाइन) फ़ंक्शन के ग्राफ के रूप में एक निशान छोड़ देगी, जिसे साइन लहर कहा जाता है।

वास्तव में, साइन और कोसाइन के ग्राफ़ केवल संदर्भ बिंदु में एक-दूसरे से भिन्न होते हैं (यदि आप उनमें से एक को खींचते हैं और फिर समन्वय अक्षों को मिटा देते हैं, तो आप यह निर्धारित नहीं कर पाएंगे कि कौन सा ग्राफ खींचा गया था)। इसलिए, कोसाइन ग्राफ को कॉल करने का कोई मतलब नहीं है (एक ही ग्राफ के लिए एक अलग नाम के साथ क्यों आते हैं)?

चावल। 16. उदाहरण 4 . में समस्या कथन का चित्रण

फलन के ग्राफ से आप यह भी समझ सकते हैं कि प्रतिलोम फलनों के अनेक मान क्यों होंगे। यदि ज्या का मान निश्चित हो, अर्थात् एक्स-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें, फिर चौराहे पर हमें वे सभी बिंदु मिलते हैं, जिन पर कोण की ज्या दिए गए एक के बराबर होती है। यह स्पष्ट है कि ऐसे अनगिनत बिंदु होंगे। जैसा कि घड़ी के उदाहरण में है, जहां समय मान भिन्न होता है, केवल यहां कोण मान एक राशि (चित्र 17) से भिन्न होगा।

चावल। 17. ज्या के लिए पॉलीसेमी का चित्रण

यदि हम घड़ी के उदाहरण पर विचार करें, तो बिंदु (घंटे की सुई का अंत) वृत्त के चारों ओर घूमता है। उसी तरह, त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित किया जा सकता है - एक समकोण त्रिभुज में कोणों पर विचार न करें, बल्कि वृत्त की त्रिज्या और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण पर विचार करें। बिंदु से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या (हम एक ऋण चिह्न के साथ दक्षिणावर्त गति को गिनने के लिए सहमत हुए, और एक प्लस चिह्न के साथ वामावर्त), यह अवधि है (चित्र 18)।

चावल। 18. वृत्त पर ज्या का मान

इसलिए, उलटा काम करनाकुछ अंतराल पर विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। इस अंतराल के लिए, हम इसके मूल्यों की गणना कर सकते हैं, और फ़ंक्शन की अवधि को जोड़कर और घटाकर शेष सभी मूल्यों को प्राप्त कर सकते हैं।

एक अवधि के एक और उदाहरण पर विचार करें। कार सड़क के किनारे चल रही है। कल्पना कीजिए कि उसका पहिया पेंट या पोखर में चला गया। आप सड़क पर कभी-कभी पेंट के निशान या पोखर देख सकते हैं (चित्र 19)।

चावल। 19. अवधि चित्रण

स्कूल के पाठ्यक्रम में बहुत सारे त्रिकोणमितीय सूत्र हैं, लेकिन कुल मिलाकर यह केवल एक को याद रखने के लिए पर्याप्त है (चित्र 20)।

चावल। बीस। त्रिकोणमितीय सूत्र

सूत्र दोहरा कोणसाइन से प्रतिस्थापित करके राशि निकालना भी आसान है (इसी तरह कोसाइन के लिए)। आप उत्पाद सूत्र भी प्राप्त कर सकते हैं।

वास्तव में, आपको बहुत कम याद रखने की आवश्यकता है, क्योंकि समस्याओं के समाधान के साथ ये सूत्र अपने आप याद हो जाएंगे। बेशक, कोई बहुत कुछ तय करने के लिए बहुत आलसी होगा, लेकिन तब उसे इस तकनीक की आवश्यकता नहीं होगी, और इसलिए स्वयं सूत्र।

और चूंकि सूत्रों की जरूरत नहीं है, तो उन्हें याद करने की कोई जरूरत नहीं है। आपको बस इस विचार को समझने की जरूरत है कि त्रिकोणमितीय फलन ऐसे फलन हैं जिनके साथ, उदाहरण के लिए, सेतुओं की गणना की जाती है। लगभग कोई भी तंत्र उनके उपयोग और गणना के बिना नहीं कर सकता।

1. अक्सर यह सवाल उठता है कि क्या तार जमीन के बिल्कुल समानांतर हो सकते हैं। उत्तर: नहीं, वे नहीं कर सकते, क्योंकि एक बल नीचे की ओर कार्य करता है, जबकि अन्य समानांतर में कार्य करते हैं - वे कभी भी संतुलित नहीं होंगे (चित्र 21)।

2. हंस, क्रेफ़िश और पाइक एक ही विमान में गाड़ी खींचते हैं। हंस एक दिशा में उड़ता है, क्रेफ़िश दूसरी दिशा में खींचता है, और पाईक तीसरी दिशा में (चित्र 22)। उनकी शक्तियां संतुलित कर सकती हैं। आप केवल त्रिकोणमितीय फलनों की सहायता से इस संतुलन की गणना कर सकते हैं।