एक पूर्ण द्विघात समीकरण का अपूर्ण समीकरण में परिवर्तन इस तरह दिखता है (मामले \(b=0\) के लिए):

ऐसे मामलों के लिए जब \(c=0\) या जब दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों, तो सब कुछ समान होता है।

कृपया ध्यान दें कि \(a\) शून्य के बराबर नहीं है, यह शून्य के बराबर नहीं हो सकता, क्योंकि इस मामले में यह बदल जाता है:

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

सबसे पहले, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि अधूरा द्विघात समीकरण अभी भी है, इसलिए इसे सामान्य द्विघात (के माध्यम से) के समान हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम बस एक शून्य गुणांक के साथ समीकरण के लापता घटक को जोड़ते हैं।

उदाहरण : समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(3x^2-27=0\)
समाधान :

		हमारे पास गुणांक \(b=0\) के साथ एक अपूर्ण द्विघात समीकरण है। अर्थात्, हम समीकरण को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		वास्तव में, यहाँ वही समीकरण है जो शुरुआत में था, लेकिन अब इसे एक साधारण वर्ग के रूप में हल किया जा सकता है। पहले हम गुणांक लिखते हैं।
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		सूत्र \(D=b^2-4ac\) का उपयोग करके विवेचक की गणना करें
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		आइए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण के मूल ज्ञात करें \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) और \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2ए)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		उत्तर लिखिए

उत्तर : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

उदाहरण : समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(-x^2+x=0\)
समाधान :

		फिर से, एक अधूरा द्विघात समीकरण, लेकिन अब गुणांक \(c\) शून्य के बराबर है। हम समीकरण को पूर्ण के रूप में लिखते हैं।

द्विघातीय समीकरणअक्सर समाधान के दौरान दिखाई देते हैं विभिन्न कार्यभौतिकी और गणित। इस लेख में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि इन समानताओं को "विवेकशील के माध्यम से" सार्वभौमिक तरीके से कैसे हल किया जाए। लेख में अर्जित ज्ञान का उपयोग करने के उदाहरण भी दिए गए हैं।

हम किस समीकरण के बारे में बात कर रहे हैं?

नीचे दिया गया आंकड़ा एक सूत्र दिखाता है जिसमें x एक अज्ञात चर है, और लैटिन वर्ण a, b, c कुछ ज्ञात संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इनमें से प्रत्येक प्रतीक को गुणांक कहा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या "a" चुकता चर x के सामने है। यह निरूपित व्यंजक की अधिकतम घात है, इसलिए इसे द्विघात समीकरण कहते हैं। एक अन्य नाम का अक्सर उपयोग किया जाता है: एक दूसरे क्रम का समीकरण। मान a स्वयं एक वर्ग गुणांक है (चर का वर्ग करना), b एक रैखिक गुणांक है (यह पहली शक्ति के लिए उठाए गए चर के बगल में है), और अंत में संख्या c एक मुक्त शब्द है।

ध्यान दें कि ऊपर की आकृति में दिखाए गए समीकरण का रूप एक सामान्य शास्त्रीय द्विघात व्यंजक है। इसके अतिरिक्त, दूसरे क्रम के अन्य समीकरण भी हैं जिनमें गुणांक b, c शून्य हो सकते हैं।

जब विचाराधीन समानता को हल करने के लिए कार्य निर्धारित किया जाता है, तो इसका मतलब है कि चर x के ऐसे मान पाए जाने चाहिए जो इसे संतुष्ट कर सकें। यहां याद रखने वाली पहली बात निम्नलिखित है: चूंकि x की अधिकतम शक्ति 2 है, इस प्रकार की अभिव्यक्ति में 2 से अधिक समाधान नहीं हो सकते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि, समीकरण को हल करते समय, 2 x मान जो इसे संतुष्ट करते हैं, पाए जाते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि कोई तीसरा नंबर नहीं है, जो x के बजाय, समानता भी सत्य होगी। गणित में किसी समीकरण के हल को उसके मूल कहते हैं।

दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने के तरीके

इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए उनके बारे में कुछ सिद्धांत के ज्ञान की आवश्यकता होती है। बीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम में समाधान के 4 विभिन्न तरीकों पर विचार किया जाता है। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

• गुणनखंडन का उपयोग करना;
• पूर्ण वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करना;
• संबंधित द्विघात फलन के ग्राफ को लागू करना;
• विभेदक समीकरण का उपयोग करना।

पहली विधि का लाभ इसकी सादगी है, हालांकि, इसे सभी समीकरणों पर लागू नहीं किया जा सकता है। दूसरी विधि सार्वभौमिक है, लेकिन कुछ हद तक बोझिल है। तीसरी विधि इसकी स्पष्टता से अलग है, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक और लागू नहीं होती है। और अंत में, विभेदक समीकरण का उपयोग करना किसी भी दूसरे क्रम के समीकरण की जड़ों को खोजने का एक सार्वभौमिक और काफी सरल तरीका है। इसलिए, लेख में हम केवल इस पर विचार करेंगे।

समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र

आइए हम द्विघात समीकरण के सामान्य रूप की ओर मुड़ें। आइए इसे लिख लें: a*x²+ b*x + c =0. इसे "विभेदक के माध्यम से" हल करने की विधि का उपयोग करने से पहले, समानता को हमेशा लिखित रूप में कम किया जाना चाहिए। अर्थात्, इसमें तीन पद होने चाहिए (या कम यदि b या c 0 है)।

उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यंजक है: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², तो पहले आपको इसके सभी सदस्यों को समानता के एक पक्ष में स्थानांतरित करना चाहिए और उसी में चर x वाले शब्दों को जोड़ना चाहिए। शक्तियाँ।

पर ये मामलायह ऑपरेशन निम्नलिखित अभिव्यक्ति की ओर ले जाएगा: -6*x²-4*x+8=0, जो समीकरण 6*x²+4*x-8=0 के बराबर है (यहां हमने बाएं और दाएं पक्षों को गुणा किया है -1 द्वारा समीकरण)।

ऊपर के उदाहरण में, a = 6, b=4, c=-8. ध्यान दें कि माना समानता की सभी शर्तों को हमेशा आपस में सम्‍मिलित किया जाता है, इसलिए, यदि "-" चिह्न दिखाई देता है, तो इसका मतलब है कि संबंधित गुणांक ऋणात्मक है, जैसे इस मामले में संख्या c।

इस बिंदु का विश्लेषण करने के बाद, अब हम स्वयं सूत्र की ओर मुड़ते हैं, जिससे द्विघात समीकरण के मूल प्राप्त करना संभव हो जाता है। यह नीचे दी गई तस्वीर की तरह दिखता है।

जैसा कि इस अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, यह आपको दो जड़ें प्राप्त करने की अनुमति देता है (आपको "±" चिह्न पर ध्यान देना चाहिए)। ऐसा करने के लिए, गुणांक बी, सी, और ए को इसमें प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है।

भेदभाव की अवधारणा

पिछले पैराग्राफ में, एक सूत्र दिया गया था जो आपको किसी भी दूसरे क्रम के समीकरण को जल्दी से हल करने की अनुमति देता है। इसमें रेडिकल एक्सप्रेशन को विवेचक कहा जाता है, यानी D \u003d b²-4 * a * c।

सूत्र के इस भाग को क्यों चुना गया है, और क्या इसका अपना नाम भी है? तथ्य यह है कि विवेचक समीकरण के सभी तीन गुणांकों को एक ही व्यंजक में जोड़ता है। अंतिम तथ्य का अर्थ है कि यह जड़ों के बारे में पूरी तरह से जानकारी रखता है, जिसे निम्नलिखित सूची द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

1. डी> 0: समानता में 2 . है विभिन्न समाधान, जो दोनों वास्तविक संख्याएँ हैं।
2. डी = 0: समीकरण में केवल एक जड़ है, और यह एक वास्तविक संख्या है।

विभेदक का निर्धारण करने का कार्य

यहाँ एक सरल उदाहरण दिया गया है कि विवेचक को कैसे खोजा जाए। निम्नलिखित समानता दी जाए: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7।

आइए इसे मानक रूप में लाते हैं, हमें मिलता है: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, जिससे हम समानता पर आते हैं : -2*x² +2*x-11 = 0. यहाँ a=-2, b=2, c=-11.

अब आप विवेचक के लिए नामित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: डी \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84। परिणामी संख्या कार्य का उत्तर है। चूँकि उदाहरण में विवेचक शून्य से कम है, हम कह सकते हैं कि इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है। इसका समाधान केवल सम्मिश्र प्रकार की संख्याएँ होंगी।

भेदभाव के माध्यम से असमानता का एक उदाहरण

आइए कुछ भिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करें: समानता -3*x²-6*x+c = 0 दी गई है। c के ऐसे मानों को खोजना आवश्यक है जिनके लिए D>0।

इस मामले में, 3 में से केवल 2 गुणांक ज्ञात हैं, इसलिए विवेचक के सटीक मूल्य की गणना करना संभव नहीं होगा, लेकिन यह ज्ञात है कि यह सकारात्मक है। असमानता को संकलित करते समय हम अंतिम तथ्य का उपयोग करते हैं: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0। प्राप्त असमानता का समाधान परिणाम की ओर जाता है: c>-3।

आइए परिणामी संख्या की जांच करें। ऐसा करने के लिए, हम 2 मामलों के लिए डी की गणना करते हैं: सी = -2 और सी = -4। संख्या -2 परिणाम (-2> -3) को संतुष्ट करती है, संबंधित विवेचक का मान होगा: D = 12>0। बदले में, संख्या -4 असमानता को संतुष्ट नहीं करती है (-4 इस प्रकार, कोई भी संख्या c जो -3 से अधिक है, शर्त को पूरा करेगी।

समीकरण हल करने का एक उदाहरण

यहां एक समस्या है जो न केवल विवेचक को खोजने में है, बल्कि समीकरण को हल करने में भी है। समता -2*x²+7-9*x = 0 के मूल ज्ञात करना आवश्यक है।

इस उदाहरण में, विवेचक निम्न मान के बराबर है: D = 81-4*(-2)*7= 137. तब समीकरण के मूल निम्नानुसार निर्धारित किए जाते हैं: x = (9±√137)/(- 4))। ये जड़ों के सटीक मान हैं, यदि आप लगभग जड़ की गणना करते हैं, तो आपको संख्याएँ मिलती हैं: x \u003d -5.176 और x \u003d 0.676।

ज्यामितीय समस्या

हम एक ऐसी समस्या का समाधान करेंगे जिसके लिए न केवल विवेचक की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता होगी, बल्कि कौशल के उपयोग की भी आवश्यकता होगी सामान्य सोचऔर द्विघात समीकरण लिखने का ज्ञान।

बॉब के पास 5 x 4 मीटर का डुवेट था। लड़का पूरी परिधि के चारों ओर सुंदर कपड़े की एक सतत पट्टी सिलना चाहता था। यह पट्टी कितनी मोटी होगी यदि यह ज्ञात हो कि बॉब के पास 10 वर्ग मीटर का कपड़ा है।

मान लें कि पट्टी की मोटाई x मीटर है, तो कंबल के लंबे किनारे के साथ कपड़े का क्षेत्रफल होगा (5 + 2 * x) * x, और चूंकि 2 लंबी भुजाएँ हैं, हमारे पास है: 2 * एक्स * (5 + 2 * एक्स)। छोटी तरफ, सिलने वाले कपड़े का क्षेत्रफल 4*x होगा, क्योंकि इनमें से 2 भुजाएँ हैं, हमें 8*x का मान मिलता है। ध्यान दें कि लंबी भुजा में 2*x जोड़ दिया गया है क्योंकि रजाई की लंबाई उस संख्या से बढ़ गई है। कंबल से सिलने वाले कपड़े का कुल क्षेत्रफल 10 वर्ग मीटर है। इसलिए, हमें समानता मिलती है: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

इस उदाहरण के लिए, विवेचक है: D = 18²-4*4*(-10) = 484। इसका मूल 22 है। सूत्र का उपयोग करके, हम वांछित मूल पाते हैं: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0.5)। जाहिर है, दो जड़ों में से केवल 0.5 की संख्या समस्या की स्थिति के लिए उपयुक्त है।

इस प्रकार, बॉब द्वारा अपने कंबल को सिलने वाले कपड़े की पट्टी 50 सेमी चौड़ी होगी।

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र। वास्तविक, बहु और जटिल जड़ों के मामलों पर विचार किया जाता है। गुणन वर्ग त्रिपद. ज्यामितीय व्याख्या। मूल निर्धारण और गुणनखंडन के उदाहरण।

मूल सूत्र

द्विघात समीकरण पर विचार करें:
(1) .
द्विघात समीकरण की जड़ें(1) सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
; .
इन सूत्रों को इस प्रकार जोड़ा जा सकता है:
.
जब द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात हो जाते हैं, तब दूसरी डिग्री के बहुपद को कारकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है (तथ्यात्मक):
.

इसके अलावा, हम मानते हैं कि वास्तविक संख्याएं हैं।
विचार करना द्विघात समीकरण का विभेदक:
.
यदि विवेचक धनात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं:
; .
तब वर्ग त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.
अगर भेदभाव करने वाला शून्य, , तो द्विघात समीकरण (1) के दो गुणज (बराबर) वास्तविक मूल हैं:
.
गुणनखंडन:
.
यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो जटिल संयुग्म मूल हैं:
;
.
यहाँ काल्पनिक इकाई है;
और जड़ों के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं:
; .
फिर

.

ग्राफिक व्याख्या

अगर निर्माण फंक्शन ग्राफ
,
जो एक परवलय है, तो अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण के मूल होंगे
.
जब , ग्राफ भुज अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
जब , ग्राफ एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।
जब , ग्राफ x-अक्ष को पार नहीं करता है।

नीचे ऐसे रेखांकन के उदाहरण दिए गए हैं।

द्विघात समीकरण से संबंधित उपयोगी सूत्र

(एफ.1) ;
(एफ.2) ;
(एफ.3) .

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

हम रूपांतरण करते हैं और सूत्र (f.1) और (f.3) लागू करते हैं:




,
कहाँ पे
; .

तो, हमें दूसरी डिग्री के बहुपद के लिए सूत्र के रूप में मिला:
.
इससे यह देखा जा सकता है कि समीकरण

पर प्रदर्शन किया
तथा ।
अर्थात्, और द्विघात समीकरण के मूल हैं
.

द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने के उदाहरण

उदाहरण 1

(1.1) .

समाधान

.
हमारे समीकरण (1.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं:
;
;
.

यहाँ से हम वर्ग त्रिपद का अपघटन कारकों में प्राप्त करते हैं:

.

फलन का ग्राफ y = 2 x 2 + 7 x + 3 x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह दो बिंदुओं पर x-अक्ष (अक्ष) को पार करता है:
तथा ।
ये बिंदु मूल समीकरण (1.1) के मूल हैं।

उत्तर

;
;
.

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(2.1) .

समाधान

हम द्विघात समीकरण को में लिखते हैं सामान्य दृष्टि से:
.
मूल समीकरण (2.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक शून्य है, समीकरण के दो बहु (बराबर) मूल हैं:
;
.

फिर त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.

फलन का ग्राफ y = x 2 - 4 x + 4एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह एक बिंदु पर x-अक्ष (अक्ष) को स्पर्श करता है:
.
यह बिंदु मूल समीकरण (2.1) का मूल है। चूँकि यह जड़ दो बार गुणनखंडित होती है:
,
तब ऐसे मूल को गुणज कहते हैं। अर्थात्, वे मानते हैं कि दो समान जड़ें हैं:
.

उत्तर

;
.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(3.1) .

समाधान

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
(1) .
आइए मूल समीकरण (3.1) को फिर से लिखें:
.
(1) की तुलना में, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
विभेदक ऋणात्मक है, . इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आप जटिल जड़ें पा सकते हैं:
;
;
.

फिर


.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ x-अक्ष को पार नहीं करता है। कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह भुज (अक्ष) को पार नहीं करता है। इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

उत्तर

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। जटिल जड़ें:
;
;
.

इस गणित कार्यक्रम के साथ आप कर सकते हैं द्विघात समीकरण हल करें.

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को दो तरीकों से प्रदर्शित करता है:
- विवेचक का उपयोग करना
- Vieta प्रमेय (यदि संभव हो) का उपयोग करना।

इसके अलावा, उत्तर सटीक प्रदर्शित होता है, अनुमानित नहीं।
उदाहरण के लिए, समीकरण \(81x^2-16x-1=0\) के लिए, उत्तर इस रूप में प्रदर्शित होता है:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) इसके बजाय $$: \(x_1 = 0.247; \ क्वाड x_2 = -0.05 \)

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है सामान्य शिक्षा स्कूलकी तैयारी में नियंत्रण कार्यऔर परीक्षा, परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करते हैं। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित करा लें।

वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अतिरिक्त, भिन्नात्मक संख्यान केवल एक दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण अंश के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, पूर्णांक से भिन्नात्मक भाग को बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप दर्ज कर सकते हैं दशमलवतो: 2.5x - 3.5x ^ 2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
पूरा भागएम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया गया: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

व्यंजक दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

तय करना

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं हुईं, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को कैसे सक्षम करें, इस पर निर्देश यहां दिए गए हैं।

इसलिये बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

द्विघात समीकरण और इसकी जड़ें। अपूर्ण द्विघात समीकरण

प्रत्येक समीकरण
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
रूप है
\(ax^2+bx+c=0, \)
जहाँ x एक चर है, a, b और c संख्याएँ हैं।
पहले समीकरण में a = -1, b = 6 और c = 1.4, दूसरे में a = 8, b = -7 और c = 0, तीसरे में a = 1, b = 0 और c = 4/9। ऐसे समीकरण कहलाते हैं द्विघातीय समीकरण.

परिभाषा।
द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 रूप का एक समीकरण कहलाता है, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और \(a \neq 0 \)।

संख्याएँ a, b और c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। संख्या a को पहला गुणांक कहा जाता है, संख्या b दूसरा गुणांक है और संख्या c अवरोधन है।

फार्म के प्रत्येक समीकरण में ax 2 +bx+c=0, जहां \(a \neq 0 \), चर x की सबसे बड़ी घात एक वर्ग है। इसलिए नाम: द्विघात समीकरण।

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण को दूसरी डिग्री का समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इसका बायां भाग दूसरी डिग्री का बहुपद है।

एक द्विघात समीकरण जिसमें x 2 पर गुणांक 1 होता है, कहलाता है घटा हुआ द्विघात समीकरण. उदाहरण के लिए, दिए गए द्विघात समीकरण समीकरण हैं
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

यदि द्विघात समीकरण में ax 2 +bx+c=0 गुणांकों में से कम से कम एक b या c शून्य के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है अधूरा द्विघात समीकरण. अतः, समीकरण -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं। उनमें से पहले में b=0, दूसरे में c=0, तीसरे में b=0 और c=0.

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:
1) कुल्हाड़ी 2 +c=0, जहां \(c \neq 0 \);
2) कुल्हाड़ी 2 +bx=0, जहां \(b \neq 0 \);
3) कुल्हाड़ी = 0।

इनमें से प्रत्येक प्रकार के समीकरणों के हल पर विचार करें।

\(c \neq 0 \) के लिए ax 2 +c=0 रूप के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, इसके मुक्त पद को स्थानांतरित किया जाता है दाईं ओरऔर समीकरण के दोनों पक्षों को a से विभाजित करें:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

चूंकि \(c \neq 0 \), तब \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

यदि \(-\frac(c)(a)>0 \), तो समीकरण के दो मूल हैं।

यदि \(-\frac(c)(a) फॉर्म के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) के लिए इसके बाईं ओर का गुणनखंड करें और समीकरण प्राप्त करें
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \ left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \ left\( \ start (सरणी)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

इसलिए, \(b \neq 0 \) के लिए ax 2 +bx=0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं।

कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 के रूप का एक अधूरा द्विघात समीकरण समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है और इसलिए इसका एक ही मूल 0 है।

द्विघात समीकरण के मूल का सूत्र

आइए अब विचार करें कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है जिसमें अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद दोनों गैर-शून्य होते हैं।

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में हल करते हैं और परिणामस्वरूप हमें मूलों का सूत्र प्राप्त होता है। फिर इस सूत्र को किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण को हल करें ax 2 +bx+c=0

इसके दोनों भागों को a से विभाजित करने पर, हम समतुल्य घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

हम द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके इस समीकरण को बदलते हैं:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

मूल व्यंजक कहलाता है द्विघात समीकरण का विभेदक ax 2 +bx+c=0 (लैटिन में "विभेदक" - विभेदक)। इसे अक्षर D से निरूपित किया जाता है, अर्थात।
\(डी = बी^2-4ac\)

अब, विवेचक के संकेतन का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र को फिर से लिखते हैं:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), जहां \(D= b^2-4ac \)

यह स्पष्ट है कि:
1) यदि D>0, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
2) यदि D=0, तो द्विघात समीकरण का एक मूल \(x=-\frac(b)(2a)\) है।
3) यदि D इस प्रकार, विवेचक के मान के आधार पर, द्विघात समीकरण के दो मूल हो सकते हैं (D > 0 के लिए), एक मूल (D = 0 के लिए) या कोई मूल नहीं (D के लिए इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय) , निम्नलिखित तरीके से करना उचित है:
1) विवेचक की गणना करें और इसकी तुलना शून्य से करें;
2) यदि विवेचक धनात्मक है या शून्य के बराबर है, तो मूल सूत्र का प्रयोग करें, यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो लिख लें कि कोई मूल नहीं है।

विएटा का प्रमेय

दिए गए द्विघात समीकरण ax 2 -7x+10=0 के मूल 2 और 5 हैं। मूलों का योग 7 है और गुणनफल 10 है। हम देखते हैं कि मूलों का योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे निम्न के साथ लिया जाता है। विपरीत चिन्ह है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है। कोई भी घटा हुआ द्विघात समीकरण जिसमें जड़ें होती हैं, में यह गुण होता है।

दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न से लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है।

वे। विएटा के प्रमेय में कहा गया है कि कम द्विघात समीकरण x 2 +px+q=0 की जड़ें x 1 और x 2 में संपत्ति है:
\(\बाएं\( \शुरू(सरणी)(एल) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(सरणी) \दाएं। \)

प्रथम स्तर

द्विघातीय समीकरण। व्यापक गाइड (2019)

शब्द "द्विघात समीकरण" में मुख्य शब्द "द्विघात" है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में वर्ग में एक चर (समान एक्स) होना चाहिए, और साथ ही तीसरी (या अधिक) डिग्री में एक्स नहीं होना चाहिए।

द्विघात समीकरणों के हल में अनेक समीकरणों के हल को घटाया जाता है।

आइए यह निर्धारित करना सीखें कि हमारे पास द्विघात समीकरण है, न कि कुछ अन्य।

उदाहरण 1

हर से छुटकारा पाएं और समीकरण के प्रत्येक पद को गुणा करें

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं और शर्तों को x . की शक्तियों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें

अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह समीकरण द्विघात है!

उदाहरण 2

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

यह समीकरण, हालांकि मूल रूप से इसमें था, एक वर्ग नहीं है!

उदाहरण 3

आइए सब कुछ गुणा करें:

डरावना? चौथी और दूसरी डिग्री ... हालांकि, अगर हम एक प्रतिस्थापन करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास एक साधारण द्विघात समीकरण है:

उदाहरण 4

ऐसा लगता है, लेकिन आइए करीब से देखें। आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं:

आप देखिए, यह सिकुड़ गया है - और अब यह एक साधारण रैखिक समीकरण है!

अब आप स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि निम्नलिखित में से कौन-से समीकरण द्विघात हैं और कौन-से नहीं:

उदाहरण:

उत्तर:

1. वर्ग;
2. वर्ग;
3. चौकोर नहीं;
4. चौकोर नहीं;
5. चौकोर नहीं;
6. वर्ग;
7. चौकोर नहीं;
8. वर्ग।

गणितज्ञ सशर्त रूप से सभी द्विघात समीकरणों को निम्न प्रकारों में विभाजित करते हैं:

• पूर्ण द्विघात समीकरण- समीकरण जिनमें गुणांक और, साथ ही मुक्त पद c, शून्य के बराबर नहीं हैं (उदाहरण के लिए)। इसके अलावा, पूर्ण द्विघात समीकरणों में से हैं दिया गयावे समीकरण हैं जिनमें गुणांक (उदाहरण एक से समीकरण न केवल पूर्ण है, बल्कि कम भी है!)

• अपूर्ण द्विघात समीकरण- वे समीकरण जिनमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

  वे अधूरे हैं क्योंकि उनमें से कुछ तत्व गायब है। लेकिन समीकरण में हमेशा x चुकता होना चाहिए !!! अन्यथा, यह अब द्विघात नहीं होगा, बल्कि कुछ अन्य समीकरण होगा।

वे इस तरह के विभाजन के साथ क्यों आए? ऐसा लगता है कि एक एक्स वर्ग है, और ठीक है। ऐसा विभाजन समाधान के तरीकों के कारण होता है। आइए उनमें से प्रत्येक पर अधिक विस्तार से विचार करें।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर ध्यान दें - वे बहुत सरल हैं!

अपूर्ण द्विघात समीकरण प्रकार के होते हैं:

1. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।
2. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।
3. , इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

1. मैं। चूंकि हम जानते हैं कि कैसे निकालना है वर्गमूल, तो चलिए इस समीकरण से व्यक्त करते हैं

अभिव्यक्ति या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकती है। एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा करने पर परिणाम हमेशा होगा सकारात्मक संख्या, इसलिए: यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है।

और अगर, तो हमें दो जड़ें मिलती हैं। इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है। मुख्य बात यह है कि आपको हमेशा यह जानना और याद रखना चाहिए कि यह कम नहीं हो सकता।

आइए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5:

प्रश्न हल करें

अब बाएँ और दाएँ भाग से जड़ निकालना बाकी है। आखिरकार, क्या आपको याद है कि जड़ों को कैसे निकालना है?

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें !!!

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 7:

प्रश्न हल करें

आउच! किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं!

ऐसे समीकरणों के लिए जिनमें कोई जड़ नहीं है, गणितज्ञ एक विशेष चिह्न के साथ आए - (खाली सेट)। और उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। यहां कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि हमने जड़ नहीं निकाली है।
उदाहरण 8:

प्रश्न हल करें

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

इस तरह,

इस समीकरण की दो जड़ें हैं।

उत्तर:

अधूरे द्विघात समीकरणों का सबसे सरल प्रकार (हालाँकि वे सभी सरल हैं, है ना?) जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

यहां हम बिना उदाहरणों के करेंगे।

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

हम आपको याद दिलाते हैं कि पूर्ण द्विघात समीकरण, समीकरण के रूप का एक समीकरण है जहाँ

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना दिए गए समीकरणों की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल (बस थोड़ा सा) है।

याद है, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

बाकी विधियाँ आपको इसे तेज़ी से करने में मदद करेंगी, लेकिन अगर आपको द्विघात समीकरणों की समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है।

अगर, तो समीकरण की जड़ है कदम पर विशेष ध्यान देना चाहिए। विवेचक () हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• यदि, तो चरण पर सूत्र को घटाकर कर दिया जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
• अगर, तो हम कदम पर विवेचक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9:

प्रश्न हल करें

स्टेप 1छोड़ें।

चरण दो

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

चरण 3

उत्तर:

उदाहरण 10:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण दो

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की एक जड़ है।

उत्तर:

उदाहरण 11:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण दो

विभेदक ढूँढना:

इसका मतलब है कि हम विवेचक से जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही तरीके से कैसे लिखा जाता है।

उत्तर:कोई जड़ नहीं

2. वियत प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान।

यदि आपको याद हो, तो इस प्रकार के समीकरण होते हैं जिन्हें कम कहा जाता है (जब गुणांक a के बराबर होता है):

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके ऐसे समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गयाद्विघात समीकरण समान है, और मूलों का गुणनफल समान है।

उदाहरण 12:

प्रश्न हल करें

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि .

समीकरण के मूलों का योग है, अर्थात्। हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

• तथा। राशि है;
• तथा। राशि है;
• तथा। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

उत्तर: ; .

उदाहरण 13:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 14:

प्रश्न हल करें

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

उत्तर:

द्विघातीय समीकरण। औसत स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है, जहाँ - अज्ञात, - कुछ संख्याएँ, इसके अलावा।

संख्या को उच्चतम कहा जाता है या पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, एक - स्वतंत्र सदस्य.

क्यों? क्योंकि अगर, समीकरण तुरंत रैखिक हो जाएगा, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस मामले में, और शून्य के बराबर हो सकता है। इसमें मल समीकरण अपूर्ण कहलाता है। यदि सभी शर्तें जगह में हैं, यानी समीकरण पूरा हो गया है।

विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

आरंभ करने के लिए, हम अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों का विश्लेषण करेंगे - वे सरल हैं।

निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

III. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।

अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के हल पर विचार करें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी। इसीलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

अगर हमारे पास दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं।

संक्षेप में यह लिखने के लिए कि समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

उत्तर:

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उत्तर:

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि समीकरण का एक हल है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

हम समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं और मूल पाते हैं:

उत्तर:

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

1. विभेदक

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है। याद रखें, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

क्या आपने मूल सूत्र में विवेचक की जड़ पर ध्यान दिया? लेकिन विभेदक नकारात्मक हो सकता है। क्या करें? हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• अगर, तो समीकरण की जड़ है:
• यदि, तो समीकरण का एक ही मूल है, लेकिन वास्तव में, एक मूल:

  ऐसी जड़ों को दोहरी जड़ कहा जाता है।

• यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती है। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

यह क्यों संभव है अलग राशिजड़ें? आइए की ओर मुड़ें ज्यामितीय अर्थद्विघात समीकरण। फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है, . और इसका मतलब है कि द्विघात समीकरण की जड़ें x-अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। परवलय अक्ष को बिल्कुल भी पार नहीं कर सकता है, या यह इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित है) या दो बिंदुओं पर काट सकता है।

इसके अलावा, गुणांक परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार है। यदि, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि - तो नीचे की ओर।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

उत्तर: ।

उत्तर:

इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

उत्तर: ।

2. विएटा की प्रमेय

विएटा प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है: आपको केवल संख्याओं की एक जोड़ी चुनने की आवश्यकता है जिसका उत्पाद समीकरण के मुक्त पद के बराबर है, और योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया गया है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि विएटा का प्रमेय केवल पर लागू किया जा सकता है दिए गए द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि . अन्य गुणांक: ; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद है:

आइए संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करें, जिनका गुणनफल बराबर है, और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

• तथा। राशि है;
• तथा। राशि है;
• तथा। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: ; .

उदाहरण #2:

समाधान:

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और फिर जाँचते हैं कि उनका योग बराबर है या नहीं:

और: कुल देना।

और: कुल देना। इसे प्राप्त करने के लिए, आपको केवल कथित जड़ों के संकेतों को बदलने की जरूरत है: और, आखिरकार, उत्पाद।

उत्तर:

उदाहरण #3:

समाधान:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल - एक ऋणात्मक संख्या. यह तभी संभव है जब एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो। तो जड़ों का योग है उनके मॉड्यूल के अंतर.

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और जिनका अंतर इसके बराबर है:

और: उनका अंतर है - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त। यह केवल याद रखना है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूँकि उनका योग बराबर होना चाहिए, तो मूल, जो निरपेक्ष मान में छोटा है, ऋणात्मक होना चाहिए: . हम जाँच:

उत्तर:

उदाहरण #4:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक होता है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जिनका गुणनफल बराबर होता है, और फिर यह निर्धारित करते हैं कि किन मूलों में ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें और पहली शर्त के लिए उपयुक्त हैं:

उत्तर:

उदाहरण #5:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

जड़ों का योग ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक मूल ऋणात्मक है। लेकिन चूँकि उनका गुणनफल धनात्मक है, इसका अर्थ है कि दोनों मूल ऋणात्मक हैं।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं, जिनका गुणनफल इसके बराबर होता है:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

उत्तर:

सहमत हूं, यह बहुत सुविधाजनक है - जड़ों का आविष्कार मौखिक रूप से करने के लिए, इस गंदे भेदभाव को गिनने के बजाय। जितनी बार संभव हो Vieta के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें।

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए वियत प्रमेय की आवश्यकता है। आपके लिए इसका उपयोग करना लाभदायक बनाने के लिए, आपको क्रियाओं को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पांच और उदाहरण हल करें। लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल विएटा का प्रमेय:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों के समाधान:

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम उत्पाद के साथ चयन शुरू करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वह है जो आपको चाहिए।

उत्तर: ; .

कार्य 2.

और फिर, हमारा पसंदीदा वीटा प्रमेय: योग को काम करना चाहिए, लेकिन उत्पाद बराबर है।

लेकिन चूंकि ऐसा नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेतों को बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

उत्तर: ; .

कार्य 3.

हम्म... कहाँ है?

सभी शर्तों को एक भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है:

जड़ों का योग उत्पाद के बराबर होता है।

हाँ रुको! समीकरण नहीं दिया गया है। लेकिन विएटा की प्रमेय दिए गए समीकरणों में ही लागू होती है। तो पहले आपको समीकरण लाने की जरूरत है। यदि आप इसे सामने नहीं ला सकते हैं, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)। मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण लाने का अर्थ है अग्रणी गुणांक को इसके बराबर बनाना:

उत्कृष्ट। फिर जड़ों का योग बराबर है, और उत्पाद।

यहां चुनना आसान है: आखिरकार - एक प्रमुख संख्या (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

उत्तर: ; .

कार्य 4.

मुक्त शब्द ऋणात्मक है। इसमें ऐसा क्या खास है? और यह तथ्य कि जड़ें अलग-अलग संकेतों की होंगी। और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल के बीच के अंतर की जांच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन उत्पाद।

तो, जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक माइनस के साथ है। विएटा की प्रमेय हमें बताती है कि मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, अर्थात्। इसका मतलब है कि छोटी जड़ में एक ऋण होगा: और, चूंकि।

उत्तर: ; .

कार्य 5.

पहले क्या करने की जरूरत है? यह सही है, समीकरण दीजिए:

दोबारा: हम संख्या के कारकों का चयन करते हैं, और उनका अंतर बराबर होना चाहिए:

जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक ऋणात्मक है। कौन सा? उनका योग बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि माइनस के साथ एक बड़ा रूट होगा।

उत्तर: ; .

मुझे संक्षेप में बताएं:

1. Vieta के प्रमेय का प्रयोग केवल दिए गए द्विघात समीकरणों में किया जाता है।
2. विएटा प्रमेय का उपयोग करके, आप मौखिक रूप से चयन द्वारा जड़ों का पता लगा सकते हैं।
3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या मुक्त पद के कारकों की कोई उपयुक्त जोड़ी नहीं मिली है, तो कोई पूर्णांक जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चयन विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन के सूत्रों से पदों के रूप में दर्शाया जाता है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर के परिवर्तन के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

उदाहरण 2:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

सामान्य तौर पर, परिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या यह आपको कुछ याद नहीं दिलाता? यह भेदभाव करने वाला है! ठीक इसी तरह से विभेदक सूत्र प्राप्त किया गया था।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है, जहां अज्ञात है, द्विघात समीकरण के गुणांक हैं, मुक्त पद है।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

घटा हुआ द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, वह है: .

अधूरा द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

• यदि गुणांक, समीकरण का रूप है: ,
• यदि एक मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप है: ,
• अगर और, समीकरण का रूप है:।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1.1. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) अज्ञात को व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के संकेत की जाँच करें:

• यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
• यदि, तो समीकरण के दो मूल हैं।

1.2. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) आइए कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालें: ,

2) गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3. फॉर्म का अधूरा द्विघात समीकरण, जहां:

इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम जहां

2.1. विवेचक का उपयोग कर समाधान

1) आइए समीकरण को मानक रूप में लाएं: ,

2) सूत्र का उपयोग करके विभेदक की गणना करें: , जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण की जड़ें खोजें:

• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है।

2.2. Vieta के प्रमेय का उपयोग कर समाधान

घटे हुए द्विघात समीकरण (रूप का एक समीकरण, जहाँ) के मूलों का योग बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल बराबर होता है, अर्थात्। , एक।

2.3. पूर्ण वर्ग समाधान