- (गणित।) एक फ़ंक्शन y \u003d f (x) को तब भी कहा जाता है, जब यह नहीं बदलता है जब स्वतंत्र चर केवल संकेत बदलता है, अर्थात यदि f (x) \u003d f (x)। यदि f (x) = f (x), तो फलन f (x) को विषम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...
F(x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x3 ... विकिपीडिया
एक फलन जो समानता f (x) = f (x) को संतुष्ट करता है। सम और विषम कार्य देखें... महान सोवियत विश्वकोश
F(x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x3 ... विकिपीडिया
F(x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x3 ... विकिपीडिया
F(x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x3 ... विकिपीडिया
F(x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x3 ... विकिपीडिया
एक अण्डाकार झिल्ली के दोलन पर समस्याओं को हल करते समय 1868 में फ्रांसीसी गणितज्ञ ई। मैथ्यू द्वारा पेश किए गए विशेष कार्य। एम. एफ. वितरण के अध्ययन में भी उपयोग किया जाता है विद्युतचुम्बकीय तरंगेंएक अण्डाकार सिलेंडर में... महान सोवियत विश्वकोश
"पाप" अनुरोध यहाँ पुनर्निर्देशित किया गया है; अन्य अर्थ भी देखें। "सेकंड" अनुरोध यहां पुनर्निर्देशित किया गया है; अन्य अर्थ भी देखें। "साइन" यहां पुनर्निर्देश करता है; अन्य अर्थ भी देखें ... विकिपीडिया
एक फ़ंक्शन को सम (विषम) कहा जाता है यदि कोई हो और समानता 
.
एक सम फलन का ग्राफ अक्ष के परितः सममित होता है 
.
एक विषम फलन का आलेख मूल के परितः सममित होता है।
उदाहरण 6.2।सम या विषम कार्यों के लिए जाँच करें
1)
;
2)
;
3)
.
समाधान.
1) फ़ंक्शन को के साथ परिभाषित किया गया है 
. हमे पता करने दें 
.
वे। 
. माध्यम, दिया गया कार्यसम है।
2) फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है 
वे। 
. इस प्रकार, यह फ़ंक्शन विषम है।
3) फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है, अर्थात। के लिये
,
. इसलिए, फलन न तो सम है और न ही विषम। आइए इसे एक सामान्य कार्य कहते हैं।
3. एकरसता के लिए एक समारोह की जांच।
समारोह 
कुछ अंतराल पर बढ़ते (घटते) कहा जाता है यदि इस अंतराल में तर्क का प्रत्येक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता है।
कुछ अंतराल पर बढ़ते (घटते) होने वाले कार्यों को मोनोटोनिक कहा जाता है।
यदि समारोह 
अंतराल पर अवकलनीय 
और एक सकारात्मक (नकारात्मक) व्युत्पन्न है 
, फिर समारोह 
इस अंतराल में बढ़ता (घटता) है।
उदाहरण 6.3. कार्यों की एकरसता के अंतराल खोजें
1)
;
3)
.
समाधान.
1) यह फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है। आइए व्युत्पन्न खोजें।
व्युत्पन्न शून्य है यदि 
तथा 
. परिभाषा का क्षेत्र - संख्यात्मक अक्ष, अंकों से विभाजित 
,
अंतराल के लिए। आइए हम प्रत्येक अंतराल में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें।
अंतराल में 
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इस अंतराल पर फलन घटता है।
अंतराल में 
व्युत्पन्न धनात्मक है, इसलिए इस अंतराल पर फलन बढ़ रहा है।
2) यह फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है यदि 
या
.
हम प्रत्येक अंतराल में वर्ग त्रिपद का चिन्ह निर्धारित करते हैं।
इस प्रकार, समारोह का दायरा
आइए व्युत्पन्न खोजें 
,
, यदि 
, अर्थात। 
, लेकिन 
. आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें 
.
अंतराल में 
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इसलिए, अंतराल पर फलन घटता है 
. अंतराल में 
व्युत्पन्न सकारात्मक है, अंतराल पर फ़ंक्शन बढ़ता है 
.
4. एक चरम के लिए एक समारोह की जांच।
दूरसंचार विभाग 
फ़ंक्शन का अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु कहलाता है 
, अगर बिंदु का ऐसा पड़ोस है 
कि सबके लिए 
यह पड़ोस असमानता को संतुष्ट करता है 
.
किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम बिन्दुओं को चरम बिन्दु कहते हैं।
यदि समारोह 
बिंदु पर 
एक चरम है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)।
जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है उन्हें महत्वपूर्ण कहा जाता है।
5. एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें।
नियम 1. यदि संक्रमण के दौरान (बाएं से दाएं) महत्वपूर्ण बिंदु के माध्यम से 
यौगिक 
चिह्न को "+" से "-" में बदलता है, फिर बिंदु पर 
समारोह 
अधिकतम है; यदि "-" से "+" तक, तो न्यूनतम; यदि 
संकेत नहीं बदलता है, तो कोई चरम नहीं है।
नियम 2. बिंदु पर चलो 
फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न 
शून्य 
, और दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है और गैर-शून्य है। यदि एक 
, फिर 
अधिकतम बिंदु है, यदि 
, फिर 
फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।
उदाहरण 6.4 . अधिकतम और न्यूनतम कार्यों का अन्वेषण करें:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
समाधान।
1) फ़ंक्शन परिभाषित और अंतराल पर निरंतर है 
.
आइए व्युत्पन्न खोजें 
और समीकरण को हल करें 
, अर्थात। 
।यहाँ से 
महत्वपूर्ण बिंदु हैं।
आइए हम अंतराल में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें, 
.
बिंदुओं से गुजरते समय 
तथा 
व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" तक संकेत करते हैं, इसलिए, नियम 1 के अनुसार 
न्यूनतम अंक हैं।
एक बिंदु से गुजरते समय 
व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" में संकेत करते हैं, इसलिए 
अधिकतम बिंदु है।
,
.
2) फ़ंक्शन परिभाषित है और अंतराल में निरंतर है 
. आइए व्युत्पन्न खोजें 
.
समीकरण को हल करके 
, पाना 
तथा 
महत्वपूर्ण बिंदु हैं। यदि हर 
, अर्थात। 
, तो व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। इसलिए, 
तीसरा महत्वपूर्ण बिंदु है। आइए हम अंतराल में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें।
इसलिए, फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है 
, अधिकतम बिंदुओं पर 
तथा 
.
3) एक फलन परिभाषित और सतत होता है यदि 
, अर्थात। पर 
.
आइए व्युत्पन्न खोजें 
.
आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु: 
अंक के पड़ोस 
परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं, इसलिए वे चरम टी नहीं हैं। तो आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदुओं के बारे में 
तथा 
.
4) फ़ंक्शन परिभाषित और अंतराल पर निरंतर है 
. हम नियम 2 का प्रयोग करते हैं। अवकलज ज्ञात कीजिए 
.
आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:
आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें 
और बिंदुओं पर अपना चिन्ह निर्धारित करें 
बिंदुओं पर 
फ़ंक्शन न्यूनतम है।
बिंदुओं पर 
फ़ंक्शन में अधिकतम है।
चर y की चर x पर निर्भरता, जिसमें x का प्रत्येक मान y के एकल मान से मेल खाता है, एक फलन कहलाता है। संकेतन y=f(x) है। प्रत्येक फ़ंक्शन में कई बुनियादी गुण होते हैं, जैसे कि एकरसता, समता, आवधिकता और अन्य।
समता गुण पर अधिक विस्तार से विचार करें।
एक फलन y=f(x) कहा जाता है, भले ही वह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता हो:
2. फ़ंक्शन के दायरे से संबंधित बिंदु x पर फ़ंक्शन का मान बिंदु -x पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होना चाहिए। अर्थात्, किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्न समानता f (x) \u003d f (-x) सत्य होना चाहिए।
एक सम फलन का ग्राफ
यदि आप एक सम फलन का ग्राफ बनाते हैं, तो यह y-अक्ष के बारे में सममित होगा।
उदाहरण के लिए, फलन y=x^2 सम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।
एक मनमाना x=3 लें। f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. इसलिए, f(x) = f(-x)। इस प्रकार, दोनों शर्तें हमारे लिए संतुष्ट हैं, जिसका अर्थ है कि फलन सम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^2 का एक ग्राफ है।
चित्र से पता चलता है कि ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है।
विषम फलन का ग्राफ
एक फ़ंक्शन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:
1. दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन बिंदु O के संबंध में सममित होना चाहिए। अर्थात, यदि कोई बिंदु a फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है, तो संबंधित बिंदु -a भी दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होना चाहिए।
2. किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्नलिखित समानता f (x) \u003d -f (x) संतुष्ट होनी चाहिए।
एक विषम फलन का ग्राफ बिंदु O - मूल के संबंध में सममित होता है। उदाहरण के लिए, फलन y=x^3 विषम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।
एक मनमाना x=2 लें। f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. इसलिए f(x) = -f(x)। इस प्रकार, दोनों शर्तें हमारे लिए संतुष्ट हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन विषम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^3 का एक ग्राफ है।
आकृति स्पष्ट रूप से दिखाती है कि विषम फलन y=x^3 मूल के संबंध में सममित है।
परिभाषा 1. फ़ंक्शन को कहा जाता है यहाँ तक की
(अजीब
) यदि एक साथ चर के प्रत्येक मान के साथ 
अर्थ - एक्सभी संबंधित है 
और समानता
इस प्रकार, कोई फलन सम या विषम तभी हो सकता है जब उसकी परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक रेखा (संख्याओं) पर मूल के संबंध में सममित हो एक्सतथा - एक्सएक साथ संबंधित 
) उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 
न तो सम है और न ही विषम, क्योंकि इसकी परिभाषा का क्षेत्र है 
उत्पत्ति के बारे में सममित नहीं है।
समारोह 
यहां तक कि, क्योंकि 
निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में सममित और।
समारोह 
अजीब क्योंकि 
तथा 
.
समारोह 
न तो सम है और न ही विषम, क्योंकि यद्यपि 
और मूल के संबंध में सममित है, समानताएं (11.1) संतुष्ट नहीं हैं। उदाहरण के लिए,।
एक सम फलन का ग्राफ अक्ष के परितः सममित होता है कहां, क्योंकि अगर बिंदु 
ग्राफ के अंतर्गत भी आता है। एक विषम फलन का आलेख मूल बिन्दु के सापेक्ष सममित होता है, क्योंकि यदि 
ग्राफ के अंतर्गत आता है, तो बिंदु 
ग्राफ के अंतर्गत भी आता है।
यह सिद्ध करते समय कि कोई फलन सम या विषम है, निम्नलिखित कथन उपयोगी हैं।
प्रमेय 1. क) दो सम (विषम) फलनों का योग एक सम (विषम) फलन होता है।
b) दो सम (विषम) फलनों का गुणनफल एक सम फलन होता है।
ग) एक सम और विषम फलन का गुणनफल एक विषम फलन होता है।
घ) यदि एफसेट पर एक समान कार्य है एक्स, और समारोह जी
सेट पर परिभाषित 
, फिर समारोह 
- यहाँ तक की।
ई) अगर एफसेट पर एक अजीब कार्य है एक्स, और समारोह जी
सेट पर परिभाषित 
और सम (विषम), फिर फलन 
- और भी अजीब)।
सबूत. आइए हम सिद्ध करें, उदाहरण के लिए, b) और d)।
बी) चलो 
तथा 
सम कार्य हैं। फिर, इसलिए। विषम कार्यों के मामले को इसी तरह माना जाता है 
तथा 
.
घ) चलो एफ एक समान कार्य है। फिर।
प्रमेय के अन्य अभिकथन इसी प्रकार सिद्ध होते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 2. कोई भी समारोह 
, सेट पर परिभाषित एक्स, जो मूल के संबंध में सममित है, को एक सम और विषम फलन के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।
सबूत. समारोह 
फॉर्म में लिखा जा सकता है
.
समारोह 
सम है, क्योंकि 
, और समारोह 
अजीब है क्योंकि। इस तरह, 
, कहाँ पे 
- सम, और 
एक विषम कार्य है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
परिभाषा 2. समारोह 
बुलाया नियत कालीन
अगर कोई संख्या है 
, ऐसा है कि किसी के लिए 
नंबर 
तथा 
परिभाषा के क्षेत्र से भी संबंधित हैं 
और समानता
ऐसा नंबर टीबुलाया अवधि
कार्यों 
.
परिभाषा 1 का तात्पर्य है कि यदि टी- कार्य अवधि 
, फिर संख्या टीबहुत
समारोह की अवधि है
(क्योंकि प्रतिस्थापित करते समय टीपर - टीसमानता बनी हुई है)। गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि यदि टी- कार्य अवधि एफ, फिर और 
, एक अवधि भी है। इसका अर्थ यह है कि यदि किसी फलन का आवर्त है, तो उसके अपरिमित रूप से अनेक आवर्त हैं।
परिभाषा 3. किसी फलन के सबसे छोटे धनात्मक आवर्त कहलाते हैं मुख्य अवधि।
प्रमेय 3. अगर टीसमारोह की मुख्य अवधि है एफ, तो शेष आवर्त इसके गुणज हैं।
सबूत. इसके विपरीत मान लें, कि एक आवर्त है 
कार्यों एफ
(
> 0), एकाधिक नहीं टी. फिर, विभाजित 
पर टीशेष के साथ, हम प्राप्त करते हैं 
, कहाँ पे 
. इसीलिए
वह है 
- कार्य अवधि एफ, तथा 
, जो इस तथ्य के विपरीत है कि टीसमारोह की मुख्य अवधि है एफ. प्रमेय का अभिकथन प्राप्त अंतर्विरोध का अनुसरण करता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
यह सर्वविदित है कि त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं। मुख्य अवधि 
तथा 
बराबरी 
,
तथा 
. समारोह की अवधि का पता लगाएं 
. होने देना 
इस समारोह की अवधि है। फिर
(इसलिये 
.
ओरोरर 
.
अर्थ टी, पहली समानता से निर्धारित, एक अवधि नहीं हो सकती, क्योंकि यह निर्भर करता है एक्स, अर्थात। का एक कार्य है एक्स, स्थिर संख्या नहीं। अवधि दूसरी समानता से निर्धारित होती है: 
. अनंत काल हैं 
सबसे छोटी सकारात्मक अवधि तब प्राप्त होती है जब 
:
. यह समारोह की मुख्य अवधि है 
.
अधिक जटिल आवर्त फलन का एक उदाहरण डिरिचलेट फलन है
ध्यान दें कि अगर टीएक परिमेय संख्या है, तो 
तथा 
परिमेय के अंतर्गत परिमेय संख्याएं हैं एक्सऔर तर्कहीन जब तर्कहीन एक्स. इसीलिए
किसी परिमेय संख्या के लिए टी. इसलिए, कोई भी परिमेय संख्या टी Dirichlet फ़ंक्शन की अवधि है। यह स्पष्ट है कि इस फ़ंक्शन की कोई मुख्य अवधि नहीं है, क्योंकि सकारात्मक परिमेय संख्याएँ मनमाने ढंग से शून्य के करीब हैं (उदाहरण के लिए, एक परिमेय संख्या चुनकर बनाई जा सकती है) एनमनमाने ढंग से शून्य के करीब)।
प्रमेय 4. यदि कार्य एफ
सेट पर सेट एक्सऔर एक अवधि है टी, और समारोह जी
सेट पर सेट 
, फिर जटिल कार्य 
एक अवधि भी है टी.
सबूत. इसलिए हमारे पास है
अर्थात्, प्रमेय का अभिकथन सिद्ध होता है।
उदाहरण के लिए, चूंकि क्योंकि
एक्स
एक अवधि है 
, फिर कार्य 
एक अवधि है 
.
परिभाषा 4. ऐसे फलन जो आवर्ती नहीं होते हैं, कहलाते हैं गैर आवधिक .
छिपाएं दिखाएं
फ़ंक्शन सेट करने के तरीके
मान लें कि फ़ंक्शन सूत्र द्वारा दिया गया है: y=2x^(2)-3 । स्वतंत्र चर x को कोई मान निर्दिष्ट करके, आप इस सूत्र का उपयोग आश्रित चर y के संगत मानों की गणना के लिए कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x=-0.5 , तो सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि y का संगत मान y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 है।
सूत्र y=2x^(2)-3 में x तर्क द्वारा लिए गए किसी भी मान को देखते हुए, केवल एक फ़ंक्शन मान की गणना की जा सकती है जो इससे मेल खाती है। फ़ंक्शन को एक तालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है:
| एक्स | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| आप | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
इस तालिका का उपयोग करके, आप यह पता लगा सकते हैं कि तर्क -1 के मान के लिए, फ़ंक्शन -3 का मान संगत होगा; और मान x=2 y=0 के अनुरूप होगा, और इसी तरह। यह जानना भी महत्वपूर्ण है कि तालिका में प्रत्येक तर्क मान केवल एक फ़ंक्शन मान से मेल खाता है।
ग्राफ़ का उपयोग करके अधिक फ़ंक्शन सेट किए जा सकते हैं। ग्राफ की सहायता से, यह स्थापित किया जाता है कि फ़ंक्शन का कौन सा मान x के एक निश्चित मान से संबंधित है। अधिकतर, यह फ़ंक्शन का अनुमानित मान होगा।
सम और विषम कार्य
समारोह है यहां तक कि समारोह, जब डोमेन से किसी x के लिए f(-x)=f(x) । ऐसा फलन Oy अक्ष के परितः सममित होगा।
समारोह है पुराना फंक्शनजब डोमेन में किसी भी x के लिए f(-x)=-f(x) हो। ऐसा फलन मूल बिंदु O (0;0) के बारे में सममित होगा।
समारोह है इतना भी नहीं, न ही अजीबऔर बुलाया समारोह सामान्य दृष्टि से जब इसमें धुरी या मूल के बारे में समरूपता नहीं होती है।
हम समता के लिए निम्नलिखित फ़ंक्शन की जांच करते हैं:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) मूल के बारे में परिभाषा के एक सममित डोमेन के साथ। एफ (-एक्स) = 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -एफ (एक्स).
अतः फलन f(x)=3x^(3)-7x^(7) विषम है।
आवधिक कार्य
फ़ंक्शन y=f(x) , जिसके डोमेन में किसी भी x के लिए समानता f(x+T)=f(x-T)=f(x) कहा जाता है आवधिक कार्यअवधि टी \neq 0 के साथ।
भुज अक्ष के किसी भी खंड पर फलन के ग्राफ की पुनरावृत्ति, जिसकी लंबाई T है।
अंतराल जहां फलन धनात्मक होता है, अर्थात्, f (x) > 0 - भुज अक्ष के खंड, जो भुज अक्ष के ऊपर स्थित फलन के ग्राफ के बिंदुओं के अनुरूप होते हैं।
f(x) > 0 पर (x_(1); x_(2)) \कप (x_(3); +\infty)
अंतराल जहां फलन ऋणात्मक है, अर्थात् f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
एफ (एक्स)< 0 на (-\infty; x_(1)) \कप (x_(2); x_(3))
कार्य सीमा
नीचे से घिरा हुआयह एक फंक्शन y=f(x), x \in X को कॉल करने के लिए प्रथागत है जब एक संख्या A मौजूद होती है जिसके लिए असमानता f(x) \geq A किसी भी x \ in X के लिए होती है।
नीचे दिए गए फ़ंक्शन का एक उदाहरण: y=\sqrt(1+x^(2)) क्योंकि y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 किसी भी x के लिए।
ऊपर से बंधा हुआएक फ़ंक्शन y=f(x), x \in X कहा जाता है यदि कोई संख्या B मौजूद है जिसके लिए असमानता f(x) \neq B किसी भी x \in X के लिए रखती है।
नीचे बंधे फ़ंक्शन का एक उदाहरण: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]चूँकि y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 किसी भी x \in [-1;1] के लिए।
सीमितयह एक फ़ंक्शन y=f(x), x \in X को कॉल करने के लिए प्रथागत है जब एक संख्या K> 0 मौजूद होती है जिसके लिए असमानता \ left | एफ(एक्स) \दाएं | \neq K किसी भी x \in X के लिए।
उदाहरण सीमित कार्य: y=\sin x पूर्ण संख्या रेखा पर सीमित है, क्योंकि \बाएं | \sin x \right | \neq 1.
बढ़ते और घटते कार्य
यह एक फ़ंक्शन के बारे में बात करने के लिए प्रथागत है जो विचाराधीन अंतराल पर बढ़ता है: बढ़ता हुआ कार्यजब x का बड़ा मान फ़ंक्शन y=f(x) के बड़े मान के अनुरूप होगा। यहाँ से यह पता चलता है कि विचारित अंतराल से तर्क x_(1) और x_(2) , और x_(1) > x_(2) के दो मनमाना मान लेते हुए, यह y(x_(1)) होगा > y(x_(2)) ।
एक फलन जो विचाराधीन अंतराल पर घटता है, कहलाता है घटते कार्यजब x का बड़ा मान फ़ंक्शन y(x) के छोटे मान के अनुरूप होगा। यहाँ से यह पता चलता है कि विचारित अंतराल से तर्क x_(1) और x_(2) , और x_(1) > x_(2) के दो मनमाना मान लेते हुए, यह y(x_(1)) होगा< y(x_{2}) .
फंक्शन रूट्सयह उन बिंदुओं को नाम देने के लिए प्रथागत है जिन पर फ़ंक्शन F=y(x) भुज अक्ष को काटता है (वे समीकरण y(x)=0 को हल करने के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं)।
a) यदि x > 0 के लिए एक सम फलन बढ़ता है, तो यह x . के लिए घटता है< 0
b) जब x > 0 के लिए एक सम फलन घटता है, तो यह x . के लिए बढ़ता है< 0
ग) जब x > 0 के लिए एक विषम फलन बढ़ता है, तो यह x . के लिए भी बढ़ता है< 0
d) जब x > 0 के लिए कोई विषम फलन घटता है, तो x . के लिए भी घटेगा< 0
फंक्शन एक्सट्रीम
फंक्शन न्यूनतम बिंदु y=f(x) ऐसे बिंदु x=x_(0) को कॉल करने की प्रथा है, जिसमें इसके पड़ोस में अन्य बिंदु होंगे (बिंदु x=x_(0) को छोड़कर), और फिर असमानता f(x) > च (x_(0)) । y_(min) - बिंदु मिनट पर फ़ंक्शन का पदनाम।
फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु y=f(x) ऐसे बिंदु x=x_(0) को कॉल करने की प्रथा है, जिसमें इसके पड़ोस में अन्य बिंदु होंगे (बिंदु x=x_(0) को छोड़कर), और फिर असमानता f(x) उनके लिए संतुष्ट हो जाएगा< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
आवश्यक शर्त
फ़र्मेट के प्रमेय के अनुसार: f"(x)=0, तब जब फलन f(x) , जो बिंदु x_(0) पर अवकलनीय है, इस बिंदु पर एक चरम दिखाई देगा।
पर्याप्त स्थिति
- जब व्युत्पत्ति का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो x_(0) न्यूनतम बिंदु होगा;
- x_(0) - केवल तभी अधिकतम बिंदु होगा जब स्थिर बिंदु x_(0) से गुजरने पर व्युत्पन्न माइनस से प्लस में बदल जाता है।
अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान
गणना चरण:
- व्युत्पन्न f"(x) की तलाश में;
- फ़ंक्शन के स्थिर और महत्वपूर्ण बिंदु पाए जाते हैं और अंतराल से संबंधित लोगों को चुना जाता है;
- फ़ंक्शन f(x) के मान खंड के स्थिर और महत्वपूर्ण बिंदुओं और सिरों पर पाए जाते हैं। परिणामों में सबसे छोटा होगा फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान, और अधिक - महानतम.
