Той бързо продължи напред. Той намери достатъчни условия за съществуването на максимуми, научи се да определя точките на инфлексия, начерта допирателни към всички известни криви от втори и трети ред. Още няколко години и той открива нов чисто алгебричен метод за намиране на квадратури за параболи и хиперболи от произволен ред (т.е. интеграли на функции от формата y p = Cx qи y p x q \u003d C), изчислява площи, обеми, инерционни моменти на телата на въртене. Беше истински пробив. Усещайки това, Ферма започва да търси комуникация с математическите авторитети на времето. Той е уверен и копнее за признание.
През 1636 г. той пише първото писмо до Неговия преподобен Марин Мерсен: „Свети отче! Изключително съм ви благодарен за честта, която ми оказахте, като ми дадохте надежда, че ще можем да разговаряме писмено; ...Ще се радвам да чуя от вас за всички нови трактати и книги по математика, които се появиха през последните пет или шест години. ...и аз намерих много аналитични методиза различни задачи, както числови, така и геометрични, за които анализът на Vieta е недостатъчен. Всичко това ще споделям с вас, когато пожелаете, и освен това без никакво високомерие, от което съм по-свободен и по-далеч от всеки друг човек на света.
Кой е отец Мерсен? Това е францискански монах, учен със скромни таланти и прекрасен организатор, който в продължение на 30 години ръководи парижкия математически кръг, превърнал се в истински център на френската наука. Впоследствие кръгът Мерсен, с указ на Луи XIV, ще бъде преобразуван в Парижката академия на науките. Мерсен неуморно водеше огромна кореспонденция, а килията му в манастира на Ордена на минимите на Кралския площад беше нещо като „поща за всички учени в Европа, от Галилей до Хобс“. Тогава кореспонденцията замени научните списания, които се появиха много по-късно. Срещите в Mersenne се провеждаха всяка седмица. Ядрото на кръга беше съставено от най-блестящите естествени учени от онова време: Робертвил, Паскал Фатер, Дезарг, Мидорж, Харди и, разбира се, известният и всепризнат Декарт. Рене дю Перон Декарт (Картезий), мантия на благородство, две семейни имения, основател на картезианството, „баща“ на аналитичната геометрия, един от основателите на новата математика, както и приятел и другар на Мерсен в йезуитския колеж. Този прекрасен човек ще бъде кошмарът на Ферма.
Мерсен намира резултатите на Ферма за достатъчно интересни, за да доведе провинциалеца в елитния си клуб. Фермата незабавно започва кореспонденция с много членове на кръга и буквално заспива с писма от самия Мерсен. Освен това той изпраща завършени ръкописи на съда на експертите: „Въведение в плоски и твърди места“, а година по-късно - „Методът за намиране на максимуми и минимуми“ и „Отговори на въпросите на Б. Кавалиери“. Изложеното от Ферма беше абсолютно ново, но сензацията не се състоя. Съвременниците не трепнаха. Те не разбраха много, но откриха недвусмислени индикации, че Ферма е заимствал идеята за алгоритъма за максимизиране от трактата на Йоханес Кеплер със забавното заглавие „Новата стереометрия на винените бъчви“. Наистина, в разсъжденията на Кеплер има фрази като „Обемът на фигурата е най-голям, ако от двете страни на мястото най-голямата стойностнамаляването в началото е нечувствително.“ Но идеята за малко увеличение на функция близо до екстремум изобщо не витаеше във въздуха. Най-добрите аналитични умове от онова време не са били готови за манипулации с малки количества. Факт е, че по това време алгебрата се смяташе за вид аритметика, тоест математика от втори клас, примитивен импровизиран инструмент, разработен за нуждите на основната практика („само търговците смятат добре“). Традицията предписва да се придържаме към чисто геометрични методи на доказателство, датиращи от древната математика. Ферма беше първият, който разбра, че безкрайно малки количества могат да се добавят и намаляват, но е доста трудно да се представят като сегменти.
Отне почти век на Жан д'Аламбер да признае в своята известна Енциклопедия: Ферма е изобретателят на новото смятане. С него се срещаме с първото приложение на диференциалите за намиране на тангенти.“ AT края на XVIIIвек Жозеф Луи Конт дьо Лагранж ще се изрази още по-категорично: „Но геометрите – съвременниците на Ферма – не разбираха този нов вид смятане. Виждаха само специални случаи. И това изобретение, появило се малко преди Геометрията на Декарт, остана безплодно четиридесет години. Лагранж има предвид 1674 г., когато са публикувани „Лекциите“ на Исак Бароу, които подробно описват метода на Ферма.
Освен всичко друго, бързо стана ясно, че Ферма е по-склонен да формулира нови проблеми, отколкото да решава смирено проблемите, предложени от измервателите. В ерата на дуелите размяната на задачи между експертите беше общоприета като форма за изясняване на въпроси, свързани с командната верига. Във Фермата обаче явно не знаят мярката. Всяко негово писмо е предизвикателство, съдържащо десетки сложни нерешени проблеми и то на най-неочаквани теми. Ето един пример за неговия стил (адресиран до Френикъл де Беси): „Елемент, кой е най-малкият квадрат, който, намален със 109 и добавен към едно, ще даде квадрат? Ако не ми изпратите общото решение, изпратете ми частното за тези две числа, което избрах малко, за да не ви затруднявам много. След като получа отговора ви, ще ви предложа някои други неща. Ясно е, без специални резерви, че в моето предложение се изисква да се намери цели числа, тъй като в случая дробни числаи най-незначителният аритметик би могъл да достигне целта.” Ферма често се повтаряше, формулирайки едни и същи въпроси няколко пъти и открито блъфираше, твърдейки, че има необичайно елегантно решение на предложения проблем. Нямаше директни грешки. Някои от тях бяха забелязани от съвременниците, а някои от коварните твърдения заблуждаваха читателите векове наред.
Кръгът на Мерсен реагира адекватно. Само Робъртвил, единственият член на кръга, който имаше проблеми с произхода, поддържа приятелски тон на писма. Добрият пастир отец Мерсен се опита да вразуми „тулузките нагли“. Но Фермата не смята да се оправдава: „Преподобни отче! Пишете ми, че поставянето на моите невъзможни проблеми е разгневило и охладило господата Сен-Мартен и Френикл и че това е причината за прекратяването на техните писма. Искам обаче да им възразя, че това, което на пръв поглед изглежда невъзможно, всъщност не е и че има много проблеми, които, както е казал Архимед...” и т.н.
Фермата обаче е неискрен. Именно на Френикъл той изпраща задачата за намиране на правоъгълен триъгълник с цели страни, чиято площ е равна на квадрата на цяло число. Той го изпрати, въпреки че знаеше, че проблемът очевидно няма решение.
Най-враждебна позиция спрямо Ферма заема Декарт. В писмото му до Мерсен от 1938 г. четем: „защото разбрах, че това е същият човек, който преди това се е опитал да опровергае моя „Диоптрик“, и тъй като ме информирахте, че го е изпратил, след като е прочел моята „Геометрия“ и изненадан, че не намерих същото, т.е. (както имам основание да го тълкувам) го изпрати с цел да влезе в съперничество и да покаже, че знае повече за него от мен, и тъй като повече от вашите писма, аз научих, че има репутация на много опитен геометър, тогава се смятам за длъжен да му отговоря. По-късно Декарт тържествено ще определи своя отговор като „малък процес на математиката срещу г-н Ферма“.
Лесно е да се разбере какво е вбесило видния учен. Първо, в разсъжденията на Ферма непрекъснато се появяват координатните оси и представянето на числата чрез сегменти - устройство, което Декарт изчерпателно развива в своята току-що публикувана "Геометрия". Ферма стига до идеята да замени рисунката със собствени изчисления, в някои отношения дори по-последователни от Декарт. Второ, Ферма брилянтно демонстрира ефективността на своя метод за намиране на минимуми на примера на проблема за най-късия път на светлинен лъч, усъвършенствайки и допълвайки Декарт с неговия "Диоптрик".
Заслугите на Декарт като мислител и новатор са огромни, но нека отворим съвременната „Математическа енциклопедия“ и да разгледаме списъка с термини, свързани с неговото име: „ Декартови координати” (Лайбниц, 1692) , „Картезиански лист”, „Овали на Декарт”. Нито един от аргументите му не е останал в историята като теоремата на Декарт. Декарт е преди всичко идеолог: той е основател на философска школа, той формира концепции, подобрява системата писма, но в творческото му наследство има малко нови специфични техники. За разлика от него, Пиер Ферма пише малко, но по всеки повод той може да измисли много остроумни математически трикове (виж пак там, "Теорема на Ферма", "Принцип на Ферма", "Методът на Ферма за безкраен низход"). Вероятно с право си завиждаха. Сблъсъкът беше неизбежен. С йезуитското посредничество на Мерсен избухва война, която продължава две години. Но и тук Мерсен се оказа прав пред историята: ожесточената битка между двамата титани, тяхната напрегната, меко казано, полемика допринесоха за разбирането на ключовите понятия на математическия анализ.
Ферма е първият, който губи интерес към дискусията. Очевидно той е говорил директно с Декарт и никога повече не е обидил опонента си. В една от последните си творби, „Синтез за пречупване“, чийто ръкопис той изпрати на де ла Шомбра, Ферма споменава „най-ученият Декарт“ дума по дума и по всякакъв възможен начин подчертава своя приоритет по въпросите на оптиката. Междувременно именно този ръкопис съдържаше описанието на известния „принцип на Ферма“, който дава изчерпателно обяснение на законите на отражението и пречупването на светлината. Реверансите към Декарт в произведение от такова ниво бяха напълно излишни.
Какво стана? Защо Ферма, оставяйки настрана гордостта, отиде на помирение? Четейки писмата на Ферма от онези години (1638 - 1640), може да се предположи най-простото: през този период неговият научни интересисе промени драстично. Той изоставя модната циклоида, престава да се интересува от тангентите и площите и за дълги 20 години забравя за своя метод за намиране на максимума. Имайки големи заслуги в математиката на непрекъснатото, Ферма изцяло се потапя в математиката на дискретното, оставяйки омразните геометрични рисунки на опонентите си. Числата са новата му страст. В интерес на истината, цялата "Теория на числата", като самостоятелна математическа дисциплина, дължи раждането си изцяло на живота и работата на Ферма.
<…>След смъртта на Ферма неговият син Самуел публикува през 1670 г. копие от Аритметика, принадлежащо на баща му под заглавието „Шест книги по аритметика от александрийския Диофант с коментари от Л. Г. Баше и забележки от П. дьо Ферма, сенатор от Тулуза.“ Книгата включва и някои от писмата на Декарт и пълния текст на „Ново откритие в изкуството на анализа“ на Жак дьо Бигли, базиран на писмата на Ферма. Публикацията имаше невероятен успех. Пред изумените специалисти се разкрива невиждан светъл свят. Неочакваността и най-важното, достъпността, демократичността на резултатите от теорията на числата на Ферма породиха много имитации. По това време малко хора разбираха как се изчислява площта на парабола, но всеки ученик можеше да разбере формулировката на последната теорема на Ферма. Започва истински лов за неизвестните и изгубени писма на учения. Преди края на XVIIв. Всяка намерена негова дума беше публикувана и преиздадена. Но бурната история на развитието на идеите на Ферма едва започва.
Пиер дьо Ферма, четейки „Аритметиката“ на Диофант от Александрия и размишлявайки върху нейните проблеми, имаше навика да записва резултатите от размишленията си под формата на кратки забележки в полетата на книгата. Срещу осмия проблем на Диофант в полетата на книгата Ферма пише: " Напротив, не е възможно да се разложи нито куб на два куба, нито би-квадрат на два би-квадрата и изобщо никаква степен, по-голяма от квадрат на две степени с еднакъв показател. Открих едно наистина чудесно доказателство за това, но тези полета са твърде тесни за него.» / E.T.Bell "Създатели на математиката". М., 1979, стр.69/. Предлагам на вашето внимание елементарно доказателство на теоремата за фермата, което може да бъде разбрано от всеки гимназист, който обича математиката.
Нека сравним коментара на Ферма върху диофантовата задача със съвременната формулировка на великата теорема на Ферма, която има формата на уравнение.
« Уравнението
x n + y n = z n(където n е цяло число, по-голямо от две)
няма решения в цели положителни числа»
Коментарът е в логическа връзка със задачата, подобно на логическата връзка на сказуемото с подлога. Това, което се потвърждава от проблема на Диофант, напротив, се потвърждава от коментара на Ферма.
Коментарът на Ферма може да се тълкува по следния начин: ако квадратно уравнениес три неизвестни има безкраен брой решения на множеството от всички тройки числа на Питагор, тогава, обратно, уравнение с три неизвестни в степен, по-голяма от квадрата
В уравнението няма дори намек за връзката му с Диофантовата задача. Неговото твърдение изисква доказателство, но то няма условие, от което да следва, че няма решения в положителни цели числа.
Известните ми варианти на доказателство на уравнението се свеждат до следния алгоритъм.
- За негово заключение се приема уравнението на теоремата на Ферма, чиято валидност се проверява с помощта на доказателство.
- Същото уравнение се нарича началенуравнението, от което трябва да изхожда неговото доказателство.
Резултатът е тавтология: Ако едно уравнение няма решения в цели положителни числа, то няма решения в цели положителни числа.". Доказателството на тавтологията е очевидно погрешно и лишено от всякакъв смисъл. Но се доказва от противоречие.
- Прави се предположение, което е противоположно на посоченото от уравнението, което трябва да се докаже. Не трябва да противоречи на първоначалното уравнение, но е така. Да се доказва това, което се приема без доказателства, и да се приема без доказателство това, което се иска да се докаже, няма смисъл.
- Въз основа на приетото предположение се извършват абсолютно правилни математически операции и действия, за да се докаже, че то противоречи на първоначалното уравнение и е невярно.
Затова вече 370 години доказателството на уравнението на Последната теорема на Ферма остава неосъществима мечта на специалистите и любителите на математиката.
Приех уравнението като заключение на теоремата, а осмата задача на Диофант и нейното уравнение като условие на теоремата.
„Ако уравнението x 2 + y 2 = z 2
(1) има безкраен набор от решения на множеството от всички тройки на числата на Питагор, тогава, обратно, уравнението x n + y n = z n
, където n > 2
(2) няма решения в множеството от положителни цели числа."
Доказателство.
НО)Всеки знае, че уравнение (1) има безкраен брой решения на множеството от всички тройки числа на Питагор. Нека докажем, че нито една тройка от числа на Питагор, която е решение на уравнение (1), не е решение на уравнение (2).
Въз основа на закона за обратимостта на равенството, страните на уравнение (1) се разменят. Числата на Питагор (z, x, y) може да се тълкува като дължините на страните на правоъгълен триъгълник и квадратите (x2, y2, z2) може да се тълкува като площите на квадратите, построени върху неговата хипотенуза и катети.
Умножаваме квадратите на уравнение (1) по произволна височина ч :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Уравнение (3) може да се тълкува като равенство на обема на паралелепипед на сумата от обемите на два паралелепипеда.
Нека височината на три паралелепипеда h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Обемът на куба се разлага на два обема от два паралелепипеда. Оставяме обема на куба непроменен и намаляваме височината на първия паралелепипед до х и височината на втория паралелепипед ще бъде намалена до г . Обемът на един куб е по-голям от сумата от обемите на два куба:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
На набор от тройки на числата на Питагор ( x, y, z ) при n=3 не може да има решение на уравнение (2). Следователно, в набора от всички тройки на числата на Питагор, е невъзможно да се разложи куб на два куба.
Нека в уравнение (3) височината на три паралелепипеда h = z2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Обемът на паралелепипеда се разлага на сумата от обемите на два паралелепипеда.
Оставяме лявата страна на уравнение (6) непроменена. От дясната му страна височината z2
свеждам до х
през първия срок и до на 2
през втория мандат.
Уравнение (6) се превърна в неравенството:
Обемът на паралелепипеда се разлага на два обема от два паралелепипеда.
Оставяме лявата страна на уравнение (8) непроменена.
От дясната страна на височината zn-2
свеждам до xn-2
в първия срок и се намалява до y n-2
през втория мандат. Уравнение (8) се превръща в неравенството:
| z n > x n + y n | (9) |
В набора от тройки числа на Питагор не може да има едно единствено решение на уравнение (2).
Следователно, на множеството от всички тройки на числата на Питагор за всички n > 2 уравнение (2) няма решения.
Получено „пост чудодейно доказателство“, но само за тризнаци Числата на Питагор. Това е липса на доказателстваи причината за отказа на П. Ферма от него.
б)Нека докажем, че уравнение (2) няма решения на множеството от тройки непитагорови числа, което е семейството на произволно взета тройка от питагорови числа z=13, x=12, y=5 и семейството на произволна тройка от положителни цели числа z=21, x=19, y=16
И двете тройки числа са членове на техните семейства:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Броят на членовете на семейството (10) и (11) е равен на половината от произведението от 13 по 12 и 21 по 20, т.е. 78 и 210.
Всеки член на семейството (10) съдържа z = 13 и променливи х и при 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Всеки член на семейството (11) съдържа z = 21 и променливи х и при , които приемат цели числа 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Променливите намаляват последователно с 1 .
Тройките от числа от редицата (10) и (11) могат да бъдат представени като редица от неравенства от трета степен:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
и под формата на неравенства от четвърта степен:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Правилността на всяко неравенство се проверява чрез повдигане на числата на трета и четвърта степен.
Кубът с по-голямо число не може да се разложи на два куба с по-малки числа. То е по-малко или по-голямо от сбора на кубовете на двете по-малки числа.
Би-квадрат на по-голямо число не може да се разложи на два би-квадрата на по-малки числа. То е или по-малко, или по-голямо от сбора на би-квадратите на по-малките числа.
С нарастването на показателя всички неравенства, с изключение на най-лявото неравенство, имат едно и също значение:
Неравенствата, всички те имат едно и също значение: степента на по-голямото число е по-голяма от сбора на степените на по-малките две числа с еднакъв показател:
| 13n > 12n + 12n; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13n > 1n + 1n | (12) | |
| 21n > 20n + 20n; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21n > 1n + 1n | (13) |
Най-левият член на редицата (12) (13) е най-слабото неравенство. Неговата коректност определя коректността на всички следващи неравенства на последователността (12) за n > 8 и последователност (13) за n > 14 .
Между тях не може да има равенство. Произволна тройка от положителни цели числа (21,19,16) не е решение на уравнение (2) от последната теорема на Ферма. Ако произволна тройка от положителни цели числа не е решение на уравнението, тогава уравнението няма решения върху множеството от положителни цели числа, което трябваше да се докаже.
ОТ)Коментарът на Ферма за проблема с Диофант гласи, че е невъзможно да се разложи " като цяло няма степен, по-голяма от квадрата, две степени с еднакъв показател».
Целувкистепен, по-голяма от квадрат, не може наистина да се разложи на две степени с еднакъв показател. аз не се целувамстепен, по-голяма от квадрата, може да се разложи на две степени с еднакъв показател.
Всяка произволно избрана тройка от положителни цели числа (z, x, y) може да принадлежи към семейство, всеки член на което се състои от постоянно число z и две числа по-малко от z . Всеки член на семейството може да бъде представен под формата на неравенство, а всички получени неравенства могат да бъдат представени като последователност от неравенства:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n | (14) |
Поредицата от неравенства (14) започва с неравенства, за които лявата странапо-малко от дясната страна и завършва с неравенства, чиято дясна страна е по-малка от лявата страна. С нарастващ показател n > 2 броят на неравенствата от дясната страна на редицата (14) се увеличава. С експонента n=k всички неравенства от лявата страна на редицата променят значението си и приемат значението на неравенствата от дясната страна на неравенствата на редицата (14). В резултат на нарастването на показателя на всички неравенства лявата страна е по-голяма от дясната:
| z k > (z-1) k + (z-1) k; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2k + 1k; zk > 1k + 1k | (15) |
С по-нататъшно увеличаване на показателя n>k нито едно от неравенствата не променя смисъла си и не се превръща в равенство. На тази основа може да се твърди, че всяка произволно взета тройка от положителни цели числа (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y
В произволна тройка от положителни цели числа z може да бъде произволно голямо естествено число. За всички естествени числа, които вече ги няма z , последната теорема на Ферма е доказана.
Д)Без значение колко голямо е числото z , в естествената редица от числа преди него има голям, но краен набор от цели числа, а след него има безкраен набор от цели числа.
Нека докажем, че целият безкраен набор от естествени числа е по-голям от z , образуват тройки от числа, които не са решения на уравнението на последната теорема на Ферма, например произволна тройка от положителни цели числа (z+1,x,y) , при което z + 1 > x и z + 1 > y за всички стойности на степента n > 2 не е решение на уравнението на последната теорема на Ферма.
Произволно избрана тройка от положителни цели числа (z + 1, x, y) може да принадлежи към семейство от тройки числа, всеки член на които се състои от постоянно число z + 1 и две числа х и при , приемащи различни стойности, по-малки z + 1 . Членовете на семейството могат да бъдат представени като неравенства, чиято постоянна лява страна е по-малка или по-голяма от дясната страна. Неравенствата могат да бъдат подредени като последователност от неравенства:
С по-нататъшно увеличаване на показателя n>k до безкрайност нито едно от неравенствата в редицата (17) не променя смисъла си и не се превръща в равенство. В последователност (16) неравенството се образува от произволно взета тройка положителни цели числа (z + 1, x, y) , може да бъде в дясната му страна във формата (z + 1) n > x n + y n или да бъде от лявата му страна във формата (z+1)n< x n + y n .
Във всеки случай тройката от положителни цели числа (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в последователност (16) е неравенство и не може да бъде равенство, т.е. не може да бъде решение на уравнението на последната теорема на Ферма.
Лесно и просто може да се разбере произхода на последователността от степенни неравенства (16), в която последното неравенство от лявата страна и първото неравенство от дясната страна са неравенства с противоположен смисъл. Напротив, за учениците, гимназистите и гимназистите не е лесно и трудно да разберат как от редица неравенства (16) се образува поредица от неравенства (17), в която всички неравенства имат еднакъв смисъл.
В редица (16) увеличаването на целочислената степен на неравенствата с 1 превръща последното неравенство от лявата страна в първото неравенство с противоположно значение от дясната страна. Така броят на неравенствата от деветата страна на редицата намалява, докато броят на неравенствата от дясната страна се увеличава. Между последната и първата степенни неравенства с противоположно значение в без провалнамира се равенство на мощностите. Степента му не може да бъде цяло число, тъй като между две последователни естествени числа има само нецели числа. Степенното равенство на нецяла степен, съгласно условието на теоремата, не може да се счита за решение на уравнение (1).
Ако в редицата (16) продължим да увеличаваме степента с 1 единица, тогава последното неравенство от лявата му страна ще се превърне в първото неравенство с противоположния смисъл на дясната страна. В резултат на това няма да има неравенства от лявата страна, а само неравенства от дясната страна, което ще бъде последователност от нарастващи мощностни неравенства (17). По-нататъшно увеличениетяхната цяла степен с 1 единица само засилва нейните степенни неравенства и категорично изключва възможността за поява на равенство в цяла степен.
Следователно, като цяло, никаква цяла степен на естествено число (z+1) от последователността от степенни неравенства (17) не може да се разложи на две цели степени с еднакъв показател. Следователно уравнение (1) няма решения върху безкраен набор от естествени числа, което трябваше да се докаже.
Следователно последната теорема на Ферма е доказана в цялата общост:
- в раздел А) за всички тризнаци (z, x, y) Числата на Питагор (откритието на Ферма е наистина чудодейно доказателство),
- в раздел В) за всички членове на семейството на всяка тройка (z, x, y) питагорови числа,
- в раздел C) за всички тройки числа (z, x, y) , не големи числа z
- в раздел D) за всички тройки числа (z, x, y) естествена редица от числа.
|
Промените са направени на 05.09.2010г |
Кои теореми могат и кои не могат да бъдат доказани чрез противоречие
Обяснителният речник на математическите термини дефинира доказателство чрез противоречие на теорема, противоположна на обратната теорема.
„Доказателството от противно е метод за доказване на теорема (изречение), който се състои в доказване не на самата теорема, а на нейната еквивалентна (еквивалентна), противоположна обратна (обратна към противоположна) теорема. Доказателство от противно се използва, когато пряката теорема е трудна за доказване, но обратната е по-лесна. При доказване от противно заключението на теоремата се заменя с нейното отрицание, а чрез разсъждение се стига до отрицание на условието, т.е. до противоречие, до противоположното (противоположно на даденото; това свеждане до абсурд доказва теоремата.
Доказателство от противно е много често използвано в математиката. Доказателството от противно се основава на закона за изключената среда, който се състои в това, че от двете твърдения (твърдения) А и А (отрицание на А) едното от тях е вярно, а другото е невярно./ Обяснителен речник на математическите термини: Ръководство за учители / О. В. Мантуров [и др.]; изд. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.112/.
Не би било по-добре да се заяви открито, че методът на доказателство от противно не е математически метод, въпреки че се използва в математиката, че е логически метод и принадлежи на логиката. Валидно ли е да се каже, че доказателството чрез противоречие се „използва винаги, когато директна теорема е трудна за доказване“, когато всъщност се използва, ако и само ако няма заместител за него.
Особено внимание заслужава и характеристиката на връзката между пряката и обратната теореми. „Обратна теорема за дадена теорема (или за дадена теорема) е теорема, в която условието е заключението, а заключението е условието на дадената теорема. Тази теорема във връзка с обратната теорема се нарича директна теорема (първоначална). В същото време обратната теорема към обратната теорема ще бъде дадената теорема; следователно пряката и обратната теореми се наричат взаимно обратни. Ако директната (дадената) теорема е вярна, тогава обратната теорема не винаги е вярна. Например, ако четириъгълник е ромб, тогава неговите диагонали са взаимно перпендикулярни (директна теорема). Ако диагоналите в четириъгълник са взаимно перпендикулярни, тогава четириъгълникът е ромб - това не е вярно, т.е. обратната теорема не е вярна./ Обяснителен речник на математическите термини: Ръководство за учители / О. В. Мантуров [и др.]; изд. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.
Тази характеристикаВръзката между директните и обратните теореми не отчита факта, че условието на директната теорема се приема като дадено, без доказателство, така че нейната коректност не е гарантирана. Условието на обратната теорема не се приема като дадено, тъй като то е заключението на доказаната директна теорема. Правилността му се потвърждава от доказателството на пряката теорема. Тази съществена логическа разлика между условията на преките и обратните теореми се оказва решаваща при въпроса кои теореми могат и кои не могат да бъдат доказани по логическия метод от обратното.
Да приемем, че има предвид пряка теорема, която може да се докаже с обичайния математически метод, но е трудно. Нека го формулираме в общ изгледв кратка формаТака: от НОТрябва д . Символ НО има стойността на даденото условие на теоремата, прието без доказателство. Символ д е заключението на теоремата, която трябва да се докаже.
Ще докажем пряката теорема от противно, логичнометод. Логическият метод доказва теорема, която има не математическисъстояние и логичносъстояние. Може да се получи, ако математическо състояниетеореми от НОТрябва д , допълнете с обратното условие от НОне следва д .
В резултат на това се получава логично противоречиво условие на новата теорема, което включва две части: от НОТрябва д и от НОне следва д . Полученото условие на новата теорема съответства на логическия закон на изключената среда и съответства на доказателството на теоремата от противно.
Според закона една част от противоречивото условие е невярно, друга част е вярно, а третата е изключена. Доказателството от противно има своя задача и цел да установи точно коя част от двете части на условието на теоремата е невярна. Веднага след като се установи невярната част от условието, ще се установи, че другата част е истинската част, а третата е изключена.
Според тълковен речникматематически термини „доказателството е разсъждение, по време на което се установява истинността или неистинността на всяко твърдение (съждение, твърдение, теорема)“. Доказателство противноима дискусия, в хода на която се установява фалшивост(абсурдност) на заключението, което следва от невярноусловията на доказаната теорема.
дадени: от НОТрябва ди от НОне следва д .
Докажи: от НОТрябва д .
Доказателство: Логическото условие на теоремата съдържа противоречие, което изисква неговото разрешаване. Противоречието на условието трябва да намери своето разрешение в доказателството и неговия резултат. Резултатът се оказва фалшив, ако разсъждението е безупречно и безпогрешно. Причината за невярно заключение с логически правилно разсъждение може да бъде само противоречиво условие: от НОТрябва д и от НОне следва д .
Няма никакво съмнение, че едната част от условието е невярна, а другата в случая е вярна. И двете части на условието имат еднакъв произход, приемат се като дадени, предполагаеми, еднакво възможни, еднакво допустими и т.н. В хода на логическите разсъждения не логическа характеристика, което би разграничило една част от състоянието от друга. Следователно в същата степен, от НОТрябва д и може би от НОне следва д . Изявление от НОТрябва д може би невярно, след това изявлението от НОне следва д ще бъде вярно. Изявление от НОне следва д може да е невярно, тогава твърдението от НОТрябва д ще бъде вярно.
Следователно е невъзможно да се докаже пряката теорема чрез метода на противоречието.
Сега ще докажем същата директна теорема чрез обичайния математически метод.
дадени: НО .
Докажи: от НОТрябва д .
Доказателство.
1. от НОТрябва б
2. от бТрябва AT (според доказаната по-рано теорема)).
3. от ATТрябва Ж (според доказаната по-рано теорема).
4. от ЖТрябва д (според доказаната по-рано теорема).
5. от дТрябва д (според доказаната по-рано теорема).
Въз основа на закона за преходността, от НОТрябва д . Пряката теорема се доказва по обичайния метод.
Нека доказаната директна теорема има правилна обратна теорема: от дТрябва НО .
Нека го докажем с обикновено математическиметод. Доказателството на обратната теорема може да бъде изразено в символна форма като алгоритъм от математически операции.
дадени: д
Докажи: от дТрябва НО .
Доказателство.
1. от дТрябва д
2. от дТрябва Ж (по доказаната по-рано обратна теорема).
3. от ЖТрябва AT (по доказаната по-рано обратна теорема).
4. от ATне следва б (обратното не е вярно). Ето защо от бне следва НО .
В тази ситуация няма смисъл да продължаваме математическото доказателство на обратната теорема. Причината за ситуацията е логична. Невъзможно е да замените неправилна обратна теорема с каквото и да било. Следователно тази обратна теорема не може да бъде доказана с обичайния математически метод. Цялата надежда е да се докаже тази обратна теорема чрез противното.
За да се докаже чрез противоречие, е необходимо математическото му условие да се замени с логическо противоречиво условие, което по смисъла си съдържа две части - невярно и истинно.
Обратна теоремапретенции: от дне следва НО . Нейното състояние д , от което следва извода НО , е резултат от доказването на директната теорема чрез обичайния математически метод. Това условие трябва да се запази и допълни с изявлението от дТрябва НО . В резултат на добавянето се получава противоречиво условие на новата обратна теорема: от дТрябва НО и от дне следва НО . Въз основа на това логичнопротиворечиво условие, обратната теорема може да бъде доказана чрез правилната логичносамо разсъждения, и само, логичнообратен метод. При доказателство от противно всички математически действия и операции са подчинени на логическите и следователно не се броят.
В първата част на противоречивото твърдение от дТрябва НО състояние д е доказано чрез доказателството на пряката теорема. Във втората част от дне следва НО състояние д се предполага и приема без доказателства. Едното от тях е невярно, а другото е истина. Изисква се да се докаже кой от тях е неверен.
Доказваме с правилното логичноразсъждение и установява, че резултатът от него е невярно, абсурдно заключение. Причината за погрешно логическо заключение е противоречивото логическо условие на теоремата, което съдържа две части - невярно и вярно. Невярната част може да бъде само твърдение от дне следва НО , при което д приети без доказателства. Това го отличава от д изявления от дТрябва НО , което се доказва от доказателството на пряката теорема.
Следователно твърдението е вярно: от дТрябва НО , което трябваше да се докаже.
Заключение: само тази обратна теорема се доказва чрез логическия метод от противното, която има пряка теорема, доказана чрез математическия метод и която не може да бъде доказана чрез математическия метод.
Полученият извод придобива изключителна важност по отношение на метода на доказателство чрез противоречие на голямата теорема на Ферма. Преобладаващото мнозинство от опитите за доказване се основават не на обичайния математически метод, а на логическия метод на доказване от противоречие. Доказателството на Голямата теорема на Ферма Уайлс не е изключение.
Дмитрий Абраров в статията си „Теоремата на Ферма: Феноменът на доказателствата на Уайлс“ публикува коментар върху доказателството на последната теорема на Ферма от Уайлс. Според Абраров Уайлс доказва последната теорема на Ферма с помощта на забележително откритие на немския математик Герхард Фрей (р. 1944 г.), свързващо потенциално решение на уравнението на Ферма x n + y n = z n
, където n > 2
, с друго напълно различно уравнение. Това ново уравнение се дава от специална крива (наречена елиптична крива на Фрей). Кривата на Фрей се дава от много просто уравнение:
.
„Точно Фрей беше този, който сравняваше всяко решение (а, б, в)Уравнение на Ферма, т.е. числа, които отговарят на връзката a n + b n = c nгорната крива. В този случай ще последва последната теорема на Ферма."(Цитат от: Абраров Д. "Теоремата на Ферма: феноменът на доказателството на Уайлс")
С други думи, Герхард Фрей предполага, че уравнението на последната теорема на Ферма x n + y n = z n
, където n > 2
, има решения в положителни числа. Същите решения са, според предположението на Фрей, решенията на неговото уравнение
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, което се дава от неговата елиптична крива.
Андрю Уайлс прие това забележително откритие на Фрей и с негова помощ чрез математическиметодът доказа, че това откритие, тоест елиптичната крива на Фрей, не съществува. Следователно няма уравнение и неговите решения, които да са дадени от несъществуваща елиптична крива. Следователно Уайлс трябваше да заключи, че няма уравнение на последната теорема на Ферма и самата теорема на Ферма. Той обаче прави по-скромното заключение, че уравнението на последната теорема на Ферма няма решения в цели положителни числа.
Може да е неоспорим факт, че Уайлс е приел предположение, което е директно противоположно по смисъл на това, което се твърди в Последната теорема на Ферма. Това задължава Уайлс да докаже последната теорема на Ферма от противно. Нека последваме неговия пример и да видим какво ще се случи от този пример.
Последната теорема на Ферма гласи, че уравнението x n + y n = z n , където n > 2 , няма решения в положителни цели числа.
Според логическия метод на доказателство чрез противоречие това твърдение се запазва, приема се като дадено без доказателство и след това се допълва с твърдение, противоположно по смисъл: уравнението x n + y n = z n , където n > 2 , има решения в положителни числа.
Хипотетичното твърдение също се приема за дадено, без доказателство. И двете твърдения, разгледани от гледна точка на основните закони на логиката, са еднакво допустими, равноправни и еднакво възможни. Чрез правилно разсъждение се изисква да се установи кое от тях е невярно, за да се установи след това, че другото твърдение е вярно.
Правилното разсъждение завършва с невярно, абсурдно заключение, логическата причина за което може да бъде само противоречиво условие на доказаната теорема, което съдържа две части с пряко противоположно значение. Те бяха логическата причина за абсурдното заключение, резултат от доказателство чрез противното.
Въпреки това, в хода на логически правилното разсъждение, не беше намерен нито един признак, по който би било възможно да се установи кое конкретно твърдение е невярно. Може да бъде твърдение: уравнението x n + y n = z n , където n > 2 , има решения в положителни числа. На същата основа може да бъде твърдението: уравнението x n + y n = z n , където n > 2 , няма решения в положителни цели числа.
В резултат на разсъжденията може да има само един извод: Последната теорема на Ферма не може да бъде доказана чрез противоречие.
Би било съвсем различен въпрос, ако последната теорема на Ферма беше обратна теорема, която има директна теорема, доказана чрез обичайния математически метод. В този случай това може да се докаже от противоречие. И тъй като това е директна теорема, нейното доказателство трябва да се основава не на логическия метод на доказателство от противоречие, а на обичайния математически метод.
Според Д. Абраров, най-известният от съвременните Руски математициАкадемик В. И. Арнолд реагира на доказателството на Уайлс "активно скептично". Академикът заявява: „това не е истинска математика – истинската математика е геометрична и има силни връзки с физиката.“
От противното, невъзможно е да се докаже нито, че уравнението на последната теорема на Ферма няма решения, нито че има решения. Грешката на Уайлс не е математическа, а логическа - използването на доказателство чрез противоречие, когато използването му няма смисъл и не доказва последната теорема на Ферма.
Последната теорема на Ферма не се доказва с помощта на обичайния математически метод, ако е даден: уравнението x n + y n = z n , където n > 2 , няма решения в положителни числа и ако се изисква доказване в него: уравнението x n + y n = z n , където n > 2 , няма решения в положителни цели числа. В тази форма няма теорема, а лишена от смисъл тавтология.
Забележка.Моето BTF доказателство беше обсъдено в един от форумите. Един от участниците в Тротил, специалист по теория на числата, направи следното авторитетно изявление, озаглавено: „Кратък преразказ на това, което направи Миргородски“. Цитирам го дословно:
« НО. Той доказа, че ако z 2 \u003d x 2 + y , тогава z n > x n + y n . Това е добре известен и съвсем очевиден факт.
AT. Той взе две тройки - питагорейски и непитагорейски и показа чрез просто изброяване, че за конкретно, специфично семейство тройки (78 и 210 броя) се изпълнява BTF (и само за него).
ОТ. И тогава авторът пропусна факта, че от < в следваща степен може да бъде = , не само > . Прост контрапример е преходът n=1 в n=2 в питагорова тройка.
Д. Тази точка не допринася с нищо съществено за доказателството на BTF. Заключение: BTF не е доказано.”
Ще разгледам заключението му точка по точка.
НО.В него BTF се доказва за целия безкраен набор от тройки числа на Питагор. Доказано с геометричен метод, който според мен не е открит от мен, а преоткрит. И той е открит, както вярвам, от самия П. Ферма. Ферма може да е имал предвид това, когато е писал:
„Открих едно наистина чудесно доказателство за това, но тези полета са твърде тесни за това.“ Това мое предположение се основава на факта, че в Диофантовата задача, срещу която в полетата на книгата Ферма пише, говорим за решения на Диофантовата уравнения, които са тройки на Питагоровите числа.
Безкраен набор от тройки числа на Питагор са решения на уравнението на Диофат, а в теоремата на Ферма, напротив, нито едно от решенията не може да бъде решение на уравнението на теоремата на Ферма. И наистина чудодейното доказателство на Ферма има пряко отношение към този факт. По-късно Ферма може да разшири своята теорема до множеството от всички естествени числа. В множеството от всички естествени числа BTF не принадлежи към "множеството от изключително красиви теореми". Това е мое предположение, което нито може да бъде доказано, нито опровергано. Тя може да бъде както приета, така и отхвърлена.
AT.В този параграф доказвам, че както семейството на произволно взета питагорова тройка от числа, така и семейството на произволно взета непитагорова тройка от числа BTF е удовлетворено. Това е необходима, но недостатъчна и междинна връзка в моето доказателство за BTF. Примерите, които взех за семейство от тройка от питагорови числа и семейство от тройка от непитагорови числа, имат значението на конкретни примери, които предполагат и не изключват съществуването на подобни други примери.
Твърдението на Тротил, че „показах чрез просто изброяване, че за конкретно, конкретно семейство тройки (78 и 210 броя) BTF е изпълнено (и само за него), е безпочвено. Той не може да опровергае факта, че бих могъл също така да взема други примери за питагорови и непитагорови тройки, за да получа конкретно семейство от едната и другата тройка.
Каквато и двойка тройки да взема, проверката на тяхната годност за решаване на проблема може да се извърши според мен само по метода на "простото изброяване". Друг метод не ми е известен и не е задължителен. Ако не му хареса Тротил, тогава трябваше да предложи друг метод, но той не го прави. Без да предлага нищо в замяна, да заклеймява "обикновения обиск", който в този случайнезаменим, неправилен.
ОТ.Пропуснах = между< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), в която степента n > 2 — цяло положително число. От равенството между неравенствата следва задължителноразглеждане на уравнение (1) с нецелочислена стойност на степента n > 2 . Броене на тротил задължителноразглеждане на равенството между неравенствата, всъщност разглежда необходимов доказателството на BTF, разглеждане на уравнение (1) с нецяло числостепенна стойност n > 2 . Направих това за себе си и открих, че уравнение (1) с нецяло числостепенна стойност n > 2 има решение на три числа: z, (z-1), (z-1) с показател, който не е цяло число.
Няма много хора в света, които никога не са чували за последната теорема на Ферма - може би това е единствената математически проблем, който получи такава широка популярност и се превърна в истинска легенда. Споменава се в много книги и филми, докато основният контекст на почти всички споменавания е невъзможността да се докаже теоремата.
Да, тази теорема е много известна и в известен смисъл се е превърнала в „идол“, боготворен от аматьори и професионални математици, но малко хора знаят, че нейното доказателство е намерено и това се случи през далечната 1995 г. Но на първо място.
И така, последната теорема на Ферма (често наричана последната теорема на Ферма), формулирана през 1637 г. от брилянтния френски математик Пиер Ферма, е много проста по природа и разбираема за всеки човек със средно образование. Той казва, че формулата a на степен n + b на степен n \u003d c на степен n няма естествени (т.е. недробни) решения за n> 2. Всичко изглежда просто и ясно , но най-добрите математици и обикновените аматьори се бориха в търсене на решение повече от три и половина века.
Защо е толкова известна? Сега нека разберем...
Има ли малко доказани, недоказани и все пак недоказани теореми? Работата е там, че последната теорема на Ферма е най-големият контраст между простотата на формулировката и сложността на доказателството. Последната теорема на Ферма е невероятно трудна задача и въпреки това нейната формулировка може да бъде разбрана от всеки с 5 клас гимназия, но доказателството дори не е някой професионален математик. Нито във физиката, нито в химията, нито в биологията, нито в същата математика няма нито един проблем, който да бъде формулиран толкова просто, но да остане нерешен толкова дълго. 2. От какво се състои?
Да започнем с Питагоровите панталони. Формулировката е наистина проста - на пръв поглед. Както знаем от детството, Питагорови панталонивсички страни са равни." Проблемът изглежда толкова прост, защото се основаваше на математическо твърдение, което всички знаят - Питагоровата теорема: във всеки правоъгълен триъгълникквадрат, построен върху хипотенузата, е равно на суматаквадрати, построени на крака.
През 5 век пр.н.е. Питагор основал Питагорейското братство. Питагорейците, наред с други неща, са изучавали цели тройки, отговарящи на уравнението x²+y²=z². Те доказаха, че има безкрайно много Питагорови тройки и получиха общи формулида ги намериш. Сигурно са опитвали да търсят тройки или повече. високи градуси. Убедени, че това не работи, питагорейците изоставят напразните си опити. Членовете на братството бяха повече философи и естети, отколкото математици.
Тоест, лесно е да се избере набор от числа, които напълно отговарят на равенството x² + y² = z²
Започвайки от 3, 4, 5 - наистина ученикът от началното училище разбира, че 9 + 16 = 25.
Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Страхотно.
Е, оказва се, че не го правят. Тук започва уловката. Простотията е привидна, защото е трудно да се докаже не наличието на нещо, а напротив, липсата. Когато е необходимо да се докаже, че има решение, може и трябва просто да се представи това решение.
По-трудно е да се докаже липсата: например някой казва: такова и такова уравнение няма решения. Да го сложим в локва? лесно: бам - и ето го, решението! (дайте решение). И това е всичко, противникът е победен. Как да докажа отсъствието?
Да кажа: "Не намерих такива решения"? Или може би не сте търсили добре? И какво, ако те са само много големи, добре, такива, че дори супермощен компютър все още няма достатъчно сила? Ето това е трудното.
Нагледно това може да се покаже по следния начин: ако вземем два квадрата с подходящи размери и ги разглобим на единични квадрати, тогава от този куп единични квадрати се получава трети квадрат (фиг. 2): 
И да направим същото с третото измерение (фиг. 3) - не става. Няма достатъчно кубчета или остават допълнителни:
Но математикът от 17 век, французинът Пиер дьо Ферма, ентусиазирано изследва общо уравнение x n + y n \u003d z n. И накрая той заключи: за n>2 не съществуват цели числа. Доказателството на Ферма е безвъзвратно загубено. Горят ръкописи! Всичко, което остава, е неговата забележка в Аритметиката на Диофант: „Намерих наистина удивително доказателство за това твърдение, но полетата тук са твърде тесни, за да го поберат.“
Всъщност теорема без доказателство се нарича хипотеза. Но Ферма има репутацията на човек, който никога не греши. Дори и да не е оставил доказателство за каквото и да било твърдение, то впоследствие е потвърдено. Освен това Ферма доказва своята теза за n=4. Така хипотезата на френския математик влезе в историята като последната теорема на Ферма.
След Ферма такива велики умове като Леонхард Ойлер работят върху търсенето на доказателство (през 1770 г. той предлага решение за n = 3),
Адриен Лежандр и Йохан Дирихле (тези учени заедно намериха доказателство за n = 5 през 1825 г.), Габриел Ламе (който намери доказателство за n = 7) и много други. Към средата на 80-те години стана ясно, че академичните средие на път най-накрая да разреши последната теорема на Ферма, но едва през 1993 г. математиците виждат и вярват, че тривековната сага за намиране на доказателство за последната теорема на Ферма е почти приключила.
Лесно е да се покаже, че е достатъчно да се докаже теоремата на Ферма само за просто число n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … За съставно число n доказателството остава валидно. Но също прости числабезкрайно много...
През 1825 г., използвайки метода на Софи Жермен, жените математици, Дирихле и Лежандр независимо доказват теоремата за n=5. През 1839 г. французинът Габриел Ламе показа истинността на теоремата за n=7, използвайки същия метод. Постепенно теоремата беше доказана за почти всички n по-малко от сто.
И накрая, немският математик Ернст Кумер показа в едно блестящо изследване, че методите на математиката през 19 век не могат да докажат теоремата в обща форма. Наградата на Френската академия на науките, учредена през 1847 г. за доказателството на теоремата на Ферма, остава неприсъдена.
През 1907 г. богатият немски индустриалец Пол Волфскел решава да посегне на живота си заради несподелена любов. Като истински германец той определи датата и часа на самоубийството: точно в полунощ. В последния ден той направи завещание и написа писма до приятели и роднини. Работата приключи преди полунощ. Трябва да кажа, че Пол се интересуваше от математика. Тъй като нямаше какво да прави, той отиде в библиотеката и започна да чете известната статия на Кумер. Изведнъж му се стори, че Кумер е направил грешка в разсъжденията си. Wolfskehl, с молив в ръка, започна да анализира тази част от статията. Мина полунощ, дойде утрото. Празнината в доказателството беше запълнена. И самата причина за самоубийството сега изглеждаше напълно смешна. Павел скъса прощалните писма и пренаписа завещанието.
Скоро той умира от естествена смърт. Наследниците бяха доста изненадани: 100 000 марки (повече от 1 000 000 сегашни лири стерлинги) бяха преведени по сметката на Кралския научно обществоГьотинген, която през същата година обявява конкурс за наградата Wolfskel. 100 000 марки разчитат на доказателството на теоремата на Ферма. Нито пфениг не трябваше да бъде платен за опровергаването на теоремата ...
Повечето професионални математици смятаха търсенето на доказателство на последната теорема на Ферма за загубена кауза и решително отказаха да губят време с такова безсмислено занимание. Но аматьорите се забавляват до слава. Няколко седмици след съобщението, лавина от "доказателства" връхлетя университета в Гьотинген. Професор Е. М. Ландау, чието задължение беше да анализира изпратените доказателства, раздаде карти на своите студенти:
Уважаеми(и). . . . . . . .
Благодарим ви за ръкописа, който изпратихте с доказателството на последната теорема на Ферма. Първата грешка е на страница ... на ред ... . Поради това цялото доказателство губи своята валидност.
Професор Е. М. Ландау
През 1963 г. Пол Коен, основавайки се на откритията на Гьодел, доказва неразрешимостта на един от двадесет и трите проблема на Хилберт, хипотезата за континуума. Ами ако последната теорема на Ферма също е неразрешима?! Но истинските фанатици на Великата теорема изобщо не разочароваха. Появата на компютрите неочаквано даде на математиците нов метод за доказване. След Втората световна война групи програмисти и математици доказаха последната теорема на Ферма за всички стойности на n до 500, след това до 1000 и по-късно до 10 000.
През 80-те години Самюел Уагстаф вдигна границата до 25 000, а през 90-те години математиците твърдяха, че последната теорема на Ферма е вярна за всички стойности на n до 4 милиона. Но ако дори трилион трилиона се извади от безкрайността, той не става по-малък. Математиците не са убедени от статистиката. Доказването на Великата теорема означаваше доказването й за ВСИЧКИ n, отиващи до безкрайност.
През 1954 г. двама млади японски приятели математици се заели с изучаването на модулни форми. Тези форми генерират серии от числа, всяка - своя собствена серия. Случайно Танияма сравнява тези серии с серии, генерирани от елиптични уравнения. Съвпадаха! Но модулните форми са геометрични обекти, докато елиптичните уравнения са алгебрични. Никога не е установена връзка между такива различни обекти.
Въпреки това, след внимателно тестване, приятели изложиха хипотеза: всяко елиптично уравнение има двойна - модулна форма и обратно. Именно тази хипотеза стана основата на цяла тенденция в математиката, но докато не се докаже хипотезата на Танияма-Шимура, цялата сграда можеше да рухне всеки момент.
През 1984 г. Герхард Фрей показа, че решение на уравнението на Ферма, ако съществува, може да бъде включено в някакво елиптично уравнение. Две години по-късно професор Кен Рибет доказа, че това хипотетично уравнение не може да има аналог в модулния свят. Оттук нататък последната теорема на Ферма е неразривно свързана с хипотезата на Танияма-Шимура. След като доказахме, че всяка елиптична крива е модулна, заключаваме, че няма елиптично уравнение с решение на уравнението на Ферма и последната теорема на Ферма веднага ще бъде доказана. Но в продължение на тридесет години не беше възможно да се докаже хипотезата на Танияма-Шимура и имаше все по-малко надежди за успех.
През 1963 г., когато е само на десет години, Андрю Уайлс вече е увлечен от математиката. Когато научил за Великата теорема, той осъзнал, че не може да се отклони от нея. Като ученик, студент, аспирант, той се подготвя за тази задача.
След като научава за откритията на Кен Рибет, Уайлс се хвърля в доказването на предположението на Танияма-Шимура. Той реши да работи в пълна изолация и секретност. „Разбрах, че всичко, което има нещо общо с последната теорема на Ферма, е от твърде голям интерес ... Твърде много зрители умишлено пречат на постигането на целта.“ Седемте години упорит труд се отплатиха, Уайлс най-накрая завърши доказателството на предположението на Танияма-Шимура.
През 1993 г. английският математик Андрю Уайлс представи на света своето доказателство за Последната теорема на Ферма (Уайлс прочете сензационния си доклад на конференция в Института сър Исак Нютон в Кеймбридж.), Работата по която продължи повече от седем години.
Докато шумът продължава в пресата, започва сериозна работа за проверка на доказателствата. Всяко доказателство трябва да бъде внимателно проучено, преди доказателството да може да се счита за строго и точно. Уайлс прекара едно забързано лято в очакване на отзивите на рецензентите, надявайки се, че може да спечели тяхното одобрение. В края на август експертите установиха недостатъчно обоснована присъда.
Оказа се, че това решение съдържа груба грешка, въпреки че като цяло е вярно. Уайлс не се отказа, призова за помощ известния специалист по теория на числата Ричард Тейлър и още през 1994 г. те публикуваха коригирано и допълнено доказателство на теоремата. Най-удивителното е, че тази работа зае цели 130 (!) страници в математическото списание Annals of Mathematics. Но историята не свършва и дотук - последната точка е поставена едва през следващата 1995 г., когато е публикувана окончателната и „идеална“, от математическа гледна точка, версия на доказателството.
„... половин минута след началото на празничната вечеря по случай нейния рожден ден, дадох на Надя ръкописа на пълното доказателство“ (Андрю Уелс). Споменах ли, че математиците са странни хора?
Този път нямаше съмнение относно доказателството. Две статии бяха подложени на най-внимателен анализ и през май 1995 г. бяха публикувани в Annals of Mathematics.
От този момент мина много време, но в обществото все още има мнение за неразрешимостта на последната теорема на Ферма. Но дори и тези, които знаят за намереното доказателство, продължават да работят в тази посока – малко хора са доволни, че Великата теорема изисква решение от 130 страници!
Ето защо сега силите на толкова много математици (предимно аматьори, а не професионални учени) са хвърлени в търсене на просто и кратко доказателство, но този път най-вероятно няма да доведе никъде ...
източник
