Dúfam, že po preštudovaní tohto článku sa naučíte, ako nájsť korene úplnej kvadratickej rovnice.

Pomocou diskriminantu sa riešia iba úplné kvadratické rovnice, riešenie neúplných kvadratické rovnice použite iné metódy, ktoré nájdete v článku „Riešenie neúplných kvadratických rovníc“.

Ktoré kvadratické rovnice sa nazývajú úplné? to rovnice tvaru ax 2 + b x + c = 0, kde koeficienty a, b a c sa nerovnajú nule. Takže, aby ste vyriešili úplnú kvadratickú rovnicu, musíte vypočítať diskriminant D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Podľa toho, akú hodnotu má diskriminant, zapíšeme odpoveď.

Ak je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.

Ak je diskriminačný nula, potom x \u003d (-b) / 2a. Ak je diskriminant kladné číslo (D > 0),

potom x 1 = (-b - √D)/2a a x 2 = (-b + √D)/2a.

Napríklad. vyriešiť rovnicu x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

odpoveď: 2.

Vyriešte rovnicu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Odpoveď: žiadne korene.

Vyriešte rovnicu 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odpoveď: - 3,5; jeden.

Predstavme si teda riešenie úplných kvadratických rovníc podľa schémy na obrázku 1.

Tieto vzorce možno použiť na riešenie akejkoľvek úplnej kvadratickej rovnice. Len si treba dávať pozor rovnica bola napísaná ako polynóm štandardného tvaru

a x 2 + bx + c, inak sa môžete pomýliť. Napríklad pri písaní rovnice x + 3 + 2x 2 = 0 sa môžete mylne rozhodnúť, že

a = 1, b = 3 a c = 2. Potom

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 a potom má rovnica dva korene. A to nie je pravda. (Pozri príklad 2 riešenie vyššie).

Ak teda rovnica nie je napísaná ako polynóm štandardného tvaru, musí sa najprv úplná kvadratická rovnica napísať ako polynóm štandardného tvaru (na prvom mieste by mal byť monomický znak s najväčším exponentom, tzn. a x 2 , potom s menej – bx a potom voľný termín s.

Pri riešení uvedenej kvadratickej rovnice a kvadratickej rovnice s párnym koeficientom pre druhý člen možno použiť aj iné vzorce. Zoznámime sa s týmito vzorcami. Ak v úplnej kvadratickej rovnici s druhým členom je koeficient párny (b = 2k), potom rovnicu možno vyriešiť pomocou vzorcov znázornených v diagrame na obrázku 2.

Úplná kvadratická rovnica sa nazýva redukovaná, ak koeficient pri x 2 rovná sa jednote a rovnica má tvar x 2 + px + q = 0. Takáto rovnica môže byť daná na vyriešenie, alebo sa získa vydelením všetkých koeficientov rovnice koeficientom a stojaci pri x 2 .

Obrázok 3 znázorňuje schému riešenia redukovaného štvorca
rovnice. Zvážte príklad použitia vzorcov, o ktorých sa hovorí v tomto článku.

Príklad. vyriešiť rovnicu

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Vyriešme túto rovnicu pomocou vzorcov znázornených na obrázku 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Odpoveď: -1 - √3; –1 + √3

Môžete vidieť, že koeficient v x v tejto rovnici je párne číslo, to znamená b \u003d 6 alebo b \u003d 2k, odkiaľ k \u003d 3. Potom sa pokúsme vyriešiť rovnicu pomocou vzorcov znázornených na obrázku D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odpoveď: -1 - √3; –1 + √3. Keď si všimneme, že všetky koeficienty v tejto kvadratickej rovnici sú deliteľné 3 a delením, dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + 2x - 2 = 0 Túto rovnicu riešime pomocou vzorcov pre redukovanú kvadratickú rovnicu
rovnice obrázok 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Odpoveď: -1 - √3; –1 + √3.

Ako vidíte, pri riešení tejto rovnice pomocou rôznych vzorcov sme dostali rovnakú odpoveď. Preto, keď dobre ovládate vzorce zobrazené na obrázku 1, môžete vždy vyriešiť akúkoľvek úplnú kvadratickú rovnicu.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Transformácia úplnej kvadratickej rovnice na neúplnú vyzerá takto (pre prípad \(b=0\)):

V prípadoch, keď \(c=0\) alebo keď sa oba koeficienty rovnajú nule, je všetko podobné.

Upozorňujeme, že \(a\) sa nerovná nule, nemôže sa rovnať nule, pretože v tomto prípade sa zmení na:

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Najprv musíte pochopiť, že neúplná kvadratická rovnica je stále, preto ju možno vyriešiť rovnakým spôsobom ako obvyklú kvadratickú (cez). Ak to chcete urobiť, jednoducho pridajte chýbajúcu zložku rovnice s nulovým koeficientom.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(3x^2-27=0\)
Riešenie :

		Máme neúplnú kvadratickú rovnicu s koeficientom \(b=0\). To znamená, že rovnicu môžeme napísať v nasledujúcom tvare:
\(3x^2+0\cbodka x-27=0\)		V skutočnosti je tu rovnaká rovnica ako na začiatku, ale teraz ju možno vyriešiť ako obyčajný štvorec. Najprv si zapíšeme koeficienty.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Vypočítajte diskriminant pomocou vzorca \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Nájdite korene rovnice pomocou vzorcov \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapíšte si odpoveď

Odpoveď : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Príklad : Nájdite korene rovnice \(-x^2+x=0\)
Riešenie :

		Opäť neúplná kvadratická rovnica, ale teraz sa koeficient \(c\) rovná nule. Rovnicu napíšeme ako úplnú.

Neúplná kvadratická rovnica sa líši od klasických (úplných) rovníc tým, že jej faktory alebo voľný člen sa rovnajú nule. Grafom takýchto funkcií sú paraboly. V závislosti od celkového vzhľadu sú rozdelené do 3 skupín. Princípy riešenia pre všetky typy rovníc sú rovnaké.

Nie je nič ťažké určiť typ neúplného polynómu. Najlepšie je zvážiť hlavné rozdiely v názorných príkladoch:

1. Ak b = 0, potom rovnica je ax 2 + c = 0.
2. Ak c = 0, potom by sa mal vyriešiť výraz ax 2 + bx = 0.
3. Ak b = 0 a c = 0, potom sa polynóm stane rovnosťou typu ax 2 = 0.

Posledný prípad je skôr teoretickou možnosťou a nikdy sa nevyskytuje vo vedomostných testoch, keďže jediná skutočná hodnota x vo výraze je nula. V budúcnosti sa budú uvažovať o metódach a príkladoch riešenia neúplných kvadratických rovníc 1) a 2) typov.

Všeobecný algoritmus na hľadanie premenných a príkladov s riešením

Bez ohľadu na typ rovnice je algoritmus riešenia zredukovaný na nasledujúce kroky:

1. Uveďte výraz do formy vhodnej na nájdenie koreňov.
2. Robte výpočty.
3. Zapíšte si odpoveď.

Najjednoduchšie je vyriešiť neúplné rovnice rozdelením ľavej strany a ponechaním nuly na pravej strane. Vzorec pre neúplnú kvadratickú rovnicu na nájdenie koreňov sa teda redukuje na výpočet hodnoty x pre každý z faktorov.

Riešiť sa môžete naučiť iba v praxi, takže uvažujme o konkrétnom príklade hľadania koreňov neúplnej rovnice:

Ako vidíte, v tomto prípade b = 0. Rozdelíme ľavú stranu na faktor a dostaneme výraz:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Je zrejmé, že súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Podobné požiadavky spĺňajú hodnoty premennej x1 = 0,5 a (alebo) x2 = -0,5.

Aby sa ľahko a rýchlo vyrovnala s úlohou rozkladu štvorcový trojčlen multiplikátorov, mali by ste si zapamätať nasledujúci vzorec:

Ak vo výraze nie je voľný termín, úloha sa výrazne zjednoduší. Bude stačiť len nájsť a odstrániť spoločného menovateľa. Pre názornosť si zvážte príklad riešenia neúplných kvadratických rovníc v tvare ax2 + bx = 0.

Vyberme premennú x zo zátvoriek a získame nasledujúci výraz:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Na základe logiky sme dospeli k záveru, že x1 = 0 a x2 = -3.

Tradičný spôsob riešenia a neúplné kvadratické rovnice

Čo sa stane, ak použijeme diskriminačný vzorec a pokúsime sa nájsť korene polynómu s koeficientmi rovnými nule? Zoberme si príklad zo zbierky typických úloh na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky v roku 2017, vyriešime ju štandardnými vzorcami a metódou faktorizácie.

7x 2 - 3x = 0.

Vypočítajte hodnotu diskriminantu: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Ukazuje sa, že polynóm má dva korene:

Teraz vyriešte rovnicu faktoringom a porovnajte výsledky.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Ako vidíte, obe metódy dávajú rovnaký výsledok, ale druhý spôsob riešenia rovnice sa ukázal byť oveľa jednoduchší a rýchlejší.

Vietov teorém

Ale čo robiť s milovanou Vietovou vetou? Dá sa táto metóda použiť s neúplnou trojčlenkou? Skúsme pochopiť aspekty redukcie úplné rovnice na klasický tvar ax2 + bx + c = 0.

V skutočnosti je v tomto prípade možné aplikovať Vietovu vetu. Je len potrebné uviesť výraz do všeobecný pohľad, nahradenie chýbajúcich výrazov nulou.

Napríklad s b = 0 a a = 1, aby sa vylúčila možnosť zámeny, mala by byť úloha napísaná v tvare: ax2 + 0 + c = 0. Potom sa vypočíta pomer súčtu a súčinu koreňov a faktory polynómu možno vyjadriť takto:

Teoretické výpočty pomáhajú zoznámiť sa s podstatou problematiky a vždy vyžadujú rozvoj zručností pri riešení konkrétnych problémov. Vráťme sa opäť do referenčnej knihy typických úloh pre skúšku a nájdime vhodný príklad:

Výraz napíšeme vo forme vhodnej na aplikáciu Vietovej vety:

x2 + 0 - 16 = 0.

Ďalším krokom je vytvorenie systému podmienok:

Je zrejmé, že korene štvorcového polynómu budú x 1 \u003d 4 a x 2 \u003d -4.

Teraz si precvičme uvedenie rovnice do všeobecného tvaru. Vezmite si nasledujúci príklad: 1/4× x 2 – 1 = 0

Aby ste mohli použiť Vietovu vetu na výraz, musíte sa zbaviť zlomku. Vynásobme ľavú a pravú časť 4 a pozrime sa na výsledok: x2– 4 = 0. Výsledná rovnosť je pripravená na riešenie Vietovou vetou, ale oveľa jednoduchšie a rýchlejšie je získať odpoveď jednoduchým prenosom c = 4 až pravá strana rovnice: x2 = 4.

Keď to zhrnieme, treba to povedať najlepšia cesta riešenia neúplné rovnice je faktorizácia, je najjednoduchšia a najrýchlejšia metóda. Ak narazíte na ťažkosti v procese hľadania koreňov, môžete sa obrátiť tradičnou metódou hľadanie koreňov cez diskriminant.

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Rovnice používal človek už od staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Diskriminant vám umožňuje riešiť akékoľvek kvadratické rovnice pomocou všeobecný vzorec, ktorý má nasledujúci tvar:

Diskriminačný vzorec závisí od stupňa polynómu. Vyššie uvedený vzorec je vhodný na riešenie kvadratických rovníc nasledujúceho tvaru:

Diskriminant má nasledujúce vlastnosti, ktoré potrebujete vedieť:

* "D" je 0, ak má polynóm viacero koreňov (rovnaké korene);

* "D" je symetrický polynóm vzhľadom na korene polynómu a preto je vo svojich koeficientoch polynómom; navyše koeficienty tohto polynómu sú celé čísla bez ohľadu na rozšírenie, v ktorom sú korene.

Predpokladajme, že dostaneme kvadratickú rovnicu nasledujúceho tvaru:

1 rovnica

Podľa vzorca máme:

Keďže \, potom má rovnica 2 korene. Poďme si ich definovať:

Kde môžem vyriešiť rovnicu prostredníctvom diskriminačného online riešiteľa?

Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https: //. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnicu akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Jediné, čo musíte urobiť, je zadať svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť video návod a naučiť sa riešiť rovnicu na našej webovej stránke. A ak máte nejaké otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa do našej skupiny, vždy vám radi pomôžeme.

Kvadratická rovnica - ľahké riešenie! *Ďalej v texte „KU“. Priatelia, zdalo by sa, že v matematike to môže byť jednoduchšie ako riešenie takejto rovnice. Niečo mi však hovorilo, že veľa ľudí s ním má problémy. Rozhodol som sa zistiť, koľko zobrazení poskytuje Yandex na žiadosť za mesiac. Tu je to, čo sa stalo, pozrite sa:

Čo to znamená? To znamená, že mesačne hľadá asi 70 000 ľudí táto informácia, čo s tým má spoločné toto leto a čo sa medzi nimi stane školský rok- požiadavky budú dvakrát väčšie. Nie je to prekvapujúce, pretože tieto informácie hľadajú chlapci a dievčatá, ktorí už dávno ukončili školu a pripravujú sa na skúšku, a školáci sa tiež snažia osviežiť svoju pamäť.

Napriek tomu, že existuje veľa stránok, ktoré hovoria, ako vyriešiť túto rovnicu, rozhodol som sa tiež prispieť a materiál zverejniť. Po prvé, chcem, aby návštevníci prišli na moju stránku na základe tejto žiadosti; po druhé, v iných článkoch, keď príde reč „KU“, dám odkaz na tento článok; po tretie, poviem vám o jeho riešení trochu viac, ako sa zvyčajne uvádza na iných stránkach. Začnime! Obsah článku:

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

kde koeficienty a,ba s ľubovoľnými číslami, s a≠0.

V školskom kurze je materiál uvedený v tejto forme - rozdelenie rovníc do troch tried je podmienené:

1. Mať dva korene.

2. * Mať len jeden koreň.

3. Nemať korene. Tu stojí za zmienku, že nemajú skutočné korene

Ako sa vypočítavajú korene? Len!

Vypočítame diskriminant. Pod týmto „strašným“ slovom sa skrýva veľmi jednoduchý vzorec:

Koreňové vzorce sú nasledovné:

*Tieto vzorce musíte poznať naspamäť.

Môžete okamžite napísať a rozhodnúť sa:

Príklad:

1. Ak D > 0, potom má rovnica dva korene.

2. Ak D = 0, potom rovnica má jeden koreň.

3. Ak D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pozrime sa na rovnicu:

Autor: túto príležitosť, keď je diskriminant nula, školský kurz hovorí, že sa získa jeden odmocninec, tu sa rovná deviatke. Je to tak, ale...

Toto znázornenie je trochu nesprávne. V skutočnosti existujú dva korene. Áno, áno, nečudujte sa, ukáže sa, že dva rovnaké korene, a aby to bolo matematicky presné, mali by byť v odpovedi napísané dva korene:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale je to tak - malá odbočka. V škole si môžete zapísať a povedať, že koreň je len jeden.

Teraz nasledujúci príklad:

Ako vieme, koreň z záporné číslo nie je extrahovaný, takže v tomto prípade neexistuje žiadne riešenie.

To je celý rozhodovací proces.

Kvadratická funkcia.

Takto vyzerá riešenie geometricky. Toto je mimoriadne dôležité pochopiť (v budúcnosti v jednom z článkov podrobne rozoberieme riešenie kvadratickej nerovnosti).

Toto je funkcia formulára:

kde x a y sú premenné

a, b, c - dané čísla, kde a ≠ 0

Graf je parabola:

To znamená, že sa ukáže, že riešením kvadratickej rovnice s "y" rovným nule nájdeme priesečníky paraboly s osou x. Môžu existovať dva z týchto bodov (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) alebo žiadny (diskriminant je záporný). Viac o kvadratickej funkcii Môžete zobraziťčlánok Inny Feldmanovej.

Zvážte príklady:

Príklad 1: Rozhodnite sa 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpoveď: x 1 = 8 x 2 = -12

* Ľavú a pravú stranu rovnice by ste mohli okamžite vydeliť 2, teda zjednodušiť ju. Výpočty budú jednoduchšie.

Príklad 2: Rozhodnite sa x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dostali sme, že x 1 \u003d 11 a x 2 \u003d 11

V odpovedi je dovolené napísať x = 11.

Odpoveď: x = 11

Príklad 3: Rozhodnite sa x 2 – 8 x + 72 = 0

a = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je záporný, v reálnych číslach neexistuje riešenie.

Odpoveď: žiadne riešenie

Diskriminant je negatívny. Existuje riešenie!

Tu si povieme o riešení rovnice v prípade, že dostaneme záporný diskriminant. Vieš niečo o komplexných číslach? Nebudem sa tu rozpisovať o tom, prečo a kde vznikli a aká je ich špecifická úloha a nevyhnutnosť v matematike, to je téma na veľký samostatný článok.

Koncept komplexného čísla.

Trochu teórie.

Komplexné číslo z je číslo tvaru

z = a + bi

kde a a b sú reálne čísla, i je takzvaná imaginárna jednotka.

a+bi je JEDNO ČÍSLO, nie sčítanie.

Imaginárna jednotka sa rovná odmocnine mínus jedna:

Teraz zvážte rovnicu:

Získajte dva konjugované korene.

Neúplná kvadratická rovnica.

Zvážte špeciálne prípady, keď sa koeficient "b" alebo "c" rovná nule (alebo sa oba rovnajú nule). Riešia sa jednoducho bez akýchkoľvek diskriminácií.

Prípad 1. Koeficient b = 0.

Rovnica má tvar:

Poďme sa transformovať:

Príklad:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Prípad 2. Koeficient c = 0.

Rovnica má tvar:

Transformovať, faktorizovať:

*Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

Príklad:

9x 2 – 45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 alebo x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Prípad 3. Koeficienty b = 0 a c = 0.

Tu je jasné, že riešenie rovnice bude vždy x = 0.

Užitočné vlastnosti a vzorce koeficientov.

Existujú vlastnosti, ktoré umožňujú riešiť rovnice s veľkými koeficientmi.

aX 2 + bx+ c=0 rovnosť

a + b+ c = 0, potom

— ak pre koeficienty rovnice aX 2 + bx+ c=0 rovnosť

a+ s =b, potom

Tieto vlastnosti pomáhajú riešiť určitý druh rovnice.

Príklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Súčet koeficientov je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, takže

Príklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Rovnosť a+ s =b, znamená

Zákonitosti koeficientov.

1. Ak v rovnici ax 2 + bx + c \u003d 0 je koeficient „b“ (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom jeho korene sú

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ak v rovnici ax 2 - bx + c \u003d 0 je koeficient "b" (a 2 +1) a koeficient "c" sa číselne rovná koeficientu "a", potom jeho korene sú

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 15x 2 – 226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ak v rovnici ax 2 + bx - c = 0 koeficient "b" rovná sa (2 – 1) a koeficient „c“ číselne sa rovná koeficientu "a", potom sú jeho korene rovnaké

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ak sa v rovnici ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficient "b" rovná (a 2 - 1) a koeficient c sa číselne rovná koeficientu "a", potom sú jeho korene

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Príklad. Zvážte rovnicu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietov teorém.

Vietova veta je pomenovaná po slávnom francúzskom matematikovi Francoisovi Vietovi. Pomocou Vietovej vety je možné vyjadriť súčet a súčin koreňov ľubovoľnej KU pomocou jej koeficientov.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Suma sumárum, číslo 14 dáva len 5 a 9. Toto sú korene. S určitou zručnosťou, pomocou prezentovanej vety, môžete vyriešiť veľa kvadratických rovníc okamžite ústne.

Navyše Vietova veta. pohodlné, pretože po vyriešení kvadratickej rovnice zvyčajným spôsobom (cez diskriminant) možno výsledné korene skontrolovať. Odporúčam to robiť stále.

SPÔSOB PRENOSU

Pri tejto metóde sa koeficient „a“ vynásobí voľným členom, akoby sa naň „preniesol“, preto sa nazýva tzv. spôsob prenosu. Táto metóda sa používa, keď je ľahké nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Ak a± b+c≠ 0, potom sa použije technika prenosu, napríklad:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Podľa Vietovej vety v rovnici (2) je ľahké určiť, že x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Získané korene rovnice je potrebné vydeliť 2 (keďže boli „vyhodené“ z x 2), dostaneme

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Aké je zdôvodnenie? Pozrite sa, čo sa deje.

Diskriminanty rovníc (1) a (2) sú:

Ak sa pozriete na korene rovníc, získajú sa iba rôzne menovatele a výsledok závisí presne od koeficientu pri x 2:

Druhé (upravené) korene sú 2-krát väčšie.

Preto výsledok vydelíme 2.

*Ak hodíme trojicu, tak výsledok vydelíme 3 atď.

Odpoveď: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq ur-ie a skúšku.

O jeho dôležitosti poviem stručne – MALI BY STE SA SCHOPNI ROZHODNÚŤ rýchlo a bez rozmýšľania, treba poznať vzorce koreňov a rozlišovača naspamäť. Mnoho úloh, ktoré sú súčasťou úloh USE, sa týka riešenia kvadratickej rovnice (vrátane geometrických).

Čo stojí za povšimnutie!

1. Tvar rovnice môže byť „implicitný“. Napríklad je možný nasledujúci záznam:

15+ 9x 2 - 45x = 0 alebo 15x+42+9x 2 - 45x=0 alebo 15 -5x+10x 2 = 0.

Musíte to priniesť do štandardného formulára (aby ste sa pri riešení nezmiatli).

2. Pamätajte, že x je neznáma hodnota a možno ju označiť ľubovoľným iným písmenom - t, q, p, h a inými.