Vezmime si dve písmená X a r. Produkt kde a- číslo sa nazýva jednočlen. Jeho stupeň je k+l. Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Na rozdiel od polynómov s jednou premennou, pre polynómy s Vysoké číslo premenné nemajú bežne akceptovaný štandardný zápis.
Rovnako ako polynómy v jednej premennej, polynómy v dvoch premenných môžu byť faktorizované. Dôležitým rozšírením je rozšírenie rozdielu n- stupne, ktoré poznáte n=2 a 3 :


Tieto vzorce sa dajú ľahko zovšeobecniť na ľubovoľné n:

Sum n- stupňa sa ľahko rozkladá v prípade, keď n zvláštny. Termín môže byť reprezentovaný ako a použite vzorec na rozšírenie rozdielu n- stupeň.

Symetrické polynómy
Medzi polynómami v dvoch premenných hrajú dôležitú úlohu symetrické polynómy, t.j. polynómy, ktoré sa pri preskupovaní písmen nemenia. X a r.

Symetrický polynóm- polynóm v n premenných, ktorý sa nemení so všetkými permutáciami premenných v ňom zahrnutých.

Príklady

• Základné symetrické polynómy - polynómy tvaru

definované pre , teda:

Pojem polynóm

Definícia 1

Monomiálny sú čísla, premenné, ich stupne a súčin.

Definícia 2

Polynóm je súčet monomilov.

Príklad: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Definícia 4

Štandardná forma monomiálu-- zápis jednočlena v tvare súčinu čísla a prirodzených mocnín premenných zahrnutých v jednočlene.

Definícia 5

Polynóm štandardnej formy je polynóm pozostávajúci z monočlenov štandardného tvaru, ktorý nemá žiadne podobné členy.

Definícia 6

Stupeň monomiálu-- súčet všetkých mocnín premenných zahrnutých v jednočlene.

Definícia 7

Stupeň polynómu štandardnej formy je najväčším stupňom mohutností jej monomilov.

Pre pojem polynóm viacerých premenných možno rozlíšiť špeciálne prípady: binom a trinom.

Definícia 8

Binomický je polynóm s dvoma členmi.

Príklad: $(6b)^6+(13ac)^5$.

Definícia 9

Trinomial je trojčlenný polynóm.

Príklad: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Na polynómoch je možné vykonávať nasledujúce operácie: polynómy je možné k sebe pridávať a odčítavať, násobiť medzi sebou a polynóm možno násobiť jednočlenom.

Súčet polynómov

Polynómy sa môžu navzájom sčítať. Zvážte nasledujúci príklad.

Príklad 1

Pridajte polynómy $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ a $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Prvým krokom je napísať tieto polynómy ako súčet:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Rozšírime zátvorky:

\[(3xy)^5+\ (6r)^6+(13x)^5+(6r)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12r)^6+(16x)^5\]

Vidíme, že výsledkom súčtu týchto dvoch polynómov je tiež polynóm.

Rozdiel polynómov

Príklad 2

Odčítajte polynóm $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$ od mnohočlenu $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$.

Prvým krokom je napísať tieto polynómy ako rozdiel:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Rozšírime zátvorky:

Pripomeňme, že ak je pred zátvorkami znamienko mínus, pri otvorení zátvoriek sa znamienka v zátvorkách zmenia na opačné.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

Prinášame podobné výrazy, výsledkom čoho je:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Vidíme, že výsledkom rozdielu týchto dvoch polynómov je tiež polynóm.

Súčin monomiálu a polynómu

Násobením jednočlenu s mnohočlenom vždy vznikne mnohočlen.

Schéma na násobenie monočlenu polynómom.

• je urobené dielo.
• zátvorky sú otvorené. Aby sa otvorili zátvorky, pri násobení je potrebné vynásobiť každý monomér každým členom polynómu a sčítať ich.
• zoskupené čísla s číslami, rovnaké premenné medzi sebou.
• čísla sa vynásobia a sčítajú sa mocniny zodpovedajúcich identických premenných.

Príklad 3

Vynásobte jednočlen $(-m^2n)$ polynómom $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Riešenie.

Vytvorme dielo:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Rozšírime zátvorky:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Vynásobením dostaneme.

Polynómy v jednej a viacerých premenných sú podrobne študované v rámci vyššej algebry. V tejto kapitole sa budeme zaoberať len niektorými otázkami teórie polynómov s číselnými koeficientmi vo viacerých premenných, ktoré nie sú preberané v predmete vyššej algebry, ale ktoré by mal poznať každý učiteľ matematiky.

Nech je ľubovoľné číselné pole, niekoľko nezávislých premenných, ktoré preberajú ľubovoľné hodnoty z poľa

Akýkoľvek produkt formulára

kde A je nejaké číslo z telesa niektorých nezáporných celých čísel, sa nazýva jednočlen v premenných nad poľom. Číselný faktor A sa nazýva koeficient monočlenu.

Ak sa koeficient A monomiálu rovná nule, potom sa monomial pre akékoľvek číselné hodnoty premenných rovná nule, to znamená, že sa rovná nule; nazýva sa nulový mononom a označuje sa symbolom 0. Ak je koeficient A odlišný od nuly, potom sa monomizmus nazýva odlišný od nulového mononomu alebo stručne odlišný od nuly.

Exponent, s ktorým premenná vstupuje do nenulového jednočlenu, sa nazýva stupeň monočlenu vzhľadom na premennú Súčet všetkých exponentov, s ktorými premenné vstupujú do tohto monočlenu, sa nazýva stupeň monočlenu vzhľadom na množinu premenných.

Takže napríklad existuje monomiál štvrtého stupňa vzhľadom na a desiateho stupňa vzhľadom na množinu premenných

Zero-monomial nie je priradený žiadny stupeň.

Dva nenulové monomály v premenných

sa nazývajú podobné, ak každá z premenných vstupuje do oboch jednočlenov rovnakou mierou, ak Inými slovami, nenulové jednočleny v tých istých premenných sa nazývajú podobné, ak sa navzájom líšia iba svojimi koeficientmi.

Takže napríklad monomiály sú podobné.

niekoľko podobných monočlenov v premenných nad číselným poľom možno nahradiť identickým monočlenom

do ktorej každá z premenných vstupuje v rovnakom rozsahu ako v pojmoch a ktorej koeficient sa rovná súčtu koeficientov pojmov.

Pretože koeficienty patria do číselného poľa a operácie sčítania a násobenia nulových čísel sú spojené distributívnym zákonom,

pre ľubovoľné hodnoty premenných patriacich do poľa Napríklad:

Keďže operácia násobenia v číselnom poli je komutatívna a asociatívna, súčin

niekoľko jednočlenov v premenných nad číselným poľom je totožné s jednočlenom

ktorého koeficient sa rovná produktu koeficienty jednočlenných faktorov a každá z premenných je zahrnutá v jednočlennom súčine v stupni, rovná súčtu exponenty tejto premennej vo všetkých monomiáliách-faktoroch. V dôsledku toho môže byť súčin niekoľkých monomílov tvaru (1) vždy nahradený identickým monočlenom tvaru (2).

Napríklad,

Výraz, ktorý sa získa z premenných pomocou operácií sčítania a násobenia, sa nazýva polynóm v premenných nad poľom.

Napríklad,

je polynóm v premenných nad oborom reálnych čísel.

Niekedy možno rovnaký polynóm považovať za rôzne číselné polia. Ak sú teda koeficienty polynómu racionálne čísla a premenné nadobúdajú iba racionálne hodnoty, potom sa tento polynóm považuje za daný v poli racionálnych čísel. Ale keďže racionálne čísla sú obsiahnuté v oblasti reálnych čísel, ako aj v oblasti komplexných čísel, tento polynóm možno považovať za oblasť reálnych alebo komplexných čísel za predpokladu, že nezávislé premenné nadobúdajú akékoľvek reálne alebo komplexné hodnoty. Takže napríklad polynóm môže byť uvažovaný nad poľom racionálnych, reálnych alebo komplexných čísel. Keďže v dôsledku vynásobenia a sčítania čísel poľa dostaneme čísla toho istého poľa, hodnoty polynómu pre akékoľvek číselné hodnoty nezávislých premenných patria do rovnakého číselného poľa, nad ktorým je polynóm je považovaný.

V súlade s definíciou identity dvoch analytických výrazov sa dva polynómy v rovnakých premenných nazývajú identické (alebo identicky rovnaké), ak sú pre akékoľvek číselné hodnoty týchto premenných hodnoty polynómov rovnaké.

Nahradenie polynómu jeho identickým polynómom sa nazýva identická transformácia daného mnohočlenu. Čísla zahrnuté v polynómoch premenných uvedených nad číselným poľom a hodnoty premenných, ktoré berú, patria do číselného poľa. identické premeny polynómy dané číselným poľom sa vykonávajú na základe zákonov operácií s číslami poľa a pravidiel vyplývajúcich z týchto zákonov, t.j. na základe komutatívnych a asociačných zákonov.

sčítanie a násobenie a distributívny zákon násobenia relatívneho sčítania, ako aj pravidlá pre operácie s číslami vyplývajúce z týchto zákonov.

Podľa definície je akýkoľvek polynóm v premenných nad číselným poľom vytvorený z čísel poľa a nezávislých premenných pomocou operácií sčítania a násobenia. Rozšírením zátvoriek v polynóme, ak existuje, a vykonaním násobenia monomických prvkov, dostaneme súčet tvaru identického s daným mnohočlenom

kde niektoré čísla sú z poľa a niektoré sú nezáporné celé čísla.

Preto akýkoľvek polynóm v premenných v číselnom poli možno zapísať ako súčet monomov v poli P:

Preto sa niekedy uvádza nasledujúca definícia polynómu:

Polynóm v premenných nad číselným poľom je funkcia, ktorá môže byť reprezentovaná ako súčet niekoľkých monomov v premenných nad poľom P:

Ak sú medzi monočlenmi zahrnutými v polynóme (1) podobné, potom ich zoskupíme, v prípade potreby preusporiadame členy a nahradíme každú skupinu podobných monočlenov ich identickým monomom, t. j. dáme podobné členy.

Po znížení podobných členov sa koeficienty niektorých monomiálnych členov môžu rovnať nule, t.j. niektoré členy môžu byť

nulové monomiály. Takéto výrazy vylúčime. Výsledkom toho všetkého bude, že polynóm bude zapísaný ako súčet monomov nepodobných v pároch, zhodne rovných danému polynómu. Ak po redukcii podobných členov sú všetky členy polynómu nulové mononómy, potom sa polynóm bude identicky rovnať nule. Takýto polynóm sa nazýva nulový polynóm a označuje sa symbolom 0.

Zápis polynómu ako súčtu monočlenov, ktoré nie sú podobné v pároch, alebo ako nulový polynóm sa nazýva kanonická forma alebo kanonická reprezentácia polynómu. Napríklad zápis je kánonická forma polynómu

Z uvedeného vyplýva, že ľubovoľný polynóm vo viacerých premenných možno zapísať v kanonickom tvare. Akýkoľvek monočlen v premenných je špeciálnym prípadom polynómu, konkrétne polynómu, ktorého kanonická forma má iba jeden člen.

z viacerých premenných. Najprv si pripomeňme pojem polynóm a definície súvisiace s týmto pojmom.

Definícia 1

Polynóm je súčet monomilov.

Definícia 2

Polynomické členy sú všetky monočleny zahrnuté v polynóme.

Definícia 3

Polynóm štandardného tvaru je polynóm pozostávajúci z monomov štandardného tvaru, ktorý nemá žiadne podobné členy.

Definícia 4

Stupeň polynómu štandardnej formy je najväčším stupňom mohutností jej monomilov.

Teraz zavedieme priamo definíciu polynómu v dvoch premenných.

Definícia 5

Polynóm, ktorého členy majú iba dve odlišné premenné, sa nazýva polynóm v dvoch premenných.

Príklad: $(6y)^6+(13xy)^5$.

S dvojčlenmi je možné vykonávať nasledujúce operácie: dvojčleny možno k sebe pridávať a odčítavať, násobiť medzi sebou a tiež násobiť dvojčlenom a zvyšovať na ľubovoľnú mocninu.

Súčet polynómov v dvoch premenných

Zvážte súčet binomických jednotiek pomocou príkladu

Príklad 1

Pridajte dvojčleny $(xy)^5+(3x)^5$ a $(3x)^5-(xy)^5$

Riešenie.

Prvým krokom je napísať tieto polynómy ako súčet:

\[\left((xy)^5+(3x)^5\right)+((3x)^5-(xy)^5)\]

Rozšírime zátvorky:

\[(xy)^5+(3x)^5+(3x)^5-(xy)^5\]

\[(6x)^5\]

odpoveď:$(6x)^5$.

Rozdiel polynómov v dvoch premenných

Príklad 2

Odpočítajte dvojčlen $(3x)^5-(xy)^5$ od dvojčlenu $(xy)^5+(3x)^5$

Riešenie.

Prvým krokom je napísať tieto polynómy ako rozdiel:

\[\left((xy)^5+(3x)^5\right)-((3x)^5-(xy)^5)\]

Rozšírime zátvorky:

Pripomeňme, že ak je pred zátvorkami znamienko mínus, pri otvorení zátvoriek sa znamienka v zátvorkách zmenia na opačné.

\[(xy)^5+(3x)^5-(3x)^5+(xy)^5\]

Prinášame podobné výrazy, výsledkom čoho je:

\[(2xy)^5\]

odpoveď:$(2xy)^5$.

Súčin monočlenu a polynómu v dvoch premenných

Násobením jednočlenu s mnohočlenom vždy vznikne mnohočlen.

Schéma na násobenie monočlenu polynómom

• je urobené dielo.
• zátvorky sú otvorené. Aby sa pri násobení otvorili zátvorky, je potrebné vynásobiť každý monomér každým členom polynómu a sčítať ich.
• zoskupené čísla s číslami, rovnaké premenné medzi sebou.
• čísla sa vynásobia a sčítajú sa mocniny zodpovedajúcich identických premenných.

Príklad 3

Vynásobte jednočlen $x^2y$ polynómom $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Riešenie.

Vytvorme dielo:

Rozšírime zátvorky:

Vynásobením dostaneme:

odpoveď:$x^4y^3+x^4y\ +(x^2y)^3$.

Súčin dvoch polynómov v dvoch premenných

Pravidlo násobenia polynómu polynómom: Na vynásobenie polynómu polynómom je potrebné vynásobiť každý člen prvého mnohočlenu každým členom druhého mnohočlenu, výsledné súčiny sčítať a výsledný mnohočlen priviesť na štandardná forma.

Pojem polynóm

Definícia 1

Monomiálny sú čísla, premenné, ich stupne a súčin.

Definícia 2

Polynóm je súčet monomilov.

Príklad: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Definícia 4

Štandardná forma monomiálu-- zápis jednočlena v tvare súčinu čísla a prirodzených mocnín premenných zahrnutých v jednočlene.

Definícia 5

Polynóm štandardnej formy je polynóm pozostávajúci z monočlenov štandardného tvaru, ktorý nemá žiadne podobné členy.

Definícia 6

Stupeň monomiálu-- súčet všetkých mocnín premenných zahrnutých v jednočlene.

Definícia 7

Stupeň polynómu štandardnej formy je najväčším stupňom mohutností jej monomilov.

Pre pojem polynóm viacerých premenných možno rozlíšiť špeciálne prípady: binom a trinom.

Definícia 8

Binomický je polynóm s dvoma členmi.

Príklad: $(6b)^6+(13ac)^5$.

Definícia 9

Trinomial je trojčlenný polynóm.

Príklad: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Na polynómoch je možné vykonávať nasledujúce operácie: polynómy je možné k sebe pridávať a odčítavať, násobiť medzi sebou a polynóm možno násobiť jednočlenom.

Súčet polynómov

Polynómy sa môžu navzájom sčítať. Zvážte nasledujúci príklad.

Príklad 1

Pridajte polynómy $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ a $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Prvým krokom je napísať tieto polynómy ako súčet:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Rozšírime zátvorky:

\[(3xy)^5+\ (6r)^6+(13x)^5+(6r)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12r)^6+(16x)^5\]

Vidíme, že výsledkom súčtu týchto dvoch polynómov je tiež polynóm.

Rozdiel polynómov

Príklad 2

Odčítajte polynóm $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$ od mnohočlenu $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$.

Prvým krokom je napísať tieto polynómy ako rozdiel:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Rozšírime zátvorky:

Pripomeňme, že ak je pred zátvorkami znamienko mínus, pri otvorení zátvoriek sa znamienka v zátvorkách zmenia na opačné.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

Prinášame podobné výrazy, výsledkom čoho je:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Vidíme, že výsledkom rozdielu týchto dvoch polynómov je tiež polynóm.

Súčin monomiálu a polynómu

Násobením jednočlenu s mnohočlenom vždy vznikne mnohočlen.

Schéma na násobenie monočlenu polynómom.

• je urobené dielo.
• zátvorky sú otvorené. Aby sa otvorili zátvorky, pri násobení je potrebné vynásobiť každý monomér každým členom polynómu a sčítať ich.
• zoskupené čísla s číslami, rovnaké premenné medzi sebou.
• čísla sa vynásobia a sčítajú sa mocniny zodpovedajúcich identických premenných.

Príklad 3

Vynásobte jednočlen $(-m^2n)$ polynómom $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Riešenie.

Vytvorme dielo:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Rozšírime zátvorky:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Vynásobením dostaneme.