Priesečníky na osi x musia vyriešiť rovnicu y₁=y₂, teda k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Transformujte túto nerovnosť, aby ste dostali k₁x-k₂x=b₂-b₁. Teraz vyjadrite x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). Takto nájdete priesečník grafov, ktorý sa nachádza pozdĺž osi OX. Nájdite priesečník na osi y. Stačí nahradiť v ktorejkoľvek funkcii hodnotu x, ktorú ste našli skôr.

Predchádzajúca možnosť je vhodná pre grafy. Ak je funkcia , použite nasledujúce pokyny. Rovnakým spôsobom ako pri lineárnej funkcii nájdite hodnotu x. Ak to chcete urobiť, rozhodnite sa kvadratická rovnica. Nájdite v rovnici 2x² + 2x - 4=0 (rovnica je uvedená ako príklad). Na tento účel použite vzorec: D= b² - 4ac, kde b je hodnota pred X a c je číselná hodnota.

Dosadením číselných hodnôt získate výraz ako D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Rovnice závisia od hodnoty diskriminantu. Teraz pripočítajte alebo odčítajte (postupne) koreň z výsledného diskriminantu k hodnote premennej b so znamienkom „-“ a vydeľte dvojnásobkom súčinu koeficientu a. Takže nájdete korene rovnice, teda súradnice priesečníkov.

Funkčné grafy majú vlastnosť: os OX sa pretína dvakrát, to znamená, že nájdete dve súradnice osi x. Ak dostanete periodickú hodnotu X verzus Y, potom vedzte, že graf sa pretína v nekonečnom počte bodov s osou x. Skontrolujte, či ste našli priesečníky. Za týmto účelom nahraďte hodnoty X do rovnice f(x)=0.

Zdroje:

• Hľadanie priesečníkov čiar

Ak poznáte hodnotu a, môžete povedať, že ste vyriešili kvadratickú rovnicu, pretože jej korene sa dajú nájsť veľmi ľahko.

Budete potrebovať

• -vzorec diskriminantu kvadratickej rovnice;
• -Znalosť násobilky

Inštrukcia

Podobné videá

Užitočné rady

Diskriminant kvadratickej rovnice môže byť kladný, záporný alebo rovný 0.

Zdroje:

• Riešenie kvadratických rovníc
• diskriminačný je párny

Tip 3: Ako nájsť súradnice priesečníkov funkčného grafu

Graf funkcie y \u003d f (x) je množina všetkých bodov v rovine, súradnice x, pre ktoré spĺňajú vzťah y \u003d f (x). Funkčný graf vizuálne znázorňuje správanie a vlastnosti funkcie. Na zostavenie grafu sa zvyčajne vyberie niekoľko hodnôt argumentu x a vypočítajú sa pre ne zodpovedajúce hodnoty funkcie y=f(x). Pre presnejšiu a vizuálnejšiu konštrukciu grafu je užitočné nájsť jeho priesečníky so súradnicovými osami.

Inštrukcia

Pri krížení osi x (osi X) je hodnota funkcie 0, t.j. y=f(x)=0. Na výpočet x je potrebné vyriešiť rovnicu f(x)=0. V prípade funkcie dostaneme rovnicu ax+b=0 a nájdeme x=-b/a.

Os X sa teda pretína v bode (-b/a,0).

V zložitejších prípadoch, napríklad v prípade kvadratickej závislosti y na x, má rovnica f (x) \u003d 0 dva korene, preto sa os x pretína dvakrát. V prípade závislosti y od x, napríklad y=sin(x), má nekonečný počet priesečníkov s osou x.

Na kontrolu správnosti nájdenia súradníc priesečníkov grafu funkcie s osou X je potrebné nahradiť nájdené hodnoty x f (x). Hodnota výrazu pre ktorékoľvek z vypočítaných x sa musí rovnať 0.

Inštrukcia

Najprv je potrebné prediskutovať výber vhodného súradnicového systému na riešenie problému. V problémoch tohto druhu je zvyčajne jeden z trojuholníkov umiestnený na osi 0X tak, že jeden bod sa zhoduje s počiatkom. Preto by ste sa nemali odchýliť od všeobecne uznávaných kánonov rozhodnutia a urobiť to isté (pozri obr. 1). Samotný spôsob určenia trojuholníka nehrá zásadnú úlohu, pretože vždy môžete prejsť z jedného z nich na (čo uvidíte neskôr).

Nech je požadovaný trojuholník daný dvoma vektormi jeho strán AC a AB a(x1, y1) a b(x2, y2). Navyše podľa konštrukcie y1=0. Tretia strana BC zodpovedá c=a-b, c(x1-x2,y1-y2) podľa tohto znázornenia. Bod A je umiestnený na začiatku súradníc, teda jeho súradnice A(0, 0). Je to tiež ľahké vidieť súradnice B (x2, y2), a C (xl, 0). Z toho môžeme usúdiť, že definícia trojuholníka dvomi vektormi sa automaticky zhodovala s jeho definíciou tromi bodmi.

Ďalej by ste mali doplniť požadovaný trojuholník k rovnobežníku ABDC, ktorý mu zodpovedá veľkosťou. Navyše, že v bode križovatky uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené tak, že AQ je stred trojuholníka ABC, klesá z A na stranu BC. Diagonálny vektor s obsahuje tento vektor a je podľa pravidla rovnobežníka geometrickým súčtom a a b. Potom s = a + b a jeho súradnice s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Rovnaký súradnice bude tiež v bode D(x1+x2, y2).

Teraz môžete pristúpiť k zostaveniu rovnice priamky obsahujúcej s, medián AQ a čo je najdôležitejšie, požadovaný bod križovatky medián H. Keďže vodidlom pre túto priamku je samotný vektor s a známy je aj bod A (0, 0) k nemu patriaci, najjednoduchšie je použiť rovnicu rovinnej priamky v kanonickom tvare: (x -x0) / m = (y-y0)/n. Tu (x0, y0) súradniceľubovoľný bod priamky (bod А(0, 0)) a (m, n) – súradnice s (vektor (x1+x2, y2). Takže požadovaný riadok l1 bude vyzerať takto: x/(x1+x2)=y/y2.

Samotný spôsob, ako ho nájsť, je na križovatke. Preto by sa mala nájsť ešte jedna priamka obsahujúca tzv. 1 konštrukcia ďalšieho rovnobežníka АPBC, ktorého uhlopriečka g=a+c =g(2x1-x2, -y2) obsahuje druhý medián CW, znížený z C na stranu AB. Táto uhlopriečka obsahuje bod C(x1, 0), súradnice ktorý bude hrať úlohu (x0, y0) a smerový vektor tu bude g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Odtiaľto je l2 dané rovnicou: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

Pri riešení niektorých geometrických úloh súradnicovou metódou je potrebné nájsť súradnice priesečníka priamok. Najčastejšie je potrebné hľadať súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine, ale niekedy je potrebné určiť súradnice priesečníka dvoch priamok v priestore. V tomto článku sa budeme zaoberať práve hľadaním súradníc bodu, v ktorom sa pretínajú dve priamky.

Navigácia na stránke.

Priesečník dvoch priamok je definícia.

Najprv definujme priesečník dvoch priamok.

Aby sme teda našli súradnice priesečníka dvoch priamok definovaných v rovine všeobecnými rovnicami, je potrebné vyriešiť sústavu zloženú z rovníc daných priamok.

Uvažujme o príklade riešenia.

Príklad.

Nájdite priesečník dvoch priamok definovaných v pravouhlý systém súradnice na rovine rovnicami x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0 .

Riešenie.

Dostali sme dve všeobecné rovnice priamok, zostavíme z nich systém: . Riešenia výsledného systému rovníc sa dajú ľahko nájsť, ak je jeho prvá rovnica vyriešená vzhľadom na premennú x a tento výraz sa dosadí do druhej rovnice:

Nájdené riešenie sústavy rovníc nám dáva požadované súradnice priesečníka dvoch priamok.

odpoveď:

M°(4,2) x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

Takže hľadanie súradníc priesečníka dvoch priamok, definovaných všeobecnými rovnicami v rovine, je redukované na riešenie systému dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi premennými. Ale čo ak sú priamky na rovine dané nie všeobecnými rovnicami, ale rovnicami iného typu (pozri typy rovnice priamky na rovine)? V týchto prípadoch môžete najskôr uviesť rovnice čiar do všeobecného tvaru a až potom nájsť súradnice priesečníka.

Príklad.

a .

Riešenie.

Pred nájdením súradníc priesečníka daných priamok zredukujeme ich rovnice na všeobecný pohľad. Prechod z parametrických rovníc na priamku všeobecná rovnica tejto priamky je nasledovná:

Teraz vykonáme potrebné akcie s kanonickou rovnicou čiary:

Požadované súradnice priesečníka priamok sú teda riešením sústavy rovníc formulára . Na jeho vyriešenie používame:

odpoveď:

M 0 (-5, 1)

Existuje ďalší spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine. Je vhodné ho použiť, keď je jedna z čiar daná parametrickými rovnicami formulára , a druhá - rovnica priamky iného tvaru. V tomto prípade v inej rovnici namiesto premenných x a y môžete nahradiť výrazy a , z ktorej bude možné získať hodnotu, ktorá zodpovedá priesečníku daných čiar. V tomto prípade má priesečník čiar súradnice .

Nájdime takto súradnice priesečníka priamok z predchádzajúceho príkladu.

Príklad.

Určte súradnice priesečníka čiar a .

Riešenie.

Dosaďte v rovnici priameho výrazu:

Vyriešením výslednej rovnice dostaneme . Táto hodnota zodpovedá spoločnému bodu čiar a . Súradnice priesečníka vypočítame dosadením priamky do parametrických rovníc:
.

odpoveď:

M° (-5, 1).

Na dokončenie obrazu je potrebné prediskutovať ešte jeden bod.

Pred zistením súradníc priesečníka dvoch priamok v rovine je vhodné sa presvedčiť, či sa dané priamky skutočne pretínajú. Ak sa ukáže, že pôvodné čiary sa zhodujú alebo sú rovnobežné, potom nemôže byť reč o nájdení súradníc priesečníka takýchto čiar.

Môžete sa samozrejme zaobísť bez takejto kontroly a okamžite zostaviť systém rovníc formulára a vyriešiť to. Ak má sústava rovníc jednoznačné riešenie, potom udáva súradnice bodu, v ktorom sa pôvodné priamky pretínajú. Ak sústava rovníc nemá riešenia, potom môžeme usúdiť, že pôvodné priamky sú rovnobežné (keďže neexistuje taká dvojica reálnych čísel x a y, ktorá by súčasne vyhovovala obom rovniciam daných priamok). Z prítomnosti nekonečnej množiny riešení sústavy rovníc vyplýva, že pôvodné čiary majú nekonečne veľa spoločné body, teda zhodujú sa.

Pozrime sa na príklady, ktoré zodpovedajú týmto situáciám.

Príklad.

Zistite, či sa čiary a pretínajú, a či sa pretínajú, potom nájdite súradnice priesečníka.

Riešenie.

Uvedené rovnice priamok zodpovedajú rovniciam a . Poďme riešiť sústavu zloženú z týchto rovníc .

Je zrejmé, že rovnice systému sú lineárne vyjadrené cez seba (druhá rovnica systému sa získa z prvej vynásobením oboch jej častí číslom 4), preto má systém rovníc nekonečný počet riešení. Teda rovnice a definujú rovnakú čiaru a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto čiar.

odpoveď:

Rovnice a určujú rovnakú priamku v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy, takže nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka.

Príklad.

Nájdite súradnice priesečníka čiar a , Ak je to možné.

Riešenie.

Stav problému pripúšťa, že čiary sa nemusia pretínať. Zostavme si sústavu týchto rovníc. Použiteľné pre jeho riešenie, pretože vám umožňuje stanoviť kompatibilitu alebo nekonzistentnosť systému rovníc a ak je kompatibilný, nájsť riešenie:

Posledná rovnica sústavy sa po priamom priebehu Gaussovej metódy zmenila na nesprávnu rovnosť, preto sústava rovníc nemá riešenia. Z toho môžeme usúdiť, že pôvodné čiary sú rovnobežné a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto čiar.

Druhé riešenie.

Poďme zistiť, či sa dané čiary pretínajú.

- vektor normálnej čiary a vektor je normálny vektor priamky . Skontrolujeme vykonanie a : rovnosť je pravda, keďže , teda normálové vektory daných čiar sú kolineárne. Potom sú tieto čiary rovnobežné alebo sa zhodujú. Nemôžeme teda nájsť súradnice priesečníka pôvodných čiar.

odpoveď:

Nie je možné nájsť súradnice priesečníka daných čiar, pretože tieto čiary sú rovnobežné.

Príklad.

Nájdite súradnice priesečníka priamok 2x-1=0 a ak sa pretínajú.

Riešenie.

Zostavíme sústavu rovníc, ktoré sú všeobecnými rovnicami daných čiar: . Determinant hlavnej matice tohto systému rovníc je odlišný od nuly , tak sústava rovníc má jedinečné riešenie, ktoré udáva priesečník daných priamok.

Aby sme našli súradnice priesečníka čiar, musíme vyriešiť systém:

Výsledné riešenie nám dáva súradnice priesečníka čiar, tj. 2x-1=0 a .

odpoveď:

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore.

Súradnice priesečníka dvoch priamok v trojrozmernom priestore sa nachádzajú podobne.

Uvažujme o riešeniach príkladov.

Príklad.

Nájdite súradnice priesečníka dvoch priamok daných v priestore rovnicami a .

Riešenie.

Z rovníc daných čiar poskladáme sústavu rovníc: . Riešenie tohto systému nám poskytne požadované súradnice priesečníka priamok v priestore. Nájdime riešenie napísanej sústavy rovníc.

Hlavná matica systému má tvar a rozšírené .

Poďme definovať A a poradie matice T . Používame

Rozhodnúť geometrický problém metódou súradníc je potrebný priesečník, ktorého súradnice sú použité pri riešení. Nastáva situácia, keď je potrebné hľadať súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine alebo určiť súradnice tých istých priamok v priestore. tento článok uvažuje o prípadoch hľadania súradníc bodov, kde sa dané čiary pretínajú.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Je potrebné definovať priesečníky dvoch priamok.

Časť o vzájomnej polohe čiar v rovine ukazuje, že sa môžu zhodovať, byť rovnobežné, pretínať sa v jednom spoločnom bode alebo sa môžu pretínať. Dve čiary v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.

Definícia priesečníka čiar znie takto:

Definícia 1

Bod, kde sa pretínajú dve priamky, sa nazýva ich priesečník. Inými slovami, bod pretínajúcich sa čiar je priesečník.

Zvážte obrázok nižšie.

Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch čiar je potrebné zvážiť nižšie uvedený príklad.

Ak je v rovine súradnicový systém O x y, potom sú dané dve priamky a a b. Priamka a zodpovedá všeobecnej rovnici tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, pre priamku b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom M 0 (x 0 , y 0) je nejaký bod roviny, je potrebné určiť, či bod M 0 bude priesečníkom týchto priamok.

Na vyriešenie problému je potrebné dodržať definíciu. Potom sa priamky musia pretínať v bode, ktorého súradnice sú riešením daných rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . To znamená, že súradnice priesečníka sú dosadené do všetkých daných rovníc. Ak pri dosadzovaní dávajú správnu identitu, potom sa za ich priesečník považuje M 0 (x 0 , y 0).

Príklad 1

Dané dve pretínajúce sa čiary 5 x - 2 y - 16 = 0 a 2 x - 5 y - 19 = 0 . Bude bod M 0 so súradnicami (2, - 3) priesečníkom?

Riešenie

Aby bol priesečník priamok skutočný, je potrebné, aby súradnice bodu M 0 spĺňali rovnice priamok. Overuje sa to ich nahradením. Chápeme to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obe rovnosti sú pravdivé, čo znamená, že M 0 (2, - 3) je priesečníkom daných čiar.

Toto riešenie znázorňujeme na súradnicovej čiare na obrázku nižšie.

odpoveď:daný bod so súradnicami (2, - 3) bude priesečníkom daných čiar.

Príklad 2

Budú sa priamky 5 x + 3 y - 1 = 0 a 7 x - 2 y + 11 = 0 pretínať v bode M 0 (2 , - 3) ?

Riešenie

Na vyriešenie úlohy je potrebné dosadiť súradnice bodu vo všetkých rovniciach. Chápeme to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druhá rovnosť nie je pravdivá, čo znamená, že daný bod nepatrí do priamky 7 x - 2 y + 11 = 0 . Z toho vyplýva, že bod M 0 nie je priesečníkom priamok.

Nákres jasne ukazuje, že M 0 nie je priesečníkom čiar. Majú spoločný bod so súradnicami (- 1 , 2) .

odpoveď: bod so súradnicami (2, - 3) nie je priesečníkom daných čiar.

Obrátime sa na hľadanie súradníc priesečníkov dvoch priamok pomocou daných rovníc v rovine.

Dve pretínajúce sa čiary a a b sú dané rovnicami tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 umiestnenými v O x y. Pri označení priesečníka M 0 dostaneme, že máme pokračovať v hľadaní súradníc podľa rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Z definície je zrejmé, že M 0 je spoločný priesečník čiar. V tomto prípade musia jeho súradnice spĺňať rovnice A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Inými slovami, toto je riešenie výslednej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

To znamená, že na nájdenie súradníc priesečníka je potrebné pridať všetky rovnice do systému a vyriešiť ho.

Príklad 3

Dané dve priamky x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 v rovine. musíte nájsť ich križovatku.

Riešenie

Údaje o stave rovnice sa musia zhromaždiť do systému, po ktorom dostaneme x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Aby sme to vyriešili, prvá rovnica sa vyrieši pre x, výraz sa nahradí do druhého:

x - 9 r + 14 = 0 5 x - 2 r - 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 5 x - 2 r. - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r. - 14 5 9 r. - 14 - 2 r. 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 43 r - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r - 14 r = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 r = 2 ⇔ x = 4 r = 2

Výsledné čísla sú súradnice, ktoré bolo potrebné nájsť.

odpoveď: M 0 (4 , 2) je priesečník priamok x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Hľadanie súradníc sa redukuje na riešenie sústavy lineárnych rovníc. Ak je podľa podmienky daný iný tvar rovnice, potom by sa mala zredukovať na normálnu formu.

Príklad 4

Určte súradnice priesečníkov priamok x - 5 = y - 4 - 3 a x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Riešenie

Na začiatok je potrebné uviesť rovnice do všeobecnej podoby. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R sa transformuje takto:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Potom vezmeme rovnicu kanonického tvaru x - 5 = y - 4 - 3 a transformujeme. Chápeme to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 r - 4 ⇔ 3 x - 5 r + 20 = 0

Z toho vyplýva, že súradnice sú priesečníkom

x - 9 r + 14 = 0 3 x - 5 r + 20 = 0 ⇔ x - 9 r = - 14 3 x - 5 r = - 20

Použime Cramerovu metódu na nájdenie súradníc:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22

odpoveď: M° (- 5, 1).

Existuje ďalší spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka čiar umiestnených v rovine. Je použiteľné, keď je jedna z priamok daná parametrickými rovnicami v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Potom x = x 1 + a x λ a y = y 1 + a y λ dosadíme za x, kde dostaneme λ = λ 0 zodpovedajúce priesečníku so súradnicami x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Príklad 5

Určte súradnice priesečníka priamky x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 .

Riešenie

Je potrebné vykonať substitúciu v x - 5 \u003d y - 4 - 3 výrazom x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, potom dostaneme:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Pri riešení dostaneme, že λ = - 1 . To znamená, že medzi priamkami x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 existuje priesečník. Pre výpočet súradníc je potrebné do parametrickej rovnice dosadiť výraz λ = - 1. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

odpoveď: M° (- 5, 1).

Ak chcete plne pochopiť tému, musíte poznať niektoré nuansy.

Najprv musíte pochopiť umiestnenie čiar. Keď sa pretnú, súradnice zistíme, v ostatných prípadoch nebude riešenie. Aby sme sa vyhli tejto kontrole, môžeme zostaviť sústavu v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ak existuje riešenie, dôjdeme k záveru, že priamky sa pretínajú. Ak neexistuje riešenie, potom sú paralelné. Keď má systém nekonečný počet riešení, potom sa hovorí, že sú rovnaké.

Príklad 6

Dané čiary x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 . Zistite, či majú spoločný bod.

Riešenie

Zjednodušením daných rovníc dostaneme 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 a 4 3 x - y - 4 = 0 .

Pre následné riešenie je potrebné zhromaždiť rovnice v systéme:

1 3 x - 1 4 r - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 r = 1 4 3 x - y = 4

To ukazuje, že rovnice sú vyjadrené cez seba, potom dostaneme nekonečný počet riešení. Potom rovnice x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 definujú rovnakú priamku. Preto neexistujú žiadne priesečníky.

odpoveď: dané rovnice definujú rovnakú priamku.

Príklad 7

Nájdite súradnice bodu pretínajúcich sa čiar 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Riešenie

Podľa podmienky je možné, že sa čiary nebudú pretínať. Napíšte sústavu rovníc a riešte. Na riešenie je potrebné použiť Gaussovu metódu, pretože pomocou nej je možné skontrolovať kompatibilitu rovnice. Dostaneme systém formulára:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 r - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 r. = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dostali sme nesprávnu rovnosť, takže systém nemá žiadne riešenia. Dospeli sme k záveru, že čiary sú rovnobežné. Neexistujú žiadne priesečníky.

Druhé riešenie.

Najprv musíte určiť prítomnosť priesečníka čiar.

n 1 → = (2 , 2 - 3) je normálový vektor priamky 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, potom vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - normálny vektor pre priamku 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Je potrebné skontrolovať kolinearitu vektorov n 1 → = (2, 2 - 3) a n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Dostaneme rovnosť tvaru 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Je to správne, pretože 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Z toho vyplýva, že vektory sú kolineárne. To znamená, že čiary sú rovnobežné a nemajú priesečníky.

odpoveď: neexistujú žiadne priesečníky, čiary sú rovnobežné.

Príklad 8

Nájdite súradnice priesečníkov daných čiar 2 x - 1 = 0 a y = 5 4 x - 2 .

Riešenie

Na vyriešenie zostavíme sústavu rovníc. Dostaneme

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Nájdite determinant hlavnej matice. Na to platí 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Keďže nie je nula, systém má 1 riešenie. Z toho vyplýva, že čiary sa pretínajú. Poďme vyriešiť systém hľadania súradníc priesečníkov:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Dostali sme, že priesečník daných čiar má súradnice M 0 (1 2 , - 11 8) .

odpoveď: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore

Rovnakým spôsobom sa nájdu priesečníky čiar priestoru.

Keď sú uvedené čiary a a b súradnicová rovina O x y z rovnicami pretínajúcich sa rovín je potom priamka a, ktorú môžeme určiť pomocou danej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 \u003d 0 a priamka b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 \u003d 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 \u003d 0.

Keď je bod M 0 priesečníkom priamok, potom jeho súradnice musia byť riešeniami oboch rovníc. Získame lineárne rovnice v systéme:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B4y + C4z + D4 = 0

Uvažujme o takýchto úlohách s príkladmi.

Príklad 9

Nájdite súradnice priesečníka daných priamok x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Riešenie

Poskladáme sústavu x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 a vyriešime. Na nájdenie súradníc je potrebné riešiť cez maticu. Potom dostaneme hlavnú maticu tvaru   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 a rozšírenú maticu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Hodnosť matice určíme podľa Gaussa.

Chápeme to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Z toho vyplýva, že poradie rozšírenej matice je 3. Potom zo sústavy rovníc x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 vyplýva len jedno riešenie.

Základ minor má determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, potom posledná rovnica nesedí. Dostaneme, že x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Systémové riešenie x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Takže máme, že priesečník x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 má súradnice (1 , - 3 , 0) .

odpoveď: (1 , - 3 , 0) .

Sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 má len jedno riešenie. Čiary a a b sa teda pretínajú.

V iných prípadoch rovnica nemá riešenie, to znamená, že neexistujú ani spoločné body. To znamená, že nie je možné nájsť bod so súradnicami, pretože neexistuje.

Preto sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 sa rieši Gaussovou metódou. Pri svojej nekompatibilite sa čiary nepretínajú. Ak existuje nekonečný počet riešení, potom sa zhodujú.

Môžete sa rozhodnúť tak, že vypočítate hlavnú a rozšírenú hodnosť matice a potom použijete Kroneckerovu-Capelliho vetu. Dostávame jedno, veľa alebo úplnú absenciu riešení.

Príklad 10

Sú uvedené rovnice priamok x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 a x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Nájdite priesečník.

Riešenie

Najprv si zostavme sústavu rovníc. Dostaneme, že x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Riešime to Gaussovou metódou:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Je zrejmé, že systém nemá žiadne riešenia, čo znamená, že čiary sa nepretínajú. Neexistuje žiadny priesečník.

odpoveď:žiadny priesečník.

Ak sú čiary zadané pomocou kónických alebo parametrických rovníc, je potrebné ich uviesť do tvaru rovníc pretínajúcich sa rovín a potom nájsť súradnice.

Príklad 11

Dané dve priamky x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ, λ ∈ R a x 2 = y - 3 0 = z 5 v O x y z. Nájdite priesečník.

Riešenie

Rovnice nastavíme rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín. Chápeme to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Nájdeme súradnice 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , na to vypočítame poradie matice. Hodnosť matice je ​​​3 a základná vedľajšia je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, čo znamená, že posledná rovnica musí byť zo systému vylúčená. Chápeme to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Riešime sústavu Cramerovou metódou. Dostaneme, že x = - 2 y = 3 z = - 5 . Odtiaľto dostaneme, že priesečník daných čiar dáva bod so súradnicami (- 2 , 3 , - 5) .

odpoveď: (- 2 , 3 , - 5) .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Kolmá čiara

Táto úloha je pravdepodobne jednou z najobľúbenejších a najžiadanejších v školských učebniciach. Úlohy založené na tejto téme sú rozmanité. Toto je definícia priesečníka dvoch priamok, toto je definícia rovnice priamky prechádzajúcej bodom na pôvodnej priamke pod nejakým uhlom.

Tejto téme sa budeme venovať v našich výpočtoch pomocou údajov získaných pomocou

Práve tam sa uvažovalo o transformácii všeobecnej rovnice priamky na rovnicu so sklonom a naopak a stanovení zvyšných parametrov priamky podľa daných podmienok.

Čo nám chýba k vyriešeniu problémov, ktorým je venovaná táto stránka?

1. Vzorce na výpočet jedného z uhlov medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami.

Ak máme dve priame čiary, ktoré sú dané rovnicami:

potom sa jeden z uhlov vypočíta takto:

2. Rovnica priamky so sklonom prechádzajúcim daným bodom

Z formuly 1 vidíme dva hraničné štáty

a) keď vtedy a teda tieto dve dané čiary sú rovnobežné (alebo sa zhodujú)

b) keď , potom , a preto sú tieto čiary kolmé, to znamená, že sa pretínajú v pravom uhle.

Aké môžu byť počiatočné údaje na riešenie takýchto problémov, okrem danej priamky?

Bod na priamke a uhol, pod ktorým ju pretína druhá priamka

Druhá rovnica riadku

Aké úlohy dokáže robot vyriešiť?

1. Sú dané dve priame čiary (explicitne alebo implicitne, napr. dvoma bodmi). Vypočítajte priesečník a uhly, pod ktorými sa pretínajú.

2. Daná jedna priamka, bod na priamke a jeden uhol. Určte rovnicu priamky, ktorá danú priamku pretína pod určeným uhlom

Príklady

Dve priame čiary sú dané rovnicami. Nájdite priesečník týchto čiar a uhly, v ktorých sa pretínajú

riadok_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Dostaneme nasledujúci výsledok

Rovnica prvého riadku

y = 2,2 x + (1,2)

Rovnica druhého riadku

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Uhol priesečníka dvoch čiar (v stupňoch)

-42.357454705937

Priesečník dvoch čiar

x = -3,5

y = -6,5

Nezabudnite, že parametre dvoch riadkov sú oddelené čiarkou a parametre každého riadku bodkočiarkou.

Čiara prechádza cez dva body (1:-4) a (5:2). Nájdite rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom (-2:-8) a pretína pôvodnú priamku pod uhlom 30 stupňov.

Jedna priamka je nám známa, pretože sú známe dva body, ktorými prechádza.

Zostáva určiť rovnicu druhej priamky. Jeden bod je nám známy a namiesto druhého je uvedený uhol, pod ktorým prvá čiara pretína druhú.

Zdá sa, že všetko je známe, ale hlavnou vecou je nemýliť sa. Hovoríme o uhle (30 stupňov) nie medzi osou x a čiarou, ale medzi prvou a druhou čiarou.

Z tohto dôvodu uverejňujeme tento príspevok. Určíme parametre prvého riadku a zistíme, pod akým uhlom pretína os x.

riadok xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Všeobecná rovnica Ax+By+C = 0

Koeficient A = -6

Faktor B = 4

Koeficient C = 22

Koeficient a = 3,6666666666667

Koeficient b = -5,5

Koeficient k = 1,5

Uhol sklonu k osi (v stupňoch) f = 56,309932474019

Koeficient p = 3,0508510792386

Koeficient q = 2,5535900500422

Vzdialenosť medzi bodmi=7,211102550928

Vidíme, že prvá čiara pretína os pod uhlom 56,309932474019 stupňov.

Zdrojové údaje nehovoria presne, ako druhá čiara pretína prvú. Koniec koncov, je možné nakresliť dve čiary, ktoré spĺňajú podmienky, prvá otočená o 30 stupňov v smere hodinových ručičiek a druhá o 30 stupňov proti smeru hodinových ručičiek.

Poďme ich spočítať

Ak je druhý riadok otočený o 30 stupňov PROTI SMERU HODINOVÝCH ručičiek, potom bude mať druhý riadok určitý stupeň priesečníka s osou x 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 stupňa

line_p xa=-2;ya=-8;f=86,309932474019

Parametre priamky podľa daných parametrov

Všeobecná rovnica Ax+By+C = 0

Koeficient A = 23,011106998916

Faktor B = -1,4840558255286

Koeficient C = 34,149767393603

Rovnica priamky v segmentoch x/a+y/b = 1

Koeficient a= -1,4840558255286

Koeficient b = 23,011106998916

Rovnica priamky s uhlovým koeficientom y = kx + b

Koeficient k = 15,505553499458

Uhol sklonu k osi (v stupňoch) f = 86,309932474019

Normálna rovnica priamky x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Koeficient p = -1,4809790664999

Koeficient q = 3,0771888256405

Vzdialenosť medzi bodmi=23,058912962428

Vzdialenosť od bodu k čiare li =

to znamená, že naša rovnica druhej priamky je y= 15,505553499458x+ 23.011106998916

V dvojrozmernom priestore sa dve priamky pretínajú len v jednom bode, ktorý je daný súradnicami (x, y). Keďže obe priamky prechádzajú bodom ich priesečníka, súradnice (x, y) musia spĺňať obe rovnice, ktoré tieto priamky opisujú. S niektorými pokročilými schopnosťami môžete nájsť priesečníky parabol a iných kvadratických kriviek.

Kroky

Priesečník dvoch čiar

Napíšte rovnicu každého riadku, pričom izolujte premennú "y" na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice. Je možné, že rovnica, ktorú ste dostali namiesto "y", bude obsahovať premennú f (x) alebo g (x); v tomto prípade izolujte takúto premennú. Ak chcete izolovať premennú, vykonajte príslušné matematické operácie na oboch stranách rovnice.

• Ak vám nie sú dané rovnice čiar, na základe vám známych informácií.
• Príklad. Dané priamky opísané rovnicami a y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Ak chcete izolovať "y" v druhej rovnici, pridajte číslo 12 na obe strany rovnice:

1. Hľadáte priesečník oboch priamok, teda bod, ktorého súradnice (x, y) spĺňajú obe rovnice. Keďže premenná "y" je na ľavej strane každej rovnice, výrazy na pravej strane každej rovnice možno prirovnať. Napíšte novú rovnicu.

   • Príklad. Pretože y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) a y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), potom môžeme napísať nasledujúcu rovnosť: .

2. Nájdite hodnotu premennej "x". Nová rovnica obsahuje iba jednu premennú „x“. Ak chcete nájsť "x", izolujte túto premennú na ľavej strane rovnice vykonaním príslušného výpočtu na oboch stranách rovnice. Mali by ste skončiť s rovnicou ako x = __ (ak to nedokážete, pozrite si túto časť).

   • Príklad. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Pridať 2x (\displaystyle 2x) na každú stranu rovnice:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Odčítajte 3 z každej strany rovnice:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Vydeľte každú stranu rovnice 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Zistenú hodnotu premennej "x" použite na výpočet hodnoty premennej "y". Ak to chcete urobiť, nahraďte nájdenú hodnotu "x" v rovnici (ľubovoľná) priamka.

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) a y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Skontrolujte odpoveď. Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu "x" v inej rovnici priamky a nájdite hodnotu "y". Ak získate rôzne hodnoty "y", skontrolujte, či sú vaše výpočty správne.

   • Príklad: x = 3 (\displaystyle x=3) a y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Dostali ste rovnakú hodnotu "y", takže vo výpočtoch nie sú žiadne chyby.

5. Zapíšte si súradnice (x, y). Výpočtom hodnôt "x" a "y" ste našli súradnice priesečníka dvoch čiar. Zapíšte súradnice priesečníka do tvaru (x, y).

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) a y=6 (\displaystyle y=6)
   • Dve priamky sa teda pretínajú v bode so súradnicami (3,6).

6. Výpočty v špeciálnych prípadoch. V niektorých prípadoch nie je možné nájsť hodnotu premennej "x". To však neznamená, že ste urobili chybu. Špeciálny prípad nastáva, keď je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

   • Ak sú dve čiary rovnobežné, nepretínajú sa. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zníži a vaša rovnica sa zmení na nezmyselnú rovnosť (napr. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). V takom prípade do odpovede napíšte, že sa čiary nepretínajú alebo neexistuje žiadne riešenie.
   • Ak obe rovnice opisujú jednu priamku, potom bude existovať nekonečný počet priesečníkov. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zníži a vaša rovnica sa zmení na striktnú rovnosť (napr. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). V takom prípade do odpovede napíšte, že tieto dva riadky sa zhodujú.

   Problémy s kvadratickými funkciami

   1. Definícia kvadratickej funkcie. V kvadratickej funkcii má jedna alebo viac premenných druhý stupeň (ale nie vyšší), napr. x 2 (\displaystyle x^(2)) alebo y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafy kvadratických funkcií sú krivky, ktoré sa nemusia pretínať alebo pretínať v jednom alebo dvoch bodoch. V tejto časti vám povieme, ako nájsť bod alebo body priesečníka kvadratických kriviek.

   2. Prepíšte každú rovnicu izoláciou premennej "y" na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice.

      • Príklad. Nájdite bod(y) priesečníka grafov x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) a
      • Izolujte premennú "y" na ľavej strane rovnice:
      • a y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • V tomto príklade máte jednu kvadratickú funkciu a jednu lineárna funkcia. Pamätajte, že ak dostanete dve kvadratické funkcie, výpočty sú rovnaké ako kroky uvedené nižšie.

   3. Prirovnajte výrazy na pravej strane každej rovnice. Keďže premenná "y" je na ľavej strane každej rovnice, výrazy na pravej strane každej rovnice možno prirovnať.

      • Príklad. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) a y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Preneste všetky členy výslednej rovnice do nej ľavá strana a na pravú stranu napíšte 0. Za týmto účelom vykonajte základné matematické operácie. To vám umožní vyriešiť výslednú rovnicu.

      • Príklad. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Odčítajte „x“ od oboch strán rovnice:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Odčítajte 7 od oboch strán rovnice:

   5. Vyriešte kvadratickú rovnicu. Prenesením všetkých členov rovnice na jej ľavú stranu získate kvadratickú rovnicu. Dá sa vyriešiť tromi spôsobmi: pomocou špeciálneho vzorca a.

      • Príklad. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Pri faktorizácii rovnice dostanete dva dvojčleny, ktoré po vynásobení dajú pôvodnú rovnicu. V našom príklade prvý člen x 2 (\displaystyle x^(2)) možno rozložiť na x*x. Zadajte nasledujúci údaj: (x) (x) = 0
      • V našom príklade môže byť priesečník -6 faktorizovaný takto: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • V našom príklade je druhým členom x (alebo 1x). Pridajte každý pár faktorov zachytávania (v našom príklade -6), kým nezískate 1. V našom príklade je správny pár faktorov zachytávania -2 a 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), pretože − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Medzery doplňte nájdenou dvojicou čísel: .

   6. Nezabudnite na druhý priesečník dvoch grafov. Ak problém vyriešite rýchlo a nie veľmi opatrne, môžete zabudnúť na druhý priesečník. Tu je návod, ako nájsť súradnice "x" dvoch priesečníkov:

      • Príklad (faktoring). Ak v rovnici (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) jeden z výrazov v zátvorkách sa bude rovnať 0, potom sa celá rovnica bude rovnať 0. Preto ju môžeme zapísať takto: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) a x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (to znamená, že ste našli dva korene rovnice).
      • Príklad (použitie vzorca alebo pridanie do plné námestie) . Pri použití jednej z týchto metód sa v procese riešenia objaví druhá odmocnina. Napríklad rovnica z nášho príkladu bude mať tvar x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Pamätajte, že pri odmocnení dostanete dve riešenia. V našom prípade: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), a 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Zapíšte si teda dve rovnice a nájdite dve hodnoty x.

   7. Grafy sa pretínajú v jednom bode alebo sa nepretínajú vôbec. Takéto situácie nastávajú, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

      • Ak sa grafy pretínajú v jednom bode, potom sa kvadratická rovnica rozloží na rovnaké faktory, napríklad (x-1) (x-1) = 0, a druhá odmocnina z 0 sa objaví vo vzorci ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). V tomto prípade má rovnica len jedno riešenie.
      • Ak sa grafy vôbec nepretínajú, potom rovnica nefaktorizuje a druhá odmocnina z záporné číslo(napríklad, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). V takom prípade do odpovede napíšte, že riešenie neexistuje.