Erecție la grad negativ- unul dintre elementele de bază ale matematicii, care se regăsește adesea în rezolvarea problemelor algebrice. Mai jos este o instrucțiune detaliată.
Cum să ridici la o putere negativă - teorie
Când luăm un număr la puterea obișnuită, îi înmulțim de mai multe ori valoarea. De exemplu, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Cu o fracție negativă, opusul este adevărat. Forma generală conform formulei va fi următoarea: a -n = 1/a n . Astfel, pentru a ridica un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți unul la numărul dat, dar deja la o putere pozitivă.
Cum să ridici la o putere negativă - exemple despre numere obișnuite
Având în vedere regula de mai sus, să rezolvăm câteva exemple.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Răspuns: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Răspunsul este -4 -2 = 1/16.
Dar de ce răspunsul din primul și al doilea exemplu este același? Faptul este că atunci când un număr negativ este ridicat la o putere pară (2, 4, 6 etc.), semnul devine pozitiv. Dacă gradul ar fi par, atunci minusul se păstrează:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Cum să ridici la o putere negativă - numere de la 0 la 1
Amintiți-vă că atunci când un număr între 0 și 1 este ridicat la o putere pozitivă, valoarea scade pe măsură ce puterea crește. Deci, de exemplu, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
Exemplul 3: Calculați 0,5 -2
Rezolvare: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Răspuns: 0,5 -2 = 4
Analizare (secvență de acțiuni):
- Convertiți zecimalul 0,5 în fracțional 1/2. Este mai ușor.
Ridicați 1/2 la o putere negativă. 1/(2) -2 . Împărțim 1 la 1/(2) 2 , obținem 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Exemplul 4: Calculați 0,5 -3
Rezolvare: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Exemplul 5: Calculați -0,5 -3
Rezolvare: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Răspuns: -0,5 -3 = -8
Pe baza exemplelor al 4-lea și al 5-lea, vom trage câteva concluzii:
- Pentru un număr pozitiv între 0 și 1 (exemplul 4) ridicat la o putere negativă, indiferent dacă puterea este pară sau impară, valoarea expresiei va fi pozitivă. În acest caz, cu cât gradul este mai mare, cu atât valoarea este mai mare.
- Pentru un număr negativ între 0 și 1 (Exemplul 5), ridicat la o putere negativă, indiferent dacă puterea este pară sau impară, valoarea expresiei va fi negativă. În acest caz, cu cât gradul este mai mare, cu atât valoarea este mai mică.
Cum să ridici la o putere negativă - puterea ca număr fracționar
Expresiile de acest tip au următoarea formă: a -m/n, unde a este un număr obișnuit, m este numărătorul gradului, n este numitorul gradului.
Luați în considerare un exemplu:
Calculați: 8 -1/3
Soluție (secvență de acțiuni):
- Amintiți-vă de regula pentru ridicarea unui număr la o putere negativă. Se obține: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
- Rețineți că numitorul este 8 la o putere fracțională. Forma generală de calcul a unui grad fracționar este următoarea: a m/n = n √8 m .
- Astfel, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Obținem rădăcina cubă a lui opt, care este 2. Pe baza acesteia, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Răspuns: 8 -1/3 = 2
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice. ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.
Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, aceasta pare o încetinire a timpului până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel precedent. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limbajul lui Zeno, arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Pentru următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va mai alerga o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar nu este solutie completa Probleme. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina deplasarea mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite de timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (desigur, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta) . Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.
miercuri, 4 iulie 2018
Foarte bine diferențele dintre set și multiset sunt descrise în Wikipedia. Ne uitam.
După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „studii de matematică concepte abstracte", există un cordon ombilical care este indisolubil legat de realitate. Acest cordon ombilical este bani. Aplicabil teorie matematică seturi către matematicienii înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie și plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm toată suma pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când demonstrează că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească în mod convulsiv fizica: pe diferite monede există sumă diferită murdăria, structura cristalină și aranjamentul atomic al fiecărei monede sunt unice...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum operează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu un tamburin, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar ei sunt șamani pentru asta, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există o formulă în matematică prin care să poți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii, sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face în mod elementar.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor număr dat. Și așa, să presupunem că avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.
1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol grafic numeric. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Am tăiat o imagine primită în mai multe imagini care conțin numere separate. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți caracterele grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adunați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani folosite de matematicieni. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem de numere scriem numărul. Deci, în sisteme diferite luând în calcul, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. Cu un număr mare de 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, luați în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu vom lua în considerare fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în diferite sisteme de numere, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este ca și cum găsirea ariei unui dreptunghi în metri și centimetri ți-ar da rezultate complet diferite.
Zero în toate sistemele de numere arată la fel și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că . O întrebare pentru matematicieni: cum se notează în matematică ceea ce nu este un număr? Ce, pentru matematicieni, nu există decât numere? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oameni de știință, nu. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut trebuie considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură ale numerelor. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu unități de măsură diferite ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de valoarea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.
Ai! Asta nu este toaleta femeilor?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studierea sfințeniei nedefinite a sufletelor la înălțarea la cer! Nimbus în sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?
Femeie... Un halou deasupra și o săgeată în jos sunt masculin.
Dacă aveți o astfel de operă de artă de design fulgerând în fața ochilor dvs. de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:
Personal, fac un efort pe mine însumi să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (compunere din mai multe imagini: semnul minus, numărul patru, desemnarea grade). Și nu cred că fata aia este proastă, nu cine stie fizica. Ea are doar un arc stereotip al percepției imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul care face caca” sau numărul „douăzeci și șase” în sistemul numeric hexazecimal. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca un simbol grafic.
În continuarea conversației despre gradul unui număr, este logic să ne ocupăm de găsirea valorii gradului. Acest proces a fost numit exponentiare. În acest articol, vom studia doar modul în care se realizează exponențiarea, în timp ce vom atinge toți exponenții posibili - naturali, întregi, raționali și iraționali. Și prin tradiție, vom lua în considerare în detaliu soluțiile la exemple de creștere a numerelor în diferite grade.
Navigare în pagină.
Ce înseamnă „exponentiare”?
Să începem prin a explica ceea ce se numește exponențiere. Iată definiția relevantă.
Definiție.
Exponentiație este de a afla valoarea puterii unui număr.
Astfel, găsirea valorii puterii lui a cu exponentul r și ridicarea numărului a la puterea lui r este același lucru. De exemplu, dacă sarcina este „calculați valoarea puterii (0,5) 5”, atunci poate fi reformulată după cum urmează: „Ridicați numărul 0,5 la puterea lui 5”.
Acum puteți merge direct la regulile prin care se realizează exponentiarea.
Ridicarea unui număr la o putere naturală
În practică, egalitatea bazată pe se aplică de obicei sub forma . Adică la ridicarea numărului a la grad fracționar m/n mai întâi se extrage rădăcina a n-a a numărului a, după care rezultatul este ridicat la puterea întreagă m.
Luați în considerare soluții la exemple de ridicare la o putere fracțională.
Exemplu.
Calculați valoarea gradului.
Soluţie.
Vă prezentăm două soluții.
Prima cale. Prin definiția gradului cu exponent fracționar. Calculăm valoarea gradului sub semnul rădăcinii, după care extragem rădăcina cubă: 
.
A doua cale. Prin definiția unui grad cu exponent fracționar și pe baza proprietăților rădăcinilor, egalitățile sunt adevărate 
. Acum extrageți rădăcina 
În cele din urmă, ridicăm la o putere întreagă 
.
Evident, rezultatele obținute ale ridicării la o putere fracțională coincid.
Răspuns:
Rețineți că un exponent fracționar poate fi scris ca zecimală sau număr mixt, în aceste cazuri ar trebui înlocuită cu fracția ordinară corespunzătoare, după care trebuie efectuată exponențiarea.
Exemplu.
Calculați (44,89) 2,5 .
Soluţie.
Scriem exponentul sub forma fracție comună(dacă este necesar, vezi articolul): 
. Acum efectuăm ridicarea la o putere fracțională: 
Răspuns:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
De asemenea, trebuie spus că ridicarea numerelor la puteri raționale este un proces destul de laborios (mai ales când numărătorul și numitorul exponentului fracționar conțin suficient numere mari), care se realizează de obicei folosind tehnologia computerizată.
În încheierea acestui paragraf, ne vom opri asupra construcției numărului zero într-o putere fracțională. Am dat următorul sens gradului fracționar de zero al formei: căci avem 
, în timp ce zero la puterea m/n nu este definit. Deci zero la o putere fracțională pozitivă zero, de exemplu, 
. Și zero într-o putere negativă fracțională nu are sens, de exemplu, expresiile și 0 -4,3 nu au sens.
Ridicarea la o putere irațională
Uneori devine necesar să se afle valoarea gradului unui număr cu un exponent irațional. În acest caz, în scopuri practice, de obicei este suficientă obținerea valorii gradului până la un anumit semn. Observăm imediat că, în practică, această valoare este calculată folosind tehnologia de calcul electronică, deoarece ridicarea manuală la o putere irațională necesită un număr mare de calcule greoaie. Dar cu toate acestea vom descrie în termeni generali esența acțiunilor.
Pentru a obține o valoare aproximativă a exponentului lui a cu un exponent irațional, se ia o aproximare zecimală a exponentului și se calculează valoarea exponentului. Această valoare este valoarea aproximativă a gradului numărului a cu un exponent irațional. Cu cât este mai precisă aproximarea zecimală a numărului inițial, cu atât mai precisă va fi valoarea gradului în final.
Ca exemplu, să calculăm valoarea aproximativă a puterii lui 2 1,174367... . Să luăm următoarea aproximare zecimală a unui indicator irațional: . Acum ridicăm 2 la o putere rațională de 1,17 (am descris esența acestui proces în paragraful anterior), obținem 2 1,17 ≈ 2,250116. În acest fel, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Dacă luăm o aproximare zecimală mai precisă a unui exponent irațional, de exemplu, , atunci obținem o valoare mai precisă a gradului inițial: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Bibliografie.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică Zh pentru 5 celule. institutii de invatamant.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 7 celule. institutii de invatamant.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 9 celule. institutii de invatamant.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).
Una dintre caracteristicile principale în algebră, și într-adevăr în toată matematica, este o diplomă. Desigur, în secolul 21, toate calculele pot fi efectuate pe un calculator online, dar este mai bine să înveți cum să o faci singur pentru dezvoltarea creierului.
În acest articol, vom lua în considerare cele mai importante aspecte legate de această definiție. Și anume, vom înțelege ce este în general și care sunt principalele sale funcții, ce proprietăți există în matematică.
Să ne uităm la exemple despre cum arată calculul, care sunt formulele de bază. Vom analiza principalele tipuri de cantități și modul în care acestea diferă de alte funcții.
Să înțelegem cum să rezolvăm folosind această cantitate diverse sarcini. Vom arăta cu exemple cum să ridici la un grad zero, irațional, negativ etc.
Calculator de exponențiere online
Care este gradul unui număr
Ce înseamnă expresia „ridică un număr la o putere”?
Gradul n al unui număr a este produsul factorilor de mărime de n ori la rând.
Matematic arata asa:
a n = a * a * a * …a n .
De exemplu:
- 2 3 = 2 în a treia etapă. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 în pas. doi = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 în pas. patru = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 în 5 pași. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 în pași 4. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Mai jos este un tabel cu pătrate și cuburi de la 1 la 10.
Tabelul gradelor de la 1 la 10
Mai jos sunt rezultatele ridicării numerelor naturale la puteri pozitive - „de la 1 la 100”.
| Ch-lo | clasa a II-a | clasa a 3-a |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Proprietăți de grad
Care este caracteristica unei astfel de funcții matematice? Să ne uităm la proprietățile de bază.
Oamenii de știință au stabilit următoarele semne caracteristice tuturor gradelor:
- a n * a m = (a) (n+m);
- a n: a m = (a) (n-m);
- (a b) m =(a) (b*m) .
Să verificăm cu exemple:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Pe de altă parte 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
În mod similar: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Altfel 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ce se întâmplă dacă este diferit? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
După cum puteți vedea, regulile funcționează.
Dar cum să fii cu adunare și scădere? Totul este simplu. Se efectuează prima exponențiere și abia apoi adunarea și scăderea.
Să ne uităm la exemple:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Dar în acest caz, mai întâi trebuie să calculați adunarea, deoarece există acțiuni între paranteze: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Cum se produc calcule în cazuri mai complexe? Ordinea este aceeași:
- dacă există paranteze, trebuie să începeți cu ele;
- apoi exponentiarea;
- apoi efectuați operații de înmulțire, împărțire;
- după adunare, scădere.
Există proprietăți specifice care nu sunt caracteristice tuturor gradelor:
- Rădăcina gradului al n-lea de la numărul a până la gradul m se va scrie astfel: a m / n .
- La ridicarea unei fracții la o putere: atât numărătorul, cât și numitorul acesteia sunt supuse acestei proceduri.
- Când se ridică produsul diferitelor numere la o putere, expresia va corespunde produsului dintre aceste numere la o putere dată. Adică: (a * b) n = a n * b n .
- Când ridicați un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți 1 la un număr în același pas, dar cu semnul „+”.
- Dacă numitorul unei fracții este într-o putere negativă, atunci această expresie va fi egală cu produsul numărătorului și numitorul într-o putere pozitivă.
- Orice număr la puterea lui 0 = 1 și la pas. 1 = pentru sine.
Aceste reguli sunt importante în cazuri individuale, le vom analiza mai detaliat mai jos.
Gradul cu exponent negativ
Ce să faci cu un grad negativ, adică atunci când indicatorul este negativ?
Pe baza proprietăților 4 și 5(vezi punctul de mai sus) se dovedește:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Si invers:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Dacă este o fracție?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Grad cu un indicator natural
Este înțeles ca un grad cu exponenți egali cu numere întregi.
Lucruri de amintit:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...etc.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... etc.
De asemenea, dacă (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... atunci rezultatul va fi cu semnul „+”. Dacă un număr negativ este ridicat la o putere impară, atunci invers.
Proprietățile generale și toate caracteristicile specifice descrise mai sus sunt, de asemenea, caracteristice acestora.
Gradul fracționat
Această vedere poate fi scrisă ca o schemă: A m / n. Se citește astfel: rădăcina gradului al n-lea al numărului A la puterea lui m.
Cu un indicator fracțional, puteți face orice: reduceți, descompuneți în părți, ridicați la un alt grad etc.
Gradul cu exponent irațional
Fie α un număr irațional și А ˃ 0.
Pentru a înțelege esența gradului cu un astfel de indicator, Să ne uităm la diferite cazuri posibile:
- A \u003d 1. Rezultatul va fi egal cu 1. Deoarece există o axiomă - 1 este egal cu unul în toate puterile;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 sunt numere raționale;
- 0˂А˂1.
În acest caz, invers: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 în aceleași condiții ca la al doilea paragraf.
De exemplu, exponentul este numărul π. Este rațional.
r 1 - în acest caz este egal cu 3;
r 2 - va fi egal cu 4.
Atunci, pentru A = 1, 1 π = 1.
A = 2, apoi 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, apoi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Astfel de grade sunt caracterizate de toate operațiile matematice și proprietățile specifice descrise mai sus.
Concluzie
Să rezumam - pentru ce sunt aceste valori, care sunt avantajele unor astfel de funcții? Desigur, în primul rând, simplifică viața matematicienilor și programatorilor atunci când rezolvă exemple, deoarece permit reducerea la minimum a calculelor, reducerea algoritmilor, sistematizarea datelor și multe altele.
Unde mai pot fi utile aceste cunoștințe? În orice specialitate de lucru: medicină, farmacologie, stomatologie, construcții, tehnologie, inginerie, proiectare etc.
Primul nivel
Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)
De ce sunt necesare diplome? Unde ai nevoie de ele? De ce trebuie să petreci timp studiindu-le?
Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.
Și, bineînțeles, cunoașterea diplomelor te va aduce mai aproape de promovarea cu succes a OGE sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.
Sa mergem sa mergem!)
Notă importantă! Dacă, în loc de formule, vedeți farfurie, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).
PRIMUL NIVEL
Exponentiația este aceeași operație matematică ca și adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.
Acum voi explica totul în limbajul uman într-un mod foarte exemple simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.
Să începem cu adăugarea.
Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola? Așa este - 16 sticle.
Acum înmulțirea.
Același exemplu cu cola poate fi scris într-un mod diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi vin cu o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.
Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…
Iată tabla înmulțirii. Repeta.
Și încă unul, mai frumos:
Și cu ce alte trucuri complicate de numărare au venit matematicienii leneși? Corect - ridicarea unui număr la o putere.
Ridicarea unui număr la o putere
Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acest număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este. Și rezolvă astfel de probleme în mintea lor - mai rapid, mai ușor și fără erori.
Pentru a face acest lucru, aveți nevoie doar amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, îți va face viața mult mai ușoară.
Apropo, de ce se numește gradul doi pătrat numere, iar al treilea cub? Ce înseamnă? O intrebare foarte buna. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.
Exemplul #1 din viața reală
Să începem cu un pătrat sau cu a doua putere a unui număr.
Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară metri pe metri. Piscina este în curtea ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... o piscină fără fund! Este necesar să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona fundului piscinei.
Puteți număra pur și simplu împingând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă plăcile tale sunt metru cu metru, vei avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut o astfel de țiglă? Placa va fi mai degrabă cm cu cm. Și atunci vei fi chinuit de „numărați cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei, vom pune gresie (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțind cu, obțineți dale ().
Ați observat că am înmulțit același număr de la sine pentru a determina aria fundului piscinei? Ce înseamnă? Deoarece se înmulțește același număr, putem folosi tehnica exponențiării. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule. Pentru examen, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la gradul doi va fi (). Sau poți spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.
Exemplul #2 din viața reală
Iată o sarcină pentru tine, numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a număra numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt sau... dacă observați asta Tabla de sah este un pătrat cu o latură, apoi puteți pătra opt. Obțineți celule. () Asa de?
Exemplul #3 din viața reală
Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, de altfel, sunt măsurate în metri cubi. În mod neașteptat, nu?) Desenați o piscină: un fund de un metru în dimensiune și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi metru cu metru în total vor intra în bazinul dvs.
Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Cât a ieșit? Nu te-ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți între ele lungimea, lățimea și înălțimea. În cazul nostru, volumul piscinei va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?
Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă fac asta prea ușor. A redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că poți folosi gradul. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu un deget, ei fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egali. Este scris astfel:
Rămâne doar memorează tabelul de grade. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.
Ei bine, pentru a te convinge in sfarsit ca gradele au fost inventate de mocasini si vicleni pentru a-si rezolva problemele vietii, si nu pentru a-ti crea probleme, iata inca cateva exemple din viata.
Exemplul #4 din viața reală
Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, câștigi încă un milion pentru fiecare milion. Adică, fiecare din milionul tău la începutul fiecărui an se dublează. Câți bani vei avea peste ani? Dacă acum stai și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și .. proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Așadar, în primul an - de două ori de două... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește cu el însuși o dată. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți un concurs și cel care calculează mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți gradele numerelor, ce părere aveți?
Exemplul #5 din viața reală
Ai un milion. La începutul fiecărui an, câștigi încă două pentru fiecare milion. E grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... E deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci, a patra putere este un milion. Trebuie doar să-ți amintești că trei până la a patra putere este sau.
Acum știi că ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.
Termeni și concepte... ca să nu se încurce
Deci, mai întâi, să definim conceptele. Tu ce crezi, ce este exponent? Este foarte simplu - acesta este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...
Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.
Iată o poză ca să fii sigur.
Ei bine și în vedere generala pentru a generaliza și a reține mai bine... Un grad cu o bază „” și un exponent „” se citește „la grad” și se scrie după cum urmează:
Puterea unui număr cu exponent natural
Probabil ai ghicit deja: pentru că exponentul este numar natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt cele care sunt folosite la numărare la enumerarea articolelor: unu, doi, trei ... Când numărăm articole, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. Nici noi nu spunem „o treime” sau „zero virgulă cinci zecimi”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce crezi că sunt aceste numere?
Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Și ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.
Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că nu aveau suficiente numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale… Interesant, nu-i așa?
Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, nesfârșit zecimal. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, atunci obțineți un număr irațional.
Rezumat:
Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).
- Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
- A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
- A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:
Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.
Proprietăți de grad
De unde au venit aceste proprietăți? Vă arăt acum.
Să vedem ce este și ?
Prin definitie:
Câți multiplicatori există în total?
Este foarte simplu: am adăugat factori factori, iar rezultatul sunt factori.
Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu exponent, adică: , care trebuia demonstrat.
Exemplu: Simplificați expresia.
Soluţie:
Exemplu: Simplificați expresia.
Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie sa fie acelasi motiv!
Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:
numai pentru produse ale puterilor!
Sub nicio formă nu trebuie să scrii asta.
2. adică -a-a putere a unui număr
La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:
Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:
De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:
Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem?
Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.
Grad cu o bază negativă
Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.
Dar care ar trebui să fie baza?
În grade de la indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar.
Să ne gândim ce semne (" " sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?
De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.
Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, se dovedește.
Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Ai reușit?
Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.
Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).
Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!
6 exemple de practică
Analiza soluției 6 exemple
Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:
Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea greșită a termenilor. Dacă ar fi schimbate, regula s-ar putea aplica.
Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.
Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.
Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!
Să revenim la exemplu:
Și din nou formula:
întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adica luate cu semnul "") si numarul.
număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.
Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.
Orice număr la puterea zero este egal cu unu:
Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?
Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:
Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.
Putem face același lucru cu un număr arbitrar:
Să repetăm regula:
Orice număr la puterea zero este egal cu unu.
Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).
Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.
Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același într-un grad negativ:
De aici este deja ușor de exprimat dorit:
Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:
Deci, haideți să formulăm regula:
Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).
Să rezumam:
I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.
II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .
III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .
Sarcini pentru soluție independentă:
Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:
Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:
Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!
Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.
Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?
Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.
Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:
Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:
Acum amintiți-vă regula "grad la grad":
Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?
Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.
Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.
Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .
Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .
Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:
Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.
Nici unul!
Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!
Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu numitor par, adică expresia nu are sens.
Ce zici de exprimare?
Dar aici apare o problemă.
Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.
Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.
Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).
Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.
Astfel, dacă:
- - numar natural;
- este un număr întreg;
Exemple:
Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:
5 exemple de practică
Analiza a 5 exemple pentru antrenament
Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.
Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru grade cu exponent rațional, cu excepția
Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).
Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.
De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;
...putere zero- acesta este, parcă, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar o anumită „pregătire a un număr”, și anume un număr;
...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.
Apropo, în știință, se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real.
Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.
UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))
De exemplu:
Decideți singuri:
Analiza solutiilor:
1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:
Acum uită-te la scor. Îți amintește de ceva? Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:
În acest caz,
Se pare că:
Răspuns: .
2. Aducem fracțiile în exponenți în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Primim, de exemplu:
Raspuns: 16
3. Nimic special, aplica proprietăți obișnuite grade:
NIVEL AVANSAT
Definiţia degree
Gradul este o expresie de forma: , unde:
- — baza gradului;
- - exponent.
Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)
Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:
Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)
Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:
erecție la putere zero:
Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.
Dacă exponentul este întreg negativ număr:
(pentru că este imposibil de împărțit).
Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.
Exemple:
Gradul cu exponent rațional
- - numar natural;
- este un număr întreg;
Exemple:
Proprietăți de grad
Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.
Să vedem: ce este și?
Prin definitie:
Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:
Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:
Q.E.D.
Exemplu : Simplificați expresia.
Soluţie : .
Exemplu : Simplificați expresia.
Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:
O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!
Sub nicio formă nu ar trebui să scriu asta.
La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:
Să o rearanjam astfel:
Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:
De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:!
Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.
Putere cu o bază negativă.
Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie index grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .
Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne (" " sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?
De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ?
Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.
Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.
Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Este posibil să se formuleze astfel reguli simple:
- chiar grad, - număr pozitiv.
- Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
- Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
- Zero la orice putere este egal cu zero.
Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Ai reușit? Iată răspunsurile:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.
În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).
Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.
Și din nou folosim definiția gradului:
Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:
Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.
Calculați valorile expresiilor:
Soluții :
Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!
Primim:
Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.
Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum arată așa:
Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important de reținut: toate semnele se schimba in acelasi timp! Nu poate fi înlocuit prin schimbarea unui singur minus inacceptabil pentru noi!
Să revenim la exemplu:
Și din nou formula:
Deci acum ultima regulă:
Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:
Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:
Exemplu:
Gradul cu exponent irațional
Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).
Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un indicator negativ întreg - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.
Este extrem de greu de imaginat un grad cu un exponent irațional (la fel cum este greu de imaginat un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.
Apropo, în știință, se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.
Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)
De exemplu:
Decideți singuri:
| 1) | 2) | 3) |
Raspunsuri:
- Amintiți-vă formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
- Aducem fracțiile în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
- Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:
REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ
grad se numește expresie de forma: , unde:
Gradul cu exponent întreg
grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).
Gradul cu exponent rațional
grad, al cărui indicator sunt numerele negative și fracționale.
Gradul cu exponent irațional
exponent al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.
Proprietăți de grad
Caracteristicile diplomelor.
- Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
- Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
- Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
- Zero este egal cu orice putere.
- Orice număr până la puterea zero este egal.
ACUM AI UN CUVÂNT...
Cum iti place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.
Povestește-ne despre experiența ta cu proprietățile puterii.
Poate ai intrebari. Sau sugestii.
Scrieți în comentarii.
Și mult succes la examene!
