Cineva tratează cu prudență cuvântul „progresie”, ca pe un termen foarte complex din secțiunile de matematică superioară. Între timp, cea mai simplă progresie aritmetică este munca contorului de taxi (unde rămân încă). Și a înțelege esența (și în matematică nu este nimic mai important decât „a înțelege esența”) a unei secvențe aritmetice nu este atât de dificil, având în vedere câteva concepte elementare.

Succesiunea de numere matematice

Se obișnuiește să se numească o secvență numerică o serie de numere, fiecare având propriul său număr.

şi 1 este primul membru al secvenţei;

şi 2 este al doilea membru al secvenţei;

și 7 este al șaptelea membru al secvenței;

şi n este al n-lea membru al secvenţei;

Cu toate acestea, nu ne interesează niciun set arbitrar de cifre și numere. Ne vom concentra atenția asupra unei secvențe numerice în care valoarea celui de-al n-lea membru este legată de numărul său ordinal printr-o dependență care poate fi formulată clar matematic. Cu alte cuvinte: valoarea numerică a numărului al n-lea este o funcție a lui n.

a - valoarea unui membru al succesiunii numerice;

n este numărul său de serie;

f(n) este o funcție în care ordinalul din șirul numeric n este argumentul.

Definiție

O progresie aritmetică se numește de obicei o succesiune numerică în care fiecare termen ulterior este mai mare (mai mic) decât cel anterior cu același număr. Formula pentru al n-lea membru al unei secvențe aritmetice este următoarea:

a n - valoarea membrului curent al progresiei aritmetice;

a n+1 - formula următorului număr;

d - diferență (un anumit număr).

Este ușor de determinat că, dacă diferența este pozitivă (d>0), atunci fiecare membru ulterior al seriei luate în considerare va fi mai mare decât cel anterior, iar o astfel de progresie aritmetică va crește.

În graficul de mai jos, este ușor de înțeles de ce succesiune numerică numită „în creștere”.

În cazurile în care diferența este negativă (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valoarea membrului specificat

Uneori este necesar să se determine valoarea unui termen arbitrar a n al unei progresii aritmetice. Puteți face acest lucru calculând succesiv valorile tuturor membrilor progresiei aritmetice, de la primul la cel dorit. Cu toate acestea, acest mod nu este întotdeauna acceptabil dacă, de exemplu, este necesar să se găsească valoarea celui de cinci mii sau opt milioane. Calculul tradițional va dura mult timp. Cu toate acestea, o anumită progresie aritmetică poate fi investigată folosind anumite formule. Există și o formulă pentru al n-lea termen: valoarea oricărui membru al unei progresii aritmetice poate fi determinată ca suma primului membru al progresiei cu diferența progresiei, înmulțită cu numărul membrului dorit, minus unu .

Formula este universală pentru creșterea și scăderea progresiei.

Un exemplu de calcul al valorii unui membru dat

Să rezolvăm următoarea problemă de a găsi valoarea celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Condiție: există o progresie aritmetică cu parametrii:

Primul membru al secvenței este 3;

Diferența în seria de numere este 1,2.

Sarcină: este necesar să găsiți valoarea a 214 termeni

Soluție: pentru a determina valoarea unui membru dat, folosim formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Înlocuind datele din enunțul problemei în expresie, avem:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Răspuns: Al 214-lea membru al secvenței este egal cu 258,6.

Avantajele acestei metode de calcul sunt evidente - întreaga soluție nu necesită mai mult de 2 linii.

Suma unui număr dat de membri

Foarte des, într-o serie aritmetică dată, este necesar să se determine suma valorilor unora dintre segmentele sale. De asemenea, nu trebuie să calculeze valorile fiecărui termen și apoi să le însumeze. Această metodă este aplicabilă dacă numărul de termeni a căror sumă trebuie găsită este mic. În alte cazuri, este mai convenabil să folosiți următoarea formulă.

Suma membrilor unei progresii aritmetice de la 1 la n este egală cu suma primului și al n-lea membru, înmulțită cu numărul de membru n și împărțită la doi. Dacă în formulă valoarea celui de-al n-lea membru este înlocuită cu expresia din paragraful anterior al articolului, obținem:

Exemplu de calcul

De exemplu, să rezolvăm o problemă cu următoarele condiții:

Primul termen al secvenței este zero;

Diferența este de 0,5.

În problemă, este necesar să se determine suma termenilor seriei de la 56 la 101.

Soluţie. Să folosim formula pentru a determina suma progresiei:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

În primul rând, determinăm suma valorilor a 101 membri ai progresiei prin înlocuirea condițiilor date ale problemei noastre în formula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Evident, pentru a afla suma termenilor progresiei de la 56 la 101, este necesar să scădem S 55 din S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Deci, suma progresiei aritmetice pentru acest exemplu este:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Exemplu de aplicare practică a progresiei aritmetice

La sfârșitul articolului, să revenim la exemplul secvenței aritmetice prezentate în primul paragraf - un taximetru (contor de mașină de taxi). Să luăm în considerare un astfel de exemplu.

Urcarea într-un taxi (care include 3 km) costă 50 de ruble. Fiecare kilometru următor este plătit la rata de 22 de ruble / km. Distanta de parcurs 30 km. Calculați costul călătoriei.

1. Să renunțăm la primii 3 km, al căror preț este inclus în costul de aterizare.

30 - 3 = 27 km.

2. Calculul suplimentar nu este altceva decât analizarea unei serii de numere aritmetice.

Numărul de membru este numărul de kilometri parcurși (minus primii trei).

Valoarea membrului este suma.

Primul termen din această problemă va fi egal cu 1 = 50 de ruble.

Diferența de progresie d = 22 p.

numărul de interes pentru noi - valoarea membrului (27 + 1) al progresiei aritmetice - citirea contorului la sfârșitul celui de-al 27-lea kilometru - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Calculele datelor calendaristice pentru o perioadă arbitrar de lungă se bazează pe formule care descriu anumite secvențe numerice. În astronomie, lungimea orbitei depinde din punct de vedere geometric de distanța dintre corpul ceresc și lumina. În plus, diverse serii numerice sunt utilizate cu succes în statistică și în alte ramuri aplicate ale matematicii.

Un alt tip de succesiune de numere este geometrică

O progresie geometrică este caracterizată de o rată de schimbare mare, în comparație cu o rată aritmetică. Nu întâmplător, în politică, sociologie, medicină, de multe ori, pentru a arăta viteza mare de răspândire a unui anumit fenomen, de exemplu, o boală în timpul unei epidemii, ei spun că procesul se dezvoltă exponențial.

Al N-lea membru al seriei numerice geometrice diferă de cel precedent prin faptul că este înmulțit cu un număr constant - numitorul, de exemplu, primul membru este 1, numitorul este 2, respectiv:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - valoarea membrului curent al progresiei geometrice;

b n+1 - formula următorului membru al progresiei geometrice;

q este numitorul unei progresii geometrice (număr constant).

Dacă graficul unei progresii aritmetice este o linie dreaptă, atunci cel geometric desenează o imagine ușor diferită:

Ca și în cazul aritmeticii, o progresie geometrică are o formulă pentru valoarea unui membru arbitrar. Orice al n-lea termen al unei progresii geometrice este egal cu produsul primului termen și numitorul progresiei la puterea lui n redus cu unu:

Exemplu. Avem o progresie geometrică cu primul termen egal cu 3 și numitorul progresiei egal cu 1,5. Găsiți al 5-lea termen al progresiei

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Suma unui număr dat de membri este de asemenea calculată folosind o formulă specială. Suma primilor n membri ai unei progresii geometrice este egală cu diferența dintre produsul dintre al n-lea membru al progresiei și numitorul său și primul membru al progresiei, împărțit la numitorul redus cu unu:

Dacă b n este înlocuit folosind formula discutată mai sus, valoarea sumei primilor n membri ai seriei de numere considerate va lua forma:

Exemplu. Progresia geometrică începe cu primul termen egal cu 1. Numitorul este stabilit egal cu 3. Să aflăm suma primilor opt termeni.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Obiectivele lecției:

• extinderea și aprofundarea ideilor elevilor despre sarcinile rezolvate cu ajutorul progresiei aritmetice; organizarea activității de căutare a elevilor la derivarea formulei pentru suma primilor n membri ai unei progresii aritmetice;
• dezvoltarea abilităților de a dobândi în mod independent noi cunoștințe, de a utiliza cunoștințele deja dobândite pentru a îndeplini sarcina;
• dezvoltarea dorinței și nevoii de generalizare a faptelor obținute, dezvoltarea independenței.

Sarcini:

• generalizarea și sistematizarea cunoștințelor existente pe tema „Progresia aritmetică”;
• deduceți formule pentru calcularea sumei primilor n membri ai unei progresii aritmetice;
• invata modul de aplicare a formulelor obtinute in rezolvarea diverselor probleme;
• atrage atenţia elevilor asupra procedeului de aflare a valorii unei expresii numerice.

Echipament:

• fișe cu sarcini pentru lucru în grupuri și perechi;
• lucrare de evaluare;
• prezentare “Progresie aritmetică”.

I. Actualizarea cunoștințelor de bază.

1. Munca independentă în perechi.

prima varianta:

Definiți o progresie aritmetică. Scrieți o formulă recursivă care definește o progresie aritmetică. Dați un exemplu de progresie aritmetică și indicați diferența acesteia.

a 2-a varianta:

Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Găsiți al 100-lea termen al unei progresii aritmetice ( un n}: 2, 5, 8 …
În acest moment, doi elevi din spatele tablei pregătesc răspunsuri la aceleași întrebări.
Elevii evaluează munca partenerului comparând-o cu tabla. (Se predau pliante cu răspunsuri).

2. Momentul jocului.

Exercitiul 1.

Profesor. Am conceput o progresie aritmetică. Pune-mi doar două întrebări, astfel încât după răspunsuri să poți numi rapid al 7-lea membru al acestei progresii. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Întrebări de la studenți.

1. Care este al șaselea termen al progresiei și care este diferența?
2. Care este al optulea termen al progresiei și care este diferența?

Dacă nu mai există întrebări, atunci profesorul le poate stimula - o „interdicție” pe d (diferență), adică nu este permis să întrebați care este diferența. Puteți pune întrebări: care este al 6-lea termen al progresiei și care este al 8-lea termen al progresiei?

Sarcina 2.

Pe tablă sunt scrise 20 de numere: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Profesorul stă cu spatele la tablă. Elevii spun numărul numărului, iar profesorul sună imediat numărul însuși. Explicați cum pot face asta?

Profesorul își amintește formula celui de-al n-lea termen a n \u003d 3n - 2și, înlocuind valorile date ale lui n, găsește valorile corespunzătoare un n .

II. Enunțul sarcinii educaționale.

Imi propun sa rezolv o problema veche datand din mileniul II i.Hr., gasita in papirusurile egiptene.

O sarcină:„Să vi se spună: împărțiți 10 măsuri de orz între 10 persoane, diferența dintre fiecare persoană și vecinul său este de 1/8 din măsură.”

• Cum se leagă această problemă cu subiectul progresiei aritmetice? (Fiecare persoană următoare primește 1/8 din măsură în plus, deci diferența este d=1/8, 10 persoane, deci n=10.)
• Ce crezi că înseamnă numărul 10? (Suma tuturor membrilor progresiei.)
• Ce altceva trebuie să știți pentru a face ușor și simplu împărțirea orzului în funcție de starea problemei? (Primul termen al progresiei.)

Obiectivul lecției- obținerea dependenței sumei termenilor progresiei de numărul lor, primul termen și diferența și verificarea dacă problema a fost rezolvată corect în antichitate.

Înainte de a deriva formula, să vedem cum au rezolvat egiptenii antici problema.

Și au rezolvat așa:

1) 10 masuri: 10 = 1 masura - cota medie;
2) 1 măsură ∙ = 2 măsuri - dublată in medie acțiune.
dublat in medie cota este suma acțiunilor persoanei a 5-a și a 6-a.
3) 2 masuri - 1/8 masura = 1 7/8 masuri - dublul cotei persoanei a cincea.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - cota celui de-al cincilea; și așa mai departe, puteți găsi cota fiecărei persoane anterioare și ulterioare.

Obținem secvența:

III. Rezolvarea sarcinii.

1. Lucrați în grupuri

grupa 1: Aflați suma a 20 de numere naturale consecutive: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

LA vedere generala

grupa II: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 100 (Legenda lui Micul Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Concluzie:

grupa III: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 21.

Rezolvare: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Concluzie:

grupa IV: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 101.

Concluzie:

Această metodă de rezolvare a problemelor luate în considerare se numește „metoda Gauss”.

2. Fiecare grupă prezintă pe tablă soluția problemei.

3. Generalizarea soluțiilor propuse pentru o progresie aritmetică arbitrară:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Găsim această sumă argumentând în mod similar:

4. Am rezolvat sarcina?(Da.)

IV. Înțelegerea și aplicarea primară a formulelor obținute în rezolvarea problemelor.

1. Verificarea rezolvarii unei probleme vechi prin formula.

2. Aplicarea formulei în rezolvarea diverselor probleme.

3. Exerciţii pentru formarea capacităţii de aplicare a formulei în rezolvarea problemelor.

A) Nr. 613

Dat :( si n) - progresie aritmetică;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Găsi: S 1500

Soluţie: , și 1 = 1 și 1500 = 1500,

B) Având în vedere: ( si n) - progresie aritmetică;
(și n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Găsi: n
Soluţie:

V. Munca independentă cu verificare reciprocă.

Denis a plecat să lucreze ca curier. În prima lună, salariul său a fost de 200 de ruble, în fiecare lună următoare a crescut cu 30 de ruble. Cât a câștigat într-un an?

Dat :( si n) - progresie aritmetică;
a 1 = 200, d=30, n=12
Găsi: S 12
Soluţie:

Răspuns: Denis a primit 4380 de ruble pe an.

VI. Instruirea temelor pentru acasă.

1. p. 4.3 - învață derivarea formulei.
2. №№ 585, 623 .
3. Compuneți o problemă care ar fi rezolvată folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

VII. Rezumând lecția.

1. Fișa de punctaj

2. Continuați propozițiile

• Astăzi la clasă am învățat...
• Formule invatate...
• Cred ca …

3. Puteți găsi suma numerelor de la 1 la 500? Ce metodă veți folosi pentru a rezolva această problemă?

Bibliografie.

1. Algebră, clasa a IX-a. Manual pentru instituțiile de învățământ. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscova: Iluminismul, 2009.

Matematica are propria ei frumusețe, ca și pictura și poezia.

Om de știință rus, mecanic N.E. Jukovski

Sarcinile foarte frecvente la probele de admitere la matematică sunt sarcini legate de conceptul de progresie aritmetică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, este necesar să cunoașteți bine proprietățile unei progresii aritmetice și să aveți anumite abilități în aplicarea lor.

Să ne amintim mai întâi principalele proprietăți ale unei progresii aritmetice și să prezentăm cele mai importante formule, asociat cu acest concept.

Definiție. Succesiunea numerică, în care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent prin acelaşi număr, numită progresie aritmetică. În același timp, numărulse numeste diferenta de progresie.

Pentru o progresie aritmetică, formulele sunt valabile

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula termenului comun al unei progresii aritmetice, iar formula (2) este proprietatea principală a unei progresii aritmetice: fiecare membru al progresiei coincide cu media aritmetică a membrilor săi vecini și .

Rețineți că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia luată în considerare este numită „aritmetică”.

Formulele (1) și (2) de mai sus sunt rezumate după cum urmează:

(3)

Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii aritmeticese folosește de obicei formula

(5) unde și .

Dacă luăm în considerare formula (1), atunci formula (5) implică

Dacă desemnăm

Unde . Deoarece , atunci formulele (7) și (8) sunt o generalizare a formulelor corespunzătoare (5) și (6).

În special , din formula (5) rezultă, ce

Printre cele puțin cunoscute de majoritatea studenților se numără proprietatea unei progresii aritmetice, formulată prin intermediul următoarei teoreme.

Teorema. Daca atunci

Dovada. Daca atunci

Teorema a fost demonstrată.

De exemplu , folosind teorema, se poate arăta că

Să trecem la luarea în considerare a exemplelor tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Progresie aritmetică”.

Exemplul 1 Lasă și . Găsi .

Soluţie. Aplicând formula (6), obținem . Din moment ce și , apoi sau .

Exemplul 2 Mai lasă de trei ori, iar la împărțirea la cât, rezultă 2, iar restul este 8. Determinați și.

Soluţie. Sistemul de ecuații rezultă din condiția exemplului

Deoarece , , și , atunci din sistemul de ecuații (10) obținem

Rezolvarea acestui sistem de ecuații sunt și .

Exemplul 3 Găsiți dacă și .

Soluţie. Conform formulei (5), avem sau . Cu toate acestea, folosind proprietatea (9), obținem .

Din moment ce și , apoi din egalitate urmează ecuația sau .

Exemplul 4 Găsiți dacă .

Soluţie.Prin formula (5) avem

Cu toate acestea, folosind teorema, se poate scrie

De aici și din formula (11) obținem .

Exemplul 5. Dat: . Găsi .

Soluţie. De atunci . Cu toate acestea , prin urmare .

Exemplul 6 Să , și . Găsi .

Soluţie. Folosind formula (9), obținem . Prin urmare, dacă , atunci sau .

Din moment ce și atunci aici avem un sistem de ecuații

Rezolvând care, obținem și .

Rădăcina naturală a ecuației este .

Exemplul 7 Găsiți dacă și .

Soluţie. Deoarece conform formulei (3) avem că , atunci sistemul de ecuații rezultă din condiția problemei

Dacă înlocuim expresiaîn a doua ecuație a sistemului, atunci obținem sau .

Rădăcinile ecuației pătratice suntși .

Să luăm în considerare două cazuri.

1. Fie , atunci . De când și , atunci .

În acest caz, conform formulei (6), avem

2. Dacă , atunci , și

Raspuns: si.

Exemplul 8 Se știe că și Găsi .

Soluţie.Ținând cont de formula (5) și de condiția exemplului, scriem și .

Aceasta implică sistemul de ecuații

Dacă înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2 și apoi o adăugăm la a doua ecuație, obținem

Conform formulei (9), avem. În acest sens, din (12) rezultă sau .

De când și , atunci .

Răspuns: .

Exemplul 9 Găsiți dacă și .

Soluţie. Din moment ce , și după condiție , atunci sau .

Din formula (5) se știe, ce . De atunci .

Prin urmare , aici avem un sistem de ecuații liniare

De aici obținem și . Ținând cont de formula (8), scriem .

Exemplul 10 Rezolvați ecuația.

Soluţie. Din ecuația dată rezultă că . Să presupunem că , , și . În acest caz .

Conform formulei (1), putem scrie sau .

Deoarece , ecuația (13) are o rădăcină adecvată unică .

Exemplul 11. Găsiți valoarea maximă cu condiția ca și .

Soluţie. De la , atunci progresia aritmetică considerată este în scădere. În acest sens, expresia capătă o valoare maximă atunci când este numărul membrului pozitiv minim al progresiei.

Folosim formula (1) și faptul, care și . Apoi obținem asta sau .

Pentru că, atunci sau . Cu toate acestea, în această inegalitatecel mai mare număr natural, de aceea .

Dacă valorile și sunt înlocuite în formula (6), atunci obținem .

Răspuns: .

Exemplul 12. Aflați suma tuturor numerelor naturale din două cifre care, atunci când sunt împărțite la 6, au restul de 5.

Soluţie. Se notează prin mulțimea tuturor numerelor naturale cu două valori, adică . În continuare, construim o submulțime constând din acele elemente (numere) ale mulțimii care, împărțite la numărul 6, dau un rest de 5.

Ușor de instalat, ce . Evident , că elementele ansambluluiformează o progresie aritmetică, în care și .

Pentru a determina cardinalitatea (numărul de elemente) mulțimii, presupunem că . Deoarece și , atunci formula (1) implică sau . Ținând cont de formula (5), obținem .

Exemplele de mai sus de rezolvare a problemelor nu pot pretinde în niciun caz a fi exhaustive. Acest articol este scris pe baza unei analize a metodelor moderne de rezolvare a problemelor tipice pe o anumită temă. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor legate de progresia aritmetică, este indicat să consultați lista literaturii recomandate.

1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Lumea și educația, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în sarcini și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Aveti vreo intrebare?

Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Când studiezi algebra într-o școală secundară (clasa a 9-a), una dintre subiectele importante este studiul secvențelor numerice, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol, vom lua în considerare o progresie aritmetică și exemple cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se dea o definiție a progresiei luate în considerare, precum și să se dea formulele de bază care vor fi utilizate în continuare în rezolvarea problemelor.

O progresie aritmetică sau algebrică este un astfel de set de numere raționale ordonate, fiecare membru al cărora diferă de cel precedent printr-o cantitate constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.

Să luăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar mulțimea numerelor 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuită tipului de progresie luat în considerare, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importante

Vom oferi acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind o progresie aritmetică. Notează prin simbol a n al-lea membru secvențe în care n este un număr întreg. Diferența este notată de litera latină d. Atunci următoarele expresii sunt adevărate:

1. Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen, formula este potrivită: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n + a 1)*n/2.

Pentru a înțelege orice exemplu de progresie aritmetică cu o soluție în clasa a 9-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul în cauză sunt construite pe utilizarea lor. De asemenea, nu uitați că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1 .

Exemplul #1: Găsirea unui membru necunoscut

Dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru rezolvare.

Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., este necesar să găsim cinci termeni în ea.

Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:

1. Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, se poate lua oricare alți doi termeni stând unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d \u003d a n - a n-1, apoi d \u003d a 5 - a 4, de unde obținem: a 5 \u003d a 4 + d. Inlocuim valorile cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați, așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

După cum puteți vedea, ambele soluții duc la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența d a progresiei este negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare deoarece fiecare termen succesiv este mai mic decât cel anterior.

Exemplul #2: diferența de progresie

Acum să complicăm puțin sarcina, să dăm un exemplu de cum

Se știe că la unii primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Înlocuim datele cunoscute din condiție în ea, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 \u003d 6 + 6 * d. Din această expresie, puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) / 6 = 2. Astfel, s-a răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili secvența celui de-al 7-lea membru, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 și 7 = 18.

Exemplul #3: realizarea unei progresii

Să complicăm și mai mult starea problemei. Acum trebuie să răspundeți la întrebarea cum să găsiți o progresie aritmetică. Se poate da următorul exemplu: se dau două numere, de exemplu, 4 și 5. Este necesar să se facă o progresie algebrică astfel încât să se mai pună trei termeni între aceștia.

Înainte de a începe să rezolvați această problemă, este necesar să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai exista trei termeni între ei, apoi un 1 \u003d -4 și un 5 \u003d 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la o sarcină care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen, folosim formula, obținem: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De la: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aici diferența nu este o valoare întreagă, ci este un număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim membrii lipsă ai progresiei. Obținem: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u, 50 care a coincis cu starea problemei.

Exemplul #4: primul membru al progresiei

Continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu o soluție. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum luați în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să aflăm de la ce număr începe această succesiune.

Formulele care au fost folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. Nu se știe nimic despre aceste cifre în starea problemei. Cu toate acestea, să scriem expresiile pentru fiecare termen despre care avem informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Avem două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Sistemul specificat este cel mai ușor de rezolvat dacă exprimați un 1 în fiecare ecuație și apoi comparați expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de unde diferența d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (sunt date doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru a 1 . De exemplu, mai întâi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea membru al progresiei, care este specificat în condiție. Obținem: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. O mică eroare se datorează faptului că în calcule a fost utilizată rotunjirea la miimi.

Exemplul #5: Sumă

Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?

Datorită dezvoltării tehnologiei informatice, această problemă poate fi rezolvată, adică adunați secvențial toate numerele, ceea ce computerul va face imediat ce o persoană apasă tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este curios de observat că această problemă se numește „gaussiană”, întrucât la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă la vârsta de doar 10 ani, a reușit să o rezolve în mintea lui în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că dacă adaugi perechi de numere situate la marginile șirului, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ... și, deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect, este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul #6: suma termenilor de la n la m

Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați care va fi suma termenilor săi de la 8 la 14.

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Deoarece există puțini termeni, această metodă nu este suficient de laborioasă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme prin a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma unei progresii algebrice între termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n > m, este evident că suma 2 o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței, se scade din suma S n), atunci obținem răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție condiția, să înțelegeți clar ce doriți să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.

Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, se poate opri la formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, și împărțiți sarcina generală în subsarcini separate (în acest caz, găsiți mai întâi termenii a n și a m).

Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, se recomandă să-l verificați, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Cum să găsești o progresie aritmetică, am aflat. Odată ce îți dai seama, nu este atât de greu.

Ce punctul principal formule?

Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI" n" .

Desigur, trebuie să cunoști primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri, nu puteți nota o anumită progresie.

Nu este suficient să memorezi (sau să înșeli) această formulă. Este necesar să-i asimilezi esența și să aplici formula în diverse probleme. Da, și nu uitați la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu stiu. Dar cum să-ți amintești Dacă este nevoie, vă dau un indiciu. Pentru cei care stăpânesc lecția până la sfârșit.)

Deci, să ne ocupăm de formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Ce este o formulă în general - ne imaginăm.) Ce este o progresie aritmetică, un număr de membru, o diferență de progresie - este clar menționat în lecția anterioară. Aruncă o privire dacă nu l-ai citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce al-lea membru.

Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - din un 120.

Cum se definește în general orice membru al unei progresii aritmetice, s orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:

un n

Asta e al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Sub litera n toate numerele de membri sunt ascunse simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr, au notat o scrisoare...

Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresii aritmetice. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și o grămadă de sarcini de rezolvat în progresie. Vei vedea mai departe.

În formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- primul membru al progresiei aritmetice;

n- numarul membrului.

Formula leagă parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dși n. În jurul acestor parametri, toate puzzle-urile se învârt în progresie.

Formula al n-lea termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, în problemă se poate spune că progresia este dată de condiția:

a n = 5 + (n-1) 2.

O astfel de problemă poate chiar să încurce... Nu există serie, nicio diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor să ne dăm seama că în această progresie a 1 \u003d 5 și d \u003d 2.

Și poate fi și mai supărat!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, da, deschide parantezele si da altele asemanatoare? Obținem o nouă formulă:

an = 3 + 2n.

aceasta Numai că nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se află capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul membru este un cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.

În sarcinile pentru progresie, există o altă notație - un n+1. Acesta este, ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei, al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm pentru un n al cincilea termen, atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.

Cel mai adesea desemnarea un n+1 apare în formule recursive. Nu vă fie frică de acest cuvânt groaznic!) Acesta este doar un mod de a exprima un termen al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind formula recurentă:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Și cum să numărăm imediat, să spunem al douăzecilea termen, un 20? Dar în niciun caz!) În timp ce al 19-lea termen nu este cunoscut, al 20-lea nu poate fi numărat. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recurentă și formula celui de-al n-lea termen. Recursivul funcționează numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen - prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Nu numărând întreaga serie de numere în ordine.

Într-o progresie aritmetică, o formulă recursivă poate fi ușor transformată într-una obișnuită. Numărați o pereche de termeni consecutivi, calculați diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma obișnuită și lucrați cu ea. În GIA, astfel de sarcini sunt adesea găsite.

Aplicarea formulei celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Mai întâi, să ne uităm la aplicarea directă a formulei. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:

Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației progresiei aritmetice. Adăugați, da adăugați... O oră sau două.)

Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. O poți cronometra.) Noi decidem.

Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Rămâne de văzut ce n. Nici o problemă! Trebuie să găsim un 121. Aici scriem:

Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuiește toate numerele din formulă și calculează:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Cam despre asta e. La fel de repede s-ar putea găsi al cinci sute al zecelea membru și al miei și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " A"și între paranteze și luăm în considerare.

Permiteți-mi să vă reamintesc esența: această formulă vă permite să găsiți orice termenul unei progresii aritmetice CU NUMĂRUL LUI" n" .

Să rezolvăm problema mai inteligent. Să presupunem că avem următoarea problemă:

Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n) dacă a 17 =-2; d=-0,5.

Dacă aveți dificultăți, vă propun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți de mână, chiar în caiet:

a n = a 1 + (n-1)d

Și acum, privind literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Totul? Dacă crezi că asta e tot, atunci nu poți rezolva problema, da...

Avem și un număr n! In stare a 17 =-2 ascuns doua variante. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea membru (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „lucru mic” alunecă adesea pe lângă cap, și fără el, (fără „lucruție mică”, nu cap!) Problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)

Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să-l punem în:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Asta, în esență, este tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să calculați. Primești răspunsul: a 1 = 6.

O astfel de tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - ajută foarte mult în sarcinile simple. Ei bine, trebuie, desigur, să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...

O altă problemă populară:

Aflați diferența progresiei aritmetice (a n) dacă a 1 =2; a 15 =12.

Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Luați în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (evidențiere specială!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți în formula:

12=2 + (15-1)d

Să facem aritmetica.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Acesta este răspunsul corect.

Deci, sarcini a n, a 1și d hotărât. Rămâne să înveți cum să găsești numărul:

Numărul 99 este membru al unei progresii aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.

Înlocuim cantitățile cunoscute în formula celui de-al n-lea termen:

a n = 12 + (n-1) 3

La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n este un membru al progresiei cu numărul n... Și acest membru al progresiei îl cunoaștem! Este 99. Nu-i știm numărul. n, deci trebuie găsit și acest număr. Înlocuiți termenul de progresie 99 în formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.

Și acum o problemă pe același subiect, dar mai creativ):

Determinați dacă numărul 117 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Să scriem din nou formula. Ce, nu există opțiuni? Hm... De ce avem nevoie de ochi?) Vedem primul membru al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 \u003d -3,6. Diferență d se poate determina din serie? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Da, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne de a face cu un număr necunoscut nși un număr de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că era dat termenul progresiei. Dar aici nici nu știm că... Cum să fim!? Ei bine, cum să fii, cum să fii... Pornește Abilități creative!)

Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da-da!)) și înlocuim numerele noastre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:

Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie tragem? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între al 101-lea și al 102-lea membru. Dacă numărul s-a dovedit a fi natural, de ex. întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.

Bazat pe sarcini versiune reală GIA:

Progresia aritmetică este dată de condiția:

a n \u003d -4 + 6,8n

Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.

Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.

Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru, se înșeală fatal!) Pentru că formula din problemă este modificată. Primul termen al unei progresii aritmetice în el ascuns. Nimic, îl vom găsi acum.)

La fel ca în sarcinile anterioare, înlocuim n=1în această formulă:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!

În mod similar, căutăm al zecelea termen:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Cam despre asta e.

Și acum, pentru cei care au citit până la aceste rânduri, bonusul promis.)

Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a GIA sau a examenului de stat unificat, ați uitat formula utilă a celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Ceva îmi vine în minte, dar cumva nesigur... Fie n acolo, sau n+1 sau n-1... cum sa fii!?

Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu foarte strict, dar cu siguranță suficient pentru încredere și decizia corectă!) Pentru concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a progresiei aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.

Desenăm o axă numerică și o marchem pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notează diferența dîntre membri. Ca aceasta:

Ne uităm la imagine și ne gândim: cu ce este egal al doilea termen? Al doilea unu d:

A 2 =a 1 + 1 d

Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.

A 3 =a 1 + 2 d

Ai inteles? Nu pun câteva cuvinte cu caractere aldine degeaba. Bine, încă un pas.)

Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.

A 4 =a 1 + 3 d

Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică până la număr n, numărul de goluri va fi n-1. Deci, formula va fi (fără opțiuni!):

a n = a 1 + (n-1)d

În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci ... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți pune o imagine într-o ecuație...

Sarcini pentru decizie independentă.

Pentru încălzire:

1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Găsiți un 3.

Sugestie: conform imaginii, problema este rezolvată în 20 de secunde ... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată atât prin imagine, cât și prin formulă. Simte diferenta!)

Și aceasta nu mai este o încălzire.)

2. În progresia aritmetică (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .

Ce, reticența de a face o imagine?) Totuși! E mai bine in formula, da...

3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.

În această sarcină, progresia este dată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de mandat... Nu oricine poate face o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!

4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.

5. Conform condiției sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici membri pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.

6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este zero. Găsiți un 14.

Nu este cea mai ușoară sarcină, da ...) Aici metoda „pe degete” nu va funcționa. Trebuie să scrieți formule și să rezolvați ecuații.

Răspunsuri (în dezordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

S-a întâmplat? E dragut!)

Nu merge totul? S-a întâmplat. Apropo, în ultima sarcină există un punct subtil. Va fi necesară atenție la citirea problemei. Și logica.

Soluția la toate aceste probleme este discutată în detaliu în secțiunea 555. Și elementul fantezie pentru al patrulea și momentul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme pentru formula celui de-al n-lea termen - totul este pictat. Vă recomand.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.